* 5.2a. Эргодичность

Для отображения $T$ среднее по времени значение любой функции $f(x)$ в фазовом пространстве определяется следующим образом:
\[
\bar{f}(\boldsymbol{x})=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} f\left(T^{n} \boldsymbol{x}\right) .
\]

Можно показать, что для почти всех $\boldsymbol{x}$ : а) функция $\bar{f}(\boldsymbol{x})$ существует; б) функция $f$ является инеариантной, т. е. не изменяется вдоль траектории:
\[
\bar{f}\left(T^{n} x\right)=\bar{f}(x),
\]

и в) фазовые средние функций $\bar{f}(\boldsymbol{x})$ и $f(\boldsymbol{x})$ совпадают. Фазовое среднее определяется соотношением
\[
\langle f\rangle=\int_{d \boldsymbol{k}} f(\boldsymbol{x}) d \mu
\]

где $\mathscr{M}$ – фазовсе пространство системы размернссти $M$, а $\boldsymbol{\mu}$ – инвариантная мера, т. е. $d \boldsymbol{\mu}=\boldsymbol{P}(\boldsymbol{x}) d^{M} x$, где $P(\boldsymbol{x})$ – инвариантное распределение. Для гамильтоновых систем в канонических переменных $\boldsymbol{x}$ функция $P=1$. Метод получения инвариантных распределений в диссипативных системах описан в $\S 7.3$. Динамическая система называєтся эргодической, если для почти всех $\boldsymbol{x}$

\[
\bar{f}(x)=\langle f\rangle .
\]

Из этого определения ясно, что для эргодической системы среднее по времени не может зависеть от $\boldsymbol{x}$. Из произвольности функции $f(\boldsymbol{x})$ следует, что эргодичность имеет место только в том случае, когда траектория попадает во все области фазового пространства, т. е. подходит сколь угодно близко к любой его точке бесконечное число раз. Отметим, что обратное утверждение неверно ${ }^{1}$ ). Если, например, система имеет инвариантные поверхности, то она не является эргодической и называется обычно разложимой ${ }^{2}$ ), хотя у нее могут быть и стохастические области.

Свойство эргодичности зависит от того, на каком подпростран стве оно определено. Так, автономная гамильтонова система не может быть эргодической во всем фазовом пространстве из-за точного сохранения энергии. Однако можно говорить о ее эргодичности на энергетической поверхности. Если существуют и другие интегралы движения, то система может быть эргодической только на подпространстве, определяемом всеми этими интегралами. В некотором смысле эргодичность оказывается универсальным свойством, и основная задача сводится к определению подпространства, на котором она существует.

Рассмотрим свойство эргодичности на примере движения на торе, задаваемом отображением
\[
T\left(\theta_{1}, \theta_{2}\right)=\left(\theta_{1}+\omega_{1}, \theta_{2}+\omega_{2}\right), \quad \bmod 2 \pi,
\]

где $\alpha=\omega_{1} / \omega_{2}$ – иррациональное число. Покажем, что в этом случае движение является эргодическим на торе. Для этого разложим временно́е среднее $\bar{f}(\boldsymbol{x})$ в двойной ряд Фурье и сравним коэффициенты разложения функции $\bar{f}(\boldsymbol{x})$ :
\[
a_{\boldsymbol{k}}=\int_{\mathrm{d}} \exp (-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}) \bar{f}(\boldsymbol{x}) d \mu
\]

и ее образа $\bar{f}(T \boldsymbol{x})$ :
\[
b_{\boldsymbol{k}}=\int_{d /} \exp [-i \boldsymbol{k} \cdot(\tilde{\boldsymbol{x}}-\boldsymbol{\omega})] \bar{f}(\tilde{\boldsymbol{x}}) d \mu=\exp (i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{\omega}) a_{\boldsymbol{k}},
\]

где $\tilde{\boldsymbol{x}}=T \boldsymbol{x}$. Из инвариантности функции $\bar{f}$ следует, что для любого $\boldsymbol{k}
eq 0$ коэффициенты $a_{k}=b_{k}=0$, если $\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{\omega}
eq 0$. Отсюда получаем, что для иррационального $\alpha(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{\omega}
eq 0)$ только $a_{0}
eq 0$, и функция $\bar{f}(\boldsymbol{x})$ есть константа, как и требуется для эргодичности.

Физически отображение (5.2.4) соответствует отображению поворота на поверхности сечения $\theta_{2}=$ const (индекс 1 опущен):
\[
J_{n+1}=J_{n}, \quad \theta_{n+1}=\theta_{n}+2 \pi \alpha .
\]
1) Интересным примером подобных всюду плотных, но не эргодических траекторий является диффузия Арнольда (см. п. 6.1а).- Прим. ред.
2) На эргодические компоненты (см. ниже).- Прим. ред.

Рис. 5.1. Эргодические свойства отображения поворота.
$a$ – две пернодические траектории ( $\times$ п ) с рациональным числом вращения $\alpha(J)=$ $=2 / 5$; эргодичность на инвариантой кривой $J=$ const отсутствует; $\sigma$ – начальная функция распределения $f(\theta, 0)$, для которой временно́е среднее $\overline{f(\theta, t)}$ зависит от $\theta$; $\theta$ – эргодическое движение на инвариантной кривой с иррациональным чнслом вращеиия $x$, однако «серые» и ктемные» траектории не пөремешиваются.

Оно изображено на рис. 5.1, $a$ для $\alpha=1 / 5$ (рациональное число) и двух начальных условий (кружки и кресты). Выбрав $f(\theta)$, как показано на рис. 5.1, б, легко видеть, что $\bar{f}=0$ для кружков и $\bar{f}=f_{0}$ для крестов. Таким образом, движение в этом случае не эргодично. Для иррационального а траектория покрывает всю окружность и $\bar{f}(\boldsymbol{x})=\langle f\rangle=f_{0} / 2$, т. е. движение является, эргодичєским на окружности.

