При использовании теории возмущений часто необходимо иметь разложение выше первого порядка. Так было в задаче Хенона и Хейлеса (см. п. 1.4а), где в силу вырождения потребовалось провести вычисления по крайней мере во втором порядке, чтобы получить хоть какое-то предгтавление об истинных фазовых траекториях даже при низкой энергии. Имеются и другие случаи (см., например, п. 2.5в), когда в первом порядке получается нулевой результат, а отличные от нуля члены возникают только во втором или более высоких порядках.
1) Отметим, что преимущество метода длт реально проявляется только в том (по-видимому, редком) случае, когда подбором коэффициентов $C_{l m}$ произведение (2.4.106) можно представить как достаточно простую функцию $J_{1}$ – Прим. ред.

Применение классических методов Пуанкаре–Цейпеля для разложения выше первого порядка становится все более и более утомительным. При классическом подходе для преобразований от старых переменных $\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta}$ к новым $\overline{\boldsymbol{J}}, \overline{\boldsymbol{\theta}}$ используется производящая функция смешанного набора переменных, например $S(\boldsymbol{\theta}, \overline{\boldsymbol{J}}, t)$. В результате и само преобразование также получается в смешанных переменных
\[
\overline{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{\theta}, \overline{\boldsymbol{J}}, t)=\frac{\partial \mathcal{S}(\boldsymbol{\theta}, \overline{\boldsymbol{J}}, t)}{\partial \overline{\boldsymbol{J}}},
\]

в то время как желательно было бы определить новые переменные как функции старых $\overline{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{J}, t)$, или наоборот. То же самое справедливо и для соотношения между новым и старым гамильтонианами
\[
\bar{H}(\overrightarrow{\boldsymbol{\theta}}, \overline{\boldsymbol{J}}, t)=H(\boldsymbol{\theta}, J, t)+\frac{\partial S(\theta, \overline{\boldsymbol{J}}, t)}{\partial t} .
\]

Если $\bar{H}, H$ и $S$ можно представить в виде рядов по степеням $\varepsilon$, то относительно нетрудно получить разложение в любом порядке [34]. Однако уже во втором порядке по $\varepsilon$ появляются громоздкие выражения [см., например, (2.2.19)] без какой-либо явной системы в них. В более высоких порядках количество алгебраических выкладок становится удручающе велико, а физические закономерности оказываются глубоко скрытыми.

Значительным шагом в развитии гамильтоновой теории возмущений явилось введение преобразований Ли в работах Хори [199] и Гарридо [150]. При использовании этих преобразований не возникают функции смешанного набора переменных, а все члены рядов получаются в результате последовательного применения скобок Пуассона, что делает теорию канонически инвариантной. Депри [102] усовершенствовал этот метод и получил соотношение для определения $n$-го члена разложения преобразования в степенной ряд по є. Дьюар [105] разработал вариант метода, пригодный для изучения систем, не допускающих представления преобразования в виде степенного ряда. Драгт и Финн [107] использовали метод Ли при изучении сохранения магнитного момента в дипольном поле. Хаулэнд [203] применил этот метод в сверхсходящейся теории возмущений Колмогорова. Существенный вклад в разработку метода внесли Кауфман и сотр. $[214,51,52,224,225$ ], а также Мак-Намара [290]. Новая техника построения разложений, особенно эффективная в высоких порядках, описана Қари [50], который следовал работе Драгта и Финна [108]. Изложение метода Ли содержится в монографиях Найфе [313] и Джакалья [153], а также в методических статьях Кари [49, 50] и Литлджона [280]. Наше изложение основано главным образом на последних статьях.

В п. 2.5а описаны основы метода Ли, который затем используется для получения степенных разложений Депри (п. 2.56). В качестве иллюстрации получены поправки второго порядка к гамильтониану маятника. С помощью модификации метода Ли в п. 2.5в рассмотрены ряды для адиабатических инвариантов и их приложение к вычислению инварианта второго порядка изменяющегося во времени гармонического осциллятора, а также средней силы, действующей на заряженную частицу в поле электростатической волны. В заключение кратко описана методика Мак-Намары [290] получения адиабатических инвариантов высших порядков. В качестве примера рассмотрен резонанс волна-частица.
2.5а. Общая теория

Начнем с рассмотрения автономных систем; случай явной зависимости гамильтониана от времени исследуем позже. Пусть $\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q})$ вектор обобщенных импульсов и координат, представляющий положение системы в фазовом пространстве. Введем производящую функцию Ли $\boldsymbol{( x , \varepsilon )}$ с помощью уравнения
\[
\frac{d x}{d \varepsilon}=[x, w(x, \varepsilon)],
\]

