Как следует из приведенного выше обсуждения, этот метод основан на наличии параметра задачи, зависящего от величины возмущений. В следующих параграфах показано, что этим параметром может быть частота в слабо нелинейной системе, энергетические уровни в задачах квантовой механики, характеристический показатель в нормальном решении линейной задачи с периодическими коэффициентами, волновое число или частота в колебаниях плазмы и волновая скорость или частота поверхностных волн конечной амплитуды.
3.1.1. Метод Линдштедта — Пуанкаре

Простые примеры из п. 1.1.2 и 2.1.1 показывают, что усеченные прямые разложения по степеням $\epsilon$ уравнения вида
$$\ddot{u}+{\omega }_0^{2}u=\epsilon f(u,\dot{u})$$

пригодны лишь для короткого интервала времени из-за наличия вековых членов. Сущность метода Линдштедта-Пуанкаре заключается в том, чтобы предотвратить появление вековых членов введением новой переменной
$$t=s(1+\epsilon {\omega }_1+{\epsilon }^2{\omega }_2+\dots ).$$

Тогда (3.1.1) примет вид
$$\begin{array}{l}{(1+\epsilon {\omega }_1+{\epsilon }^2{\omega }_2+\dots )}^{-2}\frac{d^{2}u}{d{s}^2}+{\omega }_0^{2}u=\\ =\epsilon f[u,{(1+\epsilon {\omega }_1+{\epsilon }^2{\omega }_2+\dots )}^{-1}\frac{du}{ds}].\end{array}$$

Положим в (3.1.3)
$$u=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\epsilon }^n{u}_n.$$

Приравняв коэффициенты при равных степенях $\epsilon$, получим уравнения для последовательного определения $u_m$. Решения для $u_m$ не содержат вековых членов только при определенных значения х ${\omega }_m$.

Этот метод применялся для широкого круга физических и математических задач. Например, Келлер [1968] модифицировал этот метод для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Сочетание этого метода с методом Ритца-Галеркина часто используется при исследовании динамической реакции упругого тела (например, Хан [1965]; Бауэр [1968]; Свит [1971]). Рассмотрим в качестве примера уравнение Дюффинга:
$$\frac{d^{2}u}{d{t}^2}+u+\epsilon u^3=0.$$

Применив преобразование (3.1.2), получим
$$\frac{d^{2}u}{d{s}^2}+{(1+\epsilon {\omega }_1+{\epsilon }^2{\omega }_2+\dots )}^2(u+\epsilon u^3)=0.$$

Подставив (3.1.4) в (3.1.6) и приравняв коэффициенты при равных степенях $\epsilon$, получим
$$\begin{array}{l}\frac{d^2{u}_0}{d{s}^2}+u_0=0,\\ \frac{d^2{u}_1}{d{s}^2}+u_1=-u_0^8-2{\omega }_1{u}_0,\\ \frac{d^2{u}_2}{d{s}^2}+u_2=-3u_0^2{u}_1-2{\omega }_1(u_1+u_0^8)-({\omega }_1^2+2{\omega }_2)u_0.\end{array}$$

Общее решение уравнения (3.1.7) имеет вид
$$u_0=a\cos (s+\phi )\text{, }$$

где $a$ и $\phi$-постоянные интегрирования. Тогда (3.1.8) с учетом (3.1.10) преобразуется к виду:
$$\frac{d^2{u}_1}{d{s}^2}+u_1=-\frac{1}{4}{a}^3\cos 3(s+\phi )-(\frac{3}{4}{a}^2+2{\omega }_1)a\cos (s+\phi )\text{. }$$

Если использовать прямое возмущенное разложение, то ${\omega }_n\equiv 0$ и уравнение (3.1.11) перейдет в (2.1.7), частное решение которого содержит вековые члены. Чтобы избежать появления этих вековых членов, ${\omega }_{\text{и }}$ выбирается так, чтобы коэффициент при $\cos (s+\phi )$ в правой части уравнения (3.1.11) исчез. Из этого условия определяем ${\omega }_1$ :
$${\omega }_1=-\frac{3}{8}{a}^2.$$

Тогда решением уравнения (3.1.11) будет
$$u_1=\frac{1}{32}{a}^s\cos 3(s+\phi ).$$

Подставляя выражения для $u_0,u_1$ и ${\omega }_1$ в (3.1.9), получаем
$$\frac{d^2{u}_2}{d{s}^2}+u_2=(\frac{51}{128}{a}^4-2{\omega }_2)a\cos (s+\phi )+NST\text{, }$$

где через NST обозначены слагаемые, не порождающие вековых членов. Вековые члены уничтожатся, если
$${\omega }_2=\frac{51}{256}{a}^4.$$

Поэтому
$$u=a\cos (\omega t+\theta )+\frac{\epsilon }{32}{a}^3\cos 3(\omega t+\theta )+O\left({\epsilon }^2\right),$$

где $a$ и $\theta$-постоянные интегрирования, и
$$\begin{array}{l}\omega ={(1-\frac{3}{8}{a}^2\epsilon +\frac{51}{256}{a}^4{\epsilon }^2+\dots )}^{-1}=\\ =1+\frac{3}{8}{a}^2\epsilon -\frac{15}{256}{a}^4{\epsilon }^2+O\left({\epsilon }^3\right).\end{array}$$

3.1.2. Переходные кривые для уравнения Матьё

В качестве второго примера найдем переходную кривую, разделяющую устойчивые и неустойчивые решения уравнения Матьё:
$$\ddot{u}+(\delta +\epsilon \cos 2t)u=0.$$

Это уравнение изучалось довольно интенсивно. Оно является частным случаем уравнения Хилла, которое в свою очередь является линейным дифференциальным уравнением с периодическими коэффициентами. Аналогичные уравнения появляются во многих задачах прикладной математики, в частности в задачах об устойчивости поперечной колонны, подверженной периодической продольной нагрузке; об устойчивости периодических решений нелинейных консервативных систем; о распространении электромагнитных волн в среде с периодической структурой; о движении Луны, а также в задачах о возбуждении некоторых электрических систем.

Качественную природу уравнения (3.1.17) можно описать, используя теорию Флоке (см., например, Коддингтон и Левинсон $[1955$, гл. 3]). Это уравнение имеет нормальное решение вида
$$u=e^{\gamma t}\phi (t),$$

где $\phi$-периодическая функция $t$ с периодом $\pi$ или $2\pi ,\gamma$-действительное или комплексное число, зависящее от $\delta$ и $\epsilon$. В теории Флоке показано, что переходная кривая в плоскости $\delta -\epsilon$, разделяющая устойчивые и неустойчивые решения, соответствует периодическим решениям уравнения (3.1.17). Некоторые из этих кривых будут найдены ниже с помощью разложений $\delta$ и $и$ как

функций от $\epsilon$. Положим
$$\begin{array}{rl}\delta & =n^2+\epsilon {\delta }_1+{\epsilon }^2{\delta }_2+\dots ,\\ u(t)& =u_0+\epsilon u_1+{\epsilon }^2{u}_2+\dots ,\end{array}$$

где $n$-целое число или нуль, а отношение $u_m/u_0$ ограничено для всех $m$. Последнее требование необходимо для того, чтобы (3.1.20) было равномерно пригодным асимптотическим разложением.

