Для гамильтонова отображения $[B=1$ в (7 3.2)]
\[
x_{n+1}+x_{n-1}=2 C x_{n}+2 x_{n}^{2}
\]

соотношения (7.3.5) – (7.3.17) остаются справедливыми. Однако из (7.3.10a) следует
\[
B^{\prime}=B^{2}=B_{\infty}=1 \text {, }
\]

и, подставляя $C^{\prime}=C=C_{\infty}$ в (7.3.10б), находим точку накопления
\[
-2 C_{\infty}^{2}+4 C_{\infty}+7=C_{\infty},
\]

или
\[
C_{\infty}=(3-\sqrt{65}) / 4 \approx-1,2656 .
\]

Это близко к найденной численно величине ${ }^{2}$ ) – 1,2663 и отличается от значения для диссипативных отображений $C_{\infty} \approx-0,78$.
Предполагая, что $C_{k}$ сходится к $C_{\infty}$ по закону
\[
C_{k}-C_{\infty} \approx A \delta^{-k} \text {, }
\]

и подставляя это в (7.3.10б) при $B=1$
1) См. также [488].- Прим. ред.
2) Точная теория ренормализации для двумерных гамильтоновых отображений [113] дает значения параметров подобия, которые очень хорошо согласуются с численными результатами.

Рис. Б.1. Бифуркации удвоения периода ( $T=2^{k}, k=0,1,2,3,4$ ) для гамиль Величина $A$ указывает линейное увеличение масштаба. Буквы $a, 6$ и е и стрелки показывают
\[
C_{k}=-2 C_{k+1}^{2}+4 C_{k+1}+7,
\]

находим
\[
\delta=4 C_{\infty}+4=1+\sqrt{65} \approx 9,06 .
\]

Численное значение $\delta \approx 8,72$ для гамильтоновых отображений отличается от параметра диссипативных отображений $\delta \approx 4,66$.

тонова отображения (Б.1) на плоскости ( $x_{n+1}, x_{n}$ ) (по данным работы[417]). последовательноеть бифуркаций при уменьшенин параметра $C$.
Наконец, параметр.лодобия в (7.3.15) определяется выражением $(7.3 .17$ ) при $B=1$
\[
\alpha=e+\frac{1}{2} d^{2} .
\]

Используя $\boldsymbol{e}$ и $d$ из (7.3.8), а также $a$ и $b$ из (7.3.6), находим
\[
\alpha: \approx-4,096,
\]

тогда как численный результат $\alpha \approx-4,018$. Это значение $\alpha$ также заметно отличается от величины $\alpha \approx-2,5$ для диссипативных систем.

На рис. Б. 1 представлена последовательность бифуркаций отображения (Б.1) на плоскости ( $x_{n+1}, x_{n}$ ) вблизи неподвижной точки $(0,0)$ при изменении параметра $C$. Величина $A$ показывает увеличение масштаба соответствующей картинки. Ясно видны бифуркации с $k=1,2,3,4$.

Более подробное исследование двумерных гамильтоновых отображений обнаруживает дополнительный параметр подобия $\beta$ [84, 167 ]. Следуя Грину и др. [167], мы покажем это, представив (Б.1) в форме квадратичного отображения Вогелара
\[
\begin{array}{c}
x_{n+1}=-y_{n}+g\left(x_{n}\right), \\
y_{n+1}=x_{n}-g\left(x_{n+1}\right),
\end{array}
\]

где $\left.{ }^{1}\right)=C x+x^{2}$. Такое представление отображения позволяет выявить симметрию в бифуркациях. Неподвижная точка ( 0,0 ) в (Б.5) становится неустойчивой при $C=-1$, приводя к образованию показанного на рис. Б. 2 бифуркационного дерева. Численно последовательные бифуркации сходятся по закону геометрической прогрессии с показателем $\delta \approx 8,72$, что приближенно согласуется с (Б.3); точка накопления $C_{\infty}=-1,2663$ хорошо согласуется c (Б.2).

Дополнительное измерение (по $y$ ) также должно иметь параметр подобия. Это видно, например, из рис. Б.З. Здесь кружки представляют траекторию периода 2 , возникающую при потере устойчивости неподвижной точки (квадрат); треугольники – траекторию периода 4 и точки – траекторию периода 8. Нетрудно заметить подобие в расположении периодических точек: картина вокруг квадрата повторяется в уменьшенном масштабе вокруг левого кружка (с отражением). Обе картины можно совместить, увеличив масштаб по оси $x$ в $\alpha \approx-4,018$ раза [что хорошо согласуется с (Б.4) ], а по оси $y$ в $\beta \approx 16,36$ раза. Фактически эти параметры принимают точные значения лишь в ренормализационном пределе. Оказывается, что при $C=C_{\infty}$ подобие распространяется не только на периодические точки, но и на все отображение $\mathrm{T}_{\infty}$, если применить его дважды и изменить масштабы [167]:
\[
\mathrm{T}_{\infty}=\mathrm{S} \cdot \mathrm{T}_{\infty}^{2} \cdot \mathrm{S}^{-1},
\]

где
\[
S=\left(\begin{array}{ll}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array}\right) .
\]
1) В работе [167] исследовалось несколько иное отображение с функцией $g=C x-(1-C) x^{2}$, которое приводится к (Б.1) заменой – (1-C) $x \rightarrow x$. Прим. ред.

