Диссипативные системы обладают той особенностью, что при их движении фазовый объем сжимается к аттрактору более низкой размерности, чем исходное пространство. При этом если какойлибо параметр системы изменяется, то регулярное движение на аттракторе может смениться хаотическим, и наоборот. Хотя наши знания о хаотическом поведении диссипативных систем ни в коей мере нельзя считать полными, все же к настоящем̆у времени многие особенности такого движения хорошо изучены. Разработаны также методы теоретического анализа диссипативных систем.

В первом параграфе этой главы обсуждаются основные свойства диссипативных систем, такие, как сжатие фазового объема и регулярное движение на простых аттракторах. Затем вводится понятие странного аттрактора со стохастическим движением. В § 1.5 уже приводился пример странного аттрактора. Здесь же обсуждаются два других примера диссипативных систем со странными аттракторами: система Рёслера и отображение Хенона. Особое внимание обращается на те свойства хаотического движения, которые связаны с возможностью перехода к одномерному отображению, а также с геометрической структурой странного аттрактора. Эта геометрия описывается в терминах канторовых множеств дробной фрактальной размерности. Обсуждаются способы вычисления такой размерности и ее связь с показателями Ляпунова.

В $\S 7.2$ рассматривается динамика необратимых одномерных отображений, начиная с их периодических точек, линейной устойчивости и структуры бифуркаций. Затем исследуется хаотическое движение и его связь с показателями Ляпунова, асимптотическими распределениями, спектром мощности, а также инвариантные свойства движения.

В $\S 7.3$ рассматриваются двумерные обратимые отображения и связанные с ними потоки. Показывается, что последовательность бифуркаций удвоения периода, приводящая к хаотическому движению, аналогична найденной для одномерных отображений. Далее описывается метод Мельникова для определения перехода от регулярного движения к стохастическому. Метод иллюстрируется на примере вынужденных колебаний нелинейного осциллятора с затуханием. Описан метод вычисления инвариантных распределений с помощью уравнения ФПК.

Наконец, в § 7.4 рассматривается переход к предельному случаю непрерывной среды. Приводится краткий вывод уравнений Лоренца в задаче Рэлея-Бенара о движении подогреваемого снизу слоя жидкости и обсуждаются условия применимости этих уравнений. В заключение описываются различные модели перехода к турбулентности в жидкости и проводится сравнение с имеющимися экспериментальными данными.

Хаотическому движению в диссипативных системах посвящено большое число работ. В частности, одномерные отображения рассматриваются, например, в работах $[82,122,123,296]^{1}$ ). Имеются также прекрасные обзоры $[180,194,324,340,354,368,411]$. Наше изложение ниже основано главным образом на работах $[180,324$, 368 ].
7.1а. Основные свойства

Рассмотрим движение, описываемое $N$ дифференциальными уравнениями первого порядка
\[
\frac{d x}{d t}=V_{i}(x),
\]

где $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{V}-N$-мерные векторы, причем $\boldsymbol{V}$ не зависит явно от времени. Фазовое пространство такой системы характеризуется переменными $x_{i}(i=1, N)$ и имеет размерность $N$. Если $\boldsymbol{V}$ – гладкая функция, то решение для потока $\boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{x}_{0}, t\right)$ существует при всех $t$. Любая точка фазового пространства однозначно определяет состояние системы (7.1.1). В п. 1.2б уже показывалось, как построить сечение Пуанкаре и соответствующее стображение Пуанкаре для гамильтоновой системы. В диссипативных системах такие отображения сохраняют некоторые, но не все свойства, присущие гамильтоновым системам. Как видно из рис. 1.3 , a, на котором изображена поверхность сечения $\sum_{R}$, отображение Пуанкаре строится с помощью интегрирования уравнений (7.1.1) между двумя последовательными пересечениями траектории с $\sum_{R}$. Отображение имеет вид
\[
\boldsymbol{x}_{n+1}=f\left(x_{n}\right),
\]

где $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{f}$ – векторы размерности $N-1$. Если функция $\boldsymbol{V}(\boldsymbol{x})$ является гладкой, а вектор $\boldsymbol{V}$ нигде не касается $\sum_{R}$, то можно показать, что $f(x)$ также гладкая функция. Более того, поскольку решение $\boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{x}_{0}, t\right)$ существует для всех $t$, то функция $f$ обратима, т. е. уравнения (7.1.2) можно однозначно разрешить относительн $\boldsymbol{x}_{n}$ :
\[
\boldsymbol{x}_{n}=f^{-1}\left(\boldsymbol{x}_{n+1}\right) .
\]

Это соответствует изменению знака времени и интегрированию (7.1.1) от $\boldsymbol{x}_{n+1}$ до $\boldsymbol{x}_{n}$.
1) См. также [526-529].- Прим. перев.

