В § 5.5 для определения первого приближения в гамильтоновых системах использовался метод вариации произвольных постоянных в сочетании с методом усреднения. Фон Цайпель [1916] предложил методику для нахождения высших приближений. В этом параграфе дается ее описание и рассматривается ее применение к первым двум примерам предыдущего параграфа. Суть этой методики состоит в разложении производящей функции $S$ в ряд по степеням малого параметра $\varepsilon, S=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} S_{n}$, и в последовательном определении $S_{n}$ как решений цепочки дифференциальных уравнений в частных производных.
Пусть гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид
\[
H(\mathbf{p}, \mathbf{q}, t)=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} H_{n}(\mathbf{p}, \mathbf{q}, t), \varepsilon \ll 1,
\]

где $\mathbf{q}$-вектор обобщенных координат, а $\mathbf{p}$-сопряженный вектор импульсов. Пусть $S_{0}=S_{0}(\mathbf{P}, \mathbf{q}, t)$ – полный интеграл уравнения

Гамильтона – Якоби
\[
H_{0}\left[\frac{\partial S_{0}}{\partial \mathbf{q}}, \mathbf{q}, t\right]+\frac{\partial S_{0}}{\partial t}=0
\]

и пусть $\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t)$ и $\mathbf{q}=\mathbf{q}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t)$ – решения уравнений
\[
p_{i}=\frac{\partial S_{0}}{\partial q_{i}}, \quad Q_{i}=\frac{\partial S_{0}}{\partial P_{i}} .
\]

Предположим, что векторы $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$ не постоянны, а меняются во времени, и выберем функцию $S=S_{0}(\mathbf{P}, \mathbf{q}, t)$ в качестве производящей функции для перехода от канонических переменных р и q к каноническим переменным $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$. Тогда гамильтониан $H$ преобразуется к виду ${ }^{1}$ )
\[
\begin{aligned}
\tilde{H}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t) & =\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} H_{n}[\mathbf{p}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t), \mathbf{q}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t), t]+\frac{\partial S_{0}}{\partial t}= \\
& =\sum_{n=1}^{\infty} \varepsilon^{n} H_{n}[\mathbf{p}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t), \mathbf{q}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t), t]= \\
& =\sum_{n=1}^{\infty} \varepsilon^{n} \tilde{H}_{n}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t) .
\end{aligned}
\]

Следовательно, $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$ описываются уравнениями в вариациях
\[
\begin{array}{l}
\dot{\mathbf{P}}=-\sum_{n=1}^{\infty} \varepsilon^{n} \frac{\partial \tilde{H}_{n}}{\partial \mathbf{Q}}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t), \\
\dot{\mathbf{Q}}=\sum_{n=1}^{\infty} \varepsilon^{n} \frac{\partial \tilde{H}_{n}}{\partial \mathbf{P}}(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t) .
\end{array}
\]

Для определения приближенного решения уравнений (5.6.5), (5.6.6) с точностью любого порядка введем в рассмотрение почти тождественное преобразование канонических переменных $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$ в канонические переменные $\mathbf{P}^{*}$ и $\mathbf{Q}^{*}$ с помощью производящей функции
\[
S=\sum_{i=1}^{N} P_{i}^{*} Q_{i}+\sum_{n=1}^{\infty} \varepsilon^{n} S_{n}\left(\mathbf{P}^{*}, \mathbf{Q}, t\right)
\]

Так что
\[
P_{i}=P_{i}^{*}+\sum_{n=1}^{\infty} \varepsilon^{n} \frac{\partial S_{n}}{\partial Q_{i}}\left(\mathbf{P}^{*}, \mathbf{Q}, t\right),
\]
1) Согласно общей формуле (5.5.15).- Прим. ред.

а гамильтониан $\tilde{H}$ преобразуется к виду
\[
\begin{array}{r}
K \equiv \sum_{n=1}^{\infty} \varepsilon^{n} K_{n}\left(\mathbf{P}^{*}, \mathbf{Q}, t\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \varepsilon^{n} \tilde{H}_{n}\left[\left(\mathbf{P}^{*}+\sum_{m=1}^{\infty} \varepsilon^{m} \frac{\partial S_{m}}{\partial \mathbf{Q}}\right), \mathbf{Q}, t\right]+ \\
+\sum_{n=1}^{\infty} \varepsilon^{n} \frac{\partial S_{n}}{\partial t} .
\end{array}
\]

