Как следует из приведенного выше обсуждения, этот метод основан на наличии параметра задачи, зависящего от величины возмущений. В следующих параграфах показано, что этим параметром может быть частота в слабо нелинейной системе, энергетические уровни в задачах квантовой механики, характеристический показатель в нормальном решении линейной задачи с периодическими коэффициентами, волновое число или частота в колебаниях плазмы и волновая скорость или частота поверхностных волн конечной амплитуды.
3.1.1. Метод Линдштедта — Пуанкаре

Простые примеры из п. 1.1.2 и 2.1.1 показывают, что усеченные прямые разложения по степеням $\varepsilon$ уравнения вида
\[
\ddot{u}+\omega_{0}^{2} u=\varepsilon f(u, \dot{u})
\]

пригодны лишь для короткого интервала времени из-за наличия вековых членов. Сущность метода Линдштедта-Пуанкаре заключается в том, чтобы предотвратить появление вековых членов введением новой переменной
\[
t=s\left(1+\varepsilon \omega_{1}+\varepsilon^{2} \omega_{2}+\ldots\right) .
\]

Тогда (3.1.1) примет вид
\[
\begin{array}{l}
\left(1+\varepsilon \omega_{1}+\varepsilon^{2} \omega_{2}+\ldots\right)^{-2} \frac{d^{2} u}{d s^{2}}+\omega_{0}^{2} u= \\
=\varepsilon f\left[u,\left(1+\varepsilon \omega_{1}+\varepsilon^{2} \omega_{2}+\ldots\right)^{-1} \frac{d u}{d s}\right] .
\end{array}
\]

Положим в (3.1.3)
\[
u=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} u_{n} .
\]

Приравняв коэффициенты при равных степенях $\varepsilon$, получим уравнения для последовательного определения $u_{m}$. Решения для $u_{m}$ не содержат вековых членов только при определенных значения х $\omega_{m}$.

Этот метод применялся для широкого круга физических и математических задач. Например, Келлер [1968] модифицировал этот метод для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Сочетание этого метода с методом Ритца-Галеркина часто используется при исследовании динамической реакции упругого тела (например, Хан [1965]; Бауэр [1968]; Свит [1971]). Рассмотрим в качестве примера уравнение Дюффинга:
\[
\frac{d^{2} u}{d t^{2}}+u+\varepsilon u^{3}=0 .
\]

Применив преобразование (3.1.2), получим
\[
\frac{d^{2} u}{d s^{2}}+\left(1+\varepsilon \omega_{1}+\varepsilon^{2} \omega_{2}+\ldots\right)^{2}\left(u+\varepsilon u^{3}\right)=0 .
\]

Подставив (3.1.4) в (3.1.6) и приравняв коэффициенты при равных степенях $\varepsilon$, получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} u_{0}}{d s^{2}}+u_{0}=0, \\
\frac{d^{2} u_{1}}{d s^{2}}+u_{1}=-u_{0}^{8}-2 \omega_{1} u_{0}, \\
\frac{d^{2} u_{2}}{d s^{2}}+u_{2}=-3 u_{0}^{2} u_{1}-2 \omega_{1}\left(u_{1}+u_{0}^{8}\right)-\left(\omega_{1}^{2}+2 \omega_{2}\right) u_{0} .
\end{array}
\]

Общее решение уравнения (3.1.7) имеет вид
\[
u_{0}=a \cos (s+\varphi) \text {, }
\]

где $a$ и $\varphi$-постоянные интегрирования. Тогда (3.1.8) с учетом (3.1.10) преобразуется к виду:
\[
\frac{d^{2} u_{1}}{d s^{2}}+u_{1}=-\frac{1}{4} a^{3} \cos 3(s+\varphi)-\left(\frac{3}{4} a^{2}+2 \omega_{1}\right) a \cos (s+\varphi) \text {. }
\]

Если использовать прямое возмущенное разложение, то $\omega_{n} \equiv 0$ и уравнение (3.1.11) перейдет в (2.1.7), частное решение которого содержит вековые члены. Чтобы избежать появления этих вековых членов, $\omega_{\text {и }}$ выбирается так, чтобы коэффициент при $\cos (s+\varphi)$ в правой части уравнения (3.1.11) исчез. Из этого условия определяем $\omega_{1}$ :
\[
\omega_{1}=-\frac{3}{8} a^{2} .
\]

Тогда решением уравнения (3.1.11) будет
\[
u_{1}=\frac{1}{32} a^{s} \cos 3(s+\varphi) .
\]

Подставляя выражения для $u_{0}, u_{1}$ и $\omega_{1}$ в (3.1.9), получаем
\[
\frac{d^{2} u_{2}}{d s^{2}}+u_{2}=\left(\frac{51}{128} a^{4}-2 \omega_{2}\right) a \cos (s+\varphi)+N S T \text {, }
\]

где через NST обозначены слагаемые, не порождающие вековых членов. Вековые члены уничтожатся, если
\[
\omega_{2}=\frac{51}{256} a^{4} .
\]

Поэтому
\[
u=a \cos (\omega t+\theta)+\frac{\varepsilon}{32} a^{3} \cos 3(\omega t+\theta)+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\]

где $a$ и $\theta$-постоянные интегрирования, и
\[
\begin{array}{l}
\omega=\left(1-\frac{3}{8} a^{2} \varepsilon+\frac{51}{256} a^{4} \varepsilon^{2}+\ldots\right)^{-1}= \\
=1+\frac{3}{8} a^{2} \varepsilon-\frac{15}{256} a^{4} \varepsilon^{2}+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\end{array}
\]

3.1.2. Переходные кривые для уравнения Матьё

В качестве второго примера найдем переходную кривую, разделяющую устойчивые и неустойчивые решения уравнения Матьё:
\[
\ddot{u}+(\delta+\varepsilon \cos 2 t) u=0 .
\]

Это уравнение изучалось довольно интенсивно. Оно является частным случаем уравнения Хилла, которое в свою очередь является линейным дифференциальным уравнением с периодическими коэффициентами. Аналогичные уравнения появляются во многих задачах прикладной математики, в частности в задачах об устойчивости поперечной колонны, подверженной периодической продольной нагрузке; об устойчивости периодических решений нелинейных консервативных систем; о распространении электромагнитных волн в среде с периодической структурой; о движении Луны, а также в задачах о возбуждении некоторых электрических систем.

Качественную природу уравнения (3.1.17) можно описать, используя теорию Флоке (см., например, Коддингтон и Левинсон $[1955$, гл. 3]). Это уравнение имеет нормальное решение вида
\[
u=e^{\gamma t} \varphi(t),
\]

где $\varphi$-периодическая функция $t$ с периодом $\pi$ или $2 \pi, \gamma$-действительное или комплексное число, зависящее от $\delta$ и $\varepsilon$. В теории Флоке показано, что переходная кривая в плоскости $\delta-\varepsilon$, разделяющая устойчивые и неустойчивые решения, соответствует периодическим решениям уравнения (3.1.17). Некоторые из этих кривых будут найдены ниже с помощью разложений $\delta$ и $и$ как

функций от $\varepsilon$. Положим
\[
\begin{aligned}
\delta & =n^{2}+\varepsilon \delta_{1}+\varepsilon^{2} \delta_{2}+\ldots, \\
u(t) & =u_{0}+\varepsilon u_{1}+\varepsilon^{2} u_{2}+\ldots,
\end{aligned}
\]

где $n$-целое число или нуль, а отношение $u_{m} / u_{0}$ ограничено для всех $m$. Последнее требование необходимо для того, чтобы (3.1.20) было равномерно пригодным асимптотическим разложением.

