Эта книга появилась в результате исследований по нелинейной динамике. Целью исследований было выяснение поведения отдельного осциллятора при медленном изменении его параметров, с одной стороны, и поведения нескольких слабо взаимодействующих осцилляторов – с другой. Эти две проблемы, которые первоначально рассматривались независимо, оказались тесно связанными между собой в случае многомерных систем.

Существенный прогресс в понимании эффекта медленного изменения параметров был достигнут на Сольвеевской конференции 1911 г. благодаря Эйнштейну, который указал на значение интеграла действия в физике. Он отметил, что «адиабатическое» постоянство действия, продемонстрированное впервые Лиувиллем и Грином за три четверти века до этого, прямо связано с физическим представлением о том, что число квантов в медленно меняющейся системе должно оставаться постоянным. Появившийся в результате метод Венцеля–Крамерса-Бриллюэна (метод ВКБ [427, $235,41]$ ) стал основой волновой механики, а также теории распространения волн в неоднородных средах. Соответствующую математическую теорию развили Боголюбов и Митропольский [33] и Крускал [239]. Сейчас она широко известна как метод усреднения ${ }^{1}$ ).

Другое направление исследований, касающееся связанных нелинейных осцилляторов, началось с попыток решить задачу трех тел в небесной механике, которая служит упрощенной моделью Солнечной системы. Ранние работы по этой проблеме восходят к трудам Гамильтона и Лиувилля середины XIX в., которые стимулировали развитие гамильтоновой механики, лежащей в основе большинства современных исследований. K концу XIX в. многие идеи, касающиеся устойчивости нелинейных систем, были рассмотрены Пуанкаре [337] и применены им к проблемам небесной механики. Именно в этот период Пуанкаре, Цейпель [419] и другие разработали методы теории возмущений, которые оказались столь плодотворными при описании поведения нелинейных систем на
1) Асимптотические методы использовались уже Пуанкаре ([337],гл. 8) и были развиты для решения широкого круга задач нелинейной механики Н. М. Крыловым, Н. Н. Боголюбовым и их школой (см., например, [242] и [447, т. 1 ]).-Прим. ред.

коротком интервале времени. Появление квантовой теории значительно стимулировало эти исследования. Так, резонансная теория возмущений, позволяющая учесть локальное резонансное взаимодействие между двумя степенями свободы, была сформулирована уже на заре квантовой механики [34]. Классическая теория возмущений, а также более современный формализм Ли (см., например, [102]) будут рассмотрены в гл. 2.

Важный вопрос, на который не смогла ответить ранняя теория возмущений, был вопрос о длительной устойчивости Солнечной системы. Преобладало мнение, что движение планет является «регулярным» (квазипериодическим) и в конечном счете может быть вычислено при помощи новых математических методов. Это мнение подкреплялось известными решениями задачи двух тел и других простых механических задач, а также интерпретацией палеонтологических данных, которые наводили на мысль о регулярности движения Земли вокруг Солнца в течение сотен миллионов лет.

Противоположный вгляд на механические системы со многими степенями свободы был выдвинут Больцманом піри попытке понять поведение разреженных газов. Он считал, что движение молекул следует рассматривать как случайное, причем каждой молекуле доступна вся энергетически разрешенная область фазового пространства. Эта точка зрения известна как эргодическая гипотеза, ставшая основой классической статистической механики. Она была с успехом использована при объяснении многих наблюдаемых свойств вещества.

Первую попытку численной проверки эргодической гипотезы Больцмана для системы с умеренным числом степеней свободы предприняли Ферми, Паста и Улам [127], которые использовали модель в виде цепочки нелинейно взаимодействующих сосредоточенных масс. К их удивлению, численные эксперименты не подтвердили ожидаемое стохастическое движение модели.

Это глубокое противоречие между существованием интегрируемых систем, с одной стороны, и эргодических, с другой, было симптомом некоторой фундаментальной нерешенной проблемы классической механики. Определенный вклад в разрешение этого противоречия внес Пуанкаре: он продемонстрировал, что в окрестности неустойчивых неподвижных точек движение имеет чрезвычайно сложный характер. Это был первый намек на то, что регулярные силы могут порождать стохастическое движение в нелинейных колебательных системах. Впоследствии Биркгоф [29] показал, что при рациональном отношении частот для двух степеней свободы (резонанс) всегда существуют как устойчивые, так и неустойчивые неподвижные точки. Резонансы все более высокого порядка и более мелкого масштаба последовательно изменяют топологию фазовых траекторий и приводят к образованию «цепочки островов». Было установлено, что ряды теории возмущений не описывают такие резонансы.

