Предположим, что мы интересуемся функцией единственного вещественного параметра $\dot{\varepsilon}$, которую будем обозначать $f(\varepsilon)$. При выводе аппроксимаций нас будет интересовать предел $f(\varepsilon)$ при $\varepsilon$,

стремящемся к нулю, что будем обозначать как $\varepsilon \longrightarrow 0$. Этот предел может зависеть от того, стремится ли $\varepsilon$ к нулю снизу, что обозначаем как $\varepsilon \uparrow 0$, или сверху, $\varepsilon \downarrow 0$. Если предел функции $f(\varepsilon)$ существует (т. е. у нее нет существенных особенностей при $\varepsilon=0$, таких, как у функции $\sin \varepsilon^{-1}$ ), то имеет место одна из трех возможностей:
\[
\left.\begin{array}{l}
f(\varepsilon) \rightarrow 0 \\
f(\varepsilon) \rightarrow A \\
f(\varepsilon) \rightarrow \infty
\end{array}\right\} \text { при } \varepsilon \longrightarrow 0, \quad 0<A<\infty .
\]

В первоми последнем случаях скорости сходимости $f(\varepsilon) \rightarrow 0$ и $f(\varepsilon) \rightarrow \infty$ оцениваются сравнением $f(\varepsilon)$ с известными функциями, которые называются калибровочными функциями. Простейшими и наиболее употребительными из них являются следующие:
\[
\ldots, \varepsilon^{-n}, \ldots, \varepsilon^{-2}, \varepsilon^{-1}, 1, \varepsilon, \varepsilon^{2}, \ldots, \varepsilon^{n}, \ldots .
\]

В некоторых случаях к ним должны быть добавлены функции $\log \varepsilon^{-1}, \quad \log \left(\log \varepsilon^{-1}\right), \quad e^{\varepsilon^{-1}}, \quad e^{-\varepsilon^{-1}} \quad$ и т. д.

Другими примерами калибровочных функций являются функции $\sin \varepsilon, \cos \varepsilon, \operatorname{tg} \varepsilon, \operatorname{sh} \varepsilon, \operatorname{ch} \varepsilon$, th $\varepsilon \quad$ и т. д.

При сравнении поведения функции $f(\varepsilon)$ с калибровочной функцией $g(\varepsilon)$ при $\varepsilon \longrightarrow 0$ используется один из двух символов Ландау: $O$ или о.
Символ $O$
Мы пишем
\[
f(\varepsilon)=O[g(\varepsilon)] \quad \text { при } \varepsilon \longrightarrow 0,
\]

если существуют положительное число $A$, не зависящее от $\varepsilon$, и значение $\varepsilon_{0}>0$, такие, что
\[
|f(\varepsilon)| \leqslant A|g(\varepsilon)| \text { для всех }|\varepsilon| \leqslant \varepsilon_{0} .
\]

Это условие может быть заменено следующим:
\[
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\left|\frac{f(\varepsilon)}{g(\varepsilon)}\right|<\infty .
\]

Например, при $\varepsilon \longrightarrow 0$ имеем
\[
\begin{aligned}
\sin \varepsilon & =O(\varepsilon), & \sin \varepsilon^{2} & =O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\sin 7 \varepsilon & =O(\varepsilon), & \sin 2 \varepsilon-2 \varepsilon & =O\left(\varepsilon^{3}\right), \\
\cos \varepsilon & =O(1), & 1-\cos \varepsilon & =O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
J_{0}(\varepsilon) & =O(1), & J_{0}(\varepsilon)-1 & =O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\operatorname{sh} \varepsilon & =O(\varepsilon), & \operatorname{ch} \varepsilon & =O(1), \\
\text { th } \varepsilon & =O(\varepsilon), & \operatorname{tg} \varepsilon & =O(\varepsilon), \\
\operatorname{cth} \varepsilon & =O\left(\varepsilon^{-1}\right), & \operatorname{ctg} \varepsilon & =O\left(\varepsilon^{-1}\right) .
\end{aligned}
\]

Если, кроме $\varepsilon$, функция $f$ зависит и от другой переменной $x$, a $g(x, \varepsilon)$ – калибровочная функция, то по-прежнему пишем
\[
f(x, \varepsilon)=O[g(x, \varepsilon)] \quad \text { при } \varepsilon \longrightarrow 0,
\]

если существуют положительное число $A$, не зависящее от $\varepsilon$, и $\varepsilon_{0}>0$, такие, что
\[
|f(x, \varepsilon)| \leqslant A|g(x, \varepsilon)| \text { для всех }|\varepsilon| \leqslant \varepsilon_{0} .
\]

