В данном пункте описывается методика, развитая Ван-дер-Полем [1926] для исследования периодических решений уравнения
\[
\frac{d^{2} u}{d t^{2}}+\omega_{0}^{2} u=\varepsilon\left(1-u^{2}\right) \frac{d u}{d t}+\varepsilon k \lambda \cos \lambda t,
\]

носящего его имя. Величина $\varepsilon$ в (5.2.1) предполагается малой, $\lambda$ (частэта возбуждения) считается отличной от $\omega_{0}$ (собственной частоты) на малую величину порядка $\varepsilon$. В этих предположениях решение уравнения (5.2.1) ищется в виде
\[
u(t)=a_{1}(t) \cos \lambda t+a_{2}(t) \sin \lambda t,
\]

где $a_{1}(t)$ и $a_{2}(t)$ предполагаются слабо меняющимися функциями времени, а именно $d a_{i} / d t=O(\varepsilon), d^{2} a_{i} / d t^{2}=O\left(\varepsilon^{2}\right)$.
Дважды продифференцировав (5.2.2), получим
\[
\begin{array}{l}
\ddot{u}=-\lambda^{2} a_{1} \cos \lambda t-\lambda^{2} a_{2} \sin \lambda t-2 \dot{a}_{1} \lambda \sin \lambda t+ \\
+2 \dot{a}_{2} \lambda \cos \lambda t+\ddot{a}_{1} \cos \lambda t+\ddot{a}_{2} \sin \lambda t .
\end{array}
\]

Здесь точка над буквой означает дифференцирование по времени. Подставим (5.2.2), (5.2.3) в (5.2.1) и отбросим члены, порядок которых выше $\varepsilon$, вспоминая, что $\dot{a}_{i}=O(\varepsilon)$ и $\ddot{a}_{i}=O\left(\varepsilon^{2}\right)$. Приравнивая коэффициенты при $\cos \lambda t$ и $\sin \lambda t$ в обеих частях, получим
\[
\begin{array}{l}
2 \dot{a}_{1}+\frac{\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}}{\lambda} a_{2}-\varepsilon a_{1}(1-\rho)=0, \\
2 \dot{a}_{2}-\frac{\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}}{\lambda} a_{1}-\varepsilon a_{2}(1-\rho)=\varepsilon k,
\end{array}
\]

где принято обозначение
\[
\rho=\frac{a^{2}}{4}=\frac{a_{1}^{2} \cdot a_{2}^{2}}{4} .
\]

Обращаясь к изучению периодических решений уравнения (5.2.1), отметим, что они соответствуют стационарным решениям уравнений (5.2.4) и (5.2.5), т. е. соответствуют решениям уравнений
\[
\begin{array}{r}
2 \sigma a_{20}-a_{10}\left(1-\rho_{0}\right)=0, \\
-2 \sigma a_{10}-a_{20}\left(1-\rho_{0}\right)=k,
\end{array}
\]

где $\sigma$-коэффициент расстройки, равный
\[
\sigma=\frac{\lambda-\omega_{0}}{\varepsilon} .
\]

В уравнениях (5.2.4), (5.2.5) опущены члены порядка $O\left(\varepsilon^{2}\right)$. Возведя обе части равенств (5.2.7) и (5.2.8) в квадрат, сложив их и учитывая (5.2.6), получим частотную характеристику
\[
\rho_{0}\left[4 \sigma^{2}+\left(1-\rho_{0}\right)^{2}\right]=\frac{k^{2}}{4} .
\]

5.2.2. Методика Крылова – Боголюбова

Рассмотрим эту методику применительно к общему слабо нелинейному уравнению второго порядка
\[
\frac{d^{2} u}{d t^{2}}+\omega_{0}^{2} u=\varepsilon f\left(u, \frac{d u}{d t}\right) .
\]

При $\varepsilon=0$ решение уравнения (5.2.11) записывается в виде
\[
u=a \cos \left(\omega_{0} t+\theta\right),
\]

