В этом параграфе мы рассмотрим сначала асимптотические решения уравнений в окрестности бесконечно удаленной иррегулярной особой точки. Затем обсудим уравнения с малым или большим параметром. Наконец, опишем асимптотические разложения для уравнений с медленно меняющимися коэффициентами.

7.2.1. Разложения в окрестности иррегулярной особой точки
Рассмотрим поведение системы $n$ линейных уравнений
\[
\frac{d \mathbf{y}}{d x}=x^{q} A(x) \mathbf{y}
\]

при $x \rightarrow \infty$. Здесь $q$-целое число, $q \geqslant-1$, а матрица представима в виде
\[
A(x)=\sum_{m=0}^{\infty} A_{m} x^{-m} \quad \text { при } x \rightarrow \infty .
\]

При $q=-1$ точка $x=\infty$ является регулярной особой точкой системы (7.2.1), при $q>-1$ – иррегулярной особой точкой. Поведение решения в окрестности иррегулярной особенности зависит от того, будут ли все собственные значения матрицы $A_{0}$ различными или нет. В этом пункте будем рассматривать случай различных собственных значений.

Скалярное уравнение вида (7.2.1) может быть решено явно, и решение его имеет вид
\[
y(x)=U(x) x^{G} e^{Q(x)},
\]

где $G$, – вообще говоря, комплексная постоянная, а $Q(x)$-полином относительно $x$ вида
\[
Q(x)=\left\{\begin{array}{l}
0 \text { при } q=-1, \\
\sum_{m=1}^{q+1} Q_{m} x^{m},
\end{array}\right.
\]

и, далее,
\[
U(x)=\sum_{m=0}^{\infty} U_{m} x^{-m} .
\]

В случае системы уравнений асимптотическое решение опять-таки имеет вид (7.2.3), в котором величины $G, Q_{m}$ и $U_{m}$ являются постоянными матрицами. Томе [1883] назвал такое разложение нормальным решением.

Для отыскания асимптотических разложений решений системы (7.2.1) и (7.2.2) зададимся формальным решением вида
\[
\mathbf{y}=\mathbf{u}(x) x^{\sigma} e^{\Lambda(x)},
\]

где $\sigma$-постоянная, а $\Lambda(x)$ имеет вид
\[
\Lambda(x)=\frac{\lambda_{q+1} x^{q+1}}{q+1}+\frac{\lambda_{q} x^{q}}{q}+\ldots+\lambda_{1} x,
\]

причем $\lambda_{-m}=0$ при $m \geqslant 0$ и, наконец,
\[
\mathbf{u}(x)=\sum_{m=0}^{\infty} \mathbf{u}_{m} x^{-m} \text { при } x \rightarrow \infty .
\]

Здесь $\Lambda$-скаляр, а у и и -векторы-столбцы. Подставив (7.2.6)(7.2.8) в (7.2.1) и (7.2.2) и приравняв коэффициенты при равных степенях $x$, получим уравнения для последовательного определения $\lambda_{n}, \sigma$ и $\mathbf{u}_{n}$. Первое уравнение имеет вид
\[
\left(A_{0}-\lambda_{q+1} I\right) \mathbf{u}_{0}=0,
\]

где $I$-единичная матрица. Для существования нетривиального решения системы (7.2.9) детерминант ее должен обратиться в нуль. Из этого условия получаем следующее алгебраическое уравнение $n$-го порядка:
\[
\left|A_{0}-\lambda_{q+1} I\right|=0 .
\]

Если собственные значения матрицы $A_{0}$ различны, то уравнение (7.2.10) определяет $n$ различных значений для $\lambda_{q+1}$, которые соответствуют $n$ линейно независимым решениям вида (7.2.6).

7.2.2. Асимптотическое разбиение систем уравнений

Сибуя [1958] развил методику упрощения системы уравнений (7.2.1) путем сведения ее к некоторым дифференциальным уравнениям специального вида, которые могут быть решены легче, чем исходная система. Суть этой методики в следующем. Положим
\[
\mathbf{y}=P(x) \mathbf{v}(x),
\]

где $P$ – неособая матрица размером $(n \times n)$, подлежащая определению, $\mathbf{v}$-вектор-столбец. Уравнение (7.2.1), следовательно, преобразуется к виду
\[
\frac{d \mathbf{v}}{d x}=x^{q} B(x) \mathbf{v},
\]