Подставляя (3.1.19) и (3.1.20) в (3.1.17), раскладывая (3.1.17) в ряд по $\varepsilon$ и приравнивая коэффициенты при равных степенях $\varepsilon$, получим
\[
\begin{array}{l}
\ddot{u}_{0}+n^{2} u_{0}=0, \\
\ddot{u}_{1}+n^{2} u_{1}=-\left(\delta_{1}+\cos 2 t\right) u_{0}, \\
\ddot{u}_{2}+n^{2} u_{2}=-\left(\delta_{1}+\cos 2 t\right) u_{1}-\delta_{2} u_{0} .
\end{array}
\]

Решение уравнения нулевого порядка имеет вид
\[
u_{0}=\left\{\begin{array}{l}
\cos n t, \\
\sin n t .
\end{array} \quad n=0,1,2, \ldots .\right.
\]

Найдем высшие приближения в случаях $n=0,1$ и 2 .
Случай $n=0$
В этом случае $u_{0}=1$ и (3.1.22) примет вид
\[
\ddot{u_{1}}=-\delta_{1}-\cos 2 t \text {. }
\]

Для того чтобы (3.1.20) было равномерно пригодным асимптотическим разложением, $\delta_{1}$ должно обратиться в нуль, поэтому
\[
u_{1}=\frac{1}{4} \cos 2 t+c \text {, }
\]

где $c$-постоянная. При известных $u_{0}$ и $u_{1}$ уравнение (3.1.23) примет вид
\[
\ddot{u}_{2}=-\delta_{2}-\frac{1}{8}-c \cos 2 t-\frac{1}{8} \cos 4 t .
\]

Для того чтобы отношение $u_{2} / u_{0}$ было ограниченным, необходимо, чтобы $\delta_{2}=-1 / 8$, следовательно,
\[
\delta=-\frac{1}{8} \varepsilon^{2}+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\]

Случай $n=1$
В этом случае $u_{0}=\cos t$ или $\sin t$. Положим $u_{0}=\cos t$, тогда (3.1.22) примет вид
\[
\ddot{u}_{1}+u_{1}=-\left(\delta_{1}+\frac{1}{2}\right) \cos t-\frac{1}{2} \cos 3 t .
\]

Для ограниченности отношения $u_{1} / u_{0}$ величина $\delta_{1}$ должна быть равна $\delta_{1}=-1 / 2$, и поэтому
\[
u_{1}=\frac{1}{16} \cos 3 t .
\]

Уравнение (3.1.23) тогда примет вид
\[
\ddot{u}_{2}+u_{2}=-\left(\frac{1}{32}+\delta_{2}\right) \cos t+\frac{1}{32} \cos 3 t-\frac{1}{32} \cos 5 t .
\]

Условие ограниченности отношения $u_{2} / u_{0}$ приводит к равенству $\delta_{2}=-1 / 3$, откуда получим
\[
\delta=1-\frac{1}{2} \varepsilon-\frac{1}{32} \varepsilon^{2}+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\]

Если бы мы использовали в качестве нулевого приближения $u_{0}=\sin t$, мы получили бы переходную кривую
\[
\delta=1+\frac{1}{2} \varepsilon-\frac{1}{32} \varepsilon^{2}+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\]

Случай $n=2$
В этом случае $u_{0}=\cos 2 t$ или $\sin 2 t$. В первом случае уравнение (3.1.22) предстанет в виде
\[
\ddot{u}_{1}+4 u_{1}=-\frac{1}{2}-\delta_{1} \cos 2 t-\frac{1}{2} \cos 4 t .
\]

Поскольку отношение $u_{1} / u_{0}$ должно быть ограниченным, $\delta_{1}$ должно обратиться в нуль. Поэтому
\[
u_{i}=-\frac{1}{8}+\frac{1}{24} \cos 4 t \text {. }
\]

Подставляя выражения для $u_{0}$ и $u_{1}$ в (3.1.23), получаем
\[
\ddot{u}_{2}+4 u_{2}=-\left(\delta_{2}-\frac{5}{48}\right) \cos 2 t-\frac{1}{48} \cos 6 t .
\]

Из условия ограниченности $u_{2} / u_{0}$ следует, что $\delta_{2}=5 / 48$, поэтому
\[
\delta=4+\frac{5}{48} \varepsilon^{2}+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\]

Положив $u_{0}=\sin 2 t$, придем к равенству
\[
\delta=4-\frac{1}{48} \varepsilon^{2}+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\]

3.1.3. Характеристические показатели для уравнения

Матьё (метод Уиттекера)
В теории Флоке (см., например, Коддингтон и Левинсон [1955], гл. 3) показано, что уравнение (3.1.17) имеет решение вида (3.1.18), где $\varphi$-периодическая функция с периодом $\pi$ или $2 \pi$, а $\gamma$-действительная или комплексная постоянная. После подстановки (3.1.18) в (3.1.17) и соответствующих преобразований получим
\[
\ddot{\varphi}+2 \gamma \dot{\varphi}+\left(\delta+\gamma^{2}+\varepsilon \cos 2 t\right) \varphi=0 .
\]

Поскольку переходная кривая соответствует $\gamma=0$, то вблизи нее можно получить приближение для $\varphi$ (Уиттекер [1914]), введя следующие разложения для $\varphi, \delta$ и $\gamma$ :
\[
\begin{aligned}
\varphi & =\varphi_{0}+\varepsilon \varphi_{1}+\varepsilon^{2} \varphi_{2}+\ldots, \\
\delta & =\delta_{0}+\varepsilon \delta_{1}+\varepsilon^{2} \delta_{2}+\ldots, \\
\gamma & =\varepsilon \gamma_{1}+\varepsilon^{2} \gamma_{2}+\ldots
\end{aligned}
\]

Ниже будет получено решение в случае $\delta_{0}=1$.
Подставив (3.1.40)-(3.1.42) в (3.1.39) и приравняв коэффициенты при равных степенях $\varepsilon$, получим
\[
\begin{array}{c}
\ddot{\varphi}_{0}+\varphi_{0}=0, \\
\ddot{\varphi}_{1}+\varphi_{1}=-2 \gamma_{1} \varphi_{0}-\left(\delta_{1}+\cos 2 t\right) \varphi_{0}, \\
\ddot{\varphi}_{2}+\varphi_{2}=-2 \gamma_{1} \dot{\varphi}_{1}-2 \gamma_{2} \dot{\varphi}_{0}-\left(\gamma_{1}^{2}+\delta_{2}\right) \varphi_{0}-\left(\delta_{1}+\cos 2 t\right) \varphi_{1} .
\end{array}
\]

Общее решение уравнения (3.1.43) имеет вид
\[
\varphi_{0}=a \cos t+b \sin t,
\]

где $a$ и $b$-постоянные. Таким образом, уравнение (3.1.44) преобразуется к виду
\[
\begin{array}{c}
\ddot{\varphi}_{1}+\varphi_{1}=\left[2 \gamma_{1} a+\left(\frac{1}{2}-\delta_{1}\right) b\right] \sin t-\left[2 \gamma_{1} b+\left(\frac{1}{2}+\delta_{1}\right) a\right] \cos t- \\
-\frac{1}{2} a \cos 3 t-\frac{1}{2} b \sin 3 t .
\end{array}
\]

Так как $\varphi$-периодическая функция, то слагаемые, которые порождают вековые члены, должны исчезнуть, т. е.
\[
\begin{array}{l}
2 \gamma_{1} a+\left(\frac{1}{2}-\delta_{1}\right) b=0, \\
\left(\frac{1}{2}+\delta_{1}\right) a+2 \gamma_{1} b=0 .
\end{array}
\]