где $a$ и $\theta$-постоянные. Для нахождения приближенного решения уравнения (5.2.11) при малом, но отличном от нуля е Крылов и Боголюбов [1947] предположили, что решение имеет тот же вид (5.2.12) при условии, что
\[
\frac{d u}{d t}=-a \omega_{0} \sin \varphi, \quad \varphi=\omega_{0} t+\theta,
\]

и величины $\alpha$ и $\theta$ изменяются во времени. Таким образом, эта методика аналогична методике Ван-дер-Поля, обсуждавшейся в предыдущем пункте. Единственная разница заключена в виде первого члена.
Дифференцирование (5.2.12) по $t$ дает
\[
\frac{d u}{d t}=-a \omega_{0} \sin \varphi+\frac{d a}{d t} \cos \varphi-a \frac{d \theta}{d t} \sin \varphi .
\]

Следовательно, с учетом (5.2.13) имеем
\[
\frac{d a}{d t} \cos \varphi-a \frac{d \theta}{d t} \sin \varphi=0 .
\]

Дифференцирование (5.2.13) по $t$ дает
\[
\frac{d^{2} u}{d t^{2}}=-a \omega_{0}^{2} \cos \varphi-\omega_{0} \frac{d a}{d t} \sin \varphi-a \omega_{0} \frac{d \theta}{d t} \cos \varphi .
\]

Подставив это выражение в (5.2.11) и используя (5.2.12), получим
\[
\omega_{0} \frac{d \dot{a}}{d t} \sin \varphi+a \omega_{0} \frac{d \theta}{d t} \cos \varphi=-\varepsilon f\left[a \cos \varphi,-a \omega_{0} \sin \varphi\right] .
\]

Разрешая (5.2.14) и (5.2.15) относительно $d a / d t$ и $d \theta / d t$, будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=-\frac{\varepsilon}{\omega_{0}} \sin \varphi f\left[a \cos \varphi,-a \omega_{0} \sin \varphi\right], \\
\left.\frac{d \theta}{d t}=-\varepsilon \frac{\varepsilon}{a \omega_{0}} \cos \varphi f^{\prime} a \cos \varphi,-a \omega_{0} \sin \varphi\right] .
\end{array}
\]

Таким образом, исходное дифференциальное уравнение (5.2.11) относительно $u$ заменено системой двух дифференциальных уравнений первого порядка (5.2.16) и (5.2.17) относительно амплитуды $a$ и фазы $\theta$.

Приступая к решению системы (5.2.16) и (5.2.17), заметим, что правые части ее уравнений периодичны по $\varphi$, и, следовательно, $d a / d t=O(\varepsilon), d \theta / d t=O(\varepsilon)$. Таким образом, $a$ и $\theta$-слабо меняющиеся функции времени (поскольку $\varepsilon$ мало) и их изменение за время $T=2 \pi / \omega_{0}$, равное периоду правых частей, очень мало. Усредняя (5.2.16) и (5.2.17) по интервалу $[t, t+T]$, в течение которого величины $a$ и $\theta$ в правых частях этих уравнений могут считаться постоянными, получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=-\frac{\varepsilon}{2 \omega_{0}} f_{1}(a), \\
\frac{d \theta}{d t}=-\frac{\varepsilon}{2 a \omega_{0}} g_{1}(a) .
\end{array}
\]

Здесь принято обозначение
\[
\begin{aligned}
f_{1}(a) & =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} \sin \varphi f\left[a \cos \varphi,-a \omega_{0} \sin \varphi\right] d t= \\
& =\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \sin \varphi f\left[a \cos \varphi,-a \omega_{0} \sin \varphi\right] d \varphi, \\
g_{1}(a) & =\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \cos \varphi f\left[a \cos \varphi,-a \omega_{0} \sin \varphi\right] d \varphi .
\end{aligned}
\]

Отметим, что $f_{1}$ и $g_{1}$ являются попросту двумя коэффициентами в разложении в ряд Фурье функции $f$.

