Рассмотрим общее поведение системы связанных нелинейных осцилляторов и структуру их фазового пространства. Основным результатом здесь является теорема KАМ, гарантирующая существование инвариантных торов для систем как с двумя, так и с бо́льшим числом степеней свободы. Однако некоторые следствия теоремы КАМ существенно различаются для этих двух случаев. Так, диффузия Арнольда возможна лишь в последнем случае. Мы отложим обсуждение этого вопроса до гл. 6. Здесь же для иллюстрации теоремы КАМ и характерной структуры фазового пространства мы ограничимся рассмотрением двумерных (сохраняющих площадь) отображений с некоторыми естественными обобщениями на случай большего числа степеней свободы.
1) При этом считается, что $n$ изменяется непрерывно. Напомним также, что «время» $n$ не совпадает с физическим временем $t\left(d n / d t \approx \omega_{N} / 2 \pi\right)$, причем зависимость $t(n)$ может быть очень сложной, так как $\omega_{N}=\omega_{N}\left(J_{1}\right)$, а $J_{1}$ – может изменяться хаотически.- Прим. ред.
${ }_{2}$ ) И конечно, совершенно не похож на исходный физический гамильтониан $H$ с двумя степенями свободы. Тем не менее траектории обеих систем совпадают для целочисленных моментов «времени» $n$. Однако для привязки к физическому времени $t$ необходимо знать зависимость $\omega_{2}\left(J_{1}\right) \approx$ $\omega_{2}\left(J_{1}, J_{2}\left(H_{0}, J_{1}\right)\right)$, или исходный гамильтониан $H_{0}\left(J_{1}, J_{2}\right)$ – Прим. ред.

* 3.2а. Иррациональные числа вращения и теория ҚАМ

С учетом возмущения гамильтониан системы зависит от угловых переменных (3.1.12) и, как мы видели в гл. 2, резонансы между степенями свободы могут нарушить сходимость рядов теории возмущений. Тем не менее можно доказать теорему (теорема KAM), согласно которой при выполнении определенных (перечисленных ниже) условий существуют инвариантные торы
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{J}=\boldsymbol{J}_{0}+\boldsymbol{v}(\xi, \varepsilon), \\
\boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{u}(\xi, \varepsilon) .
\end{array}
\]

Здесь $\boldsymbol{u}$ и $\boldsymbol{v}$ периодичны по $\xi$ и равны нулю при $\varepsilon=0$, а вектор $\xi$ связан с невозмущенными частотами ${ }^{1}$ ) на торе соотношением $\dot{\xi}=\boldsymbol{\omega}$. Условия применимости теоремы ҚАМ следующие:
1) частоты должны быть линейно независимы в некоторой области $\boldsymbol{J}$ (условие нелинейности невозмущенных колебаний ${ }^{2}$ ))
\[
\sum_{i} m_{i} \omega_{i}(J)
eq 0,
\]

где $\omega_{i}$ – компоненты вектора $\boldsymbol{\omega}=\partial H_{0} / \partial \boldsymbol{J}$, а $m_{i}$ – көмпоненты целочисленного вектора $\boldsymbol{m}$;
2) возмущение должно иметь достаточно большое число непрерывных производных (условие гладкости возмущения);
3) система должна находиться достаточно далеко от всех резонансов, так что
\[
|\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{\omega}| \geqslant \gamma|\boldsymbol{m}|^{-\tau}
\]

для всех $\boldsymbol{m}$. Здесь $\tau$ зависит от числа степеней свободы и гладкости возмущения $H_{1}$, а $\gamma$ зависит от величины возмущения $\varepsilon H_{1}$ и нелинейности $G$ невозмущенного гамильтониана $H_{0}$. Поскольку неравенство (3.2.3) не может выполняться при слишком большом значении $\gamma$, которое растет с $\left|\varepsilon H_{1}\right|$ и $1 / G$, инвариантные торы существуют лишь при достаточно малой величине возмущения. Из условий 1 и 3 следует также и условие умеренной нелинейности ${ }^{3}$ ). Если условия теоремы выполнены, то, например, окружности отображения поворота слегка деформируются под действием возмущения, не изменяя топологии, как это показано для сечения инвариантного тора на рис. $3.2, a$.
1) Лучше было бы сказать средними частотами, поскольку успех теории ҚАМ связан прежде всего с фиксацией средних частот, а не начальных усмовий, как это обычно делается (см. примечание редактора на с. 168). Именно для этих фиксированных частот и справедливы условия (3.2.2) и (3.2.3), приведенные ниже.- Прим. ред.
2) Это последнее условие имеет вид: $\operatorname{det}\left(\partial \omega_{i} / \partial J_{k}\right)
eq 0$ [см. (3.2.10)]; условие же (3.2.2) следует из (3.2.3).- Прим. ред.
${ }^{3}$ ) См. (3.2.36). – Прим. перев.

Эта теорема была доказана Арнольдом [10] для аналитического возмущения $H_{1}$ на основе работы Колмогорова [229] и Мозером [308] при условии существования достаточно большого числа не-

Рис. 3.2. К теории ҚАМ.
a-в нелинейной системе возмущенная инвариантная кривая лежит вблизи невозмуияенной (окружность); 6 – целые резонансы; $ө$ – дробные резонансы между двумя целыми резонансавия $=\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)-s$.

прерывных производных. Теорема устанавливает существование интегралов движения для многомерных нелинейных колебаний. Как признание важности работ указанных авторов ее принято называть теоремой КАМ. Ниже мы обсудим смысл теоремы, идею доказательства и значение условий ее применимости.

Проиллюстрируем трудности доказательства теоремы на примере двумерного отображения поворота (3.1.13). Последовательные пересечения возмущенной траектории с поверхностью $\theta_{2}=$ const (см. рис. 3.1,a) описываются разностными уравнениями, которые определяют новые значения переменных $J_{1}, \theta_{1}$ на поверхности сечения через их предыдущие значения. Предположим, что инвариантная кривая вида (3.2.1а) удовлетворяет уравнению
\[
J_{1}\left(\theta_{1}+2 \pi \alpha\right)=J_{1}\left(\theta_{1}\right)+v\left(\theta_{1}\right),
\]

где $v\left(\theta_{1}\right)$ – некоторая известная периодическая функция. Попробуем решить это уравнение путем разложения в ряд Фурье по $\theta_{1}$ :
\[
J_{1}\left(\theta_{1}\right)=\sum_{k} a_{k} e^{i k \theta_{1}} ; \quad v\left(\theta_{1}\right)=\sum_{k} b_{k} e^{i k \theta_{1}} .
\]

Тогда
\[
J_{1}\left(\theta_{1}-2 \pi \alpha\right)-J_{1}\left(\theta_{1}\right)=-\sum_{k} a_{k}[1-\exp (i k 2 \pi \alpha)] \exp \left(i k \theta_{1}\right),
\]

