В этом параграфе мы будем иметь дело с асимптотическим разложением решения уравнения
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+p(x ; \varepsilon) \frac{d y}{d x}+q(x ; \varepsilon) y=r(x ; \varepsilon),
\]

где $\varepsilon$-параметр, который может быть малым или большим. Будем предполагать, что функции $p$ и $q$ не обращаются одновременно в нуль на интересующем нас интервале. Сначала исследуем асимптотические решения этого уравнения в окрестности нерегулярной особой точки. Затем опишем методику отыскания асимптотического решения уравнения (7.1.1) для случая, когда оно содержит большой параметр. Затем рассмотрим особые задачи возмущений с малым параметром при старшей производной. Наконец, опишем методы получения асимптотических разложений для случаев, когда $p, q$ и $r$ являются медленно меняющимися функциями $x$.

7.1.1. Разложения в окрестности нерегулярной особенности
Исследуем асимптотическое поведение решений уравнения
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+p(x) \frac{d y}{d x}+q(x) y=0
\]

при $x \rightarrow \infty$ и при условии, что бесконечно удаленная точка является нерегулярной особой точкой. Прежде чем взяться за

намеченное, дадим определения регулярной особой точки и иррегулярной особой точки. Предположим, что $p(x)$ и $q(x)$ допускают разложения по возрастающим степеням $\left(x-x_{0}\right), x_{0}<\infty$, вида
\[
\begin{array}{ll}
p(x)=p_{0}\left(x-x_{0}\right)^{\alpha}\left[1+p_{1}\left(x-x_{0}\right)+\ldots\right], & p_{0}
eq 0, \\
q(x)=q_{0}\left(x-x_{0}\right)^{\beta}\left[1+q_{1}\left(x-x_{0}\right)+\ldots\right], & q_{0}
eq 0 .
\end{array}
\]

Точка $x_{0}$ называется обыкновенной точкой, если $\alpha \geqslant 0$ и $\beta \geqslant 0$, в противном случае она называется особой точкой. Особая точка называется регулярной особой точкой, если $\alpha \geqslant-1$ и $\beta \geqslant-2$; в противном случае она называется иррегулярной особой точкой.

Приведенные выше определения таковы, что природа конечной точки $x_{0}$ определяется почти с одного взгляда. Природа бесконечно удаленной точки может быть определена преобразованием ее в начало координат. Итак, положив в (7.1.2) $x=z^{-1}$, получим
\[
\frac{d^{2} y}{d z^{2}}+\left[\frac{2}{z}-\frac{p\left(z^{-1}\right)}{z^{2}}\right] \frac{d y}{d z}+\frac{q(z-1)}{z^{4}} y=0 .
\]

Бесконечно удаленная точка является обыкновенной точкой исходного уравнения, если начало координат является обыкновенной точкой преобразованного уравнения, т. е. если выполнено
\[
\begin{aligned}
\frac{2}{z}-\frac{p\left(z^{-1}\right)}{z^{2}} & =O(1), \quad \text { при } z \rightarrow 0 . \\
\frac{q\left(z^{-1}\right)}{z^{4}} & =O(1) . \quad \text { (1) }
\end{aligned}
\]

при $z \rightarrow 0$.

Этим соотношениям соответствуют в исходном уравнении соотношения
\[
\begin{array}{l}
p(x)=2 x^{-1}+O\left(x^{-2}\right), \quad \text { при } \quad x \rightarrow \infty . \\
q(x)=O\left(x^{-4}\right) .
\end{array}
\]

Для того чтобы бесконечно удаленная точка была регулярной особой точкой (7.1.2), начало координат должно быть регулярной особой точкой преобразованного уравнения; т. е.
\[
\begin{aligned}
\frac{2}{z}-\frac{p\left(z^{-1}\right)}{z^{2}} & =O\left(\frac{1}{z}\right), \quad \text { при } z \rightarrow 0 . \\
\frac{q\left(z^{-1}\right)}{z^{4}} & =O\left(\frac{1}{z^{2}}\right), \quad \text {. }
\end{aligned}
\]

при $z \rightarrow 0$.

Этим уравнениям соответствуют соотношения:
\[
\begin{array}{l}
p(x)=O\left(x^{-1}\right), \quad \text { при } x \rightarrow \infty . \\
q(x)=O\left(x^{-2}\right), \quad \text {. }
\end{array}
\]
Таким образом, если $p(x)$ и $q(x)$ разлагаются в ряд по убываюцим степеням $x$ вида
\[
p(x)=p_{0} x^{\alpha}+\ldots, \quad q(x)=q_{0} x^{\beta}+\ldots, \quad p_{0}, q_{0}
eq 0,
\]

то бесконечно удаленная точка будет обыкновенной точкой при $\beta \leqslant-4$ и при $\alpha=-1, p_{0}=2$ либо при $\alpha \leqslant-2$. В этом случае уравнение (7.1.2) имеет два решения в виде сходящихся рядов по степеням $x^{-1}$. Если указанные условия не выполнены и $\alpha \leqslant-1$, $\beta \leqslant-2$, то бесконечно удаленная точка является регулярной особой точкой. В этом случае уравнение имеет два решения, представимых сходящимся рядом по степеням $x^{-1}$ вида (Фробениус [1875]):
\[
y=x^{\sigma}\left(1+a_{1} x^{-1}+a_{2} x^{-2}+\ldots\right),
\]

где $\sigma$ удовлетворяет так называемому показательному уравнению
\[
\sigma^{2}+\left(p_{0}-1\right) \sigma+q_{0}=0, \quad \text { если } \alpha=-1, \beta=-2 .
\]

Исключение составляют частные случаи, когда корни этого уравнения совпадают либо отличаются на целое число; в этих случаях решения могут содержать $\log x$.
Если из неравенств
\[
\alpha>-1, \quad \beta>-2
\]

выполнено одно или оба, то бесконечно удаленная точка является иррегулярной особой точкой. Это и есть случай, интересующий нас в данном параграфе. В этом случае уравнению (7.1.2) удовлетворяют решения вида
\[
y(x)=e^{\Lambda(x)} x^{\sigma} u(x) .
\]

