Вблизи резонанса невозмущенной системы малые знаменатели появляются уже при вычислении адиабатических инвариантов первого порядка (см. § 2.3). Эти знаменатели можно устранить
1) В оригинале — secular perturbation theory (секулярная теория возмущений). Принятый в переводе термин более непосредственно отражает назначение теории, тогда как секулярной в прямом смысле является классическая нерезонансная теория возмущений (см. § 2.2).- Прим. ред.

путем канонического преобразования к специальным (резонансным) переменным. Такое преобразование можно наглядно представить себе как переход во «вращающуюся» в фазовом пространстве систему отсчета. При этом новые переменные описывают медленные фазовые колебания на резонансе, центр которого соответствует неподвижной эллиптической точке на новой фазовой плоскости ${ }^{1}$ ). Такая техника применялась ранее в нелинейной теории движения частиц в ускорителях (см. [255], где приведена также дополнительная литература) и при изучении электронного циклотронного резонанса в магнитной ловушке [367 ]. Этот метод близок к использованному Чириковым в работе [67] 2). После устранения резонансных знаменателей применяются описанные выше ( $\$ 2.3$ ) методы усреднения по быстрой фазе. В дальнейшем рассматривается автономная гамильтонова система с двумя степенями свободы. Обобщение на неавтономные системы не представляет труда путем введения расширенного фазового пространства (см. § 1.2).

Если возмущение достаточно велико, то появляются вторичные резонансы, которые могут в свою очередь изменить или разрушить интегралы первичных резонансов, вычисленные в п. 2.4а. Малые знаменатели вторичных резонансов можно устранить аналогично тому, как это делается для первичных резонансов (п. 2.4б). Механизм, с помощью которого вторичные резонансы разрушают интегралы первичных резонансов, повторяет механизм разрушения невозмущенных интегралов первичными резонансами; он составляет основу методов анализа перехода от регулярного движения к хаотическому в гамильтоновых системах (гл. 4).

В качестве иллюстрации в п. 2.4в рассмотрен резонанс между волной и частицей, который описан ранее в п. 2.2б. Отыскивается резонансный интеграл движения и демонстрируется влияние вторичных резонансов. Все это поясняется с помощью некоторых результатов численного моделирования.

Преобразование к резонансным переменным — не единственный способ описания топологических изменений адиабатического инварианта вблизи резонанса. Имеется определенная свобода выбора инварианта, так как если $J$ — инвариант невозмущенной системы, то и любая функция $I(J)$ тоже инвариант. Выбирая $d I / d J=0$ вблизи резонансных значений $J$, можно учесть изменения в топологии возмущенной системы. Этот метод, разработанный Дуннетом и др. [111] (метод ДЛТ), описан в п. 2.4г и иллюстрируется на том же примере резонанса волна-частица.
1) Возможность устранения резонансных знаменателей связана с учетом нелинейности, точнее, неизохронности колебаний (зависимости их частоты от амплитуды); см. ниже в этом параграфе и п. 3.2а.- Прим. ред.
2) Подобные методы использовались во многих работах (см., например, [33, 232, 469]).- Прим. ред.

* 2.4а. Устранение резонансных знаменателей

Рассмотрим гамильтониан
\[
H=H_{0}(\boldsymbol{J})+\varepsilon H_{1}(\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta}),
\]

где $H_{0}$ описывает интегрируемую систему, а $H_{1}$ является периодической функцией $\boldsymbol{\theta}$ :
\[
H_{1}=\sum_{l, m} H_{l, m}(J) e^{i n \cdot \theta} .
\]

Здесь $\boldsymbol{n}=(l, m)$ — целочисленный вектор. Если между невозмущенными частотами имеется резонансное соотношение
\[
\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}=\frac{r}{s},
\]

где $r, s$ — целые числа и
\[
\omega_{1}(J)=\frac{\partial H_{0}}{\partial J_{1}}, \quad \omega_{2}(J)=\frac{\partial H_{0}}{\partial J_{2}},
\]

то попытка найти решение с помощью теории возмущений, описанной в $\S 2.2$ и 2.3 , приводит к малым резонансным знаменателям. Будем считать, что условие (2.4.3) относится либо к первичному резонансу в системе, либо ко вторичному резонансу с фазовыми колебаниями на первичном резонансе. В обоих случаях резонансные знаменатели можно устранить с помощью преобразования, которое исключает одну из переменных действия $J_{1}$ или $J_{2}$. Выберем производящую функцию
\[
F_{2}=\left(r \theta_{1}-s \theta_{2}\right) \tilde{J}_{1}+\theta_{2} \widetilde{J}_{2},
\]

которая задает каноническое преобразование от $\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta}$ к $\tilde{\boldsymbol{J}, \tilde{\boldsymbol{\theta}} \text { : }}$
\[
\begin{array}{l}
J_{1}=\frac{\partial F_{2}}{\partial \theta_{1}}=r \widetilde{J}_{1}, \\
J_{2}=\frac{\partial F_{2}}{\partial \theta_{2}}=\widetilde{J}_{2}-s \widetilde{J}_{1}, \\
\tilde{\theta}_{1}=\frac{\partial F_{2}}{\partial \widetilde{J}_{1}}=r \theta_{1}-s \theta_{2}, \\
\widetilde{\theta}_{2}=\frac{\partial F_{2}}{\partial \widetilde{J}_{2}}=\theta_{2} .
\end{array}
\]

Скорость изменения новой резонансной переменной
\[
\dot{\theta}_{1}=r \dot{\theta}_{1}-s \dot{\theta}_{2}
\]

характеризует медленные отклонения от резонанса.
При использовании производящей функции вида (2.4.5) имеется произвол в том, какую из исходных фазовых переменных оставить неизменной. Предположим, что $\dot{\theta}_{2}^{*}$ — наименьшая из двух частот, и примем $\widetilde{\theta}_{2}=\theta_{2}$, тогда усреднение гамильтониана по быстрой фазовой переменной после преобразования будет проводиться по более медленной из исходных фазовых переменных. Такой выбор особенно удобен, если предстоит устранять знаменатели резонансов высших порядков, так как в последних остается при этом более низкая гармоника ${ }^{1}$ ).

Применяя преобразование (2.4.6) к гамильтониану (2.4.1) и используя (1.2.13в), находим
\[
\begin{array}{c}
\tilde{H}=\tilde{H}_{0}(\tilde{\boldsymbol{J}})+\varepsilon \tilde{H}_{\mathbf{1}}(\tilde{\boldsymbol{J}}, \tilde{\boldsymbol{\theta}}) \\
\tilde{H}_{\mathbf{1}}=\sum_{l, m} H_{l, m}(\tilde{\boldsymbol{J}}) \exp \left\{\frac{i}{r}\left[\tilde{\theta}_{\mathbf{1}}+(l s+m r) \tilde{\theta}_{2}\right]\right\} .
\end{array}
\]

Для получения преобразованного гамильтониана первого порядка можно, как и в $\S 2.3$, усреднить по переменной $\tilde{\theta}_{2}$ [ср. (2.3.17)], что дает
\[
\begin{array}{c}
\bar{H}=\bar{H}_{0}(\tilde{\boldsymbol{J}})+\varepsilon \bar{H}_{\mathbf{1}}\left(\tilde{\boldsymbol{J}}, \tilde{\theta}_{1}\right), \\
\bar{H}_{0}=\widetilde{H}_{\mathbf{0}}(\tilde{\boldsymbol{J}}), \\
\bar{H}_{1}=\left\langle\widetilde{H}_{\mathbf{1}}(\tilde{\boldsymbol{J}}, \tilde{\boldsymbol{\theta}})\right\rangle_{\tilde{\theta}_{2}}=\sum_{p=-\infty}^{\infty} H_{-p r, p s}(\tilde{\boldsymbol{J}}) e^{-i p \tilde{\theta}_{1}} .
\end{array}
\]

Это усреднение справедливо вблизи резонанса, где $\dot{\theta}_{2} \gg \dot{\tilde{\theta}}_{1}$. Так как $\bar{H}$ не зависит от $\tilde{\theta}_{2}$, то
\[
\tilde{J}_{2}=\tilde{I}_{20}=\text { const. }
\]

Это — первый член ряда, представляющего адиабатический инвариант для гамильтониана (2.4.8). Из (2.4.6б) видно, что $\widetilde{J}_{2}$ является комбинацией инвариантов невозмущенной системы:
\[
\widetilde{J}_{2}=J_{2}+\frac{s}{r} J_{1}=\text { const. }
\]

Таким образом, введение резонансных переменных позволило в явном виде найти новый инвариант системы вблизи резонанса. Однако для резонанса высокого порядка, когда $s \gg r$, новый инвариант $\tilde{J}_{2}$ просто пропорционален исходному инварианту $J_{1}$. Сле- $\qquad$
1) Это замечание непонятно и несущественно для дальнейшего. Конечный результат не должен зависеть от выбора переменной $\widetilde{\theta}_{2}$, в качестве которой, кстати, можно взять и любую комбинацию $\theta_{1}, \theta_{2}$, линей ко независимую от $\widetilde{\theta}_{1}$ — Прим. ред.