откуда
\[
a_{k}=-\frac{b_{k}}{1-\exp (i k 2 \pi \alpha)} .
\]

Коэффициенты $a_{k}$ убывают медленнее, чем $b_{k}$, а при рациональных $\alpha$ некоторые из них не определены. В этом и состоит проблема малых знаменателей, препятствующих сходимости рядов теории возмущений. Если $\alpha$ зависит от $J_{1}$, то величину $J_{1}$ нужно выбирать так, чтобы ни один знаменатель не оказался резонансным. Для этого необходимо соответствующим образом изменить процедуру разложения, а также потребовать достаточно быстрого убывания коэффициентов $b_{k}$. Доказательства теоремы КАМ чрезвычайно сложны и мы не будем их здесь излагать. Основная идея доказательства состоит в изменении начальных условий на каждом шаге разложения таким образом, чтобы все время оставаться достаточно далеко от всех резонансов и тем самым иметь возможность продолжать разложение.
Нелинеймость ${ }^{1}$ ). Мы уже знаем, что при наличии резонанса между степенями свободы невозмущенной системы фазовые траектории
1) В оригинале – linear independence or sufficient nonlinearity (линейная независимость, или достаточная нелинейность). Термин «лннейная независимость частот» обычно связывается только с условием вида (3.2.2), которое может выполняться и для линейного осциллятора с постоянными частотами. Поэтому в переводе используется в этом случае термин «нелинейность (колебаний)», понимаемый в смысле условия (3.2.10), приведенного ниже. – Прим. ред.

существенно искажаются под действием возмущения. Если невозмущенные частоты зависят от переменных действия, то изменения последних выводят систему из резонанса и тем самым ограничивают эти изменения. Если максимальные колебания $J$ много меньше невозмущенного значения $J_{0}$, то возможно существование инвариантных кривых, расположенных «вблизи» невозмущенных $J=J_{0}$. В этом и состоит смысл условия нелинейности невозмущенных колебаний. Это условие гарантирует, что в выражении (3.2.1а) $v(\xi, \varepsilon) \rightarrow 0$ при $\varepsilon \rightarrow 0$.

Чтобы полнее изучить этот вопрос, найдем условие линейной зависимости частот. Для простоты рассмотрим систему с двумя степенями свободы и предположим, что частоты $\omega_{1}\left(J_{1}, J_{2}\right)$ и $\omega_{2}\left(J_{1}, J_{2}\right)$ связаны соотношением
\[
f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)=0 .
\]

Дифференцируя, получаем
\[
\begin{array}{l}
d f=\frac{\partial f}{\partial \omega_{1}}\left(\frac{\partial \omega_{1}}{\partial J_{1}} d J_{1}+\frac{\partial \omega_{1}}{\partial J_{2}} d J_{2}\right)+ \\
+\frac{\partial f}{\partial \omega_{2}}\left(-\frac{\partial \omega_{2}}{\partial J_{1}} d J_{1}+\frac{\partial \omega_{2}}{\partial J_{2}} d J_{2}\right)=0
\end{array}
\]

для любых $d J_{1}$ и $d J_{2}$. Это уравнение удобно записать в матричном виде
\[
\omega_{J} \cdot \boldsymbol{f}_{\omega}=\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial \omega_{1}}{\partial J_{1}} & \frac{\partial \omega_{2}}{\partial J_{1}} \\
\frac{\partial \omega_{1}}{\partial J_{2}} & \frac{\partial \omega_{2}}{\partial J_{2}}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial f}{\partial \omega_{1}} \\
\frac{\partial f}{\partial \omega_{2}}
\end{array}\right)=0 .
\]

Если det $\omega_{J}
eq 0$, то единственное решение: $\boldsymbol{f}_{\omega}=0$. Это означает, что не существует справедливого для всех $J$ соотношения вида
\[
f=m_{1} \omega_{1}+m_{2} \omega_{2}=0 .
\]

Следовательно, необходимое условие нелинейности колебаний можно записать в виде ${ }^{1}$ )
\[
\operatorname{det} \omega_{J}
eq 0 .
\]

Именно в такой форме его обычно и приводят.
Для некоторого заданного резонанса условие (3.2.10) можно ослабить, потребовав лишь, чтобы частота не оставалась постоянной ${ }^{2}$ ) вдоль направления фактического приращения $J$. Действи-
1) В теории КАМ это условие необходимо для компенсации сдвига частот из-за вөзмущения ( $\Delta \omega)$ путем изменения начальных условий $(\Delta J)$, т. е. для разрешимости системы линейных уравнений $\Delta \omega=\omega_{J} \cdot \Delta J$ относительно $\Delta J .-$ Прим. ред.
2) Точнее, чтобы не сохранялось условие резонанса $\boldsymbol{m} \cdot \omega=0 .-$ Прим. ред.

тельно, рассмотрим систему с двумя степенями свободы и гамильтонианом (2.4.1):
\[
H=H_{0}\left(J_{1}, J_{2}\right)+\varepsilon \sum_{l, m} H_{l m}\left(J_{1}, J_{2}\right) e^{i\left(l \theta_{1}-m \theta_{2}\right)} .
\]

Выбирая резонанс с $l=r, m=s$ и $\omega_{2} / \omega_{1}=r / s$, подставляя в (3.2.8) с $\partial f / \partial \omega_{1}=r, \partial f / \partial \omega_{2}=-s$ и учитывая, что из уравнений Гамильтона $d J_{1} / d J_{2}=-r / s$, получаем условие на нелинейность в виде
\[
r^{2} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{1}^{2}}-2 r s \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{1} \partial J_{2}}+s^{2} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{2}^{2}}
eq 0 ;
\]

оно используется также при доказательстве теоремы КАМ. В случае произвольного числа степеней свободы аналогичный результат приведен в $\S 3.3$ работы [70]:
\[
m_{i} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{i} \partial J_{j}} m_{j}
eq 0 .
\]

Поучительно получить соотношение (3.2.12) с помощью резонансной теории возмущений (§2.4). Используя производящую функцию (2.4.5),
\[
F_{2}=\left(r \theta_{1}-s \theta_{2}\right) \widetilde{J}_{1}+\theta_{2} \tilde{J}_{2},
\]

перейдем в гамильтониане (3.2.11) к новым переменным (2.4.6). Разлагая гамильтониан в окрестности резонансного значения переменной действия и усредняя по быстрой фазе, находим в низшем порядке по $\varepsilon$ :
\[
\Delta \widetilde{H}=\frac{\partial^{2} \tilde{H}_{0}}{\partial \widetilde{J}_{1}^{2}} \frac{\left(\Delta \widetilde{J}_{1}\right)^{2}}{2}+2 \varepsilon H_{r s} \cos \tilde{\theta_{1}},
\]