Отображение (5.2.4) соответствует движению интегрируемой гамильтоновой системы на инвариантном торе $\left(\theta_{1}, \theta_{2}\right)$. Можно сказать, что это движение эргодично на торе, но не эргодично во всем фазовом пространстве. Из рассмотренного примера квазипериодического движения ясно, что эргодичность еще не означает стохастичность. С другой стороны, наше определение эргодичности позволяет считать эргодическим стохастическое движение и в некоторой ограниченной области фазового пространства, например в стохастическом слое. Однако такое определение может оказаться не очень удобным в том случае, когда область стохастичности содержит много островков устойчивости ${ }^{1}$ ).
* 5.2б. Характеристические показатели Ляпунова

Показатели Ляпунова играют важную роль в теории гамильтоновых и диссипативных динамических систем. Они дают вычислимую количественную меру степени стохастичности. Помимо этого, существует тесная связь между показателями Ляпунова и другими характеристиками случайности, такими, как энтропия Колмогорова (п. 5.2в) или фрактальная размерность (п. 7.1в).

Грубо говоря, показатели Ляпунова характеризуют среднюю скорость экспоненциальной расходимости близких траекторий. Такая характеристика стохастичности была введена Хеноном и Хейлесом $[188]^{2}$ ) и в дальнейшем исследовалась Заславским и Чириковым [444 ], Фрёшле и Шейдекером [141-143] и Фордом [133].

Теория показателей Ляпунова [262] использовалась для анализа стохастического движения Оселедецем [323]. Связь показателей Ляпунова с энтропией Колмогорова рассматривалась Бенеттином и др. [19] и была установлена Песиным [334 ]. Метод вычисления показателей Ляпунова развит Бенеттином и др. [20] и описан в §5.3. Здесь же мы обсудим их свойства, следуя в основном
1) Все эти разнообразные случаи охватываются общим понятием эргодической компоненты движения. Под эргодичностью же в физике понимается, как показывает само название, эргодичность на энергетической поверхности.- Прим. ред.
2) Речь идет об использовании этого свойства в численных экспериментах. Общие соображения о связи случайности с экспоненциальной неустойчивостью движения высказывались еще Пуанкаре [489]; эта связь была строго доказана в работах Хедлунда [490] и Хопфа [491] и широко использовалась Крыловым [241].- Прим. ред.

работам Бенеттина и др. [18-20]. Математические доказательства можно найти в цитированной литературе.
Пусть динамическая система задана уравнениями
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=V_{i}(\boldsymbol{x}), \quad i=1, \ldots ., M .
\]

Рис. 5.2. Характеристические показатели Ляпунова (по данным работы [18]).
$a$ две близкие расходяциеся траектории; $\boldsymbol{w}(t)=\Delta \boldsymbol{x}(t)$ – касательный вектор; $6-$ касательное пространство, построенное на собственных векторах $\boldsymbol{e}_{1}$ и $\boldsymbol{e}_{2}$ с гоказателями Ляпунова $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$; для любого вектора $\boldsymbol{w}$, непараллельного $\boldsymbol{e}_{2}, \sigma\left(\boldsymbol{w}_{0}\right)=\sigma_{1}$, а для $\boldsymbol{w}$, параллельного $e_{2}, \sigma\left(w_{0}\right)=\sigma_{2}<\sigma_{1}$.

Рассмотрим две близкие траектории с начальными условиями $\boldsymbol{x}_{0}$ и $\boldsymbol{x}_{0}+\Delta \boldsymbol{x}_{0}$ (рис. 5.2,a). Их временна́я эволюция задает касательный вектор $\Delta \boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{x}_{0}, t\right)$ с длиной
\[
d\left(x_{0}, t\right)=\left|\Delta \boldsymbol{x}\left(x_{0}, t\right)\right| .
\]

Для удобства введем обозначение $\boldsymbol{w}=\Delta \boldsymbol{x}$. Динамику $\boldsymbol{w}$ можно определить, линеаризуя уравнения (5.2.6):
\[
\frac{d w}{d t}=\mathrm{M}(\boldsymbol{x}(t)) \cdot w,
\]

где
\[
\mathrm{M}=\frac{\partial V}{\partial x}
\]
– матрица Якоби для $V$. Введем среднюю скорость экспоненциальной расходимости близких траекторий:
\[
\sigma\left(x_{0}, w_{0}\right)=\lim _{\substack{t \rightarrow \infty \\ d(0) \rightarrow 0}} \frac{1}{t} \ln \frac{d\left(x_{0}, t\right)}{d\left(x_{0}, 0\right)} .
\]

Можно показать, что предел скорости $\sigma$ существует и она ограничена. Далее, существует полная система $M$ фундаментальных решений $\left\{\boldsymbol{e}_{i}\right\}$ уравнений (5.2.7a), для каждого из которых скорость $\sigma$ имеет определенное (вообще говоря, различное) значение:
\[
\sigma_{i}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)=\sigma\left(\boldsymbol{x}_{0}, \boldsymbol{e}_{i}\right) .
\]

Это и есть характеристические показатели Ляпунова. Они не зависят от выбора метрики фазового пространства [323], и их можно упорядочить по величине: $\sigma_{1} \geqslant \sigma_{2} \geqslant \ldots \geqslant \sigma_{M}$.