В качестве примера рассмотрим уравнение Дюффинга (2.1.1), в котором
\[
f(u, \dot{u})=-u^{3} \text {. }
\]

Следовательно,
\[
f_{1}(a)=0, \quad g_{1}(a)=-\frac{3}{4} a^{3} .
\]

Тогда из (5.2.18) следует, что $a$-постоянная, а из (5.2.19),что
\[
\theta=\frac{3}{8} \varepsilon \frac{a^{2}}{\omega_{0}} t+\theta_{0} .
\]

Поэтому в первом приближении имеем
\[
u=a \cos \omega_{0}\left[1+\frac{3}{8} \varepsilon \frac{a^{2}}{\omega_{0}^{2}}\right] t+O(\varepsilon) .
\]

В качестве второго примера рассмотрим осциллятор Ван дер-Поля, в котором
\[
f(u, \dot{u})=\left(1-u^{2}\right) \frac{d u}{d t} .
\]

В этом случае имеем
\[
f_{1}=-\omega_{0} a\left(1-\frac{1}{4} a^{2}\right), g_{1}=0 .
\]

Из (5.2.19) следует, что $\theta=\theta_{0}$-постоянная, в то время как
\[
\frac{d a}{d t}=\frac{\varepsilon a}{2}\left(1-\frac{1}{4} a^{2}\right) .
\]

Интегрируя (5.2.28), получим
\[
a^{2}=\frac{4}{1+\left(\frac{4}{a_{0}^{2}}-1\right) \rho-\varepsilon t} .
\]

В основе метода Леверье [1856] лежит та же идея, что и в данной методике.

5.2.3. Обобщенный метод усреднения

Рассматриваемая методика трактует равенства (5.2.12) и (5.2.13) как преобразование переменных $u$ и $d u / d t$ к переменным $a$ и $\varphi$, при котором выполнено
\[
\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=-\frac{\varepsilon}{\omega_{0}} \sin \varphi f\left[a \cos \varphi,-a \omega_{0} \sin \varphi\right], \\
\frac{d \varphi}{d t}=\omega_{0}-\frac{\varepsilon}{a \omega_{0}} \cos \varphi f\left[a \cos \varphi,-a \omega_{0} \sin \varphi\right] .
\end{array}
\]

Переменная $\varphi$ называется быстро вращающейся фазой. Мы не будем интегрировать эти уравнения, как это сделали в преды-

дущем пункте, а определим почти тождественное преобразование (см. Боголюбов и Митропольский [1951], стр. 412)
\[
\begin{array}{l}
a=\bar{a}+\varepsilon a_{1}(\bar{a}, \bar{\varphi})+\varepsilon^{2} a_{2}(\bar{a}, \bar{\varphi})+\ldots, \\
\varphi=\bar{\varphi}+\varepsilon \varphi_{1}(\bar{a}, \bar{\varphi})+\varepsilon^{2} \varphi_{2}(\bar{a}, \bar{\varphi})+\ldots,
\end{array}
\]

переменных $a, \varphi$ к переменным $\bar{a}, \bar{\varphi}$, которое периодично по $\bar{\varphi}$ с периодом $2 \pi$ и приводит систему (5.2.30) к виду
\[
\begin{array}{l}
\frac{\overline{d a}}{d t}=\varepsilon A_{1}(\bar{a})+\varepsilon^{2} A_{2}(\bar{a})+\ldots, \\
\frac{\overline{d \varphi}}{d t}=\omega_{0}+\varepsilon B_{1}(\bar{a})+\varepsilon^{2} B_{2}(\bar{a})+\ldots,
\end{array}
\]

где $A_{i}$ и $B_{i}$ не зависят от $\bar{\varphi}$. В указанной процедуре $a$ и $\varphi$ вовсе не обязаны быть скалярными функциями (Меттлер [1959]; Сетна [1963]; Моррисон [1966в]). Эффекты высших порядков были получены Волосовым [1961], [1962], Мьюзеном [1965], Забрейко и Ледовской [1966]. Крускал [1962] предложил преобразование, обратное к (5.2.31); основываясь на этой процедуре, Стерн [1970в] разработал алгоритм последовательного получения высших приближений. Стерн [1971в] использовал эту методику при изучении медленно меняющихся возмущенных систем.

