Рассмотрим следующую частную задачу второго порядка (Найфэ, [1964], [1965b]):
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+(2 x+1) \frac{d y}{d x}+2 y=0, \\
y(0)=\alpha, \quad y(1)=\beta,
\end{array}
\]

которая изучалась в п. 4.1.3 и 4.2 .2 с помощью методов сращивания асимптотических разложений и составных асимптотических разложений. Из рассмотрений п. 4.1.3 следует, что точка $x=0$ является источником неравномерности прямого разложения. Размеры области неравномерности определяются равенством $x=O(\varepsilon)$. Для исследования этой задачи с помощью метода сращивания асимптотических разложений рассматривалось внутреннее разложение, пригодное для $x=O(\varepsilon)$ и использующее внутреннюю переменную $\eta=x / \varepsilon$. Это внутреннее разложение сращивалось с внешним и затем строилось составное разложение, которое и являлось равномерно пригодным разложением.

Чтобы получить равномерно пригодное разложение с помощью обобщенной разновидности метода многих масштабов, введем в рассмотрение масштабы
\[
\begin{array}{l}
\xi=x, \\
\eta=\frac{g_{0}(x)}{\varepsilon}+g_{1}(x)+\varepsilon g_{2}(x),
\end{array}
\]

где функции $g_{n}$ будут определены в процессе вычислений. Потребуем выполнения равенств $g_{0}(0)=g_{i}(0)=0$. Тогда при $x \rightarrow 0$ будем иметь $g_{0}(x) \rightarrow x$, и, следовательно, $\eta$ будет стремиться к внутренней переменной $x / \varepsilon$. Производные по переменной $x$ преобразуются в соответствии с равенствами
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d x}=\frac{d \eta}{d x} \frac{\partial}{\partial \eta}+\frac{\partial}{\partial \xi}, \\
\frac{d^{2}}{d x^{2}}=\left[\frac{d \eta}{d x}\right]^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial \eta^{2}}+\frac{d^{2} \eta}{d x^{2}} \frac{\partial}{\partial \eta}+2 \frac{d \eta}{d x} \frac{\partial^{2}}{\partial \eta \partial \xi}+\frac{\partial^{2}}{\partial \xi^{2}} .
\end{array}
\]

С помощью введенных переменных уравнение (6.4.1) примет вид
\[
\begin{array}{l}
\varepsilon\left(\frac{g_{0}^{\prime}}{\varepsilon}+g_{1}^{\prime}+\varepsilon g_{2}^{\prime}+\ldots\right)^{2} \frac{\partial^{2} y}{\partial \eta^{2}}+\varepsilon\left(\frac{g_{0}^{\prime \prime}}{\varepsilon}+g_{1}^{\prime \prime}+\varepsilon g_{2}^{\prime}+\ldots\right) \frac{\partial y}{\partial \eta}+ \\
\quad+2 \varepsilon\left(\frac{g_{0}^{\prime}}{\varepsilon}+g_{1}^{\prime}+\varepsilon g_{2}^{\prime}+\ldots\right) \frac{\partial^{2} y}{\partial \xi \partial \eta}+\varepsilon \frac{\partial^{2} y}{\partial \xi^{2}}+ \\
\quad+(2 \xi+1)\left[\left(\frac{g_{0}^{\prime}}{\varepsilon}+g_{1}^{\prime}+\varepsilon g_{2}^{\prime}+\ldots\right) \frac{\partial y}{\partial \eta}+\frac{\partial y}{\partial \xi}\right]+2 y=0 .
\end{array}
\]

Здесь штрихом обозначено дифференцирование по аргументу. Отметим, что переменную $x$, встречающуюся в уравнении (6.4.1), мы заменили на $\xi$; именно выражение $2 x+1$ записано в виде $2 \xi+1$. Кроме того, функции $g_{n}$ и их производные выражены через переменную $\xi$. Предположим теперь, что решение уравнения (6.4.7) допускает равномерно пригодное асимптотическое представление вида
\[
y=\sum_{n=0}^{N-1} \varepsilon^{n} y_{n}(\xi, \eta)+O\left(\varepsilon^{N}\right),
\]

в котором выполнено
\[
\frac{y_{n}}{y_{n-1}}<\infty
\]

для всех $\xi=x$ и $\eta=\eta(x ; \varepsilon)$, где $x$ принимает значения из интересующей нас области. Последнее условие является математическим выражением того факта, что разложение (6.4.8) регулярно во всей рассматриваемой области.

Подставив (6.4.8) в уравнение (6.4.7) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим следующие урав-

нения относительно $y_{0}, y_{1}$ и $y_{2}$ :
\[
\begin{array}{c}
{\left[g_{0}^{\prime} \frac{\partial^{2} y_{0}}{\partial \eta^{2}}+(2 \xi+1) \frac{\partial y_{0}}{\partial \eta}\right] g_{0}^{\prime}=0} \\
{\left[g_{0}^{\prime} \frac{\partial^{2} y_{1}}{\partial \eta^{2}}+(2 \xi+1) \frac{\partial y_{1}}{\partial \eta}\right] g_{0}^{\prime}+2 g_{0}^{\prime} \frac{\partial^{2} y_{0}}{\partial \xi \partial \eta}+\left[g_{0}^{\prime \prime}+(2 \xi+1) g_{1}^{\prime}\right] \frac{\partial y_{0}}{\partial \eta}+} \\
+(2 \xi+1) \frac{\partial y_{0}}{\partial \xi}+2 y_{0}+2 g_{0}^{\prime} g_{1}^{\prime} \frac{\partial^{2} y_{0}}{\partial \eta^{2}}=0 \\
{\left[g_{0}^{\prime} \frac{\partial^{2} y_{2}}{\partial \eta^{2}}+(2 \xi+1) \frac{\partial y_{2}}{\partial \eta}\right] g_{0}^{\prime}+2 g_{0}^{\prime} g_{1}^{\prime} \frac{\partial^{2} y_{1}}{\partial \eta^{2}}+\left(g_{1}^{\prime 2}+2 g_{0}^{\prime} g_{2}^{\prime}\right) \frac{\partial^{2} y_{0}}{\partial \eta^{2}}+} \\
+\left[g_{0}^{\prime \prime}+(2 \xi+1) g_{1}^{\prime}\right] \frac{\partial y_{1}}{\partial \eta}+\left[g_{1}^{\prime \prime}+(2 \xi+1) g_{2}^{\prime}\right] \frac{\partial y_{0}}{\partial \eta}+ \\
+2 g_{0}^{\prime} \frac{\partial^{2} y_{1}}{\partial \xi}+2 g_{1}^{\prime} \frac{\partial^{2} y_{0}}{\partial \xi}+\frac{\partial^{2} y_{0}}{\partial \xi^{2}}+(2 \xi+1) \frac{\partial y_{1}}{\partial \xi}+2 y_{1}=0
\end{array}
\]

Поскольку при $x \rightarrow 0$ выполнено $g_{0}(x) \rightarrow x$, то $g_{0}^{\prime}
eq 0$. Поэтому решение уравнения (6.4.10) запишется в виде
\[
y_{0}=A_{0}(\xi)+B_{0}(\xi) e^{-
u(\xi) \eta},
\]

где принято обозначение
\[
\gamma(\xi)=\frac{2 \xi+1}{g_{0}^{\prime}} .
\]

Уравнение (6.4.11) тогда примет вид
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial^{2} y_{1}}{\partial \eta^{2}}+\gamma \frac{\partial y_{1}}{\partial \eta}\right) g_{0}^{\prime 2}=-\left[(2 \xi+1) A_{0}^{\prime}+2 A_{0}\right]-\left\{g_{0}^{\prime} \gamma \gamma^{\prime} B_{0} \eta+\right. \\
\left.+\left[-2 g_{0}^{\prime}\left(B_{0} \gamma\right)^{\prime}+(2 \xi+1) B_{0}^{\prime}+\left(2-\gamma g_{0}^{\prime \prime}+g_{0}^{\prime} g_{1}^{\prime} \gamma^{2}\right) B_{0}\right]\right\} e^{-\gamma \eta} .
\end{array}
\]

Решением полученного уравнения является функция
\[
\begin{aligned}
y_{1} & =A_{1}(\xi)+B_{1}(\xi) e^{-v \eta}-\frac{(2 \xi+1) A_{0}^{\prime}+2 A_{0}}{g_{0}^{\prime 2} \gamma} \eta+ \\
& +\frac{1}{g_{0}^{\prime 2}}\left\{\frac{1}{2} B_{0} g_{0}^{\prime} \gamma^{\prime} \eta^{2}-\frac{1}{\gamma}\left[2 g_{0}^{\prime}\left(B_{0} \gamma\right)^{\prime}-(2 \xi+1) B_{0}^{\prime}-\right.\right. \\
& \left.\left.-\left(2-\gamma g_{0}^{\prime \prime}+g_{0}^{\prime} g_{1}^{\prime} \gamma^{2}\right) B_{0}-B_{0} g_{0}^{\prime} \gamma^{\prime}\right] \eta\right\} e^{-\gamma \eta} .
\end{aligned}
\]

Для того чтобы отношение $y_{1} / y_{0}$ было ограниченным при всех $\eta$, коэффициенты при $\eta$, $e^{-\vartheta \eta}$ и $\eta^{2} e^{-\vartheta \eta}$ должны обратиться в нуль, т. е. должно быть выполнено
\[
\begin{array}{c}
(2 \xi+1) A_{0}^{\prime}+2 A_{0}=0, \\
B_{0} \gamma^{\prime}=0, \\
2 g_{0}^{\prime}\left(B_{0} \gamma\right)^{\prime}-(2 \xi+1) B_{0}^{\prime}-\left(2-\gamma g_{0}^{\prime \prime}+g_{0}^{\prime} g^{\prime} \gamma^{2}\right) B_{0}-B_{0} g_{0}^{\prime} \gamma^{\prime}=0 .
\end{array}
\]

Общее решение уравнения (6.4.17) имеет вид
\[
A_{0}=\frac{a_{0}}{2 \xi+1},
\]

где $a_{0}$-постоянная. Поскольку $y$, а следовательно, и $y_{0}$ удовлетворяют двум граничным условиям, то имеем $B_{0}
eq 0$. Тогда из уравнения (6.4.18) получаем
\[
\gamma^{\prime}=0 \text {. }
\]

Таким образом, $\gamma$-постоянная, которую без потери общности можно взять равной единице. Из соотношения (6.4.14) будем иметь
\[
g_{0}=\xi^{2}+\xi \text {. }
\]

Здесь использовано условие $g_{0}(0)=0$, которое отражает то обстоятельство, что неравномерность имеет место в окрестности точки $\xi=0$. Уравнение (6.4.19) запишется в виде
\[
B_{0}^{\prime}-g_{1}^{\prime} B_{0}=0 .
\]

Решением этого уравнения является функция
\[
B_{0}=b_{0} e^{g_{t}(\xi)},
\]

где $b_{0}$-постоянная интегрирования. Таким образом, в первом порядке имеем
\[
\begin{aligned}
y= & \frac{a_{0}}{2 \xi+1}+b_{0} e^{g_{1}(\xi)} e^{-\left[g_{0}(\xi) / \varepsilon\right]-g_{1}(\xi)}+O(\varepsilon)= \\
& =\frac{a_{0}}{2 \xi+1}+b_{0} e^{-\left[g_{0}(\xi) / \varepsilon\right]}+O(\varepsilon) .
\end{aligned}
\]

Поскольку функция $g_{1}(\xi)$ независимо от ее значений не входит в полученное разложение, то без потери общности можно положить $g_{1}=0$.

Проведенные выше рассмотрения показали, что величина $\gamma$ должна быть постоянной. Не теряя общности, мы положили ее равной единице. В показателе экспоненты (см. (6.4.13)) величина $\gamma$ умножается на $\eta$. Поэтому при не постоянном $\gamma$ производная по $\xi$ будет содержать члены, пропорциональные степеням $\eta$, из-за которых отношение $y_{1} / y_{0}$ будет неограниченным при $\eta \rightarrow \infty$. Следовательно, в подобной ситуации можно с самого начала положить $\gamma$ равным единице. Кроме того, чтобы получить условие ограниченности $y_{1} / y_{0}$ для всех $\eta$, нет необходимости решать уравнение (6.4.15). Для этого достаточно, исследовав уравнение (6.4.15), потребовать обращения в нуль тех членов, которые порождают частные решения, дающие неограниченное отношение $y_{1} / y_{0}$. K членам указанного типа относятся все члены, пропорциональные

решениям однородного уравнения. Поскольку решениями однородного уравнения являются $e^{-\gamma \eta}$ и 1 , мы и потребовали выполнения условий (6.4.17) и (6.4.19).