Хотя работы Пуанкаре и Биркгофа продемонстрировали чрезвычайную сложность топологии фазового пространства, вопрос об эргодичности движения, т. е. о том, покрывает ли траектория всю энергетически доступную область фазового пространства или же она ограничена какими-то интегралами движения, оставался до недавнего времени без ответа. Теорема Колмогорова [229], доказанная при различных ограничениях Арнольдом [10] и Мозером [308] (теорема КАМ), утверждает, что при возмущении интегрируемых систем инвариантные поверхности сохраняются для большинства начальных условий. Хотя движение вблизи сепаратрисы каждого резонанса и является стохастическим, оно ограничено соседними инвариантными поверхностями и не является эргодическим. В гл. 3 мы рассмотрим теорию КАМ и связанные с ней топологические результаты, которые служат обоснованием многих методов, описанных в этой книге.

Наряду с достижениями теории возмущений и другими математическими результатами, одной из основных побудительных причин возрождения интереса к нелинейной механике было изобретение цифровой ЭВМ. Уже с самого начала использование ЭВМ для интегрирования уравнений движения было соединено с методом сечения Пуанкаре, при котором такое интегрирование $N$-мерных уравнений заменяется итерацией соответствующего ( $N-1$ )-мерного отображения. В результате оказалось возможным наблюдать за движением системы в фазовом пространстве в течение сотен тысяч колебаний. Обнаруженные уже в первых экспериментах удивительно тонкие пространственные структуры движения быстро привлекли внимание как теоретиков, так и экспериментаторов. Отсюда две основные особенности нашего изложения материала: мы существенно опираемся на результаты численного моделирования, с одной стороны, и на соответствие между непрерывным движением ( $N$-мерным потоком) и его дискретным ( $N-1$ )-мерным отображением Пуанкаре – с другой (см. гл. 3). Центральным моментом нашего описания динамики является численный эксперимент, который считается, как правило, окончательной проверкой теоретического анализа. Примеры численного моделирования приводятся в каждой главе также для иллюстрации и пояснения физической сущности явлений.

Из детальных численных экспериментов и соответствующих теоретических исследований возникла весьма необычная картина фазового пространства слабо возмущенных систем. Вблизи резонансов топология невозмущенных инвариантных поверхностей изменяется и образуется характерная резонансная структура, похожая на «цепочку островов». Внутри островов топология также изменяется, приводя к еще более мелкой резонансной структуре и т. д. Однако вся эта структура – только часть полной картины движения, которая включает также плотную систему тонких слоев со стохастическим движением. Анализу этой структуры посвящена большая часть гл. 3.

Для слабо возмущенных систем с двумя степенями свободы тонкие стохастические слои отделены друг от друга инвариантными поверхностями, а стохастические колебания переменных действия внутри слоя оказываются экспоненциально малыми (по возмущению). С увеличением возмущения возможен переход, при котором изолирующие инвариантные поверхности разрушаются и стохастические слои сливаются, приводя к глобальному стохастическому движению. Фазовое пространство можно разделить при этом на три области. Одна из них содержит в основном стохастические траектории. Она связана ${ }^{1}$ ) со второй областью, значительную часть которой составляет по-прежнему стохастическая компонента движения, но внутри ее уже имеются большие острова регулярного движения. Третья область содержит главным образом регулярные траектории и отделена от первых двух инвариантными поверхностями. Классический пример, иллюстрирующий переход от почти регулярного к существенно стохастическому движению, был предложен Хеноном и Хейлесом [188] для моделирования динамики в задаче трех тел ${ }^{2}$ ). Численные эксперименты и связанные с ними эвристические теории, развитые за последние двадцать лет, прояснили основные процессы и позволили определить величину возмущения, при которой происходит такой переход. Эти результаты иллюстрируются в гл. 3 на примере ускорения Ферми, первоначально предложенного для объяснения происхождения космических лучей. Рассматривается модель, в которой упругий шарик колеблется между неподвижной и вибрирующей стенками. Далее, в гл. 4, определяются условия перехода от локализованной стохастичности к глобальной. При этом используются различные подходы к задаче (см., например, [70, 165]).

Bсе упомянутые методы применялись при исследовании широкого круга задач как на начальном этапе развития теории, так и в последующих приложениях. Приложение к задаче трех тел и ее многочисленным вариантам ознаменовало по существу начало широких исследований в данной области). Возникают и новые захватывающие приложения в астрономии, например структура колец Сатурна или пояса астероидов. Качественно это удается понять на основе представления о резонансах с большими возмущающими телами. Однако количественные данные о ширине колец Сатурна и люков в распределении астероидов, а также недавно наблюдавшуюся с космических кораблей сложную структуру колец Сатурна еще предстоит объяснить.
1) Траекториями движения.- Прим. ред.
2) Этот пример возник из задачи о движении звезды в поле галактики.-Прим. ред.
${ }^{3}$ ) Это, пожалуй, преувеличение, вспомним хотя бы классические труды Пуанкаре по небесной механике.- Прим. ред.

