При получении возмущения по параметру для некоторой величины $u(x ; \varepsilon)$ мы сначала выбираем независимую переменную, которая не обязательно совпадает с физической независимой переменной $x$, а является некоторой функцией $\zeta$ от $x$ и малого параметра $\varepsilon$. Затем мы полагаем
\[
u=\sum_{m=0}^{\infty} \delta_{m}(\varepsilon) u_{m}[\zeta(x ; \varepsilon)] \text { при } \varepsilon \rightarrow 0,
\]

где $\delta_{m}(\varepsilon)$-асимптотическая последовательность. Мы подставляем это разложение в рассматриваемые уравнения, полагая $\zeta$ фиксированным, проводим разложение при малом $\varepsilon$ и затем приравниваем нулю коэффициент при каждом $\delta_{m}$. Таким образом,
\[
\begin{aligned}
u_{0}= & \lim _{\substack{\varepsilon \rightarrow 0 \\
\delta \text { фиксировано }}}\left[\frac{u}{\delta_{0}(\varepsilon)}\right], \\
u_{n} & =\lim _{\substack{\varepsilon \rightarrow 0 \\
\text { фиксиров ано }}}\left[\frac{u-\sum_{m=0}^{n-1} \delta_{m}(\varepsilon) u_{m}(\zeta)}{\delta_{n}(\varepsilon)}\right] .
\end{aligned}
\]

Очевидно, что при заданной последовательности $\delta_{n}$ величины $u_{m}$ зависят от выбора $\zeta(x ; \varepsilon)$.

При одном выборе $\zeta$ получаются неравномерные разложения, при другом-равномерные разложения. Например, положив в (2.1.1) $\zeta=t$, мы получили неравномерное разложение
\[
u(t ; \varepsilon)=a \cos t+\varepsilon a^{3}\left[-\frac{3}{8} t \sin t+\frac{1}{32}(\cos 3 t-\cos t)\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right)
\]

для уравнения Дюффинга (п. 2.1.1). Если бы мы выбрали $\zeta=$ $=\left[1+(3 / 8) \varepsilon a^{2}\right] t$, то получили бы разложение
\[
u(t ; \varepsilon)=a \cos \zeta+\frac{\varepsilon a^{3}}{32}[\cos 3 \zeta-\cos \zeta]+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\]

которое является равномерно пригодным. Координаты типа $\zeta=$ $=\left[1+(3 / 8) \varepsilon a^{2}\right] t$, которые приводят к равномерным разложениям, называются оптимальными координатами (Каплун [1954]).

В качестве второго примера рассмотрим модельную задачу о слабой нелинейной неустойчивости из п.2.1.2. Равенство (2.1.18) задает следующее разложение:
$u=\varepsilon \cos \sigma_{1} t \cos k x+$
$+\varepsilon^{3}\left[\frac{9}{32 \sigma_{1}} t \sin \sigma_{1} t \cos k x+\right.$ члены, ограниченные при $\left.t \rightarrow \infty\right]$.
Это неравномерное разложение соответствует выбору $\zeta=t$. Если бы мы выбрали $\zeta=\sigma_{1}\left[1-\left(9 / 32 \sigma_{1}^{2}\right)\right] t$, то получили бы разложение
\[
u=\varepsilon \cos \zeta \cos k x+O\left(\varepsilon^{3}\right)
\]

равномерно пригодное при всех $t$. Следовательно, в последнем случае $\zeta$-оптимальная координата.

В качестве третьего примера рассмотрим сверхзвуковое обтекание тонкого крыла (п. 2.1.3). Равенство (2.1.36) задает следующее разложение для осевой составляющей скорости:
\[
\begin{aligned}
\frac{u}{U}=1-\varepsilon \frac{T^{\prime}}{B}+\varepsilon^{2}\left[\frac{1}{B^{2}}(1\right. & \left.-\frac{M^{4}(\gamma+1)}{4 B^{2}}\right) T^{\prime 2}- \\
& \left.-\frac{\gamma+1}{2} \cdot \frac{M^{4}}{B^{3}} y T^{\prime} T^{\prime \prime}-T T^{\prime \prime}\right]+O\left(\varepsilon^{3}\right),
\end{aligned}
\]

