Главная > Методы возмущений (А.Х. Найфэ)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

В данном классе задач разложения в рассматриваемой области имеют особенности, которые не содержатся в точном решении. Более того, в членах высших порядков особенности не только сохраняются, но и становятся более выраженными.

2.4.1. Сдвиг особенности

В качестве первого примера указанного класса рассмотрим задачу, изучавшуюся Лайтхиллом [1949a]:
(x+εy)dydx+(2+x)y=0,y(1)=e1.

Это уравнение имеет особенность на прямой x=εy. Граничное условие, однако, обеспечивает положительность точного решения y(x) для x0; следовательно, y(x) не имеет особенностей при 0x<.
Для отыскания прямого разложения положим
y=yθ(x)+εy1(x)+.

Подстановка (2.4.2) в (2.4.1), разложение по степеням ε и приравнивание коэффициентов при ε0 и ε даст нам
xdy0dx+(2+x)y0=0,y0(1)=e1,xdy1dx+(2+x)y1=y0dy0dx,y1(1)=0.

Решение задачи нулевого порядка имеет вид
y0=x2ex.

Подставив y0 в (2.4.4) и решив полученное уравнение, будем иметь
y1=x2ex1xett3(1+2t1)dt

При x0 имеем y0=O(x2), в то время как y1=O(x5). Таким образом, хотя и точное решение не имеет особенности при x=0, решение нулевого порядка имеет особенность в точке x=0, и эта особенность далее становится сильней.
2.4.2. Задача о космическом корабле Земля — Луна

Далее мы рассмотрим движение космического корабля массы m в гравитационном поле двух фиксированных притягивающих центров. Масса Me Земли много больше массы Mm Луны. В де-
Рис. 2.7.

картовой прямоугольной системе координат, показанной на рис. 2.7 , безразмерные уравнения движения имеют вид 1 )
d2xdt2=(1μ)xre3μx1rm3,d2ydt2=(1μ)yre3μyrm3,re2=x2+y2,rm2=(x1)2+y2,

где
μ=Mn/(Mm+Me).

Для введения безразмерных расстояния и времени использованы соответственно расстояние d между притягивающими центрами и величина
[d3G(Mm+Me)]1/2,

где G-постоянная всемирного тяготения. Лагерстром и Кеворкян [1966б] изучали эту задачу при начальных условиях
x=0,y=0,dydx=μc при t=0,h=ρ2,ρeq1,

где h-полная энергия корабля.
Поменяв ролями x и t, рассмотрим следующие прямые разложения для малого μ :
t=t0(x)+μt1(x)+,y=μy1+.

Подстановка (2.4.12) и (2.4.13) в (2.4.7)-(2.4.9) и приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях μ дают
t0t03=1x2,t1t03+3t0t1t0=1x2+1(1x)2,y1t02t0t03y1+y1x2=0.

Решения этих уравнений при начальных условиях (2.4.10) и (2.4.11) имеют вид
2t0=1ρ3arcsinρx1ρ2x(1ρ2x)2t1=2ρ3arcsinρx+2ρ2ρ2(1ρ2)x1ρ2x12(1ρ2)3/2××ln1+(12ρ2)x+2[(1ρ2)(1ρ2x)x]1/21x,y1=cx.

Таким образом, приведенное выше разложение при x1 нарушается, поскольку t1 имеет логарифмическую особенность. Можно показать, что в высших приближениях особенности в окрестности x=1 усиливаются. В самом деле,
t2=O[(1x)1] при x1.

2.4.3. Термоупругие поверхностные волны

Рассмотрим влияние теплопроводности на распространение волн по поверхности изотропного упругого полупространства. Вместо закона теплопроводности Фурье будем использовать модифицированный закон Максвелла, чтобы учесть то малое время, которое необходимо для установления стационарной теплопроводности после внезапного возникновения градиента температуры в твердом теле. Будем предполагать, таким образом, что поток тепла h определяется соотношением
τ0ht+h=kgradθ.

Здесь θ означает изменение исходной абсолютной температуры θ0, k-коэффициент теплопроводности, τ0-время термической релаксации. В уравнении (2.4.21) предполагается, что тепловые сигналы распространяются не мгновенно, а имеют конечную скорость распространения. В наших рассмотрениях здесь мы будем следовать Найфэ и Неммат-Нассеру [1971].

Поскольку материал предполагается изотропным, мы будем рассматривать двумерное движение в плоскости (x,y), обозначая смещения соответственно через u и v. Ось x лежит на свободной поверхности, а ось y перпендикулярна к ней и направлена внутрь тела. Пусть β2=(λ+2μ)/μ, где λ и μ-коэффициенты упругости Ламе, пусть b=[2+(3λ/μ)]αθ0, где α коэффициент линейного теплового расширения, и пусть g=α(3λ+2μ)/ρcv, где ρ-плотность материала, cv-удельная теплоемкость при постоянном объеме. Тогда совместные уравнения теории упругости и теплопроводности запишутся в виде
β22ut2=β22ux2+(β21)2vxy+2uy2bθx,β22vt2=β22vy2+(β21)2uxy+2vx2bθy,2θx2+2θy2θtτ2θt2=g(2uxt+2vyt)+gτ(3uxt2+3vyt2).

В приведенных уравнениях для введения безразмерных времени и длины использованы соответственно величины 1/ω и vp/ω, где
ω=ρcvv2k,vp2=λ+2μρ.

