Вторым примером, к которому мы применим метод разложения производной, является уравнение Дюффинга
\[
\frac{d^{2} u}{d t^{2}}+\omega_{0}^{2} u+\varepsilon u^{3}=0
\]

Предположим, что имеет место разложение вида
\[
u=\sum_{n=0}^{2} \varepsilon^{n} u_{n}\left(T_{0}, T_{1}, T_{2}\right)+O\left(\varepsilon^{3}\right)
\]

тогда
\[
\frac{d}{d t}=D_{0}+\varepsilon D_{1}+\varepsilon^{2} D_{2}+\ldots, \quad D_{n}=\frac{\partial}{\partial T_{n}} .
\]

Подставив (6.2.2) и (6.2.3) в (6.2.1) и приравняв нулю коэффициенты при каждой степени $\varepsilon$, получим
\[
\begin{array}{l}
D_{0}^{2} u_{0}+\omega_{0}^{2} u_{0}=0, \\
D_{0}^{2} u_{1}+\omega_{0}^{2} u_{1}=-2 D_{0} D_{1} u_{0}-u_{0}^{3}, \\
D_{0}^{2} u_{2}+\omega_{0}^{2} u_{2}=-2 D_{0} D_{1} u_{1}-2 D_{0} D_{2} u_{0}-D_{1}^{2} u_{0}-3 u_{0}^{2} u_{1} .
\end{array}
\]

Решение уравнения (6.2.4) имеет вид
\[
u_{0}=A\left(T_{1}, T_{2}\right) e^{i \omega_{0} T_{0}}+\bar{A}\left(T_{1}, T_{2}\right) e^{-i \omega_{0} T_{0}} .
\]
$\mathrm{C}$ его учетом уравнение (6.2.5) примет вид
\[
D_{0}^{2} u_{1}+\omega_{0}^{2} u_{1}=-\left[2 i \omega_{0} D_{1} A+3 A^{2} \bar{A}\right] e^{i \omega_{0} T_{0}}-A^{3} e^{3 i \omega_{0} T_{0}}+C C .
\]

Для того чтобы отношение $u_{1} / u_{0}$ было ограниченным при любом $T_{0}$, следует исключить слагаемые, порождающие вековые члены. Положив
\[
2 i \omega_{0} D_{1} A+3 A^{2} \bar{A}=0,
\]

получим для $u_{1}$ следующее решение:
\[
u_{1}=B\left(T_{1}, T_{2}\right) e^{i \omega_{0} T_{0}}+\frac{A^{3}}{8 \omega_{0}^{2}} e^{3 i \omega_{0} T_{0}}+C C .
\]

Обращаясь к решению уравнения (6.2.9), положим $A=(1 / 2) a e^{i \varphi}$, где $a$ и $\varphi$-действительные величины, и выделим в нем действительную и мнимую части. Получим
\[
\frac{\partial a}{\partial T_{1}}=0, \quad-\omega_{0} \frac{\partial \varphi}{\partial T_{1}}+\frac{3}{8} a^{2}=0 .
\]

Следовательно, имеем
\[
a=a\left(T_{2}\right), \quad \varphi=\frac{3}{8 \omega_{0}} a^{2} T_{1}+\varphi_{0}\left(T_{2}\right) .
\]

Подставив $u_{0}$ и $u_{1}$ в (6.2.6), получим
\[
\begin{aligned}
D_{0}^{2} u_{2}+\omega_{0}^{2} u_{2}= & -\frac{3}{8 \omega_{0}^{2}} A^{5} e^{5 i \omega_{0} T_{0}}+\left[\frac{21}{8 \omega_{0}^{2}} A^{4} \bar{A}-3 B A^{2}\right] e^{3 i \omega_{0} T_{0}}- \\
& -Q\left(T_{1}, T_{2}\right) e^{i \omega_{0} T_{0}}+C C,
\end{aligned}
\]

где принято обозначение
\[
Q=2 i \omega_{0} D_{1} B+3 A^{2} \bar{B}+6 A \bar{A} B+2 i \omega_{0} D_{2} A-\frac{15 A^{3} \bar{A}^{2}}{8 \omega_{0}^{2}} .
\]

Вековые члены будут исключены при выполнении условий
\[
\begin{aligned}
B & =0, \\
2 i \omega_{0} D_{2} A & =\frac{15 A^{3} \bar{A}^{2}}{8 \omega_{0}^{2}},
\end{aligned}
\]
т. е. при $Q=0$. Для $u_{2}$ получим решение вида
\[
u_{2}=\frac{A^{5}}{64 \omega_{0}^{4}} e^{5 i \omega_{0} T_{0}}-\frac{21 A^{4} \bar{A}}{64 \omega_{0}^{4}} e^{3 i \omega_{0} T_{0}}+C C,
\]

в котором не учтено решение однородного уравнения. Полагая в (6.2.16) $A=(1 / 2) a e^{i \varphi}$ и отделяя действительную и мнимую части, получим
\[
\frac{\partial a}{\partial T_{2}}=0, \quad-\omega_{0} \frac{\partial \varphi_{0}}{\partial T_{2}}=\frac{15}{256 \omega_{0}^{2}} a^{4} .
\]

Из равенств (6.2.12) и (6.2.18) следует, что $a$-постоянная. Следовательно, имеем
\[
\varphi_{0}=-\frac{15}{256 \omega_{0}^{3}} a^{4} T_{2}+\chi,
\]

где $\chi$-постоянная. Поэтому
\[
\varphi=\frac{3}{8 \omega_{0}} a^{2} T_{1}-\frac{15}{256 \omega_{0}^{3}} a^{4} T_{2}+\chi .
\]

Подставляя выражения для $u_{0}, u_{1}$ и $u_{2}$ в (6.2.2), вспоминая равенство $A=(1 / 2) a \exp (i \varphi)$ и выражая результат через переменную $t$, получим
\[
\begin{aligned}
u= & a \cos (\omega t+\chi)+\frac{\varepsilon a^{3}}{32 \omega_{0}^{2}}\left(1-\varepsilon \frac{21 a^{2}}{32 \omega_{0}^{2}}\right) \cos 3(\omega t+\chi)+ \\
& +\frac{\varepsilon^{2} a^{5}}{1024 \omega_{0}^{4}} \cos 5(\omega t+\chi)+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\end{aligned}
\]

где принято обозначение
\[
\omega=\omega_{0}+\frac{3 a^{2}}{8 \omega_{0}} \varepsilon-\frac{15 a^{4}}{256 \omega_{\mathrm{r}}^{3}} \varepsilon^{2}+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

В последних двух членах в (6.2.20a) величина $\omega_{0}$ заменена на $\omega$ с ошибкой порядка $O\left(\varepsilon^{3}\right)$.
6.2.2. Осциллятор Ван-дер-Поля

В качестве второго примера рассмотрим осциллятор Ван-дерПоля
\[
\frac{d^{2} u}{d t^{2}}+u=\varepsilon\left(1-u^{2}\right) \frac{d u}{d t} .
\]

Подставив (6.2.2) и (6.2.3) в (6.2.21) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим
\[
\begin{aligned}
D_{0}^{2} u_{0}+u_{0}= & 0 \\
D_{0}^{2} u_{1}+u_{1}= & -2 D_{0} D_{1} u_{0}+\left(1-u_{0}^{2}\right) D_{0} u_{0} \\
D_{0}^{2} u_{2}+u_{2}= & -2 D_{0} D_{1} u_{1}-D_{1}^{2} u_{0}-2 D_{0} D_{2} u_{0}+ \\
& +\left(1-u_{0}^{2}\right) D_{0} u_{1}+\left(1-u_{0}^{2}\right) D_{1} u_{0}-2 u_{0} u_{1} D_{0} u_{0} .
\end{aligned}
\]

Решение уравнения (6.2.22) имеет вид
\[
u_{0}=A\left(T_{1}, T_{2}\right) e^{i T_{0}}+\bar{A}\left(T_{1}, T_{2}\right) e^{-i T_{0}} .
\]

Подстановка $u_{0}$ в (6.2.23) дает
\[
D_{0}^{2} u_{1}+u_{1}=-i\left(2 D_{1} A-A+A^{2} \bar{A}\right) e^{i T_{0}}-i A^{3} e^{3 i T_{0}}+C C .
\]

Чтобы исключить слагаемые, которые порождают вековые члены, потребуем обращения в нуль коэффициентов при $\exp \left( \pm i T_{0}\right)$ :
\[
2 D_{1} A=A-A^{2} \bar{A} .
\]

Тогда решением уравнения (6.2.26) будет функция
\[
u_{1}=B\left(T_{1}, T_{2}\right) e^{i T_{0}}+\frac{1}{8} i A^{3} e^{3 t T_{0}}+C C .
\]

Чтобы решить уравнение (6.2.27), положим
\[
A=\frac{1}{2} a\left(T_{1}, T_{2}\right) \exp i \varphi\left(T_{1}, T_{2}\right) .
\]

Выделяя в (6.2.27) действительную и мнимую части, получим
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial T_{1}}=0, \quad \frac{\partial a}{\partial T_{1}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{4} a^{2}\right) a .
\]

Следовательно, имеем
\[
\varphi=\varphi\left(T_{2}\right), \quad a^{2}=\frac{4}{1+c\left(T_{2}\right) e^{-T_{1}}} .
\]

Если нас интересует первое приближение к $u$, то мы должны считать $B, \varphi$ и $c$ постоянными. Если, кроме того, положить $u(0)=a_{0}$ и $d u(0) / d t=0$, то имеем
\[
u=a \cos t+O(\varepsilon)
\]

где принято обозначение
\[
a^{2}=\frac{4}{1+\left(\frac{4}{a_{0}^{2}}-1\right) e^{-\varepsilon t}} .
\]

Найденный результат согласуется с разложением, полученным в п. 5.4.2 с помощью методики Крылова-Боголюбова-Митропольского.