Для определения $K_{n}$ разложим при малом $\varepsilon$ правую часть в (5.6.9) и затем приравняем коэффициенты при равных степенях $\varepsilon$ в обеих частях. Получим уравнения
\[
\begin{array}{c}
K_{1}=\tilde{H}_{1}\left(\mathbf{P}^{*}, \mathbf{Q}, t\right)+\frac{\partial S_{1}}{\partial t}, \\
K_{2}=\tilde{H}_{2}\left(\mathbf{P}^{*}, \mathbf{Q}, t\right)+\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial S_{1}}{\partial \mathbf{Q}_{i}} \frac{\partial \tilde{H}_{1}}{\partial \mathbf{P}_{i}}\left(\mathbf{P}^{*}, \mathbf{Q}, t\right)+\frac{\partial S_{2}}{\partial t}, \\
K_{n}=F_{n}+\frac{\partial S_{n}}{\partial t},
\end{array}
\]

где $F_{n}=F_{n}\left(\mathbf{P}^{*}, \mathbf{Q}, t\right)$ – известная функция от $\tilde{H}_{1}, \tilde{H}_{2}, \ldots, \tilde{H}_{n}$ и $S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{n-1}$. Функции $S_{n}$ остались неопределенными и могут быть выбраны по нашему усмотрению. Поскольку в общем случае цезся слагаемое $F_{n}^{l}$, то можно положить
\[
K_{n}=F_{n}^{l}, \quad \frac{\partial S_{n}}{\partial t}=-F_{n}^{\mathrm{s}} .
\]

Таким образом, $K_{n}$ содержит только медленно меняющееся слагаемое, в то время как $S_{n}$ содержит только быстропериодичес кое слагаемое. Функции $S_{n}$ могут быть найдены последовательным решением цепочки дифференциальных уравнений в частных производных из (5.6.13).

В основе рассматриваемой методики и обобщенного метода усреднения п.5.2.3 лежит одна и та же идея. Стерн [1971b] показал, что для гамильтоновых систем методики Крускала и фон Цайпеля эквивалентны. В обеих методиках вводятся почти тождественные преобразования старых зависимых переменных, которые содержат быстропериодические и медленные слагаемые, к новым зависимым переменным, которые содержат медленно меняющиеся слагаемые. Основное различие между двумя методиками состоит в том, что в методе фон Цайпеля преобразование должно быть каноническим, в то время как обобщенный метод усреднения не предполагает преобразование каноническим, а систему – гамильтоновой. Моррисон [1966b] показал, что вплоть до второго порядка процедура фон Цайпеля представляет собой

частный случай обобщенного метода усреднения. Джакалья [1964] вывел разложение для произвольного порядка; Баррар [1970] исследовал сходимость в методике фон Цайпеля, Мьюзен [1965] показал, что с помощью операторов Фаа де Бруно [1857] уравнения, определяющие разложение, записываются в компактной форме. Ниже выводятся разложения второго порядка для первых двух примеров, обсуждавшихся в предыдущем параграфе.

5.6.1. Уравнение Дюффинга

В качестве первого примера рассмотрим уравнение Дюффинга (5.5.23), которое соответствует гамильтониану (5.5.24). В п.5.5.1 было найдено, что решение задачи, соответствующей $H_{0}$, задается соотношением (5.5.31). Следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\tilde{H}=\frac{\varepsilon \alpha^{2}}{\omega_{0}^{4}} \sin ^{4} \omega_{0}(t+\beta), \\
\dot{\alpha}=-\frac{\partial \tilde{H}}{\partial \tilde{\beta}}, \quad \dot{\beta}=\frac{\partial \tilde{H}}{\partial \alpha} .
\end{array}
\]

Чтобы найти приближенное решение уравнения (5.6.15), введем в рассмотрение почти тождественное преобразование переменных $\alpha$ и $\beta$ к переменным $\alpha^{*}$ и $\beta^{*}$, задаваемое с помощью производя. щей функции
\[
S=\alpha^{*} \beta+\varepsilon S_{1}\left(\alpha^{*}, \beta, t\right)+\varepsilon^{2} S_{2}\left(\alpha^{*}, \beta, t\right)+\ldots .
\]

Следовательно,
\[
\alpha=\alpha^{*}+\varepsilon \frac{\partial S_{1}}{\partial \beta}+\varepsilon^{2} \frac{\partial S_{2}}{\partial \beta}+\ldots,
\]

