В отличие от гамильтоновых систем с их фундаментальным законом сохранения фазового объема для диссипативных систем характерно его постоянное уменьшение со временем. Это приводит к тому, что все траектории движения притягиваются к некоторой поверхности (аттрактору), размерность которой меньше, чем у исходного фазового пространства. При этом уравнения движения уже не являются каноническими, но их можно записать, вообще
1) Первые оценки для скорости диффузии Арнольда приведены в [146].Прим. ред.

говоря, в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:
\[
\frac{d x}{d t}=V(x),
\]

где для $N$-мерного фазового пространства векторы $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{V}$ имеют $N$ компонент. Траектория $\boldsymbol{x}(t)$ называется в этом случае $N$-мерным потоком. В случае регулярного потока движение на аттракторе является простым. Это может быть, например, неподвижная точка (фокус) или периодическая траектория (предельный цикл). Для двумерных потоков существуют фактически только эти две возможности.

Для трехмерных потоков, помимо фокусов и предельных циклов, возможны и квазипериодические траектории с двумя основными частотами. По аналогии можно было бы ожидать, что это и есть единственно возможные аттракторы. Однако это не так. Было показано, что в трехмерных (и большей размерностй) диссипативных системах существуют аттракторы с очень сложной геометрической структурой. В частности, они имеют дробную размерность (см. п. 7.1в) и называются обычно странными аттракторами. Движение на странных аттракторах является хаотическим ${ }^{1}$ ).
1.5а. Странные аттракторы

Грубо говоря, странный аттрактор-это такой аттрактор, на котором близкие траектории расходятся экспоненциально. В качестве примера представим себе трехмерный поток в виде слоя из бесконечного числа двумерных листов. Слой растягивается вдоль одного из направлений и складывается, как показано на рис. 1.18 , a. При этом края слоя ( $A B$ и $A^{\prime} B^{\prime}$ ) гладко соединены между собой. Так как на краю $A^{\prime} B^{\prime}$ имеются два отдельных листа, а на краю $A B$ только один, то для гладкости их соединения необходимо бесконечное число листов. В противном случае возникли бы разрывы, ведущие к необратимости потока. Эскиз окончательной структуры такого аттрактора представлен на рис. 1.18 , б.

Из схемы аттрактора видно, что, несмотря на экспоненциальную расходимость, траектории ограничены ${ }^{2}$ ). Далее, оказывается, что
1) Термин «хаотический» обычно используется для описания случайного движения в диссипативных системах, тогда как термин «стохастический» чаще относится к гамильтоновым системам. Хотя мы и пытались придерживаться такого соглашения, не следует думать, что эти два термина соответствуют различной \”степени случайности»; по существу мы рассматриваем их как синонимы.
2) Проблема согласования расходимости близких траекторий на аттракторе с его ограниченностью возникает только при минимальной размерности аттрактора, равной двум (имеется в виду обычная, целая размерность, ср. п. 7.1в). При бо́льшей размерности расходимость в линейном приближении сменяется перемешиванием траекторий; хаотический аттрактор может иметь при этом простую форму, например, тора.- Прим. ред.

Рис. 1.18. Схематическое изображение странного аттрактора (по данным работы [368]).
$a$-слой из бесконечного числа листов растягивается и складывается; 6 -вид аттрактора после соединения каждого листа по линии $A B$ с соседним по линии $A^{\prime} B^{\prime}$.

структура аттрактора повторяется на все более и более мелких пространственных масштабах. Такая масштабная инвариантность, характерная также и для структуры резонансов в гамильтоновых системах, служит основой анализа динамики как гамильтоновых, так и диссипативных систем. Подобная многослойная структура, которую можно описать математически как некоторое канторово множество, рассматривается в $\S 7.1$.

