Для использования канонических переменных нужно знать гамильтониан. Старрок [1958], [1962], идя по другому пути, развил методику, в которой не используются канонические переменные. Суть ее состоит в усреднении лагранжиана и выписывании затем соответствующих уравнений Эйлера-Лагранжа. Уизэм [1965а], [1967a, 1967б, 1970] разработал подобную методику для изучения волн, в которых частота и волновое число, так же как и амплитуда, являются медленно меняющимися функциями пространственных координат и времени. Более строгое обоснование этой методики предложил Бишоп [1969]. Эта методика не столь изящна, как процедуры, использующие канонические переменные, однако она обладает тем преимуществом, что непосредственно приложима как к уравнениям в частных производных, так и к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Қаваками [1970], Каваками и Ягисита [1971] для решения нелинейного уравнения Власова использовали канонические переменные в сочетании с гамильтонианами.

Эта методика нашла приложение в разнообразных задачах распространения волн в жидкости и плазме. Лайтхилл [1965], [1967] применил теорию Уизэма к волнам умеренной амплитуды в глубокой воде; Карпман и Крушкаль [1969] использовали

теорию Уизэма для получения распада плоской волны на отдельные волновые пакеты, Хау [1967] изучал установившееся течение в открытом канале вдоль твердой поверхности, имеющей форму конечного набора волн. Брезертон [1968] рассмотрел линейное распространение волн в слабо меняющихся волноводах; Брезертон и Гарретт [1968] изучили медленно меняющиеся волны в неоднородных средах. Гарретт [1968], Дрейзин [1969], Рарити [1969] исследовали нелинейные внутренние гравитационные волны; Гаррет и Дрейзин определили соответственно эффекты сдвига и слабого атмосферного расслоения. Симмонс [1969] изучил взаимодействие капиллярных и гравитационных волн; Гримшоу [1970] рассмотрел уединенные волны в воде переменной глубины. Краппер [1970] исследовал возникновение капиллярных волн под влиянием гравитационных. Доерти [1970], Галлоуэй и Крофорд [1970], Галлоуэй и Ким [1971] рассматривали нелинейные волны в плазме. Дьюар [1970] исследовал взаимодействие магнитогидродинамических волн с неоднородной средой; Тан и Сивасубраманиан [1971] изучили нелинейную неустойчивость модулированных волн в магнитной плазме. Лоуэлл [1970] рассмотрел распространение волн в решетках с ангармоническим потенциалом. Дадим описание этой теории и ее применение к трем примерам.

5.8.1. Модель диспергирующих волн

В качестве первого примера рассмотрим решение в форме ряда волн для модельного уравнения Брезертона [1964]
\[
\varphi_{t t}+\varphi_{x x x x}+\varphi_{x x}+\varphi=\varepsilon \varphi^{3} .
\]

Вместо нелинейного члена $\varepsilon \varphi^{2}$ здесь записан член $\varepsilon \varphi^{3}$. Если пренебречь нелинейным членом $\varphi^{3}$, то уравнение (5.8.1) допускает решение в форме бегущей волны
\[
\varphi=a \cos \theta, \quad \theta=k x-\omega t,
\]

в котором $\omega$ и $k$ удовлетворяют дисперсионному соотношению
\[
\omega^{2}=k^{4}-k^{2}+1 .
\]

Медленно меняющееся решение в форме ряда волн будем искать с помощью вариационного подхода; запишем сначала лагранжиан, соответствующий уравнению (5.8.1)
\[
L=\frac{1}{2} \varphi_{t}^{2}-\frac{1}{2} \varphi_{x x}^{2}+\frac{1}{2} \varphi_{x}^{2}-\frac{1}{2} \varphi^{2}+\frac{1}{4} \varepsilon \varphi^{4} .
\]

Нетрудно проверить, что уравнение (5.8.1) является уравнением Эйлера – Лагранжа, соответствующим этому лагранжиану. Будем

искать разложение вида
\[
\varphi=a \cos \theta+\varepsilon \sum_{n=2}^{\infty} A_{n} \cos n \theta+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\]

где
\[
k=\theta_{x}, \quad \omega=-\theta_{t},
\]

