В данном классе задач разложения в рассматриваемой области имеют особенности, которые не содержатся в точном решении. Более того, в членах высших порядков особенности не только сохраняются, но и становятся более выраженными.

2.4.1. Сдвиг особенности

В качестве первого примера указанного класса рассмотрим задачу, изучавшуюся Лайтхиллом [1949a]:
\[
(x+\varepsilon y) \frac{d y}{d x}+(2+x) y=0, \quad y(1)=e^{-1} .
\]

Это уравнение имеет особенность на прямой $x=-\varepsilon y$. Граничное условие, однако, обеспечивает положительность точного решения $y(x)$ для $x \geqslant 0$; следовательно, $y(x)$ не имеет особенностей при $0 \leqslant x<\infty$.
Для отыскания прямого разложения положим
\[
y=y_{\theta}(x)+\varepsilon y_{1}(x)+\ldots .
\]

Подстановка (2.4.2) в (2.4.1), разложение по степеням $\varepsilon$ и приравнивание коэффициентов при $\varepsilon^{0}$ и $\varepsilon$ даст нам
\[
\begin{array}{l}
x \frac{d y_{0}}{d x}+(2+x) y_{0}=0, \quad y_{0}(1)=e^{-1}, \\
x \frac{d y_{1}}{d x}+(2+x) y_{1}=-y_{0} \frac{d y_{0}}{d x}, \quad y_{1}(1)=0 .
\end{array}
\]

Решение задачи нулевого порядка имеет вид
\[
y_{0}=x^{-2} e^{-x} .
\]

Подставив $y_{0}$ в (2.4.4) и решив полученное уравнение, будем иметь
\[
y_{1}=x^{-2} e^{-x} \int_{1}^{x} e^{-t} t^{-3}\left(1+2 t^{-1}\right) d t \text {. }
\]

При $x \rightarrow 0$ имеем $y_{0}=O\left(x^{-2}\right)$, в то время как $y_{1}=O\left(x^{-5}\right)$. Таким образом, хотя и точное решение не имеет особенности при $x=0$, решение нулевого порядка имеет особенность в точке $x=0$, и эта особенность далее становится сильней.
2.4.2. Задача о космическом корабле Земля – Луна

Далее мы рассмотрим движение космического корабля массы $m$ в гравитационном поле двух фиксированных притягивающих центров. Масса $M_{e}$ Земли много больше массы $M_{m}$ Луны. В де-
Рис. 2.7.

картовой прямоугольной системе координат, показанной на рис. 2.7 , безразмерные уравнения движения имеют вид ${ }^{1}$ )
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-(1-\mu) \frac{x}{r_{e}^{3}}-\mu \frac{x-1}{r_{m}^{3}}, \\
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=-(1-\mu) \frac{y}{r_{e}^{3}}-\mu \frac{y}{r_{m}^{3}}, \\
r_{e}^{2}=x^{2}+y^{2}, \quad r_{m}^{2}=(x-1)^{2}+y^{2},
\end{array}
\]

где
\[
\mu=M_{n} /\left(M_{m}+M_{e}\right) .
\]

Для введения безразмерных расстояния и времени использованы соответственно расстояние $d$ между притягивающими центрами и величина
\[
\left[\frac{d^{3}}{G\left(M_{m}+M_{e}\right)}\right]^{1 / 2},
\]

где $G$-постоянная всемирного тяготения. Лагерстром и Кеворкян [1966б] изучали эту задачу при начальных условиях
\[
\begin{aligned}
x=0, & y=0, \quad \frac{d y}{d x}=-\mu c \text { при } t=0, \\
& h=-\rho^{2}, \quad \rho
eq 1,
\end{aligned}
\]

где $h$-полная энергия корабля.
Поменяв ролями $x$ и $t$, рассмотрим следующие прямые разложения для малого $\mu$ :
\[
\begin{array}{l}
t=t_{0}(x)+\mu t_{1}(x)+\ldots, \\
y=\mu y_{1}+\ldots .
\end{array}
\]

Подстановка (2.4.12) и (2.4.13) в (2.4.7)-(2.4.9) и приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях $\mu$ дают
\[
\begin{array}{c}
\frac{t_{0}^{\prime \prime}}{t_{0}^{\prime 3}}=\frac{1}{x^{2}}, \\
-\frac{t_{1}^{\prime \prime}}{t_{0}^{\prime 3}}+3 \frac{t_{0}^{\prime \prime} t_{1}^{\prime}}{t_{0}^{\prime \prime}}=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{(1-x)^{2}}, \\
\frac{y_{1}^{\prime \prime}}{t_{0}^{\prime 2}}-\frac{t_{0}^{\prime \prime}}{t_{0}^{\prime 3}} y_{1}^{\prime}+\frac{y_{1}}{x^{2}}=0 .
\end{array}
\]

