В этом параграфе дается краткий обзор основных понятий гамильтоновой механики, необходимых для анализа динамики в фазовом пространстве. Изложение материала близко к книге Голдстейна [156] (гл. 8 и 9) и существенно опирается на курс Уиттекера [430]. Большинство длинных доказательств опущено.
1) Это не совсем так, первый пример такого отображения был построен еще Лоренцем [283] (см. также [210] и п. 1.56).– Прим. ред.
2) То есть инвариантную меру на аттракторе.- Прим. ред.

* 1.2а. Канонические преобразования

Различные эквивалентные формы уравнений движения можно получить друг из друга путем преобразования переменных. Одна из таких форм получается в результате введения функции Лагранжа
\[
L(\boldsymbol{q}, \dot{q}, t)=T(\dot{q})-U(\boldsymbol{q}, t),
\]

где $\boldsymbol{q}$ и $\dot{\boldsymbol{q}}$ – векторы координат и скоростей по всем степеням свободы, $T$ – кинетическая энергия, $U$ – потенциальная энергия и все связи предполагаются независящими от времени. Уравнения движения Лагранжа для каждой из координат $q_{i}$ имеют вид
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0 .
\]

Эти уравнения можно получить либо из вариационного принципа $\left(\delta \int L d t=0\right)$, либо путем прямого сравнения с законами движения Ньютона. Определим гамильтониан посредством соотношения
\[
H(p, q, t) \equiv \sum_{i} \dot{q}_{i} p_{i}-L(q, \dot{q}, t),
\]

где $\dot{q}$ рассматривается как функция $\boldsymbol{q}$ и новой переменной $\boldsymbol{p}$. Вычисляя дифференциал $H$, получаем
\[
\begin{array}{c}
d H=\sum_{i} \frac{\partial H}{\partial q_{i}} d q_{i}+\sum_{i} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} d p_{i}+\frac{\partial H}{\partial t} d t= \\
=\sum_{i}\left(p_{i}-\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right) d \dot{q}_{i}+\sum_{i} \dot{q}_{i} d p_{i}- \\
\quad-\sum_{i}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right) d q_{i}-\frac{\partial L}{\partial t} d t,
\end{array}
\]

где мы подставили (1.2.2) в третью сумму справа. Уравнение (1.2.4) может быть удовлетворено только, если определить $p_{i}$ как
\[
p_{i} \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} .
\]

При этом первая сумма справа в (1.2.4) тождественно обращается в нуль. Приравнивая коэффициенты при дифференциалах, получаем уравнения движения, содержащие только первые производные,
\[
\begin{array}{c}
\dot{p}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \\
\dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}
\end{array}
\]

и
\[
\frac{\partial L}{\partial t}=-\frac{\partial H}{\partial t} .
\]

Переменные $\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}$ называются обобщенными импульсами и координатами, а соотношения (1.2.6) и (1.2.7) есть уравнения Гамильтона. Исследование характера решений этих уравнений составляет основное содержание настоящей монографии. Любой набор переменных $\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}$, временнаेя эволюция которых дается уравнениями вида (1.2.6), называется каноническим, а сами $p_{i}$ и $q_{i}$ сопряженными переменными.

Производящие функции от смешанных переменных. Пусть мы хотим перейти от канонических переменных $\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}$ к новым переменным $\overline{\boldsymbol{q}}, \overline{\boldsymbol{p}}$. Их можно связать при помощи некоторой функции от одной старой и одной новой переменных следующим образом. Так как лагранжиан получается из вариационного принципа, то, используя (1.2.3), находим
\[
\delta\left[\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left(\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-H(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}, t)\right) d t\right]=0 .
\]

Это уравнение справедливо как для старых, так и для новых канонических переменных. Поэтому интеграл в (1.2.8) для разных переменных может отличаться только на полный дифференциал:
\[
\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-H(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}, t)=\sum_{i} \bar{p}_{i} \dot{\bar{q}}_{i}-\bar{H}(\overline{\boldsymbol{p}}, \overline{\boldsymbol{q}}, t)+\frac{d}{d t} F_{\mathbf{1}}(\boldsymbol{q}, \overline{\boldsymbol{q}}, t),
\]

где мы выбрали функцию $F=F_{1}$, зависящей от $q$ и $\bar{q}$. Раскрывая полную производную от $F_{1}$, получаем
\[
\frac{d F_{1}(\boldsymbol{q}, \overrightarrow{\boldsymbol{q}}, t)}{d t}=\sum_{i} \frac{\partial F_{1}}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\sum_{i} \frac{\partial F_{1}}{\partial \bar{q}_{i}} \dot{\bar{q}}_{i}+\frac{\partial F_{1}}{\partial t} .
\]

Считая переменные в (1.2.10) независимыми, из (1.2.9) (сравнивая соответствующие члены и требуя, чтобы члены с $\dot{q}_{i}$ и $\dot{\bar{q}}_{i}$ по отдельности равнялись нулю) находим
\[
\begin{array}{c}
p_{i}=\frac{\partial F_{1}}{\partial q_{i}}, \\
\bar{p}_{i}=-\frac{\partial F_{1}}{\partial \bar{q}_{i}}, \\
\bar{H}(\overline{\boldsymbol{p}}, \overline{\boldsymbol{q}}, t)=H(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}, t)+\frac{\partial}{\partial t} F_{\mathbf{1}}(\boldsymbol{q}, \overline{\boldsymbol{q}}, t) .
\end{array}
\]