Здесь $u(x)=O$ (1) при $x \rightarrow \infty$, причем $u(x)$ не обязательно сходится; $\Lambda(x)$ – полином относительно $x^{m / n}$. Обозначив через $\lambda x^{v}$ старший член в $\Lambda(x)$, подставив вышеприведенное решение в (7.1.2) и выделив в каждом члене главную часть, получим
\[
\lambda^{2} v^{2} x^{2 v-2}+p_{0} \lambda v x^{v+\alpha-1}+q_{0} x^{\beta}=0 .
\]

Тогда $v$ определяется одним из равенств
\[
v=\alpha+1,2 v=\beta+2,
\]

а именно тем, которое доставляет большее значение $v$. Если $v-$ натуральное число, то приведенное выше решение называется нормальным решением (Томе [1883]) и имеет вид
\[
y=\exp \left(\lambda_{v} x^{v}+\lambda_{v-1} x^{v-1}+\ldots+\lambda_{1} x\right) x^{\sigma}\left(1+a_{1} x^{-1}+\ldots\right) \text {. }
\]

Если же $v$ не является натуральным числом, то это решение называется субнормальным решением; в этом случае $\Lambda$ представляет собой полином относительно $x^{1 / 2}$, а $и$ является рядом по возрастающим степеням $x^{-1 / 2}$. До сих пор мы предполагали, что $p$ и $q$ представляются в виде степенных рядов по $x$ с натуральными $\alpha$ и $\beta$. Если $\alpha$ и $\beta$ не являются натуральными числами, то $v$-рациональное число, которое может быть представлено в виде несократимой дроби $v=n / k$. Тогда субнормальные решения имеют следующий общий вид:
\[
\begin{array}{c}
y=\exp \left(\lambda_{n} x^{n \tau}+\ldots+\lambda_{2} x^{2 \tau}+\lambda_{1} x^{\tau}\right) x^{\sigma}\left(1+a_{1} x^{-\tau}+a_{2} x^{-2 \tau}+\ldots\right), \\
\tau=k^{-1} .
\end{array}
\]

Для нахождения нормального или субнормального решения следует подставить в (7.1.2) решение соответствующего вида, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях $x$ и получить уравнения, которые в свою очередь могут быть последовательно решены относительно $\lambda_{m}, \sigma$ и $a_{m}$.
Рассмотрим в качестве примера частный случай
\[
p(x)=\sum_{n=0}^{\infty} p_{n} x^{-n}, \quad q(x)=\sum_{n=0}^{\infty} q_{n} x^{-n} \quad \text { при } x \rightarrow \infty,
\]

где $p_{n}$ и $q_{n}$ не зависят от $x$. Из равенств (7.1.8в) имеем для рассматриваемого случая: $v=1$. В соответствии с (7.1.8г) уравнение (7.1.2) при условии (7.1.9) имеет формальное асимптотическое решение вида
\[
y=e^{\lambda x} x^{\sigma} \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{-n},
\]

где $\lambda$, согласно (7.1.8б), является корнем уравнения
\[
\lambda^{2}+p_{0} \lambda+q_{0}=0 .
\]

Подставив (7.1.10a) в (7.1.2) с учетом (7.1.9), приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $x$, найдем, что
\[
\sigma=-\frac{\lambda p_{1}+q_{1}}{2 \lambda+p_{0}}
\]

и получим рекуррентные соотношения относительно $c_{n}$.
Якоби [1849] получил разложения в виде нормальных решений для функций Бесселя первого порядка при больших значениях аргумента. Аналогичные результаты для уравнения Эйри получил Стокс [1857]. Хорн [1903] дал обоснование асимптотическим решениям в виде произведения экспонент и рядов по убывающим степеням $x$.

7.1.2. Разложение функции Бесселя нулевого порядка для больших значений аргумента

Функция Бесселя нулевого порядка задается с помощью уравнения
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{1}{x} \frac{d y}{d x}+y=0
\]

Здесь
\[
\begin{array}{lll}
p_{1}=1, & p_{m}=0 \\
q_{0}=1, & q_{m}=0 \text { для } m
eq 1, \\
\text { для } m
eq 0 .
\end{array}
\]

Следовательно, из (7.1.10) получаем
\[
y=e^{i x} x^{-1 / 2} \sum_{m=0}^{\infty} c_{m} x^{-m} \quad \text { при } x \rightarrow \infty .
\]

Подставив это разложение в (7.1.11) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $x$, получим следующее рекуррентное соотношение:
\[
c_{m+1}=-i \frac{\left(m+\frac{1}{2}\right)^{2}}{2(m+1)} c_{m} .
\]

Поэтому, взяв $c_{0}=1$, будем иметь
\[
y=e^{i x} x^{-1 / 2}\left[1-\frac{1}{4 \cdot 2 x} i-\frac{1 \cdot 3^{2}}{4^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2 ! x^{2}}+\frac{1 \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}}{4^{3} \cdot 2^{3} \cdot 3 ! x^{3}} i+\frac{1 \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}}{4^{4} \cdot 2^{4} \cdot 4 ! x^{1}}+\ldots\right]
\]
\[
\text { при } x \rightarrow \infty \text {. }
\]

Поскольку отношение двух последовательных членов
\[
-\frac{i(2 m+1)^{2}}{8(m+1) x} \rightarrow \infty \quad \text { при } \quad m \rightarrow \infty,
\]

то правая часть в (7.1.14) расходится при всех значениях $x$. Однако для больших значений $x$ имеем асимптотическое разложение, так как с возрастанием $m$ последующие члены убывают очень быстро.

