Главная > Методы возмущений (А.Х. Найфэ)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

При получении возмущения по параметру для некоторой величины u(x;ε) мы сначала выбираем независимую переменную, которая не обязательно совпадает с физической независимой переменной x, а является некоторой функцией ζ от x и малого параметра ε. Затем мы полагаем
u=m=0δm(ε)um[ζ(x;ε)] при ε0,

где δm(ε)-асимптотическая последовательность. Мы подставляем это разложение в рассматриваемые уравнения, полагая ζ фиксированным, проводим разложение при малом ε и затем приравниваем нулю коэффициент при каждом δm. Таким образом,
u0=limε0δ фиксировано [uδ0(ε)],un=limε0 фиксиров ано [um=0n1δm(ε)um(ζ)δn(ε)].

Очевидно, что при заданной последовательности δn величины um зависят от выбора ζ(x;ε).

При одном выборе ζ получаются неравномерные разложения, при другом-равномерные разложения. Например, положив в (2.1.1) ζ=t, мы получили неравномерное разложение
u(t;ε)=acost+εa3[38tsint+132(cos3tcost)]+O(ε2)

для уравнения Дюффинга (п. 2.1.1). Если бы мы выбрали ζ= =[1+(3/8)εa2]t, то получили бы разложение
u(t;ε)=acosζ+εa332[cos3ζcosζ]+O(ε2),

которое является равномерно пригодным. Координаты типа ζ= =[1+(3/8)εa2]t, которые приводят к равномерным разложениям, называются оптимальными координатами (Каплун [1954]).

В качестве второго примера рассмотрим модельную задачу о слабой нелинейной неустойчивости из п.2.1.2. Равенство (2.1.18) задает следующее разложение:
u=εcosσ1tcoskx+
+ε3[932σ1tsinσ1tcoskx+ члены, ограниченные при t].
Это неравномерное разложение соответствует выбору ζ=t. Если бы мы выбрали ζ=σ1[1(9/32σ12)]t, то получили бы разложение
u=εcosζcoskx+O(ε3)

равномерно пригодное при всех t. Следовательно, в последнем случае ζ-оптимальная координата.

В качестве третьего примера рассмотрим сверхзвуковое обтекание тонкого крыла (п. 2.1.3). Равенство (2.1.36) задает следующее разложение для осевой составляющей скорости:
uU=1εTB+ε2[1B2(1M4(γ+1)4B2)T2γ+12M4B3yTTTT]+O(ε3),

где T=T(xBy),y=εT(x) (форма крыла).
Это разложение получено при фиксированных x и y. Считая фиксированными переменные
ξ=y и xBy=ζεγ+12M4B2ξT(ζ),

мы бы получили разложение
uU=1εΓ(ζ)B+ε2[1B2(1M4(γ+1)4B2)T2TT]+O(ε3),

которое является равномерно пригодным. Следовательно, (2.5.8) оптимальные координаты.

Следует отметить, что координата может оказаться оптимальной для точности порядка O(ε), но не оптимальной для O(ε2). Например,
ζ=(1+38εa2)t

является оптимальной координатой для уравнения Дюффинга при точности O(ε), в то время как для высших порядков она

не является оптимальной. Однако
ζ=(1+38εa215256ε2a4)t

является оптимальной для (2.1.1) при точности O(ε2).
Поскольку большинство прямых разложений теории возмущений (полученных при фиксированных физических координатах) является неравномерным, были развиты методы превращения этих разложений в равномерно пригодные, В методе координатных преобразований (гл. 3) некоторые из этих разложений приводятся к равномерно пригодному виду с помощью определения оптимальных координат как почти тождественных преобразований.

В некоторых из рассмотренных задач, например в задаче (2.2.1) и (2.2.2), равномерно пригодное разложение (заданное соотношением (2.2.11)) имеет вид
y=bexp(1x)+(abe)exp(xxε)+O(ε).

Это разложение нельзя получить, считая фиксированным x или x/ε. При фиксированном x мы бы получили разложение
y=bexp(1x)+O(ε),

которое нарушается в окрестности x=0, ибо, вообще говоря, y(0)=aeqbe. Зафиксировав, однако, x/ε, мы бы пришли к разложению
y=be+(abe)exp(xε),

неравномерная пригодность которого следует из соотношений y(1)=beqbe. Таким образом, решение представлено двумя различными разложениями, использующими координаты (масштабы) x и x/ε. Поскольку эти разложения являются различными асимптотическими представлениями одной и той же функции, они могут быть соотнесены друг другу с помощью так называемого принципа сращивания (гл. 4). Из сказанного следует, что для получения равномерно пригодных разложений можно сначала с помощью разных масштабов построить разные разложения, соотнести эти разложения с помощью принципа сращивания и затем объединить их. Это есть метод сращивания асимптотических разложений, описанных в гл. 4.

Прежде чем получить, скажем, два разложения с помощью двух разных масштабов для представления решения задачи (2.2.1), мы фиксируем значения x и x/ε либо значения некоторых функций от них и затем выводим разложения. Это означает, что мы увеличиваем число независимых переменных до двух и преобра-

зовываем исходное обыкновенное дифференциальное уравнение в дифференциальное уравнение в частных производных. Данный метод представляет собой метод многих масштабов, описанный в гл. 6.
В задачах теории колебаний, описываемых уравнением
u¨+u=εf(u,u˙),

невозмущенное решение (решение при ε=0 ) имеет вид
u=acosφ,φ=t+θ,

где a и θ-постоянные. При εeq0 решение все-таки может быть выражено в приведенной выше форме, если считать a и θ изменяющимися во времени. С помощью метода вариации произвольных постоянных (п. 5.1.1) можно получить следующие уравнения для а и φ :
dadt=εsinφf[acosφ,asinφ],dφdt=1εacosφf[acosφ,asinφ].

