При анализе нелинейных задач широко используются методы теории возмущений: вместо исходной динамической системы изучается близкая к ней интегрируемая система, на которую действует «возмущение». Характеризуя различие между этими системами малым параметром $\varepsilon$ и располагая невозмущенным решением, мы ищем возмущенное решение в виде разложения по степеням $\varepsilon$. Например, в случае слабой нелинейности линейная система интегрируется непосредственно, а возмущенное решение можно получить в виде ряда.

В этой схеме неявно предполагается, что исследуемая система является интегрируемой. Как мы видели в гл. 1, обычно это не так, и большинство многомерных динамических систем не интегрируемы. В таких системах хаотические траектории, связанные с резонансами между различными степенями свободы, занимают конечный фазовый объем, а их распределение среди регулярных траекторий оказывается всюду плотным. Теория возмущений не в состоянии описать всю сложность такого хаотического движения, что формально выражается в расходимости соответствующих рядов.

Даже в случае начальных условий, при которых траектории являются регулярными, имеются трудности при применении теории возмущений. Под действием возмущения регулярные траектории в некоторой окрестности резонансов изменяют свою топологию. Возникает характерная резонансная структура, напоминающая «острова», описанные в $\S 1.4$, причем их фазовый объем также конечен. Эти острова являются «микромирами» исходной возмущенной системы, содержащими собственные хаотические и регулярные траектории. Обычная теория возмущений не отражает изменения топологии фазового пространства и для описания регулярного движения вблизи определенного резонанса или ограниченной системы резонансов была разработана специальная резонансная теория возмущений. В настоящее время не существует методов, которые позволяли бы находить регулярные траектории с учетом всей иерархии резонансов ${ }^{1}$ ).
1) Это не совсем так. Во-первых, существует техника построения сходящихся рядов, например, в теории КАМ [11, 310,463]. Кроме того, в последнее время развиваются методы масштабно-инвариантного описания резонансной структуры (см., например, [117, 165, 369] и § 4.4, 4.5).-Прим. ред.

Изменение топологии фазового пространства вблизи резонансов, хаотические области и характер движения в них составляют основное содержание последующих глав этой книги. В данной главе мы рассмотрим методы теории возмущений, которые используются для получения решений, «аппроксимирующих» в некотором смысле реальное движение в многомерных нелинейных системах. Решение в форме ряда может приближенно правильно отражать грубые черты истинного движения даже тогда, когда реальная траектория является хаотической или изменяет существенно свою топологию, но при этом целиком содержится в узком слое вблизи сепаратрисы и окружена регулярными траекториями. С другой стороны, теория возмущений не в состоянии дать хотя бы качественное описание хаотического движения в тех областях фазового пространства, где перекрываются основные резонансы.

Если действительная траектория регулярна, то, казалось бы, можно надеяться получить решение в виде равномерно сходящегося ряда. Однако описываемые в этой главе классические ряды, будучи весьма полезными при некоторых теоретических вычислениях, оказываются расходящимися. В классических методах амплитуда и частота колебаний представляются рядами по степеням $\varepsilon$ при фиксированных начальных условиях. Поскольку резонансы распределены в пространстве частот всюду плотно, то по мере изменения частоты в высших порядках теории возмущений в дело вступают все новые и новые резонансы. Это обстоятельство приводит к расходимости рядов, которые в лучшем случае оказываются асимптотическими.

Поиск сходящихся решений привел Колмогорова к разработке методов сверхсходящихся разложений [229]. Им же была предложена техника, при которой частота удерживается постоянной, а начальные условия в процессе выполнения разложения изменяются. Это позволило построить сходящиеся ряды для «достаточно малых» возмущений и «достаточно далеко» от резонансов (теория KAM).

Рассмотрение теории возмущений мы начнем с краткого описания некоторых ее методов, используя простые примеры динамических систем и исследуя движение непосредственно по определяющим его дифференциальным уравнениям. Даже для нелинейного осциллятора с одной степенью свободы (интегрируемая система) разложение только амплитуды колебаний в степенной ряд приводит к появлению неограниченно растущих во времени секулярных членов и расходимости. Решая совместные уравнения для амплитуды и частоты колебаний, Линдштедт [278] и Пуанкаре [337] преодолели секулярность и получили сходящиеся ряды. Их техника описана в п. 2.1а и представлена в общей канонической форме в п. 2.2а. Этот материал составляет основу дальнейшего изложения теории возмущений.

