Вновь рассмотрим уравнение
\[
\frac{d^{2} u}{d t^{2}}+\omega_{0}^{2} u+\varepsilon u^{3}=0 .
\]

Будем предполагать, что существует разложение вида
\[
u=u_{0}(\xi, \eta)+\varepsilon u_{1}(\xi, \eta)+\varepsilon^{2} u_{2}(\xi, \eta)+\ldots,
\]

где
\[
\xi=\varepsilon t, \quad \eta=\left(1+\varepsilon^{2} \omega_{2}+\varepsilon^{3} \omega_{3}+\ldots\right) t .
\]

Подставив (6.3.2) и (6.3.3) в (6.3.1) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial \eta^{2}}+\omega_{0}^{2} u_{0}=0, \\
\frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial \eta^{2}}+\omega_{0}^{2} u_{1}=-2 \frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial \xi \partial \eta}-u_{0}^{3}, \\
\frac{\partial^{2} u_{2}}{\partial \eta^{2}}+\omega_{0}^{2} u_{2}=-2 \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial \xi \partial \eta}-\frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial \xi^{2}}-2 \omega_{2} \frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial \eta^{2}}-3 u_{0}^{2} u_{1} .
\end{array}
\]

Общее решение уравнения (6.3.4) имеет вид
\[
u_{0}=A_{0}(\xi) \cos \omega_{0} \eta+B_{0}(\xi) \sin \omega_{0} \eta .
\]

С учетом его уравнение (6.3.5) примет вид
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial \eta^{2}}+\omega_{0}^{2} u_{1}= & -\left[2 \omega_{0} B_{0}^{\prime}+\frac{3}{4}\left(A_{0}^{3}+A_{0} B_{0}^{2}\right)\right] \cos \omega_{0} \eta+ \\
& +\left[2 \omega_{0} A_{0}^{\prime}-\frac{3}{4}\left(B_{0}^{3}+A_{0}^{2} B_{0}\right)\right] \sin \omega_{0} \eta- \\
& -\frac{1}{4}\left(A_{0}^{3}-3 A_{0} B_{0}^{2}\right) \cos 3 \omega_{0} \eta+ \\
& +\frac{1}{4}\left(B_{0}^{3}-3 A_{0}^{2} B_{0}\right) \sin 3 \omega_{0} \eta .
\end{aligned}
\]

Вековые члены будут исключены при условиях
\[
\begin{array}{l}
2 \omega_{0} B_{0}^{\prime}+\frac{3}{4}\left(A_{0}^{3}+A_{0} B_{0}^{2}\right)=0, \\
2 \omega_{0} A_{0}^{\prime}-\frac{3}{4}\left(B_{0}^{3}+A_{0}^{2} B_{0}\right)=0 .
\end{array}
\]

Умножая (6.3.9) на $B_{0}$, а (6.3.10) – на $A_{0}$ и складывая получающиеся уравнения, получаем
\[
\frac{d}{d \xi}\left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)=0, \text { или } A_{0}^{2}+B_{0}^{2}=a^{2}=\text { const. }
\]

Используя (6.3.11), можем записать уравнения (6.3.9) и (6.3.10) в виде
\[
B_{0}^{\prime}+\omega_{1} A_{0}=0, \quad A_{0}^{\prime}-\omega_{1} B_{0}=0,
\]

где
\[
\omega_{1}=\frac{3}{8 \omega_{0}} a^{2} .
\]

Таким образом,
\[
A_{0}=a \cos \left(\omega_{1} \xi+\varphi\right), \quad B_{0}=-a \sin \left(\omega_{1} \xi+\varphi\right) .
\]

Здесь $\varphi$-постоянная. Решение для $u_{1}$ после исключения вековых членов будет иметь вид
\[
\begin{aligned}
u_{1}=\tilde{A}_{1}(\xi) \cos \omega_{0} \eta & +\tilde{B}_{1}(\xi) \sin \omega_{0} \eta+ \\
& +\frac{1}{32 \omega_{0}^{2}}\left(A_{0}^{3}-3 A_{0} B_{0}^{2}\right) \cos 3 \omega_{0} \eta- \\
& -\frac{1}{32 \omega_{0}^{2}}\left(B_{0}^{3}-3 A_{0}^{2} B_{0}\right) \sin 3 \omega_{0} \eta .
\end{aligned}
\]