Іодставив (5.2.31), (5.2.32) в (5.2.30), разлагая по степеням $\varepsilon$ и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим уравнения вида
\[
\begin{array}{l}
\omega_{0} \frac{\partial a_{n}}{\partial \bar{\varphi}}+A_{n}=F_{n}(\bar{a}, \bar{\varphi}), \\
\omega_{0} \frac{\partial \varphi_{n}}{\partial \bar{\varphi}}+B_{n}=G_{n}(\bar{a}, \bar{\varphi}),
\end{array}
\]

в которых правые части являются известными функциями членов более низкого порядка в (5.2.31) и (5.2.32). В общем случае величины $F_{n}$ и $G_{n}$ содержат быстропериодические члены (обозначаемые верхним индексом $s$ ) и медленно меняющиеся члены (обозначаемые верхним индексом $l$ ). Выберем $A_{n}$ и $B_{n}$ равными медленно меняющимся членам, т. е. положим
\[
A_{n}=F_{n}^{l}, \quad B_{n}=G_{n}^{l} .
\]

Тогда придем к уравнениям
\[
\omega_{0} \frac{\partial a_{n}}{\partial \bar{\varphi}}=F_{n}^{s}, \quad \omega_{0} \frac{\partial \varphi_{n}}{\partial \bar{\varphi}}=G_{n}^{s},
\]

которые последовательно разрешаются относительно $a_{n}$ и $\varphi_{n}$. В качестве примера рассмотрим осциллятор Ван-дер-Поля,

в котором
\[
f(u, \dot{u})=\left(1-u^{2}\right) \dot{u}, \quad \omega_{0}=1 .
\]

В этом случае уравнения (5.2.30) приобретают вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=\frac{1}{8} \varepsilon\left[a\left(4-a^{2}\right)-4 a \cos 2 \varphi+a^{3} \cos 4 \varphi\right], \\
\frac{d \varphi}{d t}=1+\frac{1}{8} \varepsilon\left[2\left(2-a^{2}\right) \sin 2 \varphi-a^{2} \sin 4 \varphi\right] .
\end{array}
\]

Подставив (5.2.31), (5.2.32) в (5.2.36) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим для членов, имеющих

порядок $\varepsilon$
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial a_{1}}{\partial \bar{\varphi}}+A_{1}=\frac{1}{8} \bar{a}\left(4-\bar{a}^{2}\right)-\frac{1}{2} \bar{a} \cos 2 \bar{\varphi}+\frac{1}{8} \overline{a^{3}} \cos 4 \bar{\varphi}, \\
\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial \bar{\varphi}}+B_{1}=\frac{1}{4}\left(2-\bar{a}^{2}\right) \sin 2 \bar{\varphi}-\frac{1}{8} \bar{a}^{2} \sin 4 \bar{\varphi} ;
\end{array}
\]

порядок $\varepsilon^{2}$
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial a_{2}}{\partial \bar{\varphi}}+A_{2}= & -\frac{\partial a_{1}}{\partial \vec{a}} A_{1}-\frac{\partial a_{1}}{\partial \bar{\varphi}} B_{1}+ \\
& +\frac{1}{8} a_{1}\left[4-3 \bar{a}^{2}-4 \cos 2 \bar{\varphi}+3 \bar{a}^{2} \cos 4 \bar{\varphi}\right]+ \\
& +\frac{1}{2} \bar{a} \varphi_{1}\left[2 \sin 2 \bar{\varphi}-\bar{a}^{2} \sin 4 \bar{\varphi}\right] \\
\frac{\partial \varphi_{2}}{\partial \bar{\varphi}}+B_{2}= & -\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial \vec{a}} A_{1}-\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial \bar{\varphi}} B_{1}- \\
& -\frac{1}{4} \bar{a} a_{1}(2 \sin 2 \bar{\varphi}+\sin 4 \bar{\varphi})+ \\
& +\frac{1}{2} \varphi_{1}\left[\left(2-\bar{a}^{2}\right) \cos 2 \bar{\varphi}-\bar{a}^{2} \cos 4 \bar{\varphi}\right] .
\end{aligned}
\]