Для нахождения второго приближения нужно определить функции $B, \varphi$ и с. Подставим с этой целью выражения для $u_{0}$ и $u_{1}$ в (6.2.24) и получим уравнение
\[
D_{0}^{2} u_{2}+u_{2}=Q\left(T_{1}, T_{2}\right) e^{i T_{n}}+\bar{Q}\left(T_{1}, T_{2}\right) e^{-i T_{0}}+N S T,
\]

в котором принято обозначение
\[
\begin{array}{r}
Q=-2 i D_{1} B+i(1-2 A \bar{A}) B-i A^{2} \bar{B}-2 i D_{2} A-D_{1}^{2} A+ \\
+(1-2 A \bar{A}) D_{1} A-A^{2} D_{1} \bar{A}+\frac{1}{8} A^{3} \overline{A^{2}},
\end{array}
\]

а через NST обозначены слагаемые, не порождающие вековых членов. Вековые члены будут исключены при условии $Q=0$. Чтобы решить уравнение (6.2.34б) при $Q=0$, положим $B=$ $=(1 / 2) i b \exp i \varphi$, где $b$-действительное число, а $\varphi$ определено в (6.2.29). Подставив $A$ и $B$ в (6.2.34б) при $Q=0$ и выделив действительную и мнимую части, получим
\[
2 \frac{\partial b}{\partial T_{1}}-\left(1-\frac{1}{4} a^{2}\right) b=-2 a \frac{d \varphi}{d T_{2}}+\frac{d^{2} a}{d T_{1}^{2}}-\left(1-\frac{3}{4} a^{2}\right) \frac{d a}{d T_{1}}-\frac{1}{128} a^{5} .
\]

С помощью соотношений (6.2.30) уравнение (6.2.35б) можно пе. реписать в виде
\[
2 \frac{\partial b}{\partial T_{1}}-\frac{2}{a} \frac{d a}{d T_{1}} b=-2 a\left(\frac{d \varphi}{d T_{2}}+\frac{1}{16}\right)+\left(\frac{7}{16} a^{2}-\frac{1}{4}\right) \frac{d a}{d T_{1}} .
\]

Имеем, таким образом,
\[
d\left(\frac{b}{a}\right)=-\left(\frac{d \varphi}{d T_{2}}+\frac{1}{16}\right) d T_{1}+\left(\frac{7}{32} a-\frac{1}{8 a}\right) d a .
\]

Интегрируя, получаем
\[
b=-a\left(\frac{d \varphi}{d T_{2}}+\frac{1}{16}\right) T_{1}+\frac{7}{64} a^{3}-\frac{1}{8} a \ln a+a b_{0}\left(T_{2}\right) .
\]

Чтобы отношение $u_{1} / u_{0}$ было ограниченным при всех $T_{1}$, коэффициент при $T_{1}$ в приведенном выше выражении для $b$ должен обратиться в нуль. Из этого условия имеем
\[
\varphi=-\frac{1}{16} T_{2}+\varphi_{0},
\]

где $\varphi_{0}$-постоянная. Тогда разложение $u$ во втором приближении запишется в виде
\[
\begin{aligned}
u & =a \cos \left[\left(1-\frac{1}{16} \varepsilon^{2}\right) t+\varphi_{0}\right]- \\
& -\varepsilon\left\{\left(\frac{7}{64} a^{3}-\frac{1}{8} a \ln a+a b_{0}\right) \sin \left[\left(1-\frac{1}{16} \varepsilon^{2}\right) t+\varphi_{0}\right]+\right. \\
& \left.+\frac{1}{32} a^{3} \sin 3\left[\left(1-\frac{1}{16} \varepsilon^{2}\right) t+\varphi_{0}\right]\right\}+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\end{aligned}
\]

где $a$ определено соотношением (6.2.33), а $b_{0}$-постоянная с точностью того же порядка, что и указанная ошибка. С ошибкой порядка $O\left(\varepsilon^{2}\right)$ это выражение можно переписать в виде
\[
u=a \cos (t-\theta)-\frac{1}{32} \varepsilon a^{3} \sin 3(t-\theta)+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\]

где принято
\[
\theta=\frac{1}{16} \varepsilon^{2} t+\frac{1}{8} \varepsilon \ln a-\frac{7}{64} \varepsilon a^{2}+\theta_{0},
\]

а $\theta_{0}=-\varphi_{0}-\varepsilon b_{0}-$ постоянная. Последняя форма решения полностью согласуется с решением, полученным в п. 5.4.2 с помощью метода Крылова – Боголюбова – Митропольского.

6.2.3. Вынужденные колебания осциллятора Ван-дер-Поля

Рассмотрим отклик на внешнюю периодическую силу осциллятора Ван-дер-Поля, изученного в предыдущем пункте, т. е. рассмотрим колебания, описываемые уравнением
\[
\frac{d^{2} u}{d t^{2}}+\omega_{0}^{2} u=\varepsilon\left(1-u^{2}\right) \frac{d u}{d t}+K \cos \lambda t,
\]

где $K$ и $\lambda$-действительные постоянные. Следует различать четыре случая в зависимости от того, является ли возбуждение (внешняя сила) „мягким“ (т. е. $K=O(\varepsilon)$ ) или „жестким“ (т. е. $K=O(1))$ и является ли возбуждение резонансным [т. е. $\lambda-\omega_{0}=$ $=O(\varepsilon)]$ или нерезонансным (т. е. $\lambda-\omega_{0}=O(1)$ ).

Мягкое нерезонансное возбуждение. В этом случае имеем $K=\varepsilon k$, где $k=O(1)$, и $\cos \lambda t$ можно выразить в виде $\cos \lambda T_{0}$. Для нахождения первого приближения к $и$ положим
\[
u=u_{0}\left(T_{0}, T_{1}\right)+\varepsilon u_{1}\left(T_{0}, T_{1}\right)+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\]

причем $T_{0}=t$ и $T_{1}=\varepsilon t$. Подставив (6.2.41) в (6.2.40) и приравняв коэффициенты при $\varepsilon^{0}$ и $\varepsilon$ в обеих частях, получим
\[
\begin{array}{c}
D_{0}^{2} u_{0}+\omega_{0}^{2} u_{0}=0, \\
D_{0}^{2} u_{\mathrm{t}}+\omega_{0}^{2} u_{1}=-2 D_{0} D_{1} u_{0}+\left(1-u_{0}^{2}\right) D_{0} u_{0}+k \cos \lambda T_{0} .
\end{array}
\]

Решение уравнения (6.2.42) имеет вид
\[
u_{0}=A\left(T_{1}\right) e^{i \omega_{0} T_{0}}+\bar{A}\left(T_{1}\right) e^{-i \omega_{0} T_{0}} .
\]

Подстановка $u_{0}$ в (6.2.43) дает
\[
\begin{aligned}
D_{0}^{2} u_{1}+\omega_{0}^{2} u_{1}=i \omega_{0}\left(-2 A^{\prime}+A\right. & \left.-A^{2} \bar{A}\right) e^{i \omega_{0} T_{0}}+ \\
& +\frac{1}{2} k e^{i \lambda T_{0}}-i \omega_{0} A^{3} e^{3 i \omega_{0} T_{0}}+C C .
\end{aligned}
\]

Чтобы не было вековых членов, потребуем выполнения условия
\[
2 A^{\prime}=A-A^{2} \bar{A} \text {. }
\]

Здесь штрих означает дифференцирование по $T_{1}$. Тогда решением уравнения (6.2.45) будет функция
\[
u_{1}=B\left(T_{1}\right) e^{i \omega_{0} T_{0}}+\frac{1}{2} \frac{k}{\omega_{0}^{2}-\lambda^{2}} e^{i \lambda T_{0}}+\frac{i A^{3}}{8 \omega_{0}} e^{3 i \omega_{0} T_{0}}+C C .
\]

Положив в (6.2.46) $A=(1 / 2) a \exp i \varphi$, выделив действительную и мнимую части и решив полученные уравнения, можно установить, что $\varphi$-постоянная, в то время как $a$ определяется равенством (6.2.33).

Имеем поэтому в первом приближении
\[
u=a \cos \omega_{0} t+O(\varepsilon),
\]

где $a$ определено в (6.2.33).
Из равенств (6.2.33) и (6.2.48) видно, что наличие мягкого нерезонансного возбуждения не влияет в первом приближении ни на фазу, ни на амплитуду. Более того, поскольку вынуждающая функция мягкая, то собственные колебания системы (соответствующие случаю $k=0$ ) преобладают над вынужденными колебаниями, как и следовало ожидать. Однако при приближении вынуждающей частоты $\lambda$ к собственной частоте $\omega_{0}$ вынужденные колебания становятся более значительными и стремятся к бесконечности, как это можно видеть из (6.2.47). Приведенное выше разложение при этом становится непригодным.

Жесткое нерезонансное возб уждение. В этом случае $K=O(1)$, а уравнения (6.2.42) и (6.2.43) преобразуются к виду
\[
\begin{array}{c}
D_{0}^{2} u_{0}+\omega_{0}^{2} u_{0}=K \cos \lambda T_{0}, \\
D_{0}^{2} u_{1}+\omega_{0}^{2} u_{1}=-2 D_{0} D_{1} u_{0}+\left(1-u_{0}^{2}\right) D_{0} u_{0} .
\end{array}
\]

Решение уравнения (6.2.49) имеет вид
\[
u_{0}=A\left(T_{1}\right) e^{i \omega_{0} T_{0}}+\bar{A}\left(T_{1}\right) e^{-i \omega_{0} T_{0}}+\frac{K}{\omega_{0}^{2}-\lambda^{2}} \cos \lambda T_{0} .
\]

Подстановка $u_{0}$ в (6.2.50) дает
\[
D_{0}^{2} u_{1}+\omega_{0}^{2} u_{1}=i \omega_{0}\left[-2 A^{\prime}+A \eta-A^{2} \bar{A}\right] e^{i \omega_{0} T_{0}}+C C+N S T,
\]

где $\eta=1-K^{2} / 2\left(\omega_{0}^{2}-\lambda^{2}\right)^{2}$. Чтобы исключить вековые члены, потребуем выполнения условия
\[
2 A^{\prime}=A \eta-A^{2} \bar{A} .
\]

Чтобы решить уравнение (6.2.53), положим в нем $A=(1 / 2)$ а $\exp i \varphi$, выделим действительную и мнимую части. Получим, что $\varphi$-постоянная, и, кроме того, должно быть выполнено уравнение
\[
\frac{d a}{d T_{1}}=\frac{1}{2} a\left(\eta-\frac{1}{4} a^{2}\right) .
\]

Разделением переменных можно найти следующее решение уравнения (6.2.54):
\[
\ln a^{2}-\ln \left(\eta-\frac{1}{4} a^{2}\right)=\eta T_{1}+\text { const. }
\]

Если положить $u(0)=a_{0}+\left[K /\left(\omega_{0}^{2} \lambda^{2}\right)\right]$ и $d u(0) / d t=0$, то первое приближение к $и$ будет задаваться равенством
\[
u=a \cos \omega_{0} t+\frac{K}{\omega_{0}^{2}-\lambda^{2}} \cos \lambda t+O(\varepsilon),
\]

где принято обозначение
\[
a^{2}=\frac{4 \eta}{1+\left(\frac{4 \eta}{a_{0}^{2}}-1\right) p^{-\varepsilon \eta t}} .
\]

Стационарное решение (т. е. решение, получающееся при $t \rightarrow \infty$ ) зависит от знака $\eta$ (т. е. от того, больше ли $K^{2}$, чем $2\left(\omega_{0}^{2}-\lambda^{2}\right)^{2}$, или меньше). Для отрицательного $\eta$ имеем $\exp (-\varepsilon \eta t) \longrightarrow \infty$ при $t \rightarrow \infty$; следовательно, при $t \rightarrow \infty$ имеем $a \rightarrow 0$ и стационарное решение имеет вид
\[
u_{s}=\frac{K}{\omega_{0}^{2}-\lambda^{2}} \cos \lambda t+O(\varepsilon) .
\]

Однако для положительного $\eta$ при $t \rightarrow \infty$ имеем $\exp (-\varepsilon \eta t) \rightarrow 0$ и $a \rightarrow 2 V \eta$. Стационарное решение соответственно имеет вид
\[
u_{s}=2 \sqrt{\eta} \cos \omega_{0} t+\frac{K}{\omega_{0}^{2}-\lambda^{2}} \cos \lambda t+O(\varepsilon) .
\]

Поэтому при отрицательном $\eta$ собственные колебания системы затухают и стационарное решение состоит только из вынужденных колебаний. Однако при положительном $\eta$ стационарное решение образовано сочетанием собственных и вынужденных колебаний, причем наличие жесткого возбуждения изменяет амплитуду собственных колебаний.