Для существования нетривиального решения этой системы уравнений относительно $a$ и $b$ необходимо, чтобы ее определитель

был равен нулю, т. е.
\[
\gamma_{1}^{2}=-\frac{1}{4}\left(\delta_{1}^{2}-\frac{1}{4}\right) .
\]

Далее
\[
b=\frac{2 \gamma_{1}}{\delta_{1}-\frac{1}{2}} a .
\]

Решение уравнения (3.1.47), подчиненное условиям (3.1.48), (3.1.49), имеет вид
\[
\varphi_{1}=\frac{1}{16} a \cos 3 t+\frac{1}{16} b \sin 3 t .
\]

Использовав полученные выше результаты, перепишем (3.1.45) в виде
\[
\begin{array}{l}
\ddot{\varphi}_{2}+\varphi_{2}=\left[2 \gamma_{2} a-\left(\delta_{2}+\gamma_{1}^{2}+\frac{1}{32}\right) b\right] \sin t- \\
-\left[\left(\delta_{2}+\gamma_{1}^{2}+\frac{1}{32}\right) a+2 \gamma_{2} b\right] \cos t+N S T .
\end{array}
\]

Вековые члены исчезнут, если
\[
\begin{array}{l}
2 \gamma_{2} a-\left(\delta_{2}+\gamma_{1}^{2}+\frac{1}{32}\right) b=0, \\
\left(\delta_{2}+\gamma_{1}^{2}+\frac{1}{32}\right) a+2 \gamma_{2} b=0 .
\end{array}
\]

Поскольку $b$ и $a$ связаны соотношением (3.1.51), то (3.1.54) и (3.1.55) могут быть одновременно удовлетворены тогда и только тогда, когда
\[
\gamma_{2}=0 \text { и } \delta_{2}=-\gamma_{1}^{2}-\frac{1}{32} .
\]

Поэтому для первого приближения имеем
\[
\begin{array}{l}
u=a e^{ \pm(1 / 2) \varepsilon t \sqrt{(1 / 4)-\delta_{1}^{2}}}\left[\left(\cos t+\frac{1}{16} \varepsilon \cos 3 t\right)+\right. \\
\left.+\frac{2 \gamma_{1}}{\delta_{1}-\frac{1}{2}}\left(\sin t+\frac{1}{16} \varepsilon \sin 3 t\right)\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right) \text {, } \\
\delta=1+\varepsilon \delta_{1}+\frac{1}{4} \varepsilon^{2}\left(\delta_{1}^{2}-\frac{3}{8}\right)+O\left(\varepsilon^{3}\right) . \\
\end{array}
\]

Обозначим
\[
\delta_{1}=\frac{1}{2} \cos 20
\]

тогда
\[
\begin{array}{c}
\gamma_{1}=\frac{1}{4} \sin 2 \sigma, \quad \delta_{2}=\frac{1}{32}(\cos 4 \sigma-2), \\
\frac{b}{a}=\frac{\sin 2 \sigma}{\cos 2 \sigma-1}=-\operatorname{ctg} \sigma .
\end{array}
\]

Следовательно, (3.1.57) и (3.1.58) примут вид
\[
\begin{array}{c}
u=\tilde{a} e^{(1 / 4)(\sin 2 \sigma) \varepsilon t}\left[\sin (t-\sigma)+\frac{1}{16} \varepsilon \sin (3 t-\sigma)\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\delta=1+\frac{1}{2} \varepsilon \cos 2 \sigma+\frac{1}{32} \varepsilon^{2}(\cos 4 \sigma-2)+O\left(\varepsilon^{3}\right),
\end{array}
\]

где $\tilde{a}$-постоянная.

3.1.4. Устойчивость треугольных точек в эллиптической ограниченной задаче трех тел

Рассмотрим систему четвертого порядка с периодическими коэффициентами, связанную с устойчивостью треугольных точек в эллиптической ограниченной задаче трех тел. Математически задача определяется системой уравнений
\[
\begin{array}{l}
x^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-\frac{h_{2} x}{1+e \cos f}=0, \\
y^{\prime \prime}+2 x^{\prime}-\frac{h_{1} y}{1+e \cos f}=0,
\end{array}
\]

где штрихом обозначено дифференцирование по $f$ и
\[
h_{1,2}=\frac{3}{2}[1 \pm \sqrt{1-3 \mu(1-\mu)}] .
\]

Уравнения (3.1.63) — (3.1.65) описывают движение частицы, линеаризованное около треугольных точек в ограниченной задаче трех тел. Здесь $e$-эксцентриситет орбиты двух масс, $\mu$-отношение меньшей массы к сумме двух масс. В случае $e=0$ известно, что движение устойчиво при $0 \leqslant \mu<\tilde{\mu} \approx 0,03852$ и неустойчиво при $\mu \geqslant \tilde{\mu}^{1}$ ). Иначе говоря, $\tilde{\mu}$ определяет точку пересечения переходной кривой, разделяющей устойчивые и неустойчивые движе-
1) Этот результат справедлив лишь в линейном приближении. Анализ устойчивости треугольных точек либрации в круговой ограниченной задаче трех тел, основанный на точных нелинейных уравнениях и использующий результаты В. И. Арнольда [1963], был проведен в работах А. М. Леонтовича [1963], Депри [1962] и Депри-Бартоломе [1967] и А. П. Маркеева [1968], [1969]. Окончательный результат состоит в том, что точки либрации устойчивы для всех $0<\mu<\tilde{\mu}$, кроме двух критических значений $\mu_{1}^{*}=0,0135160$ и $\mu_{2}^{*}=$ $=0,0242938$, для которых они неустойчивы.-Прим. ред.

ния, с осью $\mu$ в плоскости $\mu—e$. Кроме того, как известно из теории Флоке, переходным кривым соответствуют периодические решения с периодами $2 \pi$ и $4 \pi$. В интервале $0 \leqslant \mu<\tilde{\mu}$ период $2 \pi$ соответствует $\mu=0$, а период $4 \pi$ соответствует $\mu_{0}=(1-2 \sqrt{2} / 3) / 2$. Через точку $\mu=0$ проходит переходная кривая, совпадающая с осью $e$. Ниже мы приведем анализ, данный Найфэ и Кемелом [1970a], и определим переходную кривую, пересекающую ось $\mu$ в точке $\mu_{0}$.
Предположим
\[
\begin{array}{l}
x=\sum_{n=0}^{\infty} e^{n} x_{n}(f), \\
y=\sum_{n=0}^{\infty} e^{n} y_{n}(f), \\
\mu=\sum_{n=0}^{\infty} e^{n} \mu_{n} .
\end{array}
\]

Подставив (3.1.68) в (3.1.65) и разложив при малых $e$, получим
\[
\begin{array}{l}
h_{1}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(\mu_{0}, \mu_{1}, \ldots, \mu_{n}\right) e^{n}, \\
h_{2}=\sum_{n=0}^{\infty} b_{n}\left(\mu_{0}, \mu_{1}, \ldots, \mu_{n}\right) e^{n},
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
a_{0}, b_{0}=\left[\frac{3}{2}(1+k), \frac{3}{2}(1-k)\right], \quad k=\sqrt{\frac{\pi}{12}}, \\
b_{1}=-a_{1}=3 \sqrt{\frac{\overline{6}}{11}} \mu_{1} .
\end{array}
\]