где для простоты амплитуда $H_{r s}$ принята действительной. Если $\partial^{2} \widetilde{H}_{0} / \partial \widetilde{J}_{1}^{2}$, то нелинейность появляется лишь в более высоком порядке, и ширина сепаратрисы не будет ограничена величиной порядка $\varepsilon^{1 / 2}$. Таким образом, мы получили условие на нелинейность, эквивалентное (3.2.12):
\[
G=\frac{\partial^{2} \widetilde{H}_{0}}{\partial \widetilde{J}^{2}}
eq 0 .
\]

Это условие разделяет системы на невырожденные $\left(\partial^{2} \widetilde{H}_{0} / \partial \widetilde{J}_{1}^{2}
eq 0\right.$ ), или сильно нелинейные, и вырожденные ( $\partial^{2} \widetilde{H}_{0} / \partial \widetilde{J}_{1}^{2}=0$ ), или слабо нелинейные. Именно невырожденные системы удовлетворяют условиям теоремы КАМ. Покажем эквивалентность условий (3.2.16) и (3.2.12). Представляя (3.2.16) в виде
\[
\frac{\partial^{2} \widetilde{H}_{0}}{\partial \widetilde{J}_{1}^{2}}=\frac{i \partial}{\partial \widetilde{J}_{1}}\left(\frac{\partial H_{0}}{\partial J_{1}} \frac{\partial J_{1}}{\partial \widetilde{J}_{1}}+\frac{\partial H_{0}}{\partial J_{2}} \frac{\partial J_{2}}{\partial \widetilde{J}_{1}}\right)
eq 0
\]

и учитывая, что $\partial J_{1} / \partial \tilde{J}_{1}=r$, а $\partial J_{2} / \partial \widetilde{J}_{1}=-s$, получаем (3.2.12).

Величину необходимой нелинейности $G$ при заданном $\varepsilon$ можно оценить, потребовав, чтобы максимальное изменение переменной действия $\Delta J_{1}$ было много меньше невозмущенного значения $J_{0}$. Полная ширина сепаратрисы равна $\Delta J_{1}=r \Delta \widetilde{J}_{1}$. Используя (3.2.15), находим
\[
4 r\left(\frac{2 \varepsilon H_{r s}}{G}\right)^{1 / 2} \ll J_{0},
\]

или
\[
G \gg \frac{32 r^{2} \varepsilon H_{r s}}{J_{0}^{2}}
\]

Вырождение, при котором не выполняется условие (3.2.10), встречается во многих системах, представляющих физический интерес. Возникает естественный вопрос: существуют ли инвариантные кривые для таких систем? Представляется, что обычно, хотя и не всегда, общая структура теории КАМ сохраняется и в этом случае ${ }^{1}$ ). Мы уже рассматривали два таких примера: задачу Хенона-Хейлеса (§ 1.4) и резонанс волна-частица (§ 2.4). Еще один пример – «әффекты встречи» в накопительных кольцах [404 [ 2). Во всех этих задачах не зависящая от фаз часть гамильтониана имеет вид
\[
H_{0}=\omega_{0} \cdot J+\varepsilon H_{10}(J),
\]

а нелинейность возникает из члена возмущения с $\boldsymbol{m}=0$. Хотя величина нелинейности $G$ порядка $\varepsilon$, условие на нелинейность (3.2.18) все еще может выполняться. Таким образом, инвариантные кривые могут существовать и для вырожденных систем. Если теперь рассмотреть резонансы второго и более высоких порядков, как это было сделано в $§ 2.4$, то соответствующие им гамильтонианы оказываются, как правило, невырожденными. Таким образом, структура фазового пространства вырожденных и невырожденных систем является, вообе говоря, сходной.

Отметим, что есть также особые случаи вырождения, когда инвариантные кривые не существуют. Интересным примером служит система, рассмотренная Лансфордом и Фордом [286], а также Контопулосом [89]. Следуя Контопулосу, запишем гамильтониан системы в виде
\[
\begin{array}{c}
H=\omega_{1} I_{1}+\omega_{2} I_{2}+\omega_{3} I_{3}+\varepsilon\left[\alpha \cos \left(m_{1} \theta_{1}-m_{2} \theta_{2}+m_{3} \theta_{3}\right)+\right. \\
\left.+\beta \cos \left(n_{1} \theta_{1}+n_{2} \theta_{2}+n_{3} \theta_{3}\right)\right],
\end{array}
\]

где $\alpha$ и $\beta$ – некоторые нелинейные функции $I_{i}$, а $m_{i}, n_{i}$ – целые числа. Так как гамильтониан зависит только от двух линейных
1) Обобщение на вырожденные системы проведено Арнольдом и Мозером (см. [11], §10 и [374], §34).-Прим. ред.
2) См. также [207].- Прим. ред.

комбинаций фаз, то преобразование вида (2.4.5) оставляет лишь две новые фазы:
\[
\widetilde{H}=\tilde{\omega}_{1} \tilde{I}_{1}+\tilde{\omega}_{2} \tilde{I}_{2}+\tilde{\omega}_{3} \tilde{I}_{3}+\varepsilon\left[\alpha \cos \tilde{\theta}_{\mathbf{1}}+\beta \cos \tilde{\theta}_{2}\right],
\]

где $\tilde{\theta}_{1}=m_{1} \theta_{1}+m_{2} \theta_{2}+m_{3} \theta_{3}, \tilde{\theta}_{2}=n_{1} \theta_{1}+n_{2} \theta_{2}+n_{3} \theta_{3}, \tilde{\omega}_{1}=$ $=m_{1} \omega_{1}+m_{2} \omega_{2}+m_{3} \omega_{3}$ и т. д. Поскольку гамильтониан не зависит от $\tilde{\theta}_{3}$, то $\tilde{I}_{3}$ – сохраняется, и задача приводится к двум степеням свободы. Однако если выбрать частоты так, что $\widetilde{\omega}_{1}=\widetilde{\omega}_{2}=0$, как это сделали Лансфорд и Форд, то гамильтониан приведенной системы принимает вид
\[
\tilde{H}=\varepsilon\left[\alpha \cos \tilde{\theta}_{1}+\beta \cos \tilde{\theta}_{2}\right] .
\]