Можно определить производящие функции и от других пар смешанных (старой и новой) канонических переменных:
\[
F_{2}(\boldsymbol{q}, \overline{\boldsymbol{p}}, t), \quad F_{3}(\boldsymbol{p}, \bar{q}, t), \quad F_{4}(\boldsymbol{p}, \overline{\boldsymbol{p}}, t) .
\]

Если, например, ввести $F_{2}$ при помощи преобразования Лежандра
\[
F_{2}(\boldsymbol{q}, \overline{\boldsymbol{p}}, t)=F_{1}(\boldsymbol{q}, \bar{q}, t)+\sum_{i} \bar{q}_{i} \vec{p}_{i},
\]

где $\bar{q}$ – функция $\boldsymbol{q}$ и $\boldsymbol{p}$, то получим каноническое преобразование в виде
\[
\begin{array}{c}
p_{i}=\frac{\partial F_{2}}{\partial q_{i}}, \\
\bar{q}_{i}=\frac{\partial F_{2}}{\partial \widetilde{p}_{i}}, \\
\bar{H}(\overline{\boldsymbol{p}}, \overline{\boldsymbol{q}}, t)=H(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}, t)+\frac{\partial}{\partial t} F_{2}(\boldsymbol{q}, \overline{\boldsymbol{p}}, t) .
\end{array}
\]

Производящие функции $F_{3}$ и $F_{4}$ определяются соотношениями, аналогичными (1.2.12), и приводят к соответствующим каноническим преобразованиям.

Қанонические преобразования позволяют, по крайней мере формально, решить уравнения движения динамической системы следующим образом. Рассмотрим отдельно случай гамильтониана, зависящего явно от времени, и случай автономного гамильтониана, не зависящего от времени. В первом случае положим $\bar{H} \equiv 0$. Тогда производные по времени от новых переменных равны нулю в силу уравнений Гамильтона. Поэтому новые переменные не зависят от времени и их можно интерпретировать как начальные значения исходных (непреобразованных) переменных. Таким образом, каноническое преобразование фактически оказывается решением, определяющим значения координат и импульсов в произвольный момент времени в зависимости от их начальных значений. Подставив (1.2.13a) в (1.2.13в) с $\bar{H}=0$, получим уравнение в частных производных для производящей функции $F_{2}$ :
\[
H\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial \overline{\boldsymbol{q}}}, \overline{\boldsymbol{q}}, t\right)+\frac{\partial F_{2}}{\partial t}=0,
\]

которое называется уравнением Гамильтона-Якоби. Во втором случае, когда $H$ не зависит от времени явно, достаточно положить $\bar{H}$ равным константе. Тогда преобразование (1.2.13в) приводит к уравнению Гамильтона-Якоби в виде
\[
H\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial \overline{\boldsymbol{q}}}, \overline{\boldsymbol{q}}\right)=E
\]

Если переменные в уравнениях (1.2.14) и (1.2.15) не разделяются, то решить их столь же трудно, қак и исходные канонические уравнения. Однако метод Гамильтона-Якоби очень удобен для получения приближенных решений в виде рядов для систем, близких к системам с разделяющимися переменными, или, как их чаще называют, для систем, близких к интегрируемым.
Скобки Пуассона. Важной динамической величиной являются скобки Пуассона:
\[
[u, v]=\sum_{k}\left(\frac{\partial u}{\partial q_{k}} \frac{\partial v}{\partial p_{k}}-\frac{\partial v}{\partial q_{k}} \frac{\partial u}{\partial p_{k}}\right),
\]

где $u$ и $v$-произвольные функции канонических переменных. Уравнения движения можно записать с помощью скобок Пуассона следующим образом. Выбрав в качестве $u$ координату, а в качестве $v$ гамильтониан системы, получим
\[
\left[q_{i}, H\right]=\sum_{k}\left(\frac{\partial q_{i}}{\partial q_{k}} \frac{\partial H}{\partial p_{k}}-\frac{\partial H}{\partial p_{k}} \frac{\partial q_{i}}{\partial p_{k}}\right)=\frac{\partial H}{\partial p_{i}} .
\]

Сравнивая с уравнениями Гамильтона, имеем
\[
\dot{q}_{i}=\left[q_{i}, H\right]
\]

и аналогично
\[
\dot{p}_{i}=\left[p_{i}, H\right] .
\]

Скобки Пуассона удовлетворяют правилу антикоммутации
\[
[u, v]=-[v, u]
\]

и тождеству Якоби
\[
[[u, v], w]+[[w, u], v]+[[v, w], u]=0 .
\]

Используя уравнения Гамильтона, можно записать полную производную по времени от произвольной функции $\chi=\chi(q, p, t)$ в виде
\[
\frac{d \chi}{d t}=\sum_{i}\left(-\frac{\partial \chi}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}-\frac{\partial \chi}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right)+\frac{\partial \chi}{\partial t}=[\chi, H]+\frac{\partial \chi}{\partial t} .
\]