Подставив затем (3.1.66)-(3.1.70) в (3.1.63) и (3.1.64) и приравняв коэффициенты при равных степенях $e$, получим
\[
\begin{array}{l}
x_{n}^{\prime \prime}-2 y_{n}^{\prime}=\sum_{\substack{t=0, s=0, r=0 \\
n=s+t+t}}^{\infty}(-1)^{t} x_{r} b_{s} \cos ^{t} f, \\
y_{n}^{\prime \prime}+2 x_{n}^{\prime}=\sum_{\substack{t=0, s=0, r=0 \\
n=t+s+r}}^{\infty}(-1)^{t} y_{r} a_{s} \cos ^{t} f .
\end{array}
\]

Уравнения нулевого порядка допускают следующие периодические решения с периодом $4 \pi$ :
\[
\begin{array}{ll}
x_{0}=\cos \tau, & y_{0}=-\alpha \sin \tau, \\
x_{0}=\sin \tau, & y_{0}=\alpha \cos \tau,
\end{array}
\]

где
\[
\tau=\frac{f}{2}, \quad \alpha=b_{0}+\frac{1}{4}=\left(a_{0}+\frac{1}{4}\right)^{-1}=\frac{1}{4}(7-\sqrt{33}) .
\]

Существуют две переходные кривые, пересекающие ось $\mu$ при $\mu=\mu_{0}$, соответствующие указанным двум независимым решениям. Взяв решение (3.1.75), мы получим следующую задачу для первого приближения:
\[
\begin{array}{c}
x_{1}^{\prime \prime}-2 y_{1}^{\prime}-b_{0} x_{1}=\left(b_{1}-\frac{1}{2} b_{0}\right) \cos \tau-\frac{1}{2} b_{0} \cos 3 \tau, \\
y_{1}^{\prime \prime}+2 x_{1}^{\prime}-a_{0} y_{1}=-\alpha\left(a_{1}+\frac{1}{2} a_{0}\right) \sin \tau+\frac{1}{2} \alpha a_{0} \sin 3 \tau .
\end{array}
\]

Члены, пропорциональные $\cos \tau$ и $\sin \tau$, приводят к появлению вековых членов в частном решении для $x_{1}$ и $y_{1}$. Чтобы определить необходимые условия уничтожения вековых членов, рассмотрим частное решение вида
\[
x_{p}=0, \quad y_{p}=c \sin \tau .
\]

Подставив (3.1.80) в (3.1.78) и (3.1.79) и приравняв коэффициенты при $\cos \tau$ и $\sin \tau$, получим
\[
c=-\left(b_{1}-\frac{b_{0}}{2}\right), \quad c\left(a_{0}+\frac{1}{4}\right)=\alpha\left(a_{1}+\frac{a_{0}}{2}\right) .
\]

Условие обращения $c$ в нуль приводит к равенству
\[
b_{1}-\frac{1}{2} b_{0}=-\alpha^{2}\left(a_{1}+\frac{1}{2} a_{0}\right) .
\]

Так как $b_{1}=-a_{1}$, то
\[
b_{1}=\frac{b_{0}-a_{0} \alpha^{2}}{2\left(1-\alpha^{2}\right)} \approx-0,1250 .
\]

Поэтому из (3.1.72) получаем
\[
\mu_{1} \approx-0,05641 .
\]

Таким образом, переходная кривая с точностью до первого порядка имеет вид
\[
\mu=0,02859-0,05641 e+O\left(e^{2}\right) .
\]

Если бы мы использовали решение (3.1.76) для задачи нулевого порядка, мы бы получили вторую ветвь
\[
\mu=0,02859+0,05641 e+O\left(e^{2}\right) .
\]

Приведенное выше исследование можно непосредственно продолжить до высших порядков. Оно было выполнено Найфэ и Кемелом [1970a] вплоть до четвертого порядка.

3.1.5. Характеристические показатели для треугольных точек в эллиптической ограниченной задаче трех тел

Из теории Флоке известно, что уравнения (3.1.63) и (3.1.64) имеют нормальные решения вида
\[
x, y=e^{\gamma f}[\varphi(f), \psi(f)],
\]

где $\varphi$ и $\psi$-периодические функции с периодом $2 \pi$ и $4 \pi, \gamma-$ действительное или комплексное число. Подстановка (3.1.87) в (3.1.63) и (3.1.64) приводит к
\[
\begin{array}{l}
\varphi^{\prime \prime}+2 \gamma \varphi^{\prime}-2 \psi^{\prime}+\gamma^{2} \varphi-2 \gamma \psi-\frac{h_{2} \varphi}{1+e \cos f}=0, \\
\psi^{\prime \prime}+2 \gamma \psi^{\prime}+2 \varphi^{\prime}+\gamma^{2} \psi+2 \gamma \varphi-\frac{h_{1} \psi}{1+e \cos f}=0 .
\end{array}
\]

Переходная кривая соответствует $\gamma=0$, следовательно, вблизи этой переходной кривой $\gamma$ мало. Поэтому для того, чтобы получить разложения для $\varphi$ и $\psi$, пригодные вблизи переходной кривой, пересекающей ось $\mu$ в точке $\mu_{0}$, положим
\[
\begin{array}{l}
\varphi=\varphi_{0}+e \varphi_{1}+\ldots, \\
\psi=\psi_{0}+e \psi_{1}+\ldots, \\
\gamma=e \gamma_{1}+\ldots, \\
\mu=\mu_{0}+e \mu_{1}+\ldots .
\end{array}
\]

Подставляя (3.1.90) — (3.1.93) в (3.1.88), (3.1.89) и (3.1.65) и приравнивая члены с равными степенями $e$, получим
Нулевой порядок ( $e^{0}$ )
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{0}^{\prime \prime}-2 \psi_{0}^{\prime}-b_{0} \varphi_{0}=0, \\
\psi_{0}^{\prime \prime}+2 \varphi_{0}^{\prime}-a_{0} \psi_{0}=0 .
\end{array}
\]

Первый порядок ( $е$ )
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{1}^{\prime \prime}-2 \psi_{1}^{\prime}-b_{0} \varphi_{1}=-2 \gamma_{1} \varphi_{0}^{\prime}+2 \gamma_{1} \psi_{0}+b_{1} \varphi_{0}-b_{0} \varphi_{0} \cos f, \\
\psi_{1}^{\prime \prime}+2 \psi_{1}^{\prime}-a_{0} \varphi_{1}=-2 \gamma_{1} \psi_{0}^{\prime}-2 \gamma_{1} \varphi_{0}+a_{1} \psi_{0}-a_{0} \psi_{0} \cos f .
\end{array}
\]

Общее решение уравнений (3.1.94) и (3.1.95) имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{0}=A \cos \tau+B \sin \tau, \\
\psi_{0}=\alpha B \cos \tau-\alpha A \sin \tau .
\end{array}
\]

Это решение определяет правые части уравнений (3.1.96) и (3.1.97), поэтому
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{1}^{\prime \prime}-2 \psi_{1}^{\prime}-b_{0} \varphi_{1}= P_{11} \cos \tau+Q_{11} \sin \tau- \\
\quad-\frac{1}{2} b_{0} A \cos 3 \tau-\frac{1}{2} b_{0} B \sin 3 \tau, \\
\psi_{1}^{\prime \prime}+2 \varphi_{1}^{\prime}-a_{0} \psi_{1}=P_{12} \cos \tau+Q_{12} \sin \tau- \\
— \frac{1}{2} a_{0} \alpha B \cos 3 \tau+\frac{1}{2} a_{0} \alpha A \sin 3 \tau,
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
P_{11}=\gamma_{1}(2 \alpha-1) B+\left(b_{1}-\frac{b_{0}}{2}\right) A, \\
P_{12}=\gamma_{1}(\alpha-2) A+\alpha\left(a_{1}-\frac{a_{0}}{2}\right) B, \\
Q_{11}=-\gamma_{1}(2 \alpha-1) A+\left(b_{1}+\frac{b_{0}}{2}\right) B, \\
Q_{12}=\gamma_{1}(\alpha-2) B-\alpha\left(a_{1}+\frac{a_{0}}{2}\right) A .
\end{array}
\]

