Исследования систем со многими степенями свободы всегда вызывали большой интерес. Причиной этого является, с одной стороны, желание понять поведение непрерывных систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, а с другой – связь со статистической механикой. Геометрия многомерных резонансов рассматривалась в п. 6.1а, а также в $\S 6.3$ (более подробное описание можно найти в работе [70]). С точки зрения резонансной структуры вопрос о поведении системы с большим числом степеней свободы сводится к вопросу о том, возрастает ли плотность основных резонансов быстрее, чем уменьшается их ширина, по мере распределения энергии по многим степеням свободы. Если это действительно так, то при $N \rightarrow \infty$ следует ожидать перекрытия резонансов и сильной стохастичности движения.
Чтобы как-то продвинуться в этом направлении, можно, например, обобщить модель ускорения Ферми на случай, когда движение стенки является суперпозицией колебаний с несколькими частотами. Для случая двух частот это было сделано в работе Ховарда и др. [202] для отображения $\left.{ }^{\mathbf{1}}\right)$
\[
\begin{array}{l}
u_{n+1}=u_{n}+\frac{A_{s} \sin s \varphi_{n}+A_{r} \sin r \varphi_{n}}{\sqrt{A_{s}^{2}+A_{r}^{2}}}, \\
\varphi_{n+1}=\varphi_{n}+\frac{4 \pi M}{(r+s) u_{n+1}} .
\end{array}
\]

Здесь величина $A^{2}$ характеризует «энергию колебаний» соответствующей частоты. Если считать полную энергию $\sum_{i} A_{i}^{2}=$ const и возбудить колебания с $N$ частотами, то ширина резонанса $\Delta u \propto A^{1 / 2} \propto N^{-1 / 4}$. Считая распределение частот случайным, можно ожидать, что максимальное расстояние между резонансами $\delta u_{\text {макс }} \propto(\ln N) / N$. Таким образом, параметр перекрытия резонансов
\[
\frac{\Delta u}{\delta u_{\text {макс }}} \propto \frac{N^{3 / 4}}{\ln N}
\]

возрастает с $N$. Сравнивая результаты для одной и двух частот в модели (6.5.1), Ховард и др. [202] нашли, что эффект, по меньшей мере, порядка (6.5.2). Однако они не исследовали зависимость от $N$. Из оценки (6.5.2) следует, что с ростом $N$ при постоянной полной энергии движение становится стохастическим во всем фазовом пространстве.

Такая упрощенная модель не является, конечно, адекватной для всех многомерных систем. Так, например, она не описывает солитонные регулярные решения, которые, как известно, существуют для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (см., например, [240, 249, 438]) ${ }^{2}$ ). Однако, как мы увидим ниже, многие системы действительно оказываются стохастическими при больших $N$.
Проблема Ферми-Паста-Улама. Одной из интересных моделей является нелинейная цепочка, исследованная численно в работе
1) Для иррационального отношения $r / s$ (несоизмеримые частоты) можно было бы говорить, в некотором смысле, о двух внешних степенях свободы (см. работу [477]), как и предполагастся ниже в основном тексте для произвольного числа $N$ частот. Однако в цитируемой работе [202] $r$, $s$ – целые числа, и отображение (6.5.1) описывает просто две гармоники одной частоты (cр. [482, §6], где исследовано аналогичное отображение с большим числом гармоник). Отметим, что отображения вида (6.5.1) с несоизмеримыми частотами естественно возникают в теории диффузии Арнольда $[70, \S 7.3]$. Прим. ред.
2) См. также книгу [457].- Прим. ред.

Ферми, Паста и Улама [127]. Такую цепочку можно рассматривать как модель нелинейной струны, колебания которой описываются уравнением ${ }^{1}$ )
\[
\frac{\partial^{2} x}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2} x}{\partial z^{2}}\left[1+3 \beta\left(\frac{\partial x}{\partial z}\right)^{2}\right]=0 .
\]

Движение цепочки описывается системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (все массы приняты равными единице):
\[
\ddot{x_{j}}=\left(x_{j+1}+x_{i-1}-2 x_{j}\right)+\beta\left[\left(x_{j+1}-x_{j}\right)^{3}-\left(x_{j}-x_{i-1}\right)^{3}\right],
\]

где $j==1,2, \ldots, N$ и концы цепочки закреплены. Полное число частиц было выбрано равным $N=64$. Вопреки ожиданию энергия не распределялась по различным модам колебаний, а система регулярно возвращалась к начальному состоянию ${ }^{2}$ ). Эти неожиданные результаты ${ }^{3}$ ) стимулировали многочисленные исследования модели (6.5.4) (библиографию по этой проблеме см. в работе [31 ]).