При отсутствии явной зависимости от времени $\partial \chi / \partial t=0$. Если к тому же и скобки Пуассона равны нулю, то говорят, что функция $\chi$ коммутирует с гамильтонианом и является интегралом движения. Ясно, что если гамильтониан не зависит от времени явно, то и он является интегралом. Такие гамильтонианы называются автономными. Выберем в качестве функции $\chi$ один из импульсов $p_{i}$ и пусть он не является явной функцией времени $t$. Если при этом гамильтониан не зависит от сопряженной координаты (т. е. $\left.\partial H / \partial q_{i}=0\right)$, то из (1.2.21) вытекает, что $d p_{i} / d t=0$ и, следовательно, $p_{i}$ является интегралом движения
\[
p_{i}=\alpha_{i}=\text { const, }
\]
a
\[
\dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial \alpha_{i}}=\omega_{i}=\text { const. }
\]

Интегрируя (1.2.23), получаем решение в виде
\[
q_{i}=\omega_{i} t+\beta_{i} .
\]

Если можно найти такое каноническое преобразование, что все новые импульсы оказываются постоянными, то решение в новых канонических переменных описывается соотношениями (1.2.22) и (1.2.24). Обратное преобразование в этом случае дает полное решение в исходных переменных. Производящей функцией такого преобразования служит решение уравнения Гамильтона-Якоби (1.2.15).

Другой метод интегрирования уравнений движения связан с использованием производящей функции $w(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}, s)$, задающей каноническое преобразование (от старых переменных $\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}$ к новым переменным $\bar{p}, \bar{q}$ ) в виде уравнений Гамильтона:
\[
\frac{d p_{i}}{d s}=-\frac{\partial w}{\partial q_{i}}, \quad \frac{d q_{i}}{d s}=\frac{\partial w}{\partial p_{i}},
\]

где $s$ – произвольный параметр. При этом связь новых и старых переменных дается соотношениями
\[
\overline{\boldsymbol{p}}=\boldsymbol{p}(s), \quad \overline{\boldsymbol{q}}=\boldsymbol{q}(\mathrm{s}) .
\]

Функция ш называется производящей функцией Ли и зависит только от старых переменных. Использование такой функции упрощает вычисление высших порядков теории возмущений. Мы обсудим этот метод в $\S 2.5$.

В заключение заметим, что успех метода канонических преобразований определяется разумным выбором преобразования. Сами по себе эти преобразования не приводят к новой физике, но могут помочь при анализе или физической интерпретации того или иного движения, свойства которого остаются, однако, неизменными как в старых, так и в новых переменных.
* 1.26. Движение в фазовом пространстве

Рассмотрим уравнения Гамильтона (1.2.6) в общем случае $N$ степеней свободы, когда индекс $i$ пробегает значения от 1 до $N$.

Решение уравнений (1.2.6) содержит $2 N$ постоянных, соответствующих начальным значениям координат и импульсов. Они однозначно определяют эволюцию системы, которую можно представлять себе как движение точки в $2 N$-мерном пространстве. Предположим, что мы решили уравнения (1.2.6) и нашли зависимость $p$ и $\boldsymbol{q}$ от времени. Тогда мы можем проследить траекторию движения в $2 N$-мерном пространстве с координатами $\boldsymbol{p}$ и $\boldsymbol{q}$ от некоторого момента времени $t_{1}$, соответствующего начальным значениям $\boldsymbol{p}_{1}$ и $\boldsymbol{q}_{1}$, до более позднего момента $t_{2}$. Такое объединенное пространство $(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}$ ) называется фазовым прстранством системы. Примеры трех фазовых траекторий показаны на рис. 1.1, где фазовое пространство представлено в двух измерениях, так что абсцисса характеризует $N$ координат $q$, а ордината $-N$ импульсов $\boldsymbol{p}$. Рассмотрим три важных свойства фазового пространства.
Рис. 1.1. Траектории в фазовом пространстве.
1. В любой заданный момент времени траектории в фазовом пространстве не пересекаются. Это очевидно из того факта, что начальные условия однозначно определяют последующее движение. Поэтому если бы две траектории совпали, т. е. в какой-то момент времени их значения $\boldsymbol{p}$ и $\boldsymbol{q}$ оказались бы одинаковыми, то и последующее их движение было бы одинаковым. Если гамильтониан не зависит от времени, то траектории в фазовом пространстве также не зависят от времени и, следовательно, вообще не могут пересекаться. Очевидно, что в расширенном фазовом пространстве с добавочной временно́й координатой траектории не будут пересекаться, даже если гамильтониан периодически зависит от времени ${ }^{1}$ ).
2. Любая граница $C_{1}$ в фазовом пространстве, охватывающая некоторое множество начальных условий в момент времени $t_{1}$, трансформируется к моменту времени $t_{2}$ в границу $C_{2}$, охватывающую траектории того же множества. Это свойство вы-
1) Периодическая зависимость здесь несущественна и упомянута, очевидно, только для того, чтобы расширенное фазовое пространство было компактным (ограниченным).- Прим. ред.