Для отыскания второго приближения положим $g_{1}=0, \gamma=1$ и, подставив выражения для $y_{0}, y_{1}$ и $g_{0}$ в (6.4.12), получим
\[
\left(\frac{\partial^{2} y_{2}}{\partial \eta^{2}}+y_{2}\right) g_{0}^{\prime 2}=-\left[(2 \xi+1) A_{1}^{\prime}+2 A_{1}+A_{0}^{\prime \prime}\right]+g_{0}^{\prime}\left[B_{1}^{\prime}-B_{0} g_{2}^{\prime}\right] e^{-\eta} .
\]

Для ограниченности $y_{2} / y_{0}$ при всех $\eta$ необходимо выполнение условий
\[
\begin{aligned}
(2 \xi+1) A_{1}^{\prime}+2 A_{1}+A_{0}^{\prime \prime} & =0, \\
B_{1}^{\prime}-B_{0} g_{2}^{\prime} & =0 .
\end{aligned}
\]

С учетом (6.4.20) получим следующее решение уравнения (6.4.27):
\[
A_{\mathrm{r}}=\frac{a_{1}}{2 \xi+1}+\frac{2 a_{0}}{(2 \xi+1)^{3}},
\]

где $a_{i}$-постоянная интегрирования. Условию (6.4.28) можно удовлетворить, положив
\[
B_{1}^{\prime}=0, \quad g_{2}^{\prime}=0 .
\]

Тогда будем иметь
\[
B_{1}=b_{1}, \quad g_{2}=\text { const },
\]

где $b_{1}$-постоянная интегрирования, а $g_{2} \equiv 0$, поскольку $g_{2}(0)=0$.
Таким образом, во втором приближении $у$ задается равенством
\[
\begin{aligned}
y= & \frac{a_{0}}{1+2 x}+b_{0} e^{-\left[\left(x^{2}+x\right) / \varepsilon\right]}+ \\
& +\varepsilon\left[\frac{a_{1}}{1+2 x}+\frac{2 a_{0}}{(1+2 x)^{3}}+b_{1} e^{-\left[\left(x^{2}+x\right) / \varepsilon\right]}\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Наложив граничные условия $y(0)=\alpha$ и $y(1)=\beta$, получим $a_{0}=3 \beta$, $b_{0}=\alpha-3 \beta, a_{1}=-2 \beta / 3, b_{1}=-16 \beta / 3$. Соотношение (6.4.32) запишется в виде
\[
\begin{aligned}
y= & \frac{3 \beta}{1+2 x}+(\alpha-3 \beta) e^{-\left[\left(x^{2}+x\right) / \varepsilon\right.}- \\
& -\varepsilon\left[\frac{2 \beta}{3(1+2 x)}-\frac{6 \beta}{(1+2 x)^{3}}+\frac{16}{3} \beta e^{-\left[\left(x^{2}+x \mid / \varepsilon\right]\right.}\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Разложив $e^{-\left(x^{2} / \varepsilon\right)}$ при малом $x^{2} / \varepsilon$, заметим, что разложение (6.4.33) согласуется с разложением (4.2.50), полученным с помощью метода составных разложений. Таким образом, в отличие от метода

сращивания асимптотических разложений, в котором строятся два разложения, подлежащих сращиванию, метод многих масштабов задает единственное равномерно пригодное разложение.

6.4.2. Общее уравнение второго порядка с переменными коэффициентами

В качестве второго примера рассмотрим задачу (Кокран [1962], Найфэ [1964], [1965b])
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon y^{\prime \prime}+a(x) y^{\prime}+b(x) y=c(x), \\
y(0)=\alpha, \quad y(1)=\beta,
\end{array}
\]

где на интервале $[0,1]$ выполнено $a(x)>0$. Случай, когда $a(x)$ обращается в нуль внутри интервала $[0,1]$, называется задачей с точкой ветвления. Задачи с точкой ветвления кратко рассмотрены в п. 6.4.4 и подробно-в п. 7.3.1-7.3.9. При $c=0$ данный пример переходит в пример, рассмотренный в п. 4.1.3 с помощью метода сращивания асимптотических разложений.

Поскольку имеем $a(x)>0$, то неравномерность имеет место в окрестности точки $x=0$. В п. 4.1.3 мы ввели в рассмотрение внутреннюю переменную $x / \varepsilon$ и определили разжожение, пригодное в области $x=O(\varepsilon)$, которое затем было сращено с внешним разложением. Чтобы найти равномерно пригодное первое приближение с помощью метода многих масштабов, предположим, что $y$ допускает асимптотическое разложение вида
\[
y=y_{0}(\xi, \eta)+\varepsilon y_{1}(\xi, \eta)+\ldots,
\]

где
\[
\xi=x, \quad \eta=\frac{g(x)}{\varepsilon}, \quad g(x) \longrightarrow x \text { при } x \rightarrow 0 .
\]

Подставив (6.4.36) и (6.4.37) в уравнение (6.4.34) и приравняв нулю коэффициенты при $\varepsilon^{0}$ и $\varepsilon^{1}$, получим
\[
\begin{array}{c}
{\left[g^{\prime} \frac{\partial^{2} y_{0}}{\partial \eta^{2}}+a(\xi) \frac{\partial y_{0}}{\partial \eta}\right] g^{\prime}=0,} \\
{\left[g^{\prime} \frac{\partial^{2} y_{1}}{\partial \eta^{2}}+a(\xi) \frac{\partial y_{1}}{\partial \eta}\right] g^{\prime}+2 g^{\prime} \frac{\partial^{2} y_{0}}{\partial \eta \partial \xi}+g^{\prime \prime} \frac{\partial y_{0}}{\partial \eta}+a(\xi) \frac{\partial y_{0}}{\partial \xi}+b(\xi) y_{0}=c(\xi) .}
\end{array}
\]

Функции $a(x), b(x), c(x)$ и $g(x)$ выражены здесь через переменную $\xi$.

Поскольку $g
eq 0$, то общее решение уравнения имеет вид
\[
y_{0}=A(\xi)+B(\xi) e^{-\gamma(\xi) \eta},
\]

где
\[
\gamma=\frac{a(\xi)}{g^{\prime}}
\]

Из рассмотрений предыдущего пункта следует, что $\gamma$ должна быть постоянной; в противном случае производные по $\xi$ порождают в (6.4.39) члены, пропорциональные $\gamma^{\prime} \eta$, и как следствие, отношение $y_{1} / y_{0}$ становится неограниченным при $\eta \longrightarrow \infty$. Для равномерно пригодного разложения без потери общности можно положить $\gamma=1$. Тогда, учитывая, что при $x \rightarrow 0$ выполнено $g(x) \rightarrow x$, получим
\[
g=\int_{0}^{x} a(t) d t .
\]

Подстановка $y_{0}$ в (6.4.39) приводит к уравнению
\[
\left(\frac{\partial^{2} y_{1}}{\partial \eta^{2}}+\frac{\partial y_{1}}{\partial \eta}\right) g^{\prime 2}=-\left[a A^{\prime}+b A-c\right]+\left[g^{\prime} B^{\prime}+\left(g^{\prime \prime}-b\right) B\right] e^{-\eta} .
\]

Чтобы отношение $y_{1} / y_{0}$ было ограниченным при всех $\eta$, потребуем выполнения условий
\[
\begin{aligned}
a A^{\prime}+b A & =c, \\
g^{\prime} B^{\prime}+\left(g^{\prime \prime}-b\right) B & =0 .
\end{aligned}
\]

Решениями этих уравнений являются функции
\[
\begin{array}{l}
A=e^{-\int_{1}^{x}[b(t) / a(t)] d t}\left[a_{0}+\int_{1}^{x} \frac{c(\tau)}{a(\tau)} e^{\int_{1}^{\tau}[b(t) / a(t)] d t} d \tau\right], \\
B=\frac{b_{0}}{a(x)} e^{\int_{0}^{x}[b(t) / a(t)] d t},
\end{array}
\]

где $a_{0}, b_{0}$ – постоянные интегрирования.
В первом приближении $y$ задается равенством
\[
\begin{aligned}
y= & e^{-\int_{1}^{x}[b(t) / a(t)] d t}\left[a_{0}+\int_{1}^{x} \frac{c(\tau)}{a(\tau)} e^{\int_{1}^{\tau}[b(t) / a(t)] d t} d \tau\right]+ \\
& +\frac{b_{0}}{a(x)} e^{\int_{0}^{x}[b(t) / a(t)] d t} e^{-\varepsilon-1 \int_{0}^{x} a(t) d t}+O(\varepsilon) .
\end{aligned}
\]

Пределы интегрирования в (6.4.46) и (6.4.47) выбраны так, чтобы постоянные $a_{0}$ и $b_{0}$ просто выражались через параметры граничных

условий (6.4.35). Так, $a_{0}=\beta$, а
\[
b_{0}=a(0)\left\{\alpha-e^{-\int_{1}^{0}[b(t) / a(t)] d t}\left[\beta+\int_{1}^{0} \frac{c(\tau)}{a(\tau)} e^{\int_{1}^{1}[b(t) / a(t)] d t} d \tau\right]\right\} .
\]

Разложение (6.4.48) представляет собой составное разложение, которое согласуется с внутренним и внешним разложениями, полученными в п. 4.1.3 для внутренней и внешней областей соответственно. Записав формулу (6.4.48) для частного случая
\[
a(x)=1+2 x, \quad b(x)=2, \quad c(x)=0,
\]

рассмотренного в предыдущем пункте, получим
\[
y=\frac{3 \beta}{1+2 x}+(\alpha-3 \beta) e^{-\left[\left(x^{2}+x\right) / \varepsilon\right]}+O(\varepsilon) .
\]

Здесь учтены равенство $a_{0}=\beta$ и соотношение (6.4.49). Полученное разложение вполне согласуется с первым членом разложения, выведенного в предыдущем пункте.

6.4.3. Линейный осциллятор с медленно меняющейся восстанавливающей силой

Оба рассмотренных выше примера могли быть исследованы как с помощью метода многих масштабов, так и с помощью метода сращивания асимптотических разложений. Ниже рассмотрим пример, который не поддается исследованию с помощью последнего из указанных методов; именно, рассмотрим уравнение
\[
y^{\prime \prime}+b(\varepsilon x) y=0,
\]

в котором $b(\varepsilon x)
eq 0$ и $\varepsilon$-малый параметр. Чтобы получить разложение, равномерно пригодное для больших $x$, предположим, что $y$ допускает асимптотическое разложение вида
\[
y=y_{0}(\xi, \eta)+\varepsilon y_{1}(\xi, \eta)+\ldots,
\]

где
\[
\xi=\varepsilon x, \quad \eta=\frac{g(\xi)}{\varepsilon}+\ldots .
\]

Такой выбор масштаба $\eta$ обусловлен тем, что частота колебаний будет удовлетворять условию: $\omega=(d \eta / d x)=g^{\prime}(\xi)=O(1)$. Подставив $(6.4 .53)$ и (6.4.54) в уравнение (6.4.52) и приравняв нулю

коэффициенты при $\varepsilon^{0}$ и $\varepsilon$, получим
\[
\begin{array}{c}
g^{\prime 2} \frac{\partial^{2} y_{0}}{\partial \eta^{2}}+b(\xi) y_{0}=0 \\
g^{\prime 2} \frac{\partial^{2} y_{1}}{\partial \eta^{2}}+b(\xi) y_{1}+g^{\prime \prime} \frac{\partial y_{0}}{\partial \eta}+2 g^{\prime} \frac{\partial^{2} y_{0}}{\partial \xi \partial \eta}=0
\end{array}
\]

Общее решение уравнения (6.4.55) имеет вид
\[
y_{0}=A(\xi) e^{i \gamma \eta}+B(\xi) e^{-i \gamma \eta},
\]

где
\[
\gamma^{2}=\frac{b(\xi)}{g^{\prime 2}(\xi)} .
\]

В предыдущих двух пунктах было показано, что для получения разложения с ограниченным при всех $\eta$ отношением $y_{1} / y_{0}$ следует положить $\gamma=1$. Таким образом,
\[
g=\int_{0}^{\xi} \sqrt{b(t)} d t
\]

Подставив $y_{0}$ в (6.4.56) и помня, что $\gamma=1$, получим
\[
\left(\frac{\partial^{2} y_{1}}{\partial \eta^{2}}+y_{1}\right) g^{\prime 2}=-i\left(g^{\prime \prime} A+2 g^{\prime} A^{\prime}\right) e^{i \eta}+i\left(g^{\prime \prime} B+2 g^{\prime} B^{\prime}\right) e^{-i \eta} .
\]