Подставляя (3.1.19) и (3.1.20) в (3.1.17), раскладывая (3.1.17) в ряд по $\epsilon$ и приравнивая коэффициенты при равных степенях $\epsilon$, получим
$$\begin{array}{l}{\ddot{u}}_0+n^2{u}_0=0,\\ {\ddot{u}}_1+n^2{u}_1=-({\delta }_1+\cos 2t)u_0,\\ {\ddot{u}}_2+n^2{u}_2=-({\delta }_1+\cos 2t)u_1-{\delta }_2{u}_0.\end{array}$$

Решение уравнения нулевого порядка имеет вид
$$u_0=\{\begin{array}{l}\cos nt,\\ \sin nt.\end{array}n=0,1,2,\dots .$$

Найдем высшие приближения в случаях $n=0,1$ и 2 .
Случай $n=0$
В этом случае $u_0=1$ и (3.1.22) примет вид
$$\ddot{u_1}=-{\delta }_1-\cos 2t\text{. }$$

Для того чтобы (3.1.20) было равномерно пригодным асимптотическим разложением, ${\delta }_1$ должно обратиться в нуль, поэтому
$$u_1=\frac{1}{4}\cos 2t+c\text{, }$$

где $c$-постоянная. При известных $u_0$ и $u_1$ уравнение (3.1.23) примет вид
$${\ddot{u}}_2=-{\delta }_2-\frac{1}{8}-c\cos 2t-\frac{1}{8}\cos 4t.$$

Для того чтобы отношение $u_2/u_0$ было ограниченным, необходимо, чтобы ${\delta }_2=-1/8$, следовательно,
$$\delta =-\frac{1}{8}{\epsilon }^2+O\left({\epsilon }^3\right).$$

Случай $n=1$
В этом случае $u_0=\cos t$ или $\sin t$. Положим $u_0=\cos t$, тогда (3.1.22) примет вид
$${\ddot{u}}_1+u_1=-({\delta }_1+\frac{1}{2})\cos t-\frac{1}{2}\cos 3t.$$

Для ограниченности отношения $u_1/u_0$ величина ${\delta }_1$ должна быть равна ${\delta }_1=-1/2$, и поэтому
$$u_1=\frac{1}{16}\cos 3t.$$

Уравнение (3.1.23) тогда примет вид
$${\ddot{u}}_2+u_2=-(\frac{1}{32}+{\delta }_2)\cos t+\frac{1}{32}\cos 3t-\frac{1}{32}\cos 5t.$$

Условие ограниченности отношения $u_2/u_0$ приводит к равенству ${\delta }_2=-1/3$, откуда получим
$$\delta =1-\frac{1}{2}\epsilon -\frac{1}{32}{\epsilon }^2+O\left({\epsilon }^3\right).$$

Если бы мы использовали в качестве нулевого приближения $u_0=\sin t$, мы получили бы переходную кривую
$$\delta =1+\frac{1}{2}\epsilon -\frac{1}{32}{\epsilon }^2+O\left({\epsilon }^3\right).$$

Случай $n=2$
В этом случае $u_0=\cos 2t$ или $\sin 2t$. В первом случае уравнение (3.1.22) предстанет в виде
$${\ddot{u}}_1+4u_1=-\frac{1}{2}-{\delta }_1\cos 2t-\frac{1}{2}\cos 4t.$$

Поскольку отношение $u_1/u_0$ должно быть ограниченным, ${\delta }_1$ должно обратиться в нуль. Поэтому
$$u_i=-\frac{1}{8}+\frac{1}{24}\cos 4t\text{. }$$

Подставляя выражения для $u_0$ и $u_1$ в (3.1.23), получаем
$${\ddot{u}}_2+4u_2=-({\delta }_2-\frac{5}{48})\cos 2t-\frac{1}{48}\cos 6t.$$

Из условия ограниченности $u_2/u_0$ следует, что ${\delta }_2=5/48$, поэтому
$$\delta =4+\frac{5}{48}{\epsilon }^2+O\left({\epsilon }^3\right).$$

Положив $u_0=\sin 2t$, придем к равенству
$$\delta =4-\frac{1}{48}{\epsilon }^2+O\left({\epsilon }^3\right).$$

3.1.3. Характеристические показатели для уравнения

Матьё (метод Уиттекера)
В теории Флоке (см., например, Коддингтон и Левинсон [1955], гл. 3) показано, что уравнение (3.1.17) имеет решение вида (3.1.18), где $\phi$-периодическая функция с периодом $\pi$ или $2\pi$, а $\gamma$-действительная или комплексная постоянная. После подстановки (3.1.18) в (3.1.17) и соответствующих преобразований получим
$$\ddot{\phi }+2\gamma \dot{\phi }+(\delta +{\gamma }^2+\epsilon \cos 2t)\phi =0.$$

Поскольку переходная кривая соответствует $\gamma =0$, то вблизи нее можно получить приближение для $\phi$ (Уиттекер [1914]), введя следующие разложения для $\phi ,\delta$ и $\gamma$ :
$$\begin{array}{rl}\phi & ={\phi }_0+\epsilon {\phi }_1+{\epsilon }^2{\phi }_2+\dots ,\\ \delta & ={\delta }_0+\epsilon {\delta }_1+{\epsilon }^2{\delta }_2+\dots ,\\ \gamma & =\epsilon {\gamma }_1+{\epsilon }^2{\gamma }_2+\dots \end{array}$$

Ниже будет получено решение в случае ${\delta }_0=1$.
Подставив (3.1.40)-(3.1.42) в (3.1.39) и приравняв коэффициенты при равных степенях $\epsilon$, получим
$$\begin{array}{c}{\ddot{\phi }}_0+{\phi }_0=0,\\ {\ddot{\phi }}_1+{\phi }_1=-2{\gamma }_1{\phi }_0-({\delta }_1+\cos 2t){\phi }_0,\\ {\ddot{\phi }}_2+{\phi }_2=-2{\gamma }_1{\dot{\phi }}_1-2{\gamma }_2{\dot{\phi }}_0-({\gamma }_1^2+{\delta }_2){\phi }_0-({\delta }_1+\cos 2t){\phi }_1.\end{array}$$

Общее решение уравнения (3.1.43) имеет вид
$${\phi }_0=a\cos t+b\sin t,$$

где $a$ и $b$-постоянные. Таким образом, уравнение (3.1.44) преобразуется к виду
$$\begin{array}{c}{\ddot{\phi }}_1+{\phi }_1=[2{\gamma }_{1}a+(\frac{1}{2}-{\delta }_1)b]\sin t-[2{\gamma }_{1}b+(\frac{1}{2}+{\delta }_1)a]\cos t-\\ -\frac{1}{2}a\cos 3t-\frac{1}{2}b\sin 3t.\end{array}$$