В частном случае периодической траектории уравнения (5.2.7) задают некоторое линейное отображение на периоде $\tau$, которое можно записать в виде
\[
w_{n+1}=\mathrm{A} \cdot w_{n} .
\]

Қак было показано в § 3.3, матрица А имеет $M$ собственных значений, вообще говоря, комплексных:
\[
\left|\lambda_{1}\right| \geqslant\left|\lambda_{2}\right| \geqslant \text {. . } \geqslant\left|\lambda_{M}\right| \text {. }
\]

Обозначим соответствующие собственные векторы через $\boldsymbol{e}_{i}$. Тогда для $w_{0}=\boldsymbol{e}_{i}$ из (5.2.10) следует
\[
w_{n}=\lambda_{i}^{n} e_{i} .
\]

Отсюда, согласно (5.2.8), получаем
\[
\sigma\left(\boldsymbol{e}_{i}\right)=\frac{1}{\tau} \ln \left|\lambda_{i}\right|=\sigma_{i} .
\]

Кроме того, из (5.2.11) следует, что для
\[
w_{0}=c_{3} e_{1}+\ldots+c_{M} e_{M}
\]

динамика вектора $w_{n}$ определяется первым ненулевым коэффициентом $c_{i}$. Если, например, $c_{1}
eq 0$, то $\sigma\left(w_{0}\right)=\sigma_{1}$, а если $c_{1}=0$, но $c_{2}
eq 0$, то $\sigma\left(w_{0}\right)=\sigma_{2}$ и т. д. Иначе говоря, каждый показатель Ляпунова определяет скорость $\sigma$ в некотором подпространстве с размерностью на единицу меньшей, чем предыдущий. Следовательно, для почти всех $w$ значение $\sigma=\sigma_{1}$. Это свойство иллюстрируется на рис. 5.2 , б.

Обобщение понятий собственных значений и собственных векторов на непериодические траектории было дано Оселедецем [323]. Возможность такого обобщения связана с тем, что непериодические траектории можно приближать периодическими с достаточно большим периодом.

Для любой непрерывной траектории, заданной дифференциальными уравнениями [например, (5.2.6)], по крайней мере один из показателей Ляпунова, соответствующий собственному вектору вдоль траектории, равен нулю. В случае гамильтоновой системы показатели обладают следующей симметрией:
\[
\sigma_{i}=-\sigma_{2 N-i+1},
\]

где $2 N=M$, а $N$ – число степеней свободы. Для периодической траектории это соотношение можно получить из симметрии собственных значений (3.3.21). Отсюда вытекает, в частности, что у гамильтоновой системы по крайней мере два показателя Ляпунова равны нулю. Однако на энергетической поверхности ( $M=2 N-1$ ) один из них, соответствующий смещению перпендикулярно поверхности, отсутствует.
Обобщенные показатели Ляпунова. Показатели Ляпунова для векторов $w$ называют также показателями первого порядка. Оселедец [323] обобщил это понятие ${ }^{1}$ ) для описания средней скорости экспоненциального роста $p$-мерного объема $V_{p}$, построенного на векторах $w_{1}, \ldots, w_{p}(p \leqslant M)$. Тогда величина
\[
\sigma^{(p)}\left(x_{0}, V_{p}\right)=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \ln \frac{V_{p}\left(x_{0}, t\right)}{V_{p}\left(x_{0}, 0\right)}
\]

есть показатель Ляпунова порядка $p$. Оселедец [323], а также Бенеттин и др. [20] показали, что $\sigma^{(p)}\left(\boldsymbol{x}_{0}, V_{p}\right)$ выражается через сумму $p$ показателей первого порядка. Аналогично тому как для почти всех $w$ справедливо соотношение $\sigma\left(\boldsymbol{x}_{0}, w\right)=\sigma_{1}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)$, так и для почти всех $V_{p}$ величина $\sigma^{(p)}$ определяется суммой $p$ наибольших показателей
\[
\sigma^{(p)}=\sigma_{1}+\sigma_{2}+\cdots+\sigma_{p} .
\]

Это соотношение используется для численного определения пока-
1) Обобщенные показатели Ляпунова использовались и ранее, см., например, [378, 496].- Прим. ред.

зателей Ляпунова (см. § 5.3). При $p=M$ получаем среднюю скорость экспоненциального роста фазового объема:
\[
\sigma^{(M)}=\sum_{i=1}^{M} \sigma_{i}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right) .
\]

Для системы с инвариантной мерой (в частности, для гамильтоновых систем)
\[
\sum_{i=1}^{M} \sigma_{i}\left(x_{0}\right)=0,
\]

в то время как для диссипативной системы эта сумма должна быть отрицательной (см. $\S 7.1$ ).
Отображения. В случае $M$-мерного отображения
\[
\boldsymbol{x}_{n+1}=\boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{x}_{n}\right)
\]

выражение для $\sigma^{\text {oт }}$ получается из (5.2.8) заменой $t$ на $n$. Вместо этого можно ввести собственные значения $\lambda_{i}(n)$ матрицы
\[
\mathrm{A}_{n}=\left[\mathrm{M}\left(x_{n}\right) \cdot \mathrm{M}\left(x_{n-1}\right) . . \mathrm{M}\left(x_{1}\right)\right]^{1 / n},
\]

где $\boldsymbol{M}=\partial \boldsymbol{F} / \partial \boldsymbol{x}$ – матрица Якоби для $\boldsymbol{F}$. Тогда показатели Ляпунова равны
\[
\sigma_{i}^{\text {oT }}=\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \left|\lambda_{i}(n)\right| .
\]

Показатели Ляпунова для ( $M-1$ )-мерного отображения на поверхности сечения Пуанкаре пропорциональны показателям для непрерывной траектории в $M$-мерном фазовом пространстве:
\[
\sigma_{i}^{\text {oT }}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)=\bar{\tau} \sigma_{i}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right),
\]

