* 4.4а. Основы метода Грина

Рассмотрим развитый Грином [164, 165] метод, который позволяет найти точную границу перехода к глобальной стохастичности. Этот метод постулирует соответствие между двумя следующими свойствами системы (рис. 4.7): 1) разрушение инвариантной кривой с иррациональным числом вращения $\alpha$ и 2) потеря устойчивости периодических точек, число вращения которых $r / s \rightarrow \alpha$ при $s \rightarrow \infty(r, s-$ взаимно простые числа).
Средний вычет. Для линеаризованного отображения, заданного матрицей А вблизи периодической точки (см. П. З.Зб), вычет определяется как
\[
R=\frac{1}{4}(2-\mathrm{Sp} \mathrm{A})
\]

Сравнение с (3.3.54) показывает, что для $0 \leqslant R \leqslant 1$
\[
R=\sin ^{2}\left(\frac{\sigma}{2}\right),
\]

где $\sigma$ — сдвиг фазы на одну итерацию отображения. Поэтому периодическая точка устойчива при условии
\[
0<R<1 .
\]

Матрица А вычисляется с помощью (3.3.43) и (3.3.44) и для перио-

Рис. 4.7. К методу Грина.
Периодические точки 1 с $\alpha_{n}=r / s(s=12)$ приближают инвариантную кривую 2 с иррациональным числом вращения $\alpha$.

дической точки с $\alpha=r / s$ стандартного отображения ее можно записать в виде
\[
\mathrm{A}=\prod_{i=1}^{s}\left(\begin{array}{rr}
1 & K \cos \theta_{i} \\
1 & 1+K \cos \theta_{i}
\end{array}\right) .
\]

Из полученного выражения в принципе можно найти вычет $R$. Јднако более удобным методом нахождения вычета является предгтавление его в виде детерминанта, как показано Хеллеманом и

Баунтисом [183]:
\[
R=\frac{1}{4}\left|\begin{array}{ccc}
2+K \cos \theta_{1} & -1 & 0 \cdots-1 \\
-1 & 2+K \cos \theta_{2} & \\
0 & & \\
\cdot & & \\
-1 & & 2+K \cos \theta_{s}
\end{array}\right| .
\]

Соответствующая матрица размерности $s \times s$ является тридиагональной с дополнительными элементами — 1 в двух углах. Если $K$ велико, то $R \propto K^{s}$. Грин показал, что это верно также и для малых $K$, и на этом основании принял такую же зависимость и для всех $K$. Следовательно, вычет экспоненциально зависит от периода $s$. Для больших $s$ значение $R$ стремится к нулю в устойчивом случае и неограниченно возрастает в неустойчивом. Естественно поэтому исследовать поведение величины
\[
f=\left(\frac{|R|}{\beta}\right)^{1 / s},
\]

которую Грин назвал средним вычетом. Постоянная $\beta \sim 1$ выбирается из условия быстрой сходимости при численном итерировании, что дает возможность получать надежные результаты для относительно малых $s$. Условие устойчивости имеет вид: $f<1$.

Золотое сечение. Можно показать (см., например, [227]), что наилучшим способом аппроксимации иррационального числа рациональными является разложение первого в непрерывную дробь. Для иррационального $\alpha$ на отрезке $(0,1)$ такое разложение можно представить в виде
\[
\alpha=\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{a_{3}+\ldots}}}
\]

и символически записать как $\alpha=\left[a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots\right]$, где $a_{n}$ — положительные целые числа. Значение $a_{1}$ равно целой части $1 / \alpha$

и т. д. ${ }^{1}$ ). Разложение в непрерывную дробь единственно, а подходящие дроби $r_{n} / s_{n}=\left[a_{1}, \ldots, a_{n}\right] \equiv \alpha_{n}$ наилучшим образом аппроксимируют $\alpha$ в том смысле, что не существует других дробей $r / s$, которые были бы ближе к $\alpha$ для $s \leqslant s_{n}$. Можно показать, что знаки последовательных разностей ( $\alpha-r_{n} / s_{n}$ ) противоположны, а сходимость
\[
\left|\alpha-\frac{r_{n}}{s_{n}}\right| \leqslant \frac{1}{s_{n} s_{n-1}}
\]

является квадратичной по $s$ для больших $s$. В качестве примера возьмем число $\alpha=\pi-3=0,14159 \ldots$. т. е. дробную часть $\pi$. Разложение его в непрерывную дробь имеет вид
\[
\pi-3=[7,15,293, \ldots .] .
\]

Большие значения $a_{n}$ ясно указывают на быструю сходимость подходящих дробей.