Мягкое резонансное возбуждение. В этом случае имеем $K=\varepsilon k$, $k=O(1)$ и $\lambda-\omega_{0}=\sigma \varepsilon$, причем расстройка $\sigma=O(1)$. Чтобы в рассматриваемом случае получить пригодное асимптотическое разложение, выразим функцию возбуждения через $T_{0}$ и $T_{1}$ в соответствии с равенством
\[
K \cos \lambda t=\varepsilon k \cos \left(\omega_{0} t+\sigma \varepsilon t\right)=\varepsilon k \cos \left(\omega_{0} T_{0}+\sigma T_{1}\right) .
\]

Для функции возбуждения такого вида величины $u_{0}$ и $u_{1}$ из (6.2.41) будут удовлетворять уравнениям
\[
\begin{array}{c}
D_{0}^{2} u_{0}+\omega_{0}^{2} u_{0}=0, \\
D_{0}^{2} u_{1}+\omega_{0}^{2} u_{1}=-2 D_{0} D_{1} u_{0}+\left(1-u_{0}^{2}\right) D_{0} u_{0}+k \cos \left(\omega_{0} T_{0}+\sigma T_{1}\right) .
\end{array}
\]

Общее решение уравнения (6.2.60) имеет вид
\[
u_{0}=A\left(T_{1}\right) e^{i \omega_{0} T_{0}}+\bar{A}\left(T_{1}\right) e^{-i \omega_{0} T_{0}} .
\]

Уравнение (6.2.61), следовательно, примет вид
\[
\begin{array}{r}
D_{0}^{2} u_{1}+\omega_{0}^{2} u_{1}=\left[i \omega_{0}\left(-2 A^{\prime}+A-A^{2} \bar{A}\right)+\frac{1}{2} k e^{i \sigma T_{1}}\right] e^{i \omega_{0} T_{0}}- \\
-i \omega_{0} A^{3} e^{3\left(\omega_{0} T_{0}\right.}+C C .
\end{array}
\]

Поскольку выражение в квадратных скобках в (6.2.63) зависит только от $T_{1}$, то слагаемые, пропорциональные $\exp \left( \pm i \omega_{0} T_{0}\right)$, порождают вековые члены относительно масштаба времени $T_{0}$. Чтобы отношение $u_{1} / u_{0}$ было ограниченным при всех $T_{0}$, следует потребовать
\[
2 A^{\prime}=A-A^{2} \bar{A}-\frac{1}{2 \omega_{0}} i k e^{i \sigma T_{1}} .
\]

Для решения уравнения (6.2.64) положим в нем $A=(1 / 2) a \exp i \varphi$ и, выделив действительную и мнимую части, получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{d a}{d T_{1}}=\frac{1}{2} a\left(1-\frac{1}{4} a^{2}\right)+\frac{k}{2 \omega_{0}} \sin \left(\sigma T_{1}-\varphi\right), \\
\frac{d \varphi}{d T_{1}}=-\frac{k}{2 \omega_{0} a} \cos \left(\sigma T_{1}-\varphi\right) .
\end{array}
\]

Желая исключить в правых частях (6.2.65) и (6.2.66) явную зависимость от времени, положим
\[
\psi=\sigma T_{1}-\varphi \quad \text { или } \quad \frac{d \psi}{d T_{1}}=\sigma-\frac{d \varphi}{d T_{1}} .
\]

Уравнения (6.2.65) и (6.2.66), следовательно, примут вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d a}{d T_{1}}=\frac{1}{2} a\left(1-\frac{1}{4} a^{2}\right)+\frac{k}{2 \omega_{0}} \sin \psi, \\
\frac{d \psi}{d T_{1}}=\sigma+\frac{k}{2 \omega_{0} a} \cos \psi .
\end{array}
\]

Периодические решения возбуждаемого внешними силами осциллятора (6.2.40) соответствуют стационарным решениям уравнений $(6.2 .68)$ и (6.2.69), т. е. соответствуют равенствам $d a / d T_{1}=$ $=d \psi / d T_{1}=0$, или иначе
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \tilde{a}\left(1-\frac{1}{4} \tilde{a}^{2}\right)+\frac{k}{2 \omega_{0}} \sin \tilde{\psi} & =0, \\
\sigma+\frac{k}{2 \omega_{v} \tilde{a}} \cos \tilde{\psi} & =0 .
\end{aligned}
\]

Величины, помеченные волной, относятся здесь к стационарному решению. Исключив из этих уравнений $\tilde{\psi}$, получим следующее уравнение для частотной характеристики:
\[
\rho(1-\rho)^{2}+4 \sigma^{2} \rho=\frac{k^{2}}{4 \omega_{0}^{2}}=F^{2}, \quad \rho=\frac{\tilde{a}^{2}}{4} .
\]

Для заданных амплитуды $\varepsilon k$ и частоты $\lambda=\omega_{0}+\varepsilon \sigma$ возбуждения соотношение (6.2.72) определяет значение $\rho$ и, следовательно, амплитуду гармонических колебаний. В первом приближении гармоническое колебание задается равенством
\[
u=\tilde{a} \cos \left(\omega_{0} t+\tilde{\varphi}\right)+O(\varepsilon)
\]

причем частота колебаний равна
\[
\omega=\frac{d}{d t}\left(\omega_{0} t+\tilde{\varphi}\right)=\omega_{0}+\frac{d \tilde{\varphi}}{d t}=\omega_{0}+\varepsilon \sigma=\lambda .
\]

Следовательно, при приближении $\lambda$ к $\omega_{0}$ собственные колебания совпадают с вынужденными. В результате выходной сигнал синхронизируется с частотой возбуждения.

Для исследования устойчивости этих гармонических колебаний положим
\[
a=\tilde{a}+\Delta a, \quad \psi=\tilde{\psi}+\Delta \psi .
\]

Разлагая правые части уравнений (6.2.68) и (6.2.69) по степеням $\Delta a$ и $\Delta \psi$ и сохраняя только линейные члены, получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{d(\Delta a)}{d T_{1}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{3}{4} \tilde{a}^{2}\right) \Delta a+\frac{k}{2 \omega_{0}} \cos \tilde{\psi} \Delta \psi, \\
\frac{d(\Delta \psi)}{d T_{1}}=-\frac{k}{2 \omega_{0} \tilde{a}^{2}} \cos \tilde{\psi} \Delta a-\frac{k}{2 \omega_{0} \tilde{a}} \sin \tilde{\psi} \Delta \psi .
\end{array}
\]

Предположим, что $\Delta a$ и $\Delta \psi$ пропорциональны $\exp m T_{1}$. Тогда коэффициент $m$ должен удовлетворять уравнению
\[
m^{2}-\Omega m+\Delta=0,
\]

где приняты обозначения
\[
\Omega=1-2 \rho, \Delta=\frac{1}{4}\left(1-4 \rho+3 \rho^{2}\right)+\sigma^{2} .
\]

При выводе этих соотношений мы воспользовались уравнениями (6.2.70) и (6.2.71). Дискриминант уравнения (6.2.78) равен
\[
D=\rho^{2}-4 \sigma^{2} .
\]

Кривые, определяемые равенствами $\Omega=\Delta=D=0$, называются сепаратрисами и показаны на рис. 6.1. Кривая $\Delta=0$ представляет собой эллипс с центром в точке $\rho=2 / 3, \sigma=0$; геометрическим местом точек, удовлетворяющих уравнению $D=0$, являются две прямые линии $\rho= \pm 2 \sigma$. Точки, лежащие внутри эллипса, соответствуют наличию седловой точки; следовательно, соответствующие им гармонические колебания неустойчивы. Точки, лежащие вне эллипса, соответствуют наличию узла при $D \geqslant 0$ и наличию фокуса при $D<0$. Гармонические колебания, соответствующие этим точкам, будут устойчивыми или неустойчивымн в зависимости от того, больше ли $\rho$, чем $1 / 2$, или меньше.

Жесткое резонансное возбуждение. Данный случай может быть исследован как частный случай предыдущего, соответствующий $k=K / \varepsilon$, причем амплитуда возбуждения $K=O(1)$. Следовательно,

$k$-очень большая величина, поскольку $\varepsilon$ мало. Тогда из (6.2.72) следует, что для $\sigma$, близких к нулю, существует только одна амплитуда $\rho$ гармонических колебаний, и последние являются устойчивыми. При неограниченном увеличении $k$ амплитуда также растет неограниченно.

Рис. 6.1.

6.2.4. Параметрический резонанс – уравнение Матьё

Вернемся к уравнению Матьё, рассмотренному в п. 3.1.2, а именно к уравнению
\[
\ddot{u}+(\delta+\varepsilon \cos 2 t) u=0 .
\]

Согласно теории Флоке линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, плоскость параметров $\delta-\varepsilon$ разбивается переходными кривыми на области устойчивости и неустойчивости, причем на самих кривых решенне $u$ периодично с периодом $\pi$ или $2 \pi$. В п. 3.1.2 были определены приближения к переходным кривым с помощью метода Линдштедта – Пуанкаре. В данном пункте будут найдены не только переходные кривые, но также и решения и, следовательно, степень устойчивости или неустойчивости, как это было сделано в п. 3.1.3 с помощью метода Уиттекера. Чтобы выполнить это, положим при положительном $\omega_{0}$
\[
\delta=\omega_{0}^{2}
\]

и предположим, что
\[
u=u_{0}\left(T_{0}, T_{1}, T_{2}\right)+\varepsilon u_{1}\left(T_{0}, T_{1}, T_{2}\right)+\varepsilon^{2} u_{2}\left(T_{0}, T_{1}, T_{2}\right)+\ldots
\]

Следует различать случаи, когда значение $\omega_{0}$ близко к целому числу $n$ и когда оно далеко от целочисленных значений.

