В предыдущих параграфах было показано, что метод растянутых координат является мощным средством для построения равномерно пригодных разложений в различных физических задачах. Однако, несмотря на успех при исследовании гиперболических дифференциальных уравнений для волн, распространяющихся в одном или в двух направлениях, этот метод не может быть применен для построения равномерно пригодных разложений эллиптических дифференциальных уравнений. Хотя Лайтхилл [1951] и получил равномерно пригодное разложение до второго порядка для обтекания несжимаемой жидкостью тонкого кругового крыла, Фокс [1953] нашла высшие приближения, которые не являются равномерно пригодными. Она доказала также, что для обтекания тонкого крыла сжимаемым газом не может быть получено равномерно пригодного разложения даже второго порядка. В связи с этим Лайтхилл [1961] в более поздней статье рекомендовал применять его метод только для гиперболических дифференциальных уравнений. Несмотря на это, Вальо-Лорен [1962] успешно применил этот метод в сочетании с методом интегральных соотношений в задаче о тупом теле (смешанная краевая задача). Более того, Эмануэль [1966] и Куйкен [1970] успешно применили этот метод к параболическим задачам, связанным с исследованием нестационарного турбулентного потока при диффузии и химических реакциях, а также потока вдоль наклонной поверхности, вызванного сильным впрыскиванием жидкости.

Следует упомянуть, что Хугстратен [1967] модифицировалт этот метод применительно к задачам о дозвуковом обтекании тонкого крыла. Он ввел функцию, равномерно приближающую отображение физической плоскости на плоскость, в которой крыло представлено своей хордой.

Цянь Сюэ-сэнь [1956] высказал предположение, что ограниченность применения метода растянутых координат к исследованию задачи о тонком крыле объясняется тем, что разложения для функций выписываются вблизи нерегулярной точки. К счастью,

можно заметить, что особенности переносятся с зависимых переменных на растягивающие функции, и таким образом можно обнаружить неоднородность в результирующем разложении. Юнь [1968] разложил функцию вблизи нерегулярной особой точки, чтобы получить разложение, пригодное вблизи критического волнового числа, соответствующего разрыву струи, для нелинейной устойчивости жидкой цилиндрической струи. Однако результирующее разложение не имело особенности, хотя, как показал Найфэ [1970c], оно нарушалось при критическом волновом числе. Мы покажем трудности, с которыми столкнулся Юнь, на примере модельной задачи о слабо нелинейной неустойчивости стоячих волн (п. 3.5.1).

Қак показал Леви [1959], метод растянутых координат непригоден для класса задач с сингулярными возмущениями, в которых малый параметр стоит при высших производных (п. 3.5.2). Он показал, что этот метод приводит к ошибочным результатам в задаче о цилиндрических ударных волнах. Тем не менее можно показать, что растяжение зависимых вместо независимых переменных приводит к равномерно пригодному разложению (упражнение 3.33).

Несмотря на то что этот метод дает равномерно пригодные разложения для периодических решений в слабо нелинейных колебательных системах, Найфэ [1966] показал, что эти разложения не содержат никакой информации, кроме предельных циклов и предельных точек. Вообще, если амплитуда изменяется, то метод растянутых координат неприменим.

Мы покажем трудности метода растянутых координат на следующих примерах.

3.5.1. Пример слабо нелинейной неустойчивости

Қак было показано в п. 3.4.2, разложение (3.4.9) для $\sigma$ становится непригодным, если $k-1=O\left(\varepsilon^{2}\right)$. Чтобы применить метод растянутых параметров к этому разложению, положим в (3.4.9)
\[
k=\alpha+e^{2} k_{2} .
\]

Тогда, раскладывая (3.4.9) для малых $\varepsilon$ и собирая коэффициенты при равных степенях $\varepsilon$, получим
\[
\sigma=\sqrt{\alpha^{2}-1}\left[1-\varepsilon^{2} \frac{\frac{9}{32}-\alpha k_{2}}{\alpha^{2}-1}\right]+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\]