где
\[
B(x)=[P(x)]^{-1}\left[A(x) P(x)-x^{-q} \frac{d P(x)}{d x}\right]
\]

откуда получаем
\[
\frac{d P(x)}{d x}=x^{q}[A(x) P(x)-P(x) B(x)] .
\]

Суть методики состоит в отыскании такой матрицы $P(x)$, чтобы матрица $B(x)$ имела каноническую жорданову форму. Положим с этой целью
\[
\begin{array}{l}
B=\sum_{m=0}^{\infty} B_{m} x^{-m} \text { при } x \rightarrow \infty, \\
P=\sum_{m=0}^{\infty} P_{m} x^{-m} \text { при } x \rightarrow \infty .
\end{array}
\]

Здесь $B_{m}$-матрицы в канонической жордановой форме.
Подставив (7.2.14) в (7.2.13) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $x$, получим
\[
\begin{array}{c}
A_{0} P_{0}-P_{0} B_{0}=0 \\
A_{0} P_{m}-P_{m} B_{0}=\sum_{s=0}^{m-1}\left(P_{s} B_{m-s}-A_{m-s} P_{s}\right)-(m-q-1) P_{m-q-1}
\end{array}
\]

для $m \geqslant 1$, причем при $m-q-1<0$ имеем $P_{m-q-1}=0$. Если матрица $A_{0}$ имеет различные собственные значения, то $P_{0}$ можно выбрать таким образом, чтобы матрица
\[
B_{0}=P_{0}^{-1} A_{0} P_{0}
\]

была диагональной. Помножив уравнение (7.2.16) слева на $P_{0}^{-1}$, получим
\[
B_{0} W_{m}-W_{m} B_{0}=B_{m}+F_{m},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
W_{m}=P_{0}^{-1} P_{m}, \\
F_{t n}=-P_{0}^{-1} A_{m} P_{0}+P_{0}^{-1} \sum_{s=1}^{m-1}\left(P_{s} B_{m-s}-A_{m-s} P_{s}\right)- \\
-(m-q-) W_{m-q-i} .
\end{array}
\]

Обозначив через $F_{m}^{i j}$ компоненты матрицы $F_{m}$, выберем матрицу $B_{m}$ следующим образом:
\[
B_{m}^{i i}=-F_{m}^{i i}, \quad B_{m}^{i j}=0 \quad \text { при } i
eq j .
\]

Поскольку матрица $B_{0}$ имеет различные собственные значения, то из системы (7.2.18), (7.2.21) может быть найдена матрица $\boldsymbol{W}_{m}$ и, следовательно, матрица $P_{m}$ из системы (7.2.19).

В случае кратных собственных значений разбиение системы уравнений на более простые системы проводится по той же схеме. Предположим, что матрица $A_{0}$ имеет кратные собственные значения и что существует матрица $P_{0}$, такая, что
\[
B_{0}=P_{0}^{-1} A_{0} P_{0}=\left(\begin{array}{cc}
B_{0}^{11} & 0 \\
0 & B_{0}^{22}
\end{array}\right),
\]

причем матрица $B_{0}^{11}$ имеет собственные значения $\lambda_{i}(i=1,2, \ldots, r)$, а матрица $B_{0}^{22}$ – собственные значения $\lambda_{j}(j=r+1, r+2, \ldots, n)$, такие, что $\lambda_{i}
eq \lambda_{j}$. Проведем разбиение матриц $W_{m}$ и $F_{m}$ в соответствии с равенствами
\[
W_{m}=\left(\begin{array}{ll}
W_{m}^{11} & W_{m}^{12} \\
W_{m}^{21} & W_{m}^{22}
\end{array}\right), \quad F_{m}=\left(\begin{array}{cc}
F_{m}^{11} & F_{m}^{12} \\
F_{m}^{21} & F_{m}^{22}
\end{array}\right),
\]

где $W_{m}^{11}$ и $F_{m}^{11}$ – матрицы размером $(r \times r)$, а $W_{m}^{22}$ и $F_{m}^{22}$ – размером $((n-r) \times(n-r))$. Выберем
\[
W_{m}^{11}=W_{m}^{22}=0, \quad B_{m}^{11}=-F_{m}^{11}, \quad B_{m}^{22}=-F_{m}^{22} .
\]

Тогда уравнение (7.2.18) примет вид
\[
\begin{array}{l}
B_{0}^{11} W_{m}^{12}-W_{m}^{12} B_{0}^{22}=F_{m}^{12}, \\
B_{0}^{22} W_{0}^{21}-W_{m}^{21} B_{0}^{11}=F_{m}^{21} .
\end{array}
\]