Если $A$ и $\varepsilon_{0}$ не зависят от $x$, то говорят, что соотношение (1.3.5) выполняется равномерно. Например,
\[
\left.\sin (x+\varepsilon)=O(1)=O[\sin (x)] \text { равномерно }{ }^{1}\right) \text { при } \varepsilon \rightarrow 0,
\]

в то время как
\[
\begin{aligned}
e^{-\varepsilon t}-1 & =O(\varepsilon) \text { неравномерно при } \varepsilon \rightarrow 0, \\
\sqrt{x+\varepsilon}-\sqrt{x} & =O(\varepsilon) \text { неравномерно при } \varepsilon \rightarrow 0 .
\end{aligned}
\]

Символ $o$
Мы пишем
\[
f(\varepsilon)=o[g(\varepsilon)] \quad \text { при } \varepsilon \longrightarrow 0,
\]

если для каждого положительного числа $\delta$, не зависящего от $\varepsilon$, существует $\varepsilon_{0}>0$, такое, что
\[
|f(\varepsilon)| \leqslant \delta|g(\varepsilon)| \text { для }|\varepsilon| \leqslant \varepsilon_{0} .
\]

Это условие может быть заменено следующим:
\[
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\left|\frac{f(\varepsilon)}{g(\varepsilon)}\right|=0 .
\]

Таким образом, имеем при $\varepsilon \rightarrow 0$
\[
\begin{array}{l}
\sin \varepsilon=O(1), \quad \sin \varepsilon^{2}=O(\varepsilon), \\
\cos \varepsilon=O\left(\varepsilon^{-1 / 2}\right), \quad J_{0}(\varepsilon)=O\left(\varepsilon^{-1}\right), \\
\operatorname{cth} \varepsilon=o\left(\varepsilon^{-3 / 2}\right), \quad \operatorname{ctg} \varepsilon=o\left[\varepsilon^{-(n+1) / n}\right] \quad \text { для положительных } n, \\
1-\cos 3 \varepsilon=o(\varepsilon), \quad \exp \left(-\varepsilon^{-1}\right)=o\left(\varepsilon^{n}\right) \text { для всех } n \text {. } \\
\sin (x+\varepsilon)=o\left(\varepsilon^{-1 / 3}\right) \quad \text { равномерно при } \varepsilon \longrightarrow 0, \\
e^{-\varepsilon t}-1=O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right) \text { неравномерно при } \varepsilon \rightarrow 0 \text {, } \\
\sqrt{x+\varepsilon}-\sqrt{x}=o\left(\varepsilon^{3 / 4}\right) \text { неравномерно при } \varepsilon \rightarrow 0 \text {. } \\
\end{array}
\]

Если $f=f(x, \varepsilon)$ и $g=g(x, \varepsilon)$, то говорят, что (1.3.7) выполняется равномерно, если $\delta$ и $\varepsilon_{0}$ не зависят от $x$. Например,
\[
\sin (x+\varepsilon)=o\left(\varepsilon^{-1 / 3}\right) \quad \text { равномерно при } \varepsilon \rightarrow 0,
\]

в то время как
\[
\begin{aligned}
e^{-\varepsilon t}-1 & =O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right) \text { неравномерно при } \varepsilon \rightarrow 0, \\
\sqrt{x+\varepsilon}-\sqrt{x} & =O\left(\varepsilon^{3 / 4}\right) \text { неравномерно при } \varepsilon \rightarrow 0 .
\end{aligned}
\]