а гамильтониан $\tilde{H}$ преобразуется к виду
\[
\begin{aligned}
K & =\sum_{n=1}^{\infty} \varepsilon^{n} K_{n}\left(\alpha^{*}, \beta, t\right)= \\
& =\frac{\varepsilon}{\omega_{0}^{4}} \sin ^{4} \omega_{0}(t+\beta)\left[\alpha^{*}+\varepsilon \frac{\partial S_{1}}{\partial \beta}+\varepsilon^{2} \frac{\partial S_{2}}{\partial \beta}+\ldots\right]^{2}+\varepsilon \frac{\partial S_{1}}{\partial t}+\varepsilon^{2} \frac{\partial S_{2}}{\partial t}+\ldots .
\end{aligned}
\]

Приравняв коэффициенты при равных степенях в в обеих частях, получим
\[
\begin{array}{c}
K_{1}=\frac{\alpha^{32}}{\omega_{0}^{d}}\left[\frac{3}{8}-\frac{1}{2} \cos 2 \omega_{0}(t+\beta)+\frac{1}{8} \cos 4 \omega_{0}(t+\beta)\right]+\frac{\partial S_{1}}{\partial t}, \\
K_{2}=\frac{2 \alpha^{2}}{\omega_{0}^{4}} \frac{\partial S_{1}}{\partial \beta} \sin ^{4} \omega_{0}(t+\beta)+\frac{\partial S_{\mathrm{a}}}{\partial t} .
\end{array}
\]

Положив $K_{1}$ равным медленному слагаемому в правой части (5.6.19), будем иметь
\[
K_{1}=\frac{3 \alpha^{* 2}}{8 \omega_{0}^{4}} .
\]

Следовательно, (5.6.19) принимает вид
\[
\frac{\partial S_{1}}{\partial t}+\frac{\alpha^{* 2}}{\omega_{0}^{d}}\left[-\frac{1}{2} \cos 2 \omega_{0}(t+\beta)+\frac{1}{8} \cos 4 \omega_{0}(t+\beta)\right]=0 .
\]

Решением уравнения (5.6.22) является функция
\[
S_{1}=\frac{\alpha^{* 2}}{4 \omega_{0}^{5}}\left[\sin 2 \omega_{0}(t+\beta)-\frac{1}{8} \sin 4 \omega_{0}(t+\beta)\right] .
\]

Уравнение (5.6.20) при этом значении $S_{1}$ перепишется в виде
\[
K_{2}=\frac{\alpha^{* 3}}{\omega_{0}^{8}}\left[\cos 2 \omega_{0}(t+\beta)-\frac{1}{4} \cos 4 \omega_{0}(t+\beta)\right] \sin ^{4} \omega_{0}(t+\beta)+\frac{\partial S_{2}}{\partial t} .
\]

Приравняв $K_{2}$ медленному слагаемому в правой части этого уравнения, получим
\[
K_{2}=-\frac{17 \alpha^{* 3}}{64 \omega_{0}^{8}} .
\]

Следовательно, будем иметь во втором порядке
\[
K=\varepsilon \frac{3 \alpha^{* 2}}{8 \omega_{0}^{4}}-\varepsilon^{2} \frac{17 \alpha^{* 3}}{64 \omega_{0}^{8}}
\]

и, далее,
\[
\begin{array}{l}
\dot{\alpha}^{*}=-\frac{\partial K}{\partial \beta^{*}}=0, \quad \text { или } \alpha^{*}=\text { const, } \\
\dot{\beta}^{*}=\frac{\partial K}{\partial \alpha^{*}}=\frac{3}{4} \varepsilon \frac{\alpha^{*}}{\omega_{0}^{4}}-\frac{51}{64} \varepsilon^{2} \frac{\alpha^{* 2}}{\omega_{0}^{8}},
\end{array}
\]

откуда
\[
\beta^{*}=\left(\frac{3}{4} \varepsilon \frac{\alpha^{*}}{\omega_{0}^{4}}-\frac{51}{64} \varepsilon^{2} \frac{\alpha^{* 2}}{\omega_{0}^{8}}\right) t+\frac{\beta_{0}}{\omega_{0}},
\]