где $i=1, \ldots, M-1$ («лишний» показатель для траектории равен нулю). Коэффициент пропорциональности $\tau$ равен среднему интервалу времени между последовательными прохождениями траектории через поверхность сечения. В случае автономной гамильтоновой системы $(M=2 N)$ размерность отображения есть $M-2$, и, таким образом, исключаются оба нулевых показателя исходной системы.
5.2в. Основные свойства стохастичности

Перемешивание. Понятие перемешивания является по сущєству эчень простым. Возьмем сосуд, содержаший, например, $20 \%$ рсма и $30 \%$ пепси-колы, причем вначале распределение рома в сосуде произвольно, скажем, сплошной слой. Если теперь начать размешивать жидкость, то естественно ожидать, что после достаточно цлительного размешивания любой сколь угодно малый объем жидкости будет содержать «приблизительно» $20 \%$ рома. Формализация подобного процесса и приводит к понятию перемешибания.

Перемешивание подразумевает некоторое «огрубление» фазового пространства, т. е. исследование его малых, но конечных областей ${ }^{1}$ ).

Можно показать [14 ], что перемешивание влечет за собой эргодичность. Однако обратное неверно: из эргодичности не следует перемешивание. Это сразу видно на примере отображения на торе (5.2.4), как показано на рис. 5.1, в. Разделим траектории на две группы – «серые» и «темные». Ясно, что в процессе движения они будут сохранять свое относительное расположение даже при иррациональном $\alpha$, когда каждая траектория покрывает весь тор. Это и означает отсутствие перемешивания.

При $t \rightarrow \infty$ система с перемешиванием приближается к равновесному состоянию: $f(\boldsymbol{x}) \rightarrow\langle f\rangle$. Покажем это на примере «отображения пекаря»
\[
\left(\begin{array}{l}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{array}\right)=\left\{\begin{array}{ll}
\left(\begin{array}{l}
2 x_{n} \\
y_{n} / 2
\end{array}\right), & 0<x_{n}<1 / 2, \\
\left(\begin{array}{l}
2 x_{n}-1 \\
\left(y_{n}+1\right) / 2
\end{array}\right), & 1 / 2 \leqslant x_{n}<1,
\end{array}\right.
\]

которое качественно обсуждалось в § 1.4. Следуя Форду [133] и Берри [26], покажем, что «огрубленная» функция распределения приближается к равновесной функции (константе). Из (5.2.21) получаем отображение для $f$ :
\[
f_{n+1}(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
f_{n}\left(\frac{x}{2}, 2 y\right), & 0<y<1 / 2, \\
f_{n}\left(\frac{x+1}{2}, 2 y-1\right), & 1 / 2 \leqslant y<1 .
\end{array}\right.
\]

Так как $f$ быстро расслаивается по $y$, то для огрубления $f_{n}$ проведем усреднение по этой переменной:
\[
g_{n}(x)=\int_{0}^{1} f_{n}(x, y) d y .
\]

Как мы увидим в § 5.4, это эквивалентно интегрированию по быстроосциллирующей фазе. Проведя усреднение для (5.2.22), получим
\[
g_{n+1}(x)=\int_{0}^{1 / 2} f_{n}\left(\frac{x}{2}, 2 y\right) d y+\int_{1 / 2}^{1} f_{n}\left(\frac{x+1}{2}, 2 y-1\right) d y=
\]
1) Понятие «огрубление» относится к функции распределения, а не к фазовому пространству, которое в классической механике является непрерывным. Более того, эта непрерывность и есть источник случайности динамических траекторий (см. примечание редактора на с. 307). Правильнее было бы сказать, что перемешивание является интегральным, а не локальным свойством движения, которое формально определяется условием (см., например, [486]): $\left\langle f\left(T^{n} x\right) g(x)\right\rangle \rightarrow\langle f(x)\rangle\langle g(x)\rangle$ при $n \rightarrow \pm \infty$, где $f, g$ – любые (неогрубленные) функции.- Прим. ред.

\[
=\frac{1}{2}\left[g_{n}\left(\frac{x}{2}\right)+g_{n}\left(\frac{x+1}{2}\right)\right] .
\]

Таким образом, отображение для огрубленной функции $g$ сводится к усреднению $g$ по двум половинам фазового квадрата. Это приводит в конце концов к однородной по $x$ функции $g$, как и должно быть при перемешивании ${ }^{1}$ ).

Интуитивно ясно, что рассматривавшиеся в предыдущих параграфах стохастические системы являются перемешивающимися (в пределах стохастической компоненты движения). Однако это очень трудно строго доказать в конкретных случаях. Синаю [377] удалось сделать это для системы твердых шариков (см. п. 1.4а). Доказательство основано на рассеянии пучка траекторий при столкновении шариков (см. рис. $1.15, a$ ). Хотя этот частный результат и не доказывает наше предположение о перемешивании для типичной системы, близкой к интегрируемой, однако он оправдывает подобные эмпирические обобщения, получаемые методом численного моделирования.
K-системы. К-системы называются по имени Колмогорова, который ввел это понятие в работе $[230]^{2}$ ). Эти системы имеют положительную КС-энтропию (энтропию Колмогорова). КС-энтропия (по имени Крылова [241], Колмогорова [230] и Синая [376, 378 ]) определялась первоначально [230] посредством построения специального разбиения фазового пространства. В момент времени $t=0$ разделим пространство на множество $\left\{A_{i}(0)\right\}$ малых ячеек конечной меры и рассмотрим их эволюцию обратно по времени на единичном временно́м интервале ${ }^{3}$ ). В результате получим новое множество $\left\{A_{i}(-1)\right\}$. Каждый элемент пересечения этих двух множеств $B(-1)=\left\{A_{i}(0) \cap A_{j}(-1)\right\}$ имеет, как правило, меньшую меру, чем элемент $A_{i}(0)$. Продолжая этот процесс, построим элементы множества
\[
B(-2)=\left\{A_{i}(0) \cap A_{i}(-1) \cap A_{k}(-2)\right\}
\]

