В системах, близких к интегрируемым, резонансы окружены, как мы уже знаем, стохастическими слоями. Однако в случае двух степеней свободы сохранение энергии ограничивает движение вдоль слоя. В поперечном же направлении слои изолированы друг от друга инвариантными поверхностями.

Системы с тремя и более степенями свободы отличаются двумя существенными особенностями:
1. Стохастические слои пересекаются друг с другом, образуя в фазовом пространстве единую всюду плотную «паутину».
2. Сохранение энергии не препятствует движению вдоль слоев в пределах энергетической поверхности. Поэтому за достаточно большое время траектория, переходя от слоя к слою, охватывает всю энергетическую поверхность, подходя сколь угодно близко к любой ее точке.

Основной механизм внутренней диффузии вдоль стохастических слоев называется диффузией Арнольда по имени открывшего ee В. И. Арнольда [12]. Диффузия Арнольда является универсальной в том смысле, что не существует критической величины возмущения, необходимой для ее возникновения, хотя скорость диффузии стремится к нулю при уменьшении возмущения. Численные исследования проведены во многих работах (см., например, [68, 139-143]); сравнение с теоретическими моделями в простейшем случае взаимодействия трех резонансов обсуждается в работах $\left.[68,70,146]^{1}\right)$.

Хотя обычно диффузию Арнольда рассматривают в отсутствие перекрытия резонансов ${ }^{2}$ ) [70], похожая диффузия происходит и при перекрытии группы резонансов, причем в последнем стучае скорость диффузии резко возрастает ${ }^{3}$ ). Хорошей иллюстрацией обоих режимов является модельная задача о колебаниях шарика между плоской и периодически гофрированной в двух направлениях стенками. Эта система, похожая на отображение Улама с дополнительной степенью свободы, была исследована Теннисоном и др. [406].
1) См. также работу [475].- Прим. ред.
2) Имеются в виду первичные резонансы.- Прим. ред.
3) Однако она перестает быть универсальной, т. е. появляется порог по возмущению (см. ниже п. 6.2г).- Прим. ред.

Примером диффузии вдоль слоя перекрывающихся резонансов является модуляционная диффузия (п. 6.2г). В этом случае медленные колебания одной из основных частот приводят к появлению «боковых» резонансов, которые могут перекрываться в определенной области параметров. Эта диффузия не универсальна, т. е. существует определенная величина возмущения, ниже которой боковые резонансы не перекрываются. Интересно отметить, что перекрытие возможно, даже если частота модуляции мала по сравнению с модулируемой частотой. Этот результат, казалось бы, противоречит ннтунтивному представлению об адиабатическом поведении в таком стучае ${ }^{1}$ ). Возможно, что модуляционная диффузия существенна для динамики пучков в накопительных кольцах $[211,404]^{2}$ ).

Диффузия вдоль стохастических слоев может быть связана не только с внутренней динамикой системы, но и с внешним шумом, эффект которого значительно усиливается на резонансах ( $\$ 6.3$ ). Подобная диффузия рассматривалась Чириковым [71] и Теннисоном [405 ]. Важным примером диффузии в многомерной системе в присутствии шума является движение частиц в тороидальных магнитных полях. Мы рассмотрим эту задачу в $\$ 6.4$ и проведем сравнение теоретических выводов с результатами численного моделирования.

В $\S 6.5$ кратко обсуждаются системы с очень большим числом степеней свободы, среди которых есть примеры как регулярного, так и стохастического поведения.
* 6.1а. Геометрия резонансов

Рассмотрим интегрируемую систему с $N$ степенями свободы, гамильтониан которой имеет вид
\[
H_{0}=H_{0}(I),
\]

где $I-N$-мерный вектор переменных действия. Движение в $2 N$-мерном фазовом пространстве $(\boldsymbol{I}, \boldsymbol{\theta}$ ) происходит по поверхности $N$-мерного тора и определяется $N$-мерным вектором фаз $\boldsymbol{\theta}$, канонически сопряженным вектору $I$ :
\[
\boldsymbol{I}(t)=\boldsymbol{I}_{0}, \quad \boldsymbol{\theta}(t)=\boldsymbol{\omega}(\boldsymbol{I}) t+\boldsymbol{\theta}_{0},
\]

где $\omega_{j}(I)=\partial H_{0} / \partial I_{j}$ — невозмущенные частоты.
Пространство переменных действия. На рис. 6.1 представлено « $N$-мерное» пространство переменных действия. Невозмущенная
1) См. примечание редактора на с. 367.- Прим. ред.
2) С.ледует различать модуляционную диффузию вдоль резонансов многомерной системы (п. 6.2г) от понижения порога перекрытия и последующей диффузии поперек резонансов вследствие низкочастотной модуляции в системе. Обе цитированные работы относятся именно ко второму (более простолу) эффекту, который рассматривался также в работах [68, 467]. — Прин. ред.