Можно ожидать, что инвариантная кривая, которая разрушается последней с ростом возмущения, имеет число вращения $\alpha$, которое хуже всего приближается рациональными числами, т. е. разложение которого в непрерывную дробь содержит минимальные $a_{n}$. Очевидно, что таким является число ${ }^{2}$ )
\[
\alpha_{g}=[1,1,1, \ldots .]=\frac{\sqrt{5}-1}{2},
\]

особые свойства которого были давно известны и которое получило название золотого сечения. Поэтому для определения границы стохастичности нужно исследовать устойчивость периодических точек с $\alpha_{g n} \rightarrow \alpha_{g}$. Численные исследования стандартного отображения, действительно, показывают, что последняя инвариантная кривая имеет $\alpha \approx \alpha_{g}$, подтверждая тем самым интуитивное предположение Грина ${ }^{3}$ ). Любое отображение, которое можно локально аппроксимировать стандартным отображением, будет обладать этим же свойством. Однако резонансная структура стандартного отображения весьма специфична (она является однородной по импульсу). В более общем случае это уже не так [117]. Мы обсудим этот вопрос в § 4.5.

При численном исследовании устойчивости сходимость улучшается, если начальное значение $R$ уже близко к предельному
1) Подобно тому как разложение в десятичную дробь ( $\alpha=\Sigma g_{n} k^{-n}$; $=\left[k \beta_{n}\right]$, разложению в непрерывную дробь соответствует отображение: $\beta_{n+1}=1 / \beta_{n}, \bmod 1 ; a_{n}=\left[1 / \beta_{n}\right]$. Оба отображения, кстати говоря, приводят к хаотическому движению для почти всех $\alpha$ (см., например, [486], гл. 7 и ниже).- Прим. ред.
2) Это «очевидное» заключение обманчиво. Например, если не ограничиваться положительными $a_{n}$, то $\alpha_{g}-1=[-3,3,-3, \ldots]$ — Прим. ред.
$\left.{ }^{3}\right)$ В действительности ситуация как раз обратная: исходя из этого предположения, Грин исследовал устойчивость периодических точек только для $\alpha=\alpha_{g}$ (см. п. 4.4 ниже). — Прим. ред.

при $s \rightarrow \infty$. Грин численно показал, что в случае золотого сечения для критического значения $K=K_{c}$ вычет стремится к пределу
\[
R\left(\alpha_{g}, K_{c}\right)=\frac{1}{4} .
\]

Поэтому при $\beta=1 / 4$ в (4.4.6) $f$ становится ближе к единице, и можно ожидать более быстрой сходимости. Это, действительно, подтверждается численными данными.

Метод Грина позволяет также найти условия разрушения инвариантных кривых на фазовой плоскости. Наиболее устойчивой будет инвариантная кривая с числом вращения вида
\[
\alpha=\left[a_{1}, \text {. . } a_{n}, 1,1, \ldots .\right] \text {, }
\]

где $a_{1}, \ldots, a_{n}$ характеризуют определенную область фазовой плоскости. Численные результаты показывают, что и в этом случае вычет имеет тот же предел (4.4.11), а значение $\beta=1 / 4$ обеспечивает быструю сходимость.

Помимо разложения в непрерывную дробь, можно использовать и другие аппроксимации $\alpha$ и соответствующие им системы периодических точек. Например, Лансфорд и Форд [286] использовали представление $\alpha^{-1}=k \pm 1 / n$, где $k, n$ — целые числа, причем $n$ пробегает значения в интервале $1<n \leqslant n_{0}$. Этот метод оказался удобным, хотя и не очень точным. Еще один метод, основанный на фрактальных диаграммах, был предложен Шмидтом и Билеком [364]. Мы сравним его с методом Грина в п. 4.4б.