Сжатие фазового объема. По теореме Лиувилля (п. 1.2б) при движении гамильтоновой системы ее фазовый объем сохраняется. В противоположность этому в диссипативных системах фазовый объем в среднем сжимается.
Вычислим изменение малого элемента объема $\Delta \tau$ в точке $x_{0}$ :
\[
\Delta \tau\left(x_{0}, t\right)=\prod_{i} \Delta x_{i}
\]

где
\[
\Delta x_{i}\left(x_{0}, t\right)=\frac{\partial x_{i}\left(x_{0}, t\right)}{\partial x_{i 0}} \Delta x_{i 0} .
\]

Скорость изменения $\Delta \tau$ равна
\[
\backslash(x) \equiv \frac{1}{\Delta \tau} \frac{d(\Delta \tau)}{d t}=\sum_{i} \frac{1}{\Delta x .} \frac{d\left(\Delta x_{i}\right)}{d t} .
\]

Из (7.1.5) имеем
\[
\frac{d\left(\Delta x_{i}\right)}{d t}=\frac{\partial}{\partial x_{i 0}} \frac{d x_{i}\left(x_{0}, t\right)}{d t} \Delta x_{i 0} .
\]

Используя (7.1.1) вблизи $t=0$, для нормированного изменения объема получаем из (7.1.6) при $t \rightarrow 0$ :
\[
\Lambda=\sum_{i} \frac{\partial V_{i}}{\partial x_{i}}=\operatorname{div} \boldsymbol{V}
\]

Локальная величина $\Lambda$ зависит от $\boldsymbol{x}(t)$ и может быть как положительной (растяжение), так и отрицательной (сжатие). Однако под диссипативными мы понимаем такие системы, для которых фазовый объем в среднем сжимается. Записывая среднюю скорость сжатия как
\[
\Lambda_{0}\left(x_{0}\right)=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \ln \left|\frac{\Delta \tau\left(x_{0}, t\right)}{\Delta \tau\left(x_{0}, 0\right)}\right|,
\]

потребуем, чтобы $\Lambda_{0}<0$ для всех $\boldsymbol{x}_{0}$.
Для $N$-мерного отображения локальный объем $\Delta \tau$ сжимается за одну итерацию в $|\operatorname{det} \boldsymbol{M}(\boldsymbol{x})|$ раз, где $\boldsymbol{M}$ – матрица Якоби для отображения. Скорость сжатия равна
\[
\Lambda(x)=\frac{1}{\Delta \tau}-\frac{d(\Delta \tau)}{d n}=\ln |\operatorname{det} M(x)|,
\]

где $n$ – число итераций. Усредняя эту величину вдоль траектории, так же как и в (7.1.9), получим $\Lambda_{0}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)$.

Общий случай диссипативных систем с произвольной зависимостью $\Lambda(\boldsymbol{x})$ мало исследован. В большинстве известных задач $\Lambda(x)=-c$, где $c$ – положительная постоянная, т. е. имеет место однородное сжатие всего фазового объема. Очевидно, что для таких систем $\Lambda_{0}=-c$.

Показатели Ляпунова. Среднюю скорость сжатия фазового объема можно выразить через показатели Ляпунова, которые были определены в п. 5.2б для гамильтоновых систем. То же самое определение остается в силе и для диссипативных систем. Для $N$-мерного фазового пространства имеется $N$ показателей, которые можно упорядочить следующим образом:
\[
\sigma_{1} \geqslant \sigma_{2} \geqslant \cdot \geqslant \sigma_{N},
\]

где $\sigma_{1}=\sigma_{\text {макс }}-$ наибольший показатель, а один из остальных показателей, соответствующий смещению вдоль траектории, равен нулю. Используя (5.2.14) и (5.2.16), для средней скорости сжатия получаем
\[
\Lambda_{0}=\sum_{i=1}^{N} \sigma_{i} .
\]

Определение величины $\Lambda_{0}$ согласно (7.1.9) и (7.1.11), равно как и определение самих показателей Ляпунова, применимо как для потоков, так и для отображений, включая отображение Пуанкаре, соответствующее исходному потоку. В последнем случае $N-1$ показателей $\sigma_{i}$ пропорциональны соответствующим показателям потока [см. (5.2.20)], а нулевой показатель опускается.