На свободной поверхности обращаются в нуль нормальные и касательные напряжения и градиент температуры, т. е. имеем

при y=0
uy+vx=0(β22)ux+β2vybθ=0θy=0

Решение задачи (2.4.22)-(2.4.28) будем искать в виде
(u,v,θ)=(a1,a2,a3)exp(αy+iωt+iqx),

где α имеет положительную вещественную часть. Тогда волновая скорость будет задаваться равенством c=ω/Req, а коэффициент затухания — равенством s=Imq. Подстановка (2.4.9) в (2.4.22)(2.4.25) и приравнивание нулю определителя линейной системы уравнений относительно ak дают следующие три решения для α, выраженные через q и ω :
α12=q2β2ω,α22+α32=2q2τω2ω2(1+τε)+iω(1+ε),α22α32=ω4τω2q2iω3+iωq2(1+ε)+q4q2ω2τ(1+ε).

Здесь принято обозначение ε=bg/β2. Для каждого α существует собственный вектор вида
[1,iαkq,iβ2(q2ω2αk2)bq]a1k для k=2,3

и вида
(1,iα1qq2β2ω2,0)a11 для k=1.

Подставим собственные функции, соответствующие собственным векторам (2.4.33) и (2.4.34), в уравнения (2.4.26) — (2.4.28) и приравняем нулю определитель системы уравнений относительно a1k. Устремляя ω, получаем
G(c2)=A2[2c2c2τ(1+ε)+2A][1c2τ(1+ε)+A]2,

где
A2=(1c2)(1c2τ)c2τε,G(c2)=(112β2c2)41β2c2.

Положив в (2.4.35) и (2.4.36) ε=0, можно получить классическую скорость волн Рэлея. При β2=3 (соответствует коэф-

фициенту Пуассона 1/4 ) имеем c2=0,2817. Для малого ε можно попытаться построить такое разложение для c2, первый член которого совпадает с решением Рэлея. Итак, положим
c2=cR2(1+εc1+ε2c2+).

Подставив (2.4.37) в (2.4.35) и (2.4.36), разложив по степеням ε и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях, получим
c1=τcR2[11cR2F](1τcR2)[1+dGdc2(cR2)],

где
F=2cR2(1+τ)+2(1cR2)(1τcR2).

Из равенства (2.4.38) видно, что при значениях τ, близких к cR2, коэффициент c1 становится неограниченным, и разложение (2.4.37) нарушается. Можно показать, что при τ=cR2 высшие приближения более сингулярны, чем второй член.

При τ>cR2 разложение (2.4.37) следует модифицировать; в противном случае величина A2 окажется отрицательной, а в силу (2.4.32) станет отрицательной действительная часть одного из слагаемых, составляющих α. Модифицированное разложение имеет вид
c2=1τ(1+εc1+ε2c2+).

Функции c1 и c2 можно определить, подставив (2.4.40) в (2.4.35) и приравняв коэффициенты при ε и ε2 в обеих частях. Проделав это, получим
c1=ττ1,c2=τ3(1τ)3ττ1M2,

где M является корнем уравнения
[G1(τ1)+τ1τ]M22τ2(1τ)2M+τ1τ)2=0.

Разложение (2.4.40) является особенным при τ=cR2, поскольку в этой точке коэффициент при M2 обращается в нуль. Можно показать, что в высшем приближении эта особенность усложняется. Таким образом, первое из вышеприведенных разложений справедливо при τ<cR2, второе-при τ>cR2; оба разложения нарушаются вблизи τ=cR2. Разложение, пригодное в окрестности этой особенности, построено в п. 4.1.6 с помощью метода сращивания асимптотических разложений.

2.4.4. Задача с точкой возврата

В качестве последнего примера рассмотрим асимптотические разложения решений уравнения
y+λ2(1x2)y=0

при больших λ. В области |x|<1 решения этого уравнения имеют колебательный характер, а при |x|>1-экспоненциальный. Это обстоятельство наводит на мысль о разложении вида
y=eλφ(x;λ),

где
φ=φ0(x)+λ1φ1(x)+.

Подставив это разложение в (2.4.43) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях λ, получим
φ02=(1x2),2φ0φ1+φ0=0.

Решениями этих уравнений являются функции
φ0={±ix1τ2dτ при |x|<1±xτ21dτ при |x|>1φ1=12lnφ0+ const. 

Следовательно,
y=1(1x2)1/4[a1cos(λx1τ2dτ)+b1sin(λx1τ2dτ)] при |x|<1(2.4.50)

и
y=1(x21)1/4[a2exp(λxτ21dτ)+b2exp(λτ21dτ)] при |x|>1,(2.4.51)

где ai и bi-постоянные.
Разложения (2.4.50) и (2.4.51) называются приближениями Лиувилля — Грина или ВКБ-приближениями (п. 7.1.3). Эти разложения имеют особенность при x=±1 и поэтому не являются равномерно пригодными. Точки x=±1 называются точками воз-

врата. Неравномерность в этом примере возникла вследствие того, что решения представлены в элементарных функциях, а именно в экспоненциальных и тригонометрических функциях. Из разложений видно, что при переходе через значения |x|=1 характер решения меняется с колебательного на экспоненциальный. Следовательно, для представления решений нужны функции, имеющие аналогичное качественное поведение. Подходящими для этой цели являются функции Эйри (п. 7.3.1).

1
Оглавление
email@scask.ru