Уравнения (1.5.1), приводящие к возникновению странного аттрактора, зависят обычно от некоторого параметра (аналогичного величине возмущения в гамильтоновых системах), изменение которого меняет характер движения. На примерах модели ХенонаХейлеса и ускорения Ферми мы видели, что в гамильтоновых системах при увеличении возмущения траектории из регулярных становятся стохастическими. Подобно этому, и в диссипативных системах при изменении параметра возможен переход от периодического движения к хаотическому на странном аттракторе. Во многих случаях такой переход происходит путем последовательного удвоения периода движения вплоть до некоторого критического значения параметра, за которым структура аттрактора изменяется и движение становится хаотическим. Дальнейшее увеличение параметра может привести к обратному процессу или к появлению простого аттрактора другой симметрии. Еще одна интересная особенность таких систем заключается в том, что обычно можно найти поверхность сечения, на которой движение сводится приближенно к необратимому одномерному отображению. Необратимость означает здесь многозначность обратного отображения. Такие отображения возникают во многих физических задачах и будут подробно рассмотрены в $\$ 7.2$.

Не все из перечисленных свойств легко увидеть из одного примера. Сейчас мы рассмотрим первый пример странного аттракторамодель Јоренца [283]. В § 7.4 мы снова вернемся к этому примеру для того, чтобы изучить физическую систему, из которой он возникает. В § 7.1 рассмотрены другие примеры, позволяющие шире взглянуть на различные явления, связанные с хаотическим движением в диссипативных системах.
1.5б. Модель Лоренца

Этот поучительный пример хаотического потока возник из гидродинамических уравнений, описывающих конвекцию Рэлея-Бенара. Слой жидкости конечной толщины подогревается снизу таким образом, что между верхней холодной и нижней горячей поверхностями поддерживается постоянная разность температур. Движение жидкости описывается уравнением Навье-Стокса. Предполагая поток двумерным, его можно охарактеризовать двумя переменными: функцией тока $\psi$ и отклонением $\Theta$ распределения температуры от стационарного (линейного по вертикали).

Уравнения в частных производных для возмущенного потока можно преобразовать к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого следует разложить функции $\psi$ и $\Theta$ в двойной ряд Фурье по $x$ и $z$ с амплитудами, зависящими только от времени $t$. Оставив ограниченное число членов, получим движение в конечномерном фазовом пространстве. Вывод этих уравнений движения из уравнения Навье-Стокса приведен в $\S 7.4$.

Лоренц [283] исследовал упрощенную модель, в которой было оставлено только три «наиболее важных» фурье-амплитуды. В этом приближении уравнения принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{X}=-\sigma X+\sigma Y, \\
\dot{Y}=-X Z+r X-Y, \\
\dot{Z}=X Y-b Z,
\end{array}
\]

где $X$ – амплитуда конвективного движения; $Y$ – разность температур для течений вверх и вниз; $Z$ – отклонение вертикального температурного профиля от линейного, а $\sigma, r, b$ – безразмерные параметры, физический смысл которых обсуждается в $§ 7.4$.

Модель Лоренца интенсивно исследовалась во многих работах (см. литературу в работе [180]). Значения параметров $\sigma$ и $b$ обычно фиксированы ( $\sigma=10, b=8 / 3$ ), и поведение системы исследуется в зависимости от $r$. Перечислим некоторые элементарные свойства модели Лоренца $[252,283,411]$.
1. Уравнения инвариантны относительно преобразования: $X \rightarrow-X, Y \rightarrow-Y, Z \rightarrow Z$.
2. Фазовый объем сокращается с постоянной скоростью (см. п. $7.1 \mathrm{a})$
\[
\Lambda=\frac{\partial \dot{X}}{\partial X}+\frac{\partial \dot{Y}}{\partial Y}+\frac{\partial \dot{Z}}{\partial Z}=-(\sigma+b+1),
\]

которая весьма велика для обычно используемых значений параметров: $\sigma=10, b=8 / 3, \Lambda \approx-13,7$. За единицу времени объем сокращается в $e^{-\Lambda} \approx 10^{6}$ раз.
3. При $r=0$ и $t>0$ решение ограничено и $X, Y, Z \rightarrow 0$ для $t \rightarrow \infty$.