Другим важным приложением является движение заряженной частицы в магнитном и электрическом полях. Прежде всего было установлено, что магнитный момент является адиабатическим инвариантом, связанным с ларморовским вращением заряженной частицы [7]. В дальнейшем были рассмотрены адиабатические инварианты и для других степеней свободы частицы. Эта задача стимулировала развитие асимптотических разложений и техники усреднения, а также исследования Чирикова [67], в которых он изучал переход между регулярным и стохастическим движением и установил первый критерий такого перехода (критерий перекрытия резонансов). В дальнейшем был проведен учет влияния высокочастотного поля вследствие его резонанса с ларморовским вращением. В результате был найден предел для высокочастотного нагрева, связанный с существованием инвариантных кривых. Родственная задача о движении частицы в намагниченной плазме под действием волны, иллюстрирующая многие из вышеупомянутых особенностей движения, используется в качестве примера для резонансной теории возмущений (гл. 2) и для определения перехода от адиабатического поведения к стохастическому (гл. 4). Другим интересным приложением теории является движение частиц в ускорителях. Именно в этой области были проведены некоторые ранние исследования поведения многомерных нелинейных систем. Уравнения Гамильтона могут быть использованы также и для описания других типов траекторий, таких, как магнитные линии или лучи в геометрической оптике. В случае аксиально симметричной тороидальной геометрии гамильтониан, описывающий магнитные линии, оказывается интегрируемым. K настоящему времени уже проведен ряд исследований по разрушению тороидальных магнитных поверхностей возмущениями, возникающими как от внешних токов, так и от самосогласованных токов удерживаемой плазмы. Подобные приложения используются ниже в качестве примеров, а также кратко обсуждаются в дополнении $\mathrm{A}$.

Существование движений, которые проявляются при численном моделировании как случайные, надежно установлено. Однако математические попытки охарактеризовать стохастичность с помощью таких понятий, как эргодичность, перемешивание и тому подобное, далеко не всегда оказывались успешными ${ }^{1}$ ). Синай [377] доказал эти свойства для газа твердых шариков. Было показано также, что некоторые модельные гамильтоновы системы обладают даже более сильными стохастическими свойствами. Эти результаты, описанные в гл. 5 , дают основание считать, что случайность движения имеет место и для типичной гамильтоновой системы в том случае, когда она обладает поведением, характерным для идеализированных моделей.
1) Здесь, по-видимому, имеются в виду трудности аналитического выявления указанных свойств в конкретных динамических системах. – Прим. ред.

Кажущаяся стохастичность ${ }^{1}$ ) движения в подобных сложных системах дает основание говорить о принципиально новом подходе к статистической механике и поэтому привлекает к себе все более широкий круг исследователей в этой области. Сложность движения вблизи неустойчивых периодических решений и тот факт, что эти неустойчивые траектории образуют в фазовом пространстве всюду плотное множество, служат серьезным доводом в пользу такой точки зрения. В последнее время значительные усилия были направлены на выяснение связи стохастического движения с показателями Ляпунова, которые определяют скорость экспоненциальной расходимости близких траекторий. Это важно также и с практической точки зрения для вычисления усредненной по фазам скорости диффузии по переменным действия. В прошлом такие вычисления проводились в предположении о случайности фаз. Ясно, что это предположение несправедливо при наличии инвариантных кривых, ограничивающих областть изменения фаз. Даже в случае полной эргодичности, когда движение охватывает всю энергетическую поверхность, необходимо еще определить масштаб времени, на котором фазы становятся случайными. Проведенные численные и аналитические исследования позволили глубже понять проблему убывания фазовых корреляций вблизи инвариантных поверхностей. Эти вопросы будут рассмотрены в гл. 5.

Существует значительное различие между стохастичностью в системах с двумя и большим числом степеней свободы. Используя топологические соображения, Арнольд [12] показал²), что для систем с более чем двумя степенями свободы стохастические слои связаны между собой и образуют в фазовом пространстве плотную «паутину». Для начальных условий на этой паутине стохастическое движение идет вдоль слоев, приводя к глобальной диффузии, не ограниченной инвариантными поверхностями. Этот механизм принято называть диффузией Арнольда. Она может быть быстрой или медленной в зависимости от толщины стохастических слоев. Такая диффузия существует (в принципе) для сколь угодно малых возмущений интегрируемых систем. Еще один интересный эффект в многомерных системах связан с медленной модуляцией одного из периодических движений3). В этом случае стохастическое движение вдоль паутины может значительно усиливаться за счет так называемой модуляционной диффузии. Этот механизм противоречит интуитивному представлению о том, что медленная модуляция должна приводить к адиабатическому поведению ${ }^{4}$ ). В многомерных системах резонансы могут значительно влиять на диффузию также
1) Этот осторожный термин сейчас уже не оправдан (см., например, [448] и популярные статьи [61, 449-452]).- Прим. ред.
2) См. также [462].- Прим. ред.
3) Имеются в виду невозмущенные колебания по одной из независимых степеней свободы.- Прим. ред.
4) См. примечание редактора на с. 367.- Прим. ред.