В случае двух и более степеней свободы резонансы между основными частотами и их гармониками вызывают дополнительные сингулярности, связанные с так называемыми мальми знаменателями, что приводит к расходимости классических рядов даже для регулярных решений. Для формального подавления этой расходимости $^{1}$ ) были предложены некоторые методы, в частности метод усреднения. Этот метод дает возможность непосредственно вычислять адиабатические инварианты, которые являются приближенными интегралами движения и получаются путем усреднения по быстрой угловой переменной системы. Адиабатические инварианты определяются формально с помощью асимптотических рядов по параметру возмущения $\varepsilon$. Относящиеся сюда приемы описаны в п. 2.16, а их представление в канонической форме дано в § 2.3.

Следует, однако, иметь в виду, что метод усреднения приводит к неверному выводу о том, что возмущенная система всюду интегрируема. Истинное движение, которому отвечает структура фазового пространства с перемежающимися областями хаотичности и островами устойчивости, подменяется всюду интегрируемым движением, вытекающим из существования адиабатических инвариантов ${ }^{2}$ ). Будет такое описание «справедливо» или нет, определяется величиной возмущения и той степенью детальности, с которой сравниваются между собой реальное движение и предсказания адиабатической теории. Это обстоятельство подчеркивалось в п. 1.4а, где для задачи Хенона и Хейлеса (см. рис. 1.13 и последующее обсуждение) сопоставлены истинные траектории и результаты вычислений с помощью адиабатических инвариантов. Формальная расходимость ${ }^{3}$ ) (для любого конечного $\varepsilon$ ) асимптотического ряда, представляющего адиабатический инвариант, является еще одним свидетельством того, что метод усреднения искажает действительную структуру фазового пространства. Тем не менее этот метод весьма полезен при изучении движения в нелинейных системах.

Вблизи резонансов регулярные решения сильно возмущены и претерпевают топологические изменения. В такой ситуации классическая теория возмущений приводит к появлению малых знаменателей и расходимости рядов, как это показано в п. 2.1в. Некоторой специальной заменой переменных эта резонансная сингулярность устраняется, что делает возможным использование обычного метода усреднения. Именно такая резонансная теория возмущений, описанная в $\S 2.4$, составляет основу нашего метода изу-
1) Правильнее было бы сказать – для построения формальных рядов, которые, вообще говоря, расходятся.-. Прим. ред.
2) В общем случае более естественно было бы говорить о переменных действия, которые являются приближенными интегралами движения не только для адиабатического (медленного) возмущения, но и просто для малого возмущения. Используемые в тексте термины «адиабатическая теория». «адиабатическое приближение» и т. п. следует понимать именно в таком расширенном смысле. – Прим. ред.
3) Имеется в виду, что асимптотические ряды могут с успехом применяться для анализа движения, хотя они и являются расходящимися. Прим. ред.

чения хаотического движения. Ее детальному рассмотрению посвящены п. 2.4 а и б. В качестве примера подробно исследуется движение в магнитном поле заряженной частицы, взаимодействующей с электростатической волной (см. п. 2.4в). Предложенное в работе [111] обобщение этого метода, позволяющее одновременно избавляться от малых знаменателей целой группы резонансов, описано в п. 2.4 г.

Для простоты изложения все методы рассматриваются лишь в первом порядке по $\varepsilon$, а канонические преобразования выполняются с помощью зависящей от смешанного набора переменных производящей функции. Эти методы можно перенести и на более высокие порядки [34], но последовательное распутывание старых и новых переменных становится алгебраически сложным, а соответствующие ряды оказываются громоздкими. Однако высшие приближения часто необходимы, как, например, в задаче Хенона и Хейлеса, где первый порядок теории возмущений дает неверный результат даже в предельном случае очень низкой энергии. В $\$ 2.5$ мы знакомим читателя с теорией преобразований Ли, которая пришла на смену старым способам получения классических рядов в высоких порядках по $\varepsilon$. Методы Ли иллюстрируются на примерах задач с одной степенью свободы и вычисления адиабатических инвариантов высших порядков.