где $\beta_{0}$-постоянная.
Поскольку $S_{1}$ найдено, то имеем
\[
\begin{aligned}
\alpha & =\alpha^{*}+\varepsilon \frac{\partial S_{1}}{\partial \beta}+\ldots= \\
& =\alpha^{*}+\varepsilon \frac{\alpha^{* 2}}{2 \omega_{0}^{4}}\left[\cos 2 \omega_{0}(t+\beta)-\frac{1}{4} \cos 4 \omega_{0}(t+\beta)\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\beta^{*} & =\beta+\varepsilon \frac{\partial S_{1}}{\partial \alpha^{*}}+\ldots= \\
& =\beta+\varepsilon \frac{\alpha^{*}}{2 \omega_{0}^{5}}\left[\sin 2 \omega_{0}(t+\beta)-\frac{1}{8} \sin 4 \omega_{0}(t+\beta)\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Разрешив уравнения (5.6.29), (5.6.30) относительно $\alpha$ и $\beta$, получим для них следующую зависимость от $\alpha^{*}$ и $\beta^{*}$ :
\[
\begin{array}{l}
\alpha=\alpha^{*}+\frac{\varepsilon \alpha^{* 2}}{2 \omega_{0}^{4}}\left[\cos 2 \omega_{0}\left(t+\beta^{*}\right)-\frac{1}{4} \cos 4 \omega_{0}\left(t+\beta^{*}\right)\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\beta=\beta^{*}-\frac{\varepsilon \alpha^{*}}{2 \omega_{0}^{5}}\left[\sin 2 \omega_{0}\left(t \beta^{*}\right)-\frac{1}{8} \sin 4 \omega_{0}\left(t+\beta^{*}\right)\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\end{array}
\]

Для сравнения этих разложений с разложениями, полученными с помощью других методов, подставим $\alpha$ и $\beta$ вида (5.6.31) и (5.6.32) в равенство (5.6.31) и разложим его при малом $\varepsilon$, предполагая $\alpha^{*}$ и $\beta^{*}$ фиксированными. Получим
\[
\begin{array}{l}
q=\frac{\sqrt{2 \alpha^{*}}}{\omega_{\theta}}\left(1-\frac{3}{8} \varepsilon \frac{\alpha^{*}}{\omega_{0}^{4}}\right) \sin \left(\omega t+\beta_{0}\right)- \\
-\varepsilon \frac{\sqrt{2 \alpha^{*} \alpha^{*}}}{16 \omega_{0}^{5}} \sin 3\left(\omega t+\beta_{0}\right)+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\end{array}
\]

где
\[
\omega=\omega_{0}\left(1+\dot{\beta}^{*}\right)
\]

Положив
\[
a=\frac{\sqrt{2 \alpha^{*}}}{\omega^{0}}\left(1-\frac{3}{8} \varepsilon \frac{\alpha^{*}}{\omega_{0}^{4}}\right),
\]

будем иметь
\[
\frac{\sqrt{2 \alpha^{*}}}{\omega_{0}}=a+\frac{3}{16} \varepsilon \frac{\alpha^{3}}{\omega_{0}^{2}}+O\left(\varepsilon^{2}\right)
\]

Следовательно,
\[
q=a \sin \left(\omega t+\beta_{0}\right)-\frac{1}{32} \varepsilon \frac{\alpha^{3}}{\omega_{0}^{2}} \sin ^{3}\left(\omega t+\beta_{0}\right)+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\]

где
\[
\omega=\omega_{0}\left[1+\frac{3}{8} \varepsilon \frac{a^{2}}{\omega_{n}^{2}}-\frac{15}{256} \varepsilon^{2} \frac{a^{4}}{\omega_{0}^{4}}\right]+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\]

Это разложение согласуется с разложением, полученным в $\S 5.3$ с помощью метода Страбла, и с разложением, полученным в п. 5.4.1 с помощью метода Крылова-Боголюбова-Митропольского.

5.6.2. Уравнение Матьё

Ниже будет построено разложение второго порядка для урагнения Матьё (5.5.35), которое соответствует гамильтониану (5.5.39). Решение, соответствующее $H_{0}$, может быть записано в виде (см.

п. 5.5.1)
\[
q=\frac{\sqrt{2 \alpha}}{\omega} \cos \omega(t+\beta), \quad p=-\sqrt{2 \alpha} \sin \omega(t+\beta) . \text { (5.6.38a) }
\]

Следовательно, $\alpha$ и $\beta$ являются каноническими переменными относительно гамильтониана ${ }^{1}$ )
\[
\tilde{H}=\frac{\varepsilon \alpha}{\omega^{2}} \cos ^{2} \omega(t+\beta) \cos 2 t .
\]

Перейдя с помощью производящей функции (5.6.16) от переменных $\alpha$ и $\beta$ к переменным $\alpha^{*}$ и $\beta^{*}$, с учетом (5.6.17) будем иметь
\[
\begin{aligned}
K & =\varepsilon K_{1}+\varepsilon^{2} K_{2}+\ldots= \\
& =\frac{\varepsilon}{\omega^{2}}\left(\alpha^{*}+\varepsilon \frac{\partial S_{1}}{\partial \beta}+\ldots\right) \cos ^{2} \omega(t+\beta) \cos 2 t+\varepsilon \frac{\partial S_{1}}{\partial t}+ \\
& +\varepsilon^{2} \frac{\partial S_{2}}{\partial t}+\ldots .
\end{aligned}
\]