Хаотическое движение, как и в гамильтоновых системах, связано с экспоненциальной расходимостью близких траекторий, т.е. для хаотического движения $\sigma_{i}>0$. С другой стороны, фазовый объем должен сжиматься. Из эти двух фактов следует, что хаотическое движение для одно- и двумерных потоков невозможно ${ }^{1}$ ). Для двумерного случая ( $N=2$ ) отображение Пуанкаре одномерное (и обратимое), поэтому из (7.1.11) следует, что $\Lambda_{0}=\sigma_{1}$. Такое отображение не может быть одновременно и диссипативным $\left(\Lambda_{0}<0\right)$ и хаотическим ( $\left.\sigma_{1}>0\right)$. Поэтому наиболее простыми системами с хаотическим поведением являются трехмерные потоки или двумерные отображения. В последнем случае для хаотического движения должно быть $\sigma_{1}>0$ и $\sigma_{1}+\sigma_{2}<0$.

В некоторых предельных случаях из обратимых отображений с $N \geqslant 2$ можно получить одномерные необратимые отображения. Их поведение исследуется в § 7.2. Для таких отображений связь растяжения фазового объема с расходимостью близких траекторий нарушена, и при $\sigma_{1}>0$ возникает ограниченное хаотическое движение. Қак будет показано, многие многомерные диссипативные системы приближенно можно свести к одномерным отображениям.
Простые аттракторы. Так как фазовый объем в диссипативных системах сжимается до нуля, то устойчивое стационарное движение
1) Фактически теорема Пуанкаре – Бендиксона утверждает, что хаотическое движение невозможно для любых двумерных потоков, как диссипативных, так и недиссипативных. Мы уже убедились в этом для гамильтоновых систем с одной степенью свободы (двумерное фазовое пространство).

в $N$-мерной системе должно происходить на «поверхности» менышей размерности. Грубо говоря, такую поверхность и называют аттрактором. Более точно, мы будем называть аттрактором, следуя Лэнфорду [254 ], такое подмножество $X$ фазового пространства, которое удовлетворяет следующим условиям:
1) $X$ инвариантно относительно потока;
2) существует (открытая) окрестность $X$, которая сжимается к $X$ под действием потока;

Рис. 7.1. Простые аттракторы.
$I$ – область притяжения фокуса $X_{1} ; 2,3$-область притяжения предельного цикла $X_{2}$.
3) никакая часть $X$ не является переходной ${ }^{1}$ );
4) $X$ нельзя разложить на два непересекающихся инвариантных множества.

Областью притяжения аттрактора $X$ является множество состояний в фазовом пространстве, которые стремятся к $X$ при $t \rightarrow \infty$. Обычно для $N$-мерного потока имеется конечное число аттракторов $X_{1}, \ldots, X_{M}$, хотя известны примеры и с бесконечным числом аттракторов. С точностью до меры нуль все начальные состояния лежат в области притяжения одного из $M$ аттракторов (см. рис. 7.1). $\qquad$
1) То есть траектория не уходит из нее при $t \rightarrow \infty$.- Прим. ред.

Для одномерных потоков единственными аттракторами являются устойчивые неподвижные точки, или устойчивые фокусы (аналогично точке $X_{1}$ на рис. 7.1). Например, для уравнения
\[
\frac{d x}{d t}=V(x, \mu)
\]

Рис. 7.2. Бифуркации в одномерных и двумерных потоках.
$a$– тангенциальная бифуркация; 6 – смена устойчивости; $ө$ – бифуркация удвоения; ? – обратная бифуркация удвоения; $\partial$ – бифуркация Хопфа; e-обратная бифуркацня Хопфа. Случаи ( $a-e$ ) типичны для одномерных потоков; случаи ( $a-e$ ) – для двумер. ных потоков. Сплошные кривые – устойчивые решения, пунктирныс крнвые – неустойчивые решения.