Для ограниченности $y_{1} / y_{0}$ при всех $\eta$ потребуем обращения
в нуль коэффициентов при $\exp ( \pm i \eta)$ в правой части (6.4.60):
\[
\begin{array}{l}
g^{\prime \prime} A+2 g^{\prime} A^{\prime}=0, \\
g^{\prime \prime} B+2 g^{\prime} B^{\prime}=0 .
\end{array}
\]

Решения этих уравнений имеют вид
\[
A=\frac{\tilde{a}_{0}}{\sqrt{g^{\prime}}}, \quad B=\frac{\tilde{b}_{0}}{\sqrt{g^{\prime}}},
\]

где $\tilde{a}_{0}$ и $\tilde{b}_{0}$-постоянные интегрирования.
При $b(\varepsilon x)>0$ имеем для $y$
\[
y=\frac{1}{\sqrt[4]{b(\varepsilon x)}}\left[a_{0} \cos \left(\varepsilon^{-1} \int_{0}^{\varepsilon x} \sqrt{b(t)} d t\right)+b_{0} \sin \left(\varepsilon^{-1} \int_{0}^{\varepsilon x} \sqrt{b(t)} d t\right)\right]+O(\varepsilon),
\]

где $a_{0}$ и $b_{0}$-постоянные. При $b(\varepsilon x)<0$ имеем
\[
\begin{aligned}
y=\frac{1}{\sqrt[4]{|b(\varepsilon x)|}} & {\left[a_{0} \exp \left(\varepsilon^{-1} \int_{0}^{e x} \sqrt{-b(t)} d t\right)+\right.} \\
& \left.+b_{0} \exp \left(-\varepsilon^{-1} \int_{0}^{\varepsilon x} \sqrt{-b(t)} d t\right)\right]+O(\varepsilon) .
\end{aligned}
\]

Разложения (6.4.64) и (6.4.65) называются ВКБ-приближениями к решению уравнения (6.4.52) (см. п. 7.1.3).

Очевидно, что эти разложения непригодны в окрестности точки, в которой функция $b(\varepsilon x)$ обращается в нуль. В самом деле, при стремлении $x$ к нулю функции $b(\varepsilon x)$ полученные разложения стремятся к бесконечности. Нули функции $b(\varepsilon x)$ называются точками возврата и подробно рассмотрены в п. 7.3.1-7.3.9. Один пример с точкой возврата исследован в следующем пункте с помощью метода многих масштабов.

Замена переменной $x$ на переменную $\xi$ в уравнении (6.4.52) дает
\[
\frac{d^{2} y}{d \xi^{2}}+\lambda^{2} b(\xi) y=0, \quad \lambda=\frac{1}{\varepsilon} .
\]

Полученная задача содержит большой параметр $\lambda$. Таким образом, приближение, построенное выше, применимо также и к этой задаче.

6.4.4. Пример с точкой возврата

Рассмотрим задачу
\[
y^{\prime \prime}+\lambda^{2}(1-x) f(x) y=0,
\]

где $\lambda$-большое положительное число, $f(x)$-регулярная положительная функция. Положив в (6.4.64) и (6.4.65) $b(\varepsilon t)=(1-x) f(x)$ и $\varepsilon=\lambda^{-1}$, можно увидеть, что при $x \rightarrow 1$ ВКБ-приближение стремится к бесконечности. Чтобы построить всюду пригодное разложение с помощью метода многих масштабов, определим сначала степень неравномерности. Перейдя с этой целью в уравнении (6.4.67) к переменной $\zeta=(1-x) \lambda^{v}, v>0$, получим
\[
\frac{d^{2} y}{d \zeta^{2}}+\lambda^{2-3 v} f(1-\zeta \lambda-v) \zeta y=0 .
\]

При $\lambda \rightarrow \infty$ получим следующие предельные уравнения в зависимости от значения $v$ :
\[
\begin{array}{rll}
\frac{d^{2} y}{d \xi^{2}}=0 & \text { при } & v>\frac{2}{3}, \\
y=0 & \text { при } & v<\frac{2}{3}, \\
\frac{d^{2} y}{d \xi^{2}}+f(1) \xi y=0 & \text { при } \quad v=\frac{2}{3} .
\end{array}
\]

Подходящим является последнее уравнение, поскольку его решение имеет экспоненциальный характер при $\zeta<0$ (т. е. при $x>1$ ) и колебательный характер при $\zeta>0$ (т. е. при $x<1$ ).

Таким образом, оно может быть использовано для соединения решений (6.4.64) и (6.4.65) при прохождении через точку возврата.

Итак, предположим, что решение уравнения (6.4.67) допускает асимптотическое представление вида (Кокран [1962]; Найфэ [1964], [1965b]; Фаукес [1968, часть I])
\[
y=y_{0}(\xi, \eta)+\lambda^{-2 / 3} y_{1}(\xi, \eta)+\ldots,
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\xi=x, \quad \eta=\lambda^{2 / 3} g(x)+\ldots, \\
g(x)=(1-x) h(x), \quad h(x)>0 .
\end{array}
\]

Функции независимой переменной $x$, встречающиеся в (6.4.67), отнесены к переменной $\xi$. Исключение составляет выражение $1-x$, которое обусловливает неравномерность; оно заменено на $\eta \lambda^{-2 / 3} h(x)$. С учетом сказанного уравнения (6.4.67) примет вид
\[
\lambda^{4 / 3} g^{\prime 2} \frac{\partial^{2} y}{\partial \eta^{2}}+2 \lambda^{2 / 3} g^{\prime} \frac{\partial^{2} y}{\partial \xi \partial \eta}+\lambda^{2} /^{3} g^{\prime \prime} \frac{\partial y}{\partial \eta}+\frac{\partial^{2} y}{\partial \xi^{2}}+\lambda^{4 / 3} \frac{f(\xi)}{h(\xi)} \eta y=0 .
\]

Подставив (6.4.70) в (6.4.73) и приравняв нулю коэффициенты при $\lambda^{4} /^{3}$ и $\lambda^{2} l^{3}$, получим
\[
\begin{array}{c}
g^{\prime 2} \frac{\partial^{2} y_{0}}{\partial \eta^{2}}+\frac{f(\xi)}{h(\xi)} \eta y_{0}=0 \\
g^{\prime 2} \frac{\partial^{2} y_{1}}{\partial \eta^{2}}+\frac{f(\xi)}{h(\xi)} \eta y_{1}+2 g^{\prime} \frac{\partial^{2} y_{0}}{\partial \xi \partial \eta}+g^{\prime \prime} \frac{\partial y_{0}}{\partial \eta}=0 .
\end{array}
\]

Общее решение уравнения (6.4.74) имеет вид
\[
y_{0}=A(\xi) \eta^{1 / 2} J_{1 / 3}\left[\gamma(\xi) \eta^{3 / 2}\right]+B(\xi) \eta^{1 / 2} J_{-1 / 3}\left[\gamma(\xi) \eta^{3 / 2}\right],
\]

где $J_{ \pm 1 / 3}$ – функции Бесселя порядка $\pm 1 / 3$, а
\[
\gamma= \pm \frac{2}{3}\left[\frac{f(\xi)}{h(\xi) g^{\prime 2}(\xi)}\right]^{1 / 2} .
\]

Из рассмотрений п. 6.4.1 и 6.4.2 следует, что для ограниченности отношения $y_{1} / y_{0}$ при всех $\eta$ следует положить $\gamma=1$. Имеем поэтому
\[
g^{\prime}(\xi) h^{1 / 2}(\xi)=-\frac{2}{3}[f(\xi)]^{1 / 2} .
\]

При этом знак минус в (6.4.77) выбран для того, чтобы выполнялось $h(x)>0$. Помножив обе части уравнения (6.4.78) на $(1-\xi)^{1 / 2}$, получим
\[
g^{1 / 2} g^{\prime}=-\frac{2}{3}[(1-\xi) f(\xi)]^{1 / 2} .
\]

Поскольку $g(1)=0$, имеем
\[
g^{3 / 2}=-\int_{1}^{x}[(1-t) f(t)]^{1 / 2} d t
\]

При известном $y_{0}$ и $\gamma=1$ уравнение (6.4.75) принимает вид $\left(\frac{\partial^{2} y_{1}}{\partial \eta^{2}}+\frac{9}{4} \eta y_{1}\right) g^{\prime 2}=$ $=-\frac{\partial}{\partial \eta}\left[\left(2 g^{\prime} A^{\prime}+g^{\prime \prime} A\right) \eta^{1 / 2} J_{1 / 3}\left(\eta^{3 / 2}\right)+\left(2 g^{\prime} B^{\prime}+g^{\prime \prime} B\right) \eta^{1 / 2} J_{-1 / 3}\left(\eta^{3 / 2}\right)\right]$.

Чтобы отношение $y_{1} / y_{0}$ было ограниченным для всех $\eta$, правая часть уравнения (6.4.80) должна обратиться в нуль, т. е. должно быть выполнено
\[
\begin{array}{l}
2 g^{\prime} A^{\prime}+g^{\prime \prime} A=0, \\
2 g^{\prime} B^{\prime}+g^{\prime \prime} B=0 .
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
A=\frac{a}{\sqrt{g^{\prime}}}, \quad B=\frac{b}{\sqrt{g^{\prime}}},
\]

где $a, b$-постоянные интегрирования.
Таким образом, в первом приближении имеем
\[
y=\frac{g^{3 / 4}(x)}{[(1-x) f(x)]^{1 / 4}}\left[a_{0} J_{1 / 3}\left(\lambda g^{3 / 2}\right)+b_{0} J_{-1 / 3}\left(\lambda g^{3 / 2}\right)\right]+\ldots,
\]

где $a_{0}$ и $b_{0}$-постоянные. При $x \rightarrow 1$ имеем
\[
g(x) \rightarrow\left[\frac{4}{9} f(1)\right]^{1 / 3}(1-x)
\]

и, следовательно,
\[
\begin{aligned}
y \rightarrow & (1-x)^{1 / 2}\left\{\tilde{a}_{0} J_{1 / 3}\left[\frac{2}{3} \lambda \sqrt{f(1)}(1-x)^{3 / 2}\right]+\right. \\
& \left.+\tilde{b}_{0} J_{-1 / 3}\left[\frac{2}{3} \lambda \sqrt{f(1)}(1-x)^{3 / 2}\right]\right\}+\ldots .
\end{aligned}
\]

Здесь $\tilde{a}_{0}$ и $\tilde{b}_{0}$– постоянные. Поскольку при $t \rightarrow 0$ имеем
\[
J_{v}(t)=t^{v}+O\left(t^{v}\right)
\]

то решение (6.4.836) будет ограниченным при $x \rightarrow 1$.

6.4.5. Уравнение Дюффинга с медленно меняющимися коэффициентами
Ниже рассмотрим уравнение
\[
\frac{d^{2} u}{d t^{2}}+\alpha(\xi) u+\beta(\xi) u^{3}=0,
\]

где принято
\[
\xi=\varepsilon t, \quad \varepsilon \ll 1 .
\]

Кузмак [1959] изучал асимптотические решения этого уравнения с помощью метода многих масштабов.

Если $\alpha$ и $\beta$-постоянные, то решение уравнения (6.4.84) выражается в эллиптических функциях Якоби, т. е. представляется в одном из видов:
\[
u=A \operatorname{sn}(K t, v), \quad A \operatorname{cn}(K t, v), \quad A \operatorname{dn}(K t, v) .
\]

Здесь $v$-модуль, $K(v)$-полный эллиптический интеграл. Приведенные функции удовлетворяют дифференциальным уравнениям
\[
\begin{array}{l}
{\left[\frac{d \mathrm{sn}}{d \tau}\right]^{2}=\left(1-\mathrm{sn}^{2}\right)\left(1-v^{2} \mathrm{sn}^{2}\right),} \\
{\left[\frac{d \mathrm{cn}}{d \tau}\right]^{2}=\left(1-\mathrm{cn}^{2}\right)\left(1-v^{2}+v^{2} \mathrm{cn}^{2}\right),} \\
{\left[\frac{d \mathrm{dn}}{d \tau}\right]^{2}=\left(1-\mathrm{dn}^{2}\right)\left(v^{2}-1+\mathrm{dn}^{2}\right),}
\end{array}
\]

где $\tau=K t$. Дифференцируя обе части в (6.4.86), получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} \mathrm{sn}}{d \tau^{2}}+\left(1+v^{2}\right) \mathrm{sn}-2 v^{2} \mathrm{sn}^{3}=0, \\
\frac{d^{2} \mathrm{cn}}{d \tau^{2}}+\left(1-2 v^{2}\right) \mathrm{cn}+2 v^{2} \mathrm{cn}^{3}=0, \\
\frac{d^{2} \mathrm{dn}}{d \tau^{2}}+\left(v^{2}-2\right) \mathrm{dn}+2 \mathrm{dn}^{3}=0 .
\end{array}
\]

Поскольку рассматриваемые эллиптические функции затабулированы для значений $0<v<1$, выразим решение через одну из 9тих табулированных функций.