Эти уравнения решаются единственным образом относительно $W_{m}^{12}$ и $W_{m}^{21}$, поскольку у матриц $B_{0}^{11}$ и $B_{0}^{22}$ нет общих собственных значений.
В качестве примера рассмотрим уравнение Бесселя
\[
x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x \frac{d y}{d x}+\left(x^{2}-n^{2}\right) y=0 .
\]

Полагая
\[
y=u_{1}, \quad \frac{d y}{d x}=u_{2},
\]

приведем уравнение (7.2.26) к виду
\[
\begin{aligned}
\frac{d \mathbf{u}}{d x} & =A(x) \mathbf{u}, \\
\mathbf{u}=\left(\begin{array}{l}
u_{1} \\
u_{2}
\end{array}\right), \quad A & =\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1+\frac{n^{2}}{x^{2}} & -\frac{1}{x}
\end{array}\right) .
\end{aligned}
\]

Следовательно, в рассматриваемом случае $q=0, A_{m}=0$ для $m>2$ и
\[
A_{0}=\left(\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right), \quad A_{1}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right), \quad A_{2}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
n^{2} & 0
\end{array}\right) .
\]

Поскольку собственными значениями $A_{0}$ являются $\pm i$, то, положив
\[
P_{0}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 1 \\
i & -i
\end{array}\right), \quad P_{0}^{-1}=\left(\begin{array}{rr}
\frac{1}{2} & -\frac{i}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{i}{2}
\end{array}\right),
\]

получим
\[
B_{0}=P_{0}^{-1} A_{0} P_{0}=\left(\begin{array}{rr}
i & 0 \\
0 & -i
\end{array}\right) .
\]

Тогда из (7.2.20) получаем
\[
F_{1}=-P_{0}^{-1} A_{1} P_{0}=-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr}
-1 & 1 \\
1 & -1
\end{array}\right) .
\]

Из (7.2.21) и (7.2.25) получаем
\[
B_{1}=-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right), \quad W_{1}=\frac{i}{4}\left(\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right) .
\]

Поскольку $W_{1}$ и $B_{1}$ известны, то из (7.2.20) следует
\[
F_{2}=-\frac{i}{8}\left(\begin{array}{ll}
-1-4 n^{2} & 2-4 n^{2} \\
-2+4 n^{2} & 1+4 n^{2}
\end{array}\right) .
\]

Следовательно,
\[
B_{2}=-\frac{i\left(1+4 n^{2}\right)}{8}\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right), \quad W_{2}=-\frac{1-2 n^{2}}{8}\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right) .
\]

Подставив выражения для $B_{0}, B_{1}$ и $B_{2}$ в (7.2.12), получим
\[
\frac{d \mathrm{v}}{d x}=\left[i\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right)-\frac{1}{2 x}\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)-\frac{i\left(1+4 n^{2}\right)}{8 x^{2}}\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right)+O\left(x^{-3}\right)\right] \mathrm{v} .
\]

Имеем, следовательно,
\[
\begin{array}{l}
v_{1}=\frac{a}{\sqrt{x}} \exp \left[i x+i \frac{1+4 n^{2}}{8 x}+O\left(x^{-2}\right)\right], \\
v_{2}=\frac{b}{\sqrt{x}} \exp \left[-i x-i \frac{1+4 n^{2}}{8 x}+O\left(x^{-2}\right)\right],
\end{array}
\]

где $a$ и $b$-постоянные. Имеем для матрицы $P$
\[
P=P_{0}+\frac{1}{x} P_{1}+O\left(x^{-2}\right)=P_{0}\left(I+\frac{1}{x} W_{1}\right)+O\left(x^{-2}\right),
\]

\[
\begin{aligned}
P & =\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
i & -i
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & \frac{i}{4 x} \\
-\frac{i}{4 x} & 1
\end{array}\right)+O\left(x^{-2}\right)= \\
& =\left(\begin{array}{cc}
1-\frac{i}{4 x} & 1+\frac{i}{4 x} \\
i-\frac{1}{4 x} & -i-\frac{1}{4 x}
\end{array}\right)+O\left(x^{-2}\right) .
\end{aligned}
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{u}=P \mathbf{v}=\frac{a}{\sqrt{x}}\left(\begin{array}{c}
1-\frac{i}{4 x} \\
i-\frac{1}{4 x}
\end{array}\right) \exp \left(i x+i \frac{1+4 n^{2}}{8 x}\right)+ \\
+\frac{b}{\sqrt{x}}\left(\begin{array}{l}
1+\frac{i}{4 x} \\
-i-\frac{1}{4 x}
\end{array}\right) \exp \left(-i x-i \frac{1+4 n^{2}}{8 x}\right)+O\left(x^{-5 / 2}\right) .
\end{array}
\]