Приравняв в (5.6.39) коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим
\[
\begin{array}{l}
K_{1}=\frac{\partial S_{1}}{\partial t}+\frac{\alpha^{*}}{2 \omega^{*}}\left\{\cos 2 t+\frac{1}{2} \cos 2[(\omega+1) t+\omega \beta]+\right. \\
\left.+\frac{1}{2} \cos 2[(\omega-1) t+\omega \beta]\right\} \text {, } \\
K_{2}=\frac{\partial S_{2}}{\partial t}+\frac{1}{\omega^{2}} \frac{\partial S_{1}}{\partial \beta} \cos ^{2} \omega(t+\beta) \cos 2 t . \\
\end{array}
\]

В зависимости от того, находятся ли значения $\omega$ вблизи от 1 (резонанс) или вдали от нее, следует рассмотреть два случая. Начав со второго, мы рассмотрим далее оба случая.

Случай, когда а принимает значения вдали от 1. В этом случае все слагаемые в правой части (5.6.40) являются быстропериодическими. Следовательно, $K_{1}=0$ и
\[
S_{1}=-\frac{\alpha^{*}}{4 \omega^{2}}\left\{\sin 2 t+\frac{\sin 2[(\omega+1) l+\omega \beta]}{2(\omega+1)}+\frac{\sin 2[(\omega-1) t+\omega \beta]}{2(\omega-1)}\right\} .
\]

Подставляя это значение $S_{1}$ в (5.6.41), получим
\[
\begin{aligned}
K_{2}= & \frac{\partial S_{2}}{\partial t}-\frac{\alpha^{*}}{4 \omega^{3}} \cos ^{2} \omega(t+\beta) \times \\
& \times \cos 2 t\left\{\frac{\cos 2[(\omega+1) t+\omega \beta]}{\omega+1}+\frac{\cos 2[(\omega-1) t+\omega \beta]}{\omega-1}\right\}= \\
= & \frac{\partial S}{\partial t}-\frac{\alpha^{*}}{16 \omega^{3}}\left\{\frac{\omega}{\omega^{2}-1}+\frac{\cos 2[(\omega-2) t+\omega \beta]}{\omega-1}+\frac{\cos 2[(\omega+2) t+\omega \beta]}{\omega+1}+\right. \\
& +\frac{\cos 4[(\omega+1) t+\omega \beta]}{2(\omega+1)}+\frac{\cos 4[(\omega-1) t+\omega \beta]}{2(\omega-1)}+ \\
& \left.+\omega \frac{\cos 4 \omega(t+\beta)+\cos 4 t+2 \cos 2 \omega(t+\beta)}{\omega^{2}-1}\right\} .
\end{aligned}
\]
1) См. п. 5.5.2, уравнения (5.5.41).- Прим. ред.

Если значения $\omega$ находятся также вдали от 2 , то имеем
\[
K_{2}=-\frac{1}{16} \cdot \frac{\alpha^{*}}{\omega^{2}\left(\omega^{2}-1\right)},
\]

поскольку остальные слагаемые в правой части (5.6.43) являются быстропериодическими и в совокупности должны быть приравнены – $\partial S_{2} / \partial t$. В этом случае будем иметь
\[
K=-\frac{1}{16} \varepsilon^{2} \frac{\alpha^{*}}{\omega^{2}\left(\omega^{2}-1\right)}+O\left(\varepsilon^{3}\right)
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\dot{\alpha}^{*}=-\frac{\partial K}{\partial \beta^{*}}=0 \text { или } \alpha^{*}=\text { const } \\
\dot{\beta}^{*}=\frac{\partial K}{\partial \alpha^{*}}=-\frac{1}{16} \frac{\varepsilon^{2}}{\omega^{2}\left(\omega^{2}-1\right)}+O\left(\varepsilon^{3}\right)
\end{array}
\]

и, далее,
\[
\begin{array}{c}
\beta^{*}=-\frac{1}{16} \frac{\varepsilon^{2} t}{\omega^{2}\left(\omega^{2}-1\right)}+\beta_{0}, \\
q=\frac{\sqrt{2 \alpha^{*}}}{\omega} \cos \omega\left\{\left[1-\frac{1}{16} \frac{\varepsilon^{2}}{\omega^{2}\left(\omega^{2}-1\right)}\right] t+\beta_{0}\right\}+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\end{array}
\]

Таким образом, в рассматриваемом случае координата $q$ ограничена и движение устойчиво.