энергетическая поверхность определяется в этом пространстве с помощью условия $H_{0}(I)=\alpha$. Если, например,
\[
H_{0}=\sum_{j=1}^{N} I_{j}^{2},
\]

то эта поверхность является сферой.

Рис. 6.1. Пространство переменных действия невозмущенного гамильтониана (6.1.2) (по данным работы [276]).

Показаны энергетияеские поверхности (сферы) и резонансные поверхности (плоскости).
Определим ( $N-1$ )-мерную резонансную поверхность посредством условия
\[
m \cdot \omega(I)=0,
\]

где $\boldsymbol{m}$ называется вектором резонанса и имеет целочисленные компоненты. Так как $\boldsymbol{m}$ может быть любым, то резонансные поверхности всюду плотны в пространстве переменных действия. Для квадратичного гамильтониана (6.1.2) несколько резонансных поверхностей показано на рис. 6.1.

Рассмотрим теперь влияние малого периодического по $\boldsymbol{\theta}$ возмуцения:
\[
\begin{aligned}
H & =H_{0}(I)-\varepsilon H_{1}(I, \theta), \\
H_{1} & =\sum_{k} V_{k}(I) e^{i m_{k} \cdot \theta},
\end{aligned}
\]

где суммирование производится по всем $\boldsymbol{m}_{k}$. Уравнения Гамильтона для $\boldsymbol{I}$ имеют вид
\[
\dot{I}=-\partial H / \partial \boldsymbol{\theta}=-i \varepsilon \sum_{k} \boldsymbol{m}_{k} V_{k} e^{i m_{k}+\boldsymbol{\theta}} .
\]

Стедовательно, каждая компонента возмущения возбуждает колебания $I$ в направлении $\boldsymbol{m}_{k}$. Для большинства компонент колебания не будут резонансными, т. е. $\boldsymbol{m}_{k} \cdot \boldsymbol{\theta}(t)
eq \mathrm{const}$, поэтому соответствующая амплитуда колебаний $I$ будет порядка $\varepsilon$. Однако для некоторых $k=R$ возможен резонанс:
\[
\boldsymbol{m}_{R} \cdot \boldsymbol{\theta}(t)=\theta_{R}=\text { const, }
\]

где $\theta_{R}$ — резонансная фаза. Тогда амплитуда колебаний в направлении $\boldsymbol{m}_{R}$ имеет порядок $\varepsilon^{1 / 2}(\$ 2.4)$.

В качестве примера на рис. 6.2 изображены некоторые из резонансных и энергетических поверхностей для гамильтониана
\[
H_{0}=I_{1}^{2}+\left(6 I_{2}\right)^{2} .
\]

В этом случае, согласно (6.1.3), резонансными поверхностями являются линии:
\[
m_{1} I_{1}-36 m_{2} I_{2}=0 .
\]

Отметнм, что так как при резонансе
\[
m_{R} \cdot \frac{\partial H_{0}}{\partial I}=0,
\]

то вектор $\boldsymbol{m}_{R}$ лежит на невозмущенной энергетической поверхности. Вообще говоря, вектор $m_{R}$ не перпендикулярен резонансной поверхности (см. пунктирный прямоугольник на рис. 6.2). Именно в этом случае резонанс существенно усиливает действие внешнего шума ( $\$ 6.3$ ). Из рис. 6.2 видно также, что резонансные поверхности не пересекаются на поверхности постоянной (ненулевой) энергии. Эта особенность типична для систем с двумя степенями свободы .

Для трех и более степеней свободы резонансные поверхности, вообще говоря, пересекаются, как показано на рис. 6.3 , а для гамильтониана (6.1.2) с $N=3$. Резонансными поверхностями яв.ляются здесь плоскости, проходящие через начало координат и пересекающиеся по прямым линиям. Они пересекают также сфери-

Рис. 6.2. Линии резонансов (прямые) и линии постоянной энергии (эллипсы) для гамильтониана (6.1.7) (по данным работы [405]).
Чиста на прямых — значения $m_{1}$ в (6.1.8) при $m_{2}=$ 1. Обведенная пунктиром область показана в увелнченном виде на рис. 6.16.