где $V=\mu-x^{2}$, а $\mu$ – некоторый параметр, положение неподвижных точек получается из условия $d x / d t=0$ или $V=-\partial U / \partial x=0$ и равно $\pm \sqrt{\mu}$. Исследуя потенциал $U(x, \mu)$ вблизи неподвижных точек, найдем, что точка $x=+\sqrt{\mu}$ устойчива, а точка $x=$ $=-\sqrt{\mu}$ неустойчива. При $\mu<0$ неподвижные точки для действительных $x$ отсутствуют. Появление двух неподвижных точек при прохождении $\mu$ через нуль иллюстрируется на рис. 7.2 , $а$ и является примером тангенциальной бифуркации. Существуют бифуркации и других типов. Так, для $V=\mu x-x^{2}$ происходит смена устойчивости (рис. 7.2,б). Для $V=\mu x-x^{3}$ имеет место бифуркация удвоения ${ }^{1}$ ) (рис. 7.2, в), при которой вместо одного устойчи-
1) В оригинале – pitchfork bifurcation (бифуркация типа «вилки»).Прим. перев.

вого фокуса возникают два. Возможна также и обратная бифуркация удвоения (рис. 7.2, г). За исключением особых случаев, только эти бифуркации и встречаются в одномерных потоках.

Для ограниченного двумерного потока на плоскости, согласно теореме Пуанкаре-Бендиксона, имеются только два типа аттракторов: 1) устойчивые неподвижные точки, или устойчивые фокусы, и 2) простые замкнутые кривые, или предельные циклы (кривая $X_{2}$ на рис. 7.1). Покажем, как образуется предельный цикл для системы
\[
\begin{array}{l}
\frac{d r}{d t}=\mu r-r^{2}, \\
\frac{d \theta}{d t}=\omega_{0}>0,
\end{array}
\]

где $r, \theta$ – полярные координаты. При $\mu<0$ правая часть (7.1.12а) всегда отрицательная и траектория свертывается к фокусу $r=0$. Для $\mu>0$ вблизи $r=0$ скорость $r$ положительна и неподвижная точка $r=0$ перестает быть притягивающей. Поскольку $\dot{r}>0$ для всех $r<\mu$ и $\dot{r}<0$ для $r>\mu$, то траектория стремится к предельному циклу $r(t)=\mu, \theta(t)=\omega_{0} t+\theta_{0}$.

Превращение устойчивого фокуса в предельный цикл при прохождении $\mu$ через нуль (рис. 7.2,2) называется бифуркацией Хопфа. Возможна также и обратная бифуркация Хопфа (рис. 7.2, е). На рис. 7.2, $a$-e показаны все типичные бифуркации в двумерных потоках ${ }^{1}$ ).
7.16. Примеры странных аттракторов

Наименьшая размерность фазового пространства, в котором возможен странный аттрактор, равна трем, как в модели Лоренца, описанной в § 1.5. Еще более простая система была рассмотрена Рёслером [350], и мы опишем ее ниже. Интересные свойства двумерного отображения со странным аттрактором будут рассмотрены на примере отображения Хенона [187].
Аттрактор Рёслера. Рассмотрим следующую систему нелинейных дифференциальных уравнений [350]:
\[
\begin{array}{l}
\dot{X}=-(Y-Z), \\
\dot{Y}=X+\frac{1}{5} Y, \\
\dot{Z}=\frac{1}{5}+Z(X-\mu) .
\end{array}
\]
1) В трехмерных потоках имеется аналог бифуркации Хопфа, когда предельный цикл становится неустойчивым и переходит в «предельный тор». Однако в общем случае притягивающие торы являются структурно неустойчивыми относительно изменения параметра $\mu$ (см. работу [254]).

Результат моделирования этой системы на аналоговой вычислительной машине для $\mu=5,7$ представлен на рис. $7.3, a$ [368], где показана проекция странного аттрактора на плоскость $X, Y$ (ср. рис. 1.18, б). Рассмотрим сечение аттрактора по линии $(0,1)$, как показано на рис. 7.3 , a. Тогда последовательные значения $X_{n}$ в этом сечении определяются приближенно одномерным необратимым ${ }^{1}$ ) отображением, представленным на рис. 7.3, б. Таким образом, хаотическое движение на аттракторе Рёслера приближенно описывается отображением для $X$.

