В этом параграфе мы рассмотрим вторичные резонансы вынужденных колебаний маятника с гамильтонианом (4.1.26). Вследствие нелинейности свободных колебаний маятника в движении присутствуют гармоники основной медленной частоты $\omega_{0}$. Эти гармоники могут оказаться в резонансе с быстрым внешним возмущением частоты $2 \pi$, который называется поэтому вторичным резонансом. Поскольку исследование в общем виде является довольно громоздким, мы рассмотрим отдельно вторичные резонансы вблизи центра первичного резонанса и вблизи его сепаратрисы.
4.3а. Центр резонанса

Особенности вторичных резонансов вблизи центра первичного резонанса (т. е. его эллиптической точки) детально исследованы в п. 2.4б. Переходя к переменным действие-фаза ( $J, \varphi$ )для маятника с гамильтонианом
\[
H_{0}=\frac{I^{2}}{2}-\omega_{0}^{2} \cos \theta
\]

и используя методы, описанные в п. 2.2a, получаем в первом порядке теории возмущений новый гамильтониан [ср. с (2.4.43)]
\[
\bar{H}_{0}(J)=\omega_{0} J-\frac{1}{16} J^{2}
\]

и частоту колебаний
\[
\omega=\omega_{0}-\frac{1}{8} J .
\]

Рассмотрим несколько более общий вид гамильтониана (4.1.26), введя амплитуду $V$ и фазу $\theta_{0}$ возмущения:
\[
H_{1}=V \cos \left(\theta+\theta_{0}\right) \cos \Omega t .
\]
1) Помимо этого, точное положение границы стохастичности зависит от расположения крайнего целого резонанса относительно критического $u_{c}$, где $K\left(u_{c}\right)=1$. Подробное обсуждение этого вопроса см. в работе $[70$, §6.2 ].- Прим. ред.

В переменных $J, \varphi$
\[
\bar{H}_{1}=V \cos \left[\left(\frac{2 J}{\omega_{0}}\right)^{1 / 2} \sin \varphi+\theta_{0}\right] \cos (\Omega t) .
\]

Разложим $\bar{H}_{1}$ в ряд Фурье:
\[
\begin{array}{l}
\quad \bar{H}_{1}=V \mathcal{F}_{0}(\chi) \cos \theta_{0} \cos \Omega t+V \cos \theta_{0} \sum_{l=2 m>0} \mathscr{F}_{l}(\chi)[\cos (l \psi-\Omega t)+ \\
-\cos (l \varphi+\Omega t)]-V \sin \theta_{0} \sum_{l=2 m-1>0} \mathscr{F}_{l}(\chi)[\sin (l \varphi-\Omega t)-\sin (l \varphi-\Omega t)],
\end{array}
\]

где $m$-целое число,
\[
\chi(J)=\left(\frac{2 J}{\omega_{0}}\right)^{1 / 2},
\]

а $\mathcal{f}_{l}$ – функция Бесселя первого рода. Для укороченного стандартного отображения (4.1.26) $V=2 K, \Omega t=2 \pi n, \theta_{0}=0$ и остаются только четные гармоники по $\varphi$.

Среднее от $\bar{H}_{1}$ по $t$ отлично от нуля лишь вблизи резонансных значений $J=J_{0}$, для которых
\[
l \omega\left(J_{0}\right)=\Omega,
\]

где $\omega(J)$ – частота колебаний маятника. Поэтому, как и в п. 2.46, можно использовать резонансную теорию возмущений, переходя к медленной фазе
\[
\tilde{\varphi}=l \varphi-\Omega t
\]

и сопряженной переменной
\[
\widetilde{J}=\frac{J}{l} .
\]

Преобразуя гамильтониан и разлагая его около резонансного значения $J=J_{0}$, получаем
\[
\Delta \widetilde{H}=\left(\frac{\partial^{2} \bar{H}_{0}}{\partial \widetilde{J}^{2}}\right)_{0} \frac{(\Delta \tilde{l})^{2}}{2}+\Lambda_{l} \sin \tilde{\varphi} .
\]