а величины $a, \omega, k$ и $A_{i}$ являются медленно меняющимися функциями от $x$ и $t$. В предположении, что $\theta$ дважды непрерывно дифференцируема, из (5.8.6) можно получить условие совместности
\[
k_{t}+\omega_{x}=0 .
\]

Поскольку в прямом разложении вековые члены впервые появляются среди членов порядка $O(\varepsilon)$, то будем предполагать, что величины $a_{x}, a_{t}, \omega_{x}, \omega_{t}, k_{x}$ и $k_{t}$ имеют порядок $O(\varepsilon)$. Таким образом,
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{t}=a \omega \sin \theta+a_{t} \cos \theta+\varepsilon \omega \sum_{n=2}^{\infty} n A_{n} \sin n \theta+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\varphi_{x}=-a k \sin \theta+a_{x} \cos \theta-\varepsilon k \sum_{n=2}^{\infty} n A_{n} \sin n \theta+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\varphi_{x x}=-a k^{2} \cos \theta-2 a_{x} k \sin \theta-\varepsilon k^{2} \sum_{n=2}^{\infty} n^{2} A_{n} \cos n \theta+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\end{array}
\]

Подставляя эти выражения в (5.8.4), получим лагранжиан, неявно зависящий от $x$ и $t$ через функции $\theta, a, \omega, k$ и $A_{i}$. Члены, зависящие от $\theta$, в выражении этого лагранжиана периодичны по $\theta$ с периодом $2 \pi$. При изменении $\theta$ на интервале $[0,2 \pi]$ остальные параметры претерпевают очень малое изменение. Поэтому с изменением $x$ и $t$ изменение лагранжиана $L$, обусловленное зависимостью от $\theta$, происходит намного быстрее, чем изменение, обусловленное зависимостью от остальных параметров. Как и в других разновидностях метода усреднения, величину $L$ следует усреднить по $\theta$ на интервале от 0 до $2 \pi$, предполагая $a, \omega, k$ и $A_{i}$ постоянными. С этой целью усредним сначала отдельно каждый член в $L$. Будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\overline{\varphi_{t}^{2}}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \varphi_{t}^{2} d \theta=\frac{1}{2} a^{2} \omega^{2}+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\overline{\varphi_{x}^{2}}=\frac{1}{2} a^{2} k^{2}+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\overline{\varphi_{x x}^{2}}=\frac{1}{2} a^{2} k^{4}+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\overline{\varphi^{4}}=\frac{3}{8} a^{4}+O(\varepsilon) .
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
\mathscr{L}=\bar{L}=\frac{1}{4}\left(\omega^{2}-k^{4}+k^{2}-1\right) a^{2}+\frac{3 \varepsilon}{32} a^{4}+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

Усредненный лагранжиан $\mathscr{L}$ явно зависит от $a$ и неявноот $\theta$ через посредство $\omega$ и $k$. Запишем теперь уравнения Эйлера-Лагранжа, соответствующие переменным $a$ и $\theta$. Уравнение Эйлера-Лагранжа, соответствующее $a$, будет иметь вид $\partial \mathscr{L} / \partial a=0$; отсюда получаем дисперсионное соотношение
\[
\omega^{2}=k^{4}-k^{2}+1+\frac{3}{4} \varepsilon a^{2}+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

Отметим, что дисперсионное соотношение можно получить с помощью принципа гармонического баланса, т. е. подставив $\varphi=a \cos \theta$ в уравнение (5.8.1) и приравняв коэффициенты при $\cos \theta$ в обеих частях. В силу равенств $\omega=-\theta_{t}$ и $k=\theta_{x}$ уравнение Эйлера-Лагранжа, соответствующее переменной $\theta$, запишется в виде
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \theta_{t}}\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \theta_{x}}\right)=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \theta}=0
\]

или
\[
-\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \omega}\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial k}\right)=0 .
\]

С учетом соотношений
\[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \omega}=\frac{1}{2} \omega a^{2}+O\left(\varepsilon^{2}\right), \quad \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial k}=-\frac{1}{2}\left(2 k^{3}-k\right) a^{2}+O\left(\varepsilon^{2}\right)
\]

будем иметь
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(\omega a^{2}\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left[\left(2 k^{3}-k\right) a^{2}\right]=0 .
\]