Так как функции $\varphi$ и $\psi$-периодические, то вековые члены в решениях для $\varphi_{1}$ и $\psi_{1}$ должны исчезнуть. Чтобы уничтожить эти вековые члены, положим
\[
\varphi_{1}=0, \quad \psi_{1}=c_{1} \cos \tau+c_{2} \sin \tau .
\]

Подставив (3.1.102) в (3.1.100) и (3.1.101) и приравняв коэффициенты при $\sin \tau$ и $\cos \tau$ в обеих частях уравнений, получим
\[
\begin{array}{rlrl}
c_{1} & =Q_{11}, \\
-\left(a_{0}+\frac{1}{4}\right) c_{1} & =P_{12}, & -c_{2} & =P_{11}, \\
\left(a_{0}+\frac{1}{4}\right) c_{2} & =Q_{12} .
\end{array}
\]

Исключение $c_{1}$ и $c_{2}$ из (3.1.103) дает
\[
P_{11}=\alpha Q_{12}, \quad Q_{11}=-\alpha P_{12} .
\]

После подстановки выражений для $P$ и $Q$ в (3.1.104) и перегруппировки членов получим
\[
\begin{array}{l}
{\left[b_{1}-\frac{b_{0}}{2}+\alpha^{2}\left(a_{1}+\frac{a_{0}}{2}\right)\right] A-\gamma_{1}\left(1-4 \alpha+\alpha^{2}\right) B=0,} \\
\gamma_{1}\left(1-4 \alpha+\alpha^{2}\right) A+\left[b_{1}+\frac{b_{0}}{2}+\alpha^{2}\left(a_{1}-\frac{a_{0}}{2}\right)\right] B=0 .
\end{array}
\]

Для существования нетривиального решения системы уравнений (3.1.105), (3.1.106) относительно $A$ и $B$ ее определитель должен обратиться в нуль. Это условие приводит к равенству
\[
\gamma_{1}^{2}=-\frac{\left[b_{1}-\frac{1}{2} b_{0}+\alpha^{2}\left(a_{1}+\frac{1}{2} a_{0}\right)\right]\left[b_{1}+\frac{1}{2} b_{0}+\alpha^{2}\left(a_{1}-\frac{1}{2} a_{0}\right)\right]}{\left(1-4 \alpha+\alpha^{2}\right)^{2}} .
\]

Далее
\[
\frac{B}{A}=\frac{b_{1}-\frac{1}{2} b_{0}+\alpha^{2}\left(a_{1}+\frac{1}{2} a_{0}\right)}{\gamma_{1}\left(1-4 \alpha+\alpha^{2}\right)}=\operatorname{tg} \sigma .
\]

Поэтому для первого приближения получим
\[
x_{3} y=e^{e \gamma_{1}}\left[\cos \left(\frac{1}{2} f-\sigma\right),-\alpha \sin \left(\frac{1}{2} f-\sigma\right)\right]+O(e)
\]

Переходная кривая (3.1.85), (3.1.86) соответствует $\gamma_{1}=0$, а (3.1.75) и (3.1.76) можно получить из (3.1.109), положив $\gamma_{1}=0$ и $\sigma=0$ или $\pi / 2$.

Настоящий анализ можно непосредственно продолжить до более высоких порядков, несмотря на сложность алгебраических выкладок. Найфэ [1970а] получил разложение до второго порядка.

3.1.6. Простая линейная задача на собственные значения

Рассмотрим теперь задачу определения собственного значения $\lambda$ и собственной функции $u$, где
\[
\begin{array}{c}
u^{\prime \prime}+[\lambda+\varepsilon f(x)] u=0, \quad f(x)=f(-x), \\
u(0)=u(1)=0
\end{array}
\]

и $\varepsilon$-малый параметр. Если $\varepsilon=0$, то собственные функции и собственные значения соответственно будут равны
\[
\begin{array}{c}
u_{n}=\sqrt{2} \sin n \pi x, \quad n=1,2,3, \ldots, \\
\lambda_{n}=n^{2} \pi^{2} .
\end{array}
\]

Вышеприведенные собственные функции ортонормированы, т. е.
\[
\int_{0}^{1} u_{n}(x) u_{m}(x) d x=\delta_{m n}
\]

где $\delta_{m n}$-символ Кронекера, определяемый следующим образом:
\[
\delta_{m n}=\left\{\begin{array}{ll}
0, & m
eq n, \\
1, & m=n .
\end{array}\right.
\]

Для малых ненулевых $\varepsilon$ получим приближенное значение для $u_{n}$ и $\lambda_{n}$, положив
\[
\begin{array}{l}
u_{n}=V \overrightarrow{2} \sin n \pi x+\varepsilon u_{n 1}+\varepsilon^{2} u_{n 2}+\ldots, \\
\lambda_{n}=n^{2} \pi^{2}+\varepsilon \lambda_{n 1}+\varepsilon^{2} \lambda_{n 2}+\ldots .
\end{array}
\]

Подставляя (3.1.115) и (3.1.116) в (3.1.110) и (3.1.111) и приравнивая коэффициенты при равных степенях $\varepsilon$, получим
\[
\begin{array}{c}
u_{n 1}^{n}+n^{2} \pi^{2} u_{n 1}=-f(x) u_{n 0}-\lambda_{n 1} u_{n 0}, \\
u_{n 1}(0)=u_{n 1}(1)=0, \\
u_{n 2}^{\prime \prime}+n^{2} \pi^{2} u_{n 2}=-f(x) u_{n 1}-\lambda_{n 1} u_{n 1}-\lambda_{n 2} u_{n 0}, \\
u_{n 2}(0)=u_{n 1}(1)=0 .
\end{array}
\]

Здесь задача нулевого порядка тождественно удовлетворяется и $u_{n_{0}}=\sqrt{2} \sin n \pi x$.

Будем предполагать, что $u_{n 1}$ может быть выражено в виде линейной комбинации собственных функций нулевого порядка $u_{n 0}$, т. е.
\[
u_{n 1}=\sum_{m=1}^{\infty} a_{n m} \sqrt{2} \sin m \pi x .
\]

Это решение удовлетворяет граничным условиям для $u_{n 1}$. Подставляя (3.1.119) в (3.1.117), получаем
\[
\begin{array}{r}
\sum_{m=1}^{\infty} \sqrt{2} \pi^{2}\left(n^{2}-m^{2}\right) a_{n m} \sin m \pi x=-\sqrt{2} f(x) \sin n \pi x- \\
-\sqrt{2} \lambda_{n 1} \sin n \pi x .
\end{array}
\]

Умножая (3.1.120) на $\sqrt{2} \sin k \pi x$, интегрируя от 0 до 1 и используя свойство ортонормированности (3.1.114) собственных функций (3.1.112), получаем
\[
\pi^{2}\left(n^{2}-k^{2}\right) a_{n k}=-F_{n k}-\lambda_{n 1} \delta_{n k},
\]

где
\[
F_{n k}=2 \int_{0}^{1} f(x) \sin n \pi x \sin k \pi x d x .
\]

Если $k=n$, то левая часть (3.1.121) обратится в нуль. Следовательно,
\[
\lambda_{n 1}=-F_{n n}=-2 \int_{0}^{1} f(x) \sin ^{2} n \pi x d x .
\]