и т. д. Можно показать, что для того чтобы мера элемента $B$ (-t) экспоненциально уменьшалась при $t \rightarrow \infty$, должно выполняться условие
\[
h_{A}\left(\left\{A_{i}(0) \mid\right)=-\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \sum_{i=1}^{R_{t}} \mu\left[B_{i}(-t)\right] \ln \mu\left[B_{i}(-t)\right]>0,\right.
\]
1) Если переменные $x$ канонические, что в данном примере выполняется.Прим. ред.
2) Сам Колмогоров назвал их квазирегулярными, имея в виду свойства регулярного (типичного) случайного процесса. По поводу определения К-системы, или К-свойства движения см. примечание редактора на с. 301 .Прим. ред.
3) Эволюция крупноструктурной (огрубленной) функции распределения $A_{i}(t)$ назад по времени соответствует движению по траекториям вперед по времени [ср. (5.2.21) и (5.2.22)].- Прим. ред.

где $R_{t}$ – число элементов $B(-t)$, а $\mu\left[B_{i}(-t)\right]$ – мера элемента $B_{i}$. Величина $h_{A}$ имеет смысл средней скорости экспоненциального уменьшения $\mu\left(B_{i}\right)$. Тогда КС-энтропия $h$ есть максимум (верхняя грань) $h_{A}$ по всем измеримым начальным разбиениям фазового пространства ${ }^{1}$ ).

Так как KС-энтропия положительна только в случае экспоненциального уменьшения средней меры элемента $B$ (назад по времени), то неудивительно, что она связана со средней скоростью экспоненциальной расходимости близких траекторий (вперед по времени), т. е. с показателями Ляпунова. Явное выражение для этой связи было получено Песиным [335], и его можно записать в виде
\[
h=\int_{\mathscr{N}}\left[\sum_{\sigma_{i}(\boldsymbol{x})>0} \sigma_{i}(\boldsymbol{x})\right] d \mathscr{M} .
\]

Здесь суммирование производится по всем положительным показателям Ляпунова, а интеграл берется по некоторой инвариантной области фазового пространства. Вообще говоря, КС-энтропия понимается как некоторая характеристика одной стохастической компоненты движения. В этом случае значения $\sigma_{i}$ не зависят от $\boldsymbol{x}$ и интеграл по $\mathscr{A}$ равен единице. Отсюда
\[
h=\sum_{\sigma_{i}>0} \sigma_{i} .
\]

Для автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы положительным может быть только $\sigma_{1}$, откуда
\[
h=\sigma_{1} \text {. }
\]

При другой интерпретации [19] соотношение (5.2.24) относится ко всей (компактной) области фазового пространства. В этом случае для системы с двумя степенями свободы $h$ определяет скорость экспоненциальной расходимости близких траекторий, усредненную по всей выбранной области фазового пространства. На регулярных компонентах движения $\sigma_{1}=0$. Положим для простоты, что на всех стохастических компонентах $\sigma_{1}$ одинаково и равно $\bar{\sigma}_{1}$. Тогда из (5.2.24) получаем
\[
h=\mu_{s} \bar{\sigma}_{1},
\]

где $\mu_{s}$ – суммарная мера стохастических компонент. В § 5.3 мы увидим, как использовать эти соотношения для численного определения КС-энтропии, а также в качестве критерия стохастичности.
1) Если не только $h>0$, но и $h_{A}>0$ для любого конечного разбиения $\left\{A_{i}(0)\right\}$, то движение обладает К-свойством [378], которое оказывается, таким образом, более сильным, чем положительность КС-энтропии. Грубо говоря, К-система характеризуется однородностью процесса перемешивания.-Прим. ред.

Следует, однако, отметить, что, вообще говоря, разные стохастические компоненты имеют различные значения $\sigma_{1}$. Поэтому, применяя соотношение (5.2.24) к целой области фазового пространства, надо брать правильное среднее значение $\sigma_{1}$.
Системы Аносова ${ }^{1}$ ). Эти системы введены и изучались Аносовым $[8,9]$. Они характеризуются линейным касательным пространством, которое разлагается на три компоненты:
1) составляющая вдоль траектории с нулевым показателем Ляпунова;
2) поперечное пространство, в котором траектории расходятся экспоненциально со скоростью, ограниченной снизу равномерно по начальным условиям и времени;
3) поперечное пространство, в котором траектории сближаются экспоненциально со скоростью, ограниченной сверху, и тоже равномерно по начальным условиям ${ }^{2}$ ) и времени.
Это очень сильные условия, и гамильтоновы системы, близкие к интегрируемым, никогда им не удовлетворяют. Системы Аносова структурно устойчивы [8], т. е. при действии малого возмущения они остаются системами Аносова.
Рассмотрим свойства этих

Рис. 5.3. Отображение Арнольда на тоpe (по данным работы [14]).
Область «кот» $A$ трансформируется в $T A$ и затем в $T^{2} A$.
1) В оригинале C-systems, т. е. (У-системы. Это менее распространенный сейчас термин, который ввел Аносов – автор этих систем. Буква У происходит от слова условия, которым должны удовлетворять эти системы; они перечислены ниже в тексте.- Прим. перев.
2) Имеются в виду начальные условия как в касательном, так и в основном фазовом пространстве. В приведенном виде условия относятся только к обратимым во времени системам, подробнее см. $[8,9,14]$.- Прим. ред.