Заменив в (7.1.14) $i$ на $-i$, можно получить другое линейно независимое разложение $\tilde{y}$ вида
\[
\tilde{y}=e^{-i x} x^{-1 / 2}\left(1+\frac{1}{4 \cdot 2 x} i-\frac{1 \cdot 3^{2}}{4^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2 ! x^{2}}-\frac{1 \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}}{4^{3} \cdot 2^{3} \cdot 3 ! x^{3}} i+\frac{1 \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}}{4^{4} \cdot 2^{4} \cdot 4 ! x^{4}}+\ldots\right) .
\]

Действительные решения могут быть получены с помощью линейных комбинаций рядов (7.1.14) и (7.1.15):
\[
\begin{array}{l}
y_{1} \sim \frac{y+\tilde{y}}{2}=x^{-1 / 2}(u \cos x+v \sin x), \\
y_{2} \sim \frac{y-\tilde{y}}{2 i}=x^{-1 / 2}(u \sin x-v \cos x) .
\end{array}
\]

Здесь
\[
\begin{array}{c}
u(x)=1-\frac{1 \cdot 3^{2}}{4^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2 ! x^{2}}+\frac{1 \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}}{4^{4} \cdot 2^{4} \cdot 4 ! x^{4}}+\ldots, \\
v(x)=\frac{1}{4 \cdot 2 x}-\frac{1 \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}}{4^{3} \cdot 2^{3} \cdot 3 ! x^{3}}+\ldots .
\end{array}
\]

Поэтому функция Бесселя $J_{0}$ задается асимптотическим соотношением
\[
J_{0} \sim A y_{1}+B y_{2} \quad \text { при } x \rightarrow \infty,
\]

где $A$ и $B$-постоянные. Из (7.1.16)-(7.1.18) следует, что
\[
\begin{array}{l}
\lim _{x \rightarrow \infty} x^{1 / 2} J_{0}(x)=A \cos x+B \sin x, \\
\lim _{x \rightarrow \infty} x^{1 / 2} J_{0}^{\prime}(x)=-A \sin x+B \cos x .
\end{array}
\]

Имеем, следовательно,
\[
\begin{array}{l}
A=\lim _{x \rightarrow \infty} x^{1 / 2}\left[J_{0}(x) \cos x-J_{0}^{\prime}(x) \sin x\right], \\
B=\lim _{x \rightarrow \infty} x^{1 / 2}\left[J_{0}(x) \sin x+J_{0}^{\prime}(x) \cos x\right] .
\end{array}
\]

Однако $J_{0}$ имеет интегральное представление вида (см., например, Айнс [1926], раздел 8.22) ${ }^{1}$ )
\[
J_{0}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos (x \cos \theta) d \theta .
\]

Подставив это выражение в (7.1.21), получим
\[
\begin{aligned}
A & =\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{1 / 2}}{\pi} \int_{0}^{\pi}[\cos x \cos (x \cos \theta)+\sin x \cos \theta \sin (x \cos \theta)] d \theta= \\
& =\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{1 / 2}}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos \left(2 x \sin ^{2} \frac{\theta}{2}\right) \cos ^{2} \frac{\theta}{2} d \theta+ \\
& +\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{1 / 2}}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos \left(2 x \cos ^{2} \frac{\theta}{2}\right) \sin ^{2} \frac{\theta}{2} d \theta .
\end{aligned}
\]
1) См. также, например, И. С. Градштейн и И. М. Рыжик, „Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений\”, М., «Наука», 1971.- Прим. ред.

Положив $\sqrt{2 x} \sin \theta / 2=\varphi$ в первом интеграле и $\sqrt{2 x} \cos \theta / 2=\alpha$ во втором, получим
\[
A=\frac{\sqrt{2}}{\pi}\left[\int_{0}^{\infty} \cos \varphi^{2} d \varphi+\int_{0}^{\infty} \cos \alpha^{2} d \alpha\right]=\frac{1}{\sqrt{\pi}} .
\]

Аналогично находим, что $B=1 / \sqrt{ } \pi$. Поэтому, объединяя (7.1.16) и (7.1.18), получаем
\[
J_{0}=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\left[u \cos \left(x-\frac{1}{4} \pi\right)+v \sin \left(x-\frac{1}{4} \pi\right)\right] \text { при } x \rightarrow \infty .
\]

7.1.3. Задача Лиувилля

Лиувилль [1837] и Грин [1837] одновременно рассмотрели поведение решений уравнения
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\left[\lambda^{2} q_{1}(x)+q_{2}(x)\right] y=0
\]

для больших $\lambda$ и при условии, что $q_{1}(x)$ – положительная дважды непрерывно дифференцируемая функция, а $q_{2}(x)$ непрерывна на рассматриваемом интервале $[a, b]$. С помощью преобразования
\[
z=\varphi(x), \quad v=\psi(x) y(x)
\]

уравнение (7.1.25) приводится к виду
\[
\frac{d^{2} v}{d z^{2}}+\frac{1}{\varphi^{\prime 2}}\left(\varphi^{\prime \prime}-\frac{2 \varphi^{\prime} \psi^{\prime}}{\psi}\right) \frac{d v}{d z}+\frac{1}{\varphi^{\prime 2}}\left[\lambda^{2} q_{1}(x)+q_{2}(x)-\psi\left(\frac{\psi^{\prime}}{\psi^{2}}\right)^{\prime}\right] v=0 .
\]

Выбрав $\varphi$ и $\psi$ такими, что
\[
\varphi^{\prime \prime}-\frac{2 \varphi^{\prime} \psi^{\prime}}{\psi}=0, \quad q_{1}=\varphi^{\prime 2},
\]

или, что то же самое,
\[
\varphi=\int\left[q_{1}(x)\right]^{1 / 2} d x, \quad \psi=\left[q_{1}(x)\right]^{1 / 4},
\]

можно свести (7.1.27) к уравнению
\[
\frac{d^{2} v}{d z^{2}}+\lambda^{2} v=\delta v,
\]

где
\[
\delta=\frac{1}{4} \frac{q_{1}^{\prime \prime}}{q_{1}^{2}}-\frac{5}{16} \frac{q_{1}^{\prime 2}}{q_{1}^{3}}-\frac{q_{2}}{q_{1}} .
\]

Поскольку $q_{1}$ дважды непрерывно дифференцируема, а $q_{2}$ непрерывна на интервале $[a, b]$, то $\delta$ мало по сравнению с $\lambda^{2}$. Следовательно, в первом приближении функция $v$ будет решением уравнения (7.1.30) при $\delta=0$, т. е.
\[
v=a \cos \lambda z+b \sin \lambda z,
\]