Для значений $\omega$, близких к 2 , величина $\cos 2[(\omega-2) t+\omega \beta]$ меняется медленно и должна быть включена в $K_{2}$; в противном случае в выражении для $S_{2}$ будут содержаться вековые члены или малая величина в знаменателе в соответствии с тем, равно ли значение $\omega$ в точности 2 или не равно. Приравняв $K_{2}$ медленно меняющимся членам в правой части (5.6.43), получим
\[
K_{2}=-\frac{\alpha^{*}}{16 \omega^{3}}\left\{\frac{\omega}{\omega^{2}-1}+\frac{\cos 2[(\omega-2) t+\omega \beta]}{\omega-1}\right\} .
\]

С погрешностью $O\left(\varepsilon^{2}\right)$ величина $\beta$ в (5.6.50) может быть заменена на $\beta^{*}$. Чтобы изучить движение в рассматриваемом случае, исключим явную зависимость функции $K$ от переменной $t$, совершив переход от переменных $\alpha^{*}$ и $\beta^{*}$ к переменным $\alpha^{\prime}$ и $\beta^{\prime}$ с помощью производящей функции
\[
S^{\prime}=\alpha^{\prime}\left[(\omega-2) t+\omega \beta^{*}\right]
\]

Таким образом,
\[
\begin{array}{l}
\alpha^{*}=\frac{\partial S^{\prime}}{\partial \beta^{*}}=\omega \alpha^{\prime}, \\
\beta^{\prime}=\frac{\partial S^{\prime}}{\partial \alpha^{\prime}}=(\omega-2) t+\omega \beta^{*},
\end{array}
\]
\[
K^{\prime}=K+(\omega-2) \alpha^{\prime}=(\omega-2) \alpha^{\prime}-\varepsilon^{2} \frac{\alpha^{\prime}}{16 \omega^{2}}\left[\frac{\cos 2 \beta^{\prime}}{\omega-1}+\frac{\omega}{\omega^{2}-1}\right] .
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{c}
\alpha^{\prime}=-\frac{\partial K^{\prime}}{\partial \beta^{\prime}}=-\varepsilon^{2} \frac{\alpha^{\prime}}{8 \omega^{2}(\omega-1)} \sin 2 \beta^{\prime}, \\
\dot{\beta}^{\prime}=\frac{\partial K^{\prime}}{\partial \alpha^{\prime}}=\omega-2-\frac{\varepsilon^{2}}{16 \omega^{2}}\left[\frac{\cos 2 \beta^{\prime}}{\omega-1}+\frac{\omega}{\omega^{2}-1}\right] .
\end{array}
\]

Как и в п. 5.5.2, можно получить, что уравнения (5.6.55) и (5.6.56) допускают интеграл
\[
\ln \alpha^{\prime}=-\ln \left[\omega-2-\frac{\varepsilon^{2}}{16 \omega\left(\omega^{2}-1\right)}-\frac{\varepsilon^{2}}{16 \omega^{2}(\omega-1)} \cos 2 \beta^{\prime}\right]+\text { const. (5.6.57) }
\]

Отсюда получаем следующие условия неустойчивости:
\[
\frac{\varepsilon^{2}}{16 \omega^{2}(\omega-1)}>\left|\omega-2-\frac{\varepsilon^{2}}{16 \omega\left(\omega^{2}-1\right)}\right|,
\]

или иначе
\[
\omega<2+\frac{5 \varepsilon^{2}}{192}+O\left(\varepsilon^{2}\right), \quad \omega>2-\frac{\varepsilon^{2}}{192}+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\]

В плоскости $\left(\omega^{2}, \varepsilon\right)$ переходные кривые, отделяющие область устойчивого движения от области неустойчивого движения, исходят из точки $\omega:=2$ и задаются соответственно уравнениями
\[
\omega^{2}=4+\frac{5 \varepsilon^{2}}{48}+O\left(\varepsilon^{3}\right), \quad \omega^{2}=4-\frac{\varepsilon^{2}}{48}+O\left(\varepsilon^{3}\right)
\]

в согласии с тем, что было получено в п.3.1.2.
Случай, когда $\omega$ принимает значения, близкие к 1. В этом случае величина $\cos 2[(\omega-1) t+\omega \beta]$ меняется медленно и поэтому должна быть оставлена в выражении для $K_{1}$; в противном случае, как это с очевидностью следует из (5.6.42), функция $S_{\text {I }}$ будет иметь особенность в точке $\omega=1$. Приравняв $K_{1}$ медленно меняющимся членам в (5.6.40), получим
\[
K_{1}=\frac{\alpha^{*}}{4 \omega^{2}} \cos 2[(\omega-1) t+\omega \beta] .
\]