Решения этих уравнений при начальных условиях (2.4.10) и (2.4.11) имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\sqrt{2} t_{0}=\frac{1}{\rho^{3}} \arcsin \rho \sqrt{x}-\frac{1}{\rho^{2}} \sqrt{x\left(1-\rho^{2} x\right)} \\
\sqrt{2} t_{1}=-\frac{2}{\rho^{3}} \arcsin \rho \sqrt{x}+\frac{2-\rho^{2}}{\rho^{2}\left(1-\rho^{2}\right)} \sqrt{\frac{x}{1-\rho^{2} x}}-\frac{1}{2\left(1-\rho^{2}\right)^{3 / 2}} \times \\
\times \ln \frac{1+\left(1-2 \rho^{2}\right) x+2\left[\left(1-\rho^{2}\right)\left(1-\rho^{2} x\right) x\right]^{1 / 2}}{1-x}, \\
y_{1}=-c x .
\end{array}
\]

Таким образом, приведенное выше разложение при $x \rightarrow 1$ нарушается, поскольку $t_{1}$ имеет логарифмическую особенность. Можно показать, что в высших приближениях особенности в окрестности $x=1$ усиливаются. В самом деле,
\[
t_{2}=O\left[(1-x)^{-1}\right] \text { при } x \rightarrow 1 .
\]

2.4.3. Термоупругие поверхностные волны

Рассмотрим влияние теплопроводности на распространение волн по поверхности изотропного упругого полупространства. Вместо закона теплопроводности Фурье будем использовать модифицированный закон Максвелла, чтобы учесть то малое время, которое необходимо для установления стационарной теплопроводности после внезапного возникновения градиента температуры в твердом теле. Будем предполагать, таким образом, что поток тепла $\mathbf{h}$ определяется соотношением
\[
\tau_{0} \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial t}+\mathbf{h}=-k \operatorname{grad} \theta .
\]

Здесь $\theta$ означает изменение исходной абсолютной температуры $\theta_{0}$, $k$-коэффициент теплопроводности, $\tau_{0}$-время термической релаксации. В уравнении (2.4.21) предполагается, что тепловые сигналы распространяются не мгновенно, а имеют конечную скорость распространения. В наших рассмотрениях здесь мы будем следовать Найфэ и Неммат-Нассеру [1971].

Поскольку материал предполагается изотропным, мы будем рассматривать двумерное движение в плоскости $(x, y)$, обозначая смещения соответственно через $u$ и $v$. Ось $x$ лежит на свободной поверхности, а ось $y$ перпендикулярна к ней и направлена внутрь тела. Пусть $\beta^{2}=(\lambda+2 \mu) / \mu$, где $\lambda$ и $\mu$-коэффициенты упругости Ламе, пусть $b=[2+(3 \lambda / \mu)] \alpha \theta_{0}$, где $\alpha-$ коэффициент линейного теплового расширения, и пусть $g=\alpha(3 \lambda+2 \mu) / \rho c_{v}$, где $\rho$-плотность материала, $c_{v}$-удельная теплоемкость при постоянном объеме. Тогда совместные уравнения теории упругости и теплопроводности запишутся в виде
\[
\begin{array}{r}
\beta^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\beta^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\left(\beta^{2}-1\right) \frac{\partial^{2} v}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-b \frac{\partial \theta}{\partial x}, \\
\beta^{2} \frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}}=\beta^{2} \frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}+\left(\beta^{2}-1\right) \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}-b \frac{\partial \theta}{\partial y}, \\
\frac{\partial^{2} \theta}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \theta}{\partial y^{2}}-\frac{\partial \theta}{\partial t}-\tau \frac{\partial^{2} \theta}{\partial t^{2}}=g\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial t}+\frac{\partial^{2} v}{\partial y \partial t}\right)+g \tau\left(\frac{\partial^{3} u}{\partial x \partial t^{2}}+\frac{\partial^{3} v}{\partial y \partial t^{2}}\right) .
\end{array}
\]

В приведенных уравнениях для введения безразмерных времени и длины использованы соответственно величины $1 / \omega^{*}$ и $v_{p} / \omega^{*}$, где
\[
\omega^{*}=\frac{\rho c_{v} v^{2}}{k}, \quad v_{p}^{2}=\frac{\lambda+2 \mu}{\rho} .
\]

На свободной поверхности обращаются в нуль нормальные и касательные напряжения и градиент температуры, т. е. имеем