Чтобы упростить (5.8.12), продифференцируем обе части в (5.8.9) по $k$. Получим
\[
\omega \omega^{\prime}=2 k^{3}-k+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\]

где $\omega^{\prime}=d \omega / d k$-групповая скорость. Следовательно,
перепишется в виде
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(\omega a^{2}\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left(\omega \omega^{\prime} a^{2}\right)=0,
\]

или
$\omega\left[\frac{\partial a^{2}}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\left(\omega^{\prime} a^{2}\right)\right]+a^{2}\left[\omega_{t}+\omega^{\prime} \omega_{x}\right]=0$.

Поскольку для $\omega=\omega(k)$ имеем $\omega_{t}=\omega^{\prime} k_{t}$, то второй член в (5.8.13), согласно соотношению (5.8.7), обращается в нуль. Следовательно, уравнение (5.8.13) запишется в упрощенном виде как
\[
\frac{\partial a^{2}}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\left(\omega^{\prime} a^{2}\right)=0 .
\]

Кроме того, имея в виду, что $\omega=\omega(k)$, можно переписать (5.8.7) в виде
\[
\frac{\partial k}{\partial t}+\omega^{\prime} \frac{\partial k}{\partial x}=0 .
\]

Таким образом, изменения в пространстве и во времени амплитуды $a$, частоты $\omega$ и волнового числа $k$ задаются соотношениями (5.8.9), (5.8.14) и (5.8.15).

5.8.2. Модель взаимодействия волна – волна

Проведя в предыдущем пункте разложение до второго порядка, мы пришли бы к соотношению
\[
\varphi=a \cos \theta+\frac{\varepsilon a^{3}}{32\left(9 k^{4}-1\right)} \cos 3 \theta+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

Будучи справедливым для широкой области значений $k$, это разложение нарушается вблизи $k^{2}=1 / 3$. В этом случае говорят, что имеет место резонанс в третьей гармонике; величины $\cos \theta$ и $\cos 3 \theta$ удовлетворяют при этом одному и тому же дисперсионному соотношению. Последнее означает, что основная и третья гармоники имеют одинаковые фазовые скорости, равные $\omega / k$.

Чтобы построить для уравнения (5.8.1) разложение, справедливое вблизи $k^{2}=1 / 3$, будем предполагать, что это разложение имеет вид
\[
\varphi=a_{1} \cos \theta_{1}+a_{3} \cos \theta_{3}+\varepsilon \sum_{n
eq 1,3}^{\infty} A_{n} \cos \left(\theta_{n}+v_{n}\right)+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\]

где
\[
\theta_{n}=k_{n} x-\omega_{n} t+\beta_{n}, \quad \omega_{n}^{2}=k_{n}^{4}-k_{n}^{2}+1,
\]

причем
\[
k_{3} \approx 3 k_{1}, \quad \omega_{3} \approx 3 \omega_{1} .
\]

Отметим, что главный член разложения содержит основной тон $\cos \theta_{1}$ и его третью гармонику $\cos \theta_{3}$. Поскольку нас интересует случай $k_{1}^{2} \approx 1 / 3$, то будем считать $\omega_{i}$ и $k_{i}$ постоянными, а величины $\beta_{i}, v_{i}, a_{i}$ и $A_{i}$-медленно меняющимися функциями от $x$ и $t$. Подставим, далее, это разложение в (5.8.4) и усредним получающийся лагранжиан по переменным $\theta_{i}$, предполагая $\beta_{i}, v_{i}$, $a_{i}$ и $A_{i}$ постоянными.