где $a$ и $b$-постоянные. Поэтому имеем в первом приближении
\[
y=\frac{a \cos \left[\lambda \int \sqrt{q_{1}(x)} d x\right]+b \sin \left[\lambda \int \sqrt{q_{1}(x)} d x\right]}{\sqrt[4]{q_{1}(x)}} .
\]

Если функция $q_{1}(x)$ отрицательна, то соотношение (7.1.33) заменится на
\[
y=\frac{a \exp \left[\lambda \int \sqrt{-q_{1}(x)} d x\right]+b \exp \left[-\lambda \int \sqrt{-q_{1}(x)} d x\right]}{\sqrt[4]{-q_{1}(x)}} .
\]

Эти разложения вполне согласуются с разложениями, полученными в п.6.4.3 с помощью метода многих масштабов. Следует отметить, что эти разложения нарушаются в окрестностях нулей функции $q_{1}(x)$. Эти нули называются точками возврата или переходными точками. Задачи с точками возврата рассматриваются в $\S 7.3$.

Математики называют преобразование (7.1.26), (7.1.29) преобразованием Лиувилля – Грина, в то время как физики называют решения (7.1.33) и (7.1.34) ВКБ-приближениями в честь Вентцеля [1926], Крамерса [1926] и Бриллюэна [1926]. Однако приближенное решение такого же типа для функции Бесселя при большом порядке и больших значениях аргумента получил Карлини [1817].

7.1.4. Высшие приближения для уравнений, содержащих большой параметр
Рассмотрим асимптотическое разложение решений уравнения
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+q(x ; \lambda) y=0
\]

для больших $\lambda$ и при условии, что
\[
q(x, \lambda)=\lambda^{2 k} \sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{-n} q_{n}(x) \text { при } \lambda \longrightarrow \infty,
\]

причем $q_{0}
eq 0$ на рассматриваемом интервале, а $k$-натуральное число. Асимптотическое решение этой задачи можно искать

в виде одного из следующих двух формальных разложений:
\[
\begin{array}{l}
y=\left[\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{-n} a_{n}(x)\right] \exp \left[\lambda^{k} \sum_{n=0}^{k-1} \lambda^{-n} g_{n}(x)\right], \\
y=\exp \left[\lambda^{k} \sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{-n} g_{n}(x)\right] .
\end{array}
\]

Обоснование разложений такого вида было дано Хорном [1899]. Подставив одно из этих формальных разложений в (7.1.15) и (7.1.36) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\lambda$, получим уравнения для последовательного определения $a_{n}$ и $g_{n}$.

Для формального разложения (7.1.37) при $k=1$ эти уравнения имеют вид
\[
\begin{array}{c}
g_{0}^{\prime 2}+q_{0}=0, \\
2 g_{0}^{\prime} a_{0}^{\prime}+\left(q_{1}+g_{0}^{\prime \prime}\right) a_{0}=0, \\
2 g_{0}^{\prime} a_{m}^{\prime}+\left(q_{1}+g_{0}^{\prime \prime}\right) a_{m}+\sum_{s=1}^{m} a_{m-s} q_{s+1}+a_{m-1}^{\prime \prime}=0 \text { для } m \geqslant 1 .
\end{array}
\]

Решение уравнения (7.1.39) имеет вид
\[
g_{0}= \pm i \int\left[q_{0}(x)\right]^{1 / 2} d x .
\]

Решением уравнения (7.1.40) является функция
\[
a_{0} \propto\left[g_{0}^{\prime}\right]^{-1 / 2} \exp \left[-\int \frac{q_{1}(x)}{2 g_{0}^{\prime}(x)} d x\right],
\]

которую можно переписать в виде
\[
a_{0}=c\left[q_{0}(x)\right]^{-1 / 4} \exp \pm\left[\frac{i}{2} \int \frac{q_{1}(x)}{\left[q_{0}(x)\right]^{1 / 2}} d x\right],
\]

где $c$-постоянная. Следовательно, в первом приближении будет иметь место
\[
y=\frac{c_{1} \cos \beta(x)+c_{2} \sin \beta(x)}{\left[q_{0}(x)\right]^{1 / 4}}[1+O(\lambda-1)],
\]

где $c_{1}$ и $c_{2}$-постоянные, а
\[
\beta(x)=\lambda \int^{x}\left[q_{0}(x)\right]^{1 / 2}\left[1+\frac{q_{1}(x)}{2 \lambda q_{0}(x)}\right] d x .
\]

Высшие приближения могут быть получены последовательным решением уравнений (7.1.41) относительно $a_{m}$.

Если вместо (7.1.37) мы использовали бы второе формальное разложение (7.1.38) при том же значении $k=1$, то получили бы

следующие уравнения для определения $g_{m}$ :
\[
\begin{array}{c}
g_{0}^{\prime 2}+q_{0}=0, \\
2 g_{0}^{\prime} g_{m}^{\prime}+q_{m}+\sum_{s=1}^{m-1} g_{s}^{\prime} g_{m-s}^{\prime}+g_{m-1}^{\prime \prime}=0 \text { для } m \geqslant 1 .
\end{array}
\]

Решение уравнения (7.1.46) задается равенством (7.1.42). Уравнения (7.1.47) при $m=1$ задают уравнение
\[
2 g_{0}^{\prime} g_{1}^{\prime}+q_{1}+g_{0}^{\prime \prime}=0,
\]

решением которого является функция
\[
g_{1}=-\int \frac{q_{1}(x)}{2 g_{0}^{\prime}(x)} d x-\frac{1}{2} \ln g_{0}^{\prime} .
\]

Подставив выражения для $g_{0}$ и $g_{1}$ в (7.1.38), получим в точности соотношения (7.1.44) и (7.1.45).