Отметим, что матрица $P_{2}$ не использована в (7.2.37) и (7.2.38), поскольку погрешность для $\mathbf{v}$ имеет порядок $O\left(x^{-5 / 2}\right)$. Для сравнения этих результатов с результатами, полученными в п. 7.1.2, разложим $\exp \left[ \pm i\left(1+4 n^{2}\right) / 8 x\right]$ по степеням $x^{-1}$. Поскольку для решения $y$
\[
\begin{aligned}
y=u_{1} & =\frac{a}{\sqrt{x}}\left(1-\frac{i}{4 x}\right) \exp \left(i x+i \frac{1+4 n^{2}}{8 x}\right)+ \\
& +\frac{b}{\sqrt{x}}\left(1+\frac{i}{4 x}\right) \exp \left(-i x-i \frac{1+4 n^{2}}{8 x}\right)+O\left(x^{-5 / 2}\right)
\end{aligned}
\]

то
\[
y=\frac{a}{\sqrt{x}}\left(1-i \frac{1-4 n^{2}}{8 x}\right) e^{i x}+\frac{b}{\sqrt{x}}\left(1+i \frac{1-4 n^{2}}{8 x}\right) e^{-i x}+O\left(x^{-5 / 2}\right),
\]

что согласуется с (7.1.14) при $n=0$. Высшие приближения могут быть получены непосредственным (и довольно утомительным) вычислением дальнейших значений $B_{m}$ и $W_{m}$. Методика, использованная в п. 7.1.2, несравненно более проста в применении, чем методика, описанная в этом пункте.

7.2.3. Субнормальные решения

Если матрица $A_{0}$ из системы (7.2.1) имеет кратные собственные значения, то не удается разбить все уравнения на группы выбором диагональной матрицы $B$. Вместо этого мы проведем

такое разбиение системы уравнений, чтобы получить более простые системы вида
\[
\frac{d \mathbf{v}_{i}}{d x}=x^{q} B^{i}(x) \mathbf{v}^{i}, \quad B^{i}=\sum_{m=0}^{\infty} B_{m}^{i} x^{-m},
\]

где собственные значения $\lambda_{i}$ матрицы $B_{0}^{i}$ отличны от собственных значений $\lambda_{j}$ матрицы $B_{0}^{j}$ при $i
eq j$. Таким образом, величина $B^{m}$, соответствующая отдельному собственному значению $\lambda_{m}$, является скаляром, и уравнение (7.2.40) может быть решено. При $q=0$ имеем
\[
v^{m}=a x^{B_{1}^{m}} e^{B_{0}^{m_{x}}}\left[1+\sum_{r=2}^{\infty} \frac{c_{r}}{r-1} x^{-r+1}\right],
\]

где $a$-постоянная, а $c_{r}$ выражаются через $B_{r}^{m}$ для $r \geqslant 2$. Следовательно, существует нормальное решение, соответствующее этому собственному значению исходной системы (7.2.1). Для собственных значений кратности $\lambda_{s}$ матрица $B^{s}$ имеет ранг $m_{s}$. Может оказаться, что приведенная система $m_{s}$ уравнений, а следовательно, и исходная система не имеют нормального решения, соответствующего этому собственному значению. Однако она может иметь так называемое субнормальное решение вида (7.2.3) (7.2.5), в котором $Q$ и $U$ разложены по степеням $x^{1 / r}$, где $r$ целое число.
Приведем в качестве примера уравнение
\[
x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \frac{d y}{d x}-\left(\frac{1}{4}+\frac{5}{16 x}\right) y=0,
\]

которое имеет общее решение
\[
y=a e^{V \bar{x}}\left(x^{-3 / 4}-x^{-5 / 4}\right)+b e^{-V \bar{x}}\left(x^{-3 / 4}+x^{-5 / 4}\right),
\]

состоящее из двух субнормальных решений. Уравнение эквивалентно системе
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \mathbf{u}}{d x}=A \mathbf{u}, \mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}
y \\
\frac{d y}{d x}
\end{array}\right), \\
A=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
\frac{1}{4 x}+\frac{5}{16 x^{2}} & -\frac{2}{x}
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

В этом случае нормального решения не существует, потому что матрица
\[
A_{0}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right)
\]

имеет собственное знаяение $\lambda=0$ кратности два.