систем на простом, хотя и нефизическом примере, который часто используется математиками. Следуя Арнольду, возьмем отображение $T$ на торе вида
\[
\left(\begin{array}{l}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_{n} \\
y_{n}
\end{array}\right), \bmod 1 .
\]

Отображение $T$ совпадает со своим касательным отображением $A$, причем $\operatorname{det} \mathbf{A}=1$, т. е. оба отображения сохраняют площадь. На рис. 5.3, взятом из [14], показано преобразование тора вместе с изображением знаменитого арнольдовского кота. Ясно видно расслоение фазового пространства и перемешивание. Используя результаты п. 3.3в, найдем собственные значения и векторы этого отображения. Из характеристического уравнения
\[
\left|\begin{array}{cc}
1-\lambda & 1 \\
1 & 2-\lambda
\end{array}\right|=0
\]

получаем собственные значения
\[
\lambda_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2},
\]

а из уравнения (3.3.7) – собственные векторы
\[
\begin{array}{c}
\zeta_{1}=\left(\frac{2}{5-\sqrt{5}}\right)^{1 / 2}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2} \check{x}+\check{y}\right), \\
\zeta_{2}=\left(\frac{2}{5+\sqrt{5}}\right)^{\prime 2}\left(-\frac{\sqrt{5}+1}{2} \check{x}+\check{y}\right) .
\end{array}
\]

Растяжение происходит вдоль направления $\zeta_{1}$, а сжатие – вдоль ортогонального направления $\xi_{2}$. При этом, конечно, $\lambda_{1}=1 / \lambda_{2}$, что следует просто из сохранения площади. Чтобы подчеркнуть экспоненциальный характер растяжения, можно записать собственные значения в виде
\[
\lambda_{1,2}=e^{ \pm \sigma},
\]

где $\sigma=\ln [(3+\sqrt{5}) / 2]$ одинакова для всех начальных условий. Поэтому показатель Ляпунова $\sigma_{1}(\boldsymbol{x})=\sigma>0$ и не зависит от $\boldsymbol{x}$. Следовательно, отображение (5.2.28) является системой Аносова, а значит [378], и К-системой. Его энтропия
\[
h=\sigma_{1}=\ln [(3+\sqrt{5}) / 2] .
\]

Сдвиги Бернулли. В качестве заключительного примера расслотрим системы, называемые бернуллиевскими. Пусть фазовое пространство разбито на $M$ ячеек, каждая из которых помечена своим символом $a_{i}$ и характеризуется вероятностью $p_{i}$ попадания в нее траектории движения. Предположим, что состояние системы меняется каждую секунду. Тогда динамическое движение описывается некоторой последовательностью символов ${ }^{1}$ ). Рассмотрим теперь такое отображение, которое сдвигает любую последовательность на один элемент влево. Например, подбрасывая монету, мы получаем последовательность вида ${ }^{2}$ )
\[
\begin{array}{lllllllll}
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & \ldots
\end{array}
\]

где символы 0 и 1 соответствуют двум сторонам монеты. Для сдвига Бернулли с числом символов $M$ значение энтропии последовательности длины $n$ дается стандартным выражением ${ }^{3}$ )
\[
H_{T}=-n \sum_{i=1}^{M} p_{i} \ln p_{i}
\]

Максимум энтропии достигается для разбиения с $p_{i}=1 / M$ и равен
\[
H_{T}=n \ln M \text {. }
\]

Сдвиг Бернулли можно задать простым отображением:
\[
x_{n+1}=M x_{n}, \quad \bmod 1 .
\]

При этом каждая итерация дает новый член последовательности Бернулли. КС-энтропия этого отображения легко вычисляется и равна $h=\ln M$, а $H_{T}=h n$. Таким образом, КС-энтропия определяет скорость роста $H_{T}$ со «временем» $n$. При $n \rightarrow \infty$ энтропия $H_{T}$ неограниченно возрастает.

Общая картина взаимосвязи между различными свойствами случайного движения представлена на рис. 5.4. Стрелки между прямоугольниками указывают направление импликации. Так, например, К-системы обладают свойствами перемешивания и эргодичности ${ }^{4}$ ). Наиболее сильные статистические свойства динамической
1) Это – так называемая символическая траектория.- Прим. ред.
2) Это не очень удачный пример, поскольку подбрасывание монеты не является чисто динамическим процессом. Пример сдвига Бернулли в динамической системе см. ниже в тексте и (5.2.32).- Прим. ред.
3) Это выражение заимствовано из теории вероятностей и справедливо при условии, что попадания траектории в различные ячейки статистически независимы. Динамическая система называется бернуллиевской, или сдвигом Бернулли, если она обеспечивает выполнение этого условия для некоторого определенного разбиения (фазового пространства), которое тоже называется бернуллиевским. Хотя это свойство кажется на первый взгляд очень сильным (максимальным?), на самом деле это не совсем так из-за сингулярности бернуллиевских разбиений в большинстве случаев (см. [497]). – Прим. ред.
4) В дополнение к связям на рис. 5.4 отметим, что система Аносова является также и бернуллиевской, точнее – всякий перемешивающий поток Аносова с гладкой инвариантной мерой является бернуллиевским [498, 499].- Прим. ред.

случайности ${ }^{1}$ ) расположены в верхней части рисунка, а наиболее слабые – внизу. Основная характеристика каждого свойства приведена справа, а примеры соответствующих систем-слева.

Системы, близкие к интегрируемым, такие, как модели ХенонаХейлеса или ускорения Ферми, для которых характерно наличие

Рис. 5.4. Взаимосвязь между различными статистическими свойствами случайного движения.