Чтобы коэффициент при $\varepsilon^{2}$ был не более сингулярным, чем первый член при $\alpha \longrightarrow 1$, положим $k_{2}=9 / 32$. Тогда (3.5.2) примет вид
\[
\sigma=\sqrt{\alpha^{2}-1}\left[1+\frac{9 \varepsilon^{2}}{32(\alpha+1)}\right]+\ldots,
\]

что ограничено при $\alpha \longrightarrow 1$. Нейтральная устойчивость соответствует $\sigma=0$, т. е. $\alpha=1$, или, согласно (3.5.1),
\[
k=1+\frac{9}{32} \varepsilon^{2}+\ldots .
\]

Чтобы показать непригодность разложения (3.5.3), достаточно показать непригодность условия нейтральной устойчивости (3.5.4). Конфигурация системы при нейтральной устойчивости по определению не зависит от времени, следовательно, она определяется уравнением

Положим
\[
u_{x x}+u=-u^{3} \text {. }
\]
\[
u=\varepsilon \cos k x+\sum_{n=2}^{\infty} A_{n} \cos n k x, A_{n}=O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

Подставив это выражение в (3.5.5) и приравняв коэффициент при $\cos k x$ к нулю, получим
\[
k^{2}=1+\frac{3}{4} \varepsilon^{n}+\ldots .
\]

Следовательно,
\[
k=1+\frac{3}{8} \varepsilon^{2}+\ldots,
\]

что отличается от (3.5.4). Поэтому разложения (3.5.3) и (3.5.4) неверны. Верное разложение, пригодное вблизи $k=1$, получено в п. 6.2.8 с помощью метода кратных масштабов.

3.5.2. Малый параметр при высшей произволной

Леви [1959] показал, что применение метода растянутых координат к задаче о цилиндрической ударной волне (приведенной в упражнении 2.3) приводит к некорректным результатам. Толщина ударной волны, которую нашел Ву [1956], не зависела от величины скачка, что противоречило результату, полученному Леви с помощью топологического анализа. Вместо того чтобы показывать непригодность разложения на примере цилиндрической ударной волны, мы, следуя Леви, обсудим более простую задачу, обладающую теми же особенностями, но имеющую точное решение для сравнения. Уравнение имеет вид
\[
\varepsilon \frac{d y}{d x}=-x y-1,
\]

где $\varepsilon$-малое положительное число. Точное решение этого уравнения, проходящее через точку ( $\left.x_{0}, y_{0}\right)$, имеет вид
\[
y=y_{0} e^{\left(x_{0}^{2}-x^{2}\right) / 2 \varepsilon}-\frac{1}{\varepsilon} e^{-x^{2} / 2 \varepsilon} \int_{x_{0}}^{x} e^{t^{2} / 2 \varepsilon} d t .
\]

Прямое разложение метода возмущений можно получить, положив
\[
y=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} y_{n}(x) .
\]

Подставив (3.5.9) в (3.5.7), приравняв коэффициенты при равных степенях $\varepsilon$ и решив полученные уравнения, придем к решению $y=-x^{-1}-\varepsilon x^{-3}-\ldots-1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 n-1) \varepsilon^{n} x^{-2 n-1}-\ldots$ (3.5.10)
Можно проверить, что (3.5.10) является асимптотическим разложением точного решения (3.5.8) при больших $x$. Заметим, что это разложение становится непригодным вблизи $x=0$, потому что первый член сингулярен, а члены высших порядков все более и более сингулярны. Если $x=O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right)$, то все члены этого разложения имеют порядок $O\left(\varepsilon^{-1 / 2}\right)$. Таким образом, это разложение никогда не будет адекватным разложением в области $x=O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right)$.