Рис. 7.3. Аттрактор Рёслера (по данным работы [368]).
${ }^{a}$ – проекция движения на плоскость ( $X, Y$ ); $\sigma$ – одномерное отображение в плоскости $Y=0$.

Переход от трехмерного потока к одномерному отображению является приближенным. Поэтому кривая на рис. 7.3, должна иметь конечную толщину, связанную с тонкой структурой слоя в сечении $Y=0$, который фактически содержит бесконечно много отдельных листов. Однако для этого и многих других странных аттракторов скорость сжатия фазового объема (7.1.8) столь велика, что при любом моделировании все листы кажутся слившимися в один. Поэтому, вообще говоря, одномерное отображение представляет основные особенности поведения исходного потока ${ }^{2}$ ).

Переход от простого к странному аттрактору иногда совершается путем последовательных бифуркаций с удвоением периода, которые сходятся по некоторому параметру к предельному значению. За этим значением движение становится суперпозицией хаотического
1) В том смысле, что обратное отображение неоднозиачно (двузначно).Прим. ред.
2) Вопрос о возможности описания трехмерного потока или двумерного отображения с помощью одномерного отображения обсуждается в п. 7.3в.Прим. перев.

и периодического с обратными бифуркациями удвоения частоты. На рис. 7.4, полученном Кратчфилдом и др. [97] с помощью аналогового моделирования системы (7.1.13), эти бифуркации показаны, начиная с $\mu=2,6$ (a), когда аттрактором является простой

Рис. 7.4. Бифуркации удвоения периода для аттрактора Рёслера в проекции на плоскость $(X, Y$ ) (по данным работы [97]).
Ниже показана спектральная плотность мощности для $Z(t)$; a) $\mu=2,6$; б) $\mu=3,5$; в) $\mu=4,1$; a) $\mu \leftrightharpoons 4,23 ; \partial$ ) $\mu=4,30 ; e$ ) $\mu=4,60$.

предельный цикл. При увеличении $\mu$ видны две первые бифуркации удвоения периода ( $б$ и в). Показанный на рисунке спектр мощности имеет в этих случаях вид острых пиков, характерных для регулярного движения. Ясно видны последовательные удвоения периода. Переход к хаотическому движению происходит при $\mu_{\infty}=4,20$. Возникающий для $\mu>\mu_{\infty}$ странный аттрактор (рис. 7.4, 2-e) имеет вид полосы хаотического движения, которая приближенно соответствует предельным циклам на рис. $7.4, a-$. Соответственно спектр мощности представляет суперпозицию широкополосного шума хаотического движения и острых пиков периодической компоненты. Ясно видны обратные бифуркации удвоения частоты.

Переход к хаотическому движению через бифуркации удвоения периода является, как мы увидим, характерным для широкого класса диссипативных систем как отображений, так и потоков. При этом зависимость бифуркаций от параметра и форма спектра оказываются универсальными вблизи перехода. Эти вопросы будут рассмотрены в $\S 7.2$ и 7.3 .

Топология аттрактора Рёслера показана на рис. $7.5, a$. Аттрактор представляет собой лист, который растягивается по вертикали, поперек траекторий (стрелки), перегибается вдоль траекторий, складывается, и, наконец, его правый и левый края соединяются друг с другом. Аттрактор Лоренца устроен более сложно (рис. 7.5,б). Он состоит из двух листов, которые растягиваются и делятся на две части, причем правый край каждого листа соединяется с левыми краями обоих листов. Можно представить себе и другие топологические структуры странных аттракторов.

Хотя аттрактор Рёслера топологически проще аттрактора Лоренца, однако соответствующее ему одномерное отображение (рис. 7.3, б) имеет области, где производная $\left|d X_{n+1} / d X_{n}\right|<1$. Как показывается в $\S 7.2$, в этом случае доказать хаотичность движения нелегко. Для аттрактора же Лоренца аналогичная производная всюду больше единицы. Доказано, что такие отображения являются хаотическими.