Следовательно,
\[
\frac{\partial S_{1}}{\partial t}=-\frac{\alpha^{*}}{2 \omega^{2}}\left\{\cos 2 t+\frac{1}{2} \cos 2[(\omega+1) t+\omega \beta]\right\} .
\]

Решением уравнения (5.6.61) является функция
\[
S_{1}=-\frac{\alpha^{*}}{4 \omega^{2}}\left\{\sin 2 t+\frac{\sin 2[(\omega+1) t+\omega \beta]}{2(\omega+1)}\right\} .
\]

Подетановка $S_{1}$ в (5.6.41) приводит к уравнению
\[
K_{2}=\frac{\partial S_{2}}{\partial t}-\frac{\alpha^{*}}{4 \omega^{3}(\omega+1)} \cos 2[(\omega+1) t+\omega \beta] \cos ^{2} \omega(t+\beta) \cos 2 t \text {. }
\]

Приравняв $K_{2}$ медленно меняющимся членам в (5.6.63), получим
\[
K_{2}=-\frac{\alpha^{*}}{32 \omega^{3}(\omega+1)} .
\]

Поэтому во втором порядке имеем
\[
K=\frac{\varepsilon \alpha^{*}}{4 \omega^{2}} \cos 2[(\omega-1) t+\omega \beta]-\frac{\varepsilon^{2} \alpha^{*}}{32 \omega^{3}(\omega+1)}+O\left(\varepsilon^{3}\right)
\]

и, кроме того,
\[
\begin{aligned}
\alpha & =\alpha^{*}+\varepsilon \frac{\partial S_{1}}{\partial \beta}+\ldots= \\
& =\alpha^{*}-\frac{\varepsilon \alpha^{*}}{4 \omega(\omega+1)} \cos 2[(\omega+1) t+\omega \beta]+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\beta^{*} & =\beta+\varepsilon \frac{\partial S_{1}}{\partial \alpha^{*}}+\ldots= \\
& =\beta-\frac{\varepsilon}{4 \omega^{2}}\left\{\sin 2 t+\frac{\sin 2[(\omega+1) t+\omega \beta]}{2(\omega+1)}\right\}+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Разрешив уравнения (5.6.66), (5.6.67) относительно $\alpha$ и $\beta$, получим для них следующую зависимость от $\alpha^{*}$ и $\beta^{*}$ :
\[
\begin{array}{l}
\alpha=\alpha^{*}-\frac{\varepsilon \alpha^{2}}{4 \omega(\omega+1)} \cos 2\left[(\omega+1) t+\omega \beta^{*}\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\beta=\beta^{*}+\frac{\varepsilon}{4 \omega^{2}}\left\{\sin 2 t+\frac{\left.\sin 2 \mid(\omega+1) t+\omega \beta^{*}\right]}{2(\omega+1)}\right\}+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\end{array}
\]

Подставив выражение для $\beta$ в (5.6.65), получим
\[
\begin{aligned}
K=\frac{\varepsilon \alpha^{*}}{4 \omega^{2}} \cos 2[(\omega-1) t & \left.+\omega \beta^{*}\right]-\frac{\varepsilon^{2} \alpha^{*}}{32 \omega^{3}(\omega+1)}+ \\
& +\frac{\varepsilon^{2} \alpha^{*}}{2 \omega} \frac{\partial S_{1}}{\partial \alpha^{*}} \sin 2\left[(\omega-1) t+\omega \beta^{*}\right]+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\end{aligned}
\]

В присутствии последнего слагаемого в правой части уравнения (5.6.70) проявляется недостаток процедуры фон Цайпеля в ее настоящем виде, в котором для определения быстро и медленно меняющихся членов в (5.6.40) использовались смешанные переменные (новые импульсы и старые координаты). Если бы равенство (5.6.39) было выражено в новых переменных $\alpha^{*}$ и $\beta^{*}$, то функция $S_{2}$ поглотила бы это последнее слагаемое и сама должна была бы быть отнесена к медленно меняющейся части $K_{3}$. Действительно, Брекуэлл обнаружил (см. Шехтер [1968]), что подобное представление в смешанных переменных при рассмотрении движения частицы в окрестности треугольной точки в ограниченной задаче трех тел приводит к неверному результату (Брекуэлл и Прингл [1966]). Учтя это обстоятельство, Шехтер для определения медленно меняющейся части (членов с большим периодом) выразил гамильтониан в новых переменных до усред-

нения и получил правильное разложение. Мьюзен [1965] развил алгоритмы, с помощью которых с точностью до любого порядка могут быть выполнены преобразования переменных величин и произвольных функций от старых переменных к новым и обратно. Лацина [1969a, b] и Стерн [1970a, 1971a] получили в общем виде выражения для почти тождественных канонических преобразований старых переменных в новые. С помощью этих преобразований они модифицировали уравнение Гамильтона – Якоби. Получающиеся в итоге схемы метода возмущений могут быть соотнесены с другими схемами, использующими канонические переменные, путем соответствующего выбора некоторых выражений, входящих в эти преобразования.