Однако при $k
eq n$
\[
a_{n k}=-\frac{F_{n k}}{\pi^{2}\left(n^{2}-k^{2}\right)} .
\]

Условие (3.1.123) эквивалентно уничтожению вековых членов. В этом случае функции $u_{n 1}$ будут
\[
u_{n 1}=-\sum_{k
eq n} \frac{F_{n k}}{\pi^{2}\left(n^{2}-k^{2}\right)} \sqrt{2} \sin k \pi x+a_{n n} \sqrt{2} \sin n \pi x .
\]

Заметим, что $a_{n n}$ еще не определены, но в окончательном решении они определяются нормировкой $u_{n}$.
Переходя ко второму порядку, предположим, что
\[
u_{n 2}=\sum_{r=1}^{\infty} b_{n r} \sqrt{2} \sin r \pi x .
\]

Подставляя выражения для $u_{n 2}, u_{n 1}$ и $u_{n 0}$ в (3.1.118), получаем
\[
\begin{array}{c}
\pi^{2} \sum_{r=1}^{\infty}\left(n^{2}-r^{2}\right) \sqrt{2} b_{n r} \sin r \pi x=-\sum_{k=1}^{\infty} a_{n k} \sqrt{2} f(x) \sin k \pi x- \\
-\sum_{k=1}^{\infty} a_{n k} \lambda_{n 1} \sqrt{2} \sin k \pi x-\lambda_{n 2} \sqrt{2} \sin n \pi x .
\end{array}
\]

Умножая (3.1.127) на $\sqrt{2} \sin s \pi x$, интегрируя от 0 до 1 и используя свойство ортонормированности (3.1.114), получаем
\[
\pi^{2}\left(n^{2}-s^{2}\right) b_{n s}=-\sum_{k=1}^{\infty} a_{n k} F_{k s}-a_{n s} \lambda_{n 1}-\lambda_{n 2} \delta_{n s} .
\]

Если $s=n$, то левая часть (3.1.128) обращается в нуль, в то время как правая часть дает
\[
\lambda_{n 2}=-\sum_{k
eq n} a_{n k} F_{k n}=\sum_{k
eq n} \frac{F_{n k}^{2}}{\pi^{2}\left(n^{2}-k^{2}\right)} .
\]

Если $s
eq n$, то (3.1.128) дает
\[
b_{n s}=\sum_{k
eq n} \frac{F_{n k} F_{k s}}{\pi^{4}\left(n^{2}-k^{2}\right)\left(n^{2}-s^{2}\right)}-\frac{a_{n n} F_{n s}}{\pi^{2}\left(n^{2}-s^{2}\right)}-\frac{F_{n n} F_{n s}}{\pi^{4}\left(n^{2}-s^{2}\right)^{2}} .
\]

Здесь $b_{n n}$ также еще не определены, но определятся при нормировке $u_{n}$.
Для нормировки $u_{n}$ потребуем, чтобы
\[
\int_{0}^{1}\left(u_{n 0}+\varepsilon u_{n 1}+\varepsilon^{2} u_{n 2}\right)^{2} d x=1 .
\]

Поскольку $u_{n 0}$ нормирована, то
\[
\begin{aligned}
\int_{0}^{1} u_{n 0} u_{n 1} d x & =0, \\
\int_{0}^{1}\left(2 u_{n 0} u_{n 2}+u_{n 1}^{2}\right) d x & =0 .
\end{aligned}
\]

Условие (3.1.132) дает $a_{n n}=0$, а условие (3.1.133) дает
\[
b_{n n}=-\frac{1}{2} \sum_{k
eq n} a_{n k}^{2} .
\]

Поэтому с точностью до второго порядка имеем
\[
\begin{array}{c}
u_{n=2} \sqrt{2} \sin n \pi x-\varepsilon \sum_{k
eq n} \frac{F_{n k}}{\pi^{2}\left(n^{2}-k^{2}\right)} \sqrt{2} \sin k \pi x+ \\
+\varepsilon^{2} \sum_{k
eq n}\left\{\left[\sum_{s
eq n} \frac{F_{n s} F_{k s}}{\pi^{4}\left(n^{2}-s^{2}\right)\left(n^{2}-k^{2}\right)}-\frac{F_{n n} F_{n k}}{\pi^{4}\left(n^{2}-k^{2}\right)^{2}}\right] \sqrt{2} \sin k \pi x-\right. \\
\left.\quad-\frac{1}{2} \frac{F_{n k}^{2}}{\pi^{4}\left(n^{2}-k^{2}\right)^{2}} \sqrt{2} \sin n \pi x\right\}+O\left(\varepsilon^{3}\right) \\
\lambda=n^{2} \pi^{2}-\varepsilon F_{n n}+\varepsilon^{2} \sum_{k
eq n} \frac{F_{n k}^{2}}{\pi^{2}\left(n^{2}-k^{2}\right)}+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\end{array}
\]

Метод разложения, описанный в этом пункте, называется методом Рэлея — Шредингера. Он был развит Шредингером [1926] для исследования стационарных решений уравнения Шредингера. За большей библиографией и более полным изложением мы отсылаем читателя к книге под редакцией Уилкокса [1966] и к статье Хиршфельдера [1969].

3.1.7. Қвазилинейная задача на собственные значения
Рассмотрим теперь задачу на собственные значения
\[
H \varphi+\lambda \varphi=\varepsilon F(\varphi)
\]

при однородном граничном условии
\[
B(\varphi)=0,
\]

где $H$-линейный, а $F$ — нелинейный операторы, действующие на $\varphi$. Мы ищем приближенное решение для малых $\varepsilon$ в виде
\[
\begin{array}{l}
\varphi=\varphi_{0}+\varepsilon \varphi_{1}+\ldots, \\
\lambda=\lambda_{0}+\varepsilon \lambda_{1}+\ldots .
\end{array}
\]

Подставляя (3.1.139) и (3.1.140) в (3.1.137) и (3.1.138) и приравнивая коэффициенты при равных степенях $\varepsilon$, получаем
\[
\begin{array}{ll}
H \varphi_{0}+\lambda_{0} \varphi_{0}=0, & B\left(\varphi_{0}\right)=0, \\
H \varphi_{1}+\lambda_{0} \varphi_{1}=-\lambda_{1} \varphi_{0}+F\left(\varphi_{0}\right), & B\left(\varphi_{1}\right)=0 .
\end{array}
\]

Необходимо различать два случая в зависимости от того, являются собственные значения задачи (3.1.141) различными или нет. Первый случай называется невырожденным, в то время как второй называется вырожденным, поскольку кратному собственному значению соответствует более одной собственной функции. Оба случая излагаются ниже.

