Многие задачи, с которыми сталкиваются сегодня физики, инженеры и специалисты по прикладной математике, не поддаются точному решению. Среди причин, затрудняющих точное решение, можно указать, например, нелинейные уравнения движения, переменные коэффициенты и нелинейные граничные условия на известных или неизвестных границах сложной формы. Для решения подобных задач мы вынуждены пользоваться различного рода приближениями, или численными методами, или комбинацией тех и других. Среди приближенных методов основными являются методы возмущений (асимптотических разложений) по большим или малым значениям параметра или координаты. Настоящая книга посвящена описанию этих методов.

В соответствии с методами возмущений решение задачи представляется несколькими (обычно двумя) первыми членами возмущенного разложения. Для качественного и количественного представления решения возмущенные разложения, даже если они расходятся, могут оказаться более полезными, чем равномерно и абсолютно сходящиеся разложения.

Прямые, непосредственные разложения по степеням параметра имеют, как правило, ограниченные области пригодности и нарушаются в некоторых областях, называемых областями неравномерности. Для приведения этих разложений к равномерно пригодному виду исследователи, работающие в различных областях физики, техники и прикладной математики, разработали ряд методов. Некоторые из этих методов между собой совершенно несхожи, другие являются различными интерпретациями одной и той же основной идеи.

Цель настоящей книги – рассмотреть некоторые из упомянутых методов, выявить их сходства и различия, преимущества и ограничения. Для описания различных методов сначала используются примеры с модельными простыми обыкновенными уравнениями, которые могут быть точно решены, затем, по мере усложнения, рассматриваются примеры с дифференциальными уравнениями в частных производных. Примеры взяты из разных областей физики и техники. Қаждому примеру предпослано краткое физическое описание задачи.

Различные методы описаны как формальные процедуры, без попытки строгого их обоснования. Разложения, полученные для

некоторых сложных примеров, рассмотренных в данной книге, еще не имеют на самом деле строгого математического обоснования.

В конце каждой главы даются упражнения, которые расположены в порядке возрастающей сложности и снабжены дополнительными ссылками.

От читателя не требуется понимания физической сути примеров, используемых для описания методов. Предполагается, однако, что он знаком с основами анализа, а также с элементарными свойствами дифференциальных уравнений-обыкновенных и в частных производных.

Глава 1 содержит обозначения, определения и действия над асимптотическими разложениями. Источники неравномерности в разложениях возмущения классифицированы и рассмотрены в главе 2. Глава 3 посвящена методу координатных преобразований, в котором равномерность достигается путем разложения как зависимой, так и независимой переменных в ряды по новым независимым параметрам. В главе 4 описываются метод сращивания асимптотических разложений и метод составных асимптотических разложений. Первый метод позволяет выразить решение с помощью нескольких разложений, пригодных в различных областях и согласованных между собой с помощью процедуры сращивания; второй метод представляет решение в виде единственного всюду пригодного разложения. В главе 5 для исследования медленных изменений амплитуд и фаз слабо нелинейных волн и колебаний используются понятия быстрых и медленных переменных в сочетании с методом вариации произвольных постоянных. Методы глав 3,4 и 5 обобщены в главе 6 и объединены в одну из трех разновидностей метода многих масштабов. В главе 7 рассмотрены существующие методы построения асимптотических решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Первые слова благодарности я обязан сказать доктору В.С.Сарику и моим братьям-д-ру Аднану Найфэ и Муниру Найфэ за обсуждения и поддержку в процессе написания этой книги. За плодотворные обсуждения и критику я обязан также некоторым своим коллегам, в частности д-рам Д. Т. Муку, Д. П. Телионису, А. А. Кемелу и Б. Х. Стефану, а также О. Р. Асфару и М. С. Цею. Эта книга не была бы написана, если бы не терпение и поддержка моей жены и настойчивость моих родителей Хасана и Хадры, которые, будучи неграмотными, настояли на том, чтобы я получил высшее образование. Поэтому я посвящаю эту книгу моим родителям и жене.

Али Хасан Найфэ