где $T=T(x-B y), y=\varepsilon T(x)$ (форма крыла).
Это разложение получено при фиксированных $x$ и $y$. Считая фиксированными переменные
\[
\xi=y \text { и } x-B y=\zeta-\varepsilon \frac{\gamma+1}{2} \frac{M^{4}}{B^{2}} \xi T^{\prime}(\zeta),
\]

мы бы получили разложение
\[
\frac{u}{U}=1-\varepsilon \frac{\Gamma^{\prime}(\zeta)}{B}+\varepsilon^{2}\left[\frac{1}{B^{2}}\left(1-\frac{M^{4}(\gamma+1)}{4 B^{2}}\right) T^{\prime 2}-T T^{\prime \prime}\right]+O\left(\varepsilon^{3}\right),
\]

которое является равномерно пригодным. Следовательно, (2.5.8) оптимальные координаты.

Следует отметить, что координата может оказаться оптимальной для точности порядка $O(\varepsilon)$, но не оптимальной для $O\left(\varepsilon^{2}\right)$. Например,
\[
\zeta=\left(1+\frac{3}{8} \varepsilon a^{2}\right) t
\]

является оптимальной координатой для уравнения Дюффинга при точности $O(\varepsilon)$, в то время как для высших порядков она

не является оптимальной. Однако
\[
\zeta=\left(1+\frac{3}{8} \varepsilon a^{2}-\frac{15}{256} \varepsilon^{2} a^{4}\right) t
\]

является оптимальной для (2.1.1) при точности $O\left(\varepsilon^{2}\right)$.
Поскольку большинство прямых разложений теории возмущений (полученных при фиксированных физических координатах) является неравномерным, были развиты методы превращения этих разложений в равномерно пригодные, В методе координатных преобразований (гл. 3) некоторые из этих разложений приводятся к равномерно пригодному виду с помощью определения оптимальных координат как почти тождественных преобразований.

В некоторых из рассмотренных задач, например в задаче (2.2.1) и (2.2.2), равномерно пригодное разложение (заданное соотношением (2.2.11)) имеет вид
\[
y=b \exp (1-x)+(a-b e) \exp \left(x-\frac{x}{\varepsilon}\right)+O(\varepsilon) .
\]

Это разложение нельзя получить, считая фиксированным $x$ или $x / \varepsilon$. При фиксированном $x$ мы бы получили разложение
\[
y=b \exp (1-x)+O(\varepsilon),
\]

которое нарушается в окрестности $x=0$, ибо, вообще говоря, $y(0)=a
eq b e$. Зафиксировав, однако, $x / \varepsilon$, мы бы пришли к разложению
\[
y=b e+(a-b e) \exp \left(-\frac{x}{\varepsilon}\right),
\]

неравномерная пригодность которого следует из соотношений $y(1)=b
eq b e$. Таким образом, решение представлено двумя различными разложениями, использующими координаты (масштабы) $x$ и $x / \varepsilon$. Поскольку эти разложения являются различными асимптотическими представлениями одной и той же функции, они могут быть соотнесены друг другу с помощью так называемого принципа сращивания (гл. 4). Из сказанного следует, что для получения равномерно пригодных разложений можно сначала с помощью разных масштабов построить разные разложения, соотнести эти разложения с помощью принципа сращивания и затем объединить их. Это есть метод сращивания асимптотических разложений, описанных в гл. 4.

Прежде чем получить, скажем, два разложения с помощью двух разных масштабов для представления решения задачи (2.2.1), мы фиксируем значения $x$ и $x / \varepsilon$ либо значения некоторых функций от них и затем выводим разложения. Это означает, что мы увеличиваем число независимых переменных до двух и преобра-

зовываем исходное обыкновенное дифференциальное уравнение в дифференциальное уравнение в частных производных. Данный метод представляет собой метод многих масштабов, описанный в гл. 6.
В задачах теории колебаний, описываемых уравнением
\[
\ddot{u}+u=\varepsilon f(u, \dot{u}),
\]

невозмущенное решение (решение при $\varepsilon=0$ ) имеет вид
\[
u=a \cos \varphi, \quad \varphi=t+\theta,
\]

где $a$ и $\theta$-постоянные. При $\varepsilon
eq 0$ решение все-таки может быть выражено в приведенной выше форме, если считать $a$ и $\theta$ изменяющимися во времени. С помощью метода вариации произвольных постоянных (п. 5.1.1) можно получить следующие уравнения для $а$ и $\varphi$ :
\[
\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=-\varepsilon \sin \varphi f[a \cos \varphi,-a \sin \varphi], \\
\frac{d \varphi}{d t}=1-\frac{\varepsilon}{a} \cos \varphi f[a \cos \varphi,-a \sin \varphi] .
\end{array}
\]

Для определения равномерно пригодного разложения решения этих уравнений вместо почти тождественного преобразования независимой переменной (как в методе координатных преобразований) мы можем ввести почти тождественное преобразование обеих зависимых переменных $a$ и $\varphi$. Это есть метод усреднения, описанный в гл. 5.