Для определения равномерно пригодного разложения решения этих уравнений вместо почти тождественного преобразования независимой переменной (как в методе координатных преобразований) мы можем ввести почти тождественное преобразование обеих зависимых переменных a и φ. Это есть метод усреднения, описанный в гл. 5.

Упражнения

2.1. Для уравнения
(x1)(xτ)+ε=0,ε1,

определить трехчленное разложение решения, близкого к единице. Будет ли оно пригодным для всех значений τ ?
2.2. Вычислить три члена в асимптотическом разложении решения задачи
εy+xy=1,y(0)=1.

Какова здесь область неравномерности?
2.3. Задача о изоэнергетических цилиндрических ударных волнах может быть приведена к виду (Леви [1959])
αw2gdgdw=g(1w2)w(1βw2),

где α и β-постоянные. Для α1 определить разложение g до второго порядка по α и рассмотреть вопрос о его равномерности.

2.4. Для малого 8 определить разложение первого порядка (двучленное) в задаче
x¨+x=ε(x˙13x˙3),x(0)=a,x˙(0)=0.

Является ли это разложение равномерно пригодным?
2.5. Рассмотреть задачу
(x+εy)y+y=0,y(1)=1.
(a) Определить в этой задаче разложение второго порядка (трехчленное), предполагая, что ε1.
(б) Какова область его неравномерности?
(в) Показать, что точное решение задачи имеет вид
y=xε+x2ε2+2ε+1.
(г) Разложить точное решение для малого ε и сравнить с результатом п. (а). Можете ли вы сделать какой-либо вывод об источнике неравномерности?
2.6. Найти при малом ε разложение первого порядка (двучленное) для задачи
(x+8y)y12y=1+x2,y(1)=1.

Какова область его неравномерности?
2.7. Определить разложение первого порядка для малого ε :
(x+εy)y+xy=bex,y(1)=e1.

Какова область его неравномерности?
2.8. Определить двучленное разложение частного решения уравнения
εu(1x2)u=f(x).

Какие условия нужно наложить на f, чтобы это разложение оказалось равномерным?
2.9. Определить при большом λ разложение вида
y=exp[λφ1(x)+φ0(x)+]

для решения уравнения
xy+y+λ2x(1x2)y=0.

Где это разложение нарушается?
2.10. Определить двучленное разложение для решения уравнения
u¨+ω02u+kcosωt=εu2.

Справедливо ли это разложение при всех значениях ω ?

2.11. Определить при малом \& разложение второго порядка (трехчленное) для решения задачи
u¨+(δ+εcos2t)u=0,u(0)=a,u˙(0)=0.

Для каких значений δ это разложение будет неравномерным?
2.12. Показать, что разложение первого порядка при малом μ в задаче
12(dxdt)2=1μx+μ1x,t(0)=0,

имеет вид
2t=23x3/2+μ(23x3/2+x12ln1+x1x)+O[μ2(1x)1].

Какова область его неравномерности?
2.13. Для каких значений a>0 разложение
u=acostε8[(a34a)tcost+14a3cos3t]+

является равномерно пригодным? Существует ли значение a>0, при котором разложение
u=acost+εa38(14cos3t3tsint)+

равномерно пригодно?

2.14. Положить во втором разложении упр. 2.13t=(1+εσ)s и разложить полученное выражение с точностью до O(ε) при фиксированном s. Можно ли подобрать такое σ, чтобы это разложение оказалось равномерно пригодным?

2.15. Для уравнения
u¨+u+εu3=0

ввести новую переменную
ζ=(1+38εa2)t

В полученной задаче определить разложение первого порядка. Является ли оно равномерно пригодным? Можно ли высказать какое-либо суждение о роли независимых переменных в приведении разложений к равномерно пригодному виду?

2.16. Рассмотреть задачу
ddx(h3pdpdx)=Λddx(ph),p(0)=p(1)=1,

где h=h(x)-заданная функция. Определить разложение для больших Λ. Обсудить неравномерность этого разложения. Опустить условие p(1)=1 и вычислить два члена.

2.17. Рассмотреть задачу
d2βdξ2=α2fsin(ξ+β),d2fdξ2=cos(ξ+β),f(0)=β(0)=f(π2)=β(π2)=0,

возникающую при изучении изгиба цилиндрических труб (Рейсснер и Вайничке [1963]). Определить разложение с точностью O(α2) при малом α и обсудить вопрос о его равномерности.

2.18. Задача о ламинарном течении в канале с равномерно пористыми стенками различной проницаемости может быть приведена к виду (Праудман [1960]; Террил и Шреста [1965])
f+R(fff2)=c,f(0)=1,f(0)=0,f(1)=1α,f(1)=0.

Показать, что при малом α справедливы соотношения
f=1+αA[2(eRx+Rx1)R(1eR)x2]+O(α2),c=2αR2A(eR1)+O(α2),

и определить A.

2.19. Определить разложение первого порядка в задаче
uttuxx+u=eu3,ε1,u(x,0)=acoskx,ut(x,0)=0,

и обсудить вопрос о его равномерности.

2.20. Определить прямое разложение первого порядка при малом ε в задаче
uttc2uxx=εuux,u(x,0)=f(x)+g(x),ut(x,0)=c[g(x)f(x)].

Здесь f(x),g(x)-ограниченные функции x. Обсудить вопрос о его равномерности.

1
Оглавление
email@scask.ru