Аттрактор Хенона. Слоистая структура аттрактора хорошо видна на модели Хенона [187], которая описывается простым двумерным квадратичным отображением:
\[
\begin{array}{l}
x_{n+1}=y_{n}+1-a x_{n}^{2}, \\
y_{n+1}=b x_{n} .
\end{array}
\]

Это отображение является обратимым, и его можно рассматривать как отображение Пуанкаре для некоторого трехмерного потока. Сокращение фазовой площади на одну итерацию определяется множителем
\[
|\operatorname{det} \mathbf{M}|=\left|\frac{\partial\left(x_{n+1}, y_{n}+1\right)}{\partial\left(x_{n}, y_{n}\right)}\right|=b .
\]

Можно показать [187], что отображение (7.1.14) является наиболее общим квадратичным отображением с постоянным якобианом. При достаточно большом $x_{0}$ величина $\left|x_{n}\right| \rightarrow \infty$ из-за квадратичного члена. Однако некоторая конечная область вблизи начала координат стягивается к аттрактору. Отображение имеет две неподвижные точки
\[
\begin{array}{l}
x_{ \pm}=(2 a)^{-1}\left\{-(1-b) \pm\left[(1-b)^{2}+4 a\right]^{1 / 2}\right\}, \\
y_{ \pm}=b x_{ \pm}
\end{array}
\]

при условии, что
\[
a>a_{0}=\frac{-(1-b)^{2}}{4} .
\]

Легко проверить, что точка $x_{-}$всегда неустойчива, а точка $x_{+}$ неустойчива при
\[
a>a_{1}=\frac{3(1-b)^{2}}{4} .
\]

При дальнейшем увеличении $a>a_{1}$ численное моделирование показывает последовательность бифуркаций удвоения периода. Аттрактор остается простым и представляет собой $p:=2^{n}$ точек; $p \rightarrow \infty$ при $a \rightarrow a_{2}$. Далее для большинства значений $a$ в интервале $a_{2}<a<a_{3}$ численные эксперименты определенно указывают на существование странного аттрактора. И наконец, для $a>a_{3}$ большинство траекторий уходит на бесконечность.

Чтобы увидеть структуру аттрактора, Хенон выбрал относительно небольшое значение $b=0,3$. В этом случае $a_{0} \approx-0,1225$; $a_{1} \approx 0,3675 ; a_{2} \approx 1,06 ; a_{3} \approx 1,55$. На рис. 7.6, $a$ показан странный аттрактор для $a=1,4$, полученный за $10^{4}$ итераций отображения с начальными условиями вблизи неустойчивой неподвижной точки. Более детальная структура аттрактора видна на рис. $7.4,6-2$, представляющих собой последовательно увеличенные участки фазовой плоскости. Видно, что структура аттрактора при изменении масштаба повторяется, т. е. имеет место масштабная инвариантность $^{1}$ ). Это подобие соответствует структуре канторова множества, которое будет описано в п. 7.1в. Экспоненциальная расходимость близких траекторий, подтверждающая стохастичность движения на аттракторе, численно получена в работах $[99,124$, 375 ].

Рис. 7.6. Слоистая структура аттрактора Хенона (по данным работы [187]). $a$ – траектория с начальными условиями в неустойчивой неподвижной точке; $6-2$ последовательные увеличения малого участка фазовой плоскости (квадрат). Видиа масштабная инварнантность структуры аттрактора.

Странный аттрактор существует не для всех значений $a$ в интервале $a_{2}<a<a_{3}$. Имеется много узких участков, в которых движение является периодическим с периодами $3,4,5 \ldots$ и испытывает бифуркации удвоения периода [375]. Эти особенности движения рассматриваются в $\S 7.2$. $\qquad$
1) Аналогичная структура аттрактора наблюдалась в работе [73] для другого отображения (см. также $[74,530]$ ).- Прим. ред.