Проводя усреднение, следует помнить, что, хотя переменные $\theta_{i}$ и являются быстрыми, величина $\theta_{3}-3 \theta_{1}$ меняется медленно. Таким образом,
\[
\begin{array}{l}
\overline{\varphi^{4}}=\frac{3}{8}\left(a_{1}^{4}+4 a_{1}^{2} a_{3}^{2}+a_{3}^{4}\right)+\frac{1}{2} a_{1}^{3} a_{3} \cos \left(\theta_{3}-3 \theta_{1}\right)+O(\varepsilon), \\
\overline{\varphi^{2}}=\left(\frac{1}{2} a_{1}^{2}+a_{3}^{2}\right)+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\overline{\varphi_{i}^{2}}=\frac{1}{2} \sum_{i=1,3}\left(\omega_{i}^{2}-2 \omega_{i} \beta_{i t}\right) a_{i}^{2}+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\overline{\varphi_{x}^{2}}=\frac{1}{2} \sum_{i=1,3}\left(k_{i}^{2}+2 k_{i} \beta_{i x}\right) a_{i}^{2}+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\overline{\varphi_{x x}^{2}}=\frac{1}{2} \sum_{i=1,3}\left(k_{i}^{4}+4 k_{i}^{3} \beta_{i x}\right) a_{i}^{2}+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\end{array}
\]

С учетом этих выражений лагранжиан $\mathscr{L}$ запишется в виде
\[
\begin{aligned}
\mathscr{L}=-\frac{1}{2} \sum_{i=1,3} \omega_{i}\left(\beta_{i t}\right. & \left.+\omega_{i}^{\prime} \beta_{i x}\right) a_{i}^{2}+ \\
& +\frac{3 \varepsilon}{32}\left(a_{1}^{4}+4 a_{1}^{2} a_{3}^{2}+a_{3}^{4}\right)+\frac{\varepsilon}{8} a_{1}^{3} a_{3} \cos \delta,
\end{aligned}
\]

где
\[
\delta=\theta_{3}-3 \theta_{1}=\left(k_{3}-3 k_{1}\right) x-\left(\omega_{3}-3 \omega_{1}\right) t+\beta_{3}-3 \beta_{1} .
\]

При получении (5.8.20) мы использовали дисперсионное соотношение (5.8.18) и следующее определение групповой скорости: $\omega_{i}^{\prime}=\left(2 k_{i}^{3}-k_{i}\right) / \omega_{i}$.

При постоянных $\omega_{i}$ и $k_{i}$ величины $a_{i}$ и $\beta_{i}$ удовлетворяют уравнениям Эйлера – Лагранжа
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial a_{i}}=0, \\
\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \beta_{i t}}\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \beta_{i x}}\right)=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \beta_{i}} .
\end{array}
\]

Подставляя $\mathscr{L}$ из (5.8.20) в эти уравнения и используя (5.8.21), получим
\[
\begin{array}{c}
\beta_{1 t}+\omega_{1}^{\prime} \beta_{1 x}=\frac{3 \varepsilon}{8 \omega_{1}}\left[a_{1}^{2}+2 a_{3}^{2}+a_{1} a_{3} \cos \delta\right], \\
\beta_{3 t}+\omega_{3}^{\prime} \beta_{3 x}=\frac{\varepsilon}{8 \omega_{3}}\left[6 a_{1}^{2}+3 a_{3}^{2}+a_{1}^{3} a_{3}^{-1} \cos \delta\right], \\
\frac{\partial a_{1}}{\partial t}+\omega_{1}^{\prime} \frac{\partial a_{1}}{\partial x}=-\frac{3 \varepsilon}{8 \omega_{1}} a_{1}^{2} a_{3} \sin \delta, \\
\frac{\partial a_{3}}{\partial t}+\omega_{3}^{\prime} \frac{\partial a_{3}}{\partial x}=\frac{\varepsilon}{8 \omega_{9}} a_{1}^{3} \sin \delta .
\end{array}
\]

Эти уравнения согласуются с уравнениями, полученными в пункте 6.2 .9 с помощью метода многих масштабов.

5.8.3. Нелинейное уравнение Қлейна – Гордона

В качестве последнего примера рассмотрим вслед за Уизэмом [1965a] нелипейное уравнение Клейна – Гордона
\[
u_{t t}-u_{x x}+V^{\prime}(u)=0,
\]

где $V(u)$-процзвольная нелинейная потенциальная функция, обеспечивающая уравнению колебательные решения. Скотт [1970] рассмотрел чдстный случай $V(u)=-\cos u$, который описывает распространение магнитного потока в контакте Джозефсона. Рассматриваемому уравнению соответствует лагранжиан
\[
L=\frac{1}{2} u_{t}^{2}-\frac{1}{2} u_{x}^{2}-V(u) .
\]