при $y=0$
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=0 \\
\left(\beta^{2}-2\right) \frac{\partial u}{\partial x}+\beta^{2} \frac{\partial v}{\partial y}-b \theta=0 \\
\frac{\partial \theta}{\partial y}=0
\end{array}
\]

Решение задачи (2.4.22)-(2.4.28) будем искать в виде
\[
(u, v, \theta)=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \exp (-\alpha y+i \omega t+i q x),
\]

где $\alpha$ имеет положительную вещественную часть. Тогда волновая скорость будет задаваться равенством $c=\omega / \operatorname{Re} q$, а коэффициент затухания – равенством $s=\operatorname{Im} q$. Подстановка (2.4.9) в $(2.4 .22)-(2.4 .25)$ и приравнивание нулю определителя линейной системы уравнений относительно $a_{k}$ дают следующие три решения для $\alpha$, выраженные через $q$ и $\omega$ :
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{1}^{2}=q^{2}-\beta^{2} \omega^{\prime}, \\
\alpha_{2}^{2}+\alpha_{3}^{2}=2 q^{2}-\tau \omega^{2}-\omega^{2}(1+\tau \varepsilon)+i \omega(1+\varepsilon), \\
\alpha_{2}^{2} \alpha_{3}^{2}=\omega^{4} \tau-\omega^{2} q^{2}-i \omega^{3}+i \omega q^{2}(1+\varepsilon)+q^{4}-q^{2} \omega^{2} \tau(1+\varepsilon) .
\end{array}
\]

Здесь принято обозначение $\varepsilon=b g / \beta^{2}$. Для каждого $\alpha$ существует собственный вектор вида
\[
\left[1, i \frac{\alpha_{k}}{q}, i \frac{\beta^{2}\left(q^{2}-\omega^{2}-\alpha_{k}^{2}\right)}{b q}\right] a_{1 k} \text { для } k=2,3
\]

и вида
\[
\left(1, i \frac{\alpha_{1} q}{q^{2}-\beta^{2} \omega^{2}}, 0\right) a_{11} \text { для } k=1 .
\]

Подставим собственные функции, соответствующие собственным векторам (2.4.33) и (2.4.34), в уравнения (2.4.26) – (2.4.28) и приравняем нулю определитель системы уравнений относительно $a_{1 k}$. Устремляя $\omega \rightarrow \infty$, получаем
\[
G\left(c^{2}\right)=\frac{A^{2}\left[2-c^{2}-c^{2} \tau(1+\varepsilon)+2 A\right]}{\left[1-c^{2} \tau(1+\varepsilon)+A\right]^{2}},
\]

где
\[
A^{2}=\left(1-c^{2}\right)\left(1-c^{2} \tau\right)-c^{2} \tau \varepsilon, \quad G\left(c^{2}\right)=\frac{\left(1-\frac{1}{2} \beta^{2} c^{2}\right)^{4}}{1-\beta^{2} c^{2}} .
\]

Положив в (2.4.35) и (2.4.36) $\varepsilon=0$, можно получить классическую скорость волн Рэлея. При $\beta^{2}=3$ (соответствует коэф-

фициенту Пуассона $1 / 4$ ) имеем $c^{2}=0,2817$. Для малого $\varepsilon$ можно попытаться построить такое разложение для $c^{2}$, первый член которого совпадает с решением Рэлея. Итак, положим
\[
c^{2}=c_{R}^{2}\left(1+\varepsilon c_{1}+\varepsilon^{2} c_{2}+\ldots\right) .
\]

Подставив (2.4.37) в (2.4.35) и (2.4.36), разложив по степеням $\varepsilon$ и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях, получим
\[
c_{1}=-\frac{\tau c_{R}^{2}\left[1-\frac{1-c_{R}^{2}}{F}\right]}{\left(1-\tau c_{R}^{2}\right)\left[1+\frac{d G}{d c^{2}}\left(c_{R}^{2}\right)\right]},
\]

где
\[
F=2-c_{R}^{2}(1+\tau)+2 \sqrt{\left(1-c_{R}^{2}\right)\left(1-\tau c_{R}^{2}\right)} .
\]

Из равенства (2.4.38) видно, что при значениях $\tau$, близких к $c_{R}^{-2}$, коэффициент $c_{1}$ становится неограниченным, и разложение (2.4.37) нарушается. Можно показать, что при $\tau=c_{R}^{2}$ высшие приближения более сингулярны, чем второй член.