Так как $\phi$-периодическая функция, то слагаемые, которые порождают вековые члены, должны исчезнуть, т. е.
$$\begin{array}{l}2{\gamma }_{1}a+(\frac{1}{2}-{\delta }_1)b=0,\\ (\frac{1}{2}+{\delta }_1)a+2{\gamma }_{1}b=0.\end{array}$$

Для существования нетривиального решения этой системы уравнений относительно $a$ и $b$ необходимо, чтобы ее определитель

был равен нулю, т. е.
$${\gamma }_1^2=-\frac{1}{4}({\delta }_1^2-\frac{1}{4}).$$

Далее
$$b=\frac{2{\gamma }_1}{{\delta }_1-\frac{1}{2}}a.$$

Решение уравнения (3.1.47), подчиненное условиям (3.1.48), (3.1.49), имеет вид
$${\phi }_1=\frac{1}{16}a\cos 3t+\frac{1}{16}b\sin 3t.$$

Использовав полученные выше результаты, перепишем (3.1.45) в виде
$$\begin{array}{l}{\ddot{\phi }}_2+{\phi }_2=[2{\gamma }_{2}a-({\delta }_2+{\gamma }_1^2+\frac{1}{32})b]\sin t-\\ -[({\delta }_2+{\gamma }_1^2+\frac{1}{32})a+2{\gamma }_{2}b]\cos t+NST.\end{array}$$

Вековые члены исчезнут, если
$$\begin{array}{l}2{\gamma }_{2}a-({\delta }_2+{\gamma }_1^2+\frac{1}{32})b=0,\\ ({\delta }_2+{\gamma }_1^2+\frac{1}{32})a+2{\gamma }_{2}b=0.\end{array}$$

Поскольку $b$ и $a$ связаны соотношением (3.1.51), то (3.1.54) и (3.1.55) могут быть одновременно удовлетворены тогда и только тогда, когда
$${\gamma }_2=0\text{ и }{\delta }_2=-{\gamma }_1^2-\frac{1}{32}.$$

Поэтому для первого приближения имеем
$$\begin{array}{l}u=a{e}^{\pm (1/2)\epsilon t\sqrt{(1/4)-{\delta }_1^2}}[(\cos t+\frac{1}{16}\epsilon \cos 3t)+\\ +\frac{2{\gamma }_1}{{\delta }_1-\frac{1}{2}}(\sin t+\frac{1}{16}\epsilon \sin 3t)]+O\left({\epsilon }^2\right)\text{, }\\ \delta =1+\epsilon {\delta }_1+\frac{1}{4}{\epsilon }^2({\delta }_1^2-\frac{3}{8})+O\left({\epsilon }^3\right).\end{array}$$

Обозначим
$${\delta }_1=\frac{1}{2}\cos 20$$

тогда
$$\begin{array}{c}{\gamma }_1=\frac{1}{4}\sin 2\sigma ,{\delta }_2=\frac{1}{32}(\cos 4\sigma -2),\\ \frac{b}{a}=\frac{\sin 2\sigma }{\cos 2\sigma -1}=-\mathrm{ctg}\sigma .\end{array}$$

Следовательно, (3.1.57) и (3.1.58) примут вид
$$\begin{array}{c}u=\tilde{a}{e}^{(1/4)(\sin 2\sigma )\epsilon t}[\sin (t-\sigma )+\frac{1}{16}\epsilon \sin (3t-\sigma )]+O\left({\epsilon }^2\right),\\ \delta =1+\frac{1}{2}\epsilon \cos 2\sigma +\frac{1}{32}{\epsilon }^2(\cos 4\sigma -2)+O\left({\epsilon }^3\right),\end{array}$$

где $\tilde{a}$-постоянная.

3.1.4. Устойчивость треугольных точек в эллиптической ограниченной задаче трех тел

Рассмотрим систему четвертого порядка с периодическими коэффициентами, связанную с устойчивостью треугольных точек в эллиптической ограниченной задаче трех тел. Математически задача определяется системой уравнений
$$\begin{array}{l}{x}^{\prime \prime }-2y^{\prime }-\frac{h_{2}x}{1+e\cos f}=0,\\ y^{\prime \prime }+2x^{\prime }-\frac{h_{1}y}{1+e\cos f}=0,\end{array}$$

где штрихом обозначено дифференцирование по $f$ и
$$h_{1,2}=\frac{3}{2}[1\pm \sqrt{1-3\mu (1-\mu )}].$$

Уравнения (3.1.63) — (3.1.65) описывают движение частицы, линеаризованное около треугольных точек в ограниченной задаче трех тел. Здесь $e$-эксцентриситет орбиты двух масс, $\mu$-отношение меньшей массы к сумме двух масс. В случае $e=0$ известно, что движение устойчиво при $0⩽\mu <\tilde{\mu }\approx 0,03852$ и неустойчиво при $\mu ⩾{\tilde{\mu }}^1$ ). Иначе говоря, $\tilde{\mu }$ определяет точку пересечения переходной кривой, разделяющей устойчивые и неустойчивые движе-
1) Этот результат справедлив лишь в линейном приближении. Анализ устойчивости треугольных точек либрации в круговой ограниченной задаче трех тел, основанный на точных нелинейных уравнениях и использующий результаты В. И. Арнольда [1963], был проведен в работах А. М. Леонтовича [1963], Депри [1962] и Депри-Бартоломе [1967] и А. П. Маркеева [1968], [1969]. Окончательный результат состоит в том, что точки либрации устойчивы для всех $0<\mu <\tilde{\mu }$, кроме двух критических значений ${\mu }_1^{\ast }=0,0135160$ и ${\mu }_2^{\ast }=$ $=0,0242938$, для которых они неустойчивы.-Прим. ред.

ния, с осью $\mu$ в плоскости $\mu —e$. Кроме того, как известно из теории Флоке, переходным кривым соответствуют периодические решения с периодами $2\pi$ и $4\pi$. В интервале $0⩽\mu <\tilde{\mu }$ период $2\pi$ соответствует $\mu =0$, а период $4\pi$ соответствует ${\mu }_0=(1-2\sqrt{2}/3)/2$. Через точку $\mu =0$ проходит переходная кривая, совпадающая с осью $e$. Ниже мы приведем анализ, данный Найфэ и Кемелом [1970a], и определим переходную кривую, пересекающую ось $\mu$ в точке ${\mu }_0$.
Предположим
$$\begin{array}{l}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^n{x}_n(f),\\ y=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^n{y}_n(f),\\ \mu =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^n{\mu }_n.\end{array}$$

Подставив (3.1.68) в (3.1.65) и разложив при малых $e$, получим
$$\begin{array}{l}{h}_1=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n({\mu }_0,{\mu }_1,\dots ,{\mu }_n)e^n,\\ h_2=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n({\mu }_0,{\mu }_1,\dots ,{\mu }_n)e^n,\end{array}$$

где
$$\begin{array}{c}{a}_0,b_0=[\frac{3}{2}(1+k),\frac{3}{2}(1-k)],k=\sqrt{\frac{\pi }{12}},\\ b_1=-a_1=3\sqrt{\frac{\bar{6}}{11}}{\mu }_1.\end{array}$$