Для решения в форме бегущей волны $u(\theta)$ уравнения (5.8.28) имеем
\[
\left(\omega^{2}-k^{2}\right) u_{\theta \theta}+V^{\prime}(u)=0,
\]

где
\[
\omega=-\theta_{t}, \quad k=\theta_{x} .
\]

Уравнение (5.8.30) имеет первый интеграт
\[
\frac{1}{2}\left(\omega^{2}-k^{2}\right) u_{\theta}^{2}+V(u)=E .
\]

Интегрируя это равенство, получим
\[
\theta=\sqrt{\frac{\omega^{2}-k^{2}}{2}} \int \frac{d u}{\sqrt{E-V(u)}} .
\]

Предположим, что период периодической функции $u$ нормировкой может быть сведен к единице, так что
\[
\sqrt{\frac{\omega^{2}-k^{2}}{2}} \oint \frac{d u}{\sqrt{E-V(u)}}=1 .
\]

Для определения приближенных уравнений, которым удовлетворяют медленно меняющиеся величины $E$, $\omega$ и $k$, подставим в (5.8.29) вместо $u$ функцию $u(\theta)$ и усредним получающийся лагранжиан по интервалу $[0,1]$. С учетом (5.8.32) будем иметь
\[
L=\frac{1}{2}\left(\omega^{2}-k^{2}\right) u_{\theta}^{2}-V(u)=\left(\omega^{2}-k^{2}\right) u_{\theta}^{2}-E .
\]

Следовательно,
\[
\begin{aligned}
\mathscr{L} & =\int_{1}^{1} L[u(\theta)] d \theta=\left(\omega^{2}-k^{2}\right) \int_{0}^{1} u_{\theta}^{2} d \theta-E \int_{0}^{1} d \theta=E \\
& =\left(\omega^{2}–k^{2}\right) \oint u_{\theta} d u-E= \\
& =1 \overline{2\left(\omega^{2}-k^{2}\right)} \oint v \overline{E-1(u)} d u \cdot E .
\end{aligned}
\]

Изменение $\mathscr{L}$, связанное с изменением $E$, определяется дисперсионным соотношением (5.8.34). С учетом а авенств $\omega=-\theta_{t}$ и $k=\theta_{x}$ уравнение Эйлера-Лагранжа, соответствующее переменной $\theta$, запишется в виде
\[
-\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \omega}\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial k}\right)=0 .
\]

Подставив в (5.8.37) выражение для $\mathscr{L}$, получим
\[
\frac{\partial}{\partial t}(\omega W)+\frac{\partial}{\partial x}(k W)=0,
\]

где
\[
W=\sqrt{\frac{2}{\omega^{2}-k^{2}}} \oint \sqrt{E-V(u)} d u .
\]

Постановка задачи окажется завершенной, если к соотношениям (5.8.34) и (5.8.38) присоединить условие совместности
\[
\frac{\partial k}{\partial t}+\frac{\partial \omega}{\partial x}=0 .
\]

Упражнения

5.1. Используя методику Стюарта-Ватсона-Экхауса, определить приближенные решения задач
(a) $\ddot{u}+\lambda u=\varepsilon u^{3}, \quad u(0)=u(\pi)=0$;
(6) $u_{t t}-u_{x x}+u=\varepsilon u^{3}$,
\[
u(x, 0)=a \cos x, u_{t}(x, 0)=0 .
\]
5.2. Используя методику Страбла, определить равномерные разложения второго порядка для уравнений (Страбл [1962])
(a) $\ddot{u}+u=\varepsilon\left(1-u^{2}\right) \dot{u}$,
(б) $\ddot{u}+(\delta+\varepsilon \cos 2 t) u=0$.
5.3. Используя методику Крылова-Боголюбова, определить приближенные решения уравнений
(a) $\ddot{u}+\omega_{0}^{2} u=-\varepsilon \dot{u}|\dot{u}|$;
(б) $\ddot{u}+\omega_{0}^{2} u=e\left(1-u^{2}\right) \dot{u}+\varepsilon u^{3}$;
(в) $\ddot{u}+(\delta+\varepsilon \cos 2 t) u=0$.
5.4. Рассмотрим уравнение Матьё
\[
\ddot{u}+(\delta+\varepsilon \cos 2 t) u=0 .
\]

Определить равномерные разложения второго порядка, используя (а) методику Крылова – Боголюбова – Митропольского; (б) обобщенный метод усреднения; (в) преобразования Ли.