областей как регулярного, так и стохастического движения, не обладают в полной мере ни одним из свойств, перечисленных
1) Согласно современной алгоритмической теории динамических систем [448], которая кратко обсуждается ниже в п. 5.2г, свойство случайности лежит как бы в другой плоскости. Формально алгоритмическая случайность эквивалентна положительности KС-энтропии ( $h>0$ ), т. е. это свойство слабее $\mathrm{K}$-свойства (см. прим. ред. на с. 301). Однако оно обладает иным качеством: полностью исключает возможность динамического описания системы ввиду принципиальной непредсказуемости отдельных траекторий.- Прим. ред.

на рис. 5.4. Однако вблизи гомоклинных точек движение локально эквивалентно преобразованию пекаря, что приводит к случайному поведению типа сдвига Бернулли. Кроме того, как мы увидим в $\$ 5.3$, результаты численного моделирования убедительно показывают, что стохастические компоненты в таких системах (например, стохастический слой) имеют положительную КС-энтропию, а следовательно, и определенные статистические свойства.
5.2г. Случайность и ее численное моделирование

Случайные последовательности. В каком смысле поведение детерминированной динамической системы может оказаться случайным? Прежде всего значительные усилия были направлены на выяснение смысла самого понятия случайности [231, 338] (популярное изложение см. в работе [61 ]) ${ }^{1}$ ). Интуитивно ясно, что случайная последовательность некоторых символов не должна подчиняться никакой закономерности. Можно придумать различные тесты, например на частоту появления определенных символов в последовательности, пар символов и т. д., которые должна выдерживать случайная последовательность. В том случае, если последовательность выдерживает все тесты, ее можно считать «случайной» ${ }^{2}$ ).

Современное определение случайности основывается на том, что информация, заключенная в случайной последовательности, не может быть «сжата», т. е. представлена в более компактной форме. Так, не существует правила вычисления случайной последовательности, которое было бы существенно короче, чем просто ее копирование. Эти идеи можно формализовать следующим образом. Определим вначале минимальную длину программы (число бит) $K_{C}$ вычисления $N$ бит последовательности $S_{N}$ на некоторой ЭВМ. Величина $K_{C}$ зависит от ЭВМ, но ее можно представить в виде суммы
\[
K_{C}=K_{N}(S)+C_{C},
\]

где $C_{C} \geqslant 0$ зависит только от ЭВМ, но не от $S_{N}$, а сложность $K_{N}(S)$ зависит только от последовательности $S_{N}$. Ясно, что значение сложности заключено между некоторой постоянной (любая программа должна иметь хотя бы одну команду) и максимальным
\[
K_{N}^{\text {макс }}(S)=N,
\]

когда ЭВМ просто копирует заданную последовательность.
1) См. также сборник [495], обзор [492] и популярную статью [449].Прим. ред.
2) Такое определение случайности по Мартин-Лёфу [493] (см. также [492]) представляется слишком узким по крайней мере для теории динамических систем, поскольку оно включает в себя максимальные статистические свойства, в частности полную независимость (бернуллиевость). Критику такого определення случайности см. в работе [500].- Прия. ред.

Можно показать, что последовательности с максимальной сложностью действительно существуют ${ }^{1}$ ). Рассмотрим теперь некоторый вычислимый тест на случайность. Тогда можно доказать следующую теорему: последовательность выдерживает все вычислимые тесты на случайность тогда и только тогда, когда она имеет положительную сложность $\left.{ }^{2}\right)$, т. е.
\[
K(S) \equiv \lim _{N \rightarrow \infty}\left(K_{N}(S) / N\right)>0 .
\]

Сопоставим каждой последовательности точку на отрезке $[0,1]$. Тогда меру множества последовательностей можно определить как меру соответствующих действительных чисел ${ }^{3}$ ). Можно доказать, что по этой мере почти все последовательности случайны, т. е. множество неслучайных последовательностей имеет меру нуль $\left.{ }^{4}\right)$.

Посмотрим теперь, как случайная последовательность возникает из детерминированного уравнения. Возьмем, например, следующее одномерное отображение на отрезке $[0,1]$ :
\[
x_{n+1}=10 x_{n}, \quad \bmod 1
\]

с начальным условием
\[
0 \leqslant x_{0}<1 .
\]

Разделим «фазовое пространство» $0 \leqslant x_{0}<1$ на десять ячеек с номерами $a_{i}=0,1,2, \ldots, 9$. Тогда, например, для начального условия $x_{0}=0,157643 \ldots$ отображение (5.2.32) генерирует последовательность
\[
\left\{a_{i}\right\}=1,5,7,6,4,3 \ldots
\]

Является ли она случайной? Ответ зависит от того, случайно ли начальное условие $x_{0}$. Из упомянутой выше теоремы следует, что почти все $x_{0}$ случайны, а значит, и рассматриваемая последовательность почти наверняка случайна. Оказывается, что движение вблизи гомоклинных точек в стохастическом слое случайно, а регулярное движение на инвариантных поверхностях не является случайным ${ }^{5}$ ).
1) И даже составляют большинство из всех последовательностей данной длины [231]-Прим. ред.
2) Это не теорема, а другое возможное (и более приемлемое для теории динамических систем) определение случайности (см. примечание редактора на с. 306). Впервые такое определение в эквивалентной форме было предложено Алексеевым (см. [501], с. 75, определение А и обзор [448]).- Прим. ред.
3) То есть просто как длину на отрезке, или более формально, как меру Лебега.- Прим. ред.
4) Подчеркнем, что возможность случайных траекторий в классической механике связана, таким образом, с непрерывностью фазового пространства. Заметим, что в квантовой механике и при численном моделировании это уже не так (см. ниже и [77]).- Прим. ред.
5) Подобные заключения можно получить из теоремы Алексеева Брудно (см. [448, 494]), согласно которой упомянутая выше удельная сложность равна KС-энтропии: $K(S)=h .-$ Прим. ред.