Подставив затем (3.1.66)-(3.1.70) в (3.1.63) и (3.1.64) и приравняв коэффициенты при равных степенях $e$, получим
$$\begin{array}{l}{x}_n^{\prime \prime }-2y_n^{\prime }=\sum _{\begin{array}{c}t=0,s=0,r=0\\ n=s+t+t\end{array}}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^t{x}_r{b}_s{\cos }^{t}f,\\ y_n^{\prime \prime }+2x_n^{\prime }=\sum _{\begin{array}{c}t=0,s=0,r=0\\ n=t+s+r\end{array}}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^t{y}_r{a}_s{\cos }^{t}f.\end{array}$$

Уравнения нулевого порядка допускают следующие периодические решения с периодом $4\pi$ :
$$\begin{array}{ll}{x}_0=\cos \tau ,& y_0=-\alpha \sin \tau ,\\ x_0=\sin \tau ,& y_0=\alpha \cos \tau ,\end{array}$$

где
$$\tau =\frac{f}{2},\alpha =b_0+\frac{1}{4}={(a_0+\frac{1}{4})}^{-1}=\frac{1}{4}(7-\sqrt{33}).$$

Существуют две переходные кривые, пересекающие ось $\mu$ при $\mu ={\mu }_0$, соответствующие указанным двум независимым решениям. Взяв решение (3.1.75), мы получим следующую задачу для первого приближения:
$$\begin{array}{c}{x}_1^{\prime \prime }-2y_1^{\prime }-b_0{x}_1=(b_1-\frac{1}{2}{b}_0)\cos \tau -\frac{1}{2}{b}_0\cos 3\tau ,\\ y_1^{\prime \prime }+2x_1^{\prime }-a_0{y}_1=-\alpha (a_1+\frac{1}{2}{a}_0)\sin \tau +\frac{1}{2}\alpha a_0\sin 3\tau .\end{array}$$

Члены, пропорциональные $\cos \tau$ и $\sin \tau$, приводят к появлению вековых членов в частном решении для $x_1$ и $y_1$. Чтобы определить необходимые условия уничтожения вековых членов, рассмотрим частное решение вида
$$x_p=0,y_p=c\sin \tau .$$

Подставив (3.1.80) в (3.1.78) и (3.1.79) и приравняв коэффициенты при $\cos \tau$ и $\sin \tau$, получим
$$c=-(b_1-\frac{b_0}{2}),c(a_0+\frac{1}{4})=\alpha (a_1+\frac{a_0}{2}).$$

Условие обращения $c$ в нуль приводит к равенству
$$b_1-\frac{1}{2}{b}_0=-{\alpha }^2(a_1+\frac{1}{2}{a}_0).$$

Так как $b_1=-a_1$, то
$$b_1=\frac{b_0-a_0{\alpha }^2}{2(1-{\alpha }^2)}\approx -0,1250.$$

Поэтому из (3.1.72) получаем
$${\mu }_1\approx -0,05641.$$

Таким образом, переходная кривая с точностью до первого порядка имеет вид
$$\mu =0,02859-0,05641e+O\left(e^2\right).$$

Если бы мы использовали решение (3.1.76) для задачи нулевого порядка, мы бы получили вторую ветвь
$$\mu =0,02859+0,05641e+O\left(e^2\right).$$

Приведенное выше исследование можно непосредственно продолжить до высших порядков. Оно было выполнено Найфэ и Кемелом [1970a] вплоть до четвертого порядка.

3.1.5. Характеристические показатели для треугольных точек в эллиптической ограниченной задаче трех тел

Из теории Флоке известно, что уравнения (3.1.63) и (3.1.64) имеют нормальные решения вида
$$x,y=e^{\gamma f}[\phi (f),\psi (f)],$$

где $\phi$ и $\psi$-периодические функции с периодом $2\pi$ и $4\pi ,\gamma -$ действительное или комплексное число. Подстановка (3.1.87) в (3.1.63) и (3.1.64) приводит к
$$\begin{array}{l}{\phi }^{\prime \prime }+2\gamma {\phi }^{\prime }-2{\psi }^{\prime }+{\gamma }^2\phi -2\gamma \psi -\frac{h_2\phi }{1+e\cos f}=0,\\ {\psi }^{\prime \prime }+2\gamma {\psi }^{\prime }+2{\phi }^{\prime }+{\gamma }^2\psi +2\gamma \phi -\frac{h_1\psi }{1+e\cos f}=0.\end{array}$$

Переходная кривая соответствует $\gamma =0$, следовательно, вблизи этой переходной кривой $\gamma$ мало. Поэтому для того, чтобы получить разложения для $\phi$ и $\psi$, пригодные вблизи переходной кривой, пересекающей ось $\mu$ в точке ${\mu }_0$, положим
$$\begin{array}{l}\phi ={\phi }_0+e{\phi }_1+\dots ,\\ \psi ={\psi }_0+e{\psi }_1+\dots ,\\ \gamma =e{\gamma }_1+\dots ,\\ \mu ={\mu }_0+e{\mu }_1+\dots .\end{array}$$

Подставляя (3.1.90) — (3.1.93) в (3.1.88), (3.1.89) и (3.1.65) и приравнивая члены с равными степенями $e$, получим
Нулевой порядок ( $e^0$ )
$$\begin{array}{l}{\phi }_0^{\prime \prime }-2{\psi }_0^{\prime }-b_0{\phi }_0=0,\\ {\psi }_0^{\prime \prime }+2{\phi }_0^{\prime }-a_0{\psi }_0=0.\end{array}$$

Первый порядок ( $е$ )
$$\begin{array}{l}{\phi }_1^{\prime \prime }-2{\psi }_1^{\prime }-b_0{\phi }_1=-2{\gamma }_1{\phi }_0^{\prime }+2{\gamma }_1{\psi }_0+b_1{\phi }_0-b_0{\phi }_0\cos f,\\ {\psi }_1^{\prime \prime }+2{\psi }_1^{\prime }-a_0{\phi }_1=-2{\gamma }_1{\psi }_0^{\prime }-2{\gamma }_1{\phi }_0+a_1{\psi }_0-a_0{\psi }_0\cos f.\end{array}$$

Общее решение уравнений (3.1.94) и (3.1.95) имеет вид
$$\begin{array}{l}{\phi }_0=A\cos \tau +B\sin \tau ,\\ {\psi }_0=\alpha B\cos \tau -\alpha A\sin \tau .\end{array}$$

Это решение определяет правые части уравнений (3.1.96) и (3.1.97), поэтому
$$\begin{array}{l}{\phi }_1^{\prime \prime }-2{\psi }_1^{\prime }-b_0{\phi }_1=P_{11}\cos \tau +Q_{11}\sin \tau -\\ -\frac{1}{2}{b}_{0}A\cos 3\tau -\frac{1}{2}{b}_{0}B\sin 3\tau ,\\ {\psi }_1^{\prime \prime }+2{\phi }_1^{\prime }-a_0{\psi }_1=P_{12}\cos \tau +Q_{12}\sin \tau -\\ —\frac{1}{2}{a}_0\alpha B\cos 3\tau +\frac{1}{2}{a}_0\alpha A\sin 3\tau ,\end{array}$$