5.5. Рассмотрим уравнение
\[
\ddot{q}+\omega_{0}^{2} q=\varepsilon q^{3}+K \cos \omega t .
\]
(a) Показать, что оно соответствует гамильтониану
\[
H=\frac{1}{2}\left(p^{2}+\omega_{0}^{2} q^{2}\right)-\frac{1}{4} \varepsilon q^{4}-K_{q} \cos \omega t ;
\]
(6) Определить разложение первого порядка, полагая, что $K=O$ (1) и значения $\omega$ далеки от $3 \omega_{0}, \omega_{0}, \omega_{0} / 3$;
(в) $K=O(1)$ и $\omega$ близко к $3 \omega_{0}$;
(г) $K=O$ (1) и $\omega$ близко к $\omega_{0} / 3$;
(д) $K=O(\varepsilon)$ и $\omega$ близко к $\omega_{0}$.
5.6. Рассмотрим уравнение
\[
\ddot{q}+\omega_{0}^{2} q=\varepsilon\left(1-q^{2}\right) \dot{q}+K \cos \omega t .
\]

Используя метод Крылова-Боголюбова, определить разложения первого порядка для случаев, перечисленных в упр. 5.5.
5.7. Используя обобщенный метод усреднения, метод Крылова-Боголюбова – Митропольского и метод Кемела, определить разложения второго порядка для решения уравнения
\[
\ddot{u}+u=\varepsilon\left(1-u^{2}\right) \dot{u}+\varepsilon u^{3} .
\]

Сравнить результаты, полученные тремя методами. Қакую из этих методик вы бы рекомендовали для подобных задач?
5.8. Рассмотрим задачу
\[
\ddot{u}+2 \mu \dot{u}+v^{2} u=-\varepsilon f(u, \dot{u}) .
\]

При $\varepsilon \longrightarrow 0$ имеем
\[
u=a_{0} e^{-\mu t} \cos \left(\omega_{0} t+\varphi_{0}\right), \quad \omega_{0}=\sqrt{v^{2}-\mu^{2}} .
\]
(a) Для $\varepsilon
eq 0$ определить равномерное разложение, положив, следуя Мендельсону [1970], $и=u(a, \psi)$ и
\[
\begin{aligned}
u & =u_{0}+\varepsilon u_{1}+\ldots, \\
\frac{d a}{d t} & =-\mu a+\varepsilon A_{1}(a)+\ldots, \\
\frac{d \psi}{d t} & =\omega_{0}+\varepsilon B_{1}(a)+\ldots .
\end{aligned}
\]
(б) Определить разложение, используя методику Крылова-Боголюбова Митропольского.
(в) Какое из этих разложений является более точным?
5.9. Рассмотрим задачу
\[
\ddot{u}+\delta u+\varepsilon b_{1} u^{m}+\varepsilon b_{2} u^{n-1}-\varepsilon b_{3} u^{n-1} \cos \lambda t=0,
\]

где $\delta, \varepsilon, b_{i}$ и $\lambda$-постоянные, $n$-четное, $m$-нечетное натуральные числа, причем $m>n$.

(a) Для малого $\varepsilon$ найти решение вида
\[
u=a(t) \cos \theta, \theta=\omega t-\varphi(t), \quad \omega=\lambda / n,
\]

и с помощью метода усреднения определить уравнения для $a$ и $\varphi$ (Цо и Кои [1965]).
(б) Определить гамильтониан, соответствующий вышеприведенному уравнению, затем с помощью канонических переменных определить разложение первого порядка для случая, когда $\delta$ близко к $\omega^{2}$.
(в) Сравнить результаты, полученные двумя методиками.
5.10. Задача о сферическом маятнике (т. е. о частице, движущейся под действием силы тяжести по поверхности гладкой неподвижной сферы) формулируется с помоцью гамильтониана (Йохансен и Кейн [1969])
\[
H=\frac{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}}{2 m}-m g \sqrt{l^{2}-q_{1}^{2}-q_{2}^{2}}-\frac{\left(p_{1} q_{1}+p_{2} q_{2}\right)^{2}}{2 m l^{2}} .
\]