Здесь
\[
\Lambda_{l}=V \mathscr{F}_{l}\left(\chi_{0}\right) \times\left\{\begin{aligned}
\cos \theta_{0} ; & l=2 m, \\
-\sin \theta_{0} ; & l=2 m-1
\end{aligned}\right.
\]

и, согласно (4.3.1) и (4.3.9),
\[
\left(\frac{\partial^{2} \bar{H}_{0}}{\partial \widetilde{\jmath}^{2}}\right)_{0}=-\frac{l^{2}}{8} .
\]

Гамильтониан (4.3.10) описывает вторичные резонансы и имеет ту же форму, что и гамильтониан (4.1.27), описывающий первичные резонансы. Расстояние между вторичными резонансами по частоте равно
\[
\delta \omega=\omega\left(J_{l}\right)-\omega\left(J_{l+1}\right)=\frac{\Omega}{l}-\frac{\Omega}{l+1} \approx-\frac{1}{l} \omega .
\]

Если присутствуют только четные или только нечетные гармоники, то $\delta \omega==2 \omega / l$. Из (4.3.2) и (4.3.9) имеем
\[
\delta \omega=\frac{1}{8} l \delta \tilde{J} .
\]

Это означает, что расстояние по переменной действия равно
\[
\tilde{\delta J}=\frac{8 m_{s} \omega}{l^{2}},
\]

где $m_{s}=1$, когда симметрия отсутствует, и $m_{s}=2$, если имеется четная или нечетная симметрия. Аналогично можно получить максимальную полуширину сепаратрисы:
\[
\Delta \tilde{J}_{\text {макс }}=\left(\frac{2}{l}\right)\left(8 \Lambda_{l}\right)^{1 / 2}
\]

и частоту малых фазовых колебаний:
\[
\tilde{\omega}_{l}=l\left(\frac{\Lambda_{l}}{8}\right)^{1 / 2} .
\]

Уравнения (4.3.14) – (4.3.17) дают параметр перекрытия
\[
\frac{2 \Delta \widetilde{J}_{\text {макс }}}{\delta \widetilde{J}}=\frac{4}{m_{s}} \frac{\tilde{\omega}_{l}}{\omega}
\]

дітя вторичных резонансов.
Этот параметр обычно очень мал, если только параметр перекрытия. для первичных резонансов не становится большим. Например, для гамильтониана (4.1.26) с $m_{s}=2, V=2 K, \omega \approx \omega_{0}=$ $=K^{1 / 2}$ параметр перекрытия равен
\[
\frac{2 \Delta \widetilde{J}_{\text {макс }}}{\delta \widetilde{J}}=\left[l^{2} \mathscr{F}_{l}(x)\right]^{1 / 2} .
\]

Наибольшее значение аргумента функции Бесселя $\chi=\pi$ достигается на сепаратрисе первичного резонанса. Для $l \gg \pi$ функция Бесселя экспоненциально мала, и вторичные резонансы несущественны. По этой же причине можно пренебречь и третичными и т. д. резонансами.

Теперь мы можем оценить, при каком числе вращения вторичные резонансы столь же важны, как и первичные. Приравнивая параметры перекрытия (4.3.19) и (4.1.31) для одного и того же числа вращения $\left(Q_{0}=l\right)$ и учитывая, что максимальный размер вторичного резонанса достигается вблизи сепаратрисы первичного при $\chi=\pi$, получаем
\[
l^{4} \mathscr{F}_{l}(\pi)=16 .
\]

Это соотношение приближенно выполняется для $l=4$ и $l=6$ (нечетные гармоники отсутствуют). Поэтому можно ожидать, что взаимодействие вторичных резонансов будет столь же существенно, как и для первичных резонансов при таком значении параметра стохастичности $K$, когда в центре первичного резонанса появятся вторичные резонансы с $l=4$ и $l=6$. По индукции то же справедливо и для резонансов всех уровней. В итоге мы приходим к следующему весьма существенному выводу: при достижении критического числа вращения $\alpha \approx 1 / 5$ для первичных резонансов резонансы всех уровней характеризуются тем же самым числом вращения и одинаковым значением параметра перекрытия. Такой вывод о резком разрушении последней инвариантной кривой между резонансами является, таким образом, весьма правдоподобным с физической точки зрения ${ }^{1}$ ). Соответствующий этому переходу параметр возмущения получается из (4.1.28) и равен $K=1,2$.