В отличие от задачи с волной (см. п. 2.4в) разделение на быстрые и медленные переменные здесь невозможно. Следовательно, неприменима и резонансная теория возмущения. Фактически рассматриваемая система вообще не имеет малого параметра ${ }^{1}$ ), т. е. не близка к интегрируемой. В таком случае нет основания ожидать существования инвариантных кривых даже в пределе $\varepsilon \rightarrow 0$. Это и было обнаружено Лансфордом и Фордом путем численного интегрирования уравнений движения ${ }^{2}$ ).
Условие на гладкость возмущения. Необходимую гладкость возмущения (число его непрерывных производных) можно определить, исходя из представления о том, что инвариантные кривые существуют только вне всех резонансных областей. Если все фазовое пространство между двумя резонансами низшего порядка заполнено другими резонансами, разумно заключить, что инвариантные кривые здесь не существуют. Рассмотрим снова простейший случай двух степеней свободы с гамильтонианом (3.2.11). Будем считать, что невозмущенный гамильтониан $H_{0}$ зависит от $J_{2}$ линейно, и положим $\omega_{1} / \omega_{2}=s$. Тогда расстояние между целыми резонансами по частоте $\delta \omega_{1} \leftrightharpoons \omega_{2}=$ const и не зависит от $J_{1}$ и $J_{2}$ (см. рис. 3.2,б). Между этими целыми резонансами расположены дробные резонансы с отношением частот $\omega_{1} / \omega_{2}=s+p / q$, где $p, q$ – целые числа и $p<q$. В (3.2.11) при $l=q$ это соответствует целым числам
\[
m(p, q)=p+s q \text {. }
\]

Используя выражение (2.4.31) для ширины сепаратрисы отдельного резонанса
\[
\Delta \widetilde{J}_{1}=4\left(\frac{2 \varepsilon H_{q m}}{G}\right)^{1 / 2},
\]
1) Поскольку характер ее движения вообще не зависит от величины $\varepsilon$, которая определяет лишь масштаб времени.- Прим. ред.
${ }^{2}$ ) Принятое выше условие $\widetilde{\omega}_{1}=\widetilde{\omega}_{2}=0$ означает наличие двух независимых резонансов в невозмущенной линейной системе (3.2.20). Отсутствие таких резонансов и есть дополнительное условие применимости теории КАМ к вырожденным системам (см. примечание редактора на с. 190).- Прим. ред.

а также соотношения $\Delta J_{1}=q \Delta \widetilde{J}_{1}$ и $G=q^{2} \partial^{2} H_{0} / \partial J_{1}^{2}=q^{2} \bar{G}$, получаем
\[
\Sigma \Delta J_{1}=4\left(\frac{2 \varepsilon}{\bar{G}}\right)^{1 / 2} \sum_{p, q} H_{q m}^{1 / 2},
\]

где суммирование производится по всем вторичным резонансам. Поскольку
\[
\Delta \omega_{1}=\frac{\partial \omega_{1}}{\partial J_{1}} \Delta J_{1}=\bar{G} \Delta J_{1},
\]

то отношение суммарной ширины вторичных резонансов, заштрихованных на рис. 3.2 , 6 , к расстоянию между первичными резонансами равно
\[
\frac{\Sigma \Delta \omega_{1}}{\delta \omega_{1}}=\frac{4(2 \varepsilon \bar{G})^{1 / 2}}{\omega_{2}} \sum_{p, q} H_{q m}^{1 / 2} .
\]

Предположим теперь, что возмущение в гамильтониане имеет $S$ непрерывных производных. Так как величина $m$ пропорциональна $q$, то фурье-амплитуды убывают при больших $q$ по закону ${ }^{1}$ )
\[
H_{q m} \sim \frac{\Lambda_{0}}{q^{s+2}},
\]

где $\Lambda_{0}$ – некоторая постоянная. Подставляя эту оценку в $(3.2 .26$ и замечая, что
\[
\sum_{p} H_{q m}^{1 / 2} \sim q H_{q m}^{1 / 2},
\]

получаем
\[
\frac{\Sigma \Delta \omega_{1}}{\delta \omega_{1}} \sim \frac{4\left(2 \varepsilon \bar{G} \Lambda_{0}\right)^{1 / 2}}{\omega_{2}} \sum_{q=1}^{\infty} q^{-S: 2} .
\]

При $S>2$ эта сумма сходится к некоторому положительному числу $\sigma$. Таким образом, независимо от коэффициента перед суммой мы приходим к важному условию существования инвариантных торов:
\[
S>2 \text {. }
\]

Можно сравнить этот результат с условием применимости теоремы КАМ, записав соотношение (3.2.3) для случая двух степеней свободы в виде
\[
\left|\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}-\frac{r}{s}\right|>\gamma s^{-(\tau+1)} .
\]
1) В случае двух степеней свободы достаточно наложить условие на гладкость только по одной из фаз, так как зависимость от другой фазы можно исключить переходом к отображению. Оценка для коэффициентов Фурье (3.2.27) справедлива при следующих дополнительных условиях (см., например, [548]): 1) $\left|H_{q m}\right|$ убывают монотонно с $\left.q ; 2\right)(S+1)$-я производная ограничена и имеет конечное число разрывов.- Прим. ред.

Левую часть этого неравенства можно рассматривать как относительную ширину одного из дробных резонансов, которая исключается неравенством (3.2.31). Просуммируем теперь по всем дробным резонансам, лежащим между двумя целыми резонансами, т. е. на единичном интервале отношения частот $\omega_{1} / \omega_{2}$, учитывая, что число возможных значений $r$ на этом интервале не превышает $s$. Суммарную величину исключаемого интервала $\mathscr{M}$ (по мере Лебега, см., например, [374 ]) можно найти, умножая (3.2.31) на $s$ и затем суммируя по $s$. Получаем
\[
\mathscr{M}>\gamma \sum_{s=1}^{\infty} s^{-\tau} .
\]

Сравнивая выражения (3.2.32) и (3.2.29), мы видим, что $\tau$ соответствует величина $S / 2$, а $\gamma \sim\left(\overline{\varepsilon G} \Lambda_{0}\right)^{1 / 2} / \omega_{2}$. Қак и в (3.2.29), сумма в (3.2.32) сходится при $\tau>1$. Как показал Мозер (см. [374]), этого хватает для существования инвариантных торов. Если учесть, что гамильтониан (3.2.11) является интегралом соответствующего отображения [см. (3.1.27)], то отсюда можно прийти к заключению, что для существования инвариантных кривых двумерных отображений достаточно двух непрерывных производных для самого отображения или трех производных для соответствующего гамильтониана. Мозер утверждает [310], что для доказательства существования инвариантных кривых достаточно потребовать ${ }^{1}$ ) $S>4$, и высказывает предположение, что это условие можно фактически ослабить до $S>3$. Приведенные в п. 3.46 численные данные указывают на существование инвариантных кривых ${ }^{2}$ ) при $S \geqslant 2$, аналогичный результат был получен Чириковым [70]. Однако при $S=0$ это уже не так (п. 3.4б). С другой стороны, Тэкенс [402] построил пример, в котором нет инвариантных кривых и при $S=2$. Таким образом, как и Мозер [310], мы можем предположить, что условия $S>3$ всегда достаточно для существования инвариантных кривых ${ }^{3}$ ). Можно также думать, что в некоторых слу-
1) Здесь и ниже приведены значения $S$ для гамильтониана. Следует иметь в виду, что в общем случае параметр гладкости $S$ может быть и не целым числом, как это видно из фурье-представления возмущения (3.2.27).Прим. ред.
2) Этот вывод противоречит условию (3.2.30) и является спорным, в частности, в работах $[70,475]$ интерпретация аналогичных численных данных совсем иная (см. примечание редактора на с. 227).- Прим. ред.
) При сравнении условия (3.2.30) с цитированными результатами математических работ следует иметь в виду, что в последних рассматриваются любые возмущения определенного класса непрерывности (по Гёльдеру) $C^{l}$, не ограниченные неявно принимаемыми в основном тексте дополнительными условиями (см. примечание редактора на с. 192). Если понимать $S$ как параметр убывания коэффициентов Фурье в (3.2.27), то утверждение Мозера соответствует $S>3$ и подтверждается последними результатами Германа и Рюссмана (см. [476]), а гипотеза Мозера $S>2$ опровергается контрпримерами Германа для любого $S<3$.- Прим. ред.