Здесь $q_{i}$ и $p_{i}$-координаты и компоненты импульса частицы, $m$ – ее масса, $g$ – ускорение свободного падения и $l$-радиус сферы.
(a) Определить для малых амплитуд решение первого порядка, используя метод осреднения в канонических переменных.
(б) Определить разложение второго порядка, используя преобразования Ли.
(в) Сравнить полученные три разложения.
5.11. Рассмотрим задачу о качающейся пружине с демпфированием:
\[
\begin{array}{c}
\ddot{x}+\delta_{1} \dot{x}+\frac{k}{m} x+g(1-\cos \theta)-(l+x) \dot{\theta}^{2}=0, \\
\ddot{\theta}+\delta_{2} \dot{\theta}+\frac{g}{l+x} \sin \theta+\frac{2}{l+x} \dot{x} \dot{\theta}=0 .
\end{array}
\]

Положим $\omega_{1}^{2}=k / m$ и $\omega_{2}^{2}=g / l$. Используя обобщенный метод усреднения и преобразования Ли, определить равномерные разложения второго порядка для случаев (а) $\omega_{1} \approx 2 \omega_{2}$; (б) $\omega_{1} \approx 3 \omega_{2}$.
5.12. Рассмотрим уравнения (3.1.63) – (3.1.65).
(a) Показать, что им соответствует гамильтониан
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)+q_{2} p_{1}-q_{1} p_{2}+\frac{1}{2}\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right)- \\
-\frac{1}{2}\left(h_{1} q_{2}^{2}+h_{2} q_{1}^{2}\right)(1+e \cos f)^{-1} .
\end{array}
\]
(б) Используя метод усреднения в канонических переменных, определить разложение первого порядка в окрестности переходных кривых, исходящих из точки ( $\left.\mu_{0}, e\right)$, где $\mu_{0}=(1-2 \sqrt{2} / 3) / 2$.
(в) С помощью преборазований Ли определить в окрестности этих переходных кривых разложение второго порядка.
5.13. Рассмотрим движение частиц, описываемое гамильтонианом:
\[
H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)+\frac{1}{2}\left(q_{2} p_{1}-q_{1} p_{2}\right)+\frac{9}{8} q_{1}^{2}+\left(\delta+\frac{1}{8}\right) q_{2}^{2}+q_{1}^{3}+2 q_{1} q_{2}^{2},
\]

где $\delta$-постоянный параметр. (а) Показать, что при $\delta=1$ круговые частоты в линеаризованной задаче равны 1 и 2 ; (б) используя метод усреднения в ка-

нонических переменных, определить для малых амплитуд разложение первого порядка при $\delta \approx 1$; (в) с помощью метода усреднения определить разложение первого порядка; (г) какую из этих методик вы рекомендовали бы для подобных задач?
5.14. Рассмотрим задачу (Сетна [1965])
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}+\omega_{1}^{2} x=\varepsilon\left(3 b_{1} x^{2}+2 b_{2} x y+b_{3} y^{2}\right)-\varepsilon \delta_{1} \dot{x}+K_{1} \cos \lambda t, \\
\ddot{y}+\omega_{2}^{2} y=\varepsilon\left(b_{2} x^{2}+2 b_{3} x y+3 b_{4} y^{2}\right)-8 \delta_{2} \dot{y}+K_{2} \sin \lambda t .
\end{array}
\]

Говорят, что имеет место внутренний резонанс, если $\omega_{1} \approx 2 \omega_{2}$ или $\omega_{2} \approx 2 \omega_{1}$; при $\lambda \approx \omega_{1}$ или $\omega_{2}$ говорят о резонансном возбуждении; случай $K_{i}=\varepsilon k_{i}$, где $k_{i}=O(1)$, соответствует мягкому возбуждению и, наконец, случай $K_{i}=O$ (1) жесткому возбуждению. Используя метод усреднения, определить разложения первого порядка для следующих случаев:
(a) жесткое нерезонансное возбуждение при отсутствии внутреннего резонанса;
(б) жесткое нерезонансное возбуждение при внутреннем резонансе;
(в) мягкое резонансное возбуждение при отсутствии внутреннего резонанса; (г) мягкое резонансное возбуждение при внутреннем резонансе.
5.15. Бегущие волны в холодной плазме описываются уравнениями
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}(\rho u)=0, \\
\frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}+E=0, \\
\frac{\partial E}{\partial x}=\omega_{p}^{2}(1-\rho) .
\end{array}
\]