Решение для значений $\omega_{0}$, далеких от целого числа. Выразим $\cos 2 t$ через масштаб времени $T_{0}$ в виде $\cos 2 T_{0}$. Подставив (6.2.83) в (6.2.81) и приравняв нулю коэффициенты при $\varepsilon^{0}, \varepsilon$ и $\varepsilon^{2}$, получим
\[
\begin{array}{c}
D_{0}^{2} u_{0}+\omega_{0}^{2} u_{0}=0, \\
D_{0}^{2} u_{1}+\omega_{0}^{2} u_{1}=-2 D_{0} D_{1} u_{0}-u_{0} \cos 2 T_{0}, \\
D_{0}^{2} u_{2}+\omega_{0}^{2} u_{2}=-2 D_{0} D_{1} u_{1}-\left(D_{1}^{2}+2 D_{0} D_{2}\right) u_{0}-u_{1} \cos 2 T_{0} .
\end{array}
\]

Решение уравнения (6.2.84) имеет вид
\[
u_{v}=A\left(T_{1}, T_{2}\right) e^{i \omega_{0} T_{0}}+\bar{A}\left(T_{1}, T_{2}\right) e^{-i \omega_{0} T_{0}} .
\]

Подстановка $u_{0}$ в (6.2.85) дает
\[
D_{0}^{2} u_{1}+\omega_{0}^{2} u_{1}=-2 i \omega_{0} D_{1} A e^{i \omega_{0} T_{0}}-\frac{1}{2} A e^{i\left(\omega_{0}+2\right) T_{0}}-\frac{1}{2} A e^{i\left(\omega_{0}-2\right) T_{0}}+C C .
\]

Поскольку значение $\omega_{0}$ далеко от 1 , то вековые члены будут отсутствовать при условии $D_{1} A=0$, т. е. $A=A\left(T_{2}\right)$. Tогда решением для $u_{1}$ будет функция
\[
u_{1}=\frac{1}{8\left(\omega_{0}+1\right)} A e^{i\left(\omega_{0}+2\right) T_{0}}-\frac{1}{8\left(\omega_{0}-1\right)} A e^{i\left(\omega_{0}-2\right) T_{0}}+C C .
\]

Подстановка $u_{0}$ и $u_{1}$ в (6.2.86) дает
\[
\begin{aligned}
D_{0}^{2} u_{2}+\omega_{0}^{2} u_{2} & =-2\left[i \omega_{0} D_{2} A-\frac{A}{16\left(\omega_{0}^{2}-1\right)}\right] e^{i \omega_{0} T_{0}}- \\
& -\frac{1}{16\left(\omega_{0}+1\right)} A e^{l\left(\omega_{1}+4\right) T_{n}} \frac{1}{16\left(\omega_{0}-1\right)} A e^{i\left(\omega_{0}-4\right) T_{0}}+C C .
\end{aligned}
\]

Поскольку значение $\omega_{0}$ далеко от 1 и от 2 , то вековые члены будут исключены при условии
\[
D_{2} A=-\frac{i}{16 \omega_{0}\left(\omega_{0}^{2}-1\right)} A .
\]

Положив $A=(1 / 2) a \exp i \varphi$ и отде пив действительную и мнимую части, получим
\[
\frac{d a}{d T_{2}}=0, \quad \frac{d \varphi}{d T_{2}}=-\frac{1}{16 \omega_{0}\left(\omega_{0}^{2}-1\right)} .
\]

Отсюда имеем
\[
a=\text { const }, \quad \varphi=-\frac{1}{16 \omega_{0}\left(\omega_{0}^{2}-1\right)} T_{2}+\varphi_{0},
\]

где $\varphi_{0}$-постоянная. С учетом условия (6.2.91) решение уравнения (6.2.90) имеет вид
\[
u_{2}=\frac{1}{128\left(\omega_{0}+1\right)\left(\omega_{0}+2\right)} A e^{i\left(\omega_{0}+\Delta\right) T_{0}}+\frac{1}{128\left(\omega_{0}-1\right)\left(\omega_{0}-2\right)} A e^{i\left(\omega_{0}-4\right) T_{0}}+C C .
\]

Суммируя, получим решение для $u$ с точностью до членов порядка $O\left(\varepsilon^{2}\right)$ :
\[
\begin{aligned}
u & =a \cos \left(\omega t+\varphi_{0}\right)+ \\
& +\frac{\varepsilon a}{8}\left\{\frac{1}{\omega_{0}+1} \cos \left[(\omega+2) t+\varphi_{0}\right]-\frac{1}{\omega_{0}-1} \cos \left[(\omega-2) t+\varphi_{0}\right]\right\}+ \\
& +\frac{\varepsilon^{2} a}{128}\left\{\frac{1}{\left(\omega_{0}+1\right)\left(\omega_{0}+2\right)} \cos \left[(\omega+4) t+\varphi_{0}\right]+\right. \\
& \left.+\frac{1}{\left(\omega_{0}-1\right)\left(\omega_{0}-2\right)} \cos \left[(\omega-4) t+\varphi_{0}\right]\right\}+O\left(\varepsilon^{3}\right)
\end{aligned}
\]

где принято обозначение
\[
\omega=\omega_{0}-\frac{\varepsilon^{2}}{16 \omega_{0}\left(\omega_{0}^{2}-1\right)}+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\]

Вновь подчеркнем, что полученное разложение справедливо только при условии, что $\omega_{0}$ далеко от 1 и от 2 . При $\omega_{0} \rightarrow 1$ или 2 имеем $u \rightarrow \infty$. Разложение, справедливое в окрестности $\omega_{0}=1$, будет построено ниже.
Решение для значений $\omega_{0}$, близких к 1 . В этом случае полагаем
\[
\delta=1+\varepsilon \delta_{1}+\varepsilon^{2} \delta_{2}+\ldots,
\]

причем $\delta_{1}$ и $\delta_{2}=O(1)$. Равенство (6.2.97) преобразует уравнения $(6.2 .84)-(6.2 .86)$ к виду
\[
\begin{array}{c}
D_{0}^{2} u_{0}+u_{0}=0, \\
D_{0}^{2} u_{1}+u_{1}=-2 D_{0} D_{1} u_{0}-\delta_{1} u_{0}-u_{0} \cos 2 T_{0}, \\
\left.D_{0}^{2} u_{2}+u_{2}=-2 D_{0} D_{1} u_{1}-\left(D_{1}^{2}+2 D_{0} D_{2}\right) u_{0}-\delta_{1} u_{1}-\delta_{2} u_{0}-u_{1} \cos 2 T_{0} .98\right)
\end{array}
\]

Решением уравнения (6.2.98) является функция
\[
u_{0}=A\left(T_{1}, T_{2}\right) e^{i T_{0}}+\bar{A}\left(T_{1}, T_{2}\right) e^{-i T_{0}} .
\]

Подстановка $u_{0}$ в (6.2.99) дает
\[
D_{0}^{2} u_{1}+u_{1}=\left(-2 i D_{1} A-\delta_{1} A-\frac{1}{2} \bar{A}\right) e^{i T_{0}}-\frac{1}{2} A e^{3 i T_{0}}+C C \text {. }
\]

Вековые члены относительно масштаба времени $T_{0}$ будут исключены при условии
\[
D_{1} A=\frac{1}{2} i\left(\delta_{1} A+\frac{1}{2} \bar{A}\right) .
\]

Тогда решение уравнения (6.2.102) будет иметь вид
\[
u_{1}=\frac{1}{16}\left(A e^{3 i T_{0}}+\bar{A} e^{-3 i T_{0}}\right) .
\]

Чтобы решить уравнение (6.2.103), предположим, что
\[
A=A_{r}+i A_{i},
\]

где $A_{r}$ и $A_{i}$-действительные величины. Отделив действительную и мнимую части, получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial A_{r}}{\partial T_{1}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\delta_{1}\right) A_{i}, \\
\frac{\partial A_{i}}{\partial T_{\mathrm{t}}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\delta_{1}\right) A_{r} .
\end{array}
\]

Решениями этих уравнений будут функции
\[
\begin{array}{c}
A_{r}=a_{1}\left(T_{2}\right) e^{\gamma_{1} T_{1}}+a_{2}\left(T_{2}\right) e^{-\gamma_{1} T_{1}}, \\
A_{i}=\frac{2 \gamma_{1}}{\frac{1}{2}-\delta_{1}}\left[a_{1}\left(T_{2}\right) e^{\gamma_{1} T_{1}}-a_{2}\left(T_{2}\right) e^{-\gamma_{1} T_{1}}\right],
\end{array}
\]

где
\[
\gamma_{1}^{2}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}-\delta_{1}^{2}\right) .
\]

Здесь $a_{1}$ и $a_{2}$ – действительные функции масштаба времени $T_{2}$; в первом приближении, однако, $a_{1}$ и $a_{2}$-постоянные.

Из равенств $(6.2 .108)-(6.2 .110)$ видно, что $A$ экспоненциально растет вместе с $T_{1}$ (т. е. вместе с $t$ ), если $\gamma_{1}$-действительная величина, т. е. если выполнено $\left|\delta_{1}\right| \leqslant 1 / 2$. Если же $\gamma_{1}$-мнимая величина, т. е. выполнено $\left|\delta_{1}\right| \geqslant 1 / 2$, то $A$ осциллирует с ростом $T_{1}$ (в этом случае решение выражается через $\cos \gamma_{1} T_{1}$ и $\sin \gamma_{1} T_{1}$ ). Следовательно, границы (переходные кривые), которые отделяют область устойчивости от области неустойчивости и исходят из точки $\delta=1, \varepsilon=0$, задаются в первом приближении равенствами $\delta_{1}= \pm 1 / 2$, или
\[
\delta=1 \pm \frac{1}{2} \varepsilon+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

Чтобы определить второе приближение к $и$ и к переходным кривым, подставим $u_{0}$ и $u_{1}$ в уравнение (6.2.100) и перепишем его в виде
\[
D_{0}^{2} u_{2}+u_{2}=-\left[2 i D_{2} A+D_{1}^{2} A+\left(\delta_{2}+\frac{1}{32}\right) A\right] \epsilon^{i T_{0}}+C C+N S T \text {. }
\]

Чтобы не было вековых членов, нужно, чтобы выполнялось условие
\[
2 i D_{2} A+D_{1}^{2} A+\left(\delta_{2}+\frac{1}{32}\right) A=0
\]

Вспоминая, что $A=A_{r}+i A_{i}$, и отделяя в уравнении (6.2.113) де: гвительную и мнимую части, получим следующие уравнения для $A_{r}$ и $A_{i}$ :
\[
\begin{array}{c}
2 \frac{\partial A_{r}}{\partial T_{2}}+\alpha A_{i}=0, \\
-2 \frac{\partial A_{i}}{\partial T_{2}}+\alpha A_{r}=0,
\end{array}
\]

где
\[
\alpha=\gamma_{i}^{2}+\delta_{2}+\frac{1}{32} .
\]

Заменим $A_{r}$ и $A_{i}$ на выражения (6.2.108) и (6.2.109) и приравняем нулю коэффициенты при $\exp \left( \pm \gamma_{1} T_{1}\right)$, поскольку они явля. ются функциями $T_{2}$. Получим уравнения
\[
\begin{array}{l}
2 \frac{d a_{1}}{d T_{2}}+\frac{2 \gamma_{1}}{\frac{1}{2}-\delta_{1}} \alpha a_{1}=0, \quad-\frac{4 \gamma_{1}}{\frac{1}{2}-\delta_{1}} \frac{d a_{1}}{d T_{2}}+\alpha a_{1}=0, \\
2 \frac{d a_{2}}{d T_{2}}-\frac{2 \gamma_{1}}{\frac{1}{2}-\delta_{1}} \alpha a_{2}=0, \quad \frac{4 \gamma_{1}}{\frac{1}{2}-\delta_{1}} \frac{d a_{2}}{d T_{2}}+\alpha a_{2}=0 .
\end{array}
\]

Из этих уравнений следует
\[
\begin{array}{c}
\frac{d a_{1}}{d T_{2}}=\frac{d a_{2}}{d T_{2}}=0 \text { или } a_{1}=\text { const, } a_{2}=\text { const }, \\
\alpha=0 \text { или } \delta_{2}=-\gamma_{1}^{2}-\frac{1}{32} .
\end{array}
\]

Таким образом, решение во втором приближении задается соотношениями (3.1.57)-(3.1.62), которые были получены методом Уиттекера.