При аналитическом исследовании этой модели естественно использовать нормальные моды колебаний линейной системы ( $\beta=0$ ), что было сделано в ряде работ (см., например, [135, 208 ]). С помощью преобразования
\[
x_{j}=\left(\frac{2}{N-1}\right)^{1 / 2} \sum_{k=1}^{N-1} a_{k} \sin \frac{\pi k j}{N}
\]

Израйлев и Чириков при $\beta / 8 N \ll 1$ нашли следующую приближенную систему уравнений:
\[
\ddot{a_{k}}+\omega_{k}^{2} a_{k}\left[1-\frac{3 \beta}{4 N} \omega_{k}^{2}\left(2-\omega_{k}^{2}\right) a_{k}^{2}\right]=\frac{\beta}{8 N} \sum_{m} F_{k m} \cos \theta_{k m},
\]

где $\quad \omega_{k}=2 \sin (\pi k / 2 N)$, а $\quad \dot{\theta}_{k m}=\bar{\omega}_{k m}$ – частоты возмущения. Используя критерий перекрытия резонансов, Израйлев и Чириков после довольно громоздких вычислений получили следующее условие стохастичности для низких мод:
\[
3 \beta\left(\frac{\partial x}{\partial z}\right)^{2} \geqslant \frac{3}{k} ; \quad k \ll N .
\]
1) Для качественно правильного моделирования в правую часть уравнения (6.5.3) нужно добавить дисперсионный член ( $\left.a^{2} / 12\right) \partial^{4} x / \partial z^{4}$, где $a$ – расстояние между массами в цепочке. Решения же уравнения (6.5.3) являются сингулярными вследствие копрокидывания» нелинейной волны.- – Прим. ред.
2) Интересно отметить, что выдвинутая в работе [127] на основании этих результатов общая гипотеза о существовании «квази-мод» (см. также [135]) была в тот момент уже доказана Колмогоровым [229] для широкого класса гамильтоновых систем. – Прим. ред.
3) Первоначальное удивление было столь велико, что долгое время (до работы [208]) случаи хаотических колебаний нелинейной цепочки в работе [127] (см., например, рис. 5) оставались незамеченными.- Прим. ред.

Они нашли, что эта оценка не противоречит имевшимся численным данным. Это согласуется и с модельной оценкой (6.5.2), которая тоже предсказывает перекрытие резонансов при достаточно большом $N$. Однако так как при фиксированной энергии системы высокие моды будут иметь очень малую амплитуду, то не ясно, будет ли хаотическая часть фазового пространства стремиться к нулю или к единице с ростом $N$.

Аналогичные результаты были получены ранее Фордом и Уотерсом [135]. Они нашли, что существенный обмен энергией между модами возможен только вблизи резонансов по невозмущенным (линейным) частотам мод, и дали качественный критерий этого. В соответствии с этим критерием они видоизменили модель ФермиПаста-Улама и численно продемонстрировали сильный обмен энергией между всеми модами (для $N=5$ ), который имел, по-видимому, стохастический характер.

Используя другой подход, Бивинс и др. [31] исследовали взаимодействие нескольких мод в случае, когда одна из них имеет большую амплитуду и возбуждает соседние моды. Такой подход охватывает только относительно короткий интервал времени и ничего не говорит об асимптотическом поведении системы. Тем не менее они наблюдали переход от регулярного обмена энергией между модами при слабом возмущении к похожему на хаотический при более сильном возмущении $\mathbf{1}$ ).
Модель притягивающихся листов. Для исследования зависимости стохастичности от числа степеней свободы Фрёшле и Шейдекер (144) использовали модель в виде нескольких параллельных гравитационно-взаимодействующих листов, которая описывается гамильтонианом
\[
H(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{x})=\frac{1}{2} m \sum_{i=1}^{N} u_{i}^{2}+4 \pi G m \sum_{j>i}^{N}\left|x_{j}-x_{i}\right|,
\]

где $m$-масса листа, а $G$ – гравитационная постоянная. Для каждого счета начальные условия выбирались случайно при фиксированной полной энергии системы. Уравнения движения интегрировались аналитически до момента пересечения каких-либо двух листов. В качестве критерия стохастичности использовалась локальная
1) Другое, более известное, решение проблемы Ферми-Паста-Улама связывает регулярность колебаний некоторых видов нелинейной цепочки с близостью их к полностью интегрируемым нелинейным системам при любой энергии (см., например, прекрасный обзор Забуского [518]). В частности, уравнение (6.5.3) с квадратичной нелинейностью ( $(\partial x / \partial z)^{2} \rightarrow \partial x / \partial z$ ) и дисперсией (см. примечание редактора на с. 406) имеет бесконечный набор независимых интегралов движения и является, по-видимому, полностью интегрируемым. Хотя такое решение проблемы годится далеко не всегда ввиду исключительности полностью интегрируемых систем, оно послужило толчком для развития мощных методов интегрирования нелинейных уравненчй (см., например, работы [457, 518]).- Прим. ред.