С ростом $r$ характер решений меняется следующим образом.
1. Для $0<r<1$ единственным аттрактором является неподвижная точка в начале координат. Это соответствует стационарной теплопроводности в задаче Рэлея-Бенара.
2. Для $r>1$ аттрактор теряет устойчивость и возникают две новые неподвижные точки
\[
X_{1,2}=\left( \pm[b(r-1)]^{1 / 2}, \quad \pm[b(r-1)]^{1 / 2}, \quad r-1\right),
\]

которые являются аттракторами для $1<r<r_{2}$, где
\[
r_{2}=\sigma(\sigma+b+3) /(\sigma-b-1)=470 / 19 \approx 24,74 .
\]

Это соответствует стационарной конвекции в задаче Рэлея-Бенара.
3. Для $r>r_{2}$ не существует аттракторов типа неподвижных точек.
4. Для $r>r_{1}=24,06$ возникает странный аттрактор с хаотическим движением. Заметим, что в узкой области
\[
24,06<r<24,74
\]

Рис. 1.19. Хаотическая траектория на аттракторе Лоренца при $r=28$ (по данным работы [253]).
Плоскость $(X, Y)$ соответствует $Z=27$.
существуют три аттрактора. Два из них соответствуют стационарной конвекции, а третий – хаотическому потоку. При этом в системе имеет место гистерезис: если $r$ растет, то регулярная конвекция переходит в турбулентность при $r=24,74$; если же $r$ уменьшается, турбулентное движение переходит в регулярную конвекцию при $r=24,06$.
Лоренц исследовал численно случай $r=28$. На рис. 1.19 [253] приведен пример хаотической траектории, выходящей из начала координат и пересекающей плоскость $Z=27$. Вначале траектория подходит к $\boldsymbol{X}_{1}$, а затем раскручивается и притягивается к $\boldsymbol{X}_{2}$;

после этого она уходит по спирали от $\boldsymbol{X}_{2}$ и снова притягивается к $\boldsymbol{X}_{1}$ и т. д. Период обращения около $\boldsymbol{X}_{1,2}$ равен 0,62 , а радиус спирали изменяется приблизительно на $6 \%$ за оборот. Число оборо-

Рис. 1.20. Спектр мощности $P(\omega)$ для $X(t)$ на аттракторе Лоренца при $r=28$ (по данным работы [121]).
Непрерывность спектра отражает хаотичность движения.
тов в каждой серии меняется в широких пределах практически непредсказуемо, так как оно сильно зависит от начальных условий.

Хаотическое движение на аттракторе можно изучать при помощи отображения Пуанкаре плоскости $Z=27$. В работе [46] доказано, что это отображение является перемешивающим и эргодическим. Спектр мощности $X(t)$ приведен на рис. 1.20. Его непрерывность отражает непериодическое, хаотическое движение на аттракторе.

Заметив, что зависимость $Z$ от $t$ выглядит хаотической, Лоренц [283] придумал следующий эффективный метод анализа движения. Он зафиксировал последовательные максимумы $Z_{1}, Z_{2}, \ldots$ и построил зависимость $Z_{n+1}$ от $Z_{n}$, которая приведена на рис. 1.21 . Слева от пика отображение соответствует последовательным обо-
Рис. 1.21. Одномерное отображение на аттракторе Лоренца при $r=28$ (по данным работы [283]). $Z_{n}$ – последовательные максимумы $Z(t)$. ротам вокруг $\boldsymbol{X}_{1}$ или $\boldsymbol{X}_{2}$. Область справа от пика описывает переходы между $X_{1}$ и $\boldsymbol{X}_{2}$. Это одномерное отображение соответствует приближению, при котором бесконечно много листов аттрактора соединяются в один. Оно оказывается весьма хорошим из-за большой скорости сокращения фазового объема.

Это одномерное отображение позволяет непосредственно понять хаотический характер движения на аттракторе Лоренца. Действительно, производная зависимости $Z_{n+1}\left(Z_{n}\right)$ везде больше единицы, а это, как легко показать (см. п. 7.2в), сразу приводит к экспоненциальной расходимости близких траекторий. Соответствие между странными аттракторами и одномерными отображениями будет использовано в гл. 7