6.2.5. Осциллятор Ван-дер-Поля с запаздывающей амплитудой

В качестве следующего примера в отличие от предыдущих примеров второго порядка рассмотрим задачу третьего порядка. В безразмерном виде она задается уравнениями
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} v}{d t^{2}}+\omega_{0}^{2} v=2 \mu \frac{d}{d t}[(1-Z) v]+2 \frac{d 2}{d t}, \\
\tau \frac{d Z}{d t}+Z=v^{2} .
\end{array}
\]

Здесь $v$-напряжение, $t$-время, $e$-возбуждение, (о о $_{0}$ – собственная частота, $\tau$-время запаздывания, $Z$ – выход низкочастотного фильтра, $\mu$-характеристика усиления во вспомогательном контуре. Впервые этот осциллятор был изучен Гоулеем [1964] и затем Скоттом [1966] и Найфэ [1967b], [1968]. Здесь мы рассмотрим свободные колебания (т. е. примем $e \equiv 0$ ), отослав читателя, интересующегося случаем вынужденных колебаний, к Найфэ [1968].

Для нахождения первых приближений к решениям приведенных выше уравнений предположим, что
\[
\begin{array}{l}
v=v_{0}\left(T_{0}, T_{1}\right)+\mu v_{1}\left(T_{0}, T_{1}\right)+\ldots, \\
Z=Z_{0}\left(T_{0}, T_{1}\right)+\mu Z_{1}\left(T_{0}, T_{1}\right)+\ldots,
\end{array}
\]

причем
\[
T_{0}=t, \quad T_{1}=\mu t .
\]

Подставив (6.2.123)-(6.2.125) в уравнения (6.2.121) и (6.2.122) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\mu$, получим
\[
\begin{array}{c}
D_{0}^{2} v_{0}+\omega_{0}^{2} v_{0}=0, \\
\tau D_{0} Z_{0}+Z_{0}=v_{0}^{2}, \\
D_{0}^{2} v_{1}+\omega_{0}^{2} v_{1}=2 D_{0}\left[\left(1-Z_{0}\right) v_{0}-D_{1} v_{0}\right], \\
\tau D_{0} Z_{1}+Z_{1}=-\tau D_{1} Z_{0}+2 v_{0} v_{1} .
\end{array}
\]

Решение уравнения (6.2.126) имеет вид
\[
v_{0}=A\left(T_{1}\right) e^{i \omega_{0} T_{0}}+\bar{A}\left(T_{1}\right) e^{-i \omega_{0} T_{0}} .
\]

Подстановка $v_{0}$ в (6.2.127) дает
\[
\tau D_{0} Z_{0}+Z_{0}=A \bar{A}+A^{2} e^{2 i \omega_{0} T_{0}}+C C .
\]

Решением этого уравнения является функция
\[
Z_{0}=B\left(T_{1}\right) e^{-T_{0} / \tau}+2 A \bar{A}+\frac{A^{2} e^{2 i \omega_{0} T_{0}}}{1+2 i \omega_{0} \tau}+\frac{\bar{A}^{2} e^{-2 i \omega_{0} T_{0}}}{1-2 i \omega_{0} \tau} .
\]

Поскольку $v_{0}$ и $Z_{0}$ найдены, уравнение (6.2.128) можно записать в виде
\[
\begin{array}{r}
D_{0}^{2} v_{1}+\omega_{0}^{2} v_{1}=2 i \omega_{0} Q\left(T_{1}\right) e^{i \omega_{0} T_{0}}-2 A B\left(i \omega_{0}-\frac{1}{\tau}\right) e^{\left[i \omega_{\mathrm{n}}-(1 / \tau)\right] T_{0}}- \\
-6 i \omega_{0} \frac{A^{3} e^{3 i \omega_{0} T_{0}}}{1+2 i \omega_{\theta} \tau}+C C,
\end{array}
\]

где принято обозначение
\[
Q=A-2 A^{2} \bar{A}-\frac{A^{2} \bar{A}}{1+2 i \omega_{0} \tau}-D_{1} A .
\]

Вековые члены будут исключены при условии $Q=0$. Тогда решение для $v_{1}$ имеет вид
\[
v_{1}=2 A B \tau \frac{1-i \omega_{0} \tau}{1-2 i \omega_{0} \tau} e^{\left[i \omega_{0}-(1 / \tau)\right] T_{0}}+\frac{3 i}{4 \omega_{0}} \frac{A^{3} e^{3 i \omega_{0} T_{0}}}{1+2 i \omega_{0} \tau}+C C .
\]

Чтобы решить уравнение $Q=0$, положим в нем $A=(1 / 2) a e^{i \varphi}$, где $a$ и $\varphi$-действительные величины, и отделим действительную и мнимую части в (6.2.134). Получим уравнения
\[
\begin{array}{c}
\frac{d a}{d T_{1}}=a\left(1-\frac{1}{4} \alpha_{r} a^{2}\right), \\
\frac{d \varphi}{d T_{1}}=-\frac{1}{4} \alpha_{1} a^{2},
\end{array}
\]

где
\[
\alpha_{r}=\frac{3+8 \omega_{0}^{2} \tau^{2}}{1+4 \omega_{0}^{2} \tau^{2}}, \quad \alpha_{i}=-\frac{2 \omega_{0} \tau}{1+4 \omega_{0}^{2} \tau^{2}} .
\]

Решения уравнений (6.2.136) и (6.2.137) имеют вид
\[
\begin{array}{c}
a^{2}=\frac{4}{\alpha_{r}+\left(\frac{4}{a_{0}^{2}}-\alpha_{r}\right) e^{-2 \mu t}}, \\
\varphi=\frac{\tau \omega_{0}}{3+8 \omega_{0}^{2} \tau^{2}} \ln \left[\frac{4}{a_{0}^{2}}+\alpha_{r}\left(e^{2 \mu t}-1\right)\right]+\varphi_{0},
\end{array}
\]

где $a_{0}$ – начальная амплитуда, $\varphi_{0}$ – постоянная.
Для нахождения $B$ подставим выражения для $v_{0}, Z_{0}$ и $v_{1}$ в (6.2.129). Придем к уравнению
\[
\tau D_{0} Z_{1}+Z_{1}=\left[-\tau D_{1} B+8 \tau \frac{1+2 \omega_{0}^{2} \tau^{2}}{1+4 \omega_{0}^{2} \tau^{2}} A \overrightarrow{A B}\right] e^{-T_{0} / \tau}+N S T .
\]

Для того чтобы отношение $Z_{1} / Z_{0}$ было ограниченным для всех $T_{0}$, коэффициент при $\exp \left(-T_{0} / \tau\right)$ должен обратиться в нуль. С учетом равенства $A=(1 / 2)$ а $\exp i \varphi$ получим
\[
D_{1} B=2 \frac{1+2 \omega_{0}^{2} \tau^{2}}{1+4 \omega_{0}^{2} \tau^{2}} a^{2} B .
\]

Подставив выражение для $a^{2}$ из (6.2.139) в (6.2.142) и разрешив полученное уравнение, найдем
\[
B=b\left[\frac{4}{a_{0}^{2}}+\alpha_{r}\left(e^{2 \mu t}-1\right)\right]^{6},
\]

где
\[
\zeta=\frac{4\left(1+2 \omega_{0}^{2} \tau^{2}\right)}{3+8 \omega_{0}^{2} \tau^{2}} .
\]

Следовательно, имеем в первом приближении
\[
\begin{array}{c}
v=a \cos \left(\omega_{0} t+\varphi\right)+O(\mu), \\
Z=B e^{-t / \tau}+\frac{a^{2}}{2 \sqrt{1+4 \omega_{0}^{2} \tau^{2}}} \cos \left[2 \omega_{0} t+2 \varphi-\operatorname{arctg} 2 \omega_{0} \tau\right]+\frac{1}{2} a^{2}+O(\mu) .
\end{array}
\]

Здесь $a, \varphi$ и $B$ задаются соответственно равенствами (6.2.139), $(6.2 .140)$ и (6.2.143).

6.2.6. Устойчивость треугольных точек в эллиптической ограниченной задаче трех тел

В качестве двух следующих примеров рассмотрим задачи четвертого порядка, причем первая из них – линейная, вторая нелинейная. Рассмотрим сначала устойчивость треугольных точек в ограниченной задаче трех тел, исследованной в п.3.1.4 и 3.1.5 с помощью методов Линдштедта-Пуанкаре и Уиттекера. С помощью метода многих масштабов эта задача впервые была рассмотрена Олфрендом и Рэндом [1969]. Математически задача сводится к исследованию устойчивости решений уравнений (3.1.63)(3.1.65). В этом пункте с помощью метода многих масштабов определим переходные кривые, пересекающие ось $\mu$ в точке $\mu_{0}=(1-2 \sqrt{2} / 3) / 2$, и выявим поведение $x$ и $y$ в окрестности этих кривых.
Положим $\cos f=\cos T_{0}$ и предположим, что
\[
\begin{array}{c}
x=x_{0}\left(T_{0}, T_{1}\right)+e x_{1}\left(T_{0}, T_{1}\right)+\ldots, \\
y=y_{0}\left(T_{0}, T_{1}\right)+e y_{1}\left(T_{0}, T_{1}\right)+\ldots, \\
\mu=\mu_{0}+e \mu_{1}+\ldots,
\end{array}
\]

причем
\[
T_{0}=f, \quad T_{1}=e f .
\]

Имеем, следовательно,
\[
\frac{d}{d f}=D_{0}+e D_{1}+\ldots, \quad D_{n}=\frac{\partial}{\partial T_{n}} .
\]

Подставим (6.2.146)-(6.2.150) в уравнения (3.1.63)-(3.1.65) и приравняем нулю коэффициенты при $e^{0}$ и $е$. Получим, приравнивая члены:

порядка $e^{0}$
\[
\begin{aligned}
D_{0}^{2} x_{0}-2 D_{0} y_{0}-b_{0} x_{0} & =0 \\
D_{0}^{2} y_{0}+2 D_{0} x_{0}-a_{0} y_{0} & =0
\end{aligned}
\]

порядка $e$
\[
\begin{array}{l}
D_{0}^{2} x_{1}-2 D_{0} y_{1}-b_{0} x_{1}=-2 D_{0} D_{1} x_{0}+2 D_{1} y_{0}+b_{1} x_{0}-b_{0} x_{0} \cos T_{0},(6.2 .153) \\
D_{0}^{2} y_{1}+2 D_{0} x_{1}-a_{0} y_{1}=-2 D_{0} D_{1} y_{0}-2 D_{1} x_{0}-b_{1} y_{0}-a_{0} y_{0} \cos T_{0} .
\end{array}
\]

Здесь $a_{i}$ и $b_{i}$ задаются соотношениями (3.1.71) и (3.1.72).
Решение системы (6.2.151) и (6.2.152) имеет вид
\[
\begin{array}{l}
x_{0}=A\left(T_{1}\right) \cos \frac{1}{2} T_{0}+B\left(T_{1}\right) \sin \frac{1}{2} T_{0}, \\
y_{0}=\alpha B\left(T_{1}\right) \cos \frac{1}{2} T_{0}-\alpha A\left(T_{1}\right) \sin \frac{1}{2} T_{0},
\end{array}
\]

где
\[
\alpha=\left(a_{0}+\frac{1}{4}\right)^{-1}=b_{0}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}(7-\sqrt{33}) .
\]

Решение нулевого порядка определяет правые части уравнений (6.2.153) и (6.2.154). Таким образом, они запишутся в виде
\[
\begin{array}{l}
D_{0}^{2} x_{1}-2 D_{0} y_{1}-b_{0} x_{1}=P_{1} \cos \frac{1}{2} T_{0}+Q_{1} \sin \frac{1}{2} T_{0}+N S T, \\
D_{0}^{2} y_{1}+2 D_{0} x_{1}-a_{0} y_{1}=P_{2} \cos \frac{1}{2} T_{0}+Q_{2} \sin \frac{1}{2} T_{0}+N S T,
\end{array}
\]