где
$$\begin{array}{l}{P}_{11}={\gamma }_1(2\alpha -1)B+(b_1-\frac{b_0}{2})A,\\ P_{12}={\gamma }_1(\alpha -2)A+\alpha (a_1-\frac{a_0}{2})B,\\ Q_{11}=-{\gamma }_1(2\alpha -1)A+(b_1+\frac{b_0}{2})B,\\ Q_{12}={\gamma }_1(\alpha -2)B-\alpha (a_1+\frac{a_0}{2})A.\end{array}$$

Так как функции $\phi$ и $\psi$-периодические, то вековые члены в решениях для ${\phi }_1$ и ${\psi }_1$ должны исчезнуть. Чтобы уничтожить эти вековые члены, положим
$${\phi }_1=0,{\psi }_1=c_1\cos \tau +c_2\sin \tau .$$

Подставив (3.1.102) в (3.1.100) и (3.1.101) и приравняв коэффициенты при $\sin \tau$ и $\cos \tau$ в обеих частях уравнений, получим
$$\begin{array}{rl}{c}_1& =Q_{11},\\ -(a_0+\frac{1}{4})c_1& =P_{12},& -c_2& =P_{11},\\ (a_0+\frac{1}{4})c_2& =Q_{12}.\end{array}$$

Исключение $c_1$ и $c_2$ из (3.1.103) дает
$$P_{11}=\alpha Q_{12},Q_{11}=-\alpha P_{12}.$$

После подстановки выражений для $P$ и $Q$ в (3.1.104) и перегруппировки членов получим
$$\begin{array}{l}[b_1-\frac{b_0}{2}+{\alpha }^2(a_1+\frac{a_0}{2})]A-{\gamma }_1(1-4\alpha +{\alpha }^2)B=0,\\ {\gamma }_1(1-4\alpha +{\alpha }^2)A+[b_1+\frac{b_0}{2}+{\alpha }^2(a_1-\frac{a_0}{2})]B=0.\end{array}$$

Для существования нетривиального решения системы уравнений (3.1.105), (3.1.106) относительно $A$ и $B$ ее определитель должен обратиться в нуль. Это условие приводит к равенству
$${\gamma }_1^2=-\frac{[b_1-\frac{1}{2}{b}_0+{\alpha }^2(a_1+\frac{1}{2}{a}_0)][b_1+\frac{1}{2}{b}_0+{\alpha }^2(a_1-\frac{1}{2}{a}_0)]}{{(1-4\alpha +{\alpha }^2)}^2}.$$

Далее
$$\frac{B}{A}=\frac{b_1-\frac{1}{2}{b}_0+{\alpha }^2(a_1+\frac{1}{2}{a}_0)}{{\gamma }_1(1-4\alpha +{\alpha }^2)}=\mathrm{tg}\sigma .$$

Поэтому для первого приближения получим
$$x_{3}y=e^{e{\gamma }_1}[\cos (\frac{1}{2}f-\sigma ),-\alpha \sin (\frac{1}{2}f-\sigma )]+O(e)$$

Переходная кривая (3.1.85), (3.1.86) соответствует ${\gamma }_1=0$, а (3.1.75) и (3.1.76) можно получить из (3.1.109), положив ${\gamma }_1=0$ и $\sigma =0$ или $\pi /2$.

Настоящий анализ можно непосредственно продолжить до более высоких порядков, несмотря на сложность алгебраических выкладок. Найфэ [1970а] получил разложение до второго порядка.

3.1.6. Простая линейная задача на собственные значения

Рассмотрим теперь задачу определения собственного значения $\lambda$ и собственной функции $u$, где
$$\begin{array}{c}{u}^{\prime \prime }+[\lambda +\epsilon f(x)]u=0,f(x)=f(-x),\\ u(0)=u(1)=0\end{array}$$

и $\epsilon$-малый параметр. Если $\epsilon =0$, то собственные функции и собственные значения соответственно будут равны
$$\begin{array}{c}{u}_n=\sqrt{2}\sin n\pi x,n=1,2,3,\dots ,\\ {\lambda }_n=n^2{\pi }^2.\end{array}$$

Вышеприведенные собственные функции ортонормированы, т. е.
$${\int }_0^1{u}_n(x)u_m(x)dx={\delta }_{mn}$$

где ${\delta }_{mn}$-символ Кронекера, определяемый следующим образом:
$${\delta }_{mn}=\{\begin{array}{ll}0,& meqn,\\ 1,& m=n.\end{array}$$

Для малых ненулевых $\epsilon$ получим приближенное значение для $u_n$ и ${\lambda }_n$, положив
$$\begin{array}{l}{u}_n=V\overrightarrow{2}\sin n\pi x+\epsilon u_{n1}+{\epsilon }^2{u}_{n2}+\dots ,\\ {\lambda }_n=n^2{\pi }^2+\epsilon {\lambda }_{n1}+{\epsilon }^2{\lambda }_{n2}+\dots .\end{array}$$

Подставляя (3.1.115) и (3.1.116) в (3.1.110) и (3.1.111) и приравнивая коэффициенты при равных степенях $\epsilon$, получим
$$\begin{array}{c}{u}_{n1}^n+n^2{\pi }^2{u}_{n1}=-f(x)u_{n0}-{\lambda }_{n1}{u}_{n0},\\ u_{n1}(0)=u_{n1}(1)=0,\\ u_{n2}^{\prime \prime }+n^2{\pi }^2{u}_{n2}=-f(x)u_{n1}-{\lambda }_{n1}{u}_{n1}-{\lambda }_{n2}{u}_{n0},\\ u_{n2}(0)=u_{n1}(1)=0.\end{array}$$

Здесь задача нулевого порядка тождественно удовлетворяется и $u_{n_0}=\sqrt{2}\sin n\pi x$.

Будем предполагать, что $u_{n1}$ может быть выражено в виде линейной комбинации собственных функций нулевого порядка $u_{n0}$, т. е.
$$u_{n1}=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{nm}\sqrt{2}\sin m\pi x.$$

Это решение удовлетворяет граничным условиям для $u_{n1}$. Подставляя (3.1.119) в (3.1.117), получаем
$$\begin{array}{r}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\sqrt{2}{\pi }^2(n^2-m^2)a_{nm}\sin m\pi x=-\sqrt{2}f(x)\sin n\pi x-\\ -\sqrt{2}{\lambda }_{n1}\sin n\pi x.\end{array}$$

Умножая (3.1.120) на $\sqrt{2}\sin k\pi x$, интегрируя от 0 до 1 и используя свойство ортонормированности (3.1.114) собственных функций (3.1.112), получаем
$${\pi }^2(n^2-k^2)a_{nk}=-F_{nk}-{\lambda }_{n1}{\delta }_{nk},$$