чаях инвариантные кривые могут существовать и при двух непрерывных производных возмущения в гамильтониане.

Расчеты, приводящие для двух степеней свободы к условию (3.2.30), были выполнены Чириковым [70] в общем виде для $N$ степеней свободы. Он получил следующее необходимое условие существования инвариантных торов ${ }^{1}$ ):
\[
S>2 N-2 .
\]

Для этого же случая Мозер [309] получил строгое достаточное условие
\[
S>2 N+2
\]

в предположении, что величина $\gamma$, стремящаяся к нулю вместе с $\varepsilon$, выбрана также достаточно малой. Отметим, что это более сильное требование, чем гипотеза Мозера $S>3$ для двумерных отображений ${ }^{2}$ ).
Достаточная иррациональность и умеренная нелинейность. Предполагая, что сумма в (3.2.29) сходится к некоторому $\sigma$, мы видим, что инвариантные кривые не существуют, если $\alpha=\omega_{1} / \omega_{2}$ лежит внутри одного из заштрихованных на рис. 3.2, в интервалов ${ }^{3}$ ). Так как ширина этих интервалов пропорциональна ( $\varepsilon G)^{1 / 2}$ и убывает с ростом $q$, то необходимо, чтобы величина $\alpha$ лежала достаточно далеко от любого рационального значения $p / q$. При малых $\varepsilon$ это условие легко выполнимо, но с ростом $\varepsilon$ инвариантные кривые существуют лишь для таких иррациональных $\alpha$, которые наиболее плохо аппроксимируются рациональными числами. С этой точки зрения самым иррациональным числом является золотое сечение: $\alpha=(\sqrt{5}-1) / 2 \equiv \alpha_{g}$. Грин [165] дал очень точный критерий возникновения сильной стохастичности в предположении ${ }^{4}$ ), что инвариантная кривая с $\alpha=\alpha_{g}$ разрушается последней (с ростом $\varepsilon$ ). Мы опишем метод Грина и его результаты в гл. 4.

Положив левую часть (3.2.29) равной единице, получим условие малости возмущения $\varepsilon$ :
\[
4\left(2 \varepsilon \bar{G} \Lambda_{0}\right)^{1 / 2} \leqslant \frac{\omega_{2}}{\sigma},
\]
1) Обобщение этого результата на случай явной квазипериодической зависимости от времени дано в работе [477]. – Прим. ред.
2) Оценку Мозера (3.2.34) можно, по-видимому, улучшить, если учесть, что фактически гладкость по одной из $N$ фаз несущественна (см. примечание редактора на с. 192), т. е. $N \rightarrow N-1$. Считая, как и выше, $S$ параметром в (3.2.27) (см. примечание редактора на с. 193), получаем $S>2 N-1$. Оценка (3.2.33) при этом не изменится. – Прим. ред.
3) Правильнее сказать, что пока мы не уверены, существуют ли инвариантные кривые внутри этих интервалов. На самом деле размер областей, где они действительно разрушаются, много меньше (см. [70] и п. 4.26).Прим. ред.
4) Обсуждение этой гипотезы см. в работе [76].- Прим. ред.

а также (при заданном $\varepsilon$ ) некоторое ограничение на нелинейность сверху. Используя выражения (3.2.18) и (3.2.35), приходим к условию умеренной нелинейности
\[
\frac{32 \varepsilon \Lambda_{0}}{J_{0}^{2}}<\bar{G}<\frac{\omega_{2}^{2}}{32 \varepsilon \Lambda_{0} \sigma^{2}} .
\]

При этом в (3.2.18) мы положили $\left(r^{2} / q^{2}\right) H_{r s} \sim \Lambda_{0}$. Аналогичные оценки были получены Чириковым $[70]$.

При доказательстве теоремы КАМ [308] возмущение $\varepsilon$ приходится, вообще говоря, полагать чрезвычайно слабым. Чириков [67] нашел, что критическую величину возмущения можно оценить из условия перекрытия целых резонансов, изображенных на рис. 3.2, б. Численные эксперименты показали, что этот критерий дает разумную оценку для величины возмущения, при которой разрушаются последние инвариантные кривые, проходящие между этими резонансами. Используя аналитические и численные результаты с учетом дробных резонансов $q=2$ и $q=3$, Чириков [70] усовершенствовал критерий перекрытия и получил весьма точные предсказания для границы стохастичности. Критерий перекрытия резонансов и связанные с ним другие критерии перехода к стохастичности для некоторого класса типичных возмущений будут подробно рассмотрены в гл. 4.
* 3.26. Рациональные числа вращения и структура резонансов

Продолжим изучение возмущенного отображения поворота (3.1.13). Қак мы уже знаем, согласно теореме КАМ, инвариантные кривые с иррациональным значением $\alpha$, достаточно удаленным от рациональных значений $r / s$, сохраняют свою топологию и лишь слегка деформируются при малом возмущении. Однако при рациональных значениях $\alpha=r / s$ и вблизи них теорема ҚАМ неприменима. Для исследования структуры отображений в этом случае воспользуемся более ранней теоремой.

Теорема Пуанкаре-Биркгофа. В случае невозмущенного отображения поворота (3.1.8) любая точка на окружности $\alpha(J)=r / s$ является периодической ${ }^{1}$ ) с периодом $s$ (см. рис. 3.1,б). Теорема Пуанкаре-Биркгофа утверждает, что возмущенное отображение поворота будет иметь $2 k s$ периодических точек ( $k=1,2, \ldots$ ). Поясним это, используя рис. 3.3.

Предположим для определенности, что $\alpha(J)$ возрастает с $J$. Тогда вне кривой, соответствующей рациональному значению $\alpha(J)=r / s$, существует инвариантная кривая $\alpha>r / s$, которая после
1) В оригинале – fixed point (неподвижная точка), термин, который относится не к исходному отображению $T$, а к его $s$-й степени $T^{\mathrm{s}}$, т. е. к отображению после $s$ итераций.- Прим. перев.