текает непосредственно из предыдущего, поскольку любая траектория в момент пересечения границы совпадает с одной из граничных траекторий, а значит, и движется вместе с ней. Отсюда можно получить ограничения на движение большой группы траекторий, определяя движение гораздо более узкого класса траекторий, принадлежащих границе.
3. Рассмотрим некоторый ансамбль начальных условий, каждое из которых представляет возможное состояние системы. Представим вероятность ансамбля, или его плотность распределения,в фазовом пространстве, в виде
\[
\tau=\tau(p, q, t) .
\]

Если нормировать $\tau$ так, чтобы выполнялось условие
\[
\int \tau \prod_{i} d p_{i} d q_{i}=1
\]

где интегрирование распространяется на все фазовое пространство ${ }^{1}$ ), то из уравнения непрерывности
\[
\frac{\partial \tau}{\partial t}+\sum_{i}\left(\frac{\partial}{\partial p_{i}}\left(\tau \dot{p}_{i}\right)+\frac{\partial}{\partial q_{i}}\left(\tau \dot{q}_{i}\right)\right)=0
\]

находим
\[
\frac{\partial \tau}{\partial t}+\sum_{i}\left(\dot{p}_{i} \frac{\partial \tau}{\partial p_{i}}+\tau \frac{\partial \dot{p}_{i}}{\partial p_{i}}+\dot{q}_{i} \frac{\partial \tau}{\partial q_{i}}+\tau \frac{\partial \dot{q}_{i}}{\partial q_{i}}\right)=0 .
\]

Согласно уравнениям Гамильтона (1.2.6), второй и четвертый члены суммы сокращаются, и мы получаем уравнение
\[
\sum_{i}\left(\dot{\rho}_{i} \frac{\partial \tau}{\partial p_{i}}+\dot{q}_{i} \frac{\partial \tau}{\partial q_{i}}\right)+\frac{\partial \tau}{\partial t}=0,
\]

выражающее несжимаемость потока в фазовом пространстве. Этот результат известен как теорема Лиувилля, которая оказывается мощным инструментом анализа гамильтоновой динамики (подробное обсуждение и примеры см. в работе [265]).
Интегральные инварианты. Благодаря вышеперечисленным свойствам анализ движения в фазовом пространстве приводит к значительным упрощениям при исследовании динамических задач. В частности, из (1.2.30) немедленно следует, что $2 N$-мерный интеграл
\[
\int \prod_{i} d p_{i} d q_{i}
\]

вычисленный в определенный момент времени $t$, является инвариантом движения. Иерархия таких инвариантов разной размер-
1) Такая нормировка обычно невыполнима из-за неограниченности фазового пространства и несущественна для дальнейшего.- Прим. ред.

ности впервые изучалась Пуанкаре [337]. Они были названы им интегральными инвариантами. Общий вывод таких инвариантов дается в работе $[430]^{1}$ ). Интегральные инварианты имеют фундаментальное значение для теории гамильтоновых систем и могут быть приняты в качестве ее основы [13]. Мы рассмотрим первый член этой иерархии [для которой (1.2.31) является $N$-м и последним членом ]:
\[
\iint \sum_{i} d p_{i} d q_{i}=\text { const, }
\]

где интеграл берется в определенный момент времени по некоторой двумерной поверхности в фазовом пространстве.
Применив теорему Стокса к (1.2.32), получим инвариант
\[
\oint \sum_{i} p_{i} d q_{i}=\text { const, }
\]

где интегрирование производится теперь по замкнутой в фазовом пространстве кривой при фиксированном значении $t$. Величина (1.2.33) называется относительным интегральным инвариантом системы. В общем случае применение теоремы Стокса понижает размерность области интегрирования на единицу и преобразует интегральный инвариант, взятый по произвольному гиперобъему, в относительный инвариант, взятый по замкнутой гиперповерхности. Относительные интегральные инварианты особенно важны для колебательных систем (см. ниже).

Расширенное фазовое пространство. Рассмотрим теперь гамильтониан $H$, явно зависящий от времени. Вариационный принцип (1.2.8), из которого получаются уравнения Гамильтона, справедлив при интегрировании по любому параметру, не зависящему от вариации. Обозначим такой параметр через $\zeta$ и перепишем (1.2.8) в виде

Положив
\[
\delta \int\left(\sum_{i=1}^{N} p_{i} \frac{d q_{i}}{d \zeta}-H \frac{d t}{d \zeta}\right) d \zeta=0 .
\]
\[
\begin{array}{c}
\bar{p}_{i}=p_{i} \quad \vec{q}_{i}=q_{i}, \quad i=1, N, \\
\vec{p}_{N+\mathbf{1}}=-H, \quad \bar{q}_{N+\mathbf{1}}=t,
\end{array}
\]

получим новую форму вариационного уравнения
\[
\delta \int \sum_{i=1}^{N+1} \tilde{p}_{i} \frac{d \bar{q}_{i}}{d \zeta} d \zeta=0,
\]

где $-H$ и $t$ можно рассматривать как дополнительные импульс
1) См. также [13].- Прим. перев.

и координату в некотором новом расширенном фазовом пространстве размерности $(2 N+2)$. Поток параметризуется теперь новым «временем» $\zeta$.

Новый гамильтониан $\bar{H}$ для расширенного набора канонических переменных $(\boldsymbol{p},-H, \boldsymbol{q}, t$ ) можно получить с помощью производящей функции
\[
F_{2}=\sum_{i=1}^{N} \bar{p}_{i} q_{i}+\bar{p}_{N+1} t .
\]

Используя (1.2.13в), находим $\bar{H}(\overline{\boldsymbol{p}}, \overline{\boldsymbol{q}}, t)=H(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}, t)-H$, и канонические уравнения, принимают вид
\[
\frac{d \bar{p}_{i}}{d \zeta}=-\frac{\partial \bar{H}}{\partial \bar{q}_{i}}, \quad \frac{d \overline{q_{i}}}{d \zeta}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial \bar{p}_{i}} .
\]

Новый гамильтониан, определяющий поток в расширенном фазовом пространстве, не зависит явно от «времени» $\zeta$. Кроме того уравнения (1.2.37) с $i=N+1$ дают: $t(\zeta)=\zeta$ и $\bar{H}=$ const. Таким образом, движение системы с гамильтонианом, зависящим от времени, эквивалентно движению с дополнительной степенью свободы и гамильтонианом, не зависящим от времени ${ }^{1}$ ).