Подставляя в $u_{0}$ и $u_{i}$ выражения для $A_{0}$ и $B_{0}$, получаем
\[
\begin{array}{l}
u_{0}=a \cos \theta, \\
u_{1}=A_{1}(\xi) \cos \theta+B_{1}(\xi) \sin \theta+\frac{a^{3}}{32 \omega_{0}^{2}} \cos 3 \theta,
\end{array}
\]

где принято обозначение
\[
\theta=\omega_{0} \eta+\omega_{1} \xi+\varphi .
\]

Заменив $u_{0}$ и $u_{1}$ в уравнении (6.3.6) их выражениями (6.3.15) (6.3.17), будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} u_{2}}{\partial \eta^{2}}+\omega_{0}^{2} u_{2}=-\left(2 \omega_{0} B_{1}^{\prime}+\frac{9}{4} a^{2} A_{1}-2 \omega_{0} \omega_{1} A_{1}-a \omega_{1}^{2}-2 a \omega_{2} \omega_{0}^{2}+\right. \\
\left.\quad+\frac{3}{128 \omega_{0}^{2}} a^{5}\right) \cos \theta-\left(-2 \omega_{0} A_{1}^{\prime}-2 \omega_{0} \omega_{1} B_{1}+\frac{3}{4} a^{2} B_{1}\right) \sin \theta+N S T .
\end{array}
\]

Вековые члены будут исключены при условиях $A_{1}=B_{1}=0$ и
\[
2 \omega_{0}^{2} \omega_{2}=-\omega_{1}^{2}+\frac{3}{128 \omega_{0}^{2}} a^{4}
\]

или иначе
\[
\omega_{2}=-\frac{15}{256 \omega_{0}^{4}} a^{4} .
\]

Следовательно, во втором приближении получим
\[
u=a \cos (\omega t+\varphi)+\frac{\varepsilon a^{3}}{32 \omega_{0}^{2}} \cos 3(\omega t+\varphi)+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\]

где
\[
\omega=\frac{d}{d t}\left(\omega_{0} \eta+\omega_{1} \xi\right)=\frac{d}{d t}\left[\left(\omega_{0}+\varepsilon \omega_{1}+\varepsilon^{2} \omega_{0} \omega_{2}+\ldots\right) t\right],
\]

или
\[
\omega=\omega_{0}+\frac{3 \varepsilon}{8 \omega_{0}} a^{2}-\frac{15 \varepsilon^{2}}{256 \omega_{c}^{3}} a^{4}+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\]

Это разложение вполне согласуется с разложениями, полученными в п. 3.1.1 с помощью метода Линдштедта-Пуанкаре, в п. 5.4.1-с помощью метода усреднения и в п. 6.2.1 – с помощью метода разложения производной.

6.3.2. Осциллятор Ван-дер-Поля

Вторым примером, рассматриваемым в этом параграфе, будет осциллятор Ван-дер-Поля
\[
\frac{d^{2} u}{d t^{2}}+u=\varepsilon\left(1-u^{2}\right) \frac{d u}{d t},
\]

который изучался в п. 5.4.2, 5.7.4 и 6.2.2. Предположим, что функция и допускает следующее равномерно пригодное разложе-

ние Коул и Кеворкян [1963], Кеворкян [1966a]:
\[
u=u_{0}(\xi, \eta)+\varepsilon u_{1}(\xi, \eta)+\varepsilon^{2} u_{2}(\xi, \eta)+\ldots,
\]

где переменные $\xi$ и $\eta$ определены в (6.3.3). Подставив (6.3.3) и (6.3.23) в (6.3.22) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial \eta^{2}}+u_{0}=0 \\
\frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial \eta^{2}}+u_{1}=-2 \frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial \xi \partial \eta}+\left(1-u_{0}^{2}\right) \frac{\partial u_{0}}{\partial \eta} \\
\frac{\partial^{2} u_{2}}{\partial \eta^{2}}+u_{2}=-2 \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial \xi \partial \eta}-\frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial \xi^{2}}-2 \omega_{2} \frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial \eta^{2}}+ \\
+\left(1-u_{0}^{2}\right)\left(\frac{\partial u_{1}}{\partial \eta}+\frac{\partial u_{0}}{\partial \xi}\right)-2 u_{0} u_{1} \frac{\partial u_{0}}{\partial \eta}
\end{array}
\]

Общее решение уравнения (6.3.24) имеет вид
\[
u_{0}=A_{0}(\xi) \cos \eta+B_{0}(\xi) \sin \eta .
\]

