При получении возмущения по параметру для некоторой величины $u(x;\epsilon )$ мы сначала выбираем независимую переменную, которая не обязательно совпадает с физической независимой переменной $x$, а является некоторой функцией $\zeta$ от $x$ и малого параметра $\epsilon$. Затем мы полагаем
$$u=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{\delta }_m(\epsilon )u_m[\zeta (x;\epsilon )]\text{ при }\epsilon \to 0,$$

где ${\delta }_m(\epsilon )$-асимптотическая последовательность. Мы подставляем это разложение в рассматриваемые уравнения, полагая $\zeta$ фиксированным, проводим разложение при малом $\epsilon$ и затем приравниваем нулю коэффициент при каждом ${\delta }_m$. Таким образом,
$$\begin{array}{rl}{u}_0=& \underset{\begin{array}{c}\epsilon \to 0\\ \delta \text{ фиксировано }\end{array}}{lim}\left[\frac{u}{{\delta }_0(\epsilon )}\right],\\ u_n& =\underset{\begin{array}{c}\epsilon \to 0\\ \text{ фиксиров ано }\end{array}}{lim}\left[\frac{u-\sum _{m=0}^{n-1}{\delta }_m(\epsilon )u_m(\zeta )}{{\delta }_n(\epsilon )}\right].\end{array}$$

Очевидно, что при заданной последовательности ${\delta }_n$ величины $u_m$ зависят от выбора $\zeta (x;\epsilon )$.

При одном выборе $\zeta$ получаются неравномерные разложения, при другом-равномерные разложения. Например, положив в (2.1.1) $\zeta =t$, мы получили неравномерное разложение
$$u(t;\epsilon )=a\cos t+\epsilon a^3[-\frac{3}{8}t\sin t+\frac{1}{32}(\cos 3t-\cos t)]+O\left({\epsilon }^2\right)$$

для уравнения Дюффинга (п. 2.1.1). Если бы мы выбрали $\zeta =$ $=[1+(3/8)\epsilon a^2]t$, то получили бы разложение
$$u(t;\epsilon )=a\cos \zeta +\frac{\epsilon a^3}{32}[\cos 3\zeta -\cos \zeta ]+O\left({\epsilon }^2\right),$$

которое является равномерно пригодным. Координаты типа $\zeta =$ $=[1+(3/8)\epsilon a^2]t$, которые приводят к равномерным разложениям, называются оптимальными координатами (Каплун [1954]).

В качестве второго примера рассмотрим модельную задачу о слабой нелинейной неустойчивости из п.2.1.2. Равенство (2.1.18) задает следующее разложение:
$u=\epsilon \cos {\sigma }_{1}t\cos kx+$
$+{\epsilon }^3[\frac{9}{32{\sigma }_1}t\sin {\sigma }_{1}t\cos kx+$ члены, ограниченные при $t\to \mathrm{\infty }]$.
Это неравномерное разложение соответствует выбору $\zeta =t$. Если бы мы выбрали $\zeta ={\sigma }_1[1-\left(9/32{\sigma }_1^2\right)]t$, то получили бы разложение
$$u=\epsilon \cos \zeta \cos kx+O\left({\epsilon }^3\right)$$

равномерно пригодное при всех $t$. Следовательно, в последнем случае $\zeta$-оптимальная координата.

В качестве третьего примера рассмотрим сверхзвуковое обтекание тонкого крыла (п. 2.1.3). Равенство (2.1.36) задает следующее разложение для осевой составляющей скорости:
$$\begin{array}{rl}\frac{u}{U}=1-\epsilon \frac{T^{\prime }}{B}+{\epsilon }^2[\frac{1}{B^2}(1& -\frac{M^4(\gamma +1)}{4B^2})T^{\prime 2}-\\ & -\frac{\gamma +1}{2}\cdot \frac{M^4}{B^3}y{T}^{\prime }{T}^{\prime \prime }-T{T}^{\prime \prime }]+O\left({\epsilon }^3\right),\end{array}$$