которое можно рассматривать как уравнение Гамильтона с «гамильтонианом» $е$ и «временем» $\varepsilon$, записанное посредством скобок Пуассона. Его решение при любом $\varepsilon$ и начальном условии $\boldsymbol{x}$ :
\[
\overline{\boldsymbol{x}}=\overline{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{x}, \varepsilon)
\]

представляет собой каноническое преобразование от $\boldsymbol{x}$ к $\boldsymbol{x}$, для которого выполняются соотношения
\[
\left[\bar{q}_{i}, \bar{q}_{i}\right]=\left[\bar{p}_{i}, \bar{p}_{j}\right]=0 ; \quad\left[\bar{q}_{i}, p_{i}\right]=\delta_{i j} .
\]

Введем отвечающий преобразованию (2.5.4) эволюционный оператор $\hat{T}$, который переводит любую функцию $g$ в преобразованной точке $\bar{x}(x, \varepsilon)$ в соответствующую функцию $f$ в начальной точке, т. е. равенство
\[
f=\hat{T} g
\]

означает
\[
f(x)=g[\bar{x}(x, \varepsilon)] .
\]

В частности, если $g(x)=x$, то
\[
\overline{\boldsymbol{x}}=\hat{T} \boldsymbol{x} .
\]

Для явного определения преобразования $\hat{T}$ введем оператор Ли $\hat{L}$ :
\[
\hat{L}=[w, \quad] .
\]

Из (2.5.3) и (2.5.8) получаем операторное уравнение
\[
\frac{d \hat{T}}{d \varepsilon}=-\hat{T} \hat{L},
\]

которое допускает формальное решение
\[
\hat{T}=\exp \left[-\int \hat{L}(\varepsilon) d \varepsilon\right] .
\]

Для любого канонического преобразования, в том числе и для порождаемого функцией $w$, новый гамильтониан $H$ связан со старым гамильтонианом $H$ соотношением
\[
\bar{H}(\bar{x}(x, \varepsilon))=H(x),
\]
т. е. новый гамильтониан в новой точке равен старому гамильтониану в старой точке. В силу (2.5.6) и (2.5.7) получаем
\[
\bar{H}=\hat{T}^{-1} H \text {. }
\]

Для неавтономных систем $w, \hat{L}, \hat{T}$ являются явными функциями времени $t$, которое считается фиксированным при выводе преобразования $\hat{T}$. По этой причине все полученные выше соотношения до (2.5.11) включительно остаются справедливыми. Однако старый и новый гамильтонианы не совпадают, и равенство (2.5.13) не выполняется. Правильное соотношение [49]
\[
\bar{H}=\hat{T}^{-1} H+\hat{T}^{-1} \int_{0}^{\varepsilon} \hat{T}\left(\varepsilon^{\prime}\right) \frac{\partial \omega\left(\varepsilon^{\prime}\right)}{\partial t} d \varepsilon^{\prime}
\]
[ср. с (1.2.11в) или (1.2.13в)] было впервые получено Дьюаром [105]. Вместе с выражениями (2.5.9) и (2.5.11) для операторов $\hat{L}$ и $\hat{T}$ оно дает полное описание канонических преобразований с помощью производящих функций Ли.
2.5б. Ряды Депри

Разложим $\omega, \hat{L}, \hat{T}, H$ и $\bar{H}$ по степеням $\varepsilon[102,49]$ :
\[
\begin{array}{l}
w=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} w_{n+1}, \\
\hat{L}=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} \hat{L}_{n+1}, \\
\hat{T}=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} \hat{T}_{n}, \\
H=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} H_{n},
\end{array}
\]

\[
\bar{H}=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} \bar{H}_{n}
\]

где $[$ см. $(2.5 .9)$ ]
\[
\hat{L}_{n}=\left[w_{n}\right] .
\]

Подставляя (2.5.16) и (2.5.17) в (2.5.10) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получаем рекуррентное соотношение для $\hat{T}_{n}(n>0)$ :
\[
\hat{T}_{n}=-\frac{1}{n} \sum_{m=0}^{n-1} \hat{T}_{m} \hat{L}_{n-m},
\]

которое вместе с условием $\hat{T}_{0}=1$ позволяет определить $\hat{T}_{n}$ через $\hat{L}_{n}$ во всех порядках. Заметим, что в общем случае эти операторы не коммутируют, т. е. $\hat{L}_{i} \hat{L}_{j}
eq \hat{L}_{j} \hat{L}_{i}$ и т. д.