Таблица
6.1. Модель
(6.5.8)
притягивающихся листов
(100 траекторий)
неустойчивость движения ( $\S$ 5.3). Полученные результаты приведены в табл. 6.1. Видно быстрое распространение стохастичности по фазовому пространству с ростом числа листов $N$. Случай двух листов является, как известно, интегрируемым.

Интерпретация этих результатов затруднительна, поскольку сингулярность взаимодействия при пересечении листов нарушает условие гладкости теоремы КАМ (п. 3.2a). Как мы знаем на примере сингулярного отображения Улама (3.4.4), это приводит к глобальной стохастичности, а регулярные траектории сохраняются только в островках устойчивости внутри резонансов. Если доля этих островков уменьшается с ростом $N$, то можно ожидать быстрого возрастания числа стохастических траекторий, что согласуется с результатами [144 ].

Потенциал Леннарда-Джонса. Другим хорошо известным примером является система с потенциалом Леннарда-Джонса
\[
V\left(r_{i j}\right)=4 \varepsilon\left[\left(\sigma / r_{i j}\right)^{12}-\left(\sigma / r_{i j}\right)^{6}\right],
\]

где $r_{i j}$ – расстояние между частицами $i$ и $j$, а $\sigma$ – пространственный масштаб взаимодействия. Слабое притяжение при $r_{i j} \geq \sigma$ сменяется сильным отталкиванием при $r_{i j} \leqslant \sigma$. Гамильтониан системы имеет вид
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} p_{i}^{2}+\sum_{i<i}^{N} V\left(r_{i j}\right)
\]

Гальгани и сотр. [148] исследовали эту задачу в простейшем случае одномерного движения частиц. Они обнаружили, что распределение энергии по невозмущенным (линейным) модам колебаний увеличивается с ростом $N$. Эти результаты, однако, трудно интерпретировать с точки зрения стохастичности, поскольку обычные критерии стохастичности в работе не использовались.

Стоддард и Форд [394] исследовали ту же задачу для двумерного движения. Такая модель является сглаженным вариантом системы твердых дисков, движение которых, как показал Синай, обладает перемешиванием (см. п. 1.4а и § 5.2). В качестве критерия стохастичности использовалась неустойчивость близких траекторий, которая и была обнаружена для всех исследованных начальных ус.овий в системе из 100 частиц $(N=200)$. Этот результат представляется вполне естественным для сильно нелинейного взаимодействия Леннарда-Джонса.

Заключение. С ростом числа степеней свободы наблюдаются две конкурирующие тенденции. С одной стороны, сетка резонансов в фазовом пространстве становится все более плотной. С другой стороны, ширина резонансов обычно уменьшается. В зависимости от поведения усредненного параметра перекрытия движение системы при $N \rightarrow \infty$ может быть как полностью стохастическим, так и полностью регулярным. Примером систем первого типа является газ Леннарда-Джонса, а второго – непрерывные системы, такие, как нелинейная струна ${ }^{1}$ ). Хотя строгого критерия разделения систем на эти два типа не существует, оценка перекрытия резонансов позволяет, по-видимому, сделать правдоподобные заключения о поведении системы при больших $N$.
1) Последнее впечатление, по-видимому, обманчиво и связано с тем, что наиболее известные примеры непрерывных систем относятся к очень специальному виду (слабо нелинейные волны), а их динамика исследована только на относительно коротком масштабе времени и для узкого класса начальных условий (небольное число низкочастотных мод). По всем существующим общим критериям граница стохастичности резко понижается с ростом $N$ (см., например, работу [70], § 4.5 и 4.6), так что в типичном случае при $N \rightarrow \infty$ хаос охватывает, по-видимому, практически все фазовое пространство. Однако значение регулярной компоненты движения далеко не исчерлывается занимаемым ею объемом фазового пространства (см. предисдовие редактора перевода). – Прим. ред.