где $T=T(x-By),y=\epsilon T(x)$ (форма крыла).
Это разложение получено при фиксированных $x$ и $y$. Считая фиксированными переменные
$$\xi =y\text{ и }x-By=\zeta -\epsilon \frac{\gamma +1}{2}\frac{M^4}{B^2}\xi T^{\prime }(\zeta ),$$

мы бы получили разложение
$$\frac{u}{U}=1-\epsilon \frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(\zeta )}{B}+{\epsilon }^2[\frac{1}{B^2}(1-\frac{M^4(\gamma +1)}{4B^2})T^{\prime 2}-T{T}^{\prime \prime }]+O\left({\epsilon }^3\right),$$

которое является равномерно пригодным. Следовательно, (2.5.8) оптимальные координаты.

Следует отметить, что координата может оказаться оптимальной для точности порядка $O(\epsilon )$, но не оптимальной для $O\left({\epsilon }^2\right)$. Например,
$$\zeta =(1+\frac{3}{8}\epsilon a^2)t$$

является оптимальной координатой для уравнения Дюффинга при точности $O(\epsilon )$, в то время как для высших порядков она

не является оптимальной. Однако
$$\zeta =(1+\frac{3}{8}\epsilon a^2-\frac{15}{256}{\epsilon }^2{a}^4)t$$

является оптимальной для (2.1.1) при точности $O\left({\epsilon }^2\right)$.
Поскольку большинство прямых разложений теории возмущений (полученных при фиксированных физических координатах) является неравномерным, были развиты методы превращения этих разложений в равномерно пригодные, В методе координатных преобразований (гл. 3) некоторые из этих разложений приводятся к равномерно пригодному виду с помощью определения оптимальных координат как почти тождественных преобразований.

В некоторых из рассмотренных задач, например в задаче (2.2.1) и (2.2.2), равномерно пригодное разложение (заданное соотношением (2.2.11)) имеет вид
$$y=b\exp (1-x)+(a-be)\exp (x-\frac{x}{\epsilon })+O(\epsilon ).$$

Это разложение нельзя получить, считая фиксированным $x$ или $x/\epsilon$. При фиксированном $x$ мы бы получили разложение
$$y=b\exp (1-x)+O(\epsilon ),$$

которое нарушается в окрестности $x=0$, ибо, вообще говоря, $y(0)=aeqbe$. Зафиксировав, однако, $x/\epsilon$, мы бы пришли к разложению
$$y=be+(a-be)\exp (-\frac{x}{\epsilon }),$$

неравномерная пригодность которого следует из соотношений $y(1)=beqbe$. Таким образом, решение представлено двумя различными разложениями, использующими координаты (масштабы) $x$ и $x/\epsilon$. Поскольку эти разложения являются различными асимптотическими представлениями одной и той же функции, они могут быть соотнесены друг другу с помощью так называемого принципа сращивания (гл. 4). Из сказанного следует, что для получения равномерно пригодных разложений можно сначала с помощью разных масштабов построить разные разложения, соотнести эти разложения с помощью принципа сращивания и затем объединить их. Это есть метод сращивания асимптотических разложений, описанных в гл. 4.

Прежде чем получить, скажем, два разложения с помощью двух разных масштабов для представления решения задачи (2.2.1), мы фиксируем значения $x$ и $x/\epsilon$ либо значения некоторых функций от них и затем выводим разложения. Это означает, что мы увеличиваем число независимых переменных до двух и преобра-

зовываем исходное обыкновенное дифференциальное уравнение в дифференциальное уравнение в частных производных. Данный метод представляет собой метод многих масштабов, описанный в гл. 6.
В задачах теории колебаний, описываемых уравнением
$$\ddot{u}+u=\epsilon f(u,\dot{u}),$$

невозмущенное решение (решение при $\epsilon =0$ ) имеет вид
$$u=a\cos \phi ,\phi =t+\theta ,$$

где $a$ и $\theta$-постоянные. При $\epsilon eq0$ решение все-таки может быть выражено в приведенной выше форме, если считать $a$ и $\theta$ изменяющимися во времени. С помощью метода вариации произвольных постоянных (п. 5.1.1) можно получить следующие уравнения для $а$ и $\phi$ :
$$\begin{array}{l}\frac{da}{dt}=-\epsilon \sin \phi f[a\cos \phi ,-a\sin \phi ],\\ \frac{d\phi }{dt}=1-\frac{\epsilon }{a}\cos \phi f[a\cos \phi ,-a\sin \phi ].\end{array}$$

Для определения равномерно пригодного разложения решения этих уравнений вместо почти тождественного преобразования независимой переменной (как в методе координатных преобразований) мы можем ввести почти тождественное преобразование обеих зависимых переменных $a$ и $\phi$. Это есть метод усреднения, описанный в гл. 5.