Мы уже нашли выражения для $C_{\infty}, \delta$ и $\alpha$ с помощью приближенной квадратичной ренормализации. Аналогичным образом можно вычислить и второй коэффициент подобия $\beta$. Это было сделано Мак-Кайем (см. работу [182 ], приложение С), и мы используем здесь его метод. Представленное в форме Вогелара отображение (Б.1)
\[
\begin{array}{l}
x_{n+\mathbf{1}}=-y_{n}+C x_{n}+x_{n}^{2}, \\
y_{n+1}=x_{n}-C x_{n+1}-x_{n+1}^{2}
\end{array}
\]

Рис. Б.2. Сечение бифуркационного дерева (в плоскости $y=0$ ) для квадратичного отображения Вогелара (по данным работы [167]).
Сплошные линии – устойчивые неподвижные точки; пунктирные линии – неустойчивые.
имеет неподвижную точку $x_{10}=y_{10}=0$. Возникающие из нее точки периода 2 с координатами $y_{2 \pm}=0$ и $x_{2 \pm}$ определяются, как и прежде, из (7.3.6). Подставляя
\[
\begin{array}{l}
x=x_{2}+\Delta x, \\
y=y_{2 \pm}+\Delta y
\end{array}
\]

в выражение (Б.6), находим
\[
\Delta x_{n+1}=-\Delta y_{n}+\frac{d}{2} \Delta x_{n}+\left(\Delta x_{n}\right)^{2},
\]

\[
\Delta y_{n+1}=\Delta x_{n}-\frac{e}{2} \Delta x_{n+1}-\left(\Delta x_{n+1}\right)^{2},
\]

где $d$ и $e$ по-прежнему определяются согласно (7.3.8). После однократной итерации (Б.7а) находим
\[
\Delta x_{n+2}=-\Delta y_{n+1}+\frac{e}{2} \Delta x_{n+1}+\left(\Delta x_{n+1}\right)^{2} .
\]

Рис. Б.3. Расположение (неустойчивых) неподвижных точек при $C=C_{\infty}$ (по данным работы [167]).

Вычитая (Б.8) из (Б.7б), получаем
\[
\Delta x_{n+2}=-\Delta x_{n}+e \Delta x_{n+1}+2\left(\Delta x_{n+1}\right)^{2} .
\]

Исключая $\Delta x_{n+1}$ в (Б.9) с помощью (Б.7а) и удерживая линейные члены $\Delta x_{n}, \Delta y_{n}$ и квадратичный член $\left(\Delta x_{n}\right)^{2}$, имеем
\[
\Delta x_{n+2}=-e \Delta y_{n}+C^{\prime} \Delta x_{n}+\alpha\left(\Delta x_{n}\right)^{2},
\]

где
\[
C^{\prime}=\frac{1}{2} d e-1
\]

как в (7.3.10б) при $B=1$ и
\[
\alpha=e+\frac{1}{2} d^{2}
\]

как в (7.3.17) при $B=1$. Изменяя масштабы
\[
\begin{array}{l}
x^{\prime}=\alpha \Delta x, \\
y^{\prime}=\alpha e \Delta y,
\end{array}
\]

находим
\[
x_{n+2}^{\prime}=-y_{n}^{\prime}+C^{\prime} x_{n}^{\prime}+\left(x_{n}^{\prime}\right)^{2},
\]
т. е. уравнение того же вида, что и (Б.6а) с новым коэффициентом $C^{\prime}$. Аналогичный результат нетрудно получить и при ренормализации (Б.6б). Из (Б.14) второй параметр подобия
\[
\beta=\alpha e=e^{2}+\frac{1}{2} e d^{2} \approx 16,91,
\]

что близко к численному результату $\beta \approx 16,36$.
Описанные закономерности были в основном подтверждены численным моделированием многих двумерных канонических отображений. В соответствующих переменных все эти отображения вблизи точки накопления выглядят одинаково (см. работу [167]).

В принципе методы ренормализации можно использовать для анализа и других свойств отображений. В п. 4.3а, следуя Лихтенбергу [267], мы обсуждали идею такой ренормализации для определения величины возмущения, при которой структура резонансов становится подобной во всех порядках. Это было сделано для приближенного определения границы глобальной стохастичности. С той же целью в § 4.5, следуя Эсканде и Довейлу [117], был описан более сложный метод ренормализации. В настоящее время теория ренормализации широко используется при изучении как гамильтоновых, так и диссипативных систем (см., например, работы $[119,167,369,446])$.