Пусть $\rho=1+O(\varepsilon), u=O(\varepsilon)$ и $E=O(\varepsilon)$. Используя метод усреднения, определить временно́е и пространственное изменение амплитуды и фазы монохроматической бегущей волны.
5.16. Рассмотрим задачу
\[
\varphi_{t t}-\varphi_{x x}+\varphi=0 .
\]
(a) Показать, что функция
\[
\varphi=a \cos \theta, \quad \theta=k x-\omega t
\]

является решением этого уравнения при условии, что $\omega^{2}=k^{2}+1$.
(б) Показать, что вышеприведенное уравнение может быть записано в виде законов сохранения (Уизэм [1965])
\[
\begin{array}{l}
\left.\frac{\partial}{\partial t}\left[\frac{1}{2} \varphi_{t}^{2}+\varphi_{x}^{2}+\varphi^{2}\right)\right]+\frac{\partial}{\partial x}\left(-\varphi_{x} \varphi_{t}\right)=0, \\
\left.\frac{\partial}{\partial t}\left(-\varphi_{x} \varphi_{t}\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{1}{2} \varphi_{t}^{2}+\varphi_{x}^{2}-\varphi^{2}\right)\right]=0 .
\end{array}
\]
(в) Положим в уравнениях закона $\operatorname{coxpанення~} \varphi=a \cos \theta$, причем $a=a(x, t)$, $k=\theta_{x}$ и $\omega=-\theta_{t}$. Предположим, что $a$, $\omega$ и $k-$ слабо меняющиеся функции от $x$ и $t$. Осреднить эти уравнения по $н$ на ннтервале от 0 до $2 \pi$, предполагая $a$,

$\omega$ и $k$ постоянными, и получить соотношения
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial k}{\partial t}+\omega^{\prime} \frac{\partial k}{\partial x}=0, \\
\frac{\partial a^{2}}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\left(\omega^{\prime} a^{2}\right)=0 .
\end{array}
\]

5.17. Рассмотрим уравнение
\[
u_{t t}-c^{2} u_{x x}+u=\varepsilon u^{3} .
\]
(a) Выписать лагранжиан, соответствующий этому уравнению.
(б) Определить разложение первого порядка для бегущих волн с постоянным волновым числом, но амплитудой и фазой, меняющимися во времени и пространстве.

5.18. Задача о нелинейных поперечных колебаниях однородной балки со свободными концами и с нелинейной связью между моментом и кривизной описывается лагранжианом
\[
L=\frac{1}{2} \rho\left(\frac{\partial w}{\partial t}\right)^{2}-\frac{1}{2} \beta\left[\left(\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}\right)^{2}-\frac{1}{2} \varepsilon\left(\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}\right)^{4}\right],
\]

где $\rho, \beta$ и $\varepsilon$-постоянные. Определить разложение первого порядка для бегущих волн со слабо меняющимися амплитудами и фазами: (а) используя вариационный подход; (б) выписывая уравнения движения и применяя метод усреднения.

5.19. Рассмотрим модельное уравнение Брезертона [1964]
\[
\varphi_{t t}+\varphi_{x x x x}+\varphi_{x x}+\varphi+\varphi^{2} .
\]
(a) Показать, что в линейной задаче дисперсионное соотношение имеет вид
\[
\omega^{2}=k^{4}-k^{2}+1 .
\]
(б) Определить волновое число, соответствующее резонансу в $n$-й гармонике.
(в) Используя метод усреднения, определить разложение первого порядка в окрестности резонанса во второй гармонике (амплитуды и фазы считать функциями от $x$ и $t$ ).
(г) Выписать соответствующий лагранжиан, затем, применяя вариационный подход, определить разложение первого порядка в окрестности резонанса во второй гармонике.