и благодаря внешней стохастичности (шуму). Для систем с двумя степенями свободы действие шума эквивалентно, вообще говоря, наличию третьей степени свободы и приводит к диффузии вдоль резонансов. При этом резонансы могут значительно увеличивать скорость диффузии. Считается, что эти процессы могут ограничивать время жизни частиц и интенсивность пучков в накопительных кольцах. В гл. 6 мы рассмотрим диффузионные процессы в многомерных системах, включая диффузию Арнольда и модуляционную диффузию, а также совместное действие внешнего шума и резонансов.

Новая область явлений возникает в диссипативных системах, фазовый объем которых не остается постоянным, а сокращается со временем. Конечное состояние в этом случае представляет собой движение на некотором подпространстве, называемом аттрактором, размерность которого меньше размерности исходного фазового пространства. Изучение регулярного движения в таких системах восходит к Ньютону и в дальнейшем было связано с развитием теории обыкновенных дифференциальных уравнений. На этой ранней стадии было выяснено, что траектория может притягиваться к таким простым аттракторам, как неподвижные точки, замкнутые траектории и торы, на которых устанавливается, соответственно состояние равновесия, периодическое и квазипериодическое движение. И только сравнительно недавно, в пионерской работе Лоренца [283 ], было показано, что и в диссипативных системах встречается хаотическое движение. Лоренц обнаружил такой аттрактор в модели, описываемой системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Рюэль и Тэкенс [355] использовали для аттрактора с хаотическим движением термин «странный аттрактор») ). Топология странных аттракторов весьма примечательна. Она характеризуется масштабной инвариантностью ${ }^{2}$ ), при которой структура аттрактора повторяется на все более мелких пространственных масштабах. Такие структуры, называемые фракталами, обладают любопытным свойством дробной размерности, промежуточной между размерностью точки и линии, линии и плоскости и т. д.

Когда геометрическая структура странных аттракторов была выяснена, возникла качественная картина движения, важной особенностью которой является близкое соответствие между движе-
1) В литературе уже отмечалась странность этого термина [74 ]. Для современной эргодической теории подобный аттрактор является, напротив, естественным. Его существование вытекает, в частности, из теоремы Аносова [8] о структурной устойчивости хаоса для динамических систем определенного класса, которые получили позднее название систем Аносова. С другой стороны, упоминаемая ниже фрактальная структура хаотического аттрактора не является универсальной, это может быть, например, и просто тор.Прим. ред.
${ }^{2}$ ) В оригинале – geometric invariance (геометрическая инвариантность).- Прим. перев.

нием на странном аттракторе и движением, описываемым некоторым одномерным необратимым отображением. Такие отображения не возникают непосредственно из диссипативных потоков ${ }^{1}$ ), но являются важными примерами простых систем с хаотическим поведением и находят приложение в таких разных областях, как экономика и экология. При изменении параметра эти отображения испытывают последовательные бифуркации, такие, что период предельного цикла каждый раз удваивается. Бифуркации накапливаются при некотором критическом значении параметра, выше которого движение становится хаотическим. Фейгенбаум [122] показал, что этот процесс является в некотором смысле универсальным.

Однако фактически странные аттракторы появились впервые в трехмерных потоках и связанных с ними двумерных отображениях. В этом случае также имеет место последовательность бифуркаций с удвоением периода. Для понимания поведения таких систем важно знать движение вблизи сепаратрисных слоев и инвариантные распределения ${ }^{2}$ ). Несмотря на соответствие между одномерными и двумерными отображениями, наше знание последних недостаточно. Например, в настоящее время нет никакого метода для отыскания перехода к странному аттрактору в многомерных системах.

Появление странных аттракторов в трехмерных потоках, таких, как модель Лоренца, указывает на один из возможных механизмов возникновения гидродинамической турбулентности. Это стимулировало исключительно точные экспериментальные измерения вблизи перехода от ламинарного к турбулентному течению в реальных жидкостях. Модель Лоренца была получена фактически из задачи о конвекции Рэлея-Бенара в подогреваемом снизу слое жидкости с учетом только трех мод движения. Хаотическое движение в трехмерной модели Лоренца представляет возможную картину турбулентности и в некоторых реальных гидродинамических системах, которая оказывается проще, чем первоначальные представления Ландау [251]. Динамика диссипативных систем рассматривается в гл. 7, включая одномерные и двумерные отображения, а также гидродинамические приложения.