довательно, существенны только резонансы низких гармоник ${ }^{1}$ ).
Поскольку $\widetilde{J}_{2}=$ const, то движение, определяемое гамильтонианом (2.4.10) в переменных $\widetilde{J}_{1}, \widetilde{\theta}_{1}$, имеет фактически одну степень свободы и, следовательно, интегрируемо. Неподвижные точки $\widetilde{J}_{10}, \tilde{\theta}_{10}$ на фазовой плоскости $\tilde{J}_{1}, \tilde{\theta}_{1}$, соответствующие периодическим решениям для возмущенного гамильтониана, находятся из условия
\[
\frac{\partial \bar{H}}{\partial \widetilde{J}_{1}}=0, \quad \frac{\partial \bar{H}}{\partial \widetilde{\theta}_{1}}=0 .
\]

Для невозмущенного гамильтониана периодические решения при резонансном значении $\boldsymbol{J}$ (2.4.3) вырождены по $\boldsymbol{\theta}$, т. е. существуют для всех $\boldsymbol{\theta}$. Возмущение снимает вырождение и оставляет только периодические решения, удовлетворяющие (2.4.15) (см. также обсуждение теоремы Пуанкаре — Биркгофа в п. 3.2б).

Обычно амплитуды Фурье $H_{-p r, p s}$ быстро убывают с ростом $p$. Поэтому интегрируемое движение в переменных $\tilde{J}_{1}, \tilde{\theta}_{1}$ можно описать с хорошей точностью, удерживая лишь члены с $p=0, \pm 1$ :
\[
\bar{H}=\tilde{H}_{0}(\tilde{\boldsymbol{J}})+\varepsilon H_{0,0}(\tilde{\boldsymbol{J}})+2 \varepsilon H_{r_{0}-s}(\tilde{\boldsymbol{J}}) \cos \tilde{\theta}_{\mathbf{1}},
\]

где принято $H_{-r, s}=H_{r,-s}$, что всегда можно обеспечить тривиальной заменой $\widetilde{\theta}_{1} \rightarrow \tilde{\theta_{1}}+$ const.
Применяя (2.4.15) к гамильтониану (2.4.16), получаем
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial \widetilde{H}_{0}}{\partial \widetilde{J}_{1}}+\varepsilon \frac{\partial H_{0,0}}{\partial \widetilde{J}_{1}}+2 \varepsilon \frac{\partial H_{r_{,}-s}}{\partial \widetilde{J}_{1}} \cos \tilde{\theta}_{1} & =0, \\
-2 \varepsilon H_{r_{0}-s} \sin \tilde{\theta}_{1} & =0 .
\end{aligned}
\]

Из (2.4.18) следует существование двух неподвижных точек $\tilde{\theta}_{10}=0$ и $\tilde{\theta}_{10}=\pi$. При точном резонансе ${ }^{2}$ )
\[
\frac{\partial \widetilde{H}_{0}}{\partial \widetilde{J}_{1}}=r \frac{\partial H_{0}}{\partial J_{1}}-s \frac{\partial H_{0}}{\partial J_{2}}=r \omega_{1}-s \omega_{2}=0
\]

и уравнение (2.4.17), определяющее $\widetilde{J}_{10}$, принимает вид
\[
\frac{\partial H_{0,0}}{\partial \widetilde{J}_{1}} \pm 2 \frac{\partial H_{r,-s}}{\partial \tilde{J}_{1}}=0,
\]

где положительный знак соответствует $\tilde{\theta}_{10}=0$, а отрицательный $\tilde{\theta}_{10}=\pi$.
1) Это замечание справедливо, но по другой причине: обычно, хотя и не всегда, резонансы высших гармоник очень слабые и соответственно область резонанса с измененной топологией инвариантных поверхностей оказывается узкой по переменным действия [см. (2.4.31)].- Прим. ред.
2) Отметим, что условие точного резонанса по невозмущенным частотам (2.4.19) совместимо с (2.4.15), вообще говоря, лишь в нулевом порядке по $\varepsilon$ [см. (2.4.17) ].- Прим. ред.

Рассмотрим два случая.

1. Резонанс в невозмущенной системе имеет место только при некоторых значениях $J_{1}$ и $J_{2}$. Такая система (и ее гамильтониан $H_{0}$ ) называется невырожденной ${ }^{1}$ ). Это наиболее типичный случай, при котором невозмущенный гамильтониан после преобразования зависит от обеих переменных действия
\[
\tilde{H}_{0}=\tilde{H}_{0}\left(\tilde{J}_{1}, \tilde{J}_{2}\right) .
\]
2. Условие резонанса (2.4.3) выполняется для любых $J_{1}, J_{2}$. Такая система называется вырожденной ${ }^{2}$ ). Очевидно, что в этом случае
\[
H_{0}=H_{0}\left(s J_{1}+r J_{2}\right),
\]

и после преобразования (2.4.6a), (2.4.6б)
\[
\widetilde{H}_{0}=\widetilde{H}_{0}\left({ }^{J}\right),
\]
т. е. $\widetilde{H}_{0}$ не зависит от $\tilde{J}_{1}$. Вырождение по отношению к одному из первичных резонансов довольно часто встречается в физических системах ${ }^{3}$ ), представляющих интерес. Однако этого почти никогда не происходит по отношению ко вторичным резонансам в силу очень сложной зависимости их частот от переменных действия. Особенности вырожденных систем рассматривались Егером и Лихтенбергом [212] и Израйлевым [207] 4).
Невырожденный случай. Из гамильтониана (2.4.16) с учетом (2.4.21) получаем оценки
\[
\begin{array}{l}
\dot{\vec{J}} \sim \varepsilon H_{r,-s}, \\
\dot{\hat{\theta}} \sim 1,
\end{array}
\]

откуда следует, что (2.4.16) можно разложить в окрестности неподвижной точки по переменной $\widetilde{J}_{1}$ (но не по $\tilde{\theta}_{1}$ ). Обозначая
\[
\Delta \widetilde{J}_{1}=\widetilde{J}_{1}-\widetilde{J}_{10},
\]

имеем
\[
\widetilde{H}_{0}(\tilde{\boldsymbol{J}})=\widetilde{H}_{0}\left(\widetilde{\boldsymbol{J}}_{0}\right)+\frac{\partial \widetilde{H}_{0}}{\partial \widetilde{J}_{1}} \Delta \widetilde{J}_{1}+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} \widetilde{H}_{0}}{\partial \widetilde{J}_{1}^{2}}\left(\Delta \widetilde{J}_{1}\right)^{2}+\ldots
\]
1) В оригинале — accidentally degenerate (случайно вырожденная). Этот термин используется в отечественной литературе в совершенно ином смысле, соответствующем случаю 2 , рассмотренному ниже.- Прим. перев.
2) В оригинале — intrinsically degenerate (внутренне вырожденная).Прим. перев.
3) Например, в случае линейных невозмущенных колебаний. Классическим примером вырождения для нелинейной системы является задача Кеплера (см. П. 1.3в).- Прим. ред.
4) Любопытные эффекты вырождения рассмотрены также в работах [134, 470]— Прим. ред.