где
$$F_{nk}=2{\int }_0^{1}f(x)\sin n\pi x\sin k\pi xdx.$$

Если $k=n$, то левая часть (3.1.121) обратится в нуль. Следовательно,
$${\lambda }_{n1}=-F_{nn}=-2{\int }_0^{1}f(x){\sin }^{2}n\pi xdx.$$

Однако при $keqn$
$$a_{nk}=-\frac{F_{nk}}{{\pi }^2(n^2-k^2)}.$$

Условие (3.1.123) эквивалентно уничтожению вековых членов. В этом случае функции $u_{n1}$ будут
$$u_{n1}=-\sum _{keqn}\frac{F_{nk}}{{\pi }^2(n^2-k^2)}\sqrt{2}\sin k\pi x+a_{nn}\sqrt{2}\sin n\pi x.$$

Заметим, что $a_{nn}$ еще не определены, но в окончательном решении они определяются нормировкой $u_n$.
Переходя ко второму порядку, предположим, что
$$u_{n2}=\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_{nr}\sqrt{2}\sin r\pi x.$$

Подставляя выражения для $u_{n2},u_{n1}$ и $u_{n0}$ в (3.1.118), получаем
$$\begin{array}{c}{\pi }^2\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}(n^2-r^2)\sqrt{2}{b}_{nr}\sin r\pi x=-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{nk}\sqrt{2}f(x)\sin k\pi x-\\ -\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{nk}{\lambda }_{n1}\sqrt{2}\sin k\pi x-{\lambda }_{n2}\sqrt{2}\sin n\pi x.\end{array}$$

Умножая (3.1.127) на $\sqrt{2}\sin s\pi x$, интегрируя от 0 до 1 и используя свойство ортонормированности (3.1.114), получаем
$${\pi }^2(n^2-s^2)b_{ns}=-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{nk}{F}_{ks}-a_{ns}{\lambda }_{n1}-{\lambda }_{n2}{\delta }_{ns}.$$

Если $s=n$, то левая часть (3.1.128) обращается в нуль, в то время как правая часть дает
$${\lambda }_{n2}=-\sum _{keqn}{a}_{nk}{F}_{kn}=\sum _{keqn}\frac{F_{nk}^2}{{\pi }^2(n^2-k^2)}.$$

Если $seqn$, то (3.1.128) дает
$$b_{ns}=\sum _{keqn}\frac{F_{nk}{F}_{ks}}{{\pi }^4(n^2-k^2)(n^2-s^2)}-\frac{a_{nn}{F}_{ns}}{{\pi }^2(n^2-s^2)}-\frac{F_{nn}{F}_{ns}}{{\pi }^4{(n^2-s^2)}^2}.$$

Здесь $b_{nn}$ также еще не определены, но определятся при нормировке $u_n$.
Для нормировки $u_n$ потребуем, чтобы
$${\int }_0^1{(u_{n0}+\epsilon u_{n1}+{\epsilon }^2{u}_{n2})}^{2}dx=1.$$

Поскольку $u_{n0}$ нормирована, то
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{u}_{n0}{u}_{n1}dx& =0,\\ {\int }_0^1(2u_{n0}{u}_{n2}+u_{n1}^2)dx& =0.\end{array}$$

Условие (3.1.132) дает $a_{nn}=0$, а условие (3.1.133) дает
$$b_{nn}=-\frac{1}{2}\sum _{keqn}{a}_{nk}^2.$$

Поэтому с точностью до второго порядка имеем
$$\begin{array}{c}{u}_{n=2}\sqrt{2}\sin n\pi x-\epsilon \sum _{keqn}\frac{F_{nk}}{{\pi }^2(n^2-k^2)}\sqrt{2}\sin k\pi x+\\ +{\epsilon }^2\sum _{keqn}\{[\sum _{seqn}\frac{F_{ns}{F}_{ks}}{{\pi }^4(n^2-s^2)(n^2-k^2)}-\frac{F_{nn}{F}_{nk}}{{\pi }^4{(n^2-k^2)}^2}]\sqrt{2}\sin k\pi x-\\ -\frac{1}{2}\frac{F_{nk}^2}{{\pi }^4{(n^2-k^2)}^2}\sqrt{2}\sin n\pi x\}+O\left({\epsilon }^3\right)\\ \lambda =n^2{\pi }^2-\epsilon F_{nn}+{\epsilon }^2\sum _{keqn}\frac{F_{nk}^2}{{\pi }^2(n^2-k^2)}+O\left({\epsilon }^3\right).\end{array}$$

Метод разложения, описанный в этом пункте, называется методом Рэлея — Шредингера. Он был развит Шредингером [1926] для исследования стационарных решений уравнения Шредингера. За большей библиографией и более полным изложением мы отсылаем читателя к книге под редакцией Уилкокса [1966] и к статье Хиршфельдера [1969].

3.1.7. Қвазилинейная задача на собственные значения
Рассмотрим теперь задачу на собственные значения
$$H\phi +\lambda \phi =\epsilon F(\phi )$$

при однородном граничном условии
$$B(\phi )=0,$$

где $H$-линейный, а $F$ — нелинейный операторы, действующие на $\phi$. Мы ищем приближенное решение для малых $\epsilon$ в виде
$$\begin{array}{l}\phi ={\phi }_0+\epsilon {\phi }_1+\dots ,\\ \lambda ={\lambda }_0+\epsilon {\lambda }_1+\dots .\end{array}$$

Подставляя (3.1.139) и (3.1.140) в (3.1.137) и (3.1.138) и приравнивая коэффициенты при равных степенях $\epsilon$, получаем
$$\begin{array}{ll}H{\phi }_0+{\lambda }_0{\phi }_0=0,& B\left({\phi }_0\right)=0,\\ H{\phi }_1+{\lambda }_0{\phi }_1=-{\lambda }_1{\phi }_0+F\left({\phi }_0\right),& B\left({\phi }_1\right)=0.\end{array}$$

Необходимо различать два случая в зависимости от того, являются собственные значения задачи (3.1.141) различными или нет. Первый случай называется невырожденным, в то время как второй называется вырожденным, поскольку кратному собственному значению соответствует более одной собственной функции. Оба случая излагаются ниже.