Численные исследования структуры вторичных резонансов стандартного отображения отсутствуют. Однако они проделаны для большого числа гамильтонианов с двумя степенями свободы, поверхность сечения Пуанкаре которых похожа на фазовую плоскость стандартного отображения. Примером является задача о движении частицы в магнитном поле и поле косой волны [383, 385] (см. п. 2.2б). Соответствующий гамильтониан в системе отсчета волны имеет вид [см. (2.2.67)]
\[
H=\frac{k_{z}^{2} P_{\psi}^{2}}{2 M}-P_{\psi} \omega+P_{\varphi} \Omega+\varepsilon e \Phi_{0} \sum_{m=-\infty}^{\infty} \mathscr{F}_{m}\left[k_{-} \rho\left(P_{\varphi}\right)\right] \sin (\psi-m \varphi) .
\]

Выбрав $P_{\varphi}$ таким, чтобы $\mathscr{F}_{m}$ было порядка единицы, авторы этих работ исследовали несколько близких к резонансу гармоник. Их результат для $m=-1,0,1$ приведен на рис. 2.10 , б. Ясно виден вторичный резонанс пятой гармоники внутри первичного резонанса (в данном случае возмущение имеет нечетные гармоники). Видно также, что между резонансами нет инвариантных кривых, поскольку случайно разбросанные точки представляют одну траекторию, которая свободно блуждает между первичными резонансами.
1) $\mathrm{K}$ сожалению, эта красивая картина одновременного перекрытия резонансов на всех уровнях несправедлива даже качественно, поскольку при перекрытии системы резонансов их центры остаются еще долго неразрушенными. Для стандартного отображения, например, граница стохастичности соответствует $K=K_{b} \approx 1$, а разрушение центра целых резонансов пронсходит только при $K=K_{s}=4$. Формально, это связано с тем, что уравнение (4.3.20) не имеет решения при $\chi \leqslant 2$, а при $\chi=\pi$ оно несправедливо. Прим. ред.

4.3б. Сепаратриса

Чтобы исследовать структуру вторичных резонансов вблизи сепаратрисы, нужно сначала найти выражение для переменной действия. Это можно сделать либо по теории возмущений, отправляясь от движения по невозмущенной сепаратрисе, либо вычислить действие прямо из точного решения для маятника вблизи сепаратрисы (см. П. 1.3а). Хотя оба метода требуют довольно сложных вычистений, выражение для переменной действия было найдено многими авторами, и мы приведем полученные результаты, не вдаваясь в детали самих вычислений. Ниже мы будем следовать работе Смита [383] и Смита и Перейры [387], где действие было получено непосредственно из точного решения.

Гамильтониан маятника (4.1.27) можно записать в переменных $J$, 甲 согласно (1.3.10) и (1.3.11). Для колебаний маятника имеем
\[
J=\omega_{0}\left(\frac{8}{\pi}\right)\left[\mathscr{E}(x)-\left(1-x^{2}\right) \mathscr{K}(x)\right], \quad x<1,
\]

где $\mathscr{E}$ и $\mathscr{K}$ – полные эллиптические интегралы первого и второго рода, и
\[
2 x^{2}=1+\frac{H}{\omega_{0}^{2}},
\]

откуда $x=1$ при $H=\omega_{0}^{2}=K$, т. е. на сепаратрисе. Частота колебаний маятника, согласно (1.3.13), имеет вид
\[
\omega(x)=\frac{\frac{1}{2} \pi \omega_{0}}{\mathscr{K}(x)},
\]

асимптотическое значение при $x \rightarrow 1$ равно
\[
\omega(x)=\frac{\frac{1}{2} \pi \omega_{0}}{\ln \left[\frac{4}{\left(1-x^{2}\right)^{1 / 2}}\right]} .
\]

Параметр перекрытия вторичных резонансов (4.3.18) можно записать в виде
\[
\frac{2 \Delta \widetilde{J}_{\text {макс }}}{\delta \widetilde{J}}=2\left|\frac{\Lambda_{l} d \omega}{d J}\right|^{1 / 2} \frac{l}{\omega},
\]