Если $\alpha$ и $\beta$-не постоянные, а медленно меняющиеся функции, то будем предполагать, что решение зависит как от медленного масштаба времени $\xi=\varepsilon t$, так и от быстрого масштаба времени $t$. Кроме того, в первом приближении решение может быть выражено в виде (6.4.85), где $A=A(\xi), K=K(\xi)$ и $v=v(\xi)$. Таким образом, в случае медленно меняющихся коэффициентов будем полагать
\[
u=u,(\xi, \eta)+\varepsilon u_{1}(\xi, \eta)+\ldots,
\]

где
\[
\eta=\frac{g(\xi)}{\varepsilon}+\ldots \text { или } \frac{d \eta}{d t}=g^{\prime}(\xi)+\ldots
\]

Решение этого вида отличается от решения, построенного Кузмаком, в котором предполагалось $\eta=g^{\prime}(\xi) t$. Подставив (6.4.88) в $(6.4 .84)$ и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим
\[
\begin{aligned}
g^{\prime 2} \frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial \eta^{2}}+\alpha(\xi) u_{0}+\beta(\xi) u_{0}^{3} & =0 \\
g^{\prime 2} \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial \eta^{2}}+\alpha(\xi) u_{1}+3 \beta(\xi) u_{0}^{2} u_{1} & =-2 g^{\prime} \frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial \xi \partial \eta}-g^{\prime \prime} \frac{\partial u_{0}}{\partial \eta} .
\end{aligned}
\]

В качестве решения уравнения (6.4.89) возьмем одну из эллиптических функций (6.4.85), скажем, sn. Таким образом,
\[
u_{0}=A(\xi) \text { sn }[\eta, v(\xi)] .
\]

Следовательно, отношение $u_{0} / A$ должно удовлетворять уравнению (6.4.87a) при $\eta=\tau$, т. е.
\[
\frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial \eta^{2}}+\left[1+v^{2}(\xi)\right] u_{0}-\frac{2 v^{2}(\xi)}{A^{2}(\xi)} u_{0}^{3}=0 .
\]

Для того чтобы уравнения (6.4.89) и (6.4.92) совпадали, должно быть выполнено
\[
\begin{aligned}
{\left[1+v^{2}(\xi)\right] g^{\prime 2}(\xi) } & =\alpha(\xi), \\
2 v^{2}(\xi) g^{\prime 2}(\xi) & =-\beta(\xi) A^{2}(\xi) .
\end{aligned}
\]

Эти равенства представляют собой два соотношения между величинами $A(\xi), v(\xi)$ и $g(\xi)$. Третье соотношение определяется из условия ограниченности отношения $u_{1} / u_{0}$ при всех $\eta$, которое необходимо для того, чтобы (6.4.88) было равномерно пригодным асимптотическим разложением.

Дифференцируя (6.4.89) по $\eta$, получим однородную часть уравнения (6.4.90). Следовательно, $\partial u_{0} / \partial \eta$ является решением однородной части уравнения (6.4.90). Чтобы отношение $u_{1} / u_{0}$ было ограниченным при всех $\eta$, неоднородная часть в (6.4.90) должна быть ортогональной решению однородной части, т. е. должно быть выполнено
\[
\int_{\eta_{1}}^{\eta_{1}+T}\left[2 g^{\prime} \frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial \xi \partial \eta}+g^{\prime \prime} \frac{\partial u_{0}}{\partial \eta}\right] \frac{\partial u_{0}}{\partial \eta} d \eta=0,
\]

причем $\operatorname{sn}\left(\eta_{1}, v\right)=0$, а $T$ – период функции sn $(\eta, v)$ по переменной $\eta$. Это условие является обобщением условия исключения слагаемых, порождающих вековые члены. Уравнение (6.4.95)

можно переписать. в виде
\[
\frac{d}{d \xi}\left[g^{\prime}(\xi) \int_{\eta_{1}}^{\eta_{1}+T}\left(\frac{\partial u_{0}}{\partial \eta}\right)^{2} d \eta\right]=0,
\]

откуда имеем
\[
g^{\prime}(\xi) \int_{\eta_{1}}^{\eta_{1}+T}\left(\frac{\partial u_{0}}{\partial \eta}\right)^{2} d \eta=\text { const. }
\]

Поскольку $u_{0}=A \operatorname{sn}(\eta, v)$, то $\eta_{1}$ можно положить равным нулю, а $T=4 K$, где $K$-следуюший полный эллиптический интеграл второго рода
\[
K=\int_{0}^{1} \frac{d x}{\left[\left(1-x^{2}\right)\left(1-v^{2} x^{2}\right)\right]^{1 / 2}} .
\]

Подставляя в (6.4.96) выражение для $u_{0}$ из (6.4.91), получим
\[
g^{\prime}(\xi) A^{2}(\xi) L\left[v^{2}(\xi)\right]=c,
\]

где $c$-постоянная, а
\[
L=\int_{0}^{K}\left(\frac{\partial \zeta}{\partial \eta}\right)^{2} d \eta=\int_{0}^{K} \frac{\partial \zeta}{d \eta} d \zeta,
\]

причем $\zeta=\operatorname{sn}(\eta, v)$. Используя (6.4.86a), можно выразить $L$ в виде
\[
L=\int_{0}^{1} \sqrt{\left(1-\zeta^{2}\right)\left(1-v^{2} \zeta^{2}\right)} d \zeta,
\]

или
\[
L=\frac{\left(1+v^{2}\right) E(v)-\left(1-v^{2}\right) K(v)}{3 v^{2}} .
\]
(6.4.100)

Здесь $E(v)$-следующий полный эллиптический интеграл первого рода
\[
E(v)=\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1-v^{2} x^{2}}{1-x^{2}}} d x .
\]

Условия (6.4.93), (6.4.94) и (6.4.98) дают три соотношения для определения $A(\xi), v(\xi)$ и $g^{\prime}(\xi)$. Разрешая (6.4.93) относительно $g^{\prime}$, получим
\[
g^{\prime}(\xi)=\sqrt{\frac{\alpha(\xi)}{1+v^{2}(\xi)}} .
\]

Рис. 6.2.

Исключая $g^{\prime}$ из (6.4.93) (6.4.94) и разрешая относительно $A$, получаем
\[
A(\xi)=\sqrt{-\frac{2 \alpha(\xi) v^{2}(\xi)}{\beta(\xi)\left[1+v^{2}(\xi) \mid\right.}} .
\]

Возведя (6.4.98) в квадрат и подставив значения $g^{\prime}$ и $A$ из (6.4.102) и (6.4.103), получим
\[
\frac{4 v^{4}(\xi) L^{2}[v(\xi)]}{\left[1+v^{2}(\xi)\right]^{3}}=\rho(\xi)=\frac{c^{2} \beta^{2}(\xi)}{\alpha^{3}(\xi)} .
\]

Используя последние три соотношения, можем вычислить сначала $v(\xi)$ из (6.4.104) и затем $g^{\prime}$ и $A$ из соотношений (6.4.102) и (6.4.103). График решения уравнения (6.4.104) был построен Кузмаком и приведен на рис. 6.2.

В зависимости от знаков $\alpha(\xi)$ и $\beta(\xi)$ имеют место три различных с.лучая:
(1) $\alpha(\xi)>0, \beta(\xi)<0$. В этом случае имеем $\rho>0$, а из уравнения (6.4.94) видно, что $\gamma=v^{2}(\xi)>0$. Следовательно, кривая, соответствующая $\gamma$, лежит в первом квадранте. Решение для $\gamma$ существует при условии $0<\rho<2 / 9$. В точке $\xi_{c}$, удовлетворяющей условию $\rho\left(\xi_{c}\right)=2 / 9$, асимптотическое решение теряет свой колебательный характер. При условии $\rho>2 / 9$ или $\alpha(\xi)<0$ и $\beta(\xi)<0$ уравнение (6.4.89) периодических решений не имеет.
(2) $\alpha(\xi)>0, \beta(\xi)>0$. В этом случае имеем $\rho>0$, а из (6.4.94) следует, что $\gamma<0$. Следовательно, кривая, соответствующая $\gamma$, лежит в четвертом квадранте. Решение для $\gamma$ существует при $0<\rho<\infty$.
(3) $\alpha(\xi)<0, \beta(\xi)>0$. В этом случае имеем $\rho<0$, а из (6.4.94) следует, что $\gamma<0$. Следовательно, кривая соответствующая $\gamma$, лежит в третьем крадранте. Решение для $\gamma$ существует при $-\infty<\rho<-4 / 9$.

Поскольку эллиптические функции и интегралы обычно затабулированы для действительных значений $v$ на интервале $0<v<1$, то в случаях (2) и (3) предпочтительнее выразить колебательные решения через функции $\operatorname{cn}(\eta, v)$ и $\operatorname{dn}(\eta, v)$.

6.4.6. Динамика входа

Движение тела с переменным вращением вокруг собственной оси, подверженного при входе в атмосферу действию нелинейных аэродинамических сил, имеющего малое смещение центра тяжести и аэродинамическую асимметрию, описывается уравне-

ниями (Найфэ и Сарик [1972a])
\[
\begin{array}{l}
\ddot{\xi}-i \frac{l_{x}}{I} p \xi+\omega_{0}^{2} \xi=\varepsilon K e^{i\left(\varphi+\varphi_{0}\right)}+\gamma|\xi|^{2} \xi+\varepsilon^{2} \mu_{1} \xi+\mu_{2}|\xi|^{2} \dot{\xi}+i \varepsilon^{2} \chi_{1} \xi+. \\
+i \chi_{2}|\xi|^{2} \xi, \quad(6.4 .105) \\
\dot{\varphi}=p, \\
\dot{p}=\varepsilon^{2} v_{0}+\varepsilon v_{1} \tilde{\alpha}+\varepsilon^{2} v_{2} p, \quad \tilde{\alpha}=\operatorname{Im}\left\{\xi e^{-i \varphi}\right\} . \\
\end{array}
\]

Здесь $\xi=\beta+i \alpha,|\xi|$-синус полного угла атаки, $p$-угловая скорость вращения, $\varepsilon K$-амплитуда возбуждения с помощью аэродинамической асимметрии, $\varepsilon$-малая, но конечная величина, имеющая порядок синуса начального полного угла атаки. Величины $\omega_{0}, K, \gamma, \mu_{i}, \chi_{i}$ и $v_{i}$ являются медленно меняющимися функциями времени, $I$ и $l_{x}$-постоянные.

При отсутствии затухания и нелинейных членов (т. е. при $\gamma=\mu_{i}=\chi_{i}=0$ ) решение уравнения (6.4.105) для постоянных $p$, $K$ и $\omega_{0}$ имеет вид
\[
\xi=A_{1} e^{i \omega_{1} t}+A_{2} e^{i \omega_{2} t}+\frac{\varepsilon K}{\left(\omega_{1}-p\right)\left(p-\omega_{2}\right)} e^{i\left(\varphi+\varphi_{0}\right)},
\]

где $A_{1}$ и $A_{2}$-комплексные постоянные и
\[
\omega_{1,2}=\frac{p I_{x}}{2 I} \pm \sqrt{\left(\frac{p I_{x}}{2 I}\right)^{2}+\omega_{0}^{2}} .
\]

Частоты $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ называются частотами нутации и прецессии. Для статически устойчивых тел (т. е. при $\omega_{0}^{2}>0$ ) и положительных $p$ частота $\omega_{1}$ положительна, а $\omega_{2}$ отрицательна. В зависимости от того, близко ли значение $p$ к $\omega_{1}$ или нет, следует различать два случая. Первый случай, при котором вынужденный отклик стремится к бесконечности при $p \rightarrow \omega_{1}$, называется вращательным резонансом. До того как значения $p$ приблизятся к $\omega_{1}$, затухание и нелинейные аэродинамические силы существенно изменят отклик системы. Случай вращательного резонанса рассмотрен в данном пункте для $K=\varepsilon^{2} k$. Читателя, интересующегося нерезонансным случаем, отсылаем к Найфэ и Сарику [1972a].