Вторым членом в правой части (2.4.26) можно пренебречь в силу (2.4.19). Подставляя (2.4.26) в (2.4.16), опуская постоянную и удерживая лишь члены низшего порядка по $\varepsilon$ и $\Delta \widetilde{J}_{1}$, находим гамильтониан, описывающий движение вблизи резонанса
\[
\Delta \bar{H}=\frac{1}{2} G\left(\Delta \widetilde{J}_{1}\right)^{2}-F \cos \tilde{\theta_{1}},
\]

здесь $G$ — параметр нелинейности
\[
G\left(\widetilde{J}_{0}\right)=\frac{\partial^{2} \widetilde{H}_{0}}{\partial \widetilde{J}_{1}^{2}},
\]
a
\[
F\left(\widetilde{\boldsymbol{J}}_{0}\right)=-2 \varepsilon H_{r,-s}\left(\widetilde{\boldsymbol{J}}_{0}\right) \text {. }
\]

Этот примечательный результат показывает, что движение вблизи любого резонанса ${ }^{1}$ ) поӧобно движению маятника с его колебаниями вращением и сепаратрисой. Приближение (2.4.27) использовалось Чириковым [70] и другими авторами для описания типичного поведения гамильтоновых систем вблизи резонанса; оно же является основой нашего подхода при изучении хаотического движения в окрестности сепаратрисы резонанса. Гамильтониан (2.4.27) дает в некотором смысле универсальное описание движения вблизи резонанса, поэтому мы будем иногда называть $\Delta \bar{H}$ стандартным гамильтонианом.

Перестройка движения под действием возмущения вблизи резонанса иллюстрируется на рис. $2.8, a$. При $G F>0$ устойчивая и неустойчивая неподвижные точки расположены при $\widetilde{\theta}_{1}=0$ и $\tilde{\theta}_{1}=\pi$ соответственно. Частота колебаний вблизи устойчивой неподвижной точки (центр резонанса) мала:
\[
\tilde{\omega}_{1}=(F G)^{1 / 2} \sim\left(\varepsilon H_{r,-s}\right)^{1 / 2} .
\]

Эта частота уменьшается вплоть до нуля при приближении к сепаратрисе, оставаясь все время много меньше частоты $\dot{\theta}_{2}$, которая по порядку величины равна единице. Максимальное отклонение $\Delta \tilde{J}_{1 \text { макс }}$ мало, происходит на сепаратрисе (при $\widetilde{\theta}_{1}=0$ ) и равно половине ее ширины
\[
\tilde{\Delta J}_{1 \text { макс }}=2\left(\frac{F}{G}\right)^{1 / 2} \sim\left(\varepsilon H_{r,-s}\right)^{1 / 2} .
\]
1) Правильнее было бы сказать-типичного резонанса, поскольку «приближение маятника» (2.4.27) справедливо все же лишь при определенных условиях — так называемой умеренной нелинейности, во-первых [см. (3.2.36) ], и малости кратных гармоник, во-вторых (противоположный пример см, в работе $[471], \S 4.2)$.- Прим. ред.

Рис. 2.8. Фазовые траектории вблизи резонанса.
$a$ — невырожденный случай; полуширина резонанса $\widetilde{\Delta}_{1 \text { макс }}$ и частота фазовых колебаний $\widetilde{\omega}_{1}$ малы $\left(\sim \varepsilon^{1 ; 2}\right) ; 6$ — вырожденный случай; ширина резонанса порядка единицы, а частота порядка $\varepsilon$.

Вблизи центра резонанса фазовые траектории являются эллипсами с отношением полуосей
\[
\frac{\Delta \widetilde{J}_{1}}{\Delta \widetilde{\theta}_{1}}=\left(\frac{F}{G}\right)^{1 / 2} \sim\left(\varepsilon H_{r,-s}\right)^{1 / 2} .
\]

Для полного решения задачи следовало бы выполнить преобразование к переменным действие — угол медленных колебаний (или вращения). Однако такое преобразование необходимо по существу лишь при учете вторичных резонансов и мы отложим его до п. 2.46.

Вырождение. Действуя, как и в предыдущем случае, но учитывая независимость гамильтониана $\tilde{H}_{0}$ от $\widetilde{J}_{1}$ [см. (2.4.23) ], вместо (2.4.24) получаем оценки
\[
\dot{\tilde{J}}_{1} \sim \varepsilon H_{r,-s}, \quad \dot{\tilde{\theta}}_{1} \sim \varepsilon H_{0,0} \sim \varepsilon H_{r,-s},
\]

из которых следует, что отклонение по $\tilde{J}_{1}$ и $\tilde{\theta}_{1}$ одного порядка, поэтому нельзя разлагать гамильтониан (2.4.16) только по $\tilde{J}_{\mathbf{1}}$, как это было сделано выше. В общем случае для анализа движения системы (2.4.16) можно перейти к новым переменным действиеугол (см. п. 1.3а). Выясним сначала общий характер движения, разлагая гамильтониан (2.4.16) в окрестности центра резонанса $\widetilde{\theta}_{1}=0$ по степеням $\Delta \widetilde{J}_{1}$ и $\Delta \widetilde{\theta}_{1}=\widetilde{\theta}_{1}$ до квадратичных членов. Имеем
\[
\begin{array}{c}
H_{0,0}(\tilde{\boldsymbol{J}})=H_{0,0}\left(\tilde{\boldsymbol{J}}_{0}\right)+\frac{\partial H_{0,0}}{\partial \widetilde{J}_{1}}\left(\Delta \tilde{J}_{1}\right)+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} H_{0,0}}{\partial \tilde{J}_{1}^{2}}\left(\Delta \tilde{J}_{1}\right)^{2}+\ldots \\
H_{r,-s}(\tilde{\boldsymbol{J}})=H_{r,-s}\left(\tilde{\boldsymbol{J}}_{0}\right)+\frac{\partial H_{r,-s}}{\partial \widetilde{J}_{1}}\left(\Delta \widetilde{J}_{1}\right)+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} H_{r,-s}}{\partial \widetilde{J}_{1}^{2}}\left(\Delta \tilde{J}_{1}\right)^{2}+\ldots, \\
\cos \tilde{\theta}_{1}=1-\frac{1}{2}\left(\Delta \tilde{\theta}_{1}\right)^{2}+\ldots
\end{array}
\]

Линейные по $\Delta \tilde{J}_{1}$ члены выпадают в силу (2.4.20); опуская постоянные, мы приходим к гамильтониану гармонического осциллятора
\[
\Delta \bar{H}=\frac{1}{2} G\left(\Delta \widetilde{J}_{1}\right)^{2}+\frac{1}{2} F\left(\Delta \widetilde{\theta}_{1}\right)^{2},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
G=\frac{\partial^{2} \widetilde{H}_{0}}{\widetilde{J}_{1}^{2}}+\varepsilon \frac{\partial^{2} H_{0, i}}{\partial \widetilde{J}_{1}^{2}}+\varepsilon \frac{\partial^{2} H_{r,-s}}{\partial \widetilde{J}_{1}^{2}}, \\
F=-2 \varepsilon H_{r,-s .} .
\end{array}
\]

Но при вырождении первый член в (2.4.38) равен нулю, поэтому как $G$, так и $F$ оказываются величинами порядка $\varepsilon$. Частота малых колебаний вблизи центра резонанса равна
\[
\tilde{\omega}_{1}=(G F)^{1 / 2} \sim \varepsilon,
\]

а отношение полуосей эллипса —
\[
\frac{\Delta \widetilde{J}_{1}}{\Delta \widetilde{\theta}_{1}}=\left(\frac{F}{G}\right)^{1 / 2} \sim 1 .
\]

Вблизи центра резонанса вырождение определяется соотношением (2.4.38) и происходит при уменьшении первого слагаемого до нуля.