где приняты обозначения
\[
\begin{array}{l}
P_{1}=(2 \alpha-1) B^{\prime}+\left(b_{1}-\frac{1}{2} b_{0}\right) A, \\
P_{2}=(\alpha-2) A^{\prime}-\alpha\left(b_{1}+\frac{1}{2} a_{0}\right) B, \\
Q_{1}=-(2 \alpha-1) A^{\prime}+\left(b_{1}+\frac{1}{2} b_{0}\right) B, \\
Q_{2}=(\alpha-2) B^{\prime}+\alpha\left(b_{1}-\frac{1}{2} a_{0}\right) A .
\end{array}
\]

Для нахождения первого приближения не обязательно решать уравнения для $x_{1}$ и $y_{1}$; достаточно только обеспечить ограниченность отношений $x_{1} / x_{0}$ и $y_{1} / y_{0}$ при всех $T_{0}$. Именно по этой причине мы выписываем слагаемые, которые порождают вековые члены. Для того чтобы исключить вековые члены, можно найти сначала частное вековое решение и определить затем условие его обращения в нуль. Такое частное решение может быть записано в одном из видов
\[
\begin{array}{l}
x=0, \quad y=R_{1} \cos \frac{1}{2} T_{0}+S_{1} \sin \frac{1}{2} T_{0}, \\
y=0, \quad x=R_{2} \cos \frac{1}{2} T_{0}+S_{2} \sin \frac{1}{2} T_{0} .
\end{array}
\]

Таким образом, задавшись частным решением вида (6.2.164) или (6.2.165), можем получить условия, при которых вековые члены исключаются. Используя любой из видов решения, получим один и тот же результат. Подставив (6.2.164) в (6.2.158) и (6.2.159) и приравняв коэффициенты при $\cos \left(T_{0} / 2\right)$ и $\sin \left(T_{0} / 2\right)$ в обеих частях, получим
\[
\begin{array}{ll}
R_{1}=Q_{1}, & S_{1}=-P_{1}, \\
R_{1}=-\alpha P_{2}, & S_{1}=-\alpha Q_{2} .
\end{array}
\]

Исключив $R_{1}$ и $S_{1}$ из (6.2.166) и (6.2.167), получим искомые условия; они имеют вид
\[
P_{1}=\alpha Q_{2}, \quad Q_{1}=-\alpha P_{2} .
\]

Подставляя выражения для $P_{1}, P_{2}, Q_{1}$ и $Q_{2}$ из (6.2.160)$(6.2 .163)$ в (6.2.168), получим следующие два уравнения для $A$ и $B$ :
\[
\begin{array}{l}
\left(1-4 \alpha+\alpha^{2}\right) A^{\prime}+\left[\left(1-\alpha^{2}\right) b_{1}+\frac{1}{2}\left(b_{0}-\alpha^{2} a_{0}\right)\right] B=0, \\
\left(1-4 \alpha+\alpha^{2}\right) B^{\prime}-\left[\left(1-\alpha^{2}\right) b_{1}-\frac{1}{2}\left(b_{0}-\alpha^{2} a_{0}\right)\right] A=0 .
\end{array}
\]

Для решения этих уравнений положим в них
\[
A=a \exp \gamma_{1} T_{1}, \quad B=b \exp \gamma_{1} T_{1}
\]

и получим уравнения
\[
\begin{array}{r}
\left(1-4 \alpha+\alpha^{2}\right) \gamma_{1} a+\left[\left(1-\alpha^{2}\right) b_{1}+\frac{1}{2}\left(b_{0}-\alpha^{2} a_{0}\right)\right] b=0, \\
-\left[\left(1-\alpha^{2}\right) b_{1}-\frac{1}{2}\left(b_{0}-\alpha^{2} a_{0}\right)\right] a+\left(1-4 \alpha+\alpha^{2}\right) b \gamma_{1}=0 .
\end{array}
\]

Эти уравнения совпадают с уравнениями (3.1.105) и (3.1.106), полученными с помощью метода Уиттекера. Следовательно, $\gamma_{1}$ и $b / a$ задаются соотношениями (3.1.107) и (3.1.108), а $x$ и $y$-соотношениями (3.1.109). Олфренд и Рэнд [1969] продолжили это разложение до второго порядка.

6.2.7. Качающаяся пружина

Ниже рассмотрим нелинейную качающуюся пружину, исследованную в п.5.5.3 и 5.7.5 и описываемую лагранжианом (5.5.54). Этому лагранжиану соответствуют уравнения движения
\[
\begin{array}{c}
\ddot{x}+\frac{k}{m} x+g(1-\cos \theta)-(l+x) \dot{\theta}^{2}=0, \\
\ddot{\theta}+\frac{g}{l+x} \sin \theta+\frac{\gamma}{l+x} x \dot{\theta}=0 .
\end{array}
\]

Для малых, но конечных значений $x$ и $\theta$ будем искать решения этих уравнений вида
\[
\begin{array}{l}
x(t)=\varepsilon x_{1}\left(T_{0}, T_{1}\right)+\varepsilon^{2} x_{2}\left(T_{0}, T_{1}\right)+\ldots, \\
\theta(t)=\varepsilon \theta_{1}\left(T_{0}, T_{1}\right)+\varepsilon^{2} \theta_{2}\left(T_{0}, T_{1}\right)+\ldots,
\end{array}
\]

где $T_{n}=\varepsilon^{n} t$, а $\varepsilon$-величина того же порядка, что и амплитуда колебаний.

Подставим (6.2.176) и (6.2.177) в (6.2.174) и (6.2.175) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$. Получим, приравнивая члены:
порядка $\varepsilon$
\[
\begin{array}{ll}
D_{0}^{2} x_{1}+\omega_{1}^{2} x_{1}=0, & \omega_{1}^{2}=\frac{k}{m}, \\
D_{0}^{2} \theta_{1}+\omega_{2}^{2} \theta_{1}=0, & \omega_{2}^{2}=\frac{g}{l} ;
\end{array}
\]

порядка $\varepsilon^{2}$
\[
\begin{array}{l}
D_{0}^{2} x_{2}+\omega_{1}^{2} x_{2}=-2 D_{0} D_{1} x_{1}-\frac{1}{2} g \theta_{1}^{2}+l\left(D_{0} \theta_{1}\right)^{2}, \\
D_{0}^{2} \theta_{2}+\omega_{2}^{2} \theta_{2}=-2 D_{0} D_{1} \theta_{1}+\frac{\omega_{2}^{2}}{l} x_{1} \theta_{1}-\frac{2}{l}\left(D_{0} x_{1}\right)\left(D_{0} \theta_{1}\right) .
\end{array}
\]

Решения уравнений первого порядка имеют вид
\[
\begin{array}{c}
x_{1}=A\left(T_{1}\right) e^{i \omega_{1} T_{0}}+\bar{A}\left(T_{1}\right) e^{-i \omega_{1} T_{0}}, \\
\theta_{1}=B\left(T_{1}\right) e^{i \omega_{2} T_{0}}+\bar{B}\left(T_{1}\right) e^{-i \omega_{2} T_{0}} .
\end{array}
\]

С учетом этих решений уравнения (6.2.180) и (6.2.181) примут вид
\[
\begin{array}{c}
D_{0}^{2} x_{2}+\omega_{1}^{2} x_{2}=-2 i \omega_{1} D_{1} A e^{i \omega_{1} T_{0}}-\frac{3}{2} g B^{2} e^{2 i \omega_{2} T_{0}}+\frac{1}{2} g B \bar{B}+C C, \\
D_{0}^{2} \theta_{2}+\omega_{2}^{2} \theta_{2}=-2 i \omega_{2} D_{1} B e^{i \omega_{2} T_{0}}+\frac{\omega_{2}\left(\omega_{2}+2 \omega_{1}\right)}{l} A B e^{i\left(\omega_{1}+\omega_{2}\right) T_{0}}+ \\
+\frac{\omega_{2}\left(\omega_{2}-2 \omega_{1}\right)}{l} A \bar{B}^{l\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) T_{0}}+C C .
\end{array}
\]

При постоянных $A$ и $B$ частные решения уравнений (6.2.184) и (6.2.185) имеют вид
\[
\begin{array}{r}
x_{2}=\frac{1}{2} \frac{g}{\omega_{1}^{2}} B \bar{B}-\frac{3}{2} \frac{g}{\omega_{1}^{2}-4 \omega_{2}^{2}} B^{2} e^{2 i \omega_{2} T_{0}}+C C, \\
\theta_{2}=-\frac{\omega_{2}\left(\omega_{2}+2 \omega_{1}\right)}{l \omega_{1}\left(\omega_{1}+2 \omega_{2}\right)} A B e^{i\left(\omega_{4}+\omega_{2}\right) T_{0}}-\frac{\omega_{2}\left(\omega_{2}-2 \omega_{1}\right)}{l \omega_{1}\left(\omega_{1}-2 \omega_{2}\right)} A \bar{B} e^{i\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) T_{0}}+C C .
\end{array}
\]

При $\omega_{1} \rightarrow 2 \omega_{2}$ они стремятся $\mathrm{K} \infty$. Следовательно, разложения (6.2.176) и (6.2.177) нарушаются при $\omega_{1} \approx 2 \omega_{2}$.
Чтобы получить разложение, пригодное для $\omega_{1} \approx 2 \omega_{2}$, положим
\[
\omega_{1}-2 \omega_{2}=\varepsilon \sigma, \quad \sigma=O(1),
\]

причем будем считать $A$ и $B$ не постоянными, а функциями $T_{1}$. Кроме того, используя (6.2.188), выразим $\exp \left(2 i \omega_{2} T_{0}\right)$ и $\exp \left[i\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) T_{0}\right]$ в уравнения $(6.2 .184)$ и (6.2.185) в виде
\[
\begin{aligned}
\exp \left(2 i \omega_{2} T_{0}\right) & =\exp \left(i \omega_{1} T_{0}-i \sigma T_{1}\right), \\
\exp \left[i\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) T_{0}\right] & =\exp \left(i \omega_{2} T_{0}+i \sigma T_{1}\right) .
\end{aligned}
\]

Получим
\[
\begin{array}{l}
D_{0}^{2} x_{2}+\omega_{1}^{2} x_{2}=-\left(2 i \omega_{1} D_{1} A+\frac{3}{2} g B^{2} e^{-i \sigma T_{1}}\right) e^{i \omega_{1} T_{0}}+C C+N S T, \\
D_{0}^{2} \theta_{2}+\omega_{2}^{2} \theta_{2}=-\left[2 i \omega_{2} D_{1} B-\frac{\omega_{2}\left(\omega_{2}-2 \omega_{1}\right)}{l} A \bar{B} e^{i \sigma T_{1}}\right] e^{i \omega_{2} T_{0}}+C C+N S T .
\end{array}
\]

Исключая вековые члены, получим
\[
\begin{array}{l}
2 i \omega_{1} D_{1} A=-\frac{3}{2} g B^{2} \exp \left(-i \sigma T_{1}\right), \\
2 i \omega_{2} D_{1} B=\frac{\omega_{2}\left(\omega_{2}-2 \omega_{1}\right)}{l} A \bar{B} \exp \left(i \sigma T_{1}\right) .
\end{array}
\]

Полагая $A=-(1 / 2) i a_{1} \exp \left(i \omega_{1} \beta_{1}\right)$ и $B=-(1 / 2) i a_{2} \exp \left(i \omega_{2} \beta_{2}\right)$ при действительных $a_{i}$ и $\beta_{i}$ и отделяя действительную и мнимую части, получим
\[
\begin{array}{c}
\dot{a}_{1}=\frac{3 \varepsilon g}{8 \omega_{1}} a_{2}^{2} \cos \gamma, \\
\dot{a}_{2}=-\frac{3 \varepsilon \omega_{2}}{4 l} a_{1} a_{2} \cos \gamma, \\
a_{1} \dot{\beta}_{1}=-\frac{3 \varepsilon g}{8 \omega_{1}^{2}} a_{2}^{2} \sin \gamma, \\
\dot{\beta_{2}}=-\frac{3 \varepsilon}{4 l} a_{1} \sin \gamma,
\end{array}
\]

где принято обозначение
\[
\gamma=\omega_{1} \beta_{1}-2 \omega_{2} \beta_{2}+\left(\omega_{1}-2 \omega_{2}\right) t .
\]

Если в уравнениях (6.2.192)-(6.2.196) положить $a_{1}^{2}=\omega_{1} \alpha_{1}^{*} / \omega_{2} k$ и $a_{2}^{2}=2 \alpha_{2} / m g l$, то они перейдут в уравнения (5.5.76)-(5.5.80), полученные с помощью метода усреднения в канонических переменных.