Для нахождения приближенного решения уравнений (6.4.105)(6.4.107) при $p \approx \omega_{1}$ будем использовать обобщенную разновидность метода многих масштабов. Заметим с этой целью, что экспериментальные данные о фактических полетах и численные расчеты движения тел с шестью степенями свободы выявляют существование по крайней мере четырех масштабов времени: медленного масштаба времени $T_{2}=\varepsilon^{2} t$, характеризующего изменение величин $K, \omega_{0}, \gamma, v_{i}, \chi_{i}$ и $\mu_{i}$, и трех быстрых масштабов, характеризующих нутащию, прецессию и вынужденную состав-

ляющую угла атаки. Итак, будем предполагать разложения вида
\[
\begin{array}{c}
\xi(t ; \varepsilon)=\varepsilon \xi_{1}\left(\eta_{1}, \eta_{2}, T_{2}\right)+\varepsilon^{3 \xi_{3}}\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \varphi, T_{2}\right)+\ldots \\
p(t ; \varepsilon)=p_{0}\left(T_{2}\right)+\varepsilon^{2} p_{2}\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \varphi, T_{2}\right)+\ldots
\end{array}
\]

где
\[
\frac{d \eta_{i}}{d t}=\omega_{i}, \quad \omega_{1,2}=\frac{p_{0} I_{x}}{2 I} \pm \sqrt{\left(\frac{p_{0} I_{x}}{2 I}\right)^{2}+\omega_{0}^{2}} .
\]

здесь $\omega_{1}\left(T_{2}\right)$ – частота нутации, $\omega_{2}\left(T_{2}\right)$ – частота прецессии. Производные по времени в этих переменных преобразуются согласно равенствам
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t}=\omega_{1} \frac{\partial}{\partial \eta_{1}}+\omega_{2} \frac{\partial}{\partial \eta_{2}}+p \frac{\partial}{\partial \varphi}+\varepsilon^{2} \frac{\partial}{\partial T_{2}}, \\
\frac{d^{2}}{d t^{2}}=\omega_{1}^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial \eta_{1}^{2}}+\omega_{2}^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial \eta_{2}^{2}}+p^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}}+2 \omega_{1} \omega_{2} \frac{\partial^{2}}{\partial \eta_{1} \partial \eta_{2}}+2 \omega_{1} p \frac{\partial^{2}}{\partial \eta_{1} \partial \varphi}+ \\
+2 \omega_{2} p \frac{\partial^{2}}{\partial \eta_{2} \partial \varphi}+\omega_{1} \frac{\partial p}{\partial \eta_{1}} \frac{\partial}{\partial \varphi}+\omega_{2} \frac{\partial p}{\partial \eta_{2}} \frac{\partial}{\partial \varphi}+p \frac{\partial p}{\partial \varphi} \frac{\partial}{\partial \varphi}+ \\
+2 \varepsilon^{2} \omega_{1} \frac{\partial^{2}}{\partial \eta_{1} \partial T_{2}}+2 \varepsilon^{2} \omega_{2} \frac{\partial^{2}}{\partial \eta_{2} \partial T_{2}}+2 \varepsilon^{2} p \frac{\partial^{2}}{\partial \varphi \partial T_{2}}+\varepsilon^{2} \omega_{1}^{\prime} \frac{\partial}{\partial \eta_{1}}+ \\
+\varepsilon^{2} \omega_{2}^{\prime} \frac{\partial}{\partial \eta_{2}}+\varepsilon^{2} \frac{\partial p}{\partial T_{2}} \frac{\partial}{\partial \varphi}+\varepsilon^{4} \frac{\partial^{2}}{\partial T_{2}^{2}} .
\end{array}
\]

Подставив (6.4.110)-(6.4.114) в (6.4.105) и (6.4.107) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, найдем
\[
L\left(\xi_{1}\right)=0,
\]
\[
\begin{array}{l}
L\left(\xi_{3}\right)=k e^{i\left(\varphi+\varphi_{0}\right)}-2 \omega_{1} \frac{\partial^{2} \xi_{1}}{\partial \eta_{1} \partial T_{2}}-2 \omega_{2} \frac{\partial^{2} \xi_{1}}{\partial \eta_{2} \partial T_{2}}-\omega_{1}^{\prime} \frac{\partial \xi_{1}}{\partial \eta_{1}}-\omega_{2}^{\prime} \frac{\partial \xi_{1}}{\partial \eta_{2}}+ \\
\quad+i \frac{p_{0} l_{x}}{I} \frac{\partial \xi_{1}}{\partial T_{2}}+\gamma\left|\xi_{1}\right|^{2} \xi_{1}+\left(\mu_{1}+\mu_{2}\left|\xi_{1}\right|^{2}\right)\left(\omega_{1} \frac{\partial \xi_{1}}{\partial \eta_{1}}+\omega_{2} \frac{\partial \xi_{1}}{\partial \eta_{2}}\right)+ \\
\quad+i\left(\chi_{1}+\chi_{2}\left|\xi_{1}\right|^{2}\right) \xi_{1}
\end{array}
\]
$\omega_{1} \frac{\partial p_{2}}{\partial \eta_{1}}+\omega_{2} \frac{\partial p_{2}}{\partial \eta_{2}}+p_{0} \frac{\partial p_{2}}{\partial \varphi}=-\frac{d p_{0}}{d T_{2}}+v_{0}+v_{2} p_{0}+v_{1} \operatorname{Im}\left(\xi_{1} e^{-i \varphi}\right)$.
Здесь использовано обозначение
\[
\begin{aligned}
L=\left(\omega_{1} \frac{\partial}{\partial \eta_{1}}+\omega_{2} \frac{\partial}{\partial \eta_{2}}\right. & \left.+p_{0} \frac{\partial}{\partial \varphi}\right)^{2}- \\
& -i \frac{p_{0} I x}{I}\left(\omega_{1} \frac{\partial}{\partial \eta_{1}}+\omega_{2} \frac{\partial}{\partial \eta_{2}}+p_{0} \frac{\partial}{\partial \varphi}\right)+\omega_{0}^{2} .
\end{aligned}
\]

Решение уравнения (6.4.115) имеет вид
\[
\xi_{1}=A_{1}\left(T_{2}\right) e^{i \eta_{1}}+A_{2}\left(T_{2}\right) e^{i \eta_{2}} .
\]

С его учетом уравнение (6.4.117) переписывается в виде
\[
\begin{array}{l}
\omega_{1} \frac{\partial p_{2}}{\partial \eta_{1}}+\omega_{2} \frac{\partial p_{2}}{\partial \eta_{2}}+p_{0} \frac{\partial p_{2}}{\partial \varphi}= \\
=-\frac{d p_{0}}{d T_{2}}+v_{0}+v_{2} p_{0}+ \\
+v_{1}\left[a_{1} \sin \left(\eta_{1}-\varphi+\theta_{1}\right)+a_{2} \sin \left(\eta_{2}-\varphi+\theta_{2}\right)\right],
\end{array}
\]

где $A_{n}=a_{n} \exp \left(i \theta_{n}\right)$ с действительными $a_{n}$ и $\theta_{n}$. Поскольку $p_{0} \approx \omega_{1}$, то величина $\eta_{1}-\varphi$ является медленно меняющейся функцией времени. Будем считать ее функцией $T_{2}$. Далее, решение уравнения (6.4.120) содержит члены, которые стремятся к бесконечности при $\eta_{1}, \eta_{2}$ или $\varphi \rightarrow \infty$ (т. е. при $t \rightarrow \infty$ ), нарушая тем самым наше разложение, если только не выполнено условие
\[
\frac{d p_{0}}{d T_{2}}=v_{0}+v_{2} p_{0}+v_{1} a_{1} \sin \left(\eta_{1}-\varphi+\theta_{1}\right) .
\]

При выполнении этого условия $p_{2}$ будет иметь вид
\[
p_{2}=\frac{a_{2} v}{p_{0}-\omega_{2}} \cos \left(\eta_{2}+\theta_{2}-\varphi\right) .
\]

Зная $\xi_{1}$, можем переписать $(6.4 .114)$ в виде
\[
\begin{aligned}
L\left(\xi_{3}\right)=Q_{1} e^{i \eta_{1}}+Q_{2} e^{i \eta_{2}}+ & \left(i \omega_{1} \mu_{2}+i \chi_{2}+\gamma\right) A_{1}^{2} \bar{A}_{2} e^{i\left(2 \eta_{t}-\eta_{2}\right)}+ \\
& +\left(i \omega_{2} \mu_{2}+i \chi_{2}+\gamma\right) \bar{A}_{1} A_{2}^{2} e^{i\left(2 \eta_{3}-\eta_{1}\right)},
\end{aligned}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
Q_{1}=-i\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) \frac{d A_{1}}{d T_{2}}-i \omega_{1}^{\prime} A_{1}+ \\
+i\left\{\left(\omega_{1} \mu_{1}+\chi_{1}\right)+\left(-i \gamma+\chi_{2}+\omega_{1} \mu_{2}\right) a_{1}^{2}+\right. \\
\left.+\left[-2 i \gamma+2 \chi_{2}+\left(\omega_{1}+\omega_{2}\right) \mu_{2}\right] a_{2}^{2}\right\} A_{1}+k e^{i\left(\varphi+\varphi_{0}-\eta_{1}\right)} . \\
Q_{2}=i\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) \frac{d A_{2}}{d T_{2}}-i \omega_{2}^{\prime} A_{2}+ \\
\quad+i\left\{\left(\omega_{2} \mu_{1}+\chi_{1}\right)+\left[-2 i \gamma+2 \chi_{2}+\left(\omega_{1}+\omega_{2}\right) \mu_{2}\right] a_{1}^{2}+\right. \\
\left.\quad+\left(-i \gamma+\chi_{2}+\omega_{2} \mu_{2}\right) a_{2}^{2}\right\} A_{2} .
\end{array}
\]

Вековые члены в (6.4.123) будут исключены при условии $Q_{1}=$ $=Q_{2}=0$. Полагая в (6.4.124) и (6.4.125) $A_{n}=a_{n} \exp \left(i \theta_{n}\right)$ с действительными $a_{n}$ и $\theta_{n}$, учитывая, что $Q_{1}=Q_{2}=0$, и разделяя

действительную и мнимую части, получаем
\[
\begin{array}{c}
\frac{d a_{1}}{d T_{2}}=\lambda_{11} a_{1}+\lambda_{12} a_{1}^{3}+\lambda_{13} a_{1} a_{2}^{2}+\frac{k}{\omega_{1}-\omega_{2}} \sin \Gamma, \\
\frac{d a_{2}}{d T_{2}}=\lambda_{21} a_{i}+\lambda_{22} a_{2}^{3}+\lambda_{23} a_{1}^{2} a_{2}, \\
\frac{d \theta_{1}}{d T_{2}}=-\frac{\gamma}{\omega_{1}-\omega_{2}}\left(a_{1}^{2}+2 a_{2}^{2}\right)-\frac{k}{\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) a_{1}} \cos \Gamma, \\
\frac{d \theta_{2}}{d T_{2}}=\frac{\gamma}{\omega_{1}-\omega_{2}}\left(2 a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\right) .
\end{array}
\]

Здесь принято обозначение
\[
\begin{array}{c}
\Gamma=\varphi-\eta_{1}-\theta_{1}+\varphi_{0}, \\
{\left[\lambda_{11}, \lambda_{12}, \lambda_{13}\right]=\frac{1}{\omega_{1}-\omega_{2}}\left[\omega_{1} \mu_{1}+\chi_{1}-\omega_{1}^{\prime}, \omega_{1} \mu_{2}+\chi_{2},\left(\omega_{1}+\omega_{2}\right) \mu_{2}+2 \chi_{2}\right],} \\
{\left[\lambda_{21}, \lambda_{22}, \lambda_{23}\right]=-\frac{1}{\omega_{1}-\omega_{2}}\left[\omega_{2} \mu_{1}+\chi_{1}-\omega_{2}^{\prime}, \omega_{2} \mu_{2}+\chi_{2},\right.} \\
\left.\left(\omega_{1}+\omega_{2}\right) \mu_{2}+2 \chi_{2}\right] .
\end{array}
\]

Объединяя (6.4.128) и (6.4.130) и вводя параметр расстройки $\sigma$, определяемый соотношением
\[
p_{0}=\omega_{1}+\varepsilon^{2} \sigma,
\]