Аналогичным образом вблизи неустойчивой неподвижной точки $\tilde{\theta}_{1}= \pm \pi$ получаются гиперболические фазовые траектории с асимптотами, наклоненными к оси $\widetilde{\theta}_{1}$ под углами $\pm \chi$, где
\[
\operatorname{tg} \chi=\left(\frac{F}{G}\right)^{12} .
\]

Поведение вырожденной системы иллюстрируется на рис. 2.8, б. Грубо говоря, оно похоже на невырожденное, если только $G
eq 0$. Различия между ними, существенные для отображений и теории КАМ, обсуждаются в п. $3.2 \mathrm{a}$; там же кратко рассмотрен особый случай $G=0$. Вообще говоря, характерная для вырождения слабая нелинейность приводит к сложному поведению системы, тогда как невырожденный случай оказывается обычно более простым для анализа.
* 2.4б. Вторичные резонансы

Если возмущение $\varepsilon$ не очень мало, то существенную роль играют вторичные резонансы [см. (2.4.9)], которые изменяют или разрушают адиабатический инвариант $\widetilde{J}_{2}$. Это резонансы между гармониками фазовых колебаний на первичном резонансе (п. 2.4а) и невозмущенными колебаниями основной частоты $\omega_{2}$. В адиабатическом пределе их структура показана на рис. 2.9, a. Устранение малых знаменателей вторичных резонансов можно провести по общей схеме п. $2.4 \mathrm{a}$, хотя здесь имеются, как будет видно ниже, некоторые дополнительные особенности. Начнем с усредненного гамильтониана (2.4.10), в который необходимо ввести новые переменные действие — угол $\left(I_{1}, \varphi_{1}\right)$ для фазовых колебаний. Вместо решения уравнения Гамильтона-Якоби (1.2.50) исследуем, как и в п. $2.2 \mathrm{a}$, движение в окрестности центра резонанса с помощью теории возмущений. Обозначим через $K_{0}$ преобразованный гамиль тониан и, следуя логике принятых обозначений, будем писать $I_{2}$ вместо $\tilde{J}_{2}$. В приближении (2.4.16) из (2.2.23) сразу же получаем
\[
K_{0}\left(I_{1}, I_{2}\right)=\tilde{H}_{0}\left(\tilde{I}_{10}, I_{2}\right)+\tilde{\omega}_{1} I_{1}-\frac{\varepsilon}{16} G I_{1}^{2}+\ldots . \quad \text {, (2.4.43) }
\]

где $G$ и $\tilde{\omega}_{1}$ — функции $I_{2}$, определяемые выражениями (2.4.38) и (2.4.40). Если усреднение по $\widetilde{\theta}_{2}$ справедливо, то разложение (2.4.43) является формальным решением задачи. Оно не зависит от угловых переменных, и, следовательно, существуют два интег. рала движения: $I_{2}=\widetilde{J}_{2}$ и $I_{1}$. Преобразование к переменным $I_{1}$, $\varphi_{1}$ показано на рис. 2.9 , б.

Чтобы учесть эффект вторичного резонанса, восстановим член $\tilde{H}_{1}^{\prime}$, отброшенный при усреднении по $\tilde{\theta}_{2}$ :
\[
\tilde{H}_{1}^{\prime}(\tilde{\boldsymbol{J}}, \widetilde{\boldsymbol{\theta}})=\tilde{H}_{1}(\tilde{\boldsymbol{J}}, \tilde{\boldsymbol{\theta}})-\bar{H}_{1}(\tilde{\boldsymbol{J}}, \tilde{\boldsymbol{\theta}}) .
\]

Представим его в виде ряда Фурье
\[
\tilde{H}_{1}^{\prime}=\sum_{l, m}^{\prime} H_{l, m}(\tilde{\boldsymbol{J}}) \exp \left[i \frac{l}{r} \tilde{\theta}_{1}+i\left(l \frac{s}{r}+m\right) \tilde{\theta}_{2}\right],
\]

где штрих означает, что член с $l s+m r=0$ из суммы исключен. В окрестности центра резонанса ( $\tilde{\theta}_{10}=0$ )
\[
\tilde{H}_{1}^{\prime}=\sum_{l, m}{ }^{\prime} H_{l, m}\left(\widetilde{J}_{10}+\Delta \tilde{J}_{1}, \tilde{J}_{2}\right) \exp \left[i \frac{l}{r} \Delta \tilde{\theta}_{1}+i\left(l \frac{s}{r}+m\right) \tilde{\theta}_{2}\right] .
\]

Преобразуя это возмущение к переменным действие — угол низшего порядка, т. е. для линейных колебаний переменных $\Delta \widetilde{J}_{1}$, $\Delta \widetilde{\theta}_{1}$ [см. (1.2.68)], и обозначая $\widetilde{\theta}_{2}$ через $\varphi_{2}$, находим
\[
K_{1}=\sum_{l, m}{ }^{\prime} H_{l, m}\left(\tilde{J}_{10}, I_{2}\right) \exp \left[i\left(l \frac{s}{r}+m\right) \varphi_{2}\right] \exp \left[i \frac{l}{r}\left(\frac{2 I_{1}}{R}\right)^{1 / 2} \sin \varphi_{1}\right] \text {, }
\]

где $R=(F / G)^{12}$. Мы рассматриваем невырожденный случай и по. тому пренебрегаем отклонениями $\Delta \tilde{J}_{1}$, считая их малыми в силу(2.4.32). Разлагая вторую экспоненту, получаем
\[
K_{1}=\sum_{l, m, n} \Gamma_{l_{m n}}\left(\tilde{J}_{10}, I\right) \exp \left[i n \varphi_{1}+i\left(l \frac{s}{r}+m\right) \varphi_{2}\right],
\]

где
\[
\Gamma_{l m n}=H_{l, m}\left(\tilde{J}_{10}, I_{2}\right) \mathscr{J}_{n}\left[\frac{l}{t}\left(\frac{2 I_{1}}{R}\right)^{1 ; 2}\right],
\]

а $\mathscr{F}_{n}$ — функция Бесселя. Из (2.4.48) [видно, что возможны резонансы между $\varphi_{2}$ и $\varphi_{1}$, поэтому усреднение по $\varphi_{2}$ может привести к отличному от нуля результату. Чтобы получить новый инвариант, запишем полный гамильтониан, используя (2.4.43) и (2.4.48) в виде
\[
K=K_{0}\left(I_{1}, I_{2}\right)+\varepsilon_{2} K_{1}\left(I_{1}, I_{2}, \varphi_{1}, \varphi_{2}\right),
\]

аналогичном гамильтониану (2.4.1) с некоторым новым параметром возмущения $\varepsilon_{2}$. Эта аналогия позволяет для устранения сингулярности вторичных резонансов снова использовать метод, описанный в п. 2.4а. Рассмотрим резонанс
\[
\frac{\tilde{\omega}_{2}}{\tilde{\omega}_{1}}=\frac{p}{q},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\tilde{\omega}_{2}=\frac{\partial K_{0}}{\partial I_{2}}=\omega_{2} \sim 1, \\
\tilde{\omega}_{1}=\frac{\partial K_{0}}{\partial I_{1}} \sim \varepsilon^{1 / 2}
\end{array}
\]

согласно (2.4.4) и (2.4.30). Аналогично (2.4.6) перейдем к новым переменным $\tilde{I}_{1}, \tilde{I}_{2}, \tilde{\varphi}_{1}, \tilde{\varphi}_{2}$ с медленной фазой
\[
\tilde{\varphi}_{1}=p \varphi_{1}-q \varphi_{2} \text {. }
\]

Соответствующая производящая функция имеет вид
\[
F_{2}=\left(p \varphi_{1}-q \varphi_{2}\right) \tilde{I}_{1}+\varphi_{2} \tilde{I}_{2} .
\]

Усреднение (2.4.48) по быстрой фазе $\varphi_{2}$ с учетом (2.4.51) приводит к соотношению
\[
n q+\left(l \frac{s}{r}+m\right) p=0,
\]

где $l s / r$ — целое число. Это соотношение удовлетворяется, если в (2.4.48) оставить только слагаемые с
\[
n=-j p, \quad l=k r, \quad m=j q-k s,
\]

где $j, k$ — любые целые числа. При $j= \pm 1$, например, $p$-я гармоника фазовых колебаний по $\varphi_{1}$ находится в резонансе с $q$-й гармоникой колебаний по $\varphi_{2}=\tilde{\theta}_{2}$; резонансам более высоких гармоник отвечают значения $|j|>1$. Выполняя усреднение для гамильтониана $K$, получаем
\[
\begin{array}{c}
\bar{K}=\bar{K}_{0}\left(\tilde{I}_{1}, \tilde{I}_{2}\right)+\varepsilon_{2} \bar{K}_{1}\left(\tilde{I}_{1}, \tilde{I}_{2}, \tilde{\varphi}_{1}\right), \\
\bar{K}_{0}(\tilde{\boldsymbol{I}})=K_{0}\left(I_{1}(\tilde{\boldsymbol{I}}), I_{2}(\tilde{\boldsymbol{I}})\right), \\
\bar{K}_{1}=\sum_{j} K_{-j p, j q} e^{-i j \tilde{\varphi}_{1}} .
\end{array}
\]