Математически доказать стохастичность аттрактора Хенона пока не представляется возможным. Ситуация значительно упрощается для разрывного отображения. Такой аттрактор с заменой $x_{n}^{2}$ на $\left|x_{n}\right|$ в (7.1.14) был рассмотрен Лози [285], а доказательство его хаотичности дано Мисюревичем [301].
7.1в. Геометрия странных аттракторов

Численные данные для отображения Хенона показывают, как мы видели выше, что структура аттрактора повторяется на все более и более мелких масштабах. Ее можно сопоставить с канторовым множеством, свойства которого позволяют значительно лучше понять природу странного аттрактора. Рассмотрим вначале размерность канторова множества. Для этого нам понадобится общее определение фрактальной размерности. Затем мы рассмотрим простой пример канторова множества и найдем его размерность. И наконец, обсудим некоторые методы вычисления и измерения фрактальной размерности странных аттракторов, уделяя основное внимание ее связи с показателями Ляпунова. Наше изложение следует частично обзорам Треве [411] и Отта [324].
Канторовы множества и фрактальная размерность. Примем следующее определение фрактальной размерности ${ }^{1}$ ):
\[
d(S)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{\ln M(\varepsilon)}{\ln (1 / \varepsilon)},
\]

где $S$ – некоторое множество в $N$-мерном пространстве, а $M(\varepsilon)$ минимальное число $N$-мерных кубов со стороной $\varepsilon$, необходимых для покрытия этого множества. При малых $\varepsilon$ из такого определения следует, что
\[
M(\varepsilon) \sim K \varepsilon^{–d} .
\]

Размерность (7.1.17) называют также емкостью. Для точки, линии и области на двумерной поверхности фрактальная размерность имеет обычные значения $0,1,2$ соответственно. Действительно, необходимое число квадратов со стороной $\varepsilon$ для покрытия точки пропорционально $1 / \varepsilon^{0}$, для линии $M \propto 1 / \varepsilon^{1}$ и для двумерной области $M \propto 1 / \varepsilon^{2}$.

Канторово множество является компактным, метрическим, нигде не плотным, несчетным и может быть нулевой меры. Типичные канторовы множества имеют дробную размерность $(0<d<1)$ и обладают масштабной инвариантностью, т. е. при соответствующем изменении масштаба подмножество «выглядит» так же, как и исходное множество. Известным примером канторова множества слу-
1) Такое определение размерности введено в работе [521]. Различные понятия размерности и их взаимосвязь обсуждаются в обзоре [522] (см. также [523]).- Прим. ред.

жит так называемое «множество средних третей» (рис. 7.7), которое строится следующим образом. Возьмем закрытый отрезок $[0,1]$ и выбросим из него открытый (без граничных точек) интервал ( $1 / 3$, 2/3). Затем из двух отрезков полученного множества $T_{1}$ аналогичным образом выбросим их «средние трети» и получим новое множество $T_{2}$. Повторяя эту процедуру бесконечное число раз, получим множества $T_{1}, T_{2}, T_{3}, \ldots$ Канторово множество $T$ есть пересечение всех $T_{n}$. Грубо говоря, это пересечение есть «предельное $T_{n}$ ».

Рис. 7.7. Построение множества Қантора.
$M$ – число отрезков длины $\varepsilon$, необходимое для покрытия множества $T_{n}$.
Из построения следует, что множество $T_{n}$ состоит из $M=2^{n}$ разделенных интервалов длиной $\varepsilon=(1 / 3)^{n}$. Согласно (7.1.17), фрактальная размерность $T$ равна
\[
d=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln 2^{n}}{\ln 3^{n}}=\frac{\ln 2}{\ln 3} \approx 0,631 .
\]

Множество $T$ имеет нулевую меру
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} \varepsilon M=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}=0 .
\]

Покажем, что множество $T$ несчетно. Для этого представим действительное число $x$ в интервале $(0,1)$ в следующем виде:
\[
x=a_{1}\left(\frac{1}{3}\right)+a_{2}\left(\frac{1}{9}\right)+\ldots+a_{n}\left(\frac{1}{3^{n}}\right)+\ldots,
\]

где $a_{i}$ принимают, вообще говоря, три значения: $0,1,2$. Однако, для того чтобы $x$ принадлежало $T$, необходимо, чтобы все $a_{i}$ принимали только два значения: 0 или 2 (см. рис. 7.7). И наоборот, любая последовательность таких $a_{i}$ определяет $x$, принадлежащее $T$. Но тогда существует взаимно-однозначное соответствие между канторовым множеством и множеством всех двоичных последовательностей, которое представляет все числа в интервале $(0,1)$. Последнее же, как известно, несчетно.
Связь между фрактальной размерностью и показателями Ляпунова. Существует гипотеза [218], связывающая фрактальную размерность с показателями Ляпунова:
\[
d=j+\frac{\sum_{i=1}^{j} \sigma_{i}}{-\sigma_{j+1}},
\]

где все показатели упорядочены обычным – образом: $\sigma_{1} \geqslant$ $\geqslant \sigma_{2} \geqslant \sigma_{N}$, а $j$ – наибольшее целое число, для которого $\sigma_{1}+\sigma_{2}+\ldots+\sigma_{j}>0$.