стр 19

1.4. Асимптотические разложения и последовательности

1.4.1. Асимптотические ряды
Мы установили в п. 1.2.2, что частным решением уравнения
\[
\frac{d y}{d x}+y=\frac{1}{x}
\]
является ряд
\[
y=\frac{1}{x}+\frac{1 !}{x^{2}}+\frac{2 !}{x^{3}}+\frac{3 !}{x^{4}}+\ldots+\frac{(n-1) !}{x^{n}}+\ldots,
\]
который расходится для всех значений $x$. Чтобы выяснить, насколько этот ряд может оказаться полезным при вычислении частного решения нашего уравнения, определим остаток при усечении ряда на $n$-м члене. Для этого заметим, что частное решение дифференциального уравнения задается интегралом
\[
y=e^{-x} \int_{-\infty}^{x} x^{-1} e^{x} d x,
\]
сходящимся при отрицательных х. Интегрируя (1.4.3) по частям, получим
\[
\begin{aligned}
y & =\frac{1}{x}+e^{-x} \int_{-\infty}^{x} x^{-2} e^{x} d x=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+2 e^{-x} \int_{-\infty}^{x} x^{-3} e^{x} d x= \\
& =\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}+3 ! e^{-x} \int_{-\infty}^{x} x^{-4} e^{x} d x= \\
& =\frac{1}{x}+\frac{1 !}{x^{2}}+\frac{2 !}{x^{3}}+\frac{3 !}{x^{4}}+\ldots+\frac{(n-1) !}{x^{n}}+n ! e^{-x} \int_{-\infty}^{x} x^{-n-1} e^{x} d x . \quad(1.4 .4)
\end{aligned}
\]
Следовательно, если мы усечем ряд на $n$-м члене, то остаток как функция $n$ и $x$ будет иметь вид
\[
R_{n}=n ! e^{-x} \int_{-\infty}^{x} x^{-n-1} e^{x} d x .
\]
Для сходимости ряда предел $\lim _{n \rightarrow \infty} R_{n}$ должен равняться нулю. В нашем примере это не выполнено. Действительно, при $n \rightarrow \infty$ имеем $R_{n} \rightarrow \infty$, так что ряд расходится для всех $x$, в согласии с тем, что мы установили в п. 1.2.2, используя другой признак сходимости. Поэтому ряд (1.4:2) может оказаться полезным только
при фиксированном $n$. Для отрицательных $x$ имеем
\[
\left|R_{n}\right| \leqslant n !\left|x^{-n-1}\right| e^{-x} \int_{-\infty}^{x} e^{x} d x=\frac{n !}{\left|x^{n+1}\right|} .
\]
Таким образом, ошибка, связанная с усечением ряда на $n$-м члене, численно не превосходит первого отброшенного члена, а именно $(n+1)$-го. Более того, при фиксированном $n$ и $|x| \rightarrow \infty$ имеем $R_{n} \longrightarrow 0$. Поэтому, хотя ряд (1.4.2) и расходится, для фиксированного $n$ первые $n$ членов ряда могут представлять $y$ с ошибкой, которая может быть сделана произвольно малой при выборе достаточно большого значения $|x|$. Подобный ряд называется асимптотическим рядом типа Пуанкаре (Пуанкаре [1892]) и обозначается
\[
y \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-1) !}{x^{n}} \text { при }|x| \rightarrow \infty .
\]
Вообще, для заданного ряда $\sum_{m=0}^{\infty}\left(a_{m} / x^{m}\right)$, где $a_{m}$ не зависит от $x$, мы говорим, что он является асимптотическим рядом, и пишем
\[
y \sim \sum_{m=0}^{\infty} \frac{a_{m}}{x^{m}} \quad \text { при }|x| \rightarrow \infty
\]
тогда и только тогда, когда
\[
y=\sum_{m=0}^{n} \frac{a_{m}}{x^{m}}+o\left(|x|^{-n}\right) \text { при }|x| \rightarrow \infty .
\]
Условие (1.4.9) можно переписать в виде
\[
y=\sum_{m=0}^{n-1} \frac{a_{m}}{x^{m}}+O\left(|x|^{-n}\right) \text { при }|x| \rightarrow \infty .
\]
В качестве другого примера рассмотрим, как это было сделано Эйлером [1754], вопрос об оценке интеграла
\[
f(\omega)=\omega \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{\omega+x} d x
\]
для больших положительных $\omega$. Поскольку
\[
\frac{\omega}{\omega+x}=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m} x^{m}}{\omega^{m}} \text {, если } x<\omega,
\]
и
\[
\int_{0}^{\infty} x^{m} e^{-x} d x=m !
\]
имеем
\[
f(\omega)=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m} m !}{()^{m}} .
\]
Поскольку отношение $m$-го члена к ( $m-1)$-му, равное $-m \omega^{-1}$, стремится к бесконечности при $m \rightarrow \infty$, ряд (1.4.14) расходится для всех значений $\omega$.
Чтобы выяснить, является ли ряд (1.4.14) асимптотическим, вычислим остаток, получающийся при усечении ряда на $n$-м члене. Заметим для этого, что
\[
\frac{\omega}{\omega+x}=\sum_{m=0}^{n-1} \frac{(-1)^{m} x^{m}}{\omega^{m}}+\frac{(-1)^{n} x^{n}}{\omega^{n-1}(\omega+x)} .
\]
Следовательно,
\[
f(\omega)=\sum_{m=0}^{n-1} \frac{(-1)^{m} m !}{\omega^{m}}+R_{n}
\]
где
\[
R_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\omega^{n-1}} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{n} e^{-x}}{\omega+x} d x ;\left|R_{n}\right|<\frac{1}{\omega^{n}} \int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-x} d x=\frac{n !}{\omega^{n}} .
\]
Итак, ошибка, обусловленная усечением ряда на $n$-м члене, численно не превосходит первого отброшенного члена, и мы имеем ${ }^{1}$ )
\[
f(\omega)=\sum_{m=0}^{n-1} \frac{(-1)^{m} m !}{\omega^{m}}+O\left(\omega^{-n}\right) .
\]
Поэтому ряд (1.4.14) является асимптотическим:
\[
f(\omega) \sim \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} m 1}{\omega^{m}} .
\]