Невырожденный случай. Допустим, что задача (3.1.141) решена и ее решение дает собственные функции $u_n$, соответствующие собственным значениям ${\mu }_n,n=1,2,\dots$. Предположим далее, что ${\mu }_{m}eq{\mu }_n$, если $meqn$, и что собственные функции $\left\{u_n\right\}$ образуют ортонормированное семейство, т. е.
$${\int }_D{u}_n{\overline{u}}_{m}d\mathbf{x}={\delta }_{mn},$$

где $\mathbf{x}$-вектор, изображающий координаты, $\overline{u}$-комплексно сопряженная к $и$ функция, а интегрирование ведется по всей рассматриваемой области $D$. Чтобы решить (3.1.142), мы, так же как и в двух предыдущих пунктах, разложим функцию ${\phi }_1$ по ортонормированному базису $\left\{u_n\right\}$, т. е.
$${\phi }_1=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_m{u}_m.$$

Таким образом, ${\phi }_1$ удовлетворяет краевому условию $B\left({\phi }_1\right)=0$, так как $B\left(u_m\right)=0$ для всех $m$. Полагая ${\phi }_0=u_n$ и ${\lambda }_0={\mu }_n$ и подставляя (3.1.144) в (3.1.142), получаем
$$\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\left({\mu }_n—{\mu }_m\right)a_m{u}_m=-{\lambda }_1{u}_n+F\left(u_n\right).$$

Умножая (3.1.145) на ${\overline{u}}_s$, интегрируя по области $D$ и используя условие ортонормированности, придем к равенству
$$({\mu }_n-{\mu }_s)a_s=-{\lambda }_1{\delta }_{ns}+F_{ns},$$

где
$$F_{ns}={\int }_{D}F\left(u_n\right){\overline{u}}_{s}d\mathbf{x}.$$

Если $n=s$, (3.1.146) дает
$${\lambda }_1=F_{nn}.$$

Если $neqs$, то
$$a_s=\frac{F_{ns}}{{\mu }_n-{\mu }_s}.$$

Таким образом,
$${\phi }_1=\sum _{meqn}\frac{F_{nm}}{{\mu }_n-{\mu }_m}{u}_m+a_{nn}{u}_n.$$

Коэффициенты $a_{nn}$ можно положить равными нулю, если, так же как и в предыдущем пункте, предположить, что функция $\phi =$ $={\phi }_0+\epsilon {\phi }_1+O\left({\epsilon }^2\right)$ нормирована. Поэтому для первого порядка имеем
$$\begin{array}{l}\phi =u_n+\epsilon \sum _{meqn}\frac{F_{nm}}{{\mu }_n-{\mu }_m}{u}_m+O\left({\epsilon }^2\right),\\ \lambda ={\mu }_n+\epsilon F_{nn}+O\left({\epsilon }^2\right).\end{array}$$

Рассмотрим в качестве примера задачу
$$\begin{array}{rl}\frac{d^2\phi }{d{x}^2}+\lambda \phi & =-\epsilon {\phi }^3,\\ \phi (0)& =\phi (1)=0.\end{array}$$

Здесь $D$-интервал $[0,1]$ и
$$u_n=\sqrt{2}\sin n\pi x,{\mu }_n=n^2{\pi }^2.$$

Поскольку $F(\phi )=-{\phi }^3$ и ${\overline{u}}_m=u_m$, имеем
$$\begin{array}{rl}{F}_{nm}& =-4{\int }_0^1{\sin }^{3}n\pi x\sin m\pi xdx=\\ & ={\int }_0^1(\sin 3n\pi x-3\sin n\pi x)\sin m\pi xdx=\\ & =\frac{1}{2}{\delta }_{m,3n}-\frac{3}{2}{\delta }_{nm}.\end{array}$$

Поэтому (3.1.151) и (3.1.152) принимают вид
$$\begin{array}{l}\phi =\sqrt{2}\sin n\pi x-\frac{\epsilon \sqrt{2}}{16n^2{\pi }^2}\sin 3n\pi x+O\left({\epsilon }^2\right),\\ \lambda =n^2{\pi }^2-\frac{3}{2}\epsilon +O\left({\epsilon }^2\right).\end{array}$$

Вырожденный случай. В этом случае пусть ${\mu }_{n+k}={\mu }_n$ для $k=0,1,2,\dots ,M$. Тогда
$${\phi }_0=\sum _{k=0}^M{b}_k{u}_{n+k}.$$

Подставив выражения для ${\phi }_1$ и ${\phi }_0$ из (3.1.144) и (3.1.159) в (3.1.142) и положив ${\lambda }_0={\mu }_n$, получим
$$\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}({\mu }_n-{\mu }_m)a_m{u}_m=-{\lambda }_1\sum _{k=0}^M{b}_k{u}_{n+k}+F\left[\sum _{k=0}^M{b}_k{u}_{n+k}\right].$$

Умножим (3.1.160) на ${\overline{u}}_s$ и проинтегрируем по области $D$. Имеем
$$({\mu }_n-{\mu }_s)a_s=-{\lambda }_1\sum _{k=0}^M{b}_k{\delta }_{s,n+k}+{\mathcal{F}}_s(b_0,b_1,\dots ,b_M),$$

где
$${\mathcal{F}}_s={\int }_{D}F\left[\sum _{k=0}^M{b}_k{u}_{n+k}\right]{\overline{u}}_{s}d\mathbf{x},$$

если $s=n+k$, для $k=0,1,2,\dots ,M$, то (3.1.161) даст
$${\mathcal{F}}_{n+k}(b_0,b_1,\dots ,b_M)-{\lambda }_1{b}_k=0,k=0,1,2,\dots ,M.$$

Соотношения (3.1.163) образуют систему из $M+1$ однородных алгебраических уравнений относительно $M+1$, неизвестных $b_m$ и собственного значения ${\lambda }_1$. Если $seqn+k,k=0,1,\dots ,M$, то
$$a_s=\frac{{\mathcal{F}}_s(b_0,b_1,\dots ,b_M)}{{\mu }_n-{\mu }_s}.$$

В качестве примера рассмотрим задачу
$$\begin{array}{c}\frac{d^4\phi }{d{x}^4}+5{\pi }^2\frac{d^2\phi }{d{x}^2}+\lambda \phi =\epsilon \phi \frac{d\phi }{dx},\\ \phi (0)={\phi }^{\prime \prime }(0)=\phi (1)={\phi }^{\prime \prime }(1)=0.\end{array}$$

В этом случае решение линеаризованной задачи имеет вид
$$u_n=\sqrt{2}\sin n\pi x,{\mu }_n=n^2(5-n^2){\pi }^4.$$

Таким образом, ${\mu }_1={\mu }_2=4{\pi }^4$, и мы имеем дело с вырождением. Предположим, что функция, соответствующая собственному значению ${\mu }_1$, имеет вид
$${\phi }_0=b_0\sqrt{2}\sin \pi x+b_1\sqrt{2}\sin 2\pi x.$$

Тогда
$$\begin{array}{l}F\left({\phi }_0\right)={\phi }_0\frac{d{\phi }_0}{dx}=\\ =\pi [-b_0{b}_1\sin \pi x+b_0^2\sin 2\pi x+3b_0{b}_1\sin 3\pi x+2b_1^2\sin 4\pi x].\end{array}$$

Следовательно,
$$\begin{array}{rl}{\mathcal{F}}_s& =\sqrt{2}{\int }_0^{1}F\left({\phi }_0\right)\sin s\pi xdx=\\ & =\frac{1}{2}\sqrt{2}\pi [-b_0{b}_1{\delta }_{1s}+b_0^2{\delta }_{2s}+3b_0{b}_1{\delta }_{3s}+2b_1^2{\delta }_{ts}].\end{array}$$

При известном ${\mathcal{F}}_s$ соотношения (3.1.163) примут вид
$$\begin{array}{rl}-\frac{1}{2}\sqrt{2}\pi b_0{b}_1-{\lambda }_1{b}_0& =0,\\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\pi b_0^2-{\lambda }_1{b}_1& =0,\end{array}$$