ческие поверхности постоянной энергии $H_{0}(I)=\alpha$ и пересекаются между собой на этих поверхностях. В местах пересечения возможны переходы с одного резонанса на другой. Пересечения резонансов с энергетической поверхностью образуют сложную единую сеть, или паутину Арнольда, часть которой показана на рис. 6.3, для резонансов с $\left|m_{j}\right| \leqslant 2$.

В $2 N$-мерном фазовом пространстве резонансы (6.1.3) образуют $(2 N-1)$-мерные поверхности. Инвариантные же поверхности, определяемые соотношением $I=$ const, являются $N$-мерными. Усло-

Рис. 6.3. Топология диффузии Арнольда.
a-диффузия (волнистая линия) переходит с одной резонансной поверхности на другую по линии пересечения их с энергетической поверхностью (по данным работы [276]); 6-кпаутнна» Арнольда на энергетической поверхности; показаны только некоторые из реяонансов (по данным работы [406]).

вие пересечения стохастических слоев можно получить теперь геометрически. Если $N \geqslant 3$, то ( $2 N-1$ )-мерные резонансные поверхности не изолированы друг от друга $N$-мерными инвариантными поверхностями (см. рис. 1.16). Схема стохастического слоя представлена также на рис. 1.17 , где резонансная переменная $I_{R}=J_{1}$ характеризует фазовые колебания на резонансе, а остальные ( $N-1$ ) переменные действия представлены величиной $J_{2}=I_{5}$ п опивают движение вдоль слоя.

Особенность движения вдоль стохастического слоя можно пояснить следующим образом. Пусть полная энергия сохраняется, так что
\[
\Delta H=\Delta H_{0}+\varepsilon H_{1}=0,
\]

причем для резонансной переменной
\[
\Delta I_{R} \sim \varepsilon^{1 / 2} .
\]

Тогда для трех степеней свободы
\[
\frac{\partial H_{0}}{\partial I_{R}} \Delta I_{R}+\frac{\partial H_{0}}{\partial I_{S_{1}}} \Delta I_{S_{1}}+\frac{\partial H_{0}}{\partial I_{S_{2}}} \Delta I_{S_{2}} \sim \varepsilon .
\]

Изменения переменных $I_{S_{1}}$ и $I_{S_{2}}$ вдоль слоя могут быть большими и ограничены [с учетом (6.1.10)] ]олько условием
\[
\frac{\partial H_{0}}{\partial I_{S_{1}}} \Delta I_{S_{1}}+\frac{\partial H_{0}}{\partial I_{S_{2}}} \Delta I_{S_{2}} \sim \varepsilon^{\prime 2} .
\]

В случае же двух степеней свободы ( $\Delta I_{S_{2}} \equiv 0$ ) из (6.1.10) и (6.1.11) следует
\[
\Delta I_{S} \sim \varepsilon^{1 / 2},
\]
т. е. смещение вдоль стохастического слоя мало.
* 6.1б. Примеры диффузии Арнольда

Возможность неограниченного движения вдоль резонанса доказана Арнольдом [12] на примере гамильтониана
\[
H=\frac{1}{2}\left(I_{R}^{2}+I_{S}^{2}\right)+\varepsilon\left(\cos \theta_{R}-1\right)\left(1+\mu \sin \theta_{S}+\mu \cos t\right) .
\]

ГІри $\mu=0$ и $\varepsilon
eq 0$ существуют два интеграла движения:
\[
H_{R}=\frac{1}{2} I_{R}^{2}+\varepsilon \cos \theta_{R}=\text { const, }
\]

причем последний из них описывает резонанс. Возмущение $(\mu
eq 0)$ приводит к образованию стохастического слоя вокруг сепаратрисы этого резонанса. Так как возмущение изменяет как $I_{R}$, так и $I_{S}$, то возникает хаотическое движение вдоль стохастического слоя (по $I_{S}$ ). Роль третьей степени свободы играют здесь переменные $t$ и $-H$ (п. 1.2б).

Арнольд высказал предположение, что движение вдоль резонансов является типичным свойством многомерных нелинейных колебаний, однако строгое доказательство этого отсутствует ${ }^{1}$ ). Недавно Холмс и Марсден [197], используя метод Мельникова [299] (см. § 7.3 ниже), показали существование диффузии Арнольда у большого класса гамильтоновых систем, близких к интегрируемым.