Приравнивая $A_{1}$ и $A_{2}$ медленно меняющимся членам в правой части (5.2.37), получим
\[
A_{1}=\frac{1}{8} \bar{a}\left(4-\overline{a^{2}}\right), \quad B_{1}=0 .
\]

После этого система (5.2.37) примет вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial a_{1}}{\partial \bar{\varphi}}=-\frac{1}{2} \bar{a} \cos 2 \bar{\varphi}+\frac{1}{8} \bar{a}^{3} \cos 4 \bar{\varphi}, \\
\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial \bar{\varphi}}=\frac{1}{4}\left(2-\bar{a}^{2}\right) \sin 2 \bar{\varphi}-\frac{1}{8} \bar{a}^{2} \sin 4 \bar{\varphi}
\end{array}
\]
и имеет своим решением
\[
\begin{array}{l}
a_{1}=-\frac{1}{4} \bar{a} \sin 2 \bar{\varphi}+\frac{1}{32} \bar{a}^{3} \sin 4 \bar{\varphi}, \\
\varphi_{1}=-\frac{1}{8}\left(2-\bar{a}^{2}\right) \cos 2 \bar{\varphi}+\frac{1}{32} \bar{a}^{2} \cos 4 \bar{\varphi} .
\end{array}
\]

С учетом (5.2.40) и (5.2.42) уравнения (5.2.38) и (5.2.39) приобретают вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial a_{2}}{\partial \bar{\varphi}}+A_{2}=\text { быстропериодические члены, } \\
\frac{\partial \varphi_{2}}{\partial \vec{\varphi}}+B_{2}=-\frac{1}{8}+\frac{3}{16} \bar{a}^{2}-\frac{11}{256} \overline{a^{4}}+\text { быстропериодические }
\end{array}
\]

члены.
Приравнивая $A_{2}$ и $B_{2}$ медленно меняющимся членам в правых частях системы (5.2.43), получим
\[
A_{2}=0, \quad B_{2}=-\frac{1}{8}+\frac{3}{16} \bar{a}^{2}-\frac{11}{256} \bar{a}^{4} .
\]

Поэтому с точностью до второго порядка имеем
\[
u=a \cos \varphi
\]

где
\[
\begin{array}{c}
a=\bar{a}-\frac{1}{4} \varepsilon \bar{a}\left[\sin 2 \bar{\varphi}-\frac{1}{8} \bar{a}^{2} \sin 4 \bar{\varphi}\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\bar{\varphi}=\bar{\varphi}-\frac{1}{8} \varepsilon\left[\left(2-\bar{a}^{2}\right) \cos 2 \bar{\varphi}-\frac{1}{4} \bar{a}^{2} \cos 4 \varphi\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right) ; \\
\frac{d \bar{a}}{d t}=\frac{1}{8} \varepsilon \bar{a}\left(4-\bar{a}^{2}\right)+O\left(\varepsilon^{3}\right), \\
\frac{d \bar{\varphi}}{d t}=1-\frac{1}{8} \varepsilon^{2}\left[1-\frac{3}{2} \bar{a}^{2}+\frac{11}{32} \bar{a}^{4}\right]+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\end{array}
\]

Это решение находится в полном соответствии с решением, которое получено в п. 5.7.4 с помощью алгоритма Кемела.

Для канонических систем преобразование (5.2.31), (5.2.32) можно осуществить в более изящной форме, если применить процедуру фон Цайпеля (§5.6) или ряды и преобразования Ли (п.5.7.5). Последний способ представляет собой простой и эффективный алгоритм, основанный на рекурсивном применении нескольких элементарных операций, и является поэтому очень удобным для расчетов на ЭВМ. С помощью преобразований Ли (§5.7) был сформулирован эффективный рекурсивный алгоритм для неканонических систем.