С его учетом уравнение (6.3.25) примет вид
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial \eta^{2}}+u_{1}= & {\left[-2 B_{0}^{\prime}+\left(1-\frac{A_{0}^{2}+B_{0}^{2}}{4}\right) B_{0}\right] \cos \eta+} \\
& +\left[2 A_{0}^{\prime}-\left(1-\frac{A_{0}^{2}+B_{0}^{2}}{4}\right) A_{0}\right] \sin \eta+ \\
& +\frac{1}{4}\left(A_{0}^{3}-3 A_{0} B_{0}^{2}\right) \sin 3 \eta+\frac{1}{4}\left(B_{0}^{3}-3 A_{0}^{2} B_{0}\right) \cos 3 \eta . \quad(6.2 .28)
\end{aligned}
\]

Для того чтобы вековые члены отсутствовали, необходимо выполнение следующих условий:
\[
\begin{aligned}
-2 B_{0}^{\prime}+\left(1-\frac{A_{0}^{2}+B_{0}^{2}}{4}\right) B_{0} & =0, \\
2 A_{0}^{\prime}-\left(1-\frac{A_{0}^{2}+B_{0}^{2}}{4}\right) A_{0} & =0 .
\end{aligned}
\]

Умножая уравнение (6.3.29) на $B_{0}$, а уравнение (6.3.30) на $A_{0}$ и вычитая из второго первое, получаем
\[
\rho^{\prime}-\rho\left(1-\frac{1}{4} \rho\right)=0 .
\]

Здесь $\rho$-квадрат амплитуды решения нулевого порядка, т. е.
\[
\rho=a^{2}=A_{0}^{2}+B_{0}^{2} .
\]
Интегрируя уравнение (6.3.31) методом разделения переменных, получим равенство
\[
a^{2}=\frac{4}{1+\left(\frac{4}{a_{0}^{2}}-1\right) e^{-\xi}},
\]

в котором $a_{0}$ – начальная амплитуда. Выразив $A_{0}$ и $B_{0}$ через фазу $\varphi$ и амплитуду $a$, получим
\[
A_{0}=a \cos \varphi, \quad B_{0}=-a \sin \varphi .
\]

Подставив эти выражения в одно из уравнений (6.3.29) или (6.3.20) и используя (6.3.31), получим
\[
\varphi^{\prime}=0 \quad \text { или } \varphi=\varphi_{0}=\text { const. }
\]

Следовательно, $u_{0}$ может быть записано в виде
\[
u_{0}=a \cos \left(\eta+\varphi_{0}\right) .
\]

С учетом условий (6.3.29) и (6.3.30) решение уравнения (6.3.28) будет иметь вид
\[
u_{1}=A_{1}(\xi) \cos \left(\eta+\varphi_{0}\right)+B_{1}(\xi) \sin \left(\eta+\varphi_{0}\right)-\frac{a^{3}}{32} \sin 3\left(\eta+\varphi_{0}\right) \text {. }
\]

Подставив $u_{0}$ и $u_{1}$ в (6.3.26), придем к следующему уравнению:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} u^{2}}{\partial \eta^{2}}+u_{2}=\left[-2 B_{1}^{\prime}+\left(1-\frac{1}{4} a^{2}\right) B_{1}-a^{\prime \prime}+2 \omega_{2} a+\left(1-\frac{3}{4} a^{2}\right) a^{\prime}+\right. \\
\left.+\frac{a^{5}}{128}\right] \cos \left(\eta+\varphi_{0}\right)+\left[2 A_{1}^{\prime}-\left(1-\frac{3}{4} a^{2}\right) A_{1}\right] \sin \left(\eta+\varphi_{0}\right)+N S T .
\end{array}
\]

Для исключения вековых членов потребуем, чтобы
\[
\begin{array}{c}
2 B_{1}^{\prime}-\left(1-\frac{1}{4} a^{2}\right) B_{1}=2 \omega_{2} a-a^{\prime \prime}+\left(1-\frac{3}{4} a^{2}\right) a^{\prime}+\frac{a^{5}}{128}, \\
2 A_{1}^{\prime}-\left(1-\frac{3}{4} a^{2}\right) A_{i}=0 .
\end{array}
\]

С помощью (6.3.31) и (6.3.32) эти уравнения примут вид
\[
\begin{aligned}
2 B_{1}^{\prime}-\frac{2 a^{\prime}}{a} B_{1} & =2 a\left(\omega_{2}+\frac{1}{16}\right)-\left(\frac{7}{16} a^{2}-\frac{1}{4}\right) a^{\prime}, \\
A_{1}^{\prime}-\left(\frac{3 a^{\prime}}{a}-1\right) A_{1} & =0 .
\end{aligned}
\]