Справедливо и обратное. Рассмотрим независящий от времени гамильтониан $\bar{H}$ для системы с $N$ степенями свободы в $2 N$-мерном фазовом пространстве. Выберем любую из обобщенных координат в качестве нового «времени» $\zeta$. Тогда канонически сопряженный ей импульс представляет новый гамильтониан $H$, зависящий от «времени» и описывающий движение системы с ( $N-1)$ степенями свободы в сокращенном фазовом пространстве размерности ( $2 N-2$ ). Пусть, например,
\[
H(p, q)=H_{0} .
\]

Пөложим
\[
\bar{p}_{i}=p_{i}, \quad \bar{q}_{i}=q_{i}, \quad i=1, \quad N-1
\]

и разрешим (1.2.38) относительно $p_{N}=p_{N}\left(\bar{p}, \bar{q}, q_{N}\right)$. Выбирая $\bar{H}=-p_{N}$ и $\zeta=q_{N}$, мы получаем уравнения Гамильтона (1.2.37) в сокращенном фазовом пространстве $(\bar{p}, \bar{q})$, где новый гамильтониан оказывается явной функцией «времени» $\zeta$ (подробности см. в работе $[430], \S 141)$.

Таким образом, теория, развитая для независящего от времени гамильтониана с $N$ степенями свободы, применима также и к гамильтониану, зависящему от времени, но с $N-1$ степенями свободы. В частности, независящий от времени гамильтониан с двумя сте-
1) Эти рассуждения несколько формальны. Более существенно то, что движение по дополнительной координате задано, например, $t(\zeta)=\zeta$. В этом состоит также отличие от рассматриваемого далее движения в сокращенном фазовом пространстве.- Прим. ред.

пенями свободы динамически эквивалентен гамильтониану с одной степенью свободы, зависящему от времени.
Интеграл действия. Рассмотрим связь между относительным интегральным инвариантом (1.2.33), для которого интегрирование проводится в некоторый определенный момент времени $t$, и интеггралом действия для одномерной колебательной системы с независящим от времени гамильтонианом. Интеграл действия определяется как
\[
J=\frac{1}{2 \pi} \oint p d q,
\]

Рис. 1.2. Контур интегрирования для вычисле-
ния переменной действия.
где интегрирование производится по одному периоду колебаний.
В терминах расширенного фазового пространства выражение (1.2.33) для одномерного осциллятора можно переписать в виде
\[
\oint(p d q-H d t)=\text { const },
\]

причем интегрирование производится при $\zeta=$ const. Поскольку выбор $\zeta$ произволен, то новый путь интегрирования, который включает и изменение времени, может быть выбран так, что часть его будет проходить вдоль действительной траектории системы в фазовом пространстве. Для специального случая $H=$ const второе слагаемое обращается в нуль при интегрировании по любому замкнутому контуру, и мы получаем
\[
\oint p d q=\text { const. }
\]

Если теперь выбрать пучок траекторий, вокруг которого производится интегрирование, как это показано на рис. 1.2 , то полный путь интегрирования будет состоять из двух частей
\[
\oint p d q=\int_{C_{1}} p d q+\int_{C_{2}} p d q,
\]

где путь $C_{1}$ охватывает один период колебаний. При этом конечные точки кривой $C_{1}$ имеют одинаковые значения $q$, и поэтому путь $C_{2}$ можно выбрать так, что $q=$ const. Вследствие этого из (1.2.40) и (1.2.42) получаем
\[
\int_{c_{1}} p d q=\text { const }=2 \pi J .
\]

Отсюда вытекает эквивалентность интеграла действия и относительного интегрального инварианта в рассматриваемом случае ${ }^{1}$ ). Значение интеграла действия определяется прежде всего тем, что он является каноническим импульсом в переменных действие угол (см. § 1.2в). Помимо этого, он окязывается адиабатическим инвариантом движения, т. е. остается приблизительно постоянным в случае медленного, по сравнению с периодом колебаний, изменения гамильтониана со временем. Адиабатическое постоянство действия подробно рассматривается в $\S 2.3$ и имеет фундаментальное значение для понимания регулярного движения в системах с гамильтонианом, зависящим от времени, и в системах с несколькими степенями свободы.
Сечение Пуанкаре. Метод сечения Пуанкаре является одним из основных методов анализа гамильтоновой динамики. Для автономных систем с двумя степенями свободы фазовое пространство четырехмерно. Выберем в фазовом пространстве некоторую двумерную поверхность $\sum_{R}$ (см. рис. $1.3, a$ ) и рассмотрим последовательные пересечения ее траекторией. Пересечение происходит каждый раз, когда траектория проходит сквозь поверхность в некотором определенном направлении (например, слева направо).