В $\S 2.6$ рассматриваются сверхсходящиеся ряды и проводится сопоставление их с классическими рядами (п. 2.6a). Специальное применение этих методов к вычислению периодических траекторий в нелинейных системах описано в п. 2.6б.
2.1a. Степенные ряды

Проиллюстрируем использование степенных рядов на примере интегрируемого слабо нелинейного осциллятора с одной степенью свободы. Это может быть показанный на рис. 2.1, а маятник, колеблющийся с небольшой амплитудой и описываемый гамильтонианом (1.3.6). Разлагая первое из уравнений (1.3.5) до третьего порядка по $\varphi$, запишем дифференциальное уравнение движения в виде
\[
\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=\frac{1}{6} \varepsilon \omega_{0}^{2} x^{3},
\]

где $x=\varphi$ – угол отклонения от вертикали, $\omega_{0}=(F G)^{1,2}-$ частота малых колебаний, $\varepsilon$ – малый безразмерный параметр, введенный в кубический член, чтобы явно выделить его как возмущение; в конце вычислений мы положим $\varepsilon=1^{1}$ ).
Если представить $x$ в виде ряда
\[
x=x_{0}+\varepsilon x_{1}+\varepsilon^{2} x_{2}+\text {. . }
\]
1) Это справедливо, конечно, только при условии, что в системе остается другой (неявный) малый параметр, например амплитуда колебаний в рассматриваемом случае.- Прим. ред.

и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, то в нулевом порядке получим уравнение гармонического осциллятора
\[
x_{0}=A \cos \omega_{0} t \text {. }
\]

Уравнение движения в первом порядке по $\varepsilon$ имеет вид
\[
\ddot{x}_{1}+\omega_{0}^{2} x_{1}=\frac{1}{6} \omega_{0}^{2} A^{3} \cos ^{3} \omega_{0} t .
\]

Представляя $\cos ^{3} \omega_{0} t$ в этом уравнении в виде суммы двух членов
\[
\cos ^{3} \omega_{0} t=\frac{1}{4}\left(\cos 3 \omega_{0} t+3 \cos \omega_{0} t\right),
\]

Рис. 2.1. Нелинейные колебания.
$a$ – маятник; 6 – адиабатическое возмущение; 6 – пример резонанса.

находим, что первый из них дает «хорошее» частное решение
\[
x_{1 a}=-\frac{A^{3}}{192} \cos 3 \omega_{0} t,
\]

в то время как второй оказывается резонансным и ему отвечает частное решение
\[
x_{1 b}=\frac{A^{3}}{16}\left(\omega_{0} t \sin \omega_{0} t+2 \cos \omega_{0} t\right) .
\]

Видно, что первое слагаемое растет линейно со временем – это и есть секулярный член. В рассматриваемом случае секулярность возникает вследствие выбора неподходящего разложения, при котором не принимается во внимание зависимость частоты колебаний от их амплитуды.

Корректный подход, разработанный Линдштедтом [278], состоит в одновременном разложении по степеням $\varepsilon$ как амплитуды, так и частоты колебаний. Гредположим, что $x=x(\omega t)$ является периодической функцией $\omega t$ с периодом $2 \pi$, и разложим $x$ и $\omega$ по степеням $\varepsilon$, так что наряду с (2.1.2) имеем
\[
\omega=\omega_{0}+\varepsilon \omega_{1}+\varepsilon^{2} \omega_{2}+\ldots \text {. . . }
\]

Подстановка этих разложений в уравнение (2.1.1) дает
\[
\begin{array}{c}
\left(\omega_{0}^{2}+2 \varepsilon \omega_{0} \omega_{1}+\ldots .\right)\left(x_{0}^{\prime \prime}+\varepsilon x_{1}^{\prime \prime}+\ldots .\right)+ \\
+\omega_{0}^{2}\left(x_{0}+\varepsilon x_{1}+\ldots .\right)-\frac{1}{6} \varepsilon \omega_{0}^{2}\left(x_{0}+\varepsilon x_{1}+\ldots .\right)^{3}=0,
\end{array}
\]

где штрихи означают производные по аргументу $\omega t$. В нулевом порядке имеем
\[
x_{0}^{\prime \prime}+x_{0}=0,
\]

и решение $x_{0}=A \cos \omega t$. Уравнение первого порядка
\[
x_{1}^{\prime \prime}+2 \frac{\omega_{1}}{\omega_{0}} x_{0}^{\prime \prime}+x_{1}-\frac{1}{6} x_{0}^{3}=0^{*}
\]