Уиттекер [1916, 1937], Черри [1927], Контопулос [1963], Макнамара и Уайтмен [1967] и Коффи [1969] разработали методику получения интегралов движения для гамильтоновых систем. В основе этой методики лежит тот факт, что любой интеграл канонических уравнений движения
\[
\dot{\mathbf{q}}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}}, \quad \dot{\mathbf{p}}=-\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}
\]

удовлетворяет уравнению
\[
[\varphi, H]=\frac{\partial q}{\partial \mathbf{q}} \cdot \frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}}-\frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{p}} \cdot \frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}=0 .
\]

Эффективную и мощную методику выполнения преобразований переменных величин и произвольных функций к новым переменным разработали Хори $[1966,1967]$-с помощью рядов Ли, Депри [1969] и Кемел [1969, 1967]-с помощью преобразований Ли. Эта методика изложена в § 5.7.

Выразив равенство (5.6.39) в новых переменных, мы бы получили
\[
K=\frac{\varepsilon \alpha^{*}}{4 \omega^{2}} \cos 2\left[(\omega-1) t+\omega \beta^{*}\right]-\frac{\varepsilon^{2} \alpha^{*}}{32 \omega^{3}(\omega+1)}+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\]

Исключим явную зависимость $K$ от $t$, совершив переход от переменных $\alpha^{*}$ и $\beta^{*}$ к переменным $\alpha^{\prime}$ и $\beta^{\prime}$ с помощью производящей функции
\[
S^{\prime}=\alpha^{\prime}\left[(\omega-1) t+\omega \beta^{*}\right] .
\]

Следовательно, имеем
\[
\begin{array}{c}
\alpha^{*}=\frac{\partial S^{\prime}}{\partial \beta^{*}}=\omega \alpha^{\prime}, \\
\beta^{\prime}=\frac{\partial S^{\prime}}{\partial \alpha^{\prime}}=(\omega-1) t+\omega \beta^{*}
\end{array}
\]
и, далее,
\[
K^{\prime}=K+\frac{\partial S^{\prime}}{\partial t}=\frac{\varepsilon \alpha^{\prime}}{4 \omega} \cos 2 \beta^{\prime}-\frac{\varepsilon^{2} \alpha^{\prime}}{32 \omega^{2}(\omega+1)}+(\omega-1) \alpha^{\prime} .
\]

Поэтому
\[
\begin{array}{c}
\dot{\alpha}^{\prime}=-\frac{\partial K^{\prime}}{\partial \beta^{\prime}}=\frac{\varepsilon \alpha^{\prime}}{2 \omega} \sin 2 \beta^{\prime}, \\
\dot{\beta}^{\prime}=\frac{\partial K^{\prime}}{\partial \alpha^{\prime}}=\frac{\varepsilon}{4 \omega} \cos 2 \beta^{\prime}-\frac{\varepsilon^{2}}{32 \omega^{2}(\omega+1)}+\omega-1 .
\end{array}
\]

Подобно тому как это было сделано в п.5.5.2, получаем для системы (5.6.76), (5.6.77) интеграл
\[
\ln \alpha^{\prime}=-\ln \left[\frac{\varepsilon}{4 \omega} \cos 2 \beta^{\prime}-\frac{\varepsilon^{2}}{32 \omega^{2}(\omega+1)}+\omega-1\right]+\text { const } .
\]

Следовательно, переходные кривые определяются равенством
\[
\frac{\varepsilon}{4 \omega}=\left|\omega-1-\frac{\varepsilon^{2}}{32 \omega^{2}(\omega+1)}\right|,
\]

откуда получаем
\[
\omega=1 \pm \frac{1}{4} \varepsilon-\frac{3}{64} \varepsilon^{2}+O\left(\varepsilon^{3}\right)
\]

или
\[
\omega^{2}=1 \pm \frac{1}{2} \varepsilon-\frac{1}{32} \varepsilon^{2}+O\left(\varepsilon^{3}\right)
\]

Эти кривые согласуются с кривыми, полученными в п. 3.1.2 с помощью методики Линдштедта-Пуанкаре и в п. 3.1.3-с помощью методики Уиттекера.