7.1.5. Малый параметр при старшей производной
В этом пункте мы будем рассматривать уравнение
\[
\varepsilon \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+p(x) \frac{d y}{d x}+q(x) y=r(x)
\]

при $\varepsilon \longrightarrow 0$. Асимптотические разложения решений этого уравнения были получены в п.4.1.3 с помощью метода сращивания асимптотических разложений, в п.4.2.2-с помощью метода составных разложений и в п.6.4.2-с помощью метода многих масџтабов.
Используя преобразование (Голдстейн [1969])
\[
y=v(x) \exp \left[-\frac{M(x)}{2 \varepsilon}\right], \quad M=\int_{x_{0}}^{x} p(x) d x,
\]

приведем уравнение (7.1.49) к нормальному виду
\[
\frac{d^{2} v}{d x^{2}}-\left(\frac{p^{2}}{4 \varepsilon^{2}}+\frac{p^{\prime}-2 q}{2 \varepsilon}\right) v=\frac{r}{\varepsilon} e^{M / 2 \varepsilon} .
\]

При $r \equiv 0$ уравнение (7.1.51) принимает вид (7.1.35), (7.1.36), в котором $k=1, \lambda=1 / 2 \varepsilon, q_{0}=-p^{2}$ и $q_{1}=2 q-p^{\prime}$. Следовательно, частное решение уравнения (7.1.51) имеет вид
\[
v_{c}=\frac{c_{1} e^{\beta(x)}+c_{2} e^{-\beta(x)}}{\sqrt{p(x)}}[1+O(\varepsilon)],
\]

где
\[
\beta(x)=\frac{1}{2 \varepsilon} \int_{x_{0}}^{x} p(x)\left[1+\varepsilon \frac{p^{\prime}-2 q}{p^{2}}\right] d x=\frac{M}{2 \varepsilon}+\frac{1}{2} \ln p-\int_{x_{0}}^{x} \frac{q(x)}{p(x)} d x .
\]

Приближенное частное решение уравнения (7.1.49) можно получить, положив $\varepsilon=0$. Проделав это, получим
\[
y_{p}=\frac{1}{E} \int_{x_{0}}^{x} \frac{E r}{p} d x, \quad E=\exp \int_{x_{0}}^{x} \frac{q}{p} d x .
\]

Следовательно, в первом приближении имеем
\[
y=\frac{c_{1}}{E}+\frac{c_{2} E}{p} e^{-M / \varepsilon}+\frac{1}{E} \int_{x_{0}}^{x} \frac{E r}{p} d x .
\]

Высшие приближения можно получить, предположив, что разложение имеет вид
\[
y=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} A_{n}(x) e^{-M / \varepsilon}+\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} B_{n}(x),
\]

где
\[
A_{0}=\frac{c_{2} E}{p}, \quad B_{0}=\frac{c_{1}}{E}+\frac{1}{E} \int_{x_{0}}^{x} \frac{E r}{p} d x .
\]

Разложение такого же вида мы предполагали и в п.4.2.2, в котором применялся метод составных разложений. Тогда мы определяли величины $M, A_{n}$ и $B_{n}$ подстановкой разложения в исходное уравнение и приравниванием нулю коэффициентов при $\varepsilon^{n}$ и $\varepsilon^{n} \exp (-M / \varepsilon)$.

Для случая $p=p(x, \varepsilon)$ и $q=q(x, \varepsilon)$ Вазов ([1965], глава 7) взял асимптотическое разложение вида
\[
\begin{array}{c}
y=\sum_{n=0}^{\infty} A_{n}(x) \exp \left[\int \lambda_{1}(x, \varepsilon) d x\right]+\sum_{n=0}^{\infty} B_{n}(x) \exp \left[\int \lambda_{2}(x, \varepsilon) d x\right]+ \\
+\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} C_{n}(x),
\end{array}
\]

где $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ являются корнями уравнения
\[
\varepsilon \lambda^{2}+p(x, \varepsilon) \lambda+q(x, \varepsilon)=0 \text { при } \varepsilon \rightarrow 0 .
\]

Таким образом, если $p$ и $q$ не зависят от $\varepsilon$, то $\lambda_{1}=-p / \varepsilon$, $\lambda_{2}=0$, а равенство (7.1.58) принимает вид (7.1.56).

7.1.6. Однородные задачи с медленно меняющимися коэффициентами
В этом пункте мы рассматриваем уравнение
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+p(\varepsilon x ; \varepsilon) \frac{d y}{d x}+q(\varepsilon x ; \varepsilon) y=0,
\]

где $\varepsilon$-малый параметр и
\[
p=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} p_{n}(\xi) ; \quad q=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} q_{n}(\xi), \quad \xi=\varepsilon x .
\]

Асимптотическое разложение общего решения уравнения (7.1.60) имеет вид (историю вопроса и литературу см. Фещенко, Шкилев и Николенко [1967])
\[
y=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} A_{n}(\xi) e^{\theta_{1}}+\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} B_{n}(\xi) e^{\theta_{\mathrm{e}}},
\]

где
\[
\frac{d \theta_{i}}{d x}=\lambda_{i}(\xi)
\]

а $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ являются корнями уравнения
\[
\lambda^{2}+p_{0}(\xi) \lambda+q_{0}(\xi)=0 .
\]

Предполагаем, что на рассматриваемом интервале $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ различны. Величины $\theta_{i}$ и $\xi$ в (7.1.62) предполагаются независимыми. Это эквивалентно методу многих масштабов, описанному в предыдущей главе. Производные преобразуются в соответствии с равенствами
\[
\frac{d}{d x}=\lambda_{1} \frac{\partial}{\partial \theta_{1}}+\lambda_{2} \frac{\partial}{\partial \theta_{2}}+\varepsilon \frac{\partial}{\partial \xi},
\]
\[
\begin{aligned}
\frac{d^{2}}{d x^{2}}=\lambda_{1}^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial \theta_{1}^{2}}+2 \lambda_{1} \lambda_{2} \frac{\partial^{2}}{\partial \theta_{1} \partial \theta_{2}}+\lambda_{2}^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial \theta_{2}^{2}}+2 \varepsilon \lambda_{1} \frac{\partial^{2}}{\partial \theta_{1} \partial \xi} & +2 \varepsilon \lambda_{2} \frac{\partial^{2}}{\partial \theta_{2} \partial \xi}+ \\
& +\varepsilon \lambda_{1}^{\prime} \frac{\partial}{\partial \theta_{1}}+\varepsilon \lambda_{2}^{\prime} \frac{\partial}{\partial \theta_{2}}+\varepsilon^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial \xi^{2}},
\end{aligned}
\]