Первые численные эксперименты по хаотическому движению в многомерных системах были выполнены Фрёшле и сотр. ${ }^{2}$ ). В частности, в работах Фрёшле $[139,140]$ исследовалось число изолируюцих интегралов движения в системах с тремя степенями свободы. Оказалось, что в зависимости от начальных условий существуют либо два интеграла, либо ни одного (кроме энергии). Этот результат находится в согласии с гипотезой Арнольда, что движение происходит либо по инвариантному тору, либо по стохастическим слоям. Это значит, что в общем случае $N$.степеней свободы имеется либо $N-1$, либо ни одного интеграла движения, кроме энергии. Аналогичные соображения высказывались Фрёшле [139] и были подтверждены численными экспериментами [141-143] д.тя $N=3$ и $N=4$.

Модельная задача. Рассмотрим трехмерные колебания шарика между двумя упругоотражающими неподвижными стенками, одна из которых плоская $(z=h)$, а другая $(z \approx 0)$ — гофрированная как по $x$, так и по $y$ (рис. $6.4, a$ ). Положение системы на четырехмерной поверхности сечения задается значениями координат $x_{n}$ и $y_{n}$ и углов $\alpha_{n}=\operatorname{arctg}\left(v_{x} / v_{z}\right)$ и $\beta_{n}=\operatorname{arctg}\left(v_{y} / v_{z}\right)$ непосредственно перед $n$-м отражением от гофрированной стенки, где $\boldsymbol{v}$-вектор скорости шарика (рис. 6.4,б). Считая гофрировку слабой ( $a \ll h, a k \ll 1$ ), можно записать упрощенное отображение (ср. II. 3.4a) в явном виде
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{n+1}=\alpha_{n}-2 a_{x} k_{x} \sin k_{x} x_{n}+\mu k_{x} \gamma_{c}, \\
x_{n+1}=x_{n}+2 h \operatorname{tg} \alpha_{n+1},
\end{array}
\]
1) Основная трудность здесь — получение достаточно эффективных аналитических критериев неинтегрируемости, поскольку в полностью интегрируемой системе диффузия Арнольда, конечно, отсутствует (см. примечание редактора на с. 315). Одним из возможных критериев является пересечение сепаратрис, которое было открыто и использовалось еще Пуанкаре [337, 11. 226] и интенсивно изучается в последнее время (см., например, [197, $479,480,483,484,511$ ) . Однако использование этого критерия ограничено и самом интересном (для диффузии Арнольда) случае очень слабого возмуцения (см. примечание редактора на с. 240). — Прим. ред.
2) Это, конечно, не так. Достаточно вспомнить знаменитую работу Ферми, Паста и Улама [127], в которой фактически наблюдалось и хаотическое движение (см. рис. 5-7), хотя основное внимание авторов было привлечено к регулярным колебаниям в многомерной нелинейной системе. Хаотический аспект этой задачи исследовался позднее во многих работах (см., например, $[135,208])$.- Прим. ред.

\[
\begin{array}{l}
\beta_{n+1}=\beta_{n}-2 a_{y} k_{y} \sin k_{y} y_{n}+\mu k_{b} \gamma_{c}, \\
y_{n+1}=y_{n}+2 h \operatorname{tg} \beta_{n+1} .
\end{array}
\]

Здесь $\gamma_{c}=\sin \left(k_{x} x_{n}+k_{y} y_{n}\right), \quad a_{x}, \quad a_{y}-$ амплитуды гофрировки только по $x$ и только по $y$ соответственно, а $\mu$ — удвоенная амплитуда косой гофрировки, связывающей движение по $x$ и $y$.

Рис. 6.4. Модельная задача (по данным работы [406]). a — колебания шарика между гладкой и гофрированной стенками; 6 — проекция движения на плоскость $(x, z)$.