а выражение (3.1.164) даст
$$a_3=\frac{3b_0{b}_1}{40\sqrt{2}{\pi }^3},a_4=\frac{b_1^2}{90\sqrt{2}{\pi }^3}.$$

Поскольку $b_{0}ot\equiv 0$, из (3.1.171) получим
$$b_1=-\frac{\sqrt{2}}{\pi }{\lambda }_1.$$

Подставляя выражение для $b_1$ в (3.1.172) и разрешая относительно ${\lambda }_1$, получаем
$${\lambda }_1=\mp \frac{1}{\sqrt{2}}i\pi b_0\text{. }$$

Следовательно,
$$b_1=\pm i{b}_0.$$

Поэтому
$$\begin{array}{c}\phi =b_0\sqrt{2}\sin \pi x\pm i{b}_0\sqrt{2}\sin 2\pi x+\epsilon [a_1\sqrt{2}\sin \pi x+\\ +a_2\sqrt{2}\sin 2\pi x\pm \frac{3}{40{\pi }^3}i{b}_0^2\sin 3\pi x-\frac{1}{90{\pi }^3}{b}_0^2\sin 4\pi x]+O\left({\epsilon }^2\right),\\ \lambda =4\mp \frac{\pi }{\sqrt{2}}\epsilon i{b}_0+O\left({\epsilon }^2\right).\end{array}$$

Постоянные $a_1$ и $a_2$ могут быть связаны с $b_0$ при нормировке ${\phi }_0$. Решения, соответствующие ${\mu }_n,n>1$, имеют вид
$$\begin{array}{c}\phi =\sqrt{2}\sin n\pi x+\epsilon \frac{1}{15n(n^2-1){\pi }^3}\sin 2n\pi x+O\left({\epsilon }^2\right),\\ \lambda =n^2(5-n^2){\pi }^4+O\left({\epsilon }^2\right).\end{array}$$

Следует отметить, что для реализации вышеизложенной процедуры должно существовать разложение функции $F\left({\phi }_0\right)$ по собственным функциям задачи нулевого порядка. Например, если в (3.1.165) положить $F(\phi )={\phi }^2$, то попытка применить описанную процедуру потерпит неудачу. Действительно, в этом случае $F\left({\phi }_0\right)=b_{10}^2+b_1^2+2b_0{b}_1\cos \pi x-b_0^2\cos 2\pi x-$
$$-2b_0{b}_1\cos 3\pi x-b_1^2\cos 4\pi x\text{. }$$

Откуда ${\mathcal{F}}_s=0$ для всех $s$, и выражение (3.1.150) для ${\phi }_1$ будет непригодным.

3.1.8. Квазилинейное уравнение Клейна-Гордона

В этом пункте мы рассмотрим задачу определения периодических распространяющихся волн конечной амплитуды для уравнения
$$u_{tt}-{\alpha }^2{u}_{xx}+{\gamma }^{2}u=\beta u^3.$$

Если пренебречь нелинейным членом $\beta u^3$, то мы получим решение в виде линейных распространяющихся периодических волн
$$u=a\cos (kx-\omega t),{\omega }^2={\alpha }^2{k}^2+{\gamma }^2.$$

Фазовая скорость этих волн равна $\omega /k$ и не зависит от амплитуды. В нелинейной задаче фазовая скорость будет, вообще говоря, функцией амплитуды.

Для определения зависимости фазовой скорости. $c$ от амплитуды мы предположим, что
$$u=u(\theta ),\theta =x-ct,$$

тогда (3.1.182) примет вид
$$(c^2-{\alpha }^2)u^{\prime \prime }+{\gamma }^{2}u=\beta u^3,$$

где штрих означает дифференцирование по $\theta$. Предполагая, что амплитуда $u$ мала, разложим $u$ и $c$
$$\begin{array}{l}u=a{u}_1+a^3{u}_3+\dots ,\\ c=c_0+a^2{c}_2+\dots .\end{array}$$

Если бы мы включили в эти разложения члены $a{c}_1$ и $a^2{u}_2$, то получили бы, что $c_1=0$, а $u_2$ удовлетворяет тому же уравнению, что и $u_1$. Поэтому $u_2$ не включено в разложение.

Подставив (3.1.185) в (3.1.184) и приравняв коэффициенты при равных степенях $a$, получим
$$\begin{array}{l}(c_0^2-{\alpha }^2)u_1^{\prime \prime }+{\gamma }^2{u}_1=0,\\ (c_0^2-{\alpha }^2)u_3^{\prime \prime }+{\gamma }^2{u}_3=-2c_0{c}_2{u}_1^{\prime \prime }+\beta u_1^3.\end{array}$$

Для уравнения (3.1.186) возьмем решение вида
$$u_1=\cos k\theta ,c_0^2={\alpha }^2+{\gamma }^2{k}^{-2}$$

так, чтобы (3.1.185) совпадало с (3.1.183) с точностью до $O(a)$. Тогда (3.1.187) примет вид
$$(c_0^2-{\alpha }^2)u_3^{\prime \prime }+{\gamma }^2{u}_3=(2c_0{c}_2{k}^2+\frac{3}{4}\beta )\cos k\theta +\frac{1}{4}\beta \cos 3k\theta .$$

Вековые члены будут устранены, если $c_2=-3\beta /8c_0{k}^2$. Тогда
$$u_s=-\frac{\beta }{32{\gamma }^2}\cos 3k\theta \text{. }$$
Поэтому
$$\begin{array}{l}u=a\cos k\theta -\frac{a^3\beta }{32{\gamma }^2}\cos 3k\theta +\dots ,\\ c=\sqrt{{\alpha }^2+{\gamma }^2{k}^{-2}}[1-\frac{3a^2\beta }{8({\alpha }^2{k}^2+{\gamma }^2)}]+\dots .\end{array}$$

Методика, использованная в этом пункте, была формализована Стокером [1957] для описания поверхностных волн в жидкости. Эта методика была использована при рассмотрении взаимодействия капиллярных и гравитационных волн на воде бесконечной и конечной глубины Пирсоном и Файфом [1961] и Баракатом и Хаустоном [1968] соответственно. Она использовалась также Мэслоу и Келли [1970] при рассмотрении волн в течении Қельвина-Гельмгольца.

Вместо того чтобы раскладывать фазовую скорость, можно было бы разложить волновое число и определить сдвиг волнового числа, или разложить частоту и определить сдвиг частоты. Разновидности этого метода применялись к целому ряду задач. Так, например, Малкус и Веронис [1958] рассматривали задачу конвекции Бенара. Педловский [1967] определил реакцию ограниченного океана на поверхностный ветер, осциллирующий вблизи одной из волновых частот Россби. Келлер и Тин [1966] и Миллман и Келлер [1969] получили периодическое решение для различных систем, описываемых нелинейными уравнениями в частных производных; Келлер и Миллман [1969] рассматривали распространение нелинейных электромагнитных и акустических волн. Радзяппа [1970] исследовал нелинейную неустойчивость Рэлея — Тэйлора.