где $\lambda_{i}^{\prime}=d \lambda_{i} / d \xi$.
Обозначим через $A$ и $B$ коэффициенты при $\exp \left(\theta_{1}\right)$ и $\exp \left(\theta_{2}\right)$. Подставив (7.1.62) в (7.1.60) и приравняв нулю коэффициенты при $\exp \left(\theta_{i}\right)$, получим
\[
\begin{array}{c}
\left(\lambda_{1}^{2}+\lambda_{1} p+q\right) A+\varepsilon\left(2 \lambda_{1}+p\right) A^{\prime}+\varepsilon \lambda_{1}^{\prime} A+\varepsilon^{2} A^{\prime \prime}=0, \\
\left(\lambda_{2}^{2}+\lambda_{2} p+q\right) B+\varepsilon\left(2 \lambda_{2}+p\right) B^{\prime}+\varepsilon \lambda_{2}^{\prime} B+\varepsilon^{2} B^{\prime \prime}=0 .
\end{array}
\]

Положив в уравнениях (7.1.65) и (7.1.66) вновь
\[
A=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} A_{n}, \quad B=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} B_{n}
\]

и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим уравнения для последовательного определения $A_{n}$ и $B_{n}$. Первые

члены $A_{0}$ и $B_{0}$ задаются уравнениями
\[
\begin{array}{c}
\left(2 \lambda_{1}+p_{0}\right) A_{0}^{\prime}+\left(\lambda_{1}^{\prime}+\lambda_{1} p_{1}+q_{1}\right) A_{0}=0, \\
\left(2 \lambda_{2}+p_{0}\right) B_{0}^{\prime}+\left(\lambda_{2}^{\prime}+\lambda_{2} p_{1}+q_{1}\right) B_{0}=0 .
\end{array}
\]

Решения этих уравнений представляются в виде
\[
A_{0}, B_{0} \propto \exp -\int \frac{\lambda_{i}^{\prime}+\lambda_{i} p_{1}+q_{1}}{2 \lambda_{i}+p_{0}} d \xi .
\]

В случае $p \equiv 0$ и $q_{n}=0$ для $n \geqslant 1$
\[
\begin{array}{l}
\lambda_{1}, \lambda_{2}= \pm i\left[q_{0}(\xi)\right]^{1 / 2}, \\
A_{0}=\frac{a}{\sqrt{\lambda_{1}}}, \quad B_{0}=\frac{b}{\sqrt{\bar{\lambda}_{1}}},
\end{array}
\]

где $a$ и $b$-постоянные. Поэтому в первом приближении имеет место
\[
y=\frac{c_{1} \cos \int\left[q_{0}(\xi)\right]^{1 / 2} d x+c_{2} \sin \int\left[q_{0}(\xi)\right]^{1 / 2} d x}{\left[q_{0}(\xi)\right]^{1 / 4}} .
\]

Это есть приближение Лиувилля-Грина или ВКБ-приближение к решению уравнения
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+q_{0}(\varepsilon x) y=0 .
\]

7.1.7. Динамика входа снаряда

Комплексный угол атаки симметричного снаряда описывается уравнением (Найфэ [1969a])
\[
\begin{array}{l}
\ddot{\delta}+\left[i p(1+\gamma)+\frac{\dot{u}}{u}+\frac{\varepsilon Q}{u}-\varepsilon D\right] \delta+ \\
\quad+\left[\gamma\left(p_{c}^{2}-p^{2}\right)+i p\left(\frac{\gamma \dot{u}}{u}-\varepsilon D-\varepsilon M+\frac{\varepsilon \gamma Q}{u}\right)\right] \delta=0 .
\end{array}
\]

В этом уравнении величины $u, Q, D$ и $M$ являются медленно меняющимися функциями времени, а $p$ и $\gamma$-постоянные. Следовательно, оно имеет тот же вид (7.1.60) при
\[
\begin{array}{c}
p_{0}=i p(1+\gamma), \quad p_{1}=\frac{u^{\prime}}{u}+\frac{Q}{u}-D, \\
q_{0}=\gamma\left(p_{c}^{2}-p^{2}\right), \quad q_{1}=i p\left(\frac{\gamma u^{\prime}}{u}-D-M+\frac{\gamma Q}{u}\right) .
\end{array}
\]

Штрихом обозначено дифференцирование по медленному времени $\xi=\varepsilon t$, в то время как точка означает дифференцирование по

быстрому времени $t$. Подставив $p_{0}$ и $q_{0}$ в (7.1.64), получим
\[
\lambda^{2}+i p(1+\gamma) \lambda+\gamma\left(p_{c}^{2}-p^{2}\right)=0 .
\]

Следовательно,
\[
\lambda=-\frac{1}{2} i(1+\gamma) p \pm i \omega, \quad \omega=\sqrt{\frac{1}{4}(1-\gamma)^{2} p^{2}+\gamma p_{c}^{2}} .
\]

Тогда с помощью (7.1.70) получаем
\[
A_{0}=\frac{a}{\sqrt{\omega u}} e^{-\Lambda+\Delta \Lambda}, \quad B_{0}=\frac{b}{\sqrt{\omega u}} e^{-\Lambda-\Delta \Lambda},
\]

где
\[
\Lambda=\frac{1}{2} \int(Q / u-D) d \xi, \quad \Delta \Lambda=\frac{p}{4} \int \frac{\left(\frac{u^{\prime}}{u}+Q-\gamma D\right)(1-\gamma)+2 M}{\omega} d \xi .
\]

Поэтому в первом приближении имеет место
\[
\begin{array}{l}
\delta=\frac{1}{\sqrt{\omega u}}\{a \exp {\left[-\Lambda+\Delta \Lambda-\frac{1}{2} i(1+\gamma) p+i \omega\right]+} \\
\left.\quad+b \exp \left[-\Lambda-\Delta \Lambda-\frac{1}{2} i(1+\gamma) p-i \omega\right]\right\} .
\end{array}
\]

В числе других авторов динамика снаряда исследована Фаулером и др. [1920], Фаулером и Локом [1921], Грином и Уивером [1961], Мерфи [1963] и Коукли [1968].