7.2.4. Системы, содержащие параметр
Рассмотрим систему $n$ линейных уравнений
\[
\varepsilon^{h} \frac{d \mathbf{y}}{d x}=A(x, \varepsilon) \mathbf{y},
\]

где $\varepsilon$-малое положительное число, $h$-целое число, $A(x, \varepsilon)$ матрица размером $(n \times n)$, допускающая асимптотическое разложение вида
\[
A(x, \varepsilon)=\sum_{m=0}^{\infty} \varepsilon^{m} A_{m}(x) \text { при } \varepsilon \longrightarrow 0 .
\]

При $h$, отрицательном или равном нулю, у представляется асимптотическим разложением
\[
\mathbf{y}(x, \varepsilon)=\sum_{m=0}^{\infty} \varepsilon^{m} y_{m}(x) .
\]

При $h>0$ асимптотические разложения решений системы (7.2.45) зависят от того, имеет ли матрица $A_{0}(x)$ различные на всем рассматриваемом интервале собственные значения. Точка, в которой матрица $A_{0}(x)$ имеет кратные собственные значения, называется точкой возврата или перехода. Задачи с точкой возврата рассматриваются в § 7.3.

Если собственные значения матрицы $A_{0}(x)$ различны, то асимптотическое представление $n$ линейно независимых решений системы $(7.2 .45)$ имеет вид
\[
\mathbf{y}=\mathbf{u}(x, \boldsymbol{\varepsilon}) \exp \left[\int \lambda(x, \boldsymbol{\varepsilon}) d x\right]
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\lambda(x, \varepsilon)=\sum_{r=1}^{h} \varepsilon^{-r} \lambda_{r}(x), \\
\mathbf{u}(x, \varepsilon)=\sum_{r=0}^{\infty} \varepsilon^{r} \mathbf{u}_{r}(x) .
\end{array}
\]

Подставив (7.2.48)-(7.2.50) в (7.2.45) и (7.2.46) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим уравнения, из которых последовательно определяются $\lambda_{r}$ и $\mathbf{u}_{r}$. Существуют $n$ линейно независимых решений вида (7.2.48) – (7.2.50), соответствующих $n$ собственным значениям матрицы $A_{0}(x)$, т. е. решениям уравнения
\[
\left|A_{0}(x)-\lambda_{0}(x) I\right|=0 .
\]

7.2.5. Однородные системы с медленно меняющимися коэффициентами

В этом пункте будем рассматривать асимптотические решения системы
\[
\frac{d \mathbf{y}}{d x}=A(\xi, \varepsilon) \mathbf{y}, \xi=\varepsilon x,
\]

где
\[
A(\xi, \varepsilon)=\sum_{m=0}^{\infty} \varepsilon^{m} A_{m}(\xi) \text { при } \varepsilon \longrightarrow 0 .
\]

В этой задаче $x$-быстрая, а $\xi$-медленная переменные.
Как и в п. 7.2.2, предположим, что существует неособая матрица $P_{0}(\xi)$, такая, что
\[
B_{0}(\xi)=P_{0}^{-1}(\xi) A_{0}(\xi) P_{0}(\xi)=\left(\begin{array}{cc}
B_{0}^{11}(\xi) & 0 \\
0 & B_{0}^{22}(\xi)
\end{array}\right),
\]

где матрица $B_{0}^{11}$ имеет собственные значения $\lambda_{i}(i=1,2, \ldots, r)$, а матрица $B_{0}^{22}$ – собственные значения $\lambda_{j}(j=r+1, r+2, \ldots, n)$, причем $\lambda_{i}
eq \lambda_{i}$. В этом случае исходную объединенную систему уравнений (7.2.52) можно свести к двум несвязанным системам порядков $r$ и $n-r$. С этой целью рассмотрим преобразование
\[
\mathbf{y}(x, \varepsilon)=P(\xi, \varepsilon) \mathbf{v}(x, \varepsilon),
\]

которое приводит систему (7.2.52) к виду
\[
\frac{d \mathbf{v}}{d x}=B(\xi, \varepsilon) \mathbf{v}
\]