Невырожденный случай. Допустим, что задача (3.1.141) решена и ее решение дает собственные функции $u_{n}$, соответствующие собственным значениям $\mu_{n}, n=1,2, \ldots$. Предположим далее, что $\mu_{m}
eq \mu_{n}$, если $m
eq n$, и что собственные функции $\left\{u_{n}\right\}$ образуют ортонормированное семейство, т. е.
\[
\int_{D} u_{n} \bar{u}_{m} d \mathbf{x}=\delta_{m n},
\]

где $\mathbf{x}$-вектор, изображающий координаты, $\bar{u}$-комплексно сопряженная к $и$ функция, а интегрирование ведется по всей рассматриваемой области $D$. Чтобы решить (3.1.142), мы, так же как и в двух предыдущих пунктах, разложим функцию $\varphi_{1}$ по ортонормированному базису $\left\{u_{n}\right\}$, т. е.
\[
\varphi_{1}=\sum_{m=1}^{\infty} a_{m} u_{m} .
\]

Таким образом, $\varphi_{1}$ удовлетворяет краевому условию $B\left(\varphi_{1}\right)=0$, так как $B\left(u_{m}\right)=0$ для всех $m$. Полагая $\varphi_{0}=u_{n}$ и $\lambda_{0}=\mu_{n}$ и подставляя (3.1.144) в (3.1.142), получаем
\[
\sum_{m=1}^{\infty}\left(\mu_{n}—\mu_{m}\right) a_{m} u_{m}=-\lambda_{1} u_{n}+F\left(u_{n}\right) .
\]

Умножая (3.1.145) на $\bar{u}_{s}$, интегрируя по области $D$ и используя условие ортонормированности, придем к равенству
\[
\left(\mu_{n}-\mu_{s}\right) a_{s}=-\lambda_{1} \delta_{n s}+F_{n s},
\]

где
\[
F_{n s}=\int_{D} F\left(u_{n}\right) \bar{u}_{s} d \mathbf{x} .
\]

Если $n=s$, (3.1.146) дает
\[
\lambda_{1}=F_{n n} .
\]

Если $n
eq s$, то
\[
a_{s}=\frac{F_{n s}}{\mu_{n}-\mu_{s}} .
\]

Таким образом,
\[
\varphi_{1}=\sum_{m
eq n} \frac{F_{n m}}{\mu_{n}-\mu_{m}} u_{m}+a_{n n} u_{n} .
\]

Коэффициенты $a_{n n}$ можно положить равными нулю, если, так же как и в предыдущем пункте, предположить, что функция $\varphi=$ $=\varphi_{0}+\varepsilon \varphi_{1}+O\left(\varepsilon^{2}\right)$ нормирована. Поэтому для первого порядка имеем
\[
\begin{array}{l}
\varphi=u_{n}+\varepsilon \sum_{m
eq n} \frac{F_{n m}}{\mu_{n}-\mu_{m}} u_{m}+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\lambda=\mu_{n}+\varepsilon F_{n n}+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\end{array}
\]

Рассмотрим в качестве примера задачу
\[
\begin{aligned}
\frac{d^{2} \varphi}{d x^{2}}+\lambda \varphi & =-\varepsilon \varphi^{3}, \\
\varphi(0) & =\varphi(1)=0 .
\end{aligned}
\]

Здесь $D$-интервал $[0,1]$ и
\[
u_{n}=\sqrt{2} \sin n \pi x, \quad \mu_{n}=n^{2} \pi^{2} .
\]

Поскольку $F(\varphi)=-\varphi^{3}$ и $\bar{u}_{m}=u_{m}$, имеем
\[
\begin{aligned}
F_{n m} & =-4 \int_{0}^{1} \sin ^{3} n \pi x \sin m \pi x d x= \\
& =\int_{0}^{1}(\sin 3 n \pi x-3 \sin n \pi x) \sin m \pi x d x= \\
& =\frac{1}{2} \delta_{m, 3 n}-\frac{3}{2} \delta_{n m} .
\end{aligned}
\]

Поэтому (3.1.151) и (3.1.152) принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\varphi=\sqrt{2} \sin n \pi x-\frac{\varepsilon \sqrt{2}}{16 n^{2} \pi^{2}} \sin 3 n \pi x+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\lambda=n^{2} \pi^{2}-\frac{3}{2} \varepsilon+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\end{array}
\]

Вырожденный случай. В этом случае пусть $\mu_{n+k}=\mu_{n}$ для $k=0,1,2, \ldots, M$. Тогда
\[
\varphi_{0}=\sum_{k=0}^{M} b_{k} u_{n+k} .
\]

Подставив выражения для $\varphi_{1}$ и $\varphi_{0}$ из (3.1.144) и (3.1.159) в (3.1.142) и положив $\lambda_{0}=\mu_{n}$, получим
\[
\sum_{m=1}^{\infty}\left(\mu_{n}-\mu_{m}\right) a_{m} u_{m}=-\lambda_{1} \sum_{k=0}^{M} b_{k} u_{n+k}+F\left[\sum_{k=0}^{M} b_{k} u_{n+k}\right] .
\]

Умножим (3.1.160) на $\bar{u}_{s}$ и проинтегрируем по области $D$. Имеем
\[
\left(\mu_{n}-\mu_{s}\right) a_{s}=-\lambda_{1} \sum_{k=0}^{M} b_{k} \delta_{s, n+k}+\mathscr{F}_{s}\left(b_{0}, b_{1}, \ldots, b_{M}\right),
\]

где
\[
\mathscr{F}_{s}=\int_{D} F\left[\sum_{k=0}^{M} b_{k} u_{n+k}\right] \bar{u}_{s} d \mathbf{x},
\]

если $s=n+k$, для $k=0,1,2, \ldots, M$, то (3.1.161) даст
\[
\mathscr{F}_{n+k}\left(b_{0}, b_{1}, \ldots, b_{M}\right)-\lambda_{1} b_{k}=0, \quad k=0,1,2, \ldots, M .
\]

Соотношения (3.1.163) образуют систему из $M+1$ однородных алгебраических уравнений относительно $M+1$, неизвестных $b_{m}$ и собственного значения $\lambda_{1}$. Если $s
eq n+k, k=0,1, \ldots, M$, то
\[
a_{s}=\frac{\mathscr{F}_{s}\left(b_{0}, b_{1}, \ldots, b_{M}\right)}{\mu_{n}-\mu_{s}} .
\]

В качестве примера рассмотрим задачу
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{4} \varphi}{d x^{4}}+5 \pi^{2} \frac{d^{2} \varphi}{d x^{2}}+\lambda \varphi=\varepsilon \varphi \frac{d \varphi}{d x}, \\
\varphi(0)=\varphi^{\prime \prime}(0)=\varphi(1)=\varphi^{\prime \prime}(1)=0 .
\end{array}
\]

В этом случае решение линеаризованной задачи имеет вид
\[
u_{n}=\sqrt{2} \sin n \pi x, \quad \mu_{n}=n^{2}\left(5-n^{2}\right) \pi^{4} .
\]

Таким образом, $\mu_{1}=\mu_{2}=4 \pi^{4}$, и мы имеем дело с вырождением. Предположим, что функция, соответствующая собственному значению $\mu_{1}$, имеет вид
\[
\varphi_{0}=b_{0} \sqrt{2} \sin \pi x+b_{1} \sqrt{2} \sin 2 \pi x .
\]

Тогда
\[
\begin{array}{l}
F\left(\varphi_{0}\right)=\varphi_{0} \frac{d \varphi_{0}}{d x}= \\
=\pi\left[-b_{0} b_{1} \sin \pi x+b_{0}^{2} \sin 2 \pi x+3 b_{0} b_{1} \sin 3 \pi x+2 b_{1}^{2} \sin 4 \pi x\right] .
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
\begin{aligned}
\mathscr{F}_{s} & =\sqrt{2} \int_{0}^{1} F\left(\varphi_{0}\right) \sin s \pi x d x= \\
& =\frac{1}{2} \sqrt{2} \pi\left[-b_{0} b_{1} \delta_{1 s}+b_{0}^{2} \delta_{2 s}+3 b_{0} b_{1} \delta_{3 s}+2 b_{1}^{2} \delta_{t s}\right] .
\end{aligned}
\]

При известном $\mathscr{F}_{s}$ соотношения (3.1.163) примут вид
\[
\begin{aligned}
-\frac{1}{2} \sqrt{2} \pi b_{0} b_{1}-\lambda_{1} b_{0} & =0, \\
\frac{1}{2} \sqrt{2} \pi b_{0}^{2}-\lambda_{1} b_{1} & =0,
\end{aligned}
\]