В последнем выражении амплитуда Фурье $j$-й гармоники колебаний по $\tilde{\varphi}_{1}$ равна
\[
K_{-j p, j q}=\sum_{k} \Gamma_{k r, j q-k s,-j p} .
\]

Поскольку $\bar{K}$ не зависит от $\tilde{\varphi}_{2}$, мы сразу же получаем адиабатический инвариант фазовых колебаний
\[
\tilde{I}_{2}=I_{2}+\frac{q}{p} I_{1}=\text { const }
\]
(таким образом, фазовые колебания оказываются интегрируемыми). Сравнивая выражения (2.4.57) и (2.4.59) с (2.4.10) и (2.4.12), видим, что все результаты п. 2.4а применимы и в отношении вторичного резонанса (см. также рис. 2.9, в).
Амплитуда фазовых колебаний. Для оценки величины вторичного резонанса возьмем наибольший член в (2.4.60) с $|j|=1$ и $|k|=1$, а также положим $q=1$, что отвечает резонансу с основной частотой невозмущенных колебаний по $\tilde{\theta}_{2}=\varphi_{2}$. Из (2.4.49) следует, что он пропорционален функции Бесселя
\[
\mathcal{F}_{p}\left[\left(2 I_{1} / R\right)^{1 / 2}\right]
\]

причем индекс $p$-целое число и в силу (2.4.51) имеет порядок $\varepsilon^{-12}$. Так как $I_{1 \text { макс }}$ порядка $R$, то максимальное значение аргумента $\left(2 I_{1} / R\right)^{1 / 2}$ порядка единицы. Отсюда при большом $p$ (малом $\varepsilon$ ) функцию Бесселя можно оценить как
\[
\mathcal{F}_{p}\left(\sqrt{\frac{2 I_{1}}{R}}\right) \sim \frac{1}{p !}\left(\frac{I_{1}}{2 R}\right)^{p / 2} \leqslant \frac{1}{\left(\varepsilon^{-1 / 2}\right) !} .
\]

Из этого выражения следует, что амплитуда Фурье резонансного члена пропорциональна $I_{1}^{p i 2}$, так что размеры резонанса быстро падают с убыванием $I_{1}$. Заменяя в формулах (2.4.30), (2.4.31) $H_{-r \text {, s }}$ на $K_{-p, q}$ и учитывая оценку (2.4.62), приходим к заключению, что амплитуда и частота колебаний $\widetilde{I}_{1}$ меньше, чем для $\widetilde{J}_{1}$ по крайней мере в $\left[\left(\varepsilon^{-1 / 2}\right) !\right]^{1 / 2}$ раз. Явное выражение для гамильтониана вторичного резонанса будет получено в п. 2.4в.

Хотя анализ вторичных резонансов проводится аналогично анализу первичных резонансов, полученные результаты обладают некоторыми особенностями. Так, размер вторичного резонанса зависит от $\varepsilon$ значительно сильнее, чем первичного ( $\sim \varepsilon^{1 / 2}$ ), поэтому при достаточно малом $\varepsilon$ вторичные резонансы несущественны ${ }^{1}$ ). С другой стороны, при относительно больших $\varepsilon$ для определения гранишы справедливости адиабатической инвариантности вторичные
1) Напомним, что этот вывод, как и вышеприведенные оценки для вторичных резонансов, справедлив лишь для малых фазовых колебаний на первичном резонансе. Вблизи сепаратрисы резонанса положение существенно изменяется (см. п. 4.3б).- Прим. ред.

резонансы могут быть столь же важны, как и первичные резонансы.

Быстрое уменьшение размера вторичных резонансов с возмущением приводит к устойчивости движения внутри резонансов (в «островах») при умеренной величине возмущения. Более того, даже при весьма больших возмущениях, как, например, в случае на рис. 1.13, , интегралы движения сохраняются не только внутри первичных, но и внутри вторичных резонансов. Следствия этой устойчивости будут более подробно рассмотрены ниже.

Описанная процедура устранения малых знаменателей вторичных резонансов в окрестности центра первичного резонанса [213] является одним из вариантов метода ренормализации, в котором преобразование от резонанса $n$-го порядка к резонансу $(n+1)$-го порядка строится таким образом, чтобы сохранить форму гамильтониана, изменяя лишь его параметры. Эта идея является основой некоторых методов анализа перехода от регулярного движения к хаотическому; эти методы анализа будут рассмотрены в гл. 4.
2.4в. Резонансное взаимодействие волны и частицы

Вернемся к примеру в п. 2.26 — влиянию электростатической волны на движение заряженной частицы в магнитном поле. Рассмотрим случай резонанса между невозмущенным ларморовским вращением частицы и колебаниями волны. Қак мы видели выше, в этом случае нельзя найти интегралы движения с помощью классической теории возмущений из-за появления резонансных знаменателей. Однако резонансная теория возмущений дает возможность устранить эти знаменатели локально. Следуя работе [267], рассмотрим две задачи: 1) волна распространяется под углом к магнитному полю $\left(k_{z}
eq 0\right)$, что соответствует невырожденному случаю; 2) волна распространяется перпендикулярно магнитному полю $\left(k_{z}=0\right)$, что соответствует вырождению.
Невырожденный случай. При $k_{z}
eq 0$ условие резонанса (2.2.71) выполняется для различных значений $m$ и импульса частицы $P_{z}$. Выберем определенный резонанс $m=l$ и перейдем к резонансным переменным с помощью производящей функции (2.4.5), которая для гамильтониана (2.2.67) принимает вид
\[
F_{2}=(\psi-l \varphi) \widetilde{P}_{\psi}+\varphi \widetilde{P}_{\varphi} .
\]

Имеем
\[
\begin{array}{c}
\tilde{H}=\frac{k_{z}^{2}}{2 M} \widetilde{P}_{\psi}^{2}+\Omega\left(\widetilde{P}_{\varphi}-l \widetilde{P}_{\psi}\right)-\widetilde{P}_{\psi} \omega+\varepsilon e \Phi_{0} \sum_{m} \mathscr{F}_{m}\left(k_{\perp} \rho\right) \times \\
\times \sin [\tilde{\psi}-(m-l) \tilde{\varphi}],
\end{array}
\]

где $\rho$ — функция переменных действия. Достаточно близко от резонанса переменная $\tilde{\psi}$ изменяется медленно и можно провести усреднение по быстрой фазе $\varphi$. В результате остается единственный член с $m=l$ и усредненный гамильтониан равен
\[
\bar{H}=\frac{k_{z}^{2}}{2 M} \widetilde{P}_{\psi}^{2}+\Omega\left(\widetilde{P}_{\varphi}-l \widetilde{P}_{\psi}\right)-\widetilde{P}_{\psi} \omega+\varepsilon e \Phi_{0} \mathscr{F}_{l}\left(k_{\perp} \rho\right) \sin \tilde{\psi} .
\]

Если произвести замену $\tilde{\psi} \rightarrow \tilde{\psi}+\pi / 2$, так что $\sin \tilde{\psi} \rightarrow \cos \tilde{\psi}$, то $\bar{H}$ примет вид (2.4.16). Так как $\bar{H}$ не зависит от $\tilde{\varphi}$, имеем
\[
\widetilde{P}_{\varphi}=P_{\varphi}+l P_{\psi}=\widetilde{P}_{\varphi 0} .
\]

Согласно (2.4.18) и (2.4.20), неподвижные точки соответствуют
\[
\widetilde{\psi}_{0}=0 ; \pi
\]

и
\[
\frac{k_{z}^{2}}{M} \check{P}_{\Downarrow}-l \Omega-\omega= \pm \varepsilon e \Phi_{0} \frac{\partial}{\partial \widetilde{P}_{\psi}} \mathcal{F}_{l}\left(k_{\perp} \rho\right),
\]