где матрица $P$ удовлетворяет уравнению
\[
\frac{d P}{d x}=A P-P B
\]

или
\[
\varepsilon \frac{d P}{d \xi}=A(\xi, \varepsilon) P(\xi, \varepsilon)-P(\xi, \varepsilon) B(\xi, \varepsilon) .
\]

Будем искать асимптотические представления матриц $P$ и $B$ вида
\[
P=\sum_{m=0}^{\infty} \varepsilon^{m} P_{m}(\xi), \quad B=\sum_{m=0}^{\infty} \varepsilon^{m} B_{m}(\xi),
\]

где $B_{m}$-блочные диагональные матрицы. Подставив (7.2.58) в (7.2.57) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим
\[
\begin{aligned}
A_{0} P_{0}-P_{0} B_{0} & =0, \\
A_{0} P_{m}-P_{m} B_{0} & =P_{0} B_{m}+\tilde{F}_{m},
\end{aligned}
\]
где
\[
\tilde{F}_{m}=\sum_{s=1}^{m-1}\left(P_{s} B_{m-s}-A_{m-s} P_{s}\right)-A_{m} P_{0}+\frac{d P_{m-1}}{d \xi} .
\]

Выбирая матрицы $B_{0}$ и $P_{0}$ в соответствии с (7.2.54), умножим, как и в п. 7.2.2, второе из уравнений (7.2.59) слева на $P_{0}^{-1}$ и, используя (7.2.19), получим
\[
B_{0} W_{m}-W_{m} B_{0}=B_{m}+F_{m},
\]

где
\[
W_{m}=P_{0}^{-1} P_{m}, \quad F_{m}=P_{0}^{-1} \tilde{F}_{m} .
\]

Чтобы решить систему (7.2.61), рассмотрим разбиение матриц $F_{m}$ и $W_{m}$ вида
\[
F_{m}=\left(\begin{array}{ll}
F_{m}^{11} & F_{m}^{12} \\
F_{m}^{21} & F_{m}^{22}
\end{array}\right), \quad W_{m}=\left(\begin{array}{ll}
W_{m}^{11} & W_{m}^{12} \\
W_{m}^{21} & W_{m}^{22}
\end{array}\right),
\]

где $F_{m}^{11}$ и $W_{m}^{11}$-матрицы размером $(r \times r)$. Положив
\[
W_{m}^{11}=W_{m}^{22}=0, \quad B_{m}^{11}=-F_{m}^{11}, \quad B_{m}^{22}=-F_{m}^{22},
\]

приведем систему (7.2.61) к виду
\[
\begin{array}{l}
B_{0}^{11} W_{m}^{12}-W_{m}^{12} B_{0}^{22}=F_{m}^{12}, \\
B_{0}^{22} W_{m}^{21}-W_{m}^{21} B_{0}^{11}=F_{m}^{21} .
\end{array}
\]

Эти уравнения разрешимы относительно $W_{m}^{12}$ и $W_{m}^{21}$ единственным образом, поскольку матрицы $B_{0}^{11}$ и $B_{0}^{22}$ не имеют общих собственных значений.

Если матрица $A_{0}$ имеет различные собственные значения, то с помощью описанной выше схемы исходную систему можно свести к системе $n$ не связанных друг с другом уравнений вида (7.2.56) с диагональной матрицей B. Подробности вывода здесь такие же, как и в п.7.2.2.

Более легкая методика для определения асимптотических решений системы (7.2.52) может быть использована в том случае, когда матрица $A_{0}$ имеет различные собственные значения. Асимптотическое представление имеет вид
\[
\mathbf{y}=\mathbf{u}(\xi, \varepsilon) e^{\theta(\boldsymbol{x}, \varepsilon)},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{u}(\xi, \varepsilon)=\sum_{s=0}^{\infty} \varepsilon^{s} \mathbf{u}_{s}(\xi), \\
\frac{d \theta}{d x}=\lambda(\xi) .
\end{array}
\]

Здесь $\lambda(\xi)$-собственное значение матрицы $A_{0}(\xi)$. Существуют $n$ линейно независимых решений вида (7.2.67), соответствующих $n$ собственным значениям матрицы $A_{0}$. Подстановка (7.2.67)-(7.2.69) в (7.2.52) и (7.2.53) приводит к уравнениям для последовательного нахождения $\mathbf{u}_{m}$.