6.2.8. Модель для слабой нелинейной неустойчивости
Ниже рассмотрим модельную задачу
\[
\begin{array}{c}
u_{t t}-u_{x x}-u=u^{3}, \\
u(x, 0)=\varepsilon \cos k x, \quad u_{t}(x, 0)=0
\end{array}
\]

о слабой нелинейной неустойчивости стоячих волн, которая была исследована в п.2.1.2, 3.4.2 и 3.5.1. Для значений $k$, далеких от $k=1$, равномерно пригодное решение для стоячих волн имеет вид (п.3.4.2)
\[
u=\varepsilon \cos \sigma t \cos k x+O\left(\varepsilon^{3}\right)
\]

где
\[
\sigma=\sqrt{k^{2}-1}\left[1-\frac{9 \varepsilon^{2}}{32\left(k^{2}-1\right)}\right]+\ldots .
\]

Очевидно, что это разложение нарушается при $k-1=O\left(\varepsilon^{2}\right)$. Для нахождения разложения, пригодного в окрестности $k=1$, введем новую переменную $\xi=k x$ и приведем (6.2.i97) к виду
\[
\begin{aligned}
u_{t t}-k^{2} u_{\xi \xi}-u & =u^{3}, \\
u(\xi, 0)=\varepsilon \cos \xi, \quad u_{t}(\xi, 0) & =0 .
\end{aligned}
\]

Кроме того, положим
\[
k=1+\varepsilon^{2} k_{2}, \quad k_{2}=O(1)
\]

и предположим, что
$u(\xi, t ; \varepsilon)=u\left(T_{0}, T_{1}, T_{2} ; \varepsilon\right)=\varepsilon u_{1}+\varepsilon^{2} u_{2}+\varepsilon^{3} u_{3}+\ldots$,
где $T_{n}=\varepsilon^{n} t$.
Подставим (6.2.200) и (6.2.201) в (6.2.199) и приравняем коэффициенты при равных степенях $\varepsilon$. Получим, приравнивая члены: порядка $\varepsilon$
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial T_{n}^{2}}-\frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial \xi^{2}}-u_{1}=0 \\
u_{1}=\cos \xi, \quad \frac{\partial u_{1}}{\partial T_{0}}=0 \quad \text { при } \quad T_{n}=0
\end{array}
\]

порядка $\varepsilon^{2}$
\[
\begin{array}{r}
\frac{\partial^{2} u_{2}}{\partial T_{0}^{2}}-\frac{\partial^{2} u_{2}}{\partial \xi^{2}}-u_{2}=-2 \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial T_{0} \partial T_{1}}, \\
u_{2}=0, \quad \frac{\partial u_{2}}{\partial T_{0}}=-\frac{\partial u_{1}}{\partial T_{1}} \quad \text { при } \quad T_{n}=0
\end{array}
\]

порялка $\varepsilon^{3}$
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial^{2} u_{3}}{\partial T_{0}^{2}}-\frac{\partial^{2} u_{3}}{\partial \xi^{2}}-u_{3}=u_{1}^{3}+2 k_{2} \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial \xi^{2}}-\frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial T_{1}^{2}}-2 \frac{\partial^{2} u_{2}}{\partial T_{0} \partial T_{1}}-2 \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial T_{0} \partial T_{2}}, \\
u_{3}=0, \quad \frac{\partial u_{3}}{\partial T_{0}}=-\frac{\partial u_{1}}{\partial T_{2}}-\frac{\partial u_{2}}{\partial T_{1}} \quad \text { при } \quad T_{n}=0 .
\end{array}
\]

Решение задачи первого порядка имеет вид
\[
u_{1}=a\left(T_{1}, T_{2}\right) \cos \xi, \quad a(0,0)=1 .
\]

Тогда (6.2.203) запишется в виде
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} u_{2}}{\partial T_{0}^{2}}-\frac{\partial^{2} u_{2}}{\partial \xi^{2}}-u_{2}=0, \\
u_{2}=0, \frac{\partial u_{2}}{\partial T_{0}}=-\left(\frac{\partial a}{\partial T_{1}}\right) \cos \xi \text { при } T_{n}=0 . \\
\end{array}
\]

Решение задачи (6.2.206) будет содержать член, пропорциональный $T_{0}$, из-за которого отношение $u_{2} / u_{1}$ не ограничено при $T_{n} \rightarrow \infty$. Этот член исчезнет при условии $\partial a / \partial T_{1}=0$ для $T_{1}=T_{2}=0$. Тогда получим
\[
u_{2}=b\left(T_{1}, T_{2}\right) \cos \xi, \quad b(0,0)=0 .
\]

При известных решения первого и второго порядков уравнение для $u_{3}$ запишется в виде
\[
\frac{\partial^{2} u_{3}}{\partial T_{n}^{2}}-\frac{\partial^{2} u_{3}}{\partial \xi^{2}}-u_{3}=\left(\frac{2}{4} a^{3}-2 k a-\frac{\partial^{2} a}{\partial T_{1}^{2}}\right) \cos \xi+\frac{1}{4} a^{3} \cos 3 \xi .
\]

Вековые члены будут исключены при условии
\[
\frac{\partial^{2} a}{\partial T_{1}^{2}}+\left(2 k_{2}-\frac{3}{4} a^{2}\right) a=0 .
\]

Выше были получены начальные условия для $a$ в виде
\[
a=1, \frac{\partial a}{\partial T_{1}}=0 \text { при } T_{n}=0 .
\]

Для нахождения функции $b\left(T_{1}, T_{2}\right)$ и зависимости $a$ от $T_{2}$ нужно получить разложение более высокого порядка. Если ограничиться в вычислениях точностью $O\left(\varepsilon^{3}\right)$, то с точностью $O\left(\varepsilon^{2} t\right)$ величина $a$ может считаться функцией $T_{1}$.
Задача (6.2.209) и (6.2.210) допускает интеграл
\[
\left(\frac{\partial a}{\partial T_{1}}\right)^{2}=\frac{3}{8}\left(a^{2}-1\right)\left(a^{2}-\beta\right), \quad \beta=\frac{16 k_{2}}{3}-1 .
\]

Поскольку $a\left(T_{1}\right)$-действительная величина, то правая часть в (6.2.211) должна быть положительной. Следовательно, значе-

ние $a^{2}$ должно лежать вне интервала с концами 1 и $\beta$. Из условия $a(0)=1$ следует, что $a^{2}$ неограниченно растет при $\beta<1$ и колеблется между значениями 0 и 1 при $\beta>1$. Поэтому значение $\boldsymbol{\beta}=1$ или $k_{2}=3 / 8$ отделяет область устойчивости от области неустойчивости. Следовательно, условие нейтральной устойчивости имеет вид
\[
k=1+\frac{3}{8} \varepsilon^{2}
\]

в согласии с (3.5.6). Решение для $a$ задается эллиптической функцией Якоби.
6.2.9. Модель взаимодействия волна – волна
Рассмотрим вновь модельное уравнение Брезертона [1964]
\[
\varphi_{t t}+\varphi_{x x x x}+\varphi_{x x}+\varphi=\varepsilon \varphi^{3},
\]

которое было исследовано в п. 5.8.1 и 5.8.2 с помощью вариационного подхода. Линейная задача допускает решение в форме однородной бегущей волны
\[
\varphi=a \cos (k x-\omega t+\beta) .
\]

Здесь $a, k$, $\omega$ и $\beta$-постоянные, а $\omega$ и $k$ удовлетворяют дисперсионному соотношению
\[
\omega^{2}=k^{4}-k^{2}+1 .
\]

Резонанс в гармонике может возникнуть, когда пары $(\omega, k)$ и ( $n \omega, n k$ ) при некотором $n \geqslant 2$ удовлетворяют соотношению (6.2.215). Это имеет место для всех $k^{2}=1 / n$ при $n \geqslant 2$. Для указанных волновых чисел основная и $n$-я гармоники имеют одинаковую фазовую скорость.

Поскольку в нашем уравнении нелинейность является кубической, то порядок $O(\varepsilon)$ будет иметь только взаимодействие основной гармоники, соответствующей $k^{2}=1 / 3$, с третьей гармоникой $\left(k^{2}=3\right)$. Если же нелинейность имеет вид $\varepsilon \varphi^{m}$ при некотором $m$, то порядок $O(\varepsilon)$ будет иметь взаимодействие основной гармоники $\left(k^{2}=1 / m\right)$ с $m$-й гармоникой $\left(k^{2}=m\right)$. Если рассматривать взаимодействия более высокого, чем $\varepsilon$, порядка, то даже для кубической нелинейности могут возникнуть резонансы в гармониках, отличных от третьей.