где все величины берутся для резонансного значения $J$
\[
l \omega(J)=2 \pi,
\]

и $l$ – четное число. Поскольку
\[
\frac{d \omega}{d J}=\frac{d \omega}{d x} \frac{d x}{d J},
\]

то из (4.3.22) и (4.3.23) получим после некоторых преобразований
\[
\frac{d \omega}{d J}=-\frac{1}{16} \frac{\omega^{3} J}{\omega_{0}^{4} \varkappa^{2}\left(1-\chi^{2}\right)} .
\]

Величина $\Lambda_{l}$ определяется из разложения Фурье для третьего члена в (4.1.26) с заменой $2 K \rightarrow V$ и $\theta \rightarrow \theta(J, \varphi)$ из (1.3.11). После довольно громоздких вычислений Смит и Перейра нашли ([387],
приложение А):
\[
\Lambda_{l}=V \frac{\left(\frac{\pi}{\mathcal{k}(x)}\right)^{2} l^{l 2}}{1-(-q)^{l}},
\]
$(4.3 .30 a)$
где
\[
\begin{array}{c}
q= \\
=\exp \left\{\frac{-\pi \mathscr{x}\left[\left(1-x^{2}\right)_{: 2}^{1}\right]}{\mathscr{K}(x)}\right\} .
\end{array}
\]

Подставляя (4.3.29) и (4.3.30) в (4.3.26), можно получить параметр перекрытия $2 \Delta \widetilde{J}_{\text {макс }} / \delta \tilde{J}$ в зависимости от энергии $H$. Вблизи сепаратрисы $x^{2} \rightarrow 1$ и
\[
q^{l, 2}=\exp \left(-\frac{\pi Q_{0}}{2}\right),
\]

Рис. 4.6. Относительная доля $r$ фазового пространства, в которой выполняется простой критерий перекрытия, в зависимости от числа вращения $\alpha=\omega_{0} / 2 \pi$ (по данным работы [145]).
и опуская малое слагаемое ( $-q)^{l}$, получаем
\[
\Lambda_{l}=16 \pi \omega \exp \left(-\frac{\pi Q_{0}}{2}\right) .
\]

Подставляя это выражение вместе с (4.3.29) в (4.3.26), имеем
\[
\left(\frac{2 \Delta \widetilde{J}_{\text {макс }}}{\delta \widetilde{J}}\right)^{2}=\frac{16}{\pi} Q_{0}^{3} \exp \left(-\frac{\pi Q_{0}}{2}\right) \frac{1}{1-x^{2}} .
\]

Из (4.2.20) и (4.3.23) находим соотношение
\[
\frac{\omega}{2}=1-x^{2} .
\]

Введем параметр стохастичности $K_{2}$ для вторичных резонансов с помощью условия перекрытия (4.2.1) для стандартного отображения
\[
\left(\frac{2 \Delta \widetilde{J}_{\text {макс }}}{\delta \widetilde{J}}\right)^{2}=\left(\frac{4 K_{2}^{12}}{2 \pi}\right)^{2} .
\]

Приравнивая правые части (4.3.31) и (4.3.33), находим
\[
K_{2}=\frac{8 \pi Q_{0}^{3}}{\omega} \exp \left(-\frac{\pi Q_{0}}{2}\right),
\]

что в точности совпадает (при $w=w_{1}$ ) с результатом (4.2.22), полученным из сепаратрисного отображения.

Фукуяма и др. [145] исследовали простой критерий перекрытия вторичных резонансов в задаче о взаимодействии частицы с волной, используя эллиптические интегралы с некоторыми упрощениями. На рис. 4.6 представлены их результаты для зависимости относительной доли $r$ фазового пространства, где выполняется простой критерий перекрытия [параметр перекрытия (4.3.26) равен единице ], от числа вращения
\[
\alpha=\frac{\omega_{0}}{2 \pi}=\frac{K^{1 / 2}}{2 \pi} .
\]

Видно, что быстрый рост стохастической компоненты происходит примерно при $\alpha \approx 0,2$, т. е. при появлении вторичных резонансов пятой гармоники. Это согласуется с приведенными выше данными.