Чтобы применить метод растянутых координат к этой задаче, в разложении (3.5.10) положим
\[
x=s+\varepsilon x_{1}(s)+\varepsilon^{2} x_{2}(s)+\ldots,
\]

разложим полученное равенство по $\varepsilon$ при малых $\varepsilon$ и соберем коэффициенты при равных степенях $\varepsilon$. Растягивающие функции затем выбираем так, чтобы члены высших порядков были не более сингулярны, чем первый. В данной задаче это приводит к уничтожению всех членов, за исключением первого. В результате имеем
\[
y=-\frac{1}{s},
\]

ғде
\[
\begin{array}{c}
x=s+\frac{\varepsilon}{s}+\frac{\varepsilon^{2}}{s^{3}}+\ldots+\frac{a_{n} \varepsilon^{n}}{s^{2 n-1}}+\ldots, \\
a_{2 m}=(4 m-2)\left[\sum_{r=0}^{m-2} a_{2 m-1-r} a_{r+1}+\frac{1}{2} a_{m}^{2}\right], \quad m \geqslant 2, \\
a_{2 m+1}=4 m \sum_{r=0}^{m-1} a_{2 m-r} a_{r+1}, \quad m \geqslant 1 .
\end{array}
\]

Из последних соотношений следует, что
\[
a_{n}>2^{n-2}(n-1) !, n>2 .
\]

Поэтому разложение (3.5.13) расходится; фактически оно является „более“ расходящимся, чем (3.5.10), и теряет смысл, когда $x$ подходит к $O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right)$. Все, что достигнуто,– это замена не-

пригодного разложения по одной переменной на непригодное разложение по другой переменной. Причина непригодности полученного разложения заключается в отбрасывании высшей производной, что мало сказывается при больших $x$, но становится существенным, когда $x$ приближается к области $O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right)$.

3.5.3. Задача о космическом корабле Земля – Луна

Ниже мы покажем, что применение метода растянутых координат к двумерной задаче о космическом корабле Земля – Луна (введенной в п. 2.4.2) приводит к непригодным разложениям. Чтобы сделать разложение (2.4.17) и (2.4.18) равномерно пригодным, применим метод растянутых координат. Подставив
\[
x=s+\mu x_{1}(s)+\ldots
\]

в это разложение, получим
\[
\begin{array}{l}
\sqrt{2} t=\frac{1}{\rho^{3}} \sin ^{-1} \rho \sqrt{s}-\frac{1}{\rho^{2}} \sqrt{s\left(1-\rho^{2} s\right)}+ \\
+\mu\left[\sqrt{\frac{s}{1-\rho^{2} s}} x_{1}-\frac{2}{\rho^{3}} \sin ^{-1} \rho \sqrt{s}+\frac{2-\rho^{2}}{\rho^{2}\left(1-\rho^{2}\right)} \sqrt{\frac{s}{1-\rho^{2} s}}\right. \\
\left.-\frac{1}{2\left(1-\rho^{2}\right)^{3 / 2}} \ln \frac{1+\left(1-2 \rho^{2}\right) s+2 \sqrt{\left(1-\rho^{2}\right)\left(1-\rho^{2} s\right) s}}{1-s}\right]+O\left(\mu^{2}\right) .
\end{array}
\]

Растягивающая функция $x_{1}$ выбирается так, чтобы выражение, стоящее в квадратных скобках, было не более сингулярно, чем первый член, если $s \rightarrow 1$. Таким образом,
\[
x_{1}=-\frac{1}{2\left(1-\rho^{2}\right)} \ln (1-s) \text {. }
\]

Здесь растягивающую функцию можно было бы выбрать так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обратилось в нуль. В результате получим разложение первого порядка
\[
\begin{aligned}
\sqrt{2} t & =\frac{1}{\rho^{3}} \sin ^{-1} \rho \sqrt{s}-\frac{1}{\rho^{2}} \sqrt{s\left(1-\rho^{2} s\right)}+O\left(\mu^{2}\right), \\
y & =-\mu c s+O\left(\mu^{2}\right),
\end{aligned}
\]

где
\[
x=s-\frac{1}{2} \frac{\mu}{1-\rho^{2}} \ln (1-s)+O\left(\mu^{2}\right) .
\]

Сравнивая это разложение с точным решением, Найфэ (1965а) показал, что оно дает отклоняющуюся траекторию вблизи Луны, хотя разложение, полученное в одномерном случае, достаточно хорошо согласуется с точным решением. В одномерном случае имеет место особенность при $x=1+\mu /\left(1-\rho^{2}\right)+O\left(\mu^{2}\right)$, которая

находится вне интересующей нас области $0 \leqslant x \leqslant 1$. В прямом разложении особенность сдвигается в точку $x=1$, и растяжение $x$ перемещает особенность из точки $x=1$ в правильное положение. Однако в двумерном случае имеет место резкое изменение в направлении движения космического корабля в окрестности Луны, и растяжение порядка $O(\mu)$ не может компенсировать такое резкое изменение.