Рассел и др. [356] сравнили (7.1.17) с (7.1.19) для нескольких двумерных отображений и трехмерных потоков. Для двумерных отображений, у которых $\sigma_{1}>0>\sigma_{1}+\sigma_{2}$, (7.1.19) сводится $k$
\[
d=1-\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}} \text {. }
\]

Для трехмерных потоков с $\sigma_{1}>0>\sigma_{3}, \sigma_{2}=0^{1}$ ) и $\sigma_{1}+\sigma_{3}<0$ получим
\[
d=2-\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{3}} .
\]

Для непосредственного численного определения $d$, согласно (7.1.17), все пространство делится на ячейки со стороной $\varepsilon$. Затем отображение итерируется до тех пор, пока не закончится переходной процесс, после которого движение происходит на аттракторе. При последующих итерациях помечаются те ячейки, в которые попадает траектория. После достаточно большого количества итераций число таких ячеек стремится к $M(\varepsilon)$. Из (7.1.17) следует, что зависимость $\ln M$ от $\ln \varepsilon$ является линейной. Значение $d$ можно определить с помощью подгонки численных данных на эту прямую.

В табл. 7.1, взятой из работы Рассела и др. [356], сравниваются ${ }^{2}$ ) значения $d$, полученные описанным прямым методом
1) Напомним, цто для потока один из показателей всегда равен нулю.
2) Фрактальная размерность, которую использовали Каплан и Йорке в своей гипотезе, является информационной размерностью. Было показано, что она ограничена сверху емкостью (7.1.17). В то же время Рассел и др. [356] численно определяли емкость, которая, очевидно, очень близка к информационной размерности по данным табл. 7.1 (подробности см. в работе Фармера [120]).

и согласно (7.1.19), для трех разных двумерных отображений и трехмерного потока. Были выбраны отображения Хенона (7.1.14), (необратимое) отображение Қаплана и Йорке:
\[
\begin{array}{l}
x_{j+1}=2 x_{j}, \quad \bmod 1, \\
y_{j+1}=\alpha y_{j}+\cos 4 \pi x_{j}
\end{array}
\]

Таблица 7.1. Вычисление фрактальной размерности ${ }^{1}$ )
1) По данным работы [356].

и отображение Заславского:
\[
\begin{array}{l}
x_{i+1}=x_{j}+v\left(1+\mu y_{j}\right)+\varepsilon v \mu \cos 2 \pi x_{i}, \quad \bmod 1, \\
y_{j+1}=\exp (-\Gamma)\left(y_{i}+\varepsilon \cos 2 \pi x_{j}\right) .
\end{array}
\]

Для отображений Хенона и Заславского непосредственно вычислялся только показатель Ляпунова $\sigma_{1}$, а $\sigma_{2}$ определялось из известной скорости сжатия фазового объема (7.1.10):
\[
\sigma_{1}+\sigma_{2}=\ln |\operatorname{det} \mathbf{M}|,
\]

где $\operatorname{det} \mathbf{M}$ равен $-b$ для отображения Хенона и $e^{-\Gamma}$ – для отображения Заславского. В случае отображения Қаплана и Йорке $\sigma_{1}=$ $=\ln 2$ и $\sigma_{2}=\ln \alpha$. И наконец, для потока $\sigma_{1}+\sigma_{3}$ находится аналитически, а $\sigma_{1}$ – численно. Во всех случаях наблюдается прекрасное согласие между (7.1.17) и (7.1.19). Использование гипотезы (7.1.19) гораздо проще, чем прямое вычисление по (7.1.17), однако эта гипотеза пока не доказана.

Другие способы определения фрактальной размерности обсуждались в работах Паккарда и др. [326], Фрёлинга и др. [138] и Фармера [120].