При $\tau>c_{R}^{2}$ разложение (2.4.37) следует модифицировать; в противном случае величина $A^{2}$ окажется отрицательной, а в силу (2.4.32) станет отрицательной действительная часть одного из слагаемых, составляющих $\alpha$. Модифицированное разложение имеет вид
\[
c^{2}=\frac{1}{\tau}\left(1+\varepsilon c_{1}+\varepsilon^{2} c_{2}+\ldots\right) .
\]

Функции $c_{1}$ и $c_{2}$ можно определить, подставив (2.4.40) в (2.4.35) и приравняв коэффициенты при $\varepsilon$ и $\varepsilon^{2}$ в обеих частях. Проделав это, получим
\[
c_{1}=-\frac{\tau}{\tau-1}, \quad c_{2}=-\frac{\tau^{3}}{(1-\tau)^{3}}-\frac{\tau}{\tau-1} M^{2},
\]

где $M$ является корнем уравнения
\[
\left[G^{-1}\left(\tau^{-1}\right)+\frac{\tau}{1-\tau}\right] M^{2}-\frac{2 \tau^{2}}{(1-\tau)^{2}} M+\frac{\tau}{1-\tau)^{2}}=0 .
\]

Разложение (2.4.40) является особенным при $\tau=c_{R}^{-2}$, поскольку в этой точке коэффициент при $M^{2}$ обращается в нуль. Можно показать, что в высшем приближении эта особенность усложняется. Таким образом, первое из вышеприведенных разложений справедливо при $\tau<c_{R}^{-2}$, второе-при $\tau>c_{R}^{2}$; оба разложения нарушаются вблизи $\tau=c_{R}^{-2}$. Разложение, пригодное в окрестности этой особенности, построено в п. 4.1.6 с помощью метода сращивания асимптотических разложений.

2.4.4. Задача с точкой возврата

В качестве последнего примера рассмотрим асимптотические разложения решений уравнения
\[
y^{\prime \prime}+\lambda^{2}\left(1-x^{2}\right) y=0
\]

при больших $\lambda$. В области $|x|<1$ решения этого уравнения имеют колебательный характер, а при $|x|>1$-экспоненциальный. Это обстоятельство наводит на мысль о разложении вида
\[
y=e^{\lambda \varphi(x ; \lambda)},
\]

где
\[
\varphi=\varphi_{0}(x)+\lambda^{-1} \varphi_{1}(x)+\ldots .
\]

Подставив это разложение в (2.4.43) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\lambda$, получим
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{0}^{\prime 2}=-\left(1-x^{2}\right), \\
2 \varphi_{0}^{\prime} \varphi_{1}^{\prime}+\varphi_{0}^{\prime \prime}=0 .
\end{array}
\]

Решениями этих уравнений являются функции
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{0}=\left\{\begin{array}{l}
\pm i \int^{x} \sqrt{1-\tau^{2}} d \tau \text { при }|x|<1 \\
\pm \int^{x} \sqrt{\tau^{2}-1} d \tau \quad \text { при }|x|>1
\end{array}\right. \\
\varphi_{1}=-\frac{1}{2} \ln \varphi_{0}^{\prime}+\text { const. }
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{r}
y=\frac{1}{\left(1-x^{2}\right)^{1 / 4}}\left[a_{1} \cos \left(\lambda \int^{x} \sqrt{1-\tau^{2}} d \tau\right)+b_{1} \sin \left(\lambda \int^{x} \sqrt{1-\tau^{2}} d \tau\right)\right] \\
\text { при }|x|<1(2.4 .50)
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{r}
y=\frac{1}{\left(x^{2}-1\right)^{1 / 4}}\left[a_{2} \exp \left(\lambda \int^{x} \sqrt{\tau^{2}-1} d \tau\right)+b_{2} \exp \left(-\lambda \int \sqrt{\tau^{2}-1} d \tau\right)\right] \\
\text { при }|x|>1,(2.4 .51)
\end{array}
\]

где $a_{i}$ и $b_{i}$-постоянные.
Разложения (2.4.50) и (2.4.51) называются приближениями Лиувилля – Грина или ВКБ-приближениями (п. 7.1.3). Эти разложения имеют особенность при $x= \pm 1$ и поэтому не являются равномерно пригодными. Точки $x= \pm 1$ называются точками воз-

врата. Неравномерность в этом примере возникла вследствие того, что решения представлены в элементарных функциях, а именно в экспоненциальных и тригонометрических функциях. Из разложений видно, что при переходе через значения $|x|=1$ характер решения меняется с колебательного на экспоненциальный. Следовательно, для представления решений нужны функции, имеющие аналогичное качественное поведение. Подходящими для этой цели являются функции Эйри (п. 7.3.1).