Другие результаты. В работе Грина [165] получены и другие интересные результаты. Рассмотрим кратко некоторые из них. Прежде всего из (4.4.2) следует, что значение $R=1 / 4$ соответствует $\sigma=\pi / 3$. Это означает, что разрушение инвариантных кривых в какой-либо области фазового пространства соответствует возникновению вторичных резонансов шестой гармоники вокруг периодических эллиптических точек с большими $s \rightarrow \infty$. Но то же самое происходит в стандартном отображении и для неподвижной точки $(s=1)$, т. е. в противоположном пределе по $s$. Фактически численные результаты Грина показывают, что все периодические траектории с $\alpha=\alpha_{g n}$ обладают этим свойством.

Другой результат Грина имеет большое практическое значение для проведения численных исследований. Он показал (подробнее см. § 5.5), что при численном счете траектории, лежащей на инвариантной кривой, ошибки счета значительно больше вдоль кривой, чем поперек ${ }^{1}$ ). Поэтому численное определение самой инвариантной кривой можно производить на очень большом числе итераций без существенного ее искажения.

Наконец, укажем, что метод Грина можно использовать для проверки интегрируемости системы. Если $R=0$ во всем фазовом
1 По этому поводу см. также работу [57].- Прим. ред.

пространстве, то собственные значения линеаризованного отображения равны $\lambda_{1}=\lambda_{2}=1$, а матрица отображения имеет вид (3.3.71). Это означает отсутствие резонансной структуры движения и поэтому такая система является, по-видимому, полностью интегрируемой.
* 4.4б. Численные эксперименты

Численный алгоритм. Схематически методика вычислений Грина [164-166] сводится к следующему.
1. Приводим задачу к исследованию отображения, такого, например, как стандартное отображение, или отображение Улама. В общем случае для системы с двумя степенями свободы это может представлять некоторые трудности. По заданному гамильтониану отображение можно получить методами теории возмущений (см. п. 3.1б) иял же с помощью интегрирования уравнений движения на периоде отображения. В некоторых случаях удобно использовать внутреннюю симметрию системы, как это было сделано Грином [166] в задаче Хенона-Хейлеса.
2. Находим точное положение эллиптических неподвижных точек ( $k=1$ ) по возможности аналитически.
3. Численно находим зависимость $\alpha$ от расстояния до неподвижной точки вдоль линии симметрии. Для иррациональных $\alpha$ это делается путем усреднения за большое число итераций отображения, а для рациональных чисел $\alpha=r / s-$ за $s$ итераций.
4. Выбираем последовательность подходящих дробей $\alpha_{n}=$ $=r_{n} / s_{n}$, сходящуюся к некоторому иррациональному числу $\alpha$, которое соответствует исследуемой инвариантной кривой. Если мы интересуемся переходом к глобальной стохастичности, то в некоторых системах, как, например, стандартное отображение, в качестве $\alpha$ выбираем золотое сечение ( $\alpha=\alpha_{g}$ ).
5. Находим линеаризованное отображение А вблизи периодических точек с $\alpha_{n}=r_{n} / s_{n}$ :
\[
\boldsymbol{x}_{s_{n}}-\boldsymbol{x}_{n}=\mathrm{A} \cdot\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{n}\right),
\]

где $\boldsymbol{x}_{s_{n}}$ — значение $\boldsymbol{x}$ после $s_{n}$ итераций отображения, а $\boldsymbol{x}_{n}$ — положение исследуемой периодической точки. Матрица А находится обычно численно с помощью соотношений, приведенных в п. 3.3б.
Численные результаты. На рис. 4.4 показаны численные результаты Грина для четырех траекторий стандартного отображения с $K=0,97$. Это значение $K$, по всей видимости, лишь немногим ниже критического значения, разрушающего последнюю инвариантную кривую. Вследствие симметрии фактически существуют
две такие инвариантные кривые, которые расположены по обе стороны от полуцелого резонанса. Видно также, что траектория вблизи сепаратрисы целого резонанса медленно диффундирует. Вследствие конечного числа итераций неясно, существуют ли и другие инвариантные кривые, ограничивающие эту диффузию. Однако при $K=0,9716$ наблюдается совершенно иная картина для инвариантной кривой с $\alpha=\alpha_{g}$, а при $K=0,975$ эта кривая уже, несомненно, разрушена, поскольку траектории диффундируют в этом месте фазовой плоскости, хотя и очень медленно.