Упражнения

3.1. Рассмотреть задачу
\[
\ddot{u}+u=\varepsilon u^{2}, \quad u(0)=a, \quad \dot{u}(0)=0 .
\]
(a) Определить прямое разложение второго порядка (три члена) и исследовать его равномерность.
(б) Сделать это разложение равномерно пригодным, используя метод перенормировки.
(в) Построить равномерно пригодное разложение первого порядка (два члена), используя метод растянутых парамеров, и сравнить результат с п. (б).
3.2. (а) Показать, что свободное движение точечной массы вдоль параболы $x^{2}=2 p z$, вращающейся вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega$, описывается уравнением
\[
\left(1+\frac{x^{2}}{p^{2}}\right) \ddot{x}+\frac{x \dot{x}^{2}}{p^{2}}+\left(\frac{g}{p}-\omega^{2}\right) x=0 .
\]
(б) Определить двучленное прямое разложение для малых амплитуд и исследовать его равномерность.
(в) Сделать это разложение равномерно пригодным, используя метод перенормировки.
г) Построить одночленное равномерно пригодное разложение помощью метода растянутых параметров и сравнить результат с п. (в).
3.3. Определить двучленное равномерно пригодное разложение при малых амплитудах для решения уравнения
\[
\ddot{\theta}+\frac{g}{l} \sin \theta=0,
\]

описывающего колебания маятника.
3.4. Построить равномерно пригодное разложение второго порядка для периодического решения уравнения
\[
\ddot{u}+u=\varepsilon\left(1-u^{2}\right) \dot{u},
\]

заметив, что амплитуда не произвольна.
3.5. Построить равномерно пригодное разложение первого порядка для периодического решения системы уравнений
\[
\begin{aligned}
\ddot{u}+u & =\varepsilon(1-z) \dot{u}, \\
\tau \dot{z}+z & =u^{2},
\end{aligned}
\]

где $\tau=$ постоянная.

3.6. Рассмотреть уравнение

\[
\ddot{u}+\omega_{0}^{2} u=\varepsilon u^{2}+k \cos \omega t .
\]

Определить равномерно пригодные разложения первого порядка для периодических решений, если
(a) $\omega_{0} \approx 2 \omega$ (указание: положить $\omega_{0}=2 \omega+8 \sigma$ и $u=u_{0}+2 u_{1} \ldots$, где $u_{0}=$ $=a \cos (2 \omega t+\beta)+(1 / 3) h \omega^{-2} \cos \omega t$, затем определить $a$ и $\beta$ из уравнения для $\left.u_{1}\right)$;
(б) $\omega_{0} \approx \omega / 2$ (а в этом случае произвольно).

3.7. Рассмотреть уравнение

\[
\ddot{u}+\omega_{0}^{2} u=\varepsilon u^{3}+k \cos \omega t .
\]

Определить равномерно пригодные разложения первого порядка для периодических решений, если (а) $\omega_{0} \approx 3 \omega$ и (б) $\omega_{0} \approx \omega / 3$.

3.8. Определить разложения второго порядка для нечетных решений, соответствующих переходным кривым уравнения
\[
\ddot{u}+(\delta+\varepsilon \cos 2 t) u=0,
\]

где $\delta$ близко к 1 или к 4 .

3.9. Рассмотреть уравнение
\[
\ddot{u}+\frac{\delta u}{1+\varepsilon \cos 2 t}=0 .
\]
(a) Построить разложения второго порядка для переходных кривых вблизи $\delta=0,1,4$ (Шень [1959]).
(б) Используя метод Уиттекера, построить разложение второго порядка для $и$ вблизи этих кривых.

3.10. Рассмотреть уравнение
\[
\ddot{u}+\frac{\delta-\varepsilon \cos ^{2} t}{1-\varepsilon \cos ^{2} t} u=0 .
\]
(a) Определить разложения второго порядка для первых трех переходных кривых (Рэнд и Дзен, [1969]) (т. е. вблизи $\delta=0,1$ и 4).
(б) Используя метод Уиттекера, найти $и$ вблизи этих кривых.