$s$ итераций отображения окажется повернутой против часовой стрелки (наружные стрелки на рис. 2.3). Существует и инвариантная кривая с $\alpha<r / s$, которая после $s$ итераций окажется поверну-

Рис. 3.3. K теореме Пуанкаре-Биркгофа.
Пересечения сплошной кривой, для всех точек которой полярный угол $\theta$ остается неняменным после $s$ итераций, с $s$-й итерацией этой кривой (пунктирной) определяют перноднческие точки отображения.

той по часовой стрелке (внутренние стрелки). Следовательно, между этими двумя кривыми должна существовать некая (не инвариантная) кривая (на рис. 3.3 – сплошная линия), угловые координаты точек которой не изменяются после $s$ итераций. Радиальные же координаты изменяются таким образом, что сплошная линия на рис. 3.3 переходит в пунктирную. Так как отображение сохраняет площадь, то обе кривые ограничивают одинаковые площади. А это возможно, лишь если эти кривые взаимно пересекаются четное число раз. После $s$ итераций каждая точка пересечения возвращается в исходное положение и, таким образом, каждая из $s$ ее итераций является периодической точкой. При четном числе пересечений всего должно быть $2 k s$ таких точек, которые называются периодическими точками Пуанкаре-Биркгофа. Теорема ничего не говорит о величине $k$, хотя обычно $k=1$.

Если мы более подробно рассмотрим отображение в окрестности периодических точек на рис. 3.3 , то заметим, что существуют два различных типа поведения. Вблизи эллиптической точки (см. рис. 3.3) соседние точки как бы вращаются вокруг нее. В противоположность этому вблизи гиперболической точки соседние точки уходят из ее окрестности. Мы уже встречались с поведением такого типа при рассмотрении движения в фазовом пространстве простого маятника в §1.3. Там мы нашли цепочки чередующихся эллиптических и гиперболических точек, причем первые окружены регулярными траекториями, а вторые соединены между собой сепаратрисами. Такая картина является типичной для нелинейных колебаний при малом возмущении.

Эллиптические точки. В § 2.4 путем перехода к переменным, связанным с эллиптической точкой, нам удалось исследовать все более и более мелкие области регулярного движения на фазовой плоскости. Мы видели, что вокруг эллиптической точки существует своя система резонансов (периодических точек) более высокого порядка, движение вокруг которых повторяет исходное на более мелком масштабе. Было показано также [см. (2.4.62) и последующее обсуждение], что возмущение в высших порядках очень быстро уменьшается с $s$ (пропорционально $1 / s$ !). Если исходное возмущение мало, то фазовая плоскость заполнена, в основном, инвариантными кривыми, топология которых такая же, как и у невозмущенной системы. Остальная часть фазовой плоскости вокруг эллиптических точек заполнена инвариантными кривыми другой топологии. Можно ли сказать, что вся фазовая плоскость заполнена инвариантными кривыми все возрастающей сложности и все более мелких масштабов, пока с ростом возмущения вся эта структура внезапно не разрушается, переходя в стохастичность? Оказывается, что нет. В типичном случае области стохастичности существуют в окрестности сепаратрис (связанных с гиперболическими точками) при любом возмущении и растут вместе с ним.

Гиперболические точки. Рассмотрим поведение отображения в окрестности гиперболической точки. Мы уже знаем, что осциллятор с одной степенью свободы, как, например, маятник, имеет сепаратрису, которая соединяет гиперболические точки, приближаясь к одной из них и удаляясь от другой. У маятника есть лишь одна гиперболическая точка, но в общем случае имеется цепочка из $k s$ гиперболических точек. В интегрируемом случае они соединяются между собой гладкой сепаратрисой. В случае же неинтегрируемой системы с несколькими степенями свободы или соответствующего отображения вида (3.1.13) ситуация оказывается значительно более сложной. Следуя Берри [26], мы качественно опишем картину

Рис. 3.4. Гомоклинная точка и стохастичность вблизи сепаратрисы (числовые данные из работы [107]).
$a-$ входящая $\left(H^{+}\right)$и выходящая ( $H^{-}$) сепаратрисы пересекаются в бесконечном числе точек (схема); б – более подробная картина пересечений вблизи гиперболической точки.

поведения сепаратрис, основанную на работах Пуанкаре [337], Биркгофа [30] и Смейла [381] 1). Близкое изложение содержится в книгах Арнольда и Авеза [14] и Мозера [310].

Гиперболическая точка соединяет четыре траектории: две входящие $\left(H^{+}\right)$и две выходящие ( $\left.H^{-}\right)$. Точка $\boldsymbol{x}$ принадлежит сепаратрисе $H^{+}$, если в результате последовательных отображений $T^{n} \boldsymbol{x}$ она приближается к гиперболической точке при $n \rightarrow \infty$. Если же это происходит в результате обратных отображений $T^{-n} x$, то точка $\boldsymbol{x}$ принадлежит сепаратрисе $H^{-}$. Поскольку на сепаратрисе период колебаний бесконечен, движение точки $\boldsymbol{x}$ становится все более и более медленным по мере приближения к гиперболической точке. Рассмотрим теперь две соседние гиперболические точки одного и того же резонанса. В отличие от интегрируемой системы сепаратриса $H^{-}$, выходящая из гиперболической точки, не соединяет ее с соседней, а в типичном случае пересекает сепаратрису $H^{+}$, приходящую в соседнюю (сдвинутую по фазе на $2 \pi / k s$ ) гиперболическую точку. Место пересечения называется гомоклинной точкой, так как она соединяет выходящую и входящую сепаратрисы одного и того же резонанса. Пересечения сепаратрис соседних резонансов называются гетероклинными точками. Легко показать, что если существует одно пересечение, то их существует и бесконечно много.

Такое чрезвычайно сложное поведение можно представить себе несколько более наглядно с помощью следующей схемы, как это было сделано впервые Мельниковым [298 ]. Рассмотрим гиперболическую точку и ее отображение, как показано на рис. 3.4, a. дует, что они пересекаются и в точках $\boldsymbol{x}^{\prime}, \boldsymbol{x}^{\prime \prime}$ и т. д. При этом точка $\boldsymbol{x}^{\prime \prime}$ расположена к $\boldsymbol{x}^{\prime}$ ближе, чем $\boldsymbol{x}^{\prime}$ к $\boldsymbol{x}$. Так как области, заключенные между взаимно пересекающимися кривыми $H^{-}$и $H^{+}$(они заштрихованы на рисунке), являются отображениями одна другой, то их площади равны. Следовательно, между точками $\boldsymbol{x}^{\prime}$ и $\boldsymbol{x}^{\prime \prime}$ кривая $H^{-}$отклоняется от $H^{+}$сильнее, чем между $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{x}^{\prime}$. Последующие пересечения сепаратрис все более и более сближаются, а амплитуда осцилляций $H^{-}$возрастает. На рисунке не изображена сепаратриса $\mathrm{H}^{+}$, приближающаяся к левой гиперболической точке сверху. Она осциллирует так же сильно, как и $H^{-}$справа. Все сказанное относится и к двум другим сепаратрисам в нижней части рисунка. На рис. 3.4, б приведены численные результаты Драгта и Финна [107], иллюстрирующие пересечение сепаратрис в окрестности гиперболической точки. Сепаратриса $H^{-}$, выходящая из соседней гиперболической точки слева, осциллирует при приближении к гиперболической точке справа, а сепаратриса $H^{+}$(не показанная на рис. $3.4, a$ ) осциллирует, удаляясь от нее.
1) Важную роль в этих исследованиях сыграли также работы Мельникова $[298,299]$. – Прим. ред.