В частности, удобно выбрать поверхность сечения $\sum_{R}$ следующим образом. Заметим прежде всего, что траектория лежит на трехмерной энергетической поверхности $H\left(p_{1}, p_{2}, q_{1}, q_{2}\right)=H_{0}$ в четырехмерном фазовом пространстве [см. рис. 1.3, б (1)]. Это уравнение определяет любую из четырех переменных, скажем $p_{2}$, как функцию трех остальных
\[
p_{2}=p_{2}\left(p_{1}, q_{1}, q_{2}\right) .
\]

Рассмотрим проекцию траектории на трехмерный объем $\left(p_{1}, q_{1}, q_{2}\right.$ ) на рис. 1.3, б (2). Если движение ограничено, то траектория будет все время пересекать определенную плоскость $q_{2}=$ const внутри этого объема. Эту плоскость, заданную координатой $q_{1}$ и сопряженным импульсом $p_{1}$, удобно выбрать в качестве поверхности сечения $\sum_{R}$. В общем случае последовательные пересечения траектории с поверхностью $\sum_{R}$ будут произвольно распределены в не- $\qquad$
1) Этот результат можно получить и проще, заметив, что при $H=$ const смещение вдоль фазовой траектории эквивалентно изменению начальных условий.-Прим. ред.

Рис. 1.3. Сечение Пуанкаре в фазовом пространстве.
$a$ – пересечения траектории с поверхностью $\Sigma_{R}$; 6 – две степени свободы: 1 – траектория в четырехмерном фазовом пространстве, лежащая на трехмерной энергетической поверхности; 2 – ее проекция на поверхность ( $\left.p_{1}, q_{1}, q_{2}\right)$; 3 – последовательные пересечения траектории с двумерной поверхностью $q_{2}=$ const (крестики); в – три степени свободы: 1-траектория в шестимерном фазовом пространстве, лежащая на пятимерной энергетической поверхности; 2-три последовательных пересечения траяктории с четырехмерной поверхностью $q_{s}=$ const: 3 – проекция этих пересечений на плоскости ( $p_{1}, q_{1}$ ) и ( $p_{2}, q_{2}$ ).

которой ограниченной области $\sum_{R}$. В случае существования дополнительного (помимо $H_{0}$ ) интеграла движения
\[
I\left(p_{1}, p_{2}, q_{1}, q_{2}\right)=\text { const }
\]

из (1.2.44) и (1.2.45) следует
\[
p_{1}=p_{1}\left(q_{1}, q_{2}\right) .
\]

Поэтому последовательные пересечения должны лежать на некоторой инвариантной кривой, определяемой уравнением (1.2.46) с $q_{2}=$ const. Таким образом, существование интегралов движения можно определить из анализа пересечений траекторий с поверхностью $\sum_{R}$. После того как существование интеграла установлено, можно исследовать локальную устойчивость и другие интересные свойства инвариантных кривых.

Отметим, что рассматриваемая поверхность сечения $\left(p_{1}, q_{1}\right)$ как раз и является сокращенным фазовым пространством исходной гамильтоновой системы, а последовательные пересечения получаются друг из друга путем канонического преобразования, определяемого уравнениями Гамильтона. Поэтому площадь, ограниченная замкнутой кривой, на поверхности сечения сохраняется. Это важное свойство можно получить и непосредственно следующим образом. Запишем общие дифференциальные соотношения
\[
\begin{array}{l}
d \lambda=\frac{\partial \lambda}{\partial q} d q+\frac{\partial \lambda}{\partial \mu} d \mu, \\
d p=\frac{\partial p}{\partial q} d q+\frac{\partial p}{\partial \mu} d \mu,
\end{array}
\]

где $\lambda$ и $\mu$ можно рассматривать как начальные координату и импульс на поверхности сечения. Выразив частные производные через производящую функцию $F_{2}(\lambda, p)$ и разрешив (1.2.47) относительно $d p$ и $d q$, получим
\[
\begin{array}{l}
d q=\left(F_{\lambda p}-\frac{F_{p p} F_{\lambda \lambda}}{F_{\lambda p}}\right) d \lambda+\frac{F_{p p}}{F_{\lambda p}} d \mu, \\
d p=-\frac{F_{\lambda \lambda}}{F_{\lambda p}} d \lambda+\frac{1}{F_{\lambda p}} d \mu,
\end{array}
\]

где введены обозначения $\partial F_{2} / \partial \lambda=F_{\lambda}$ и т. д. Детерминант коэффициентов (1.2.48), эквивалентный якобиану преобразования от переменных $(\lambda, \mu)$ к $(q, p)$, равен единице, что и доказывает сохранение площади при преобразовании ${ }^{1}$ ). Это свойство двумерной поверхности сечения в четырехмерном фазовом пространстве в дальнейшем
1) В общем случае исходные переменные $p, q$ не являются каноническими на поверхности сечения и сохраняется некоторая их функция $\mathscr{M}(p, q)$ «наведенная» мера.

будет играть важную роль как при численном поиске интегралов движения ( $\S 1.4$ ), так и при выяснении устойчивости линеаризованного движения вблизи периодического решения ( $\$ 3.3$ ).