Решениями полученных уравнений являются функции
\[
\begin{array}{l}
B_{1}=a\left(\omega_{2}+\frac{1}{16}\right) \xi-b_{1} a+\frac{1}{8} a \ln a-\frac{7}{64} a^{3}, \\
A_{1}=a_{1} a^{3} e^{-\xi},
\end{array}
\]

где $a_{1}$ и $b_{1}$-постоянные. При $t \rightarrow \infty$ имеем $\xi \rightarrow \infty$ и $a \rightarrow 2$. Поэтому отношение $u_{1} / u_{0}$ при $\xi \rightarrow \infty$ будет неограниченным, если только не выполнено условие
\[
\omega_{2}=-\frac{1}{16} .
\]

Во втором приближении, следовательно, будем иметь
\[
\begin{array}{l}
u=\left(a+\varepsilon a^{3} a_{1} e^{-\varepsilon t}\right) \cos \left[\left(1-\frac{1}{16} \varepsilon^{2}\right) t+\varphi_{0}\right]- \\
-\varepsilon\left\{\left(\frac{7}{64} a^{3}-\frac{1}{8} a \ln a+b_{1} a\right) \sin \left[\left(1-\frac{1}{16} \varepsilon^{2}\right) t+\varphi_{0}\right]+\right. \\
\left.+\frac{a^{3}}{32} \sin 3\left[\left(1-\frac{1}{16} \varepsilon^{2}\right) t+\varphi_{0}\right]\right\}+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\end{array}
\]

где
\[
a=\frac{2}{\sqrt{1+\left(\frac{4}{a_{0}^{2}}-1\right) e^{-\varepsilon t}}} .
\]

Отождествив $a_{0}$ с $\tilde{a}_{0}+\varepsilon \tilde{a}_{0}^{3} a_{1}$, заметим, что полученное разложение полностью согласуется с разложением (6.2.38), полученным с помощью метода разложения производной.

6.3.3. Устойчивость треугольных точек в эллиптической ограниченной задаче трех тел

Вновь рассмотрим задачу о параметрическом резонансе, которая была исследована в п. 6.2 .6 с помощью метода разложения производной. Математическое описание задачи дается соотношениями (3.1.63) – (3.1.65). Чтобы с помощью процедуры разложения по двум переменным найти равномерно пригодное разложение в окрестности переходных кривых, следует воспользоваться масштабами времени, отличными от (6.3.3). Подходящими масштабами времени являются следующие:
\[
\xi=\left(e+\omega_{2} e^{2}+\ldots\right) t, \quad \eta=t .
\]

Будем предполагать, что $x$ и $y$ допускают разложения вида
\[
\begin{array}{c}
x=x_{0}(\xi, \eta)+e x_{1}(\xi, \eta)+e^{2} x_{2}(\xi, \eta)+\ldots \\
y=y_{0}(\xi, \eta)+e y_{1}(\xi, \eta)+e^{2} y_{2}(\xi \eta)+\ldots .
\end{array}
\]

Алгебраические детали построения решения здесь не приводятся. Подробности, связанные с решением первого порядка, будут такими же, как в п. 6.2 .6 при $\xi=T_{1}$ и $\eta=T_{0}$. Читателя, интересующегося деталями решения второго порядка, отсылаем к Олфренду и Рэнду [1969]. Их результаты полностью согласуются с результатами, полученными в п. 3.1.5 с помощью метода Уиттекера.

6.3.4. Ограничения рассматриваемой методики

Приведенные выше примеры показывают, что при подходящем выборе двух переменных результаты, полученные с помощью процедуры разложения по двум переменным, согласуются с результатами, полученными с помощью метода разложения производной. В некоторых случаях для получения равномерно пригодных разложений необходимо использовать более двух переменных. Такая ситуация имела место в задаче о движении спутника вокруг малой планеты в ограниченной задаче трех тел Экштейн, Ши и Кеворкян [1966a] и в задаче о движении искусственного спутника, период обращения которого сойзмерйм с периодом вращения планеты Ши и Экштейн [1968].

В случае гиперболических уравнений рассматриваемая методика, так же как и метод разложения производной, применима только к волновым задачам с диспергирующими волнами. В задачах, в которых дисперсия отсутствует, подобных задаче, рассмотренной в п. 6.2.10, этот метод не позволяет получать решения.