Пусть некоторая физическая задача математически описывается дифференциальным уравнением $L(u, x)=0$ с граничным условием $B(u)=0$, где $x$-скаляр, и пусть известен вид $u_{0}$ решения $u$ при $x \rightarrow x_{0}$ ( $x_{0}$ можно сделать равным 0 или $\infty$ ). Тогда можно попытаться найти отклонение функции $u$ от $u_{0}$ для $x$, близких к $x_{0}$, раскладывая это отклонение по степеням $x$ при $x_{0}=0$ или по степеням $x^{-1}$ при $x_{0}=\infty$. Эта техника демонстрируется на следующих двух примерах.

1.2.1. Уравнение Бесселя нулевого порядка
Мы будем рассматривать решение уравнения
\[
x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}+x y=0 .
\]

Это уравнение имеет регулярную особую точку $x=0$, что наводит на мысль искать решение $y$ в виде степенного ряда, используя метод Фробениуса (например, Айнс [1926, раздел 16.1]). Полагаем, таким образом,
\[
y=\sum_{m=0}^{\infty} a_{m} x^{\mu+m}
\]

где число $\mu$ и коэффициенты $a_{m}$ должны быть определены так, чтобы (1.2.2) было решением уравнения (1.2.1).
Подстановка (1.2.2) в (1.2.1) дает
\[
\begin{array}{c}
\sum_{m=0}^{\infty}(\mu+m)(\mu+m-1) a_{m} x^{\mu+m-1}+ \\
+\sum_{m=0}^{\infty}(\mu+m) a_{m} x^{\mu+m-1}+\sum_{m=0}^{\infty} a_{m} x^{\mu+m+1}=0,
\end{array}
\]

или
\[
\sum_{m=0}^{\infty}(\mu+m)^{2} a_{m} x^{\mu+m-1}+\sum_{m=0}^{\infty} a_{m} x^{\mu+m+1}=0,
\]

что можно записать в виде
\[
\mu^{2} a_{0} x^{\mu-1}+(\mu+1)^{2} a_{1} x^{\mu}+\sum_{m=2}^{\infty}(\mu+m)^{2} a_{m} x^{\mu+m-1}+\sum_{m=0}^{\infty} a_{m} x^{\mu+m+1}=0 .
\]

Заменив в первой сумме индекс $m$ на $m+2$, можем переписать это уравнение в виде
\[
\mu^{2} a_{0} x^{\mu-1}+(\mu+1)^{2} a_{1} x^{\mu}+\sum_{m=0}^{\infty}\left[(\mu+m+2)^{2} a_{m+2}+a_{i n}\right] x^{\mu+m+1}=0 .
\]

Поскольку (1.2.4) является тождеством по $x$, коэффициент при каждой степени $x$ должен обратиться в нуль независимо, т. e.
\[
\begin{array}{c}
\mu^{2} a_{0}=0, \\
(\mu+1)^{2} a_{1}=0, \\
(\mu+m+2)^{2} a_{m+2}+a_{m}=0, \quad m=0,1,2, \ldots
\end{array}
\]

Если положить $a_{0}
eq 0$, то из первого уравнения следует $\mu=0$; тогда (1.2.6) дает $a_{1}=0$, а из (1.2.7) следует
\[
a_{m+2}=-\frac{a_{m}}{(\mu+m+2)^{2}}, \quad m=0,1,2, \ldots .
\]

Следовательно,
\[
\begin{aligned}
a_{2 m+1} & =0, \quad m=1,2,3, \ldots, \\
a_{2} & =-\frac{a_{0}}{2^{2}}, \quad a_{4}=\frac{a_{0}}{2^{2} \cdot 4^{2}}, \quad a_{6}=-\frac{a_{0}}{2^{2} \cdot 4^{2} \cdot 6^{2}}, \\
a_{2 n} & =(-1)^{n} \frac{a_{0}}{2^{2} \cdot 4^{2} \cdot 6^{2} \cdots(2 n)^{2}} .
\end{aligned}
\]

При $a_{0}=1$ полученное решение представляет собой функцию Бесселя нулевого порядка и часто обозначается через $J_{0}(x)$. Таким образом,
\[
J_{0}(x)=1-\frac{x^{2}}{2^{2}}+\frac{x^{4}}{2^{2} \cdot 4^{2}}-\frac{x^{6}}{2^{2} \cdot 4^{2} \cdot 6^{2}}+\ldots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{2^{2} \cdot 4^{2} \cdot 6^{2} \ldots(2 n)^{2}}+\ldots
\]

Поскольку отношение $n$-го члена к ( $n-1$ )-му равно $-x^{2} /(2 n)^{2}$ и стремится к нулю при $n \rightarrow \infty$ для всех значений $x$, ряд (1.2.10) для функции $J_{0}(x)$ сходится равномерно и абсолютно при всех значениях $x$.

В п. 7.1.2 получено разложение $J_{0}(x)$, справедливое для больших значений $x$; в § 1.5 оно сравнивается с разложением, полученным выіше.

1.2.2. Простой пример
В качестве второго примера мы рассмотрим решение уравнения
\[
\frac{d y}{d x}+y=\frac{1}{x}
\]

при больших $x$. Будем искать это решение при больших $x$ в виде
\[
y=\sum_{m=1}^{\infty} a_{m} x^{-m} .
\]

Подстановка этого разложения в (1.2.11) дает
\[
\sum_{m=1}^{\infty}-m a_{m} x^{-m-1}+\sum_{m=2}^{\infty} a_{m} x^{-m}+\left(a_{1}-1\right) x^{-1}=0 .
\]

Заменив во второй сумме индекс $m$ на $m+1$, можем переписать это уравнение в виде
\[
\left(a_{1}-1\right) x^{-1}+\sum_{m=1}^{\infty}\left(a_{n+1}-m a_{m}\right) x^{-m-1}=0 .
\]

Полученное уравнение является тождеством по $x$, поэтому коэффициент при каждом $x^{-m}$ должен обратиться в нуль независимо, т. е.
\[
a_{1}=1, a_{m+1}=m a_{m} \quad \text { для } m \geqslant 1 .
\]

Следовательно,
\[
a_{2}=1, \quad a_{3}=2 !, \quad a_{4}=3 !, \quad a_{n}=(n-1) !,
\]

и (1.2.12) принимает вид
\[
y=\frac{1}{x}+\frac{1 !}{x^{2}}+\frac{2 !}{x^{3}}+\frac{3 !}{x^{4}}+\ldots+\frac{(n-1) !}{x^{n}}+\ldots .
\]

Поскольку отношение $n$-го к $(n-1)$-му члену равно $(n-1) x^{-1}$ и стремится к бесконечности при $n \rightarrow \infty$ независимо от значения $x$, то ряд (1.2.16) расходится при всех значениях $x$. В $\S 1.4$ показано, что, несмотря на расходимость, этот ряд оказывается полезным для численных расчетов; он носит название асимптотического ряда.