получаем
\[
\frac{d \Gamma}{d T_{2}}=\sigma+\frac{\gamma}{\omega_{1}-\omega_{2}}\left(a_{1}^{2}+2 a_{2}^{2}\right)+\frac{k}{\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) a_{1}} \cos \Gamma .
\]

6.4.7. Задача о космическом корабле типа Земля – Луна

Следующим примером будет одномерная задача о космическом корабле типа Земля – Луна, которая рассматривалась в п.2.4.2, 3.2.2 и 4.1.7 и задается соотношениями
\[
\frac{1}{2}\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}=\frac{1-\mu}{x}+\frac{\mu}{1-x}, t(0)=0 .
\]

Если при малом $\mu$ разложить $t$ по степеням $x$, то полученное разложение будет иметь особенность в точке $x=1$ и область неравномерности порядка $1-x=O(\mu)$. Таким образом, для нахождения разложения, пригодного для всех $x$, методом многих масштабов введем две переменные (Найфэ [1964], [1965а])
\[
\xi=x, \quad \eta=\frac{1-x}{\mu} .
\]

В этих переменных уравнение (6.4.134) примет вид
\[
V \overline{2}\left(\frac{\partial t}{\partial \xi}-\mu^{-1} \frac{\partial t}{\partial \eta}\right)=\left(\frac{1-\mu}{\xi}+\frac{1}{\eta}\right)^{-1 / 2},
\]

где все функции $x$ считаются зависящими от $\xi$, за исключением источника неравномерности, выражения $1-x$, которое записано как функция $\eta$ в виде $\mu \eta$. Предположим теперь, что $t$ допускает следующее равномерно пригодное разложение:
\[
t=t_{0}(\xi, \eta)+\mu t_{1}(\xi, \eta)+\mu^{2} t_{2}(\xi, \eta)+\ldots .
\]

Подставив (6.4.136) в (6.4.135) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\mu$, получим
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial t_{0}}{\partial \eta} & =0, \\
\sqrt{2}\left(\frac{\partial t_{0}}{\partial \xi}-\frac{\partial t_{1}}{\partial \eta}\right) & =\sqrt{\frac{\xi \eta}{\eta+\xi}}, \\
\sqrt{2}\left(\frac{\partial t_{1}}{\partial \xi}-\frac{\partial t_{2}}{\partial \eta}\right) & =\frac{1}{2} \sqrt{\xi}\left(\frac{\eta}{\eta+\xi}\right)^{3 / 2} .
\end{aligned}
\]

Общее решение уравнения (6.4.137) имеет вид
\[
\sqrt{2} t_{0}=A(\xi),
\]

где $A$ определяется из условия ограниченности отношения $t_{1} / t_{0}$ при всех $\eta$. Решение уравнения (6.4.138) имеет вид
\[
-\sqrt{2} t_{1}=-A^{\prime}(\xi) \eta+\sqrt{\xi \eta(\eta+\xi)}-\xi^{3 / 2} \operatorname{Arcsh} \sqrt{\frac{\eta}{\xi}}+B(\xi) .
\]

При $\eta \longrightarrow \infty$ равенство (6.4.141) переходит в следующее:
\[
\begin{array}{r}
-\sqrt{2} t_{1}=\left|\sqrt{\xi}-A^{\prime}(\xi)\right| \eta+\frac{1}{2} \xi \sqrt{\xi}-\xi^{3 / 2} \ln 2 \sqrt{\frac{\eta}{\xi}}+ \\
+B(\xi)+O\left(\eta^{-1}\right) .
\end{array}
\]

Таким образом, выражение для $t_{1}$ содержит два члена, доставляющих особенность при $\eta \rightarrow \infty$ : это – слагаемое, пропорциональное $\eta$, и слагаемое, пропорциональное $\ln (\eta)$. Первое слагаемое может быть исключено при условии
\[
A^{\prime}(\xi)=\sqrt{\xi}, \quad A=\frac{2}{3} \xi^{3 / 2}+a,
\]

где $a$-произвольная постоянная. Относительно второго члена заметим, что $\ln (\eta)$ меняется медленно вместе с $x$ и $\mu$, хотя и $\eta$ является быстрой переменной. Поэтому этот член должен быть выражен через переменную $\xi$, т. е. должен быть записан в виде
\[
\xi^{3 / 2} \ln 2 \sqrt{\frac{\eta}{\xi}}=\xi^{3 / 2} \ln \sqrt{\frac{4(1-\xi)}{\mu \xi}} .
\]

Тогда $t_{1}$ имеет особенность при $\xi \rightarrow 1$ и будет ограничено при $\xi \rightarrow 1$, если выполнено условие
\[
B(\xi)=\frac{1}{2} \xi^{3 / 2} \ln (1-\xi)+C(\xi) .
\]

Функция $C(\xi)$ определится из требования ограниченности отношения $t_{2} / t_{1}$ при $\eta \rightarrow \infty$.
Подставив полученные выше решения в (6.4.139), найдем
\[
\begin{array}{l}
\sqrt{2} \frac{\partial t_{2}}{\partial \eta}=\frac{1}{2} \frac{\eta}{\sqrt{\xi}}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\eta(\eta+\xi)}{\xi}}-\sqrt{\frac{\eta \xi}{\eta+\xi}-\frac{1}{2}} \sqrt{\xi}\left(\frac{\eta}{\eta+\xi}\right)^{3 / 2}+ \\
+\frac{3}{2} \sqrt{\xi} \operatorname{Arcsh} \sqrt{\frac{\eta}{\xi}}-\frac{3}{4} \sqrt{\xi} \ln (1-\xi)+\frac{1}{2} \frac{\xi^{3 / 2}}{1-\xi}-C^{\prime}(\xi) .
\end{array}
\]

При $\eta \longrightarrow \infty$ уравнение (6.4.145) принимает вид
\[
\begin{aligned}
\sqrt{2} \frac{\partial t_{2}}{\partial \eta}=-\frac{7}{4} \sqrt{\xi}+\frac{3}{2} \sqrt{\xi} & \ln 2 \sqrt{\frac{\eta}{\xi}}-\frac{3}{4} \sqrt{\xi} \ln (1-\xi)+ \\
& +\frac{1}{2} \frac{\xi^{3 / 2}}{1-\xi}-C^{\prime}(\xi)+O\left(\eta^{-1}\right) .
\end{aligned}
\]

Здесь вновь член $\ln \sqrt{\eta}$ следует выразить через $\xi$. Уравнение (6.4.146) соответственно примет вид
\[
\sqrt{2} \frac{\partial t_{2}}{\partial \eta}=\left(-\frac{7}{4}+\frac{3}{2} \ln 2-\frac{3}{4} \ln \mu \xi\right) \sqrt{\xi}+\frac{1}{2} \frac{\xi^{3 / 2}}{1-\xi}-C^{\prime}(\xi)+O\left(\eta^{-1}\right) .
\]

Для ограниченности отношения $t_{2} / t_{1}$ при $\eta \rightarrow \infty$ должно быть выпо.лнено
\[
C^{\prime}(\xi)=\left(-\frac{7}{4}+\frac{3}{2} \ln 2-\frac{3}{4} \ln \mu \xi\right) \sqrt{\xi}+\frac{1}{2} \frac{\xi^{3 / 2}}{1-\xi},
\]

откуда
\[
C=-\frac{7}{6} \xi^{3 / 2}-\sqrt{\xi}-\frac{1}{2} \xi^{3 / 2} \ln \frac{\mu \xi}{4}+\frac{1}{2} \ln \frac{1+\sqrt{\xi}}{1-\sqrt{\xi}}+c,
\]

где $c$-постоянная интегрирования.
Выразив $t_{0}$ и $t_{1}$ через $x$ и использовав начальное условие $t(x=0)=0$, получим $a=c=0$. Следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\sqrt{2} t=\left(1-\frac{1}{3} x\right) \sqrt{x}-\sqrt{x(1-x)(1-x+\mu x)}+ \\
+\mu\left[x^{3 / 2} \operatorname{Arcsh} \sqrt{\frac{1-x}{\mu x}}-\frac{1}{2} x^{3 / 2} \ln \frac{4(1-x)}{\mu x}+\right. \\
\left.+\frac{\bar{y}}{6} x^{3 / 2}+\sqrt{x}-\frac{1}{2} \ln \frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\right]+O\left(\mu^{2}\right) . \\
\end{array}
\]

Рассмотрим теперь иной метод (Найфэ [1965а]) определения функций $A(\xi)$ и $B(\xi)$. Поскольку разложение
\[
\begin{array}{r}
\sqrt{2} t=A(\xi)+\mu\left[A^{\prime}(\xi) \eta-\sqrt{\bar{\eta}(\eta+\xi)}+\xi^{3 / 2} \operatorname{Arsh} \sqrt{\frac{\eta}{\xi}}-\right. \\
-B(\xi)]+O\left(\mu^{2}\right)
\end{array}
\]

предполагается равномерно пригодным для всех $x$, то вдали от $x=1$ оно должно сводиться к прямому разложению (см. упр. 2.12).
\[
\sqrt{2} t=\frac{2}{3} x^{3 / 2}+\mu\left(\frac{2}{3} x^{3 / 2}+V \bar{x}-\frac{1}{2} \ln \frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\right)+O\left(\mu^{2}\right) .
\]

Для нахождения $A(\xi)$ и $B(\xi)$ вместо условия ограниченности $t_{n} / t_{n-1}$ при всех $\xi$ и $\eta$ может быть использовано это условие. Выразив (6.4.149) через $x$ и разложив при малом $\mu$, получим
\[
\begin{aligned}
\sqrt{2} t=A(x)+\mu[ & A^{\prime}(x) \frac{1-x}{\mu}-\frac{1-x}{\mu} \sqrt{x}-\frac{1}{2} x^{3 / 2}+ \\
& \left.\quad+\frac{1}{2} x^{3 / 2} \ln \frac{4(1-x)}{\mu x}-B(x)\right]+O\left(\mu^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Чтобы первые члены в (6.4.150) и (6.4.151) совпали, должно быть выполнено
\[
A(x)=\frac{2}{3} x^{3 / 2} .
\]

Тогда вторые члены совпадут при условии
\[
B(x)=-\frac{7}{6} x^{3 / 2}-\sqrt{x}+\frac{1}{2} x^{3 / 2} \ln \frac{4(1-x)}{\mu x}+\frac{1}{2} \ln \frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}} .
\]

Подставив эти выражения для $A$ и $B$ в разложение (6.4.149) и выразив результат через $x$, получим в точности разложение (6.4.148).

6.4.8. Модель диспергирующих волн
Вновь рассмотрим модельное уравнение Брезертона [1964]
\[
\varphi_{t t}+\varphi_{x x x x}+\varphi_{x x}+\varphi=\varepsilon \varphi^{3} .
\]

Линеаризованное уравнение допускает решение в форме бегущих волн
\[
\begin{array}{c}
\varphi=a \cos \theta, \\
\theta=k x-\omega t, \quad \omega^{2}=k^{4}-k^{2}+1 .
\end{array}
\]

Для отыскания волн, параметры которых медленно меняются в прос гранстве и во времени, будем следовать Найфэ и Хассану

[1971], предположив, что имеется разложение вида
\[
\varphi=\varphi_{0}\left(\theta, X_{1}, T_{1}\right)+\varepsilon \varphi_{1}\left(\theta, X_{1}, T_{1}\right)+\ldots,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\theta=\varepsilon^{-1} \zeta\left(X_{1}, T_{1}\right), \quad X_{1}=\varepsilon x, T_{1}=\varepsilon t, \\
k=\theta_{x}=\frac{\partial \zeta}{\partial X_{1}}, \quad \omega=-\theta_{t}=-\frac{\partial \zeta}{\partial T_{1}} .
\end{array}
\]

В новых переменных $\theta, X_{1}$ и $T_{1}$ пространственная и временная производные примут вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}=\omega^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial \theta^{2}}-2 \varepsilon \omega \frac{\partial^{2}}{\partial \theta \partial T_{1}}-\varepsilon \frac{\partial \omega}{\partial T_{1}} \frac{\partial}{\partial \theta}+\varepsilon^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial T_{1}^{2}}, \\
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}=k^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial \theta^{2}}+2 \varepsilon k \frac{\partial^{2}}{\partial \theta \partial X_{1}}+\varepsilon \frac{\partial k}{\partial X_{1}} \frac{\partial}{\partial \theta}+\varepsilon^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial X_{1}^{2}}, \\
\frac{\partial^{4}}{\partial x^{4}}=k^{4} \frac{\partial^{4}}{\partial \theta^{4}}+4 \varepsilon k^{3} \frac{\partial^{4}}{\partial \theta^{3} \partial X_{1}}+6 \varepsilon k^{2} \frac{\partial k}{\partial X_{1}} \frac{\partial^{3}}{\partial \theta^{3}}+\ldots .
\end{array}
\]