7.1.8. Неоднородные задачи с медленно меняющимися коэффициентами

В этом пункте мы рассматриваем асимптотическое разложение общего решения уравнения
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+p(\xi, \varepsilon) \frac{d y}{d x}+q(\xi, \varepsilon) y=r(\xi, \varepsilon) e^{i q(x, \varepsilon)},
\]

где
\[
\begin{aligned}
\frac{d \varphi}{d x} & =\omega(\xi), \quad \xi=\varepsilon x \\
p=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} p_{n}(\xi), \quad q & =\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} q_{n}(\xi), \quad r=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} r_{n}(\xi) .
\end{aligned}
\]

Следует различать два случая в зависимости от значений $i \omega$ и корней $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ уравнения
\[
\lambda^{2}+p_{0} \lambda+q_{0}=0 .
\]

Если в одной или более точках рассматриваемого интервала имеет место равенство $i \omega=\lambda_{1}$ или $\lambda_{2}$, то говорим о резонансном случае; в противном случае имеет место нерезонансный случай. Сначала рассмотрим последний из случаев.
Нерезонансный случай. В этом случае будем предполагать, что
\[
y=A(\xi, \varepsilon) e^{\theta_{1}}+B(\xi, \varepsilon) e^{\theta_{2}}+C(\xi, \varepsilon) e^{i \varphi},
\]

где
\[
\frac{d \theta_{i}}{d x}=\lambda_{i}(\xi) .
\]

Уравнения для $A$ и $B$ совпадают с уравнениями (7.1.65) и (7.1.66). Для того чтобы найти $C$, примем в (7.1.80) $y=C \exp (i \varphi)$ и, приравняв в обеих частях коэффициенты при $\exp (i \varphi)$, получим
\[
\left(-\omega^{2}+i \omega p+q\right) C+\varepsilon(2 i \omega+p) C^{\prime}+i \varepsilon \omega^{\prime} C+\varepsilon^{2} C^{\prime \prime}=r .
\]

Положив в (7.1.86)
\[
C=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} c_{n}(\xi)
\]

и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим уравнения для последовательного определения $c_{n}$. Первый из коэффициентов задается равенством
\[
c_{0}=\frac{r_{0}}{-\omega^{2}+i \omega p_{0}+q_{0}}=\frac{r_{0}}{\left(i \omega-\lambda_{1}\right)\left(i \omega-\lambda_{2}\right)} .
\]

Решения для $A$ и $B$ те же, что в п. 7.1.6. Поэтому в первом приближении будет иметь место равенство
\[
\begin{aligned}
y= & a \exp \left[\theta_{1}-\int \frac{\lambda_{1}^{\prime}+\lambda_{1} p_{1}+q_{1}}{2 \lambda_{1}+p_{0}} d \xi\right]+ \\
& +b \exp \left[\theta_{2}-\int \frac{\lambda_{2}^{\prime}+\lambda_{2} p_{1}+q_{1}}{2 \lambda_{1}+p_{0}} d \xi\right]+ \\
& +\frac{r_{0}}{\left(i \omega-\lambda_{1}\right)\left(i \omega-\lambda_{2}\right)} e^{i \varphi},
\end{aligned}
\]

где $a$ и $b$-постоянные.
Резонансный случай. Разложение (7.1.89) нарушается, как только величина $i \omega$ станет равной $\lambda_{1}$ либо $\lambda_{2}$ в одной или более точках, поскольку в таких точках последний член становится неограниченным. Предположим, что $i \omega$ равно $\lambda_{1}$ в одной или более точках, в то же время $i \omega
eq \lambda_{2}$ на рассматриваемом интервале. Асимптотические разложения, пригодные в этом случае, были получены Фаулером и др. [1920], Фаулером и Локом [1921].

В рассматриваемом случае частное решение имеет вид
\[
y=\eta(x, \varepsilon) e^{i \varphi},
\]

где
\[
\frac{d \eta}{d x}=[G(\xi, \varepsilon)-i \omega] \eta+H(\xi, \varepsilon) .
\]

Подставив (7.1.90) и (7.1.91) в (7.1.80) и приравняв в обеих частях коэффициенты при каждом из выражений $\eta \exp (i \varphi)$ и $\exp (i \varphi)$, получим
\[
\begin{aligned}
G^{2}+p G+q+\varepsilon G^{\prime} & =0, \\
(G+p+i \omega) H+\varepsilon H^{\prime} & =r .
\end{aligned}
\]

Полагая в (7.1.92) и (7.1.93)
\[
G=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} G_{n}(\xi), \quad H=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} H_{n}(\xi)
\]

и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим уравнения для последовательного определения $G_{n}$ и $H_{n}$. Первые два члена определяются с помощью уравнений
\[
\begin{array}{c}
G_{0}^{2}+p_{0} G_{0}+q_{0}=0 \\
2 G_{0} G_{1}+p_{0} G_{1}+p_{1} G_{0}+q_{1}+G_{0}^{\prime}=0 \\
\left(G_{0}+p_{0}+i \omega\right) H_{0}=r_{0}, \\
\left(G_{0}+p_{0}+i \omega\right) H_{1}+\left(G_{1}+p_{1}\right) H_{0}+H_{0}^{\prime}=r_{1} .
\end{array}
\]

Из уравнения (7.1.95) видно, что $G_{0}=\lambda_{1}$ либо $\lambda_{2}$. Мы примем $G_{0}=\lambda_{1}$, потому что по предположению $\lambda_{1}$ становится равным $i \omega$ в одной или более точках. Из уравнения (7.1.96) получаем
\[
G_{1}=-\frac{p_{1} G_{0}+G_{0}^{\prime}+q_{1}}{2 G_{0}+\rho_{0}} .
\]

Решения уравнений (7.1.97) и (7.1.98) имеют вид
\[
H_{0}=\frac{r_{0}}{\left(G_{0}+p_{0}+i \omega\right)}, \quad H_{1}=\frac{r_{1}-\left(G_{1}+p_{1}\right) H_{0}-H_{0}^{\prime}}{G_{0}+p_{0}+i \omega} .
\]