Метод сечения Пуанкаре можно обобщить и на системы с числом степеней свободы $N>2$. Для независящего от времени гамильтониана системы с $N$ степенями свободы размерность энергетической поверхности в фазовом пространстве равна $2 N-1$ [рис. 1.3, , (1) ]. Исключим, как и раньше, одну из переменных, например $p_{N}$, и рассмотрим последовательные пересечения траектории с ( $2 N-2)$ мерной поверхностью $q_{N}=$ const с координатами $p_{1}, \ldots, p_{N-1}$, $q_{1}, \ldots, q_{N-1}$ [рис. 1.3, в (2)]. При этом поверхность сечения попрежнему представляет собой сокращенное фазовое пространство с сохраняющимся объемом. В случае существования одного или более интегралов движения все пересечения будут лежать на одной поверхности, размерность которой меньше $2 N-2$. В противном случае они будут заполнять некоторый ( $2 N-2$ )-мерный объем.

Если движение по разным степеням свободы многомерной системы почти независимо, то удобным способом наглядного представления движения служат проекции поверхности сечения на плоскости ( $p_{i}, q_{i}$ ), как показано на рис. 1.3, , (3). Для регулярного движения с точно разделяющимися переменными ( $p_{i}, q_{i}$ ) площадь сохраняяется в каждой плоскости $\left(p_{i}, q_{i}\right.$ ). При этом для каждой степени свободы существует свой интеграл движения и все проекции лежат на некоторой кривой в каждой из плоскостей ( $p_{i}, q_{i}$ ). Однако в общем случае при $N>2$ даже для регулярной траектории пересечения, спроектированные на произвольную плоскость ( $\left.p_{i}, q_{i}\right)$, не лежат на кривой, а заполняют некоторый конечный слой, размер которого зависит от выбора переменных $\left(p_{i}, q_{i}\right)$. В рассматриваемом случае пересечения лежат фактически на ( $N-1$ )-мерной поверхности, проекция которой на любую из плоскостей $\left(p_{i}, q_{i}\right.$ ) занимает область конечной площади. Примеры многомерного движения описаны кратко в п. 1.4в и подробно – в гл. 6.
* 1.2в. Переменные действие – угол

Для системы с одной степенью свободы и гамильтонианом, не зависящим от времени, всегда существует интеграл движения. В многомерном случае, если переменные в уравнении Гамильтона-Якоби полностью разделяются, можно найти $N$ интегралов движения, которые «развязывают» все $N$ степеней свободы. Обозначим производящую функцию $F_{2}$ через $S$ и примем, что в случае полного разделения переменных решение имеет вид
\[
S=\sum_{i} S_{i}\left(q_{i}, \alpha_{1} \ldots \alpha_{N}\right),
\]

где $\alpha_{i}$ – новые импульсы, связанные с $N$ интегралами движения.

Если, кроме того, гамильтониан можно записать в виде суммы ${ }^{1}$ )
\[
H=\sum_{i} H_{i}\left(\frac{\partial S_{i}}{\partial q_{i}}, q_{i}\right),
\]

то из-за независимости переменных $q_{i}$ уравнение ГамильтонаЯкоби (1.2.15) распадается на $N$ уравнений
\[
H_{i}\left(\frac{\partial S_{i}}{\partial q_{i}}, q_{i}\right)=\alpha .
\]

Решив их, найдем зависимость $S_{i}$ от $q_{i}$. Новые импульсы $\alpha_{i}$ оказываются при этом постоянными разделения для уравнения Гамильтона-Якоби и удовлетворяют соотношению
\[
\sum_{i} \alpha_{i}=H_{0} .
\]

Связь между старыми и новыми каноническими переменными дается соотношением (1.2.13). Новый гамильтониан $\bar{H}$ зависит только от импульсов $\alpha_{i}$, и уравнения Гамильтона решаются тривиально.

Выбор постоянных $\alpha_{i}$ в качестве новых импульсов является произвольным. Вместо этого можно выбрать любые $N$ величин $J_{i}$, являющихся независимыми функциями $\alpha_{i}$ :
\[
J_{i}=J_{i}(\alpha) .
\]

Если эти $N$ уравнений обратить,
\[
\alpha_{i}=\alpha_{i}(J),
\]

и подставить в (1.2.49), то получим производящую функцию для преобразования к новым импульсам $J_{i}$ :

и новый гамильтониан
\[
\bar{S}(q, J)=S(q, \alpha(J))
\]
\[
\bar{H}(J)=\sum_{i} \alpha_{i}(\boldsymbol{J}) .
\]

Решение уравнений Гамильтона и в этом случае тривиально.
Для периодических систем с полностью разделяющимися переменными очень удобно выбрать функции $\boldsymbol{J}(\boldsymbol{\alpha})$ специальным образом. При этом под периодическими мы подразумеваем такие системы, в которых по каждой степени свободы либо $p_{i}$ и $q_{i}$ являются периодическими функциями времени одного периода, либо $p_{i}$ периодически зависит от $q_{i}$. В первом случае говорят о колебаниях, а во втором – о вращении. Периоды движения по каждой степени свободы не обязательно одинаковы. Если они не находятся в рациональном отношении, то движение называется квазипериодическим ${ }^{2}$ ). Для определения переменных действия $J_{i}$ как функций $\alpha$
1) Это условие, вообще говоря, излишне и приведено, видимо, только для упрощения изложения (см., например, [453]).- Прим. перев.
2) В оригинале – conditionally periodic (условно периодическое) – менее распространенный синоним квазипериодического.- Прим. перев.