1.4.2. Асимптотические разложения

Для представления функции вовсе не обязательно использовать степенной ряд. Вместо него можно использовать последовательность функций общего вида $\delta_{n}(\varepsilon)$, если только
\[
\delta_{n}(\varepsilon)=o\left[\delta_{n-1}(\varepsilon)\right] \text { при } \varepsilon \longrightarrow 0 .
\]
Такая последовательность называется асимптотической последовательностью. Примерами таких асимптотических последовательностей являются
\[
\varepsilon^{n}, \quad \varepsilon^{n / 3}, \quad(\log \varepsilon)^{-n}, \quad(\sin \varepsilon)^{n}, \quad(\operatorname{ctg} \varepsilon)^{-n} .
\]
В терминах асимптотических последовательностей мы можем определить асимптотические разложения. Итак, про заданную сумму $\sum_{m=0}^{\infty} a_{m} \delta_{m}(\varepsilon)$, где $a_{m}$ не зависит от $\varepsilon$, а $\delta_{m}(\varepsilon)$ есть асимптотическая последовательность, мы говорим, что она является асимптотическим разложением, и пишем
\[
y \sim \sum_{m=0}^{\infty} a_{m} \delta_{m}(\varepsilon) \text { при } \varepsilon \rightarrow 0
\]
тогда и только тогда, когда
\[
y=\sum_{m=0}^{n-1} a_{m} \delta_{m}(\varepsilon)+O\left[\delta_{n}(\varepsilon)\right] \text { при } \varepsilon \longrightarrow 0 .
\]
Очевидно, что асимптотический ряд есть частный случай асимптотического разложения.
В качестве примера асимптотического разложения, не являющегося асимптотическим степенным рядом, мы снова рассмотрим интеграл (1.4.11). Следуя Ван-дер-Корпуту [1962], мы представим $f(\omega)$ в терминах факториальной асимптотической последовательности $[(\omega+1)(\omega+2) \ldots(\omega+n)]^{-1}$ при $\omega \rightarrow \infty$. Для этого заметим, что
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{\omega+x} & =\frac{1}{\omega}-\frac{x}{\omega(\omega+x)}= \\
& =\frac{1}{\omega}-\frac{x}{\omega(\omega+1)}+\frac{x(x-1)}{\omega(\omega+1)(\omega+x)}= \\
& =\frac{1}{\omega}-\frac{x}{\omega(\omega+1)}+\frac{x(x-1)}{\omega(\omega+1)(\omega+2)}-\frac{x(x-1)(x-2)}{\omega(\omega+1)(\omega+2)(\omega+x)} .
\end{aligned}
\]
И вообще,
\[
\begin{array}{l}
\frac{\omega}{\omega+x}=\sum_{m=0}^{n} \frac{(-1)^{m} x(x-1) \ldots(x+1-m)}{(\omega+1)(\omega+2) \ldots(\omega-m)}+ \\
\quad+\frac{(-1)^{n+1} x(x-1) \ldots(x-n)}{(\omega+1)(\omega+2) \ldots(\omega+n)(\omega+x)} .
\end{array}
\]
Это равенство доказывается по индукции следующим образом. Если (1.4.25) верно для $n$, то мы покажем, что это равенство верно и для $n+1$. Для этого заметим, что
\[
\begin{aligned}
\frac{\omega}{\omega+x} & =\sum_{m=0}^{n} \frac{(-1)^{m} x(x-1) \ldots(x+1-m)}{(\omega+1)(\omega+2) \ldots(\omega+m)}+ \\
& +\frac{(-1)^{n+1} x(x-1) \ldots(x-n)}{(\omega+1)(\omega+2) \ldots(\omega+n+1)}- \\
& -\frac{(-1)^{n+1} x(x-1) \ldots(x-n)}{(\omega+1)(\omega+2) \ldots(\omega+n+1)}+ \\
& +\frac{(-1)^{n+1} x(x-1) \ldots(x-n)}{(\omega+1)(\omega-2) \ldots(\omega+n)(\omega+x)} .
\end{aligned}
\]
Объединяя два последних слагаемых и распространяя суммирование до $n+1$, мы можем переписать это выражение в виде
\[
\begin{array}{l}
\frac{\omega}{\omega+x}=\sum_{m=0}^{n+1} \frac{(-1)^{n} x(x-1) \ldots(x+1-m)}{(\omega+1)(\omega+2) \ldots(\omega+m)}+ \\
+\frac{(-1)^{n+2} x(x-1) \ldots(x-n-1)}{(\omega+1)(\omega+2) \ldots(\omega+n+1)(\omega+x)} .
\end{array}
\]
Таким образом, если равенство (1.4.25) верно для $n$, то (1.4.26) устанавливает его справедливость для $n+1$. Поскольку, согласно (1.4.24), равенство (1.4.25) верно для $n=0,1$ и 2 , оно верно и для $n=3,4,5, \ldots$. Поэтому оно верно для всех $n$.
$У_{\text {множая (1.4.25) }}$ на $\exp (-x)$ и интегрируя от $x=0$ до $x=\infty$, получим
\[
f(\omega)=\sum_{m=0}^{n} a_{m} \delta_{m}(\omega)+R_{n}(\omega),
\]
где
\[
\begin{aligned}
a_{m} & =\int_{0}^{\infty} x(x-1) \ldots(x-m+1) e^{-x} d x, \\
\delta_{m}(\omega) & =(-1)^{m}[(\omega+1)(\omega+2) \ldots(\omega+m)]^{-1}, \\
R_{n} & =-\delta_{n}(\omega) \int_{0}^{\infty} \frac{x(x-1) \ldots(x-n)}{\omega+n+x-n} e^{-x} d x .
\end{aligned}
\]
Поскольку $\omega$-большое положительное число,
\[
\begin{array}{l}
\left|R_{n}\right|<\left|\delta_{n}(\omega)\right| \cdot\left|\int_{0}^{\infty} x(x-1) \ldots(x-n+1) e^{-x} d x\right|= \\
=\left|a_{n}\right| \cdot\left|\delta_{n}(\omega)\right| .
\end{array}
\]
Таким образом, ошибка, связанная с тем, что мы сохраняем только $n$ первых членов, численно не превосходит $n$-го члена, и,
следовательно,
\[
f(\omega)=\sum_{m=0}^{n-1} a_{m} \delta_{m}(\omega)+O\left[\delta_{n}(\omega)\right]
\]
Поскольку $\delta_{m}(\omega)$-асимптотическая последовательность при $\omega \longrightarrow \infty$, имеем
\[
f(\omega) \sim \sum_{m=0}^{\infty} a_{m} \delta_{m}(\omega) \text { при } \omega \longrightarrow \infty .
\]