где
\[
\rho=\left(\frac{2}{M \Omega}\right)^{1 / 2}\left(\widetilde{P}_{\varphi}-l \widetilde{P}_{\psi}\right)^{1 / 2} .
\]

Уравнение (2.4.67б) неявно определяет величину $\tilde{P}_{\Psi 0}$. Линеаризуя по $\widetilde{P}_{\psi}$ (но не по $\tilde{\psi}$ ), получаем гамильтониан маятника (2.4.27) с параметрами [см. (2.4.28) и (2.4.29)]
\[
\begin{array}{c}
G=\frac{k_{z}^{2}}{M}, \\
F=-\varepsilon e \Phi_{0} \mathscr{F}_{l}\left(k_{\perp} \rho_{0}\right) .
\end{array}
\]

Согласно (2.4.30), частота малых колебаний равна
\[
\tilde{\omega}_{\psi}=\left|\frac{\varepsilon e \oplus_{0} \mathscr{F} k_{z}^{2}}{M}\right|^{1 / 2} .
\]

Максимальная амплитуда (на сепаратрисе) получается из (2.4.31)
\[
\Delta \widetilde{P}_{\psi \text { макс }}=\frac{2 \widetilde{\omega} \psi}{G} .
\]

Как $\tilde{\omega}_{\psi}$, так и $\Delta \tilde{P}_{\psi \text { макс }}$ пропорциональны $\varepsilon^{1 / 2}$. Определим с помощью (2.2.71) расстояние между соседними резонансами
\[
\delta \widetilde{P}_{\psi}=\frac{M \Omega}{k_{z}^{2}} .
\]

Отношение удвоенной амплитуды колебаний импульса к расстоянию между резонансами равно
\[
\frac{2 \Delta \widetilde{P}_{\psi \text { макс }}}{\delta \widetilde{P}_{\psi}}=\frac{4 \omega_{\psi}}{\Omega} .
\]

Вырождение. Сравним полученные результаты с вырожденным случаем, когда в гамильтониане (2.4.65) $k_{z} \equiv 0$. Проводя разложение в окрестности центра резонанса как по $\Delta \tilde{P}_{\psi}$, так и по $\Delta \tilde{\psi}$, приходим к гамильтониану гармонического осциллятора с
\[
\begin{array}{c}
G=\varepsilon e \Phi_{0} \frac{\partial^{2}}{\partial \tilde{P}_{\psi}^{2}} \mathcal{F}_{l}\left(k_{\lrcorner} \rho_{0}\right), \\
F=-\varepsilon e \Phi_{0} \mathscr{F}_{l}\left(k_{\perp} \rho_{0}\right) .
\end{array}
\]

Частота малых колебаний и максимальное отклонение импульса равны
\[
\begin{array}{c}
\tilde{\omega}_{\psi}=\varepsilon\left|e \Phi_{0} \mathscr{F}_{l} \frac{\partial^{2}}{\partial \widetilde{P}_{\psi}^{2}} \mathcal{F}_{l}\right|^{1 / 2}, \\
\Delta \widetilde{P}_{\psi \text { макс }}=\frac{2 \tilde{\omega}_{\psi}}{G} .
\end{array}
\]

Здесь $\omega_{\phi}$ имеет порядок $\varepsilon$, а $\Delta \widetilde{P}_{\psi \text { макс }}$ порядка единицы. Сравнивая (2.4.77) с (2.4.71) и (2.4.78) с (2.4.72), мы видим, что при вырождении частота малых колебаний в $\varepsilon^{-1 / 2}$ раз меньше, а максимальное отклонение импульса во столько же раз больше, чем при отсутствии вырождения.

В отличие от случая волны, распространяющейся под углом к магнитному полю, частота возмущения теперь фиксирована и равна $\omega$, поэтому резонанс возможен с одной из гармоник частоты $\Omega$, хотя и при разных значениях импульса $\tilde{P}_{\psi}$. Действительно, подставив $k_{z}=0$ в (2.4.67б), получаем уравнение
\[
\omega+l \Omega \pm \varepsilon e \Phi_{0} \frac{\partial}{\partial \tilde{P}_{\psi}} \mathscr{F}_{l}\left(k_{\perp} \rho\right)=0,
\]

определяющее значение $\widetilde{P}_{\psi}$ для неподвижных точек. Корни этого уравнения лежат в некотором интервале значений $k_{\perp} \rho$. Для $\omega+l \Omega=0$, например, их можно найти из условия
\[
\frac{\partial}{\partial \widetilde{P}_{\psi}} \mathscr{F}_{l}\left(k_{\perp} \rho\right)=0 .
\]

Если же $\omega+l \Omega=\delta \omega$, то, согласно (2.4.79), резонанс имеет место при условии
\[
\left|\varepsilon e \Phi_{0} \frac{\partial}{\partial \widetilde{P}_{\psi}} \mathscr{F}_{l}\left(k_{\perp} \rho\right)\right|=|\delta \omega| .
\]

В рассматриваемой задаче вырождение возникает, когда направление распространения волны становится нормальным к магнитному полю. Чтобы увидеть, как происходит переход, учтем члены порядка $\varepsilon$ в выражении (2.4.38) для параметра $G$ :
\[
G=\frac{k_{z}^{2}}{M}+\varepsilon e \Phi_{0} \frac{\partial^{2}}{\partial \widetilde{P}_{\psi}^{2}} \mathscr{F}_{l}\left(k_{\perp} \rho\right) .
\]

Вырождение наступает при
\[
\frac{k_{z}^{2}}{M} \leqslant \varepsilon e \Phi_{0}\left|\frac{\partial^{2}}{\partial \widetilde{P}_{\psi}^{2}} \mathscr{F}_{l}\left(k_{\perp} \rho\right)\right| .
\]

Bторичные резонансы. Для получения гамильтониана вторичного резонанса, как и в п. 2.4б, перейдем к переменным $I, \theta$ для малых фазовых колебаний. При $k_{z}
eq 0$ находим
\[
\begin{array}{c}
K_{0}\left(I, \widetilde{P}_{\varphi}\right)=\tilde{\omega}_{\psi} I-\frac{\varepsilon^{2}}{16} G I^{2}+\cdots, \\
\widetilde{\psi}=\tilde{\psi}_{0}+\left(\frac{2 I}{R}\right)^{1 / 2} \sin \theta+O(\varepsilon),
\end{array}
\]

где $G$ и $\tilde{\omega}_{\psi}$ определяются выражениями (2.4.69), (2.4.71), а $R=$ $=(F / G)^{1 / 2}$. Низший порядок возмущения выражается в переменных $I, \theta$ аналогично (2.4.47)
\[
\begin{array}{l}
K_{1}=e \Phi_{0} \sum_{m
eq l} \mathscr{F}_{m}\left(k_{2} \rho\right) \sin \left[\tilde{\psi}_{0}+\left(\frac{2 I}{R}\right)^{1 / 2} \sin \theta-(m-l) \tilde{\varphi}\right]= \\
=e \Phi_{0} \sum_{n, m
eq l} \mathscr{F}_{m}\left(k_{\perp} \rho\right) \mathscr{J}_{n}\left[\left(\frac{2 I}{R}\right)^{1 / 2}\right] \sin \left[\tilde{\psi}_{0}+n \theta-(m-l) \tilde{\varphi}\right] .
\end{array}
\]

Оставляя главный член суммы с $m=l+1$, для резонанса гармоники $n$ получаем
\[
K_{1}=K_{n} \sin \left(\tilde{\psi}_{0}+n \theta-\tilde{\varphi}\right),
\]

где
\[
K_{n}=e \Phi_{0} \mathscr{F}_{l+1}\left(k_{\perp} \rho\right) \mathscr{F}_{n}\left[\left(\frac{2 I}{R}\right)\right]^{1 / 2} .
\]

Перейдем к новым медленным переменным
\[
\begin{array}{c}
\tilde{\theta}=n \theta-\tilde{\varphi}+\tilde{\psi}_{0}-\frac{\pi}{2}, \\
I=n \tilde{I} .
\end{array}
\]

Усредняя (2.4.86) по быстрой фазе $\tilde{\varphi}$, находим гамильтониан вторичного резонанса
\[
\Delta \bar{K}=\frac{1}{2} G_{\mathrm{s}}(\Delta \tilde{I})^{2}-F_{\mathrm{s}} \cos \tilde{\theta},
\]