после подстановки в него выражения для $x_{0}$ приобретает вид
\[
x_{1}^{*}+x_{1}=2 \frac{\omega_{1}}{\omega_{0}} A \cos \omega t+\frac{1}{8} A^{3} \cos \omega t+\frac{1}{24} A^{3} \cos 3 \omega t .
\]

Условие периодичности $x(\omega t)$ требует, чтобы коэффициент при $\cos \omega t$ равнялся нулю, так как в противном случае возникают секулярные члены. Следовательно, мы выбираем величину $\omega_{1}$ так, чтобы исключить секулярность
\[
\omega_{1}=-\frac{1}{16} A^{2} \omega_{0},
\]

и получаем характерное для маятника уменьшение частоты колебаний с возрастанием амплитуды. При таком выборе $\omega_{1}$ решение уравнения (2.1.11) есть
\[
x_{1}=A_{1} \cos \omega t+B_{1} \sin \omega t-\frac{A^{3}}{192} \cos 3 \omega t .
\]

В частности, для начальных условий
\[
x_{1}(0)=\dot{x}_{1}(0)=0
\]

получаем выражение
\[
x_{1}=\frac{A^{3}}{192}(\cos \omega t-\cos 3 \omega t),
\]

которое описывает изменение $x(\omega t)$, вызванное нелинейностью. Рассмотренную процедуру можно выполнить и в более высоких порядках по $\varepsilon$. Основу метода составляет предположение о периодичности $x$ с частотой $\omega$, отличной от частоты малых колебаний $\omega_{0}$.

Дополнительная свобода, возникающая вследствие разложения $\omega$, позволяет исключать секулярность в каждом порядке по $\varepsilon$, чем и достигается равномерная сходимость решения. Каноническая форма метода Линдштедта, представленная в п. 2.2 a, была разработана Пуанкаре [337] и Цейпелем [419].
2.16. Асимптотические ряды и малые знаменатели

Рассмотрим колебания гармонического осциллятора с медленно изменяющейся возвращающей силой (или частотой). Эта задача существенно отличается от предыдущей наличием явной зависимости от времени, так что фактически мы имеем дело с двумя степенями свободы. Запишем уравнение движения такого осциллятора (рис. 2.1, б) в виде
\[
\ddot{x}+\omega^{2}(\varepsilon t) x=0,
\]

где малый безразмерный параметр $\varepsilon$ введен опять-таки для явного выделения возмущения и по окончании вычислений полагается равным единице. Истинным малым параметром разложения в рассматриваемом случае является отношение периода колебаний к характерному временно́му масштабу изменения возвращающей силы
\[
\left[\frac{1}{\omega} \cdot \frac{\dot{\omega}}{\omega}\right] .
\]

Ниже используется разложение не непосредственно для $x$, а для некоторой вспомогательной переменной $y$, скорость изменения членов разложения которой тем меньше, чем выше их порядок. Прежде всего, переходя к новой независимой переменной $\tau=\varepsilon t$, запишем уравнение (2.1.16) в виде
\[
\frac{d^{2} x}{d \tau^{2}}+\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)^{2} \omega^{2}(\tau) x=0 .
\]

Введем теперь новую переменную $y$ посредством равенства
\[
x=\exp \left[\int y d \tau\right] \text {. }
\]

Обозначая $d x / d \tau$ как $x^{\prime}$, находим
\[
x^{\prime}=y x, \quad x^{\prime \prime}=y^{2} x+y^{\prime} x .
\]

Подстановка последних соотношений в уравнение (2.1.18) приводит к уравнению Риккати
\[
\varepsilon^{2}\left(y^{2}+y^{\prime}\right)+\omega^{2}=0 .
\]

Представим $y$ в виде степенного ряда
\[
y=\varepsilon^{-1} y_{0}+y_{1}+\varepsilon y_{2}+\ldots .
\]

и подставим это разложение в (2.1.20). В низшем порядке по $\varepsilon$ находим
\[
y_{0}= \pm i \omega
\]

а в следующем порядке
\[
2 y_{0} y_{1}+y_{0}=0 .
\]

Использование (2.1.21) и (2.1.22) совместно с (2.1.19) дает
\[
x=\exp \left[\int\left(\varepsilon^{-1} y_{0}-\frac{1}{2} \frac{y_{0}^{\prime}}{y_{0}}\right) d \tau\right] .
\]

Интегрируя второе слагаемое и учитывая равенство $y_{0}= \pm i \omega$, получаем
\[
x=\frac{A}{\omega^{1.2}} \exp \left[ \pm i \int \omega d t\right] .
\]

Рассмотрим медленное изменение частоты от значения $\omega_{1}$ при $t<t_{1}$ до значения $\omega_{2}$ при $t>t_{2}$ и вычислим интеграл действия
\[
J=\frac{1}{2 \pi} \oint p d x
\]

в каждой из этих двух областей ( $t<t_{1}$ и $t>t_{2}$ ), где $\omega$ по предположению не изменяется.