Подставив (6.4.156) в (6.4.154) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим
\[
\begin{aligned}
L\left(\varphi_{0}\right) & \equiv\left(\omega^{2}+k^{2}\right) \frac{\partial^{2} \varphi_{0}}{\partial \theta^{2}}+k^{4} \frac{\partial^{4} \varphi_{0}}{\partial \theta^{4}}+\varphi_{0}=0, \\
L\left(\varphi_{1}\right) & =\varphi_{0}^{3}+2 \omega \frac{\partial^{2} \varphi_{0}}{\partial \theta \partial T_{1}}-2 k \frac{\partial^{2} \varphi_{0}}{\partial \theta \partial X_{1}}-4 k^{3} \frac{\partial^{4} \varphi_{0}}{\partial 9^{3} \partial X_{1}}+ \\
& +\left(\frac{\partial \omega}{\partial T_{1}}-\frac{\partial k}{\partial X_{1}}\right) \frac{\partial \varphi_{0}}{\partial \theta}-6 k^{2} \frac{\partial k}{\partial X_{1}} \frac{\partial^{3} \varphi_{0}}{\partial \theta^{3}} .
\end{aligned}
\]

Решение уравнения (6.4.158) должно иметь вид
\[
\varphi_{0}=A\left(X_{1}, T_{1}\right) e^{i 0}+\bar{A}\left(X_{1}, T_{1}\right) e^{-i \theta},
\]

где
\[
\omega^{2}=k^{4}-k^{2}+1 .
\]

Подставив выражение для $\varphi_{0}$ в (6.4.158), получим
\[
L\left(\varphi_{1}\right)=Q\left(X_{1}, T_{1}\right) e^{i \theta}+A^{3} e^{3 i \theta}+C C,
\]

где
\[
Q=2 i \omega \frac{\partial A}{\partial T_{1}}+2 i k\left(2 k^{2}-1\right) \frac{\partial A}{\partial X_{1}}+i \frac{\partial \omega}{\partial T_{1}} A+i\left(6 k^{2}-1\right) \frac{\partial k}{\partial X_{1}} A+3 A^{2} \bar{A} .
\]

Для того чтобы вековые члены отсутствовали, должно выполняться условие $Q=0$. Для упрощения этого условия заме-

тим, что
\[
\omega \omega^{\prime}=2 k^{3}-k,
\]

где $\omega^{\prime}=d \omega / \partial k$ – групповая скорость. Дифференцирование (6.4.163) по переменной $X_{1}$ дает
\[
\omega \omega^{\prime \prime} \frac{\partial k}{\partial X_{1}}+\omega^{\prime 2} \frac{\partial k}{\partial \bar{X}_{1}}=\left(6 k^{2}-1\right) \frac{\partial k}{\partial X_{1}} .
\]

Если функция $\zeta$ дважды непрерывно дифференцируема, то $\omega$ и $k$ удовлетворяют условию совместности
\[
\frac{\partial k}{\partial T_{1}}+\frac{\partial \omega}{\partial X_{1}}=0
\]

или иначе
\[
\frac{\partial k}{\partial T_{1}}+\omega^{\prime} \frac{\partial k}{\partial X_{1}}=0
\]

Следовательно,
\[
\frac{\partial \omega}{\partial T_{1}}=\omega^{\prime} \frac{\partial k}{\partial T_{1}}=-\omega^{\prime 2} \frac{\partial k}{\partial X_{1}},
\]

и уравнение (6.4.164) может быть переписано в виде
\[
\frac{\partial \omega}{\partial T_{1}}+\left(6 k^{2}-1\right) \frac{\partial k}{\partial X_{1}}=\omega \omega^{\prime \prime} \frac{\partial k}{\partial X_{1}} .
\]

С помощью равенств (6.4.163) и (6.4.166) условие $Q=0$ может быть упрощено и записано в виде
\[
2 \frac{\partial A}{\partial T_{1}}+2 \omega^{\prime} \frac{\partial A}{\partial X_{1}}+\omega^{\prime \prime} \frac{\partial k}{\partial X_{1}} A=\frac{3 i}{\omega} A^{2} \bar{A} .
\]

Полагая в (6.4.167) $A=(1 / 2) a \exp (i \beta)$ и разделяя действительную и мнимую части, получаем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial a^{2}}{\partial T_{1}}+\frac{\partial}{\partial X_{1}}\left(\omega^{\prime} a^{2}\right)=0, \\
\frac{\partial \beta}{\partial T_{1}}+\omega^{\prime} \frac{\partial \beta}{\partial X_{1}}=\frac{3 a^{2}}{8 \omega} .
\end{array}
\]

Решение, полученное в этом пункте с помощью метода многих масштабов, является другим представлением решения, полученного в п. 5.8.1 с помощью усреднения лагранжиана. В самом деле, уравнения, описывающие изменение амплитуды и волнового числа, имеют в точности тот же вид. Однако в п. 5.8.1 фаза отсутствовала, зато дисперсионное соотношение (5.8.9) зависело от амплитуды. В данном пункте дисперсионное соотношение не зависит от амплитуды, но решение задает изменение фазы. Чтобы показать эквивалентность этих представлений, разложим вели-

чину $\theta$ из п. 5.8.1 в виде
\[
\theta=\theta_{0}-\varepsilon \tilde{\beta}
\]

Имеют место соотношения:
\[
\begin{array}{c}
k=\frac{\partial \theta_{0}}{\partial x}-\varepsilon \frac{\partial \tilde{\beta}}{\partial x}=k_{0}-\varepsilon \frac{\partial \tilde{\beta}}{\partial x}, \\
\omega=\omega_{0}+\varepsilon \frac{\partial \tilde{\beta}}{\partial t}
\end{array}
\]

Подставив (6.4.170) в (5.8.9) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим
\[
\begin{array}{c}
\omega_{0}^{2}=k_{0}^{4}-k_{0}^{2}+1, \\
\frac{\partial \tilde{\beta}}{\partial t}+\omega_{0}^{\prime} \frac{\partial \tilde{\beta}}{\partial x}=\frac{3 a^{2}}{8 \omega_{0}} .
\end{array}
\]

Последнее уравнение совпадает с уравнением (6.4.169).

6.4.9. Нелинейное уравнение Клейна – Гордона

Последним примером, рассмотренным в этой главе, будет уравнение
\[
u_{t t}-u_{x x}+V^{\prime}(u)=0 \text {, }
\]

изученное в п. 5.8.3 с помощью метода Уизема усреднения лагранжиана. В нашем изложении мы следуем Люку [1966].

Предположим, что и допускает равномерно пригодное разложение вида
\[
u(x, t)=u_{0}\left(\theta, X_{1}, T_{1}\right)+\varepsilon u_{1}\left(\theta, X_{1}, T_{1}\right)+\ldots,
\]

где $\theta, X_{1}$ и $T_{1}$ определены в (6.4.157). Подставив (6.4.172) в (6.4.171), используя выражения для производных из предыдущего пункта и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получаем
\[
\begin{array}{c}
\left(\omega^{2}-k^{2}\right) \frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial \theta^{2}}+V^{\prime}\left(u_{0}\right)=0 \\
\left(\omega^{2}-k^{2}\right) \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial \theta^{2}}+V^{\prime \prime}\left(u_{0}\right) u_{1}= \\
=2 k \frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial \theta \partial X_{1}}+2 \omega \frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial \theta \partial T_{1}}+\frac{\partial k}{\partial X_{1}} \frac{\partial u_{0}}{\partial \theta}+\frac{\partial \omega}{\partial T_{1}} \frac{\partial u_{0}}{\partial \theta} .
\end{array}
\]

Проинтегрировав однократно уравнение (6.4.173), придем к уравнению
\[
\frac{1}{2}\left(\omega^{2}-k^{2}\right)\left(\frac{\partial u_{0}}{\partial \theta}\right)^{2}+V\left(u_{0}\right)=E\left(X_{1}, T_{1}\right) .
\]

Решение этого уравнения имеет вид
\[
\theta=\sqrt{\omega^{2}-k^{2}} \int^{u_{0}} \frac{d \xi}{\{2[E-V(\xi)]\}^{1 / 2}}-\eta\left(X_{1}, T_{1}\right),
\]

где $E\left(X_{1}, T_{1}\right)$ и $\eta\left(X_{1}, T_{1}\right)$ – неизвестные функции, которые определяются из анализа уравнения (6.4.174). Обратив равенство (6.4.176), найдем
\[
u_{0}\left(\theta, X_{1}, T_{1}\right)=f\left(\theta+\eta, E, \omega^{2}-k^{2}\right) .
\]

Предположим, что функция $f$ периодична с постоянным периодом, который нормировкой может быть сведен к единице, т. е. предположим, что
\[
\sqrt{\omega^{2}-k^{2}} \oint \frac{d \xi}{\{2[E-V(\xi)\}\}^{1 / 2}}=1 .
\]

Это равенство дает одно соотношение между величинами $\omega, k$ и $E$, которое является дисперсионным соотношением.

Частное решение уравнения (6.4.174) содержит члены, из-за которых отношение $u_{1} / u_{0}$ не ограничено при $\theta \rightarrow \infty$, если только правая часть (6.4.174) не ортогональна решению сопряженного однородного уравнения. Это условие иногда называют условием разрешимости. Оно представляет собой обобщение условия исключения вековых членов, которое широко применялось в этой книге. Поскольку уравнение (6.4.174) является самосопряженным, то условие разрешимости означает, что его правая часть ортогональна решению однородного уравнения, которое, как легко показать, имеет вид $u_{1}=\partial u_{0} / \partial \theta$. Таким образом, требования условия разрешимости сводятся к равенству
\[
\oint\left(2 k \frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial \theta \partial X_{1}}+2 \omega \frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial \theta \partial T_{1}}+\frac{\partial k}{\partial X_{1}} \frac{\partial u_{0}}{\partial \theta}+\frac{\partial \omega}{\partial T_{1}} \frac{\partial u_{0}}{\partial \theta}\right) \frac{\partial u_{0}}{\partial \theta} d \theta=0,
\]

которое можно переписать в виде
\[
\frac{\partial}{\partial T_{1}}\left[\omega \oint\left(\frac{\partial u_{0}}{\partial \theta}\right)^{2} d \theta\right]+\frac{\partial}{\partial X_{1}}\left[k \oint\left(\frac{\partial u_{0}}{\partial \theta}\right)^{2} d \theta\right]=0 .
\]

Взяв в качестве переменной интегрирования вместо $\theta$ переменную $u_{0}$ и подставив из (6.4.175) выражение для $\partial u_{0} / \partial \theta$, можем привести это условие к виду
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial T_{1}}\left\{\frac{\omega}{\sqrt{\omega^{2}-k^{2}}}\right.\left.\oint \sqrt{2\left[E-V\left(u_{0}\right)\right]} d u_{0}\right\}+ \\
+\frac{\partial}{\partial X_{1}}\left\{\frac{k}{\sqrt{\omega^{8}-k^{2}}} \oint \sqrt{2\left[E-V\left(u_{0}\right)\right]} d u_{0}\right\}=0 .
\end{array}
\]

Это равенство задает второе соотношение между $\omega, k$ и $E$. Третьим соотношением является условие совместности (6.4.165).

Результаты этого пункта согласуются с результатами, полученными в п. 5.8.3 с помощью вариационного подхода.

6.4.10. Преимущества и ограничения обобщенного метода

Этот метод применим, конечно, ко всем задачам, которые могут быть изучены с помощью метода разложения производной или процедуры разложения с двумя переменными. Кроме того, он применим также и в тех случаях, когда оба названных метода терпят неудачу. Это имеет место в задачах, требующих нелинейных масштабов (например, в случае осциллятора с медленно меняющимися коэффициентами), или в задачах с резкими изменениями (например, в задаче о космическом ксрабле типа Земля – Луна). Однако данный метод требует сложных вычислений, и в задачах нелинейных колебаний с постоянными коэффициентами предпочтительными являются метод разложения производной и процедура разложения с двумя переменными.

Для получения равномерно пригодных разложений в задачах, которые поддаются рассмотрению с помощью метода координатных преобразований, может быть использован метод многих масштабов. Кроме того, этот метод может быть использован в тех случаях, когда метод координатных преобразований неприменим, как это имеет место в задачах с затуханием и резкими изменениями. В тех случаях, когда применим метод координатных преобразований, он может иметь преимущество, связанное с неявным заданием решения. Для гиперболических уравнений без дисперсии желательным является получить разложение в точных характеристиках. Метод многих масштабов, однако, может быть рассмотрен как обобщение метода координатных преобразований, если масштабы задаются неявно в исходных переменных.