Упражнения

2.1. Для уравнения
\[
(x-1)(x-\tau)+\varepsilon=0, \quad \varepsilon \ll 1,
\]

определить трехчленное разложение решения, близкого к единице. Будет ли оно пригодным для всех значений $\tau$ ?
2.2. Вычислить три члена в асимптотическом разложении решения задачи
\[
\varepsilon y^{\prime}+x y=-1, \quad y(0)=1 .
\]

Какова здесь область неравномерности?
2.3. Задача о изоэнергетических цилиндрических ударных волнах может быть приведена к виду (Леви [1959])
\[
\alpha w^{2} g \frac{d g}{d w}=g\left(1-w^{2}\right)-w\left(1-\beta w^{2}\right),
\]

где $\alpha$ и $\beta$-постоянные. Для $\alpha \ll 1$ определить разложение $g$ до второго порядка по $\alpha$ и рассмотреть вопрос о его равномерности.

2.4. Для малого 8 определить разложение первого порядка (двучленное) в задаче
\[
\ddot{x}+x=\varepsilon\left(\dot{x}-\frac{1}{3} \dot{x}^{3}\right), \quad x(0)=a, \quad \dot{x}(0)=0 .
\]

Является ли это разложение равномерно пригодным?
2.5. Рассмотреть задачу
\[
(x+\varepsilon y) y^{\prime}+y=0, \quad y(1)=1 .
\]
(a) Определить в этой задаче разложение второго порядка (трехчленное), предполагая, что $\varepsilon \ll 1$.
(б) Какова область его неравномерности?
(в) Показать, что точное решение задачи имеет вид
\[
y=-\frac{x}{\varepsilon}+\sqrt{\frac{x^{2}}{\varepsilon^{2}}+\frac{2}{\varepsilon}+1} .
\]
(г) Разложить точное решение для малого $\varepsilon$ и сравнить с результатом п. (а). Можете ли вы сделать какой-либо вывод об источнике неравномерности?
2.6. Найти при малом $\varepsilon$ разложение первого порядка (двучленное) для задачи
\[
(x+8 y) y^{\prime}-\frac{1}{2} y=1+x^{2}, \quad y(1)=1 .
\]

Какова область его неравномерности?
2.7. Определить разложение первого порядка для малого $\varepsilon$ :
\[
(x+\varepsilon y) y^{\prime}+x y=b e^{-x}, \quad y(1)=e^{-1} .
\]

Какова область его неравномерности?
2.8. Определить двучленное разложение частного решения уравнения
\[
\varepsilon u^{\prime \prime}\left(1-x^{2}\right) u=f(x) .
\]

Какие условия нужно наложить на $f$, чтобы это разложение оказалось равномерным?
2.9. Определить при большом $\lambda$ разложение вида
\[
y=\exp \left[\lambda \varphi_{1}(x)+\varphi_{0}(x)+\ldots\right]
\]

для решения уравнения
\[
x y^{\prime \prime}+y^{\prime}+\lambda^{2} x\left(1-x^{2}\right) y=0 .
\]

Где это разложение нарушается?
2.10. Определить двучленное разложение для решения уравнения
\[
\ddot{u}+\omega_{0}^{2} u+k \cos \omega t=\varepsilon u^{2} .
\]

Справедливо ли это разложение при всех значениях $\omega$ ?