Тогда общим решением уравнения (7.1.81) будет функция
\[
y=A(\xi, \varepsilon) e^{\theta_{1}}+B(\xi, \varepsilon) e^{\theta_{2}}+\eta(x, \varepsilon) e^{i \varphi},
\]

где $A$ и $B$ определены в п. 7.1.6.
Частное решение уравнения (7.1.80) можно получить с помощью следующей методики, отличной от методики, использованной в п. 7.1.6. Будем предполагать, что существует решение

вида
\[
y_{c}=\zeta(x, \varepsilon), \quad \frac{d \zeta}{d x}=F(\xi, \varepsilon) \zeta .
\]

Подставив (7.1.102) в однородную часть уравнения (7.1.80), получим
\[
F^{2}+p F+q+\varepsilon F^{\prime}=0
\]

Положив в (7.1.103)
\[
F=\sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{n} F_{n}(\xi)
\]

и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим уравнения для определения $F_{n}$. Первые два из этих уравнений имеют вид
\[
\begin{array}{c}
F_{0}^{2}+p_{0} F_{0}+q_{0}=0, \\
2 F_{0} F_{1}+p_{0} F_{1}+p_{1} F_{0}+q_{1}+F_{0}^{\prime}=0 .
\end{array}
\]

Так же как и уравнение (7.1.64), уравнение (7.1.105) имеет два корня $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$. Тогда уравнение (7.1.106) дает
\[
F_{1}=-\frac{p_{1} \lambda_{i}+q_{1}+\lambda_{i}^{\prime}}{2 \lambda_{i}+p_{0}}
\]

Следовательно,
\[
\frac{d \zeta}{d x}=\left[\lambda_{i}-\varepsilon \frac{p_{1} \lambda_{i}+q_{1}+\lambda_{i}^{\prime}}{2 \lambda_{i}+p_{0}}+O\left(\varepsilon^{2}\right)\right] \zeta .
\]

Интегрируя (7.1.108), замечаем, что $y_{c}$ имеет тот же вид, что и решение, полученное в п. 7.1.6. Предлагаемый метод разложения совпадает с тем, который определяется соотношением (7.1.38).

7.1.9. Последовательные приближения Лиувилля – Грина (ВКБ-приближения)
Для получения высших приближений к решению уравнения
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+k^{2}(\varepsilon x) y=0
\]

при малых $\varepsilon$ Имаи [1948] предложил использовать последовательные преобразования Лиувилля – Грина (ВКБ-преобразования). Итак, введем в рассмотрение преобразование
\[
d x_{1}=k(\varepsilon x) d x, \quad y_{1}=[k(\varepsilon x)]^{1 / 2} y(x),
\]

которое преобразует уравнение (7.1.109) к виду
\[
\frac{d^{2} y_{1}}{d x_{1}^{2}}+k_{1}^{2} y_{1}=0
\]

где
\[
k_{1}^{2}=1-\frac{1}{2 k^{3}} \frac{d^{2} k}{d x^{2}}+\frac{3}{4 k^{4}}\left(\frac{d k}{d x}\right)^{2} .
\]

Поскольку $k$ меняется медленно при изменении $x$, то можно считать, что $k_{1}^{2} \approx 1$. Тогда приближенное решение уравнения (7.1.111) имеет вид
\[
y_{1}=a \cos x_{1}+b \sin x_{1},
\]

где $a$ и $b$-постоянные. Следовательно, первым приближением к решению уравнения (7.1.109) является функция
\[
y=\frac{a \cos \int k d x+b \sin \int k d x}{k^{1 / 2}} .
\]

Для нахождения второго приближения к $y$ заметим, что уравнение (7.1.111) имеет вид (7.1.109). Тогда уточненное решение уравнения (7.1.111) можно получить, рассмотрев преобразования
\[
\begin{aligned}
d x_{2} & =k_{1} d x_{1} \approx\left[1-\frac{1}{4 k^{3}} \frac{d^{2} k}{d x^{2}}+\frac{3}{8 k^{4}}\left(\frac{d k}{d x}\right)^{2}\right] k d x, \\
y_{2} & =y_{1} \sqrt{k_{1}} \approx y_{1}\left[1-\frac{1}{8 k^{3}} \frac{d^{2} k}{d x^{2}}+\frac{3}{16 k^{4}}\left(\frac{d k}{d x}\right)^{2}\right] .
\end{aligned}
\]

Уравнение (7.1.111) при этом приведется к виду
\[
\frac{d^{2} y_{2}}{d x_{2}^{2}}+k_{2}^{2} y_{2}=0,
\]

где
\[
k_{2}^{2}=1-\frac{1}{2 k_{1}^{3}} \frac{d^{2} k_{1}}{d x_{1}^{2}}+\frac{3}{4 k_{1}^{4}}\left(\frac{d k_{1}}{d x_{1}}\right)^{2} .
\]

Поскольку $d k_{1} / d x_{1}=k^{-1}\left(d k_{1} / d x\right)=O(\varepsilon)$, то последние два члена в (7.1.118) малы по сравнению с 1 , и, следовательно, первое приближение к $y_{2}$ имеет вид
\[
y_{2}=a \cos x_{2}+b \sin x_{2} .
\]

Поэтому второе приближение к $y$ задается равенством
\[
y=\frac{1+\frac{1}{8 k^{3}} \frac{d^{2} k}{d x^{2}}-\frac{3}{16 k^{4}}\left(\frac{d k}{d x}\right)^{2}}{k^{1 / 2}}\left(a \cos x_{2}+b \sin x_{2}\right),
\]

где
\[
x_{2}=\int\left[1-\frac{1}{4 k^{3}} \frac{d^{2} k}{d x^{2}}+\frac{3}{8 k^{4}}\left(\frac{d k}{d x}\right)^{2}\right] k d x .
\]

Аналогичным образом могут быть получены высшие приближения введением новых преобразований вида
\[
d x_{n+1}=k_{n} d x_{n}, \quad y_{n+1}=\sqrt{k_{n}} y_{n} .
\]