Упражнения

2.1. Для уравнения
$$(x-1)(x-\tau )+\epsilon =0,\epsilon \ll 1,$$

определить трехчленное разложение решения, близкого к единице. Будет ли оно пригодным для всех значений $\tau$ ?
2.2. Вычислить три члена в асимптотическом разложении решения задачи
$$\epsilon y^{\prime }+xy=-1,y(0)=1.$$

Какова здесь область неравномерности?
2.3. Задача о изоэнергетических цилиндрических ударных волнах может быть приведена к виду (Леви [1959])
$$\alpha w^{2}g\frac{dg}{dw}=g(1-w^2)-w(1-\beta w^2),$$

где $\alpha$ и $\beta$-постоянные. Для $\alpha \ll 1$ определить разложение $g$ до второго порядка по $\alpha$ и рассмотреть вопрос о его равномерности.

2.4. Для малого 8 определить разложение первого порядка (двучленное) в задаче
$$\ddot{x}+x=\epsilon (\dot{x}-\frac{1}{3}{\dot{x}}^3),x(0)=a,\dot{x}(0)=0.$$

Является ли это разложение равномерно пригодным?
2.5. Рассмотреть задачу
$$(x+\epsilon y)y^{\prime }+y=0,y(1)=1.$$
(a) Определить в этой задаче разложение второго порядка (трехчленное), предполагая, что $\epsilon \ll 1$.
(б) Какова область его неравномерности?
(в) Показать, что точное решение задачи имеет вид
$$y=-\frac{x}{\epsilon }+\sqrt{\frac{x^2}{{\epsilon }^2}+\frac{2}{\epsilon }+1}.$$
(г) Разложить точное решение для малого $\epsilon$ и сравнить с результатом п. (а). Можете ли вы сделать какой-либо вывод об источнике неравномерности?
2.6. Найти при малом $\epsilon$ разложение первого порядка (двучленное) для задачи
$$(x+8y)y^{\prime }-\frac{1}{2}y=1+x^2,y(1)=1.$$

Какова область его неравномерности?
2.7. Определить разложение первого порядка для малого $\epsilon$ :
$$(x+\epsilon y)y^{\prime }+xy=b{e}^{-x},y(1)=e^{-1}.$$

Какова область его неравномерности?
2.8. Определить двучленное разложение частного решения уравнения
$$\epsilon u^{\prime \prime }(1-x^2)u=f(x).$$

Какие условия нужно наложить на $f$, чтобы это разложение оказалось равномерным?
2.9. Определить при большом $\lambda$ разложение вида
$$y=\exp [\lambda {\phi }_1(x)+{\phi }_0(x)+\dots ]$$

для решения уравнения
$$x{y}^{\prime \prime }+y^{\prime }+{\lambda }^{2}x(1-x^2)y=0.$$

Где это разложение нарушается?
2.10. Определить двучленное разложение для решения уравнения
$$\ddot{u}+{\omega }_0^{2}u+k\cos \omega t=\epsilon u^2.$$

Справедливо ли это разложение при всех значениях $\omega$ ?