Для численного определения сепаратрис, например $\mathrm{H}^{-}$, выбираем произвольную точку на кривой $H^{-}$вблизи той гиперболической точки, из которой она выходит, и проводим прямую между выбранной точкой и ее отображением. Последовательные итерации этого отрезка и дают осциллирующую сепаратрису $\mathrm{H}^{-}$, приближающуюся к соседней гиперболической точке справа.

Сами по себе гомоклинные точки еще не дают полной картины всей этой очень сложной области вблизи сепаратрисы. Так как период фазовых колебаний обращается в бесконечность на сепаратрисе, то в ее окрестности имеется бесконечно много вторичных резонанов, соответствующих высоким гармоникам частоты фазовых колебаний. Қаждый из этих резонансов имеет свою собственную систему чередующихся эллиптических и гиперболических точек, со своим сложным движением в их окрестности и многократными пересечениями как своих сепаратрис, так и сепаратрис первичного резонанса в гетероклинных точках. Все эти сепаратрисы, по-видимому, всюду плотно заполняют доступное им фазовое пространство. Пересечение сепаратрис фактически показывает, что в этой области не могут существовать инвариантные торы вследствие изменения топологии траекторий ${ }^{1}$ ). Подробное обсуждение этих вопросов дано Драгтом и Финном [107]. Однако для малых возмущений все это чрезвычайно сложное поведение происходит лишь в ограниченной инвариантными кривыми области фазового пространства (рис. $3.4, a$ ).
* 3.2в. Полное описание нелинейного отображения

Теперь мы можем полностью описать структуру отображения, например поверхность сечения нелинейного осциллятора с двумя степенями свободы. Очень схематично топология такого отображения дана Арнольдом и Авезом [14 ]. Рассмотрим случай умеренного возмущения, когда многие невозмущенные инвариантные кривые ( $J=$ const, см. рис. 3.1, б) сохраняются и при наличии возмущения. Будем считать для определенности, что $d \omega_{1} / d J_{1}<0$, а $\alpha=$ $=\omega_{01} / \omega_{02}=1 / \pi$ (иррациональное число) при $J_{1}=0$. С ростом $J_{1}$ частота $\omega_{1}$ уменьшается, пока не достигнет значения, соответствующего первому существенному резонансу $\omega_{1}=\omega_{2} / 4$. При этом на поверхности сечения образуется цепочка из четырех островков. Другими словами, если начальные условия траектории совпадают
1) Связь гомоклинной структуры с неинтегрируемостью обсуждалась еще Пуанкаре [337] и была строго доказана в работе [478] (см. также [479, $480 \mathrm{]}$ ). Следует, однако, иметь в виду, что это локальная неинтегрируемость, имеющая место лишь на множестве начальных условий, вообе говоря, малой меры, дополнительном к большинству начальных условий, для которых инвариантные торы сохраняются согласно теории КАМ (см. ниже и [477]).Прим. ред.

с периодической точкой отображения, то соответствующая траектория, помеченная точками $\boldsymbol{x}_{0}, \boldsymbol{x}_{1}, \ldots$ на рис. $3.1,6$, сделает четыре витка вокруг тора. Для близких соседних точек величина $d J_{1} / d t
eq 0$, и их траектории на поверхности сечения охватывают периодические точки. В § 2.4 было показано, как рассчитывать такие замкнутые кривые, другие примеры будут приведены в $\S 3.4$ и 3.5 и в последующих главах. Наши предыдущие качественные рассуждения привели к выводу о чередовании эллиптических и гиперболических точек на поверхности $J=$ const, что совпадает с результатами § 2.4 на основе теории возмущений. Наличие гомоклинных и гетероклинных точек в окрестности гиперболической точки обусловливает существование области хаотического движения, ограниченной инвариантными кривыми.

Увеличивая $J_{1}$, мы придем к следующему существенному резонансу $\omega_{1}=\omega_{2} / 5$ с цепочкой из пяти островков. При дальнейшем увеличении $J_{1}$ будут последовательно встречаться резонансы с числом островков, равным шести, семи и т. д. При этом между каждыми двумя из этих главных резонансов существует еще и бесконечно много промежуточных резонансов, соответствующих всем промежуточным рациональным отношениям частот. Однако величина последних резонансов, как было показано в § 2.4, быстро убывает. Так, например, одним из промежуточных резонансов между двумя главными резонансами с $\alpha=1 / 4$ и $\alpha=1 / 5$ является резонанс с $\alpha=2 / 9$, т. е. с $r=2$ и $s=9$. Erо размер относится к размеру резонанса с $\alpha=1 / 5$ как квадратный корень из отношения соответствующих амплитуд фурье-разложения возмущения. В самом деле, используя выражение (2.4.31), получаем
\[
\widetilde{\Delta J} \tilde{J}_{1} \sim\left|\frac{\varepsilon H_{r,-s}}{\partial^{2} \widetilde{H}_{0} / \partial \widetilde{J}_{1}^{2}}\right|^{1 / 2},
\]

где $H_{r,-s}$ – амплитуда фурье-разложения соответствующей резонансной гармоники. Максимальная величина фурье-амплитуды равна (см. п. 2.4б):
\[
H_{r,-s}^{\text {макс }} \approx \mathscr{F}_{s}(\pi),
\]

где $\mathscr{F}_{s}$ – функция Бесселя. В результате находим грубую оценку отношения размера резонансов:
\[
\frac{\Delta J(s / r=9 / 2)}{\Delta J(s / r=5)} \approx\left[\frac{\mathscr{J}_{9}(\pi)}{\mathcal{F}_{5}(\pi)}\right]^{1 / 2} \approx 0,1 .
\]

Таким образом, относительный размер резонансов более высоких гармоник весьма мал.

В итоге мы приходим к качественной картине структуры отображения, представленной на рис. 3.5, a. Инвариантные кривые изображены здесь сплошными линиями. Те из них, которые окру-

Рис. 3.5. Регулярные и стохастические траектории при относительне большом возмущении.
$a$ – вблизи первичного резонанса; 6 – вблизи вторичного резонанса (увеличено и растянуто по вертикали).

