В зависимости от типа дифференциального уравнения в частных производных для корректной постановки задачи требуются те или иные граничные и начальные условия. Если исходное уравнение при нулевом значении малого параметра меняет свой тип, становясь, скажем, из эллиптического параболическим или гиперболическим, то могут возникнуть трудности. Этот класс задач можно рассматривать как подкласс задач, которые обсуждались в п. 2.2.1-2.2.4. Ниже мы опишем два примера, а также трудности, которые возникают при разложении в одном из них.

2.3.1. Простой пример

Рассмотрим следующую задачу Дирихле относительно функции $\varphi(x, y, \varepsilon)$ :
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{x x}+\varepsilon \varphi_{y y}-\varphi_{y}=0, \quad 0 \leqslant x, y \leqslant 1, \\
\varphi(0, y)=a(y), \\
\varphi(x, 0)=b(x), \\
\varphi(1, y)=c(y), \\
\varphi(x, 1)=d(x) .
\end{array}
\]

При $\varepsilon>0$ эта задача является корректно поставленной и допускает единственное решение. Однако при $\varepsilon=0$ (2.3.1) сведется к уравнению
\[
\varphi_{x x}-\varphi_{y}=0,
\]

которое является параболическим (уравнением диффузии). Решение уравнения (2.3.6), воощще говоря, не может удовлетворить всем граничным условиям (2.3.2)-(2.3.5), и одно из них должно быть опущено. Из рассмотрений п. 4.1.2 следует, что нужно опустить условие (2.3.5), и тогда полученное решение окажется

непригодным вблизи $y=1$. Можно предположить, что при малом $\varepsilon$ решение редуцированного уравнения близко к точному решению всюду, за исключением узкой области возле $y=1$, в которой последнее быстро меняется и успевает удовлетворить опущенному граничному условию.

Следует отметить, что сингулярная природа задачи зависит не только от изменения типа уравнения, но также и от заданной области, в которой получено решение. Хотя решение уравнения (2.3.1) в области $0 \leqslant x, y \leqslant 1$ и не стремится равномерно к решению уравнения (2.3.6), в верхней полуплоскости решение (2.3.1) равномерно стремится к решению (2.3.6).

Далее рассмотрен пример, в котором изменение типа уравнения не приводит к неравномерностям.

2.3.2. Длинные волны на поверхности жидкости, стекающей по наклонной плоскости

В этом пункте мы рассмотрим различные характеристики волн на поверхности жидкой пленки, стекающей вниз по наклонной плоскости (рис. 2.6). Этот довольно сложный пример рассмат-
Рис. 2.6 .

ривается здесь потому, что он иллюстрирует общую методику для длинных нелинейных диспергирующих волн. Течение описывается уравнениями Навье-Стокса
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \hat{u}}{\partial \hat{x}}+\frac{\partial \hat{v}}{\partial \hat{y}}=0, \\
\frac{\partial \hat{u}}{\partial \hat{t}}+\hat{u} \frac{\partial \hat{u}}{\partial \hat{x}}+\hat{v} \frac{\partial \hat{u}}{\partial \hat{y}}=-\frac{1}{\rho} \frac{\partial \hat{p}}{\partial \hat{x}}+g \sin \theta+v
abla^{2} \hat{u}, \\
\frac{\partial \hat{v}}{\partial \hat{t}}+\hat{u} \frac{\partial \hat{v}}{\partial \hat{x}}+\hat{v} \frac{\partial \hat{v}}{\partial \hat{y}}=-\frac{1}{\rho} \frac{\partial \hat{p}}{\partial \hat{y}}-g \cos \theta+v
abla^{2} \hat{v} .
\end{array}
\]

Здесь $\hat{u}$ и $\hat{v}$-компоненты скорости по направлениям $x$ и $y, \hat{p}-$ давление жидкости, $\hat{t}$ – время, $\rho$ и $v$-плотность жидкости и кинематическая вязкость соответственно. На поверхности раздела

жидкость-твердое тело обе компоненты скорости исчезают, т. е.
\[
\hat{u}=\hat{v}=0 \quad \text { при } \quad \hat{y}=0 .
\]

Если поверхность жидкости гладкая (т. е. волны отсутствуют), то существует следующее ламинарное установившееся решение:
\[
\begin{array}{c}
\hat{U}=\frac{g \sin \theta}{2 v}\left(2 h_{0} \hat{y}-\hat{y}^{2}\right), \quad \hat{V}=0, \\
\hat{P}=\hat{p}_{0}-\rho g \cos \theta\left(\hat{y}-h_{0}\right) .
\end{array}
\]

В этом решении использовано граничное условие $\partial \hat{u} / \partial \hat{y}=0$ при $\hat{y}=h_{0}$ (т. е. сдвиг отсутствует).