Грин вычислил значения $f$ для подходящих дробей золотого сечения при $K=0,9716$ и $K=0,9$. Для сравнения эти результаты сведены в табл. 4.1, из которой ясно виден переход от значений $f<1$ при $K=0,9$ к асимптотическому значению $f \approx 1$ при $K=0,9716$. Обратим также внимание на резкое изменение асимптотического значения $R$ (для больших $s$ ) от ничтожно малого в устойчивом случае до $R=0,25$ на границе стохастичности.

Таблица 4.1. Вычеты $f$ и $R$ в зависимости от $r / s$
a) $R=2,5 \cdot 10^{-9}$.
Наглядную картину разрушения инвариантной кривой с $\alpha=\alpha_{g}$ можно получить, откладывая периодические точки для последовательных пар подходящих дробей. На рис. 4.8 сравниваются два случая: $K=0,95$, для которого $f\left(\alpha_{g}\right) \approx 0,977$, и $K=0,9716$, для которого $f\left(\alpha_{g}\right) \approx 1,000$. Поскольку каждая последующая подходящая дробь соответствует увеличению числа периодических точек приблизительно в $1 / \alpha$ раз, а на каждом из рис. 4.8 используется пара подходящих дробей, ограничивающих значение $\alpha$ сверху и снизу, горизонтальный масштаб последовательно растягивается в $(1 / \alpha)^{2}$ раз для сохранения числа точек в выбранной области. Для облегчения визуального анализа структуры периодических точек, которые ограничивают инвариантную кривую с $\alpha=\alpha_{g}$, вертикальный масштаб на рис. 4.8 также растягивается в $(1 / \alpha)^{4}$ раз. Из рисунка видно, что при $K=0,95$ последовательные приближения периодических точек равномерно сходятся к инвариантной кривой. Напротив, при $K=0,9716$ периодические точки обнаруживают все новую и новую структуру на каждом последующем масштабе. Разумно заключить, что в этом случае инвариантная кривая не существует ${ }^{\mathbf{1}}$ ).

В заключение обсуждения метода Грина мы приводим на рис. 4.9 схематическую зависимость числа вращения $\tilde{\alpha}$ вблизи периодических точек от их периода $s$. Для $\tilde{\alpha}>1 / 2$ периодические точки не-

Рис. 4.8. Периодические точки, соответствующие последовательным парам подходящих дробей золотого сечения (по данным работы [165]).
а) $K=0,95$; б) $K=0,9716$

устойчивы. При $K \ll 1 \tilde{\alpha}$ существенно меньше $1 / 6$ даже для $s=1$ (когда $\tilde{\alpha}=\alpha$ ) и экспоненциально убывает с увеличением $s$. Последнее сохраняется для любого $K<0,9716$. Если же $K=$ $=0,9716$, то, как следует из табл. $4.1, \tilde{\alpha}=1 / 6(R=0,25)$ для всех достаточно больших $s$. В этом случае все периодические точки устойчивы, а отношение размера соответствующих им резонансов к расстоянию между последовательными резонансами ( $s_{n_{\sim}}$ и $s_{n+1}$ ) одинаково для всех $n \rightarrow \infty$. При $K>0,9716$ величина $\tilde{\alpha}$ растет и при достаточно большом $s$ периодические точки оказываются неустой-
1) Конечно, это не более чем наглядные соображения. В этом огношении данные табл. 4.1 более убедительны (см. также рис. 4.9).- Прим. ред.

чивыми. Таким образом, горизонтальная прямая $\tilde{\alpha}=16$ на рис. 4.9 соответствует как раз критическому значению $K$. Этот результат подтверждается исследованиями Эсканде и Довейла [117, 118], которые описаны в $\S 4.5$.

Рис. 4.9. Схематическая зависимость числа вращения $\widetilde{\alpha}$ вблизи периодических точек от их периода $s$.

