Притуло [1962] показал, что для определения равномерно пригодного возмущенного разложения для данной задачи нет необходимости вводить в дифференциальные уравнения преобразование (3.2.2) и затем определять $\xi_{n}$. Вместо этого можно выписать прямое разложение, выраженное через исходные переменные, и лишь затем ввести преобразование (3.2.2) в полученное прямое разложение. Чтобы сделать это разложение равномерно пригодным, мы наложим условие Лайтхилла, требующее, чтобы особенность не увеличивалась с ростом порядка приближения. Таким образом, для определения $\xi_{n}$ мы получим не дифференциальные, а алгебраические уравнения, что упрощает всю процедуру. Однако Притуло предполагал, что коэффициенты ряда (3.2.1), за исключением, быть может, лишь $u_{0}$, удовлетворяют линейным уравнениям, и утверждал, что при этом условии метод становится эффективным. Этот метод был вновь открыт Ашером [1968].

Метод, предложенный Притуло, примыкает к методу, описанному в п.7.4.2, который впервые был применен в работе Рэлея

по рассеянию. Определив рассеяние в тонком слое, он придал ему вид экспоненты, чтобы сделать его пригодным для многих слоев.

Мы применим этот метод к некоторым примерам, рассмотренным ранее в этой книге, и сделаем полученные выше разложения равномерно пригодными.

3.4.1. Уравнение Дюффинга

Задача, которая будет сейчас рассмотрена, была сформулирована в п. 2.1.1, там же было построено прямое разложение, имеющее вид
\[
u=a \cos t+\varepsilon a^{3}\left[-\frac{3}{8} t \sin t+\frac{1}{32}(\cos 3 t-\cos t)+O\left(\varepsilon^{2}\right)\right] .
\]

Равномерно пригодное разложение было получено в п. 3.1.1 с помощью метода Линдштедта-Пуанкаре.

Чтобы сделать разложение (3.4.1) равномерно пригодным, введем преобразование (3.1.2) в этот ряд. Разложив и собрав коэффициенты при равных степенях $\varepsilon$, получим
\[
u=a \cos s-\varepsilon\left[a\left(\omega_{1}+\frac{3}{8} a^{2}\right) s \sin s-\frac{1}{32} a^{3}(\cos 3 s-\cos s)\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

Вековые члены исчезнут, если
\[
\omega_{1}=-\frac{3}{8} a^{2} .
\]

Поэтому равномерно пригодное разложение имеет вид
\[
u=a \cos s+\frac{1}{32} \varepsilon a^{3}(\cos 3 s-\cos s)+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\]

где
\[
t=s\left(1-\frac{3}{8} \varepsilon a^{2}\right)+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\]

что соответствует соотношениям (3.1.15) и (3.1.16), полученным при использовании метода Линдштедта-Пуанкаре.

3.4.2. Модель слабо нелинейной неустойчивости

В качестве второго примера сделаем равномерно пригодным следующее прямое разложение:
$u=\varepsilon \cos \sigma_{1} t \cos k x+\varepsilon^{3}\left(\frac{9}{32 \sigma_{1}} t \sin \sigma_{1} t \cos k x+\right.$ члены, ограниченные
\[
\text { при } t \rightarrow \infty) \text {, }
\]

полученное в п. 2.1.2 для модельной задачи (2.1.10), (2.1.11).

Положим
\[
t=s\left(1+\varepsilon^{2} \omega_{2}+\ldots\right) .
\]

Подставив это выражение в (3.4.6) и разложив при малых $\varepsilon$, получим
\[
\begin{array}{l}
u=\varepsilon \cos \sigma_{1} s \cos k x+\varepsilon^{3}\left[\left(\frac{9}{32 \sigma_{1}}-\sigma_{1} \omega_{2}\right)\right. s \sin \sigma_{1} s \cos k x+\text { члены, } \\
\text { ограниченные при } t \rightarrow \infty] .
\end{array}
\]

Вековые члены уничтожатся, если $\omega_{2}=9 / 32 \sigma_{1}^{2}$. Поэтому равномерно пригодное разложение имеет вид
\[
u=\varepsilon \cos \sigma t \cos k x+O\left(\varepsilon^{3}\right)
\]

где
\[
\sigma=\sqrt{k^{2}-1}\left[1-\frac{9 \varepsilon^{2}}{32\left(k^{2}-1\right)}\right]+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\]