1.4.3. Единственность асимптотических разложений

В предыдущих двух пунктах мы показали, что имеют место соотношения
\[
f(\omega) \sim \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m} m !}{\omega^{m}} \text { при } \omega \rightarrow \infty
\]

и
\[
f(\omega) \sim \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m} \int_{0}^{\infty} x(x-1) \ldots(x+1-m) e^{-x} d x}{(\omega+1)(\omega+2) \ldots(\omega+m)} \text { при } \omega \rightarrow \infty .
\]

Таким образом, асимптотическое представление функции $f(\omega)$ при $\omega \longrightarrow \infty$ не единственно. В самом деле, функция $f(\omega)$ может быть представлена бесконечным числом асимптотических разложений, поскольку существует бесконечное число асимптотических последовательностей, которые могут быть использованы для такого представления. Однако для заданной асимптотической последовательности $\delta_{m}(\omega)$ представление функции $f(\omega)$ с ее помощью единственно. В этом случае имеем
\[
f(\omega) \sim \sum_{m=0}^{\infty} a_{m} \delta_{m}(\omega) \text { при } \omega \longrightarrow \infty,
\]

где $a_{m}$ единственным образом определяются соотношениями
\[
\begin{array}{l}
a_{0}=\lim _{\omega \rightarrow \infty} \frac{f(\omega)}{\delta_{0}(\omega)}, \quad a_{1}=\lim _{\omega \rightarrow \infty} \frac{f(\omega)-a_{0} \delta_{0}(\omega)}{\delta_{1}(\omega)}, \\
a_{n}=\lim _{\omega \rightarrow \infty} \frac{f(\omega)-\sum_{m=0}^{n-1} a_{m} \delta_{m}(\omega)}{\delta_{n}(\omega)} .
\end{array}
\]