2.11. Определить при малом \& разложение второго порядка (трехчленное) для решения задачи
$$\begin{array}{c}\ddot{u}+(\delta +\epsilon \cos 2t)u=0,\\ u(0)=a,\dot{u}(0)=0.\end{array}$$

Для каких значений $\delta$ это разложение будет неравномерным?
2.12. Показать, что разложение первого порядка при малом $\mu$ в задаче
$$\frac{1}{2}{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2=\frac{1-\mu }{x}+\frac{\mu }{1-x},t(0)=0,$$

имеет вид
$$\sqrt{2}t=\frac{2}{3}{x}^{3/2}+\mu (\frac{2}{3}{x}^{3/2}+\sqrt{x}-\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}})+O[{\mu }^2(1-x{)}^{-1}].$$

Какова область его неравномерности?
2.13. Для каких значений $a>0$ разложение
$$u=a\cos t-\frac{\epsilon }{8}[(a^3-4a)t\cos t+\frac{1}{4}{a}^3\cos 3t]+\dots$$

является равномерно пригодным? Существует ли значение $a>0$, при котором разложение
$$u=a\cos t+\frac{\epsilon a^3}{8}(\frac{1}{4}\cos 3t-3t\sin t)+\cdots$$

равномерно пригодно?

2.14. Положить во втором разложении упр. $2.13t=(1+\epsilon \sigma )s$ и разложить полученное выражение с точностью до $O(\epsilon )$ при фиксированном $s$. Можно ли подобрать такое $\sigma$, чтобы это разложение оказалось равномерно пригодным?

2.15. Для уравнения
$$\ddot{u}+u+\epsilon u^3=0$$

ввести новую переменную
$$\zeta =(1+\frac{3}{8}\epsilon a^2)t$$

В полученной задаче определить разложение первого порядка. Является ли оно равномерно пригодным? Можно ли высказать какое-либо суждение о роли независимых переменных в приведении разложений к равномерно пригодному виду?

2.16. Рассмотреть задачу
$$\begin{array}{c}\frac{d}{dx}\left(h^{3}p\frac{dp}{dx}\right)=\mathrm{\Lambda }\frac{d}{dx}(ph),\\ p(0)=p(1)=1,\end{array}$$

где $h=h(x)$-заданная функция. Определить разложение для больших $\mathrm{\Lambda }$. Обсудить неравномерность этого разложения. Опустить условие $p(1)=1$ и вычислить два члена.

2.17. Рассмотреть задачу
$$\begin{array}{c}\frac{d^2\beta }{d{\xi }^2}={\alpha }^{2}f\sin (\xi +\beta ),\\ \frac{d^{2}f}{d{\xi }^2}=\cos (\xi +\beta ),\\ f^{\prime }(0)=\beta (0)=f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\beta \left(\frac{\pi }{2}\right)=0,\end{array}$$

возникающую при изучении изгиба цилиндрических труб (Рейсснер и Вайничке [1963]). Определить разложение с точностью $O\left({\alpha }^2\right)$ при малом $\alpha$ и обсудить вопрос о его равномерности.

2.18. Задача о ламинарном течении в канале с равномерно пористыми стенками различной проницаемости может быть приведена к виду (Праудман [1960]; Террил и Шреста [1965])
$$\begin{array}{r}{f}^{\prime \prime \prime }+R(f{f}^{\prime \prime }-f^{\prime 2})=c,\\ f(0)=1,f^{\prime }(0)=0,\\ f(1)=1-\alpha ,f^{\prime }(1)=0.\end{array}$$

Показать, что при малом $\alpha$ справедливы соотношения
$$\begin{array}{c}f=1+\alpha A[2(e^{-Rx}+Rx-1)-R(1-e^{-R})x^2]+O\left({\alpha }^2\right),\\ c=2\alpha R^{2}A(e^{-R}-1)+O\left({\alpha }^2\right),\end{array}$$

и определить $A$.

2.19. Определить разложение первого порядка в задаче
$$\begin{array}{c}{u}_{tt}-u_{xx}+u=e{u}^3,\epsilon \ll 1,\\ u(x,0)=a\cos kx,u_t(x,0)=0,\end{array}$$

и обсудить вопрос о его равномерности.

2.20. Определить прямое разложение первого порядка при малом $\epsilon$ в задаче
$$\begin{array}{c}{u}_{tt}-c^2{u}_{xx}=\epsilon u{u}_x,\\ u(x,0)=f(x)+g(x),u_t(x,0)=c[g^{\prime }(x)-f^{\prime }(x)].\end{array}$$

Здесь $f(x),g(x)$-ограниченные функции $x$. Обсудить вопрос о его равномерности.