а выражение (3.1.164) даст
\[
a_{3}=\frac{3 b_{0} b_{1}}{40 \sqrt{2} \pi^{3}}, \quad a_{4}=\frac{b_{1}^{2}}{90 \sqrt{2} \pi^{3}} .
\]

Поскольку $b_{0}
ot \equiv 0$, из (3.1.171) получим
\[
b_{1}=-\frac{\sqrt{2}}{\pi} \lambda_{1} .
\]

Подставляя выражение для $b_{1}$ в (3.1.172) и разрешая относительно $\lambda_{1}$, получаем
\[
\lambda_{1}=\mp \frac{1}{\sqrt{2}} i \pi b_{0} \text {. }
\]

Следовательно,
\[
b_{1}= \pm i b_{0} .
\]

Поэтому
\[
\begin{array}{c}
\varphi=b_{0} \sqrt{2} \sin \pi x \pm i b_{0} \sqrt{2} \sin 2 \pi x+\varepsilon\left[a_{1} \sqrt{2} \sin \pi x+\right. \\
\left.+a_{2} \sqrt{2} \sin 2 \pi x \pm \frac{3}{40 \pi^{3}} i b_{0}^{2} \sin 3 \pi x-\frac{1}{90 \pi^{3}} b_{0}^{2} \sin 4 \pi x\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\lambda=4 \mp \frac{\pi}{\sqrt{2}} \varepsilon i b_{0}+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\end{array}
\]

Постоянные $a_{1}$ и $a_{2}$ могут быть связаны с $b_{0}$ при нормировке $\varphi_{0}$. Решения, соответствующие $\mu_{n}, n>1$, имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\varphi=\sqrt{2} \sin n \pi x+\varepsilon \frac{1}{15 n\left(n^{2}-1\right) \pi^{3}} \sin 2 n \pi x+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\lambda=n^{2}\left(5-n^{2}\right) \pi^{4}+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\end{array}
\]

Следует отметить, что для реализации вышеизложенной процедуры должно существовать разложение функции $F\left(\varphi_{0}\right)$ по собственным функциям задачи нулевого порядка. Например, если в (3.1.165) положить $F(\varphi)=\varphi^{2}$, то попытка применить описанную процедуру потерпит неудачу. Действительно, в этом случае $F\left(\varphi_{0}\right)=b_{10}^{2}+b_{1}^{2}+2 b_{0} b_{1} \cos \pi x-b_{0}^{2} \cos 2 \pi x-$
\[
-2 b_{0} b_{1} \cos 3 \pi x-b_{1}^{2} \cos 4 \pi x \text {. }
\]

Откуда $\mathscr{F}_{s}=0$ для всех $s$, и выражение (3.1.150) для $\varphi_{1}$ будет непригодным.

3.1.8. Квазилинейное уравнение Клейна-Гордона

В этом пункте мы рассмотрим задачу определения периодических распространяющихся волн конечной амплитуды для уравнения
\[
u_{t t}-\alpha^{2} u_{x x}+\gamma^{2} u=\beta u^{3} .
\]

Если пренебречь нелинейным членом $\beta u^{3}$, то мы получим решение в виде линейных распространяющихся периодических волн
\[
u=a \cos (k x-\omega t), \quad \omega^{2}=\alpha^{2} k^{2}+\gamma^{2} .
\]

Фазовая скорость этих волн равна $\omega / k$ и не зависит от амплитуды. В нелинейной задаче фазовая скорость будет, вообще говоря, функцией амплитуды.

Для определения зависимости фазовой скорости. $c$ от амплитуды мы предположим, что
\[
u=u(\theta), \quad \theta=x-c t,
\]

тогда (3.1.182) примет вид
\[
\left(c^{2}-\alpha^{2}\right) u^{\prime \prime}+\gamma^{2} u=\beta u^{3},
\]

где штрих означает дифференцирование по $\theta$. Предполагая, что амплитуда $u$ мала, разложим $u$ и $c$
\[
\begin{array}{l}
u=a u_{1}+a^{3} u_{3}+\ldots, \\
c=c_{0}+a^{2} c_{2}+\ldots .
\end{array}
\]

Если бы мы включили в эти разложения члены $a c_{1}$ и $a^{2} u_{2}$, то получили бы, что $c_{1}=0$, а $u_{2}$ удовлетворяет тому же уравнению, что и $u_{1}$. Поэтому $u_{2}$ не включено в разложение.

Подставив (3.1.185) в (3.1.184) и приравняв коэффициенты при равных степенях $a$, получим
\[
\begin{array}{l}
\left(c_{0}^{2}-\alpha^{2}\right) u_{1}^{\prime \prime}+\gamma^{2} u_{1}=0, \\
\left(c_{0}^{2}-\alpha^{2}\right) u_{3}^{\prime \prime}+\gamma^{2} u_{3}=-2 c_{0} c_{2} u_{1}^{\prime \prime}+\beta u_{1}^{3} .
\end{array}
\]

Для уравнения (3.1.186) возьмем решение вида
\[
u_{1}=\cos k \theta, \quad c_{0}^{2}=\alpha^{2}+\gamma^{2} k^{-2}
\]

так, чтобы (3.1.185) совпадало с (3.1.183) с точностью до $O(a)$. Тогда (3.1.187) примет вид
\[
\left(c_{0}^{2}-\alpha^{2}\right) u_{3}^{\prime \prime}+\gamma^{2} u_{3}=\left(2 c_{0} c_{2} k^{2}+\frac{3}{4} \beta\right) \cos k \theta+\frac{1}{4} \beta \cos 3 k \theta .
\]

Вековые члены будут устранены, если $c_{2}=-3 \beta / 8 c_{0} k^{2}$. Тогда
\[
u_{s}=-\frac{\beta}{32 \gamma^{2}} \cos 3 k \theta \text {. }
\]
Поэтому
\[
\begin{array}{l}
u=a \cos k \theta-\frac{a^{3} \beta}{32 \gamma^{2}} \cos 3 k \theta+\ldots, \\
c=\sqrt{\alpha^{2}+\gamma^{2} k^{-2}}\left[1-\frac{3 a^{2} \beta}{8\left(\alpha^{2} k^{2}+\gamma^{2}\right)}\right]+\ldots .
\end{array}
\]

Методика, использованная в этом пункте, была формализована Стокером [1957] для описания поверхностных волн в жидкости. Эта методика была использована при рассмотрении взаимодействия капиллярных и гравитационных волн на воде бесконечной и конечной глубины Пирсоном и Файфом [1961] и Баракатом и Хаустоном [1968] соответственно. Она использовалась также Мэслоу и Келли [1970] при рассмотрении волн в течении Қельвина-Гельмгольца.

Вместо того чтобы раскладывать фазовую скорость, можно было бы разложить волновое число и определить сдвиг волнового числа, или разложить частоту и определить сдвиг частоты. Разновидности этого метода применялись к целому ряду задач. Так, например, Малкус и Веронис [1958] рассматривали задачу конвекции Бенара. Педловский [1967] определил реакцию ограниченного океана на поверхностный ветер, осциллирующий вблизи одной из волновых частот Россби. Келлер и Тин [1966] и Миллман и Келлер [1969] получили периодическое решение для различных систем, описываемых нелинейными уравнениями в частных производных; Келлер и Миллман [1969] рассматривали распространение нелинейных электромагнитных и акустических волн. Радзяппа [1970] исследовал нелинейную неустойчивость Рэлея — Тэйлора.