Если $\mu=0$, то отображение (6.1.12) описывает независимое движение в плоскостях $(x, z)$ и $(y, z)$. На рис. 6.5 показаны различные траектории на поверхности сечения ( $\alpha, \theta$ ). Мы видим обычную картину дія систем с двумя степенями свободы: резонансные и нерезонансные инвариантные кривые и стохастические области. Центр целого резонанса при $\alpha=\theta=0$ соответствует устойчивым колебаниям шарика вдоль оси $z$ в одном из минимумов «потенциальной ямы» стенки. Инвариантные кривые вокруг этого центра соответствуют «адиабатическим» колебаниям вдоль оси $x$, медленным по сравнению с ко.тебаниями по $z$. Имеются две основные стохастичекие области. Толстый стохастический слой расположен в районе $\alpha \approx \pm \pi / 2$. Он возникает вследствие перекрытия целых резонансов, при которых за один период колебаний по $z$ траектория проходит несколько периодов гофрировки по $x$, как показано на рис. 6.5. Тонкий стохастический слой, отделенный при данных значениях параметров от толстого слоя инвариантными кривыми, расположен в окрестности сепаратрисы целого резонанса $\alpha=0$. Движение

Рис. 6.5. Фазовая плоскость ( $\alpha, \theta$ ) модели (6.1.12) (по данным работы [406]). $\mu=\theta ; \theta=k_{x} x$ отнонение $\lambda_{x}: h: a_{x}$ рано $100: 10: 2 ; \lambda_{x} \cdots 2 \pi: k_{x} ; 15$ траскториї по $10^{3}$ итераций.

в нем происходит вблизи максимума потенциатьной ямы гофрированной стенки и охватывает как колебания, так и пролет в соседние ямы.

Типичный пример диффузии Арнольда в присутствии связи показан на рис. 6.6. Четырехмерная поверхность сечения ( $\alpha, x$, $\beta, y$ ) представлена здесь двумя проекциями $(\alpha, x)$ и ( $\beta, y$ ), которые для удобства совмещены на рисунке. Начальные устовия выбраны внутри резонанса по $x$ и в пределах тонкого стохастического слоя по $y$. Численное моделирование показывает, что движение по $y$ остается внутри стохастического слоя, пока колебания по $x$ не достигнут своей сепаратрисы. Последовательные стадии диффузни по $x$ под действием стохастических колебаний по $y$ показаны на рис. $6.6, \sigma-2$. Это и есть диффузия Арнольда, поскольку на поверхности сечения она идет вдоль стохастического стоя резонанса по $y$. При дальнейшем движении диффузня охватывает бо́тьшую часть п.тоскости $(\alpha, x)$. В частности, наблюдались переходы диффузии из одного стохастического слоя ( $y$-резонанса) в другой ( $x$-резонанса), а также в толстый слой. Эти эффекты показаны на рис. 6.7 в проекции $(\alpha, \beta)$ для $x \approx y \approx 0$. Траектория случайно блуждает по тонким и толстым слоям, проводя бо́льшую часть времени в пос.тедних.

Рис. 6.6. Диффузия в тонком слое (по данным работы [406]). м $h=0,004$; отношения $\lambda_{x}: h: c_{x}{ }^{\text {и }} \lambda_{y}: h: a_{y}$ равны $100: 10: 2$.

Это, однако, еще не все. Вспомним, что система резонансных поверхностей является всюду плотной в пространстве переменных действия. Рассмотрим, например, резонанс связи
\[
m_{1} \omega_{x}-m_{2} \omega_{y}=0,
\]

где ( ${ }_{x}, \omega_{y}$ — частоты колебаний, а $m_{1}, m_{2}$ — целые числа; на рис. 6.7 показан резонанс, соответствующий $m_{1}=-m_{2}$. Стохастический слой этого резонанса также является составной частью паутины Арнольда. Для начальных условий в этом слое и $x \approx y \approx 0$ быстрые колебания шарика по оси $z$ кажутся вначале устойчивыми. Однако это не так. После достаточно большого числа отражений мы можем обнаружить, что шарик движется почти вдоль стенок. В типичном случае диффузия идет вначале по резонансу связи,

Рис. 6.7. То же, что и на рис. 6.6 в проекции на плоскость $(\alpha, \beta)$ (по данным работы [276]).
$x \approx y \approx 0 ; 5 \times 10^{7}$ итераций.

затем по тонким стохастическим слоям и, наконец, по толстым слоям. При этом шарик лишь изредка будет возвращаться в окрестность начального положения вблизи $x=y=0$, поскольку подавляющая часть паутины Арнольда состоит из толстых стохастических слоев. Остальные же области вроде резонансов связи, где движение кажется регулярным, составляют пренебрежимо малую (но всюду плотную!) часть стохастической паутины. Эта удивительная картина является характерной для диффузии Арнольда.