Ошибки округления. При исследовании гамильтоновых отображений с их сложной структурой хаотического и регулярного движения широко используется численное моделирование, причем число итераций отображения достигает многих миллионов. Возникает вопрос: в какой степени численное моделирование с конечной точностью арифметических операций, ошибками округления и прочим «шумом» соответствует реальной динамике системы? Существенное влияние этих ошибок на такие характеристики движения, как распределение в фазовом пространстве, мера стохастической компоненты и другие, легко определить, изменяя точность счета. Фактически такие проверки составляют неотъемлемую часть любого численного эксперимента. Так, например, Грин [165] исследовал влияние ошибок округления на определение границы стохастичности и нашел, что оно пренебрежимо мало (см. п. 4.4а). Бенеттин и др. [17] показали, что для систем Аносова численные ошибки несущественны при вычислении временных средних, например, показателей Ляпунова. Однако системы Аносова структурно устойчивы, и вопрос о влиянии численных ошибок на другие системы остается пока открытым ${ }^{1}$ ).

С другой стороны, конечная точность счета кардинально меняет некоторые свойства движения. Даже для регулярной траектории ошибка в начальных условиях растет, вообще говоря, линейно со временем, а для хаотических траекторий она растет экспоненциально быстро. Если мантисса чисел на ЭВМ имеет $N$ двоичных разрядов, то начальные условия полностью забываются через $n_{m} \sim 2^{N}$ итераций для регулярной траектории и всего через $n_{m} \sim N$ итераций для хаотической траектории. В обоих случаях система окажется далеко от своего начального положения, если после $n_{m}$ итераций в одну сторону по времени сделать столько же итераций в обратную сторону.

Более серьезная теоретическая проблема заключается в том, что при этом смазывается четкое различие между хаотическими и регулярными траекториями. Например, в случае двумерного гамильтонова отображения имеется конечное число состояний системы $M=2^{2 N}$, и после $n \leqslant M$ итераций система обязательно вернется в одно из предыдущих состояний. В результате все траектории такой системы оказываются периодическими. Это остается справедливым и для диссипативных систем. В каком смысле можно считать движение такой системы случайным?

Этот вопрос исследовался Ренно [341], которая использовала целочисленное отображение ${ }^{2}$ )
1) Структурная устойчивость здесь не помогает, поскольку ошибки округления не удовлетворяют требуемой гладкости возмущения (см. ниже по тексту).- Прим. ред.
2) Следует подчеркнуть, что это отображение моделирует прежде всего типичный эффект «экспериментальной установки» (ЭВМ), который отсутст-

\[
b_{i+1}=b_{i}-\left[\frac{K m}{2 \pi}\left(\sin \frac{2 \pi}{m} a_{i+1} \div 1-\cos \frac{2 \pi}{m} a_{i+1}\right)\right], \bmod m,
\]

где $[X]$ – целая часть $X, K$ – параметр «стохастичности», а $a$ и $b$ – целые числа в интервале
\[
-m / 2 \leqslant a, \quad b \leqslant m / 2 .
\]

Это – взаимно-однозначное отображение $M=m^{2}$ точек плоскости $(a, b)$ на себя. Оно не содержит округления или каких-либо других численных ошибок ${ }^{1}$ ). Для $m$, кратного 4 , и $K<4$ отображение имеет две неподвижные точки: $(0,0)$ и (- $m / 4,0$ ). Первая устойчива при малых $K$, вторая неустойчива. Для $K=1,3$ и $m=$ $=400$ имеются 48 относительно коротких периодических траекторий, заполняющих некоторую кольцевую область вокруг неподвижной устойчивой точки $(0,0)$. Кроме того, имеются 9 очень длинных траекторий, которые довольно однородно покрывают бо́льшую часть фазового квадрата и соответствуют, по-видимому, «хаотическому» движению. Для $K=10$ имеются только 12 (длинных) траекторий, представляющие «хаотическое» движение.

Ренно определила «случайность» периодических траекторий следующим образом. Имеется всего $M$ ! взаимно-однозначных отображений $M$ точек на себя. Приписав одинаковую вероятность $1 / M$ ! каждому из этих отображений, получим «случайное» отображение ${ }^{2}$ ). Такое отображение обладает следующими статистическими свойствами:
1. Вероятность траектории длины $n$, выходящей из данной точки ( $a, b)$, равна $1 / M$ и не зависит от $n$.
2. Средняя длина траектории равна $(M+1) / 2$.
3. Среднее число всех траекторий приблизительно равно $\ln M+\gamma$, где $\gamma=0,577 \ldots$ – постоянная Эйлера.
Численное моделирование отображения (5.2.33) при $K=1,3$ и $K=10$ с $300 \leqslant m \leqslant 800$ подтвердило эти свойства «случайного»
вует в исходной динамической системе классической механики. Поэтому вводимые ниже понятия стохастичности и случайности для отображения (5.2.33) являются не более чем имитацией, которую нужно четко отличать от настоящей случайности в непрерывном фазовом пространстве. Любопытно отметить, что целочисленные отображения качественно моделируют некоторые квантовые эффекты (см. [77]).- Прим. ред.
1) Точнее кошибки» округления (взятие целой части) явно включены в отображение.- Прим. ред.
2) В таком определении скрыта следующая эргодическая гипотеза: статистика траекторий для данного (типичного) отображения [например, (5.2.33)] приблизительно совпадает со статистикой всех М! отображений.- Прим. ред.

отображения. Эти результаты служат подтверждением того, что хаотическое движение, наблюдаемое в гамильтоновых системах, является следствием их динамики, а не конечной точности счета. Последняя приводит, напротив, к периодичности движения. Численные эксперименты, в которых точность счета изменялась, также подтверждают этот вывод.