Далее мы рассмотрим возмущения в этой картине установившегося течения. Введем безразмерные величины следующими соотношениями:
\[
\begin{aligned}
\alpha & =h_{0} / l, \quad h=\hat{h} / h_{0}, \quad y=\hat{y} / h_{0}, \quad x=\hat{x} / l, \\
U & =\hat{U} / U_{L}, \quad u+U=\hat{u} / U_{L}, \quad v=\hat{v} / \alpha U_{L}, \\
t & =\hat{t} U_{L} / l, \quad P=\hat{P} / \rho g h_{0} \sin \theta, \quad p+P=\hat{p} / \rho g h_{0} \sin \theta .
\end{aligned}
\]

Здесь $U_{L}=g h_{0}^{2} \sin \theta / 2 v, l$-характерная длина волн, $\alpha$-безразмерная величина, количественно описывающая глубину жидкости. Подставив (2.3.12) в уравнения (2.3.7)-(2.3.9) и используя (2.3.11), получим следующие уравнения для безразмерных возмущений:
\[
\begin{array}{c}
u_{x}+v_{y}=0, \\
u_{t}+(u+U) u_{x}+v\left(u_{y}+U^{\prime}\right)=-\frac{2 p_{x}}{R}+\frac{1}{\alpha R}\left(u_{y y}+\alpha^{2} u_{x x}\right), \\
v_{t}+(u+U) v_{x}+v v_{y}=-\frac{2}{R \alpha^{2}} p_{y}+\frac{1}{\alpha R}\left(v_{y y}+\alpha^{2} v_{x x}\right),
\end{array}
\]

где $R=U_{L} h_{0} / v$ – число Рейнольдса жидкой пленки, $U=2 y-y^{2}$, а штрих означает дифференцирование по $y$.

Уравнение (2.3.13) может быть решено введением функции тока $\psi(x, y, t)$, такой, что
\[
(u, v)=\left(\psi_{y},-\psi_{x}\right) .
\]

Тогда уравнения (2.3.14) и (2.3.15) можно будет объединить соотношением
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{\psi}_{y y y y}=\alpha R\left[\psi_{y y t}+\left(U+\psi_{y}\right) \psi_{x y y}-\left(U^{\prime \prime}+\psi_{y y y}\right) \psi_{x}\right]-2 \alpha^{2} \psi_{x x y y}+ \\
+\alpha^{3} R\left[\psi_{x x t}+\left(U+\psi_{y}\right) \psi_{x x x}-\psi_{x} \psi_{x x y}\right]-\alpha^{4} \psi_{x x x x}
\end{array}
\]

Уравнение (2.3.16) должно быть дополнено граничными условиями. Из (2.3.10) имеем условие на поверхности раздела твер-

дое тело-жидкость
\[
\psi_{y}(x, 0, t)=\psi(x, 0, t)=0 .
\]

На свободной поверхности нормальная составляющая скорости жидкости равна скорости самой поверхности раздела, т. е.
\[
h_{t}+\left(U+\psi_{y}\right) h_{x}+\psi_{x}=0 \quad \text { при } \quad y=h(x) .
\]

Кроме того, условие отсутствия касательного напряжения на свободной поверхности дает
\[
\left(U^{\prime}+\psi_{y y}-\alpha^{2} \psi_{x x}\right)\left(1-\alpha^{2} h_{x}^{2}\right)-4 \alpha^{2} \psi_{x y} h_{x}=0 \text { при } y=h .
\]

Наконец, из непрерывности нормального напряжения на этой свободной поверхности следует
\[
\begin{aligned}
-p+(h-1) \operatorname{ctg} \theta-\frac{T h_{x x} \operatorname{cosec} \theta}{\left(1+\alpha^{2} h_{x}^{2}\right)^{3 / 2}}-2 \alpha \frac{\left(\psi_{y y}-\alpha^{2} \psi_{x x}\right) h_{x}}{1+\alpha^{2} h_{x}^{2}}- \\
-2 \alpha \psi_{x y} \frac{1-\alpha^{2} h_{x}^{2}}{1+\alpha^{2} h_{x}^{2}}=0 \text { при } \quad y=h .
\end{aligned}
\]

Здесь $p_{x}$, согласно (2.3.14), имеет вид
\[
p_{x}=\frac{1}{2} \alpha^{-1} \psi_{y y y}-\frac{1}{2} R\left[\psi_{y t}+\left(U+\psi_{y}\right) \psi_{x y}-\left(U^{\prime}+\psi_{y y}\right) \psi_{x}\right]+\frac{1}{2} \alpha \psi_{x x y}
\]

и принято обозначение
\[
T=\frac{\sigma}{\rho g l^{2}},
\]

где $\sigma$-поверхностное натяжение жидкости.
При выводе уравнения, описывающего безразмерное изменение возмущенной поверхности, мы будем следовать Бенни [1965а] ${ }^{1}$ ): сначала найдем разложение по степеням $\alpha$ для возмущенного решения задачи (2.3.16), (2.3.17), (2.3.19)–(2.3.21) и затем подставим это разложение для $\psi$ в (2.3.18). Итак, положим в предыдущих уравнениях
\[
\begin{array}{l}
\psi=\psi_{0}+\alpha \psi_{1}+\ldots \\
p=\alpha^{-1} p_{-1}+p_{0}+\alpha p_{1}+\ldots
\end{array}
\]