3.11. Рассмотреть уравнение
\[
\ddot{u}+\left(\delta+\varepsilon \cos ^{3} t\right) u=0 .
\]

Определить разложения второго порядка для первых трех переходных кривых, используя метод растянутых параметров и метод Уиттекера.

3.12. Определить с точностью до $O(\varepsilon)$ периодическое решение уравнения (Малхолланд [1971])
\[
\ddot{u}+\ddot{u}+\dot{u}+u=\left(1-u^{2}-\dot{u}^{2}-\ddot{u}{ }^{2}\right)(\ddot{u}+\dot{u}) .
\]

3.13. Построить разложение первого порядка для уравнения
\[
\ddot{u}+\lambda u=\varepsilon u^{3}
\]

подчиненное условиям: (а) $u(0)=u(\pi)=0$ и (б) $u(t)=u(t+2 \pi)$.

3.14. Определить разложение первого порядка для системы уравнений
\[
\begin{aligned}
\ddot{u}+\lambda u & =\varepsilon\left(\sin 2 t+u^{2}\right) u, \\
u(t) & =u(t+2 \pi) .
\end{aligned}
\]

3.15. Построить разложения первого порядка для задач
\[
\begin{array}{l}
\ddot{u}+\lambda u=\varepsilon t u, \\
u t=u(t+2 \pi) .
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{c}
\ddot{u}+\lambda u=\varepsilon(\alpha \cos 2 t+\beta \sin 2 t) u, \\
u(t)=u(t+2 \pi) .
\end{array}
\]

3.16. Определить разложение первого порядка периодического решения при малых амплитудах для системы уравнений
\[
\begin{array}{c}
\ddot{x}+\frac{k}{m} x+g(1-\cos \theta)-(l+x) \dot{\theta}^{2}=0, \\
\ddot{\theta}+\frac{g}{l+x} \sin \theta+\frac{2}{l+x} \dot{x} \dot{\theta}=0,
\end{array}
\]

которая описывает колебания качающейся пружины длиной $l, k$-постоянная, $\omega_{1}^{2}=k / m \approx 4 \omega_{2}^{2}=4 g / l$.

3.17. Свободные колебания шарнирно закрепленной балки на упругом основании описываются краевой задачей
\[
\begin{array}{c}
u_{x x x x}+\gamma u+\varepsilon \gamma u^{3}+u_{t t}=0, \\
u(0, t)=u(\pi, t)=u_{x x}(0, t)=u_{x x}(, t)=0, \\
u(x, 0)=a \sin x, \quad u_{t}(x, 0)=0,
\end{array}
\]

где $\gamma, a$ и $\varepsilon$-постоянные. Построить разложения до $O(\varepsilon)$ для частоты колебаний (Хан [1965]).

3.18. Продолжить разложения из п. 3.1.4 и 3.1.5 до второго порядка.

3.19. Рассмотреть решение следующего уравнения в виде однородных распросграняющихся волн
\[
u_{t t}-u_{s x}+u=\varepsilon u^{3} .
\]

Решения искать в виде $u=a \exp i(k x-\omega t)+$ высшие гармоники. Определить сдвиг частоты и волнового числа.

3.20. Рассмотреть задачу
\[
\begin{array}{c}
u_{t t}+u_{x x}+u_{x x x x}=\varepsilon u^{3}, \\
u(x, 0)=a \cos k x, u_{t}(x, 0)=0 .
\end{array}
\]
(a) Построить прямое разложение первого порядка.
(б) Сделать это разложение равномерно пригодным, применив метод перенормировки,
(в) Определить разложение, пригодное для $t=O\left(\varepsilon^{-1}\right)$, используя метод растянутых параметров.
(г) Показать, что частота становится непригодной вблизи $k=1$.
(д) Удалить особенность, применив метод перенормировки к этой частоте.
(е) Показать, что в результате получится ошибочное разложение.