Другой подход к исследованию системы резонансов высоких гармоник связан с упорядочением соответствующих им периодических точек на границе устойчивости с помощью фрактальных диаграмм [364]. Основная идея состоит в разбиении всех периодических точек на последовательные поколения по значению числа вращения $\alpha$. Первые два поколения соответствуют ${ }^{1}$ )
\[
\alpha_{1}=\frac{1}{n} ; \quad \alpha_{2}=\frac{1}{n \pm \frac{1}{m}},
\]
1) Последовательные поколения дают разложение произвольного $\alpha=$ $=[n, m, \ldots]$ в непрерывную дробь, для которой $\alpha_{l}$ есть подходящие дроби.一Прим. ред.

где $n, m$ — любые целые (положительные и отрицательные) числа, кроме нуля. С увеличением $m$ периодические точки второго поколения приближаются к сепаратрисе одного из резонансов первого поколения. Если же $m=1$, то мы попадаем, очевидно, в первое поколение. На рис. 4.10 показана зависимость критического значения параметра $K\left(\alpha_{l}\right)$ (граница устойчивости) стандартного ото-

Рис. 4.10. Критические значения $K$ для устойчивости трех поколений периодических точек стандартного отображения (по данным работы [364]). Видна фрактальная структура функции $K(\alpha)$.

бражения для трех первых поколений периодических точек. За исключением $n=1$ (целый резонанс), значения $K\left(\alpha_{1}\right)$ для первого поколения (кружки на рисунке) ложатся на гладкую кривую, симметричную относительно $\alpha_{1}=1 / 2$. Зависимости $K(\alpha)$ для второго и третьего поколений имеют аналогичную форму, но на более мелких масштабах по $\alpha$. Подобная масштабная инвариантность характерна для фракталов (см. п. 7.1в).

Шмидт и Билек предположили, что максимальные значения $K\left(\alpha_{l}\right)$ в разных поколениях связаны соотношением
\[
\frac{K_{l}-K_{l+1}}{K_{l-1}-K_{l}}=\Delta_{l},
\]

где $\Delta_{l}$ для больших $l$ не зависит от $l$. Тогда из фрактальной диаграммы можно найти условия разрушения инвариантных кривых между любыми резонансами по относительно небольшому числу максимумов $K\left(\alpha_{l}\right)$ первых поколений. Соотношение (4.4.14) представляется правдоподобным по аналогии с последовательностью бифуркаций как в диссипативных, так и в гамильтоновых системах (см. П. 7.26 и дополнение Б). Шмидт и Билек сравнили предсказания существования нескольких инвариантных кривых на основе фрактальной диаграммы на рис. 4.10 с прямым численным моделированием и получили хорошее согласие.

В заключение вкратце обсудим применение описанного метода в других задачах. В простейшем виде этот метод был использован еще Лансфордом и Фордом [286] в задаче Хенона и Хейлеса (см. п. 1.4а). Они исследовали отображение на поверхности сечения для полной энергии $E=1 / 12$ и $E=1 / 8$ (см. рис. 1.13 , б и в), используя линию симметрии $p_{y}=0$, проходящую через основной резонанс. Критерием устойчивости служило условие $i<1$, где средний вычет определяется как $f=|R|^{2 / Q}$. Система резонансов высоких гармоник и их периодических точек задавалась соотношением
\[
\alpha_{n}=\frac{1}{m \pm 1 / n}=\frac{r_{n}}{s_{n}},
\]

где целое $m$ — фиксированное число, а $n$ пробегает все целые положительные значения больше 1. Поскольку такой выбор $\alpha_{n}$ не дает сходимости к какому-либо иррациональному значению $\alpha$, величина $f$ изменялась в широких пределах, принимая максимальные значения вблизи целых резонансов, где $1 / \alpha_{n}$ — целое число. При исследовании области вблизи резонанса пятой гармоники ( $\alpha_{n}=$ $=1 / 5$ ) оказалось, что для $E=1 / 12$ величина $f$ падает ниже 1 . В противоположность этому для $E=1 / 8$ величина $f$ остается больше 1 , что означает разрушение инвариантных кривых в этой области. Позднее Грин [166] установил, что разрушение инвариантных кривых вблизи этого резонанса происходит при $E=$ $=0,118<1 / 8$. Мы видим, что даже такие трудные для аналитического исследования задачи, как задача Хенона-Хейлеса, все же поддаются решению описанным выше методом.