Чтобы построить разложение первого порядка, пригодное в окрестности $k^{2}=1 / 3$, положим
\[
\varphi=\varphi_{0}\left(T_{0}, T_{1}, X_{0}, X_{1}\right)+\varepsilon \varphi_{1}\left(T_{0}, T_{1}, X_{0}, X_{1}\right)+\ldots,
\]

где
\[
T_{n}=\varepsilon^{n} t, \quad X_{n}=\varepsilon^{n} x .
\]

Подставляя это разложение в (6.2.113) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим
\[
\begin{array}{l}
L\left(\varphi_{0}\right)=\frac{\partial^{2} \varphi_{0}}{\partial T_{0}^{2}}+\frac{\partial^{4} \varphi_{0}}{\partial X_{0}^{4}}+\frac{\partial^{2} \varphi_{0}}{\partial X_{0}^{2}}+\varphi_{0}=0, \\
L\left(\varphi_{1}\right)=\varphi_{0}^{3}-2 \frac{\partial^{2} \varphi_{0}}{\partial T_{0} \partial T_{1}}-4 \frac{\partial^{4} \varphi_{0}}{\partial X_{0}^{3} \partial X_{1}}-2 \frac{\partial^{2} \varphi_{0}}{\partial X_{0} \partial X_{1}} .
\end{array}
\]

Решение уравнения (6.2.217) запишем в виде
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{0}=A_{1}\left(T_{1}, X_{1}\right) e^{i \theta_{1}}+A_{3}\left(T_{1}, X_{1}\right) e^{i \theta_{3}}+C C, \\
\theta_{n}=k_{n} X_{0}-\omega_{n} T_{0}, \\
\omega_{n}^{2}=k_{n}^{4}-k_{n}^{2}+1, \\
\omega_{3} \approx 3 \omega_{1}, \quad k_{3} \approx 3 k_{1} .
\end{array}
\]

Отметим, что вид $\varphi_{0}$ предполагает две взаимодействующие гармоники. Можно показать, что функция $\varphi_{0}$, в которой содержится только $\exp \left(i \theta_{1}\right)$, является непригодной (см. п. 5.8.2 и и 6.8.4).
Подставив выражение для $\varphi_{0}$ в (6.2.218), получим
\[
\begin{aligned}
L\left(\varphi_{1}\right)= & \sum_{n=1,3} 2 i \omega_{n}\left(\frac{\partial A_{n}}{\partial T_{1}}+\omega_{n}^{\prime} \frac{\partial A_{n}}{\partial X_{1}}\right) e^{i \theta_{n}}+3\left(A_{1} \bar{A}_{1}+2 A_{3} \bar{A}_{3}\right) A_{1} e^{i \theta_{1}}+ \\
& +3\left(2 A_{1} \bar{A}_{1}+A_{3} \bar{A}_{3}\right) A_{3} e^{i \theta_{3}}+A_{1}^{3} e^{3 i \theta_{1}}+A_{3}^{3} e^{3 i \theta_{3}}+ \\
& +3 A_{1}^{2} A_{3} e^{i\left(\theta_{3}+2 \theta_{1}\right)}+3 \bar{A}_{1}^{2} A_{3} e^{i\left(\theta_{3}-2 \theta_{1}\right)}+ \\
& +3 A_{1} A_{3}^{2} e^{i\left(2 \theta_{3}+\theta_{1}\right)}+3 \bar{A}_{1} A_{3}^{2} e^{i\left(2 \theta_{3}-\theta_{1}\right)}+C C .
\end{aligned}
\]

Здесь $\omega_{n}^{\prime}=d \omega_{n} / d k-$ групповая скорость.
Вследствие взаимодействия двух гармоник в уравнении (6.2.221) возникают слагаемые, порождающие вековые члены и отличные от слагаемых обычного вида $\exp \left(i \theta_{n}\right)$. Чтобы выделить эти слагаемые, рассмотрим случай точного резонанса, при котором $\theta_{3}=3 \theta_{1}$, так что выражения $\exp \left(i \theta_{1}\right)$ и $\exp \left(3 i \theta_{1}\right)$ порождают вековые члены. Непосредственно видно, что слагаемые $\exp \left(3 i \theta_{1}\right)$ и $\exp \left[i\left(\theta_{3}-2 \theta_{1}\right)\right]$ порождают вековые члены. Вековой характер этих слагаемых вблизи резонанса можно показать, выразив их через $\exp \left(i \theta_{1}\right)$ и $\exp \left(i \theta_{3}\right)$. С этой целью заметим, что
\[
\theta_{3}-3 \theta_{1} \equiv \Gamma=\left(k_{3}-3 k_{1}\right) X_{0}-\left(\omega_{3}-3 \omega_{1}\right) T_{0} .
\]

Хотя $X_{0}$ и $T_{0}$ имеют порядок $O(1)$, величина $\Gamma$ при $k_{3} \rightarrow 3 k_{1}$ и $\omega_{3} \rightarrow 3 \omega_{1}$ становится медленно меняющейся. Чтобы описать это медленное изменение, выразим $\Gamma$ в виде
\[
\Gamma=\frac{k_{3}-3 k_{1}}{\varepsilon} X_{1}-\frac{\omega_{3}-3 \omega_{1}}{\varepsilon} T_{1} .
\]

С помощью этой функции величины $\exp \left(3 i \theta_{1}\right)$ и $\exp \left[i\left(\theta_{3}-2 \theta_{1}\right)\right]$ гр римут вид
\[
\exp \left(3 i \theta_{1}\right)=\exp \left[i\left(\theta_{3}-\Gamma\right)\right], \quad \exp \left[i\left(\theta_{3}-2 \theta_{1}\right)\right] \rightleftharpoons \exp \left[i\left(\theta_{1}+\Gamma\right)\right] .
\]

Исключая в правой части уравнения (6.2.221) слагаемые, порождающие вековые члены, найдем
\[
\begin{array}{l}
2 i \omega_{1}\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial T_{1}}+\omega_{1}^{\prime} \frac{\partial A_{1}}{\partial X_{1}}\right)=-3\left(A_{1} \bar{A}_{1}+2 A_{3} \bar{A}_{3}\right) A_{1}-3 \bar{A}_{1}^{2} A_{3} e^{i \Gamma}, \\
2 i \omega_{3}\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial T_{1}}+\omega_{3}^{\prime} \frac{\partial A_{3}}{\partial X_{1}}\right)=-3\left(2 A_{1} \bar{A}_{1}+A_{3} \bar{A}_{3}\right) A_{3}-A_{1}^{3} e^{-i \Gamma} .
\end{array}
\]

Положив в уравнениях (6.2.223) и (6.2.224) $A_{n}=(1 / 2) a_{n} \exp \left(i \beta_{n}\right)$ с действительными $a_{n}$ и $\beta_{n}$ и отделив действительную и мнимую части, получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial a_{1}}{\partial T_{1}}+\omega_{1}^{\prime} \frac{\partial a_{1}}{\partial X_{1}}=-\frac{3}{{ }^{8} \omega_{1}} a_{1}^{2} a_{3} \sin \delta, \\
\frac{\partial \beta_{1}}{\partial T_{1}}+\omega_{1}^{\prime} \frac{\partial \beta_{i}}{\partial X_{1}}=\frac{3}{8 \omega_{1}}\left(a_{1}^{2}+2 a_{3}^{2}+a_{1} a_{2} \cos \delta\right), \\
\frac{\partial a_{3}}{\partial T_{1}}+\omega_{3}^{\prime} \frac{\partial a_{3}}{\partial X_{1}}=\frac{1}{8 \omega_{3}} a_{1}^{3} \sin \delta, \\
\frac{\partial \beta_{3}}{\partial T_{1}}+\omega_{3}^{\prime} \frac{\partial \beta_{3}}{\partial X_{1}}=\frac{1}{8 \omega_{3}}\left(6 a_{1}^{2}+3 a_{3}^{2}+a_{1}^{3} a_{3}^{-1} \cos \delta\right) .
\end{array}
\]

Здесь принято обозначение
\[
\delta=\Gamma+\beta_{3}-3 \beta_{1} .
\]

Уравнения (6.2.225)-(6.2.228) вполне согласуются с уравнениями (5.8.24)-(5.8.27), полученными с помощью вариационного подхода.

6.2.10. Ограничения метода разложения производной

Этот метод применим только к задачам волнового типа. Он не применим при наличии неустойчивости, за исключением тех случаев, когда неустойчивость является слабой. Подобная неустойчивость имела место в нелинейной задаче устойчивости, рассмотренной в п. 6.2.8. При $k>1$ величина и ограничена, и разложение (6.2.198) пригодно для времен порядка $\varepsilon^{-2}$, если только значения $k$ далеки от 1 . Если $k<1$ и $k$ далеко от 1 , то это разложение пригодно только для малых времен. В окрестности $k=1$ неустойчивость является слабой, и соотношение (6.2.211) задает решение, пригодное для времен порядка $\varepsilon^{-1}$.

В случае гиперболических уравнений этот метод может быть применен к диспергирующим волнам, если только начальные условия представляются суперпозицией конечного числа синусоид.

В волновых задачах, в которых в линейном приближении дисперсия отсутствует, как, например, в следующей задаче:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\varepsilon u^{2}, \\
u(x, 0)=f(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0)=0,
\end{array}
\]

этот метод не позволяет получить решение, если даже $f(x)$ синусоидальная функция типа $\cos x$. Чтобы установить это, положим
\[
u=u_{0}\left(x, T_{0}, T_{1}\right)+\varepsilon u_{1}\left(x, T_{0}, T_{1}\right)+\ldots,
\]

где
\[
T_{0}=t, \quad T_{1}=\varepsilon t .
\]

Подставим (6.2.232) в (6.2.230) и (6.2.231) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$. Получим, приравнивая члены:
порядка $\varepsilon^{0}$
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial T_{0}^{2}}-\frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial x^{2}}=0 \\
u_{0}(x, 0,0)=\cos x, \quad \frac{\partial u_{0}}{\partial T_{0}}(x, 0,0)=0 ;
\end{array}
\]

порядка $\varepsilon$
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial T_{0}^{2}}-\frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial x^{2}}=-2 \frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial T_{0} \partial T_{1}}+u_{0}^{2}, \\
u(x, 0,0)=0, \quad \frac{\partial u_{1}}{\partial T_{0}}(x, 0,0)=-\frac{\partial u_{0}}{\partial T_{1}}(x, 0,0) .
\end{array}
\]

Решение задачи (6.2.233), (6.2.234) имеет вид
\[
u_{0}=A\left(T_{1}\right) e^{i\left(x-T_{0}\right)}+\bar{A}\left(T_{1}\right) e^{-i\left(x-T_{0}\right)},
\]

причем
\[
A_{0}=\frac{1}{2} .
\]

Подставив это решение задачи для нулевого порядка в (6.2.235), получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial T_{0}^{2}}+\frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial x^{2}}=2 i \frac{\partial A}{\partial T_{1}} e^{i\left(x-T_{0}\right)}-2 i \frac{\partial \bar{A}}{\partial T_{1}} e^{-i\left(x-T_{0}\right)}+ \\
+2 A \bar{A}+A^{2} e^{2 i\left(x-T_{0}\right)}+\bar{A}^{2} e^{-2 i\left(x-T_{0}\right)} .
\end{array}
\]

Правая часть полученного уравнения содержит слагаемые, которые порождают вековые члены. Такими слагаемыми, кроме чле-

нов, содержащих $\exp \left[ \pm i\left(x-T_{0}\right)\right]$, являются члены, пропорциональные $\exp \left[ \pm 2 i\left(x-T_{0}\right)\right]$. Для того чтобы отношение $u_{1} / u_{0}$ было ограничено при всех $T_{0}$, названные слагаемые должны быть исключены. Однако нет способа, с помощью которого это можно сделать. В предыдущих примерах подобные слагаемые были пропорциональны $\exp \left[ \pm i\left(x-T_{0}\right)\right]$, и коэффициент $A$ выбирался так, чтобы исключить их. Если в рассматриваемом случае мы хотим получить нетривиальное решение, то коэффициент $A$ можно выбрать таким образом, чтобы исключить слагаемые, пропорциональные $\exp \left[ \pm i\left(x-T_{0}\right)\right]$. Получающееся при этом разложение содержит вековые члены и, следовательно, не является пригодным для больших времен.

Разложения для волн без дисперсии, пригодные при больших временах и начальных условиях общего вида, были получены в п. 3.2.4 и 3.2.5 с помощью метода координатных преобразований.