запишем интеграл (1.2.40), используя для $p_{i}$ выражение (1.2.13a),
\[
J_{i}=\frac{1}{2 \pi} \oint p_{i} d q_{i}=\frac{1}{2 \pi} \oint-\frac{\partial S_{i}\left(q_{i}, \alpha\right)}{\partial q_{i}} d q_{i},
\]

где $J_{1}, \ldots, J_{N}$ – новые сохраняющиеся импульсы. Обращение этого выражения дает новую производящую функцию $\bar{S}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{J})$. Согласно (1.2.24), сопряженные координаты имеют вид
\[
\theta_{i}=\omega_{i} t+\boldsymbol{\beta}_{i},
\]

где $\omega_{i}$ и $\beta_{i}$ – постоянные. Интегрируя $\theta_{i}$ по полному периоду колебаний $T$, получаем
\[
\theta_{i}=\int_{i}^{t+T} d \theta_{i}=\omega_{i} T .
\]

Но, с другой стороны, из (1.2.13б) следует
\[
d \theta_{i}=\frac{\partial}{\partial q_{i}} \frac{\partial \bar{S}}{\partial J_{i}} d q_{i} .
\]

Подставляя это выражение в (1.2.58), меняя порядок дифференцирования и интегрируя по периоду, находим
\[
\Delta \theta_{i}=\frac{\partial}{\partial J_{i}} \oint \frac{\partial \vec{S}}{\partial q_{i}} d q_{i}=\frac{\partial}{\partial J_{i}} \oint p_{i} d q_{i}=2 \pi .
\]

Сравнение (1.2.58) с (1.2.60) дает
\[
\omega_{i} T=2 \pi,
\]
т. е. постоянные $\omega_{i}$ есть просто частоты колебаний. Таким образом, использование переменных действие – угол представляет собой удобный способ получения частот колебаний, не требующий выяснения деталей движения. При исследовании движения систем, близких к интегрируемым, удобно предварительно перейти к переменным действие – угол в интегрируемой части системы, а уже затем использовать теорию возмущений или другие методы.
Гармонический осциллятор. Проиллюстрируем достоинства переменных действие – угол на примере гармонического (линейного) осциллятора, гамильтониан которого имеет вид
\[
H=G \frac{p^{2}}{2}+F \frac{q^{2}}{2}=\alpha,
\]

где $G, F$ и $\alpha$ – постоянные. Определив $p(q, \alpha)$ и вычислив интеграл
\[
J=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{q_{\text {мако }}}\left(\frac{2 \alpha}{G}-\frac{F}{G} q^{2}\right)^{1 / 2} d q,
\]
1) Выражение (1.2.60) сразу получается из определения (1.2.56) для $\boldsymbol{J}$ при $\boldsymbol{p}=\boldsymbol{J}, \boldsymbol{q}=\theta$. – Прим. ред.

где $q_{\text {макс }}=(2 \alpha / F)^{1 / 2}$, получим
\[
J=\alpha(F G)^{-1 / 2} .
\]

Отсюда и из (1.2.55) гамильтониан равен
\[
\bar{H}=(F G)^{1 / 2} J
\]

и не зависит от угловой переменной. Частота колебаний равна $\omega_{0}=\partial \bar{H} / \partial J=(F G)^{1 / 2}$. Подставляя $\alpha$ из (1.2.64) в (1.2.62), получаем одно из уравнений канонического преобразования
\[
p=p(q, J)=\left(2 R J-R^{2} q^{2}\right)^{1 / 2},
\]

где $R=(F / G)^{1 / 2}$. Из (1.2.13a)
\[
\bar{S}=\int_{0}^{q}\left(2 R J-R^{2} q^{2}\right)^{1 / 2} d q
\]

и из (1.2.13б) находим второе уравнение
\[
\theta=R \int_{0}^{q}\left(2 R J-R^{2} q^{2}\right)^{-1 / 2} d q
\]

которое после интегрирования дает
\[
q=(2 J / R)^{1 / 2} \sin \theta .
\]

С учетом (1.2.66) имеем
\[
p=(2 J R)^{1 / 2} \cos \theta .
\]

Уравнения (1.2.68) определяют преобразование от переменных действие – угол к исходным переменным $p, q$. Это преобразование обычно получается при помощи производящей функции типа $F_{1}(q, \bar{q})$, которая имеет вид
\[
F_{1}=\frac{1}{2} R q^{2} \operatorname{ctg} \theta .
\]

Отметим также, что эллипс, определяемый уравнением (1.2.62), можно канонически преобразовать в круг, изменяя масштаб: $p=$ $=\sqrt{R} p^{\prime} ; q=q^{\prime} / \sqrt{R}$. Отсюда, ясно, что в переменных действие угол $(J, \theta$ ) движение представляет собой вращение некоторого вектора постоянной длины $J$. Это немедленно приводит к уравнениям преобразования (1.2.68), из которых видно также, что величина $R$ равна отношению полуосей исходного эллипса.

Ниже мы увидим, что переход к переменным действие – угол особенно эффективен в случае медленного изменения величин $F$ и $G$ со временем или в зависимости от координаты по другой степени свободы. В этом случае $J$ является адиабатическим инвариантом движения, т. е. мало изменяется даже при значительном изменении $\omega_{0}$ и $\bar{H}$ (см. также [265], гл. 2). Для нелинейных колебаний преобразование (1.2.68) не приводит к переменным действиеугол. Тем не менее, как мы увидим в гл. 2, его можно использовать при построении рядов теории возмущений. Общий же метод введения переменных действие – угол, развитый в этом параграфе, применим, как будет видно ниже, и к нелинейному осциллятору.