Если $k>1$, то $\sigma$-действительное число, и разложение (3.4.8) пригодно до времен порядка $O\left(\varepsilon^{-2}\right)$. В этом случае оно имеет вид стоячих волн с частотой, зависящей от амплитуды. Однако если $k<1$, то $\sigma$-мнимое число, и (3.4.8) имеет вид растущих волн. Поскольку через короткий промежуток времени функция ch $3 \tilde{\sigma} t$, где $\tilde{\sigma}$-действительное число, будет преобладать над сh $\tilde{\sigma} t$, то разложение (3.4.8) будет пригодным лишь для коротких промежутков времени. Из равенства (3.4.9) следует, что $\sigma \longrightarrow \infty$ при $k \rightarrow 1$, и если $k-1=O\left(\varepsilon^{2}\right)$, то второй член в правой части (3.4.9) имеет тот же порядок, что и первый. Поэтому, хотя это разложение пригодно для широкого диапазона значений $k$, пригодность нарушается, как только $k-1=O\left(\varepsilon^{2}\right)$. В п. 3.5.1 показано, что применение метода растянутых параметров к построению разложения вблизи $k=1$ приводит к ошибочным результатам. Разложение, пригодное вблизи $k=1$, получено с использованием метода кратных масштабов в п. 6.2.8.

3.4.3. Сверхзвуковое обтекание тонкого крыла

В качестве третьего примера применения метода перенормировки сделаем равномерно пригодным прямое разложение для продольной компоненты скорости, полученное в п. 2.1.3 в случае сверхзвукового потока, обтекающего тонкое крыло. Согласно (2.1.36), прямое разложение имеет вид
\[
\begin{aligned}
\frac{u}{U}=1-\varepsilon & \frac{T^{\prime}(\xi)}{B}+\varepsilon^{2}\left[\frac{1}{B^{2}}\left(1-\frac{M^{4}(\gamma+1)}{4 B^{2}}\right) T^{\prime 2}(\xi)-\right. \\
& \left.-\frac{\gamma+1}{2} \frac{M^{4}}{B^{3}} y T^{\prime}(\xi) T^{\prime \prime}(\xi)-T(\xi) T^{\prime \prime}(\xi)\right]+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\end{aligned}
\]

Чтобы сделать его равномерно пригодным, положим
\[
\xi=s+\varepsilon \xi_{1}(s, y)+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

Подставив это выражение в (3.4.10), разложив и собрав коэффициенты при равных степенях $\varepsilon$, получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{u}{U}=1-\frac{\varepsilon T^{\prime}(s)}{B}+\varepsilon^{2}\left[\frac{1}{B^{2}}\left(1-\frac{M^{4}(\gamma+1)}{4 B^{2}}\right) T^{\prime 2}(s)-\right. \\
\left.-T(s) T^{\prime \prime}(s)-\left(\xi_{1}(s, y)+\frac{\gamma+1}{2 B^{2}} M^{4} y T^{\prime}(s)\right) \frac{T^{\prime \prime}(s)}{B}\right]+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\end{array}
\]

Разложение может быть сделано равномерно пригодны\” для всех $y$, если выбрать
\[
\xi_{1}(s, y)=-\frac{\gamma+1}{2 B^{2}} M^{4} y T^{\prime}(s) .
\]

Поэтому равномерно пригодное разложение имеет вид
\[
\frac{u}{U}=1-\varepsilon \frac{T^{\prime}(s)}{B}+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\]

где
\[
\xi=s-\varepsilon \frac{\gamma+1}{2 B^{2}} M^{4} y T^{\prime}(s)+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\]

что полностью совпадает с формулами (3.2.94) и (3.2.97), полученными путем использования метода Лайтхилла.

3.4.4. Сдвиг особенности

В качестве четвертого примера рассмотрим задачу из п. 2.4.1. Прямое разложение, полученное в этом пункте, имеет вид
\[
y=x^{-2} e^{-x}\left[1+\varepsilon \int_{1}^{x} e^{-t} t^{-3}\left(1+2 t^{-1}\right) d t\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

Чтобы сделать его равномерно пригодным, положим в (3.4.16)
\[
x=s+\varepsilon x_{1}(s)+\ldots .
\]

Собрав коэффициенты при равных степенях $\varepsilon$, получим
\[
y=s^{-2}\left[1-\frac{2 \varepsilon}{s}\left(x_{1}+\frac{1}{3} s^{-2}\right)\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right) \text { при } s \rightarrow 0 .
\]

Это разложение будет равномерно пригодным, если выбрать
\[
x_{1}=-\frac{1}{3} s^{-2}
\]

и удалить таким образом главную особенность. Поэтому равномерно пригодное разложение имеет вид
\[
y=s^{-2} e^{-s}+O(\varepsilon),
\]

где
\[
x=s-\frac{1}{3} \varepsilon s^{-2}+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\]

что полностью совпадает с (3.2.30) и (3.2.31), полученными методом Лайтхилла.