Полагая $p=m \dot{x}$ и переходя в (2.1.23) к действительному решению
\[
x=A \omega^{-1 / 2} \cos (\omega t+\delta) \text {, }
\]

находим, что $J=(1 / 2) m A^{2}$ в обеих областях, несмотря на то что как частота $\omega$, так и энергия $E=(1 / 2) m \dot{x}_{\text {макс }}^{2}=\omega J$ могли измениться сколь угодно сильно. Действие $J$ является, таким образом, адиабатическим инвариантом движения, т. е. сохраняется в пределах точности используемых разложений, полученных в предположении медленности изменения параметров. Существование инварианта позволяет легко получить решение, хотя гамильтониан и не сохраняется.

Вычисление действия в области $t_{1}<t<t_{2}$, где происходит медленное изменение параметров, приводит к тому же результату. Более того, описанное разложение можно выполнить во всех порядках по малому параметру. Это было сделано Кулсрудом [244] для линейного осциллятора и затем обобщено Крускалом [239] и другими (см. [265] и § 2.3) на более сложные системы. Подчеркнем еще раз существенное отличие этого разложения от разложения, описанного в п. 2.1 a. Наличие явной зависимости от времени эквивалентно движению с двумя степенями свободы. При этом решения в виде рядов, как правило, не сходятся к точным решениям, а оказываются асимптотическими. Это понятие будет подробно рассмотрено в начале $\S 2.3$.

2.1в. Влияние резонансов

Если рассмотренный в п. 2.1а осциллятор подвергается периодическому во времени внешнему возмущению или если медленные изменения параметров осциллятора, описанные в п. 2.16, являются периодическими, то резонансы между колебаниями осциллятора и внешним возмущением разрушают сходимость разложений и изменяют или разрушают интегралы движения. Проиллюстрируем возникающие при этом трудности на простом примере.
Рассмотрим вынужденные колебания линейного ссциллятора
\[
\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=g(t),
\]

где внешняя сила $g(t)$ является периодической функцией времени с периодом $2 \pi / \Omega$. Решение однородного уравнения (2.1.25) есть
\[
x_{h}=A \cos \omega_{0} t+B \sin \omega_{0} t .
\]

Представим внешнюю силу $g(t)$ в виде ряда Фурье
\[
g(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n \Omega t+b_{n} \sin n \Omega t\right)
\]

и подставим это выражение в уравнение (2.1.25). Разлагая частное решение $x_{p}(t)$ в ряд Фурье, для $n$-го члена получаем
\[
x_{p n}=\frac{a_{n} \cos n \Omega t+b_{n} \sin n \Omega t}{\omega_{0}^{2}-n^{2} \Omega^{2}} .
\]

Видно, что при $\omega_{0}^{2} \approx n^{2} \Omega^{2}$ имеет место резонанс, приводящий к раскачке колебаний. Наш пример иллюстрируется на рис. 2.1 , в, на котором показан ребенок, раскачивающий качели.

Если осциллятор нелинейный, как, например, рассмотренный в п. $2.1 \mathrm{a}$, то в однородном решении присутствуют все гармоники с частотами, кратными основной частоте $\omega_{0}$. В этом случае резонансы возникают всякий раз, когда отношение частот $\omega_{0} / \Omega$ является рациональным числом, т. е. имеет место всюду плотная система резонансов. Но, как мы уже знаем, частота колебаний является функцией их амплитуды. Резонансы же изменяют амплитуду, а значит, и частоту колебаний, нарушая тем самым точное выполнение резонансных условий. Таким образом, малые знаменатели, препятствующие сходимости классических рядов в окрестности резонансов, отражают определенное физическое явление, которое приводит к локальному изменению характера фазовых траекторий.