где для $G_{s}$ и $F_{s}$ с помощью формул (2.4.84) и (2.4.87) при $\varepsilon \equiv 1$ имеем
\[
\begin{array}{l}
G_{s}=-\frac{G}{8} n^{2}, \\
F_{s}=-K_{n} .
\end{array}
\]

Частота малых колебаний и максимальное отклонение импульса аналогично предыдущему равны
\[
\begin{array}{l}
\tilde{\omega}_{s}=\left(F_{s} G_{s}\right)^{1_{2} 2}, \\
\Delta \tilde{I}_{\text {макс }}=\frac{2 \tilde{\omega}_{s}}{G_{s}} .
\end{array}
\]

Расстояние $\delta \tilde{I}$ между соседними вторичными резонансами (гармоники $n$ и $n+1$ ) можно найти, используя (2.4.88б) и соотношения
\[
n \tilde{\omega}_{\psi}-\Omega=0, \quad(n+1)\left(\tilde{\omega}_{\psi}+\frac{G_{s} \delta \tilde{I}}{n}\right)-\Omega=0,
\]

откуда (при $n \gg 1$ )
\[
\delta \widetilde{I}=\frac{\tilde{\omega}_{\psi}}{G_{s}} .
\]

С помощью выражения (2.4.92) для $\Delta \tilde{I}_{\text {макс }}$ получаем для вторичного резонанса
\[
\frac{2 \Delta \widetilde{I}_{\text {manc }}}{\delta \widetilde{I}}=\frac{4 \omega_{s}}{\widetilde{\omega}_{\psi}},
\]

что совпадает по форме с аналогичным соотношением (2.4.74) для первичного резонанса. По индукции заключаем, что это отношение сохраняет свой вид и для резонансов более высоких уровней (третичных и так далее), т. е. оно является универсальным. Заметим, что вторичным и более высокого уровня резонансам отвечают невырожденные гамильтонианы.
Численные эксперименты. Цетальные численные исследования были выполнены Смитом и Кауфманом [385, 386] для невырожденного случая (косая волна) и Карни, Берсом, Фукуямой и др. [222, 220, 145 ] для вырожденного случая (перпендикулярная волна).

Для косой волны Смит и Қауфман исследовали движение вблизи резонансов с $l=k_{z} v_{z} / \Omega=-1 ; 0 ; 1$ в системе отсчета волны $(\omega=0)$. Они выбрали $k_{\perp}(2 E / M)^{1 / 2} / \Omega=1,48$, где $E$ дается выраже-

Рис. 2.10. Поверхность сечения в переменных $k_{z} v_{z} / \Omega \propto P_{\psi}$ и $k_{z} z=\psi$ в случае взаимодействия частицы с косой ( $k_{2}
eq 0$ ) волной (численное моделирование) (по данным работы [385]).
$a$ — слабое возмущение ( $\left.\widetilde{\Phi}=k_{z}^{2} e \Phi_{0} / M \Omega^{2}=0,025\right) ; \sigma$ — сильное возмущение ( $\widetilde{\Phi}=0,1$ ). Численные результаты представлены точками, которые соединены от руки сплошными линиями (для регулярных траекторий). Начальные условия отмечены крестиками. Видны три резонанса.

нием (2.2.66) при $\omega \equiv 0, \varepsilon \equiv 1$ и $k_{z}=k_{\perp}$, что обеспечивает близкое к максимальному значение функции Бесселя $\mathcal{F}_{l}\left(k_{\perp} \rho\right)$. Их результаты для зависимости $v_{z}\left(\propto P_{\psi}\right)$ от $\psi$ приведены на рис. $2.10, a$

Рис. 2.11. То же, что и на рис. 2.10 для $k_{z}=0$ и $\omega / \Omega=-30$ (по данным работы [219]).
$a$ — слабое возмущение; 6 — более сильное возмущение.
и $б$ при $k_{z}^{2} e \Phi_{0} / M \Omega^{2}=0,025$ и 0,1 соответственно. На рис. 2.10, $a$ видны первичные резонансы, относительная частота малых фазовых колебаний которых равна $\tilde{\omega}_{\psi} / \Omega=1 / 10$, что согласуется с формулой (2.4.71). Вторичные резонансы в этом случае слишком малы и поэтому неразличимы. На рис. 2.10 , б видны вторичные резонансы пятой гармоники, т. е. с частотой $\tilde{\omega}_{\psi} / \Omega=1 / 5$, что опять согласуется с (2.4.71). Размеры вторичных резонансов можно приблизительно вычислить из соотношения (2.4.92). Разбросанные в окрестности сепаратрис резонансов $l=-1$ и $l=0$ точки представляют стохастические траектории (см. § 1.4). Решения, полученные в данной главе с помощью метода усреднения, совершенно не отражают стохастическое поведение. Обратим также внимание на резонансы второй гармоники, расположенные между областями главных резонансов; это явление обсуждается в последующих главах.

Сопоставим эти результаты с тем, что получается в случае перпендикулярной волны, который численно исследован Қарни [219]. На рис. 2.11, а и б приведены его результаты для поверхности сечения $\varphi=\pi$ при $l=-30$. Относительная частота малых фазовых колебаний первичного резонанса $\alpha=\widetilde{\omega}_{\psi} / \Omega \approx 1 / 9$ для меньшего возмущения и $\alpha \approx 1 / 5$ для большего. В первом случае инвариантные кривые почти совпадают с полученными из усредненного гамильтониана $(2.4 .65)^{1}$ ) при $k_{z}=0$. При большем возмущении возникает, как и ожидалось, цепочка из пяти островов и другие уже привычные нам детали. Размер первичных резонансов примерно одинаковый в обоих случаях, поскольку, как было показано выше, этот размер не зависит от возмущения. Қак и для косой волны, исследование проводилось при значениях $k_{\perp} \rho$, близких к максимуму $\mathscr{F}_{l}\left(k_{\perp} \rho\right)$. Аналогичные результаты для другой задачи были получены Фордом и Лансфордом [134 ].
2.4г. Глобальное устранение резонансных знаменателей

Теперь мы опишем метод ДЛТ (Дуннета-Лейнга-Тейлора) [111], позволяющий в некоторых случаях устранять знаменатели сразу всех первичных резонансов. Этот метод был вначале использован при изучении движения заряженной частицы в пространственно периодическом магнитном поле [111], а позже применен для анализа резонансного взаимодействия волны и частицы (п. 2.4в); последний случай рассмотрен ниже. Обобщение этого метода на более высокие порядки по параметру разложения выполнено МакНамарой [290] и будет описано в конце следующего параграфа.

Метод ДЛТ был разработан для изучения автономных систем с двумя степенями свободы и невозмущенным гамильтонианом $H_{0}$ специального вида
\[
H_{0}(J)=a\left(J_{1}\right)+\omega_{2} J_{2},
\]

где $\omega_{2}$ — постоянная частота, так что обе частоты $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ не за-
1) Только для одной (по-видимому, правой) половины поверхности сечения на рис. 2.11. Для другой половины фазовые колебания связаны с членом $m
eq l$ в гамильтониане $(2.4 .64)(|m-l|=1)$. То же касается и частоты малых колебаний, например, значение $\alpha=1 / 5$ относится только к правому резонансу на рис. 2.11, б.- Прим. ред.

висят от одной из переменных действия (в нашем случае от $J_{2}$ ). Такая форма гамильтониана не является исключительной и даже типична для неавтономных систем с одной степенью свободы, которые можно изучать в расширенном фазовом пространстве (см. п. 1.26$)^{1}$ ).

Метод ДЛТ использует определенную свободу в выборе интегралов движения. На поверхности сечения $\theta_{2}=$ const инвариантные линии являются прямыми $J_{1}=$ const. Но и любая функция $I_{0}\left(J_{1}\right)$ также приводит к этим же прямым
\[
I_{0}\left(J_{1}\right)=\text { const. }
\]

Поэтому $I_{0}$ тоже можно рассматривать как интеграл невозмущенного движения и выбирать его конкретную форму по своему усмотрению.