3.21. Рассмотреть задачу на собственные значения
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{x x}+\varphi_{y y}+\lambda \varphi=\varepsilon x^{2} \varphi, \\
\varphi(x, 0)=\varphi(x, \pi)=\varphi(0, y)=\varphi(\pi, y)=0 .
\end{array}
\]

Построить разложение первого порядка, если $\lambda$ близко к 2 или к 5.

3.22. Рассмотреть задачу
\[

abla^{2} \varphi+\lambda \varphi=\varepsilon f(x, y, z) \varphi,
\]

где $\varphi$ обращается в нуль на поверхности куба со стороной $\pi$. Построить разложения первого порядка, если $\lambda \approx 3$ или 6 , если (а) $f=x^{2}$ и (б) $f=x^{2} y$.

3.23. Поперечные свободные колебания шарнирно закрепленной балки приводят к краевой задаче
\[
\begin{array}{c}
E I w_{x x x x}-T w_{x x}+\rho w_{t t}=0, \\
T=\frac{E S}{2 l} \int_{0}^{l}\left(w_{x}\right)^{2} d x, \\
w(0, t)=w(l, t)=w_{x x}(0, t)=w_{x x}(l, t)=0, \\
w(x, 0)=a \sin \frac{\pi x}{l}, \quad w_{t}(x, 0)=0,
\end{array}
\]

где $E, I, \rho, S, a$ и $l$ – постоянные. Построить разложение первого порядка для малых амплитуд (Ивенсен [1968]).

3.24. Рассмотреть задачу
\[
(x+\varepsilon y) y^{\prime}+y=0, \quad y(1)=1 .
\]
(a) Построить прямое разложение второго порядка. Какова область неоднородности?
(б) Сделать это разложение равномерно пригодным, используя метод перенормировки.
(в) Построить разложение первого порядка (два члена по $y$ и три члена по $x$ ), используя метод Лайтхилла, и сравнить его с разложением, найденным в п. (б).
(г) Найти точное решение, поменяв ролями зависимую и независимую переменные, и сравнить с решениями, найденными в п. (б) и (в).

3.25. Показать, что равномерно пригодное разложение для задачи
\[
(x+\varepsilon y) y^{\prime}+x y=b e^{-x}, \quad y(1)=e^{-1}
\]

имеет вид
\[
y=e^{-\xi(b \ln \xi+1)+O(\varepsilon),}
\]

где $x=\xi \rightarrow(b \ln \xi+b+1)+O\left(\varepsilon^{2}\right)$.

3.26. Рассмотреть задачу
\[
(x+\varepsilon y) y^{\prime}-\frac{1}{2} y=1+x^{2}, \quad y(1)=1 .
\]
(a) Построить прямое разложение второго порядка и исследовать его равномерность.
(б) Сделать это разложение равномерно пригодным, используя метод перенормировки.
(в) Получить разложение первого порядка, используя метод Лайтхилла, и сравнить результат с п. (б).

3.27. Использяя метод перенормировки, сделать разложение из упражнения 2.12 равномерно пригодным.

3.28. Рассмотреть задачу
\[
\begin{array}{c}
\left(x^{n}+\varepsilon y\right) y^{\prime}+n x^{n-1} y-m x^{m}-1=0, \\
y(1)=a>1 .
\end{array}
\]
(a) Показать, что точное решение имеет вид
\[
x^{n} y+\frac{1}{2} \varepsilon y^{2}=x^{m}+\left(a+\frac{1}{2} \varepsilon a^{2}-1\right) .
\]
(б) Показать, что применение метода Лайтхилла дает
\[
\begin{array}{c}
y \sim y_{0}=\left(\varepsilon^{m}+a-1\right) \xi-n, \\
x=\xi-\frac{1}{2} \frac{\varepsilon \xi\left(y_{0}^{2}-a^{2}\right)}{(n-m) \xi^{m}+n(a-1)}+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\end{array}
\]
(в) Показать, что приближенное решение непригодно вблизи $x=0$, за исключением некоторых значений $m$ и $n$ (Камсток [1968]).
(г) Ввести новую переменную $z=x^{n}$ в исходную задачу и затем, растянув $z$, построить приближенное решение для $y$. Определить условия, при которых новое разложение будет пригодным вблизи начала координат (Бернсайд [1970]). Исходя из этого, определить роль замены независимой переменной в превращении приближенного решения в равномерно пригодное.

