Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Пусть некоторая физическая задача математически описывается дифференциальным уравнением $L(u, x)=0$ с граничным условием $B(u)=0$, где $x$-скаляр, и пусть известен вид $u_{0}$ решения $u$ при $x \rightarrow x_{0}$ ( $x_{0}$ можно сделать равным 0 или $\infty$ ). Тогда можно попытаться найти отклонение функции $u$ от $u_{0}$ для $x$, близких к $x_{0}$, раскладывая это отклонение по степеням $x$ при $x_{0}=0$ или по степеням $x^{-1}$ при $x_{0}=\infty$. Эта техника демонстрируется на следующих двух примерах. 1.2.1. Уравнение Бесселя нулевого порядка Это уравнение имеет регулярную особую точку $x=0$, что наводит на мысль искать решение $y$ в виде степенного ряда, используя метод Фробениуса (например, Айнс [1926, раздел 16.1]). Полагаем, таким образом, где число $\mu$ и коэффициенты $a_{m}$ должны быть определены так, чтобы (1.2.2) было решением уравнения (1.2.1). или что можно записать в виде Заменив в первой сумме индекс $m$ на $m+2$, можем переписать это уравнение в виде Поскольку (1.2.4) является тождеством по $x$, коэффициент при каждой степени $x$ должен обратиться в нуль независимо, т. e. Если положить $a_{0} Следовательно, При $a_{0}=1$ полученное решение представляет собой функцию Бесселя нулевого порядка и часто обозначается через $J_{0}(x)$. Таким образом, Поскольку отношение $n$-го члена к ( $n-1$ )-му равно $-x^{2} /(2 n)^{2}$ и стремится к нулю при $n \rightarrow \infty$ для всех значений $x$, ряд (1.2.10) для функции $J_{0}(x)$ сходится равномерно и абсолютно при всех значениях $x$. В п. 7.1.2 получено разложение $J_{0}(x)$, справедливое для больших значений $x$; в § 1.5 оно сравнивается с разложением, полученным выіше. 1.2.2. Простой пример при больших $x$. Будем искать это решение при больших $x$ в виде Подстановка этого разложения в (1.2.11) дает Заменив во второй сумме индекс $m$ на $m+1$, можем переписать это уравнение в виде Полученное уравнение является тождеством по $x$, поэтому коэффициент при каждом $x^{-m}$ должен обратиться в нуль независимо, т. е. Следовательно, и (1.2.12) принимает вид Поскольку отношение $n$-го к $(n-1)$-му члену равно $(n-1) x^{-1}$ и стремится к бесконечности при $n \rightarrow \infty$ независимо от значения $x$, то ряд (1.2.16) расходится при всех значениях $x$. В $\S 1.4$ показано, что, несмотря на расходимость, этот ряд оказывается полезным для численных расчетов; он носит название асимптотического ряда.
|
1 |
Оглавление
|