Непригодность классической теории возмущений для описания движения вблизи резонанса обсуждалась в п. 2.2б; там же и в п. 2.4в были рассмотрены конкретные примеры резонансных знаменателей. Неудача классического подхода имеет простое физическое объяснение: топология истинных инвариантных кривых $I=$ const отличается вблизи резонанса от топологии невозмущенных инвариантных кривых $I_{0}=$ const. Вообще говоря, при малом $\varepsilon$ линии $I_{0}+\varepsilon I_{1}=$ const могут топологически отличаться от линий $I_{0}=$ $=$ const, только если $I_{1}$ велико. Поэтому появление больших значений $I_{1}$ есть просто отражение топологических изменений в теории возмущений. Это наводит на мысль о том, что можно улучшить теорию возмущений, если выбрать такие невозмущенные интегралы движения, чтобы отличие в топологии обеспечивалось при малых $I_{1}$. Так будет в том случае, когда $d I_{0} / d J_{1}$ обращается в нуль, т. е. инвариантные кривые $I_{0}=$ const соответствуют максимуму или минимуму по невозмущенному действию $J_{1}$.

Теория возмущений. Для построения разложения нового инварианта $I$ заметим, что, согласно (1.2.21), любой интеграл движения удовлетворяет условию
\[
[I, H]=0 .
\]

Разлагая $H$ и $I$, получаем
\[
\begin{array}{c}
H(\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta})=H_{0}(\boldsymbol{J})+\varepsilon H_{1}(\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta})+\ldots \\
I(\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta})=I_{0}\left(J_{1}\right)+\varepsilon I_{1}(\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta})+\ldots
\end{array}
\]

где $I_{0}$ выбрано так, что является функцией только $J_{1}$. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, находим, что в нулевом порядке условие
\[
\left[I_{0}, H_{0}\right]=0
\]
1) Метод ДЈТ применим и непосредственно к неавтономным системам с одной степенью свободы, причем без ограничений на вид невозмущенного гамильтониана $H_{0}(J)$. — Прим. ред.

всегда удовлетворяется, ибо по построению $I_{0}$ и $H_{0}$ не зависят от угловых переменных. В первом порядке имеем
\[
\left[I_{1}, H_{0}\right]+\left[I_{0}, H_{1}\right]=0,
\]

или
\[
\omega_{1} \frac{\partial I_{1}}{\partial \theta_{1}}+\omega_{2} \frac{\partial I_{1}}{\partial \theta_{2}}=\frac{d I_{0}}{d J_{1}} \frac{d H_{1}}{d \theta_{1}} .
\]

Разлагая $H_{1}$ и $I_{1}$ в ряд Фурье
\[
\begin{array}{l}
H_{1}=\sum_{l, m} H_{l m}(J) e^{i\left(l \theta_{1}+m \theta_{2}\right)}, \\
I_{1}=\sum_{l, m} I_{l_{m}}(J) e^{i\left(l \theta_{1}+m \theta_{2}\right)},
\end{array}
\]

получаем из (2.4.103)
\[
\left(l \omega_{1}+m \omega_{2}\right) I_{l_{m}}=l \cdot \frac{d I_{0}}{d J_{1}} H_{l_{m}} .
\]

Чтобы найти инвариант, положим
\[
\frac{d I_{0}}{d J_{1}}=\prod_{l^{\prime}, m^{\prime}} C_{l^{\prime}, m^{\prime}}\left(\omega_{1} l^{\prime}+\omega_{2} m^{\prime}\right),
\]

где $C_{l^{\prime}, m^{\prime}}$ — некоторые коэффициенты, а произведение берется по всем тем значениям индексов $l^{\prime}, m^{\prime}$, для которых амплитуды Фурье $H_{l^{\prime}, m^{\prime}}$ отличны от нуля. По построению $d I_{0} / d J_{1}$ обращается в нуль на каждом резонансе, и величины $I_{l m}$, согласно (2.4.105), оказываются конечными. Новый инвариант имеет вид
\[
I=I_{0}+\varepsilon I_{1}=\text { const, }
\]

где $I_{0}$ находится интегрированием (2.4.106), а $I_{1}$ определяется равенствами (2.4.105) и (2.4.104б).

Резонанс волна — частица. Для иллюстрации метода рассмотрим гамильтониан (2.2.67) для волны, распространяющейся под углом $45^{\circ}$ к магнитному полю [403 ]. Перейдем в систему отсчета волны $\left(\omega \equiv 0\right.$ ) и введем безразмерные переменные: $k_{\perp}=k_{z}=1, \Omega=1$, $M=1, e \Phi_{0}=1, \rho=\left(2 P_{\varphi}\right)^{1 / 2}$. Имеем
\[
H=\frac{1}{2} P_{\psi}^{2}+P_{\varphi}+\varepsilon \sum_{m=-\infty}^{\infty} \mathscr{F}_{m}(\rho) \sin (\psi-m \varphi) .
\]

В соответствии с (2.4.106) полагаем
\[
\begin{array}{r}
\frac{d I_{0}}{d P_{\psi}}=\prod_{m=-\infty}^{\infty} C_{m}\left(P_{\psi}-m\right) \equiv \\
\equiv \pi P_{\psi} \prod_{m=1}^{\infty}\left(1-\frac{P_{\psi}^{2}}{m^{2}}\right)=\sin \pi P_{\psi} .
\end{array}
\]

С помощью выражения (2.4.105) находим
\[
I_{m}=\sin \pi P_{\downarrow} \frac{\mathscr{g}_{m}(\rho)}{P_{\psi}-m} .
\]

Интеграл движения первого порядка равен
\[
I=\frac{1}{\pi} \cos \pi P_{\psi}-\varepsilon \sin \pi P_{\psi} \sum_{m} \mathscr{F}_{m}(\rho) \frac{\sin (\psi-m \varphi)}{P_{\psi}-m} .
\]

Рис. 2.12. То же, что и на рис. 2.10 согласно теории ДЛТ первого порядка (по данным работы [403]).

Заметим, что второй член этого выражения остается малым даже при резонансах.

На рис. 2.12 показаны инвариантные кривые $I=$ const на поверхности сечения $\varphi=\pi$ для тех же значений параметров, что и результаты численного моделирования на рис. 2.10. Согласие между этими рисунками хорошее, хотя, конечно, области хаотического движения, которые наблюдаются при сильном возмущении на рис. 2.10 , б, нельзя получить из инвариантных кривых.
Отдельный резонанс. Сравним интеграл движения $I$ в методе ДЛТ с интегралом резонансной теории возмущений в случае одного резонанса. Для гамильтониана
\[
H=a\left(J_{1}\right)+\omega_{2} J_{2}+\varepsilon A \sin \left(l \theta_{1}-m \theta_{2}\right)
\]

преобразование (2.4.6) к резонансным переменным дает
\[
\tilde{H}=a\left(l \widetilde{J}_{1}\right)+\omega_{2}\left(\widetilde{J}_{2}-m \widetilde{J}_{1}\right)+\varepsilon A \sin \tilde{\theta}_{1} .
\]

Так как $\tilde{H}$ не зависит от $\tilde{\theta}_{2}$, то $\widetilde{J}_{2}=$ const. Поскольку $\widetilde{H}=$ const, то
\[
\tilde{I}=a\left(l \widetilde{J}_{1}\right)-m \omega_{2} \tilde{J}_{1}+\varepsilon A \sin \tilde{\theta}_{1}
\]

также является интегралом движения. Применяя метод ДЛТ, получаем из (2.4.106) уравнение
\[
\frac{d I_{0}}{d J_{1}}=\frac{d a}{d J_{1}}-\frac{m}{l} \omega_{2} .
\]

В результате приходим к интегралу движения $I$, который точно совпадает с $\tilde{I}$.

Распространение метода ДЛТ на более общие, чем (2.4.96), гамильтонианы до сих пор не сделано. Неясно также, как выбирать $I_{0}$ в тех случаях, когда амплитуды $H_{l m}$ всех гармоник отличны от нуля, так как при этом производная $d I_{0} / d J_{1}$ должна обращаться в нуль для всех рациональных значений отношения частот. Тем не менее в пределах этих ограничений метод ДЛТ весьма полезен для глобального устранения резонансных знаменателей ${ }^{1}$ ).