жают начало координат ( $J_{1}=0$ ), при наличии возмущения уже не являются окружностями и соответствуют новым интегралам движения $\bar{J}_{1}=$ const, а $J_{1}$ является периодической функцией фазы. Приближенные значения этих инвариантов можно получить методом усреднения ( $\$ 2.3$ ). Инвариантные кривые, окружающие эллиптические точки, нельзя найти таким способом, но они получаются с помощью резонансной теории возмущений (§2.4). Для траекторий же вблизи сепаратрис интеграл движения не существует, и они заполняют на поверхности сечения некоторую конечную область. Несколько таких областей показаны на рис. 3.5, a штриховкой. Они ограничены инвариантными кривыми. Между резонансом с $\alpha=1 / 4$ и $\alpha=1 / 5$ расположен более мелкий, но все еще различимый резонанс с $\alpha=2 / 9$. Есть, конечно, и все другие промежуточные резонансы. Однако они не показаны на рисунке либо потому, что имеют слишком малые размеры и неразличимы в принятом масштабе, либо потому, что они целиком погружены в хаотические области других резонансов.

Что же мы увидим, если увеличить масштаб в окрестности какого-либо островка одного из резонансов? Для этого перейдем сначала к новым переменным $\widetilde{J}_{1}, \widetilde{\theta}_{1}(\S 2.4)$ и введем новую переменную действия
\[
I_{1}=\frac{1}{2 \pi} \oint \widetilde{J}_{1} d \tilde{\theta}_{1},
\]

соответствующую замкнутой траектории вокруг эллиптической точки с заданным $\alpha$. При этом траектории исходного резонанса преобразуются в систему концентрических окружностей. Однако резонансы между этими колебаниями и основными частотами системы приводят к возникновению вторичных резонансов, которые деформируют окружности. Мы уже рассматривали вторичные резонансы в п. 2.46 и нашли, что их размер и частота фазовых колебаний экспоненциально малы ${ }^{1}$ ) с показателем, пропорциональным $(1 / \alpha)^{1 / 2}$. Для ширины вторичных резонансов можно получить оценку, аналогичную (3.2.37). Мы отложим это до гл. 4, а сейчас ограничимся качественной иллюстрацией результата с помощью рис. 3.5 , б. Отметим, что отношение размера вторичных резонансов к расстоянию между ними значительно меньше, чем для первичных резонансов. Эта качественная картина резонансов разных масштабов подтверждает вывод теории КАМ (п. 3.2a): при достаточно малом возмущении бо́льшая часть фазового пространства заполнена инвариантными торами.

Следующие соображения помогут лучше представить себе эту иерархию резонансов. Возьмем произвольную точку поверхности сечения и будем растягивать область вокруг этой точки, пока не
1) Точнее, см. оценку (2.4.62).- Прим. ред.

увидим какую-то резонансную структуру. Для достаточно малого возмущения выбранная точка будет с большой вероятностью лежать на инвариантной кривой, хотя вокруг нее и расположены стохастические области различных резонансов. Повторим теперь эту процедуру, т. е. снова выберем произвольную точку в пределах растянутой области и продолжим растяжение области, пока не увидим структуру следующего масштаба. В этом новом масштабе значительно меньшая часть площади будет стохастической, и вероятность выбранной точки попасть на инвариантную кривую существенно возрастает. На каждом следующем масштабе доля стохастической области будет экспоненциально уменьшаться, а вероятность попадания произвольной точки на инвариантную кривую будет быстро стремиться к единице. Тем не менее всегда существует конечная вероятность попадания и в стохастическую область. Если это случилось, то все последующие растяжения будут обнаруживать уже только стохастические траектории.
* 3.2r. Численный пример

Исследования нелинейной динамики (в том числе и методом сечения Пуанкаре) путем численного интегрирования уравнений Гамильтона очень трудоемки, поскольку шаг интегрирования должен быть много меньше характерного периода движения. В отличие от этого прямое итерирование заданного на том же периоде отображения может быть легко выполнено на сотни тысяч периодов и дает в существенных чертах ту же картину движения, что и уравнения Гамильтона. Такие отображения интенсивно использовались в различных исследованиях нелинейных колебаний. В § 3.4 мы рассмотрим этим методом задачу об ускорении Ферми [126]. Здесь же проиллюстрируем некоторые обсуждавшиеся выше особенности на примере квадратичного отображения поворота, исследованного Хеноном [185]:
\[
\left(\begin{array}{l}
x_{1} \\
y_{1}
\end{array}\right)=T\left(\begin{array}{l}
x_{0} \\
y_{0}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
x_{0} \cos \psi-\left(y_{0}-x_{0}^{2}\right) \sin \psi \\
x_{0} \sin \psi+\left(y_{0}-x_{0}^{2}\right) \cos \psi
\end{array}\right),
\]

где $\psi=2 \pi \alpha_{0}$, а $\alpha_{0}$ – число вращения соответствующего линейного отображения поворота (3.1.9).

Вблизи начала координат, которое является эллиптической точкой отображения, нелинейный член $x_{0}^{2}$ мал. На рис. 3.6, $a$ и 6 воспроизведены результаты Хенона для $\psi=76,11^{\circ}$. На рис. 3.6, $a$ виден первый главный резонанс с $\alpha=1 / 5$, что соответствует углу поворота $72^{\circ}$. Следовательно, нелинейность в данном случае замедляет вращение. Исследование отображения в окрестности гиперболической точки этого резонанса приводит к любопытной картине, представленной на рис. 3.6, б. Видны вторичные и третичные резонансы, а также хаотическая траектория (длиной в 50000 Рис. 3.6. Траектории отображения Хенона (3.2.40) при $\alpha_{0}=0,2114$ (по данным работы $[185])$.
$a$ – первый целый резонанс на пятой гармонике; б – увеличенный участок фазовой плоскости вблизи сепаратрисы целого резонанса. Видны вторичные и третичные резонансы.

итераций), заполняющая некоторую область вблизи гиперболической точки. На рис. 3.7 показаны осцилляции сепаратрисы, соответствующей $H^{-}$на схеме рис. 3.4. Данные получены численно Қатхиллом и представляют 146 итераций короткого отрезка сепаратрисы вблизи гиперболической точки.

Многие регулярные особенности структуры отображения на рис. 3.6 можно получить аналитически. Мы вернемся к этому во-

Рис. 3.7. То же, что на рис. 3.6, б для $\alpha_{0}=0,1845$ (по данным работы [26]). Сплощная линия – одна из сепаратрис.

просу позже, поскольку такие вычисления более естественно проводить после исследования устойчивости периодических траекторий, которому посвящен следующий параграф.