и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $\alpha$. Получим, приравнивая члены:

порядка $\alpha^{0}$
\[
\begin{array}{l}
\psi_{0 \text { yyyy }}=0, \\
\psi_{0}=\psi_{0 y}=0 \quad \text { при } y=0, \\
\psi_{\text {oyy }}=2(y-1) \quad \text { при } y=h \text {, } \\
\psi_{0 y y y}=0 \quad \text { при } y=h \text {; } \\
\end{array}
\]

порядка $\alpha$
\[
\begin{array}{c}
\psi_{1 y y y y}=R\left[\psi_{0 y y t}+\left(U+\psi_{0 y}\right) \psi_{0 x y y}-\left(U^{\prime \prime}+\psi_{0 y y y}\right) \psi_{0 x}\right], \\
\psi_{1}=\psi_{1 y}=0, \quad \text { при } y=0, \\
\psi_{1 y y}=0 \quad \text { при } y=h, \\
p_{0}=(h-1) \operatorname{ctg} \theta-T \operatorname{cosec} \theta h_{x x} \text { при } y=h,
\end{array}
\]

причем
\[
p_{0 x}=\frac{1}{2} \psi_{1 y y y}-\frac{1}{2} R\left[\psi_{0 y t}+\left(U+\psi_{0 y}\right) \psi_{0 x y}-\left(U^{\prime}+\psi_{0 y y}\right) \psi_{0 x}\right] .
\]

Решение задачи (2.3.23)-(2.3.26) имеет вид
\[
\psi_{0}=(h-1) y^{2} .
\]

Тогда уравнение (2.3.27) примет вид
\[
\psi_{1 \text { yyy }}=2 R\left(h_{t}+2 h h_{x} y\right)
\]

и при условии (2.3.28) будет иметь своим решением функцию
\[
\psi_{1}=A(x, t) y^{2}+B(x, t) y^{3}+\frac{R}{12}\left(h_{t} y^{4}+\frac{2}{5} h h_{x} y^{5}\right) .
\]

Подставив $\psi_{1}$ в (2.3.29)-(2.3.31) и решив полученные уравнения относительно $A$ и $B$, будем иметь
\[
\begin{array}{l}
B=\frac{1}{3}\left(h_{x} \operatorname{ctg} \theta-T \operatorname{cosec} \theta h_{x x x}\right), \\
A=-h\left(h_{x} \operatorname{ctg} \theta-T \operatorname{cosec} \theta h_{x x x}\right)-\frac{1}{2} R h^{2}\left(h_{t}+\frac{2}{3} h^{2} h_{x}\right) .
\end{array}
\]

Поскольку
\[
\frac{\partial}{\partial x}\left[\left.\psi(x, y, t)\right|_{y=h}\right]=\left.\left(\psi_{y} h_{x}+\psi_{x}\right)\right|_{y=h},
\]

то (2.3.18) можно переписать в виде
\[
h_{t}+\left(2 h-h^{2}\right) h_{x}+\frac{\partial}{\partial x}\left[\left.\psi(x, y, t)\right|_{y=h}\right]=0 .
\]

Подставив $\psi=\psi_{0}+O(\alpha)$ в это уравнение, будем иметь
\[
h_{t}+2 h^{2} h_{x}=0 \text {. }
\]

Тогда
\[
\psi_{1}(x, h, t)=-\frac{2}{3} h^{\mathbf{s}}\left(h_{x} \operatorname{ctg} \theta-T \operatorname{cosec} \theta h_{x x x}\right)+\frac{8}{15} R h^{6} h_{x} .
\]

Положив в (2.3.35) $\psi=\psi_{0}+\alpha \psi_{1}+O\left(\alpha^{2}\right)$, получим
\[
\begin{array}{l}
h_{t}+2 h^{2} h_{x}+\alpha\left[-\frac{2}{3} h^{3}\left(\operatorname{ctg} \theta-\frac{4}{5} R h^{3}\right) h_{x x}+\frac{2}{3} \operatorname{cosec} \theta h^{3} h_{x x x x}-\right. \\
\left.-2 h^{2}\left(\operatorname{ctg} \theta-\frac{8}{5} R h^{3}\right) h_{x}^{2}+2 T \operatorname{cosec} \theta h^{2} h_{x} h_{x x x}\right]+O\left(\alpha^{2}\right)=0 .
\end{array}
\]

Резюмируем проделанное в этом пункте. Начав с эллиптического уравнения (2.3.16), мы заменили его уравнениями (2.3.23) и (2.3.27), которые, очевидно, не являются эллиптическими. От этих уравнений возмущения мы пришли к уравнению (2.3.37), которое явно гиперболическое. Таким образом, изменение типа уравнения не привело к возникновению неравномерностей, поскольку рассматриваемая область была неограниченной.