3.29. Рассмотреть задачу
\[
(1+\varepsilon u) \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=0, \quad u(x, 0)=\varepsilon \varphi(x) .
\]
(a) Определить прямое разложение первого порядка при $\varepsilon \ll 1$ и исследовать его равномерность.
(б) Сделать это разложение равномерно пригодным, используя метод перенормировки.
(в) Построить разложение первого порядка, используя метод Лайтхилла, и сравнить результат с п. (б).

3.30. Рассмотреть задачу
\[
\begin{array}{c}
u_{t t}-c^{2} u_{x x}=u_{x} u_{x x}, \\
u(0, t)=\varepsilon \varphi(t), \varphi(t)=0 \text { при } t \leqslant 0, \\
u(x, 0)=0 \text { при } x \geqslant 0 .
\end{array}
\]
(a) Построить прямое разложение первого порядка и сделать его „равномерно пригодным\”, используя метод перенормировки.
(б) Определить разложение первого порядка, используя метод Лайтхилла, и сравнить с п. (а). Показать, что перенормировка $u$ вместо $u_{x}$ приводит к неверным результатам.

3.31. Рассмотреть задачу (Лайтхилл [1949a]):
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{n}{x+y} u=u\left(\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial v}{\partial y}\right), \quad u=v, \\
u(x, 0)=v(x, 0)=0, \\
u(0, y)=\varepsilon \varphi(y) y^{-n}, \quad 0<n<1,
\end{array}
\]
где $\varphi(0)=0$. Показать, что равномерно пригодное разложение первого порядка имеет вид
\[
\begin{array}{c}
u=\varepsilon \varphi(\eta)(x+\eta)^{-n}+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
y=\eta-\frac{\varepsilon \varphi(\eta)(x+\eta)^{1-n}}{1-n}+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\end{array}
\]

3.32. Рассмотреть задачу
\[
\begin{array}{c}
u_{t t}-c^{2} u_{x x}=\varepsilon u_{x} u_{x x}, \\
u(x, 0)=f(x)+g(x), \quad u_{t}(x, 0)=c\left(g^{\prime}(x)-f^{\prime}(x)\right),
\end{array}
\]
где $f(x)$ и $g(x)$-ограниченные функции $x$.
(a) Определить прямое разложение первого порядка. Можно ли сделать его равномерно пригодным, используя метод перенормировки?
(б) Получить разложение первого порядка, используя метод растянутых координат.

3.33. Рассмотреть задачу
\[
\varepsilon y^{\prime}+y=1, \quad y(1)=1 .
\]
(a) Показать, что метод Лайтхилла не дает равномерно пригодного разложения.
(б) Показать, что растяжение $y$ вместо $x$ дает равномерно пригодное разложение
(в) Исследовать, может ли растяжение $y^{\prime}$ дать равномерно пригодное разложение для
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=0, \\
y(0)=\alpha, \quad y(1)=\beta .
\end{array}
\]

3.34. Рассмотреть задачу
\[
\ddot{u}+u=\varepsilon f(u, \dot{u}) .
\]
(a) Показать, что метод растянутых координат (MPK) приводит к
\[
u=a \sin \varphi+O(\varepsilon), \quad \varphi=s+c,
\]
где
\[
\begin{array}{c}
t=s+\varepsilon t_{1}(s)+\ldots, \\
a t_{1}^{\prime \prime}=\alpha=-\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f[a \sin \varphi, a \cos \varphi] \cos \varphi d \varphi, \\
2 a t_{1}^{\prime}=\beta=\frac{1}{\pi} \int_{1}^{2 \pi} f[a \sin \varphi, a \cos \varphi] \sin \varphi d \varphi .
\end{array}
\]
(б) Показать, что $\alpha=0$ и $\beta$ – постоянная, такая, что $t_{1}=(1 / 2) \beta a^{-1} s+$ const.
(в) Исходя из этого показать, что МРK дает только предельные циклы или предельные точки для этой задачи (Найфэ [1966]).