2.11. Определить при малом \& разложение второго порядка (трехчленное) для решения задачи
\[
\begin{array}{c}
\ddot{u}+(\delta+\varepsilon \cos 2 t) u=0, \\
u(0)=a, \quad \dot{u}(0)=0 .
\end{array}
\]

Для каких значений $\delta$ это разложение будет неравномерным?
2.12. Показать, что разложение первого порядка при малом $\mu$ в задаче
\[
\frac{1}{2}\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}=\frac{1-\mu}{x}+\frac{\mu}{1-x}, \quad t(0)=0,
\]

имеет вид
\[
\sqrt{2} t=\frac{2}{3} x^{3 / 2}+\mu\left(\frac{2}{3} x^{3 / 2}+\sqrt{x}-\frac{1}{2} \ln \frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\right)+O\left[\mu^{2}(1-x)^{-1}\right] .
\]

Какова область его неравномерности?
2.13. Для каких значений $a>0$ разложение
\[
u=a \cos t-\frac{\varepsilon}{8}\left[\left(a^{3}-4 a\right) t \cos t+\frac{1}{4} a^{3} \cos 3 t\right]+\ldots
\]

является равномерно пригодным? Существует ли значение $a>0$, при котором разложение
\[
u=a \cos t+\frac{\varepsilon a^{3}}{8}\left(\frac{1}{4} \cos 3 t-3 t \sin t\right)+\cdots
\]

равномерно пригодно?

2.14. Положить во втором разложении упр. $2.13 t=(1+\varepsilon \sigma) s$ и разложить полученное выражение с точностью до $O(\varepsilon)$ при фиксированном $s$. Можно ли подобрать такое $\sigma$, чтобы это разложение оказалось равномерно пригодным?

2.15. Для уравнения
\[
\ddot{u}+u+\varepsilon u^{3}=0
\]

ввести новую переменную
\[
\zeta=\left(1+\frac{3}{8} \varepsilon a^{2}\right) t
\]

В полученной задаче определить разложение первого порядка. Является ли оно равномерно пригодным? Можно ли высказать какое-либо суждение о роли независимых переменных в приведении разложений к равномерно пригодному виду?

2.16. Рассмотреть задачу
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d x}\left(h^{3} p \frac{d p}{d x}\right)=\Lambda \frac{d}{d x}(p h), \\
p(0)=p(1)=1,
\end{array}
\]

где $h=h(x)$-заданная функция. Определить разложение для больших $\Lambda$. Обсудить неравномерность этого разложения. Опустить условие $p(1)=1$ и вычислить два члена.

2.17. Рассмотреть задачу
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} \beta}{d \xi^{2}}=\alpha^{2} f \sin (\xi+\beta), \\
\frac{d^{2} f}{d \xi^{2}}=\cos (\xi+\beta), \\
f^{\prime}(0)=\beta(0)=f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\beta\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,
\end{array}
\]

возникающую при изучении изгиба цилиндрических труб (Рейсснер и Вайничке [1963]). Определить разложение с точностью $O\left(\alpha^{2}\right)$ при малом $\alpha$ и обсудить вопрос о его равномерности.

2.18. Задача о ламинарном течении в канале с равномерно пористыми стенками различной проницаемости может быть приведена к виду (Праудман [1960]; Террил и Шреста [1965])
\[
\begin{array}{r}
f^{\prime \prime \prime}+R\left(f f^{\prime \prime}-f^{\prime 2}\right)=c, \\
f(0)=1, \quad f^{\prime}(0)=0, \\
f(1)=1-\alpha, \quad f^{\prime}(1)=0 .
\end{array}
\]

Показать, что при малом $\alpha$ справедливы соотношения
\[
\begin{array}{c}
f=1+\alpha A\left[2\left(e^{-R x}+R x-1\right)-R\left(1-e^{-R}\right) x^{2}\right]+O\left(\alpha^{2}\right), \\
c=2 \alpha R^{2} A\left(e^{-R}-1\right)+O\left(\alpha^{2}\right),
\end{array}
\]

и определить $A$.

2.19. Определить разложение первого порядка в задаче
\[
\begin{array}{c}
u_{t t}-u_{x x}+u=e u^{3}, \quad \varepsilon \ll 1, \\
u(x, 0)=a \cos k x, \quad u_{t}(x, 0)=0,
\end{array}
\]

и обсудить вопрос о его равномерности.

2.20. Определить прямое разложение первого порядка при малом $\varepsilon$ в задаче
\[
\begin{array}{c}
u_{t t}-c^{2} u_{x x}=\varepsilon u u_{x}, \\
u(x, 0)=f(x)+g(x), \quad u_{t}(x, 0)=c\left[g^{\prime}(x)-f^{\prime}(x)\right] .
\end{array}
\]

Здесь $f(x), g(x)$-ограниченные функции $x$. Обсудить вопрос о его равномерности.