Примеры, рассмотренные в этой главе, показали, что метод многих масштабов применим как к задачам, которые могут быть изучены с помощью метода сращивания асимптотических разложений, таким, как задача о космическом корабле Земля – Луна, так и к задачам, которые не могут быть изучены с помощью последнего метода, таким, как задачи о нелинейных колебаниях. Метод многих масштабов дает одно равномерно пригодное разложение в отличие от метода сращивания асимптотических разложений, в котором рассматриваются два разложения, подлежащих сращиванию. Хотя и в методе многих масштабов обыкновенное дифференциальное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение в частных производных, получение первого приближения не представляет бо́льших трудностей, чем решение первого внутреннего уравнения. Однако трудными для

решения могут оказаться уравнения, определяющие различные масштабы (Махони [1962]). Кроме того, данный метод еще не применялся к дифференциальным уравнениям в частных производных, для которых первый член разложения является нелинейным, как, например, в задаче о вязком обтекании тела, и к эллиптическим дифференциальным уравнениям в частных производных с неоднородными граничными возмущениями, таким, как в задаче об обтекании тонкого крыла.

Метод многих масштабов применим к задачам, которые могут быть изучены с помощью метода усреднения, метода Крылова Боголюбова – Митропольского и с помощью преобразований Ли, равно как к задачам, которые не поддаются изучению этими методами. Если система задана своим гамильтонианом, то метод преобразований Ли имеет то преимущество, что высшие приближения могут быть найдены рекуррентно. Однако метод многих масштабов в сочетании с преобразованиями Ли может быть применен непосредственно к гамильтониану.

Упражнения

6.1. Определить равномерное разложение первого порядка для уравнения
\[
\ddot{u}+\omega_{0}^{2} u=\varepsilon f(u, \dot{u})
\]
и получить затем частные случаи, соответствующие функциям $f=\dot{u}+\beta u^{3}$, $\beta u^{3}+\left(1-u^{2}\right) \dot{u}$ и $-|\dot{u}| \dot{u}$.

6.2. Определить равномерные разложения второго порядка для уравнения
\[
\ddot{u}+(\delta+\varepsilon \cos 2 t) u=0
\]
при $\delta$, близком к 0 и 4.

6.3. Определить равномерное разложение второго порядка для уравнения
\[
\ddot{u}+\left(\delta+\varepsilon \cos ^{3} t\right) u=0 .
\]

6.4. Определить равномерные разложения первого порядка для уравнения
\[
\ddot{u}+(\delta+\varepsilon \cos 2 t) u=\varepsilon f(u, \dot{u})
\]
и получить частные случаи при $f=\beta u^{3},-|\dot{u}| \dot{u}$ и $\left(1-u^{2}\right) \dot{u}$.

6.5. Рассмотреть уравнение
\[
\ddot{u}+\omega_{0}^{2} u=\varepsilon\left[u^{3}+\left(1-u^{2}\right) \dot{u}\right]+K \cos \omega t .
\]

Определить равномерное разложение первого порядка для случаев
(a) $K=O(1)$ и значения $\omega$ далеки от $\omega_{0}, 3 \omega_{0}$ и $\omega_{0} / 3$,
(б) $K=O$ (1) и $\omega \approx 3 \omega_{0}$,
(в) $K=O$ (1) и $\omega \approx \omega_{0} / 3$,
(г) $K=O(\varepsilon)$ и $\omega \approx \omega_{0}$.

6.6. Рассмотреть систему
\[
\begin{array}{c}
\ddot{u}+\omega_{0}^{2} u=2 \varepsilon \frac{d}{d t}[(1-z) u]+2 K \cos \omega t, \\
\tau \dot{z}+z=u^{2} .
\end{array}
\]

Определить равномерные разложения первого порядка для случаев, перечисленных в упражнении 6.5.

6.7. Задача о старте спутника с малой тягой с круговой орбиты может быть приведена к виду
\[
\begin{array}{c}
u^{n}+u-v^{2}=-\frac{\varepsilon v^{2}}{u^{3}}\left(s u^{\prime}+c u\right), \\
v^{\prime}=-\frac{\varepsilon s v^{3}}{u^{3}}, \\
u(0)=1, \quad u^{\prime}(0)=0, \quad v(0)=1,
\end{array}
\]

где штрих означает дифференцирование по $\theta$, а $\varepsilon, s$ и $c$ – постоянные. Показать, что при малом $\varepsilon$ имеют место разложения (Найфэ [1966])
\[
\begin{aligned}
v=f & +3 \varepsilon c f^{-3} \ln f+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
u=f^{2} & +\varepsilon\left\{f^{7 / 2}\left[c \cos \left(\theta+\frac{c}{s} \ln f\right)+2 s \sin \left(\theta+\frac{c}{s} \ln f\right)\right]+\right. \\
& \left.+c f^{-2}(6 \ln f-1)\right\}+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\end{aligned}
\]

где $f=(1-4 \varepsilon s \theta)^{1 / 4}$, Является ли это разложение пригодным для всех $\theta$ ?

6.8. Рассмотрим задачу, определяемую соотношениями (6.4.105) и (6.4.106) при постоянных $\omega_{0}, p, \gamma, \mu_{i}$ и $\chi_{i}$.
(a) Определить равномерное разложение первого порядка для случая $K=O(1)$ и значений $p$, далеких от $\omega_{1}$. (б) Показать, что это разложение непригодно при $p \approx 0$ или $2 \omega_{1}-\omega_{2}$, и определить равномерные разложения первого порядка, пригодные в этих случаях (Найфэ и Сарик [1971б]). (в) Определить равномерное разложение первого порядка для случаев $K=O\left(\varepsilon^{2}\right)$ и $p \approx \omega_{1}$, используя сначала метод многих масштабов (Найфэ и Сарик [1971б]) и затем метод усреднения (Клэр [1971]). Сравнить оба результата.

6.9. Используя метод многих масштабов (MMM), определить равномерные разложения второго порядка для задач
(a) $\varepsilon y^{\prime \prime} \mp y^{\prime}+y=0$,
(б) $\varepsilon y^{\prime \prime} \mp y^{\prime}=2 x$,
(в) $\varepsilon y^{\prime \prime} \pm(2 x+1) y^{\prime}=1$

с граничными условиями
\[
y(0)=\alpha, \quad y(1)=\beta .
\]

6.10. Определить равномерные разложения первого порядка для задач
(a) $\varepsilon y^{\prime \prime}-a(x) y^{\prime}+b(x) y=0, a(x)>0$,
(6) $\varepsilon y^{\prime \prime} \mp y^{\prime}+y^{2}=0$,
(B) $\varepsilon y^{\prime \prime} \mp y y^{\prime}-y=0$,
(r) $\varepsilon y^{\prime \prime} \mp(2 x+1) y^{\prime}+y^{2}=0$,
(д) $\varepsilon y^{\prime \prime} \mp y^{\prime}+y^{n}=0, n$ – натуральное число, с граничными условиями
\[
y(0)=\alpha, \quad y(1)=\beta .
\]

6.11. Используя МMM, определить равномерное разложение первого порядка для задачи
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon y^{\prime \prime}+a(x) y^{\prime}=1, \\
y(0)=\alpha, \quad y(1) \rightleftharpoons \beta
\end{array}
\]
при условии, что $a(x)$ имеет простой корень в точке $\mu$ из интервала $[0,1]$.

6.12. Используя $M M M$, определить равномерное разложенне первого порядка для уравнения
\[
y^{\prime \prime}+\lambda^{2}(1-x)^{n} f(x) y=0,
\]
где $n$-натуральное число, $f(x)>0$ и $\lambda \gg 1$.

6.13. Определить равномерные разложения первого порядка для уравнения (6.4.84), имеющие вид
(a) $u=A(\xi) c n[\eta, v(\xi)]$,
(б) $u=A(\xi) d n[\eta, v(\xi)]$.

6.14. Рассмотреть уравнение
\[
\ddot{u}+\omega_{0}^{2}(\varepsilon t) u=\varepsilon u^{3}+K \cos \varphi,
\]

в котором $\varphi=\omega(\varepsilon t)$. Определить равномерные разложения первого порядка для случаев
(a) $K=O$ (1) и значения $\omega$ далеки от $\omega_{0}, 3 \omega_{0}$ и $\omega_{0} / 3$,
(б) $K=O(1)$ и $\omega \approx 3 \omega_{0}$,
(в) $K=O$ (1) и $\omega \approx \omega_{0} / 3$,
(г) $K=O(\varepsilon)$ и $\omega \approx \omega_{0}$.

6.15. Рассмотрим задачу, определяемую соотношениями (6.4.105)-(6.4.107) с переменными коэффициентами. Определить равномерное разложение первого порядка для случая, когда $K=O(1)$ и значения $p$ далеки от $\omega_{1}$. Показать, что это разложение непригодно при $p \approx 0$ или $2 \omega_{1}-\omega_{2}$, и определить равномерные разложения, пригодные в этих случаях (Найфэ и Сарик [1972a]).

6.16. Решить упражнение 5.14, используя $M M M$.

6.17. Определить равномерное разложение для малых амплитуд в системе
\[
\begin{aligned}
\ddot{x}-\dot{y}+2 x+3 x^{2}+2 y^{2} & =0, \\
\ddot{y}+\dot{x}+2 \delta y+4 x y & =0,
\end{aligned}
\]
полагая $\delta \approx 1$.

6.18. Рассмотреть задачу
\[
\begin{array}{c}
u_{t t}-c^{2} u_{x x}-\gamma^{2} u=\varepsilon u^{3}, \\
u(x, 0)=a \cos k x, \quad u_{t}(x, 0)=0 .
\end{array}
\]
Определить равномерное разложение первого порядка при условии
\[
c^{2} k^{2} \approx \gamma^{2} \text {. }
\]

6.19. Рассмотреть уравнение
\[
u_{t t}-c^{2} u_{x x}+\gamma^{2} u=\varepsilon u^{3} .
\]

Используя $M M M$, определить разложения первого порядка для бегущих волн при условиях: (а) амплитуда и фаза меняются медленно при изменении состоя-
ния и времени; (б) волновое число, частота, амплитуда и фаза меняются медленно с изменением состояния и времени.

6.20. Продольные колебания свободной однородной балки с нелинейной зависимостью между моментом и кривизной задаются уравнением
\[
w_{t t}+c^{2} w_{x x x x}=-\varepsilon\left(w_{x x}^{3}\right)_{x x},
\]
где $c$ и $\varepsilon$-постоянные. Используя $M M M$, определить равномерные разложения первого порядка при малом $\varepsilon$ для случаев, перечисленных в упражнении 6.19.

6.21. Используя $M M M$, определить во втором порядке равномерные решения в форме бегущей волны для задачи, описанной в упражнении 5.15, для случаев, указанных в упражнении 6.19.

6.22. Вновь рассмотреть модельное уравнение Брезертона
\[
\varphi_{t t}+\varphi_{x x x x}+\varphi_{x x}+\varphi=\varepsilon f\left(\varphi, \varphi_{t}, \varphi_{x}\right)
\]
теперь уже с нелинейной функцией $f$ общего вида. Используя $M M M$, определить при малом $\varepsilon$ равномерно прнгодные разложения для случая резонанса в $n$-й гармонике. Применить результаты в частных случаях, соответствующих: (a) резонансу во второй гармонике; (б) резонансу в третьей гармонике.

6.23. Используя МMМ, дать формулировку задач, из которых определяются равномерные решения первого порядка в примерах
(a) $\varepsilon u_{x x}+u_{y y}+u_{x}=0$,
(6) $\varepsilon u_{x x}+u_{y y}^{y y}+a(x) u_{x}=0$,
(в) $\varepsilon u_{x x}+u_{y y}+a(x, y) u_{x}=0$,
(г) $\varepsilon\left(u_{x x}+u_{y y}\right)+a(x, y) u_{x}+b(x, y) u=0$,
(д) $\varepsilon^{2}
abla^{4} u+a(x, y) u_{x x}+b(x, y) u_{x}+c(x, y) u_{y}+d(x, y) u=0$
с граничными условиями
\[
\begin{array}{ll}
u(x, 0)=F_{1}(x), & u(x, 1)=F_{2}(x), \\
u(0, y)=G_{1}(y), \quad u(1, y)=G_{2}(y) .
\end{array}
\]