Нам потребуются обратные операторы $\hat{T}_{n}^{-1}$, для определения которых продифференцируем равенство $\hat{T} \hat{T}^{-1}=1$ по переменной $\varepsilon$, откуда
\[
\frac{d \hat{T}^{-1}}{d \varepsilon}=\hat{L} \hat{T}^{-1} .
\]

Последнее уравнение позволяет написать рекуррентное соотношение для $\hat{T}_{n}^{-1}\left(n>0, \hat{T}_{0}^{-1}=1\right)$ :
\[
\hat{T}_{n}^{-1}=\frac{1}{n} \sum_{m=0}^{n-1} \hat{L}_{n-m} \hat{T}_{m}^{-1} .
\]

В первых трех порядках находим
\[
\begin{array}{l}
\hat{T}_{1}=-\hat{L}_{1}, \\
\hat{T}_{2}=-\frac{1}{2} \hat{L}_{2}+\frac{1}{2} \hat{L}_{1}^{2}, \\
\grave{T}_{3}=-\frac{1}{3} \hat{L}_{3}+\frac{1}{6} \hat{L}_{2} \hat{L}_{1}+\frac{1}{3} \hat{L}_{1} \hat{L}_{2}-\frac{1}{6} \hat{L}_{1}^{3}, \\
\hat{T}_{1}^{-1}=\hat{L}_{1}, \\
\hat{T}_{2}^{-1}=\frac{1}{2} \hat{L}_{2}+\frac{1}{2} \hat{L}_{1}^{2}, \\
\hat{T}_{3}^{-1}=\frac{1}{3} \hat{L}_{3}+\frac{1}{6} \hat{L}_{1} \hat{L}_{2}+\frac{1}{3} \hat{L}_{2} \hat{L}_{1}+\frac{1}{6} \hat{L}_{1}^{3} .
\end{array}
\]

Основное правило отыскания $\hat{T}_{n}^{-1}$ по заданному $\hat{T}_{n}$ таково: вместо $\hat{L}_{n}$ подставляем $-\hat{L}_{n}$ и изменяем на обратный порядок записи всех произведений некоммутирующих $\hat{L}$-операторов.

Чтобы получить уравнения для $w_{n}$, умножим (2.5.14) на $\hat{T}$ слева и продифференцируем по $\varepsilon$
\[
\frac{d \hat{T}}{d \varepsilon} \bar{H}+\hat{T} \frac{d \bar{H}}{d \varepsilon}=\frac{d H}{d \varepsilon}+\hat{T} \frac{\partial \omega}{\partial t} .
\]

Исключая $d \hat{T} / d \varepsilon$ с помощью (2.5.10) и умножая слева на $\hat{T}^{-1}$, находим
\[
\frac{\partial w}{\partial t}=\frac{d \bar{H}}{d \varepsilon}-\hat{L} \bar{H}-\hat{T}^{-1} \frac{d H}{d \varepsilon} .
\]

Используя степенные разложения, в $n$-м порядке $(n
eq 0)$ имеем
\[
\frac{\partial \omega_{n}}{\partial t}=n \bar{H}_{n}-\sum_{m=0}^{n-1} \hat{L}_{n-m} \bar{H}_{m}-\sum_{m=1}^{n} m \hat{T}_{n-m}^{-1} H_{m} .
\]

Переписывая первый член первой суммы в виде $\hat{L}_{n} \bar{H}_{0}=\hat{L}_{n} H_{0}=$ $=\left[w_{n}, H_{0}\right]$, приходим к окончательному результату
\[
\hat{D}_{0} \varpi_{n}=n\left(\bar{H}_{n}-H_{n}\right)-\sum_{m=1}^{n-1}\left(\hat{L}_{n-m} \bar{H}_{m}+m \hat{T}_{n-m}^{-1} H_{m}\right),
\]

где учтено, что в нулевом порядке $\bar{H}_{0}=H_{0}$, и введено обозначение полной производной по времени вдоль невозмущенных траекторий
\[
\hat{D}_{0} \equiv \frac{\partial}{\partial t}+\left[, H_{0}\right] .
\]

Уравнения (2.5.29) до третьего порядка таковы
\[
\begin{array}{c}
\hat{D}_{0} w_{1}=\bar{H}_{1}-H_{1}, \\
\hat{D}_{0} w_{2}=2\left(\bar{H}_{2}-H_{2}\right)-\hat{L}_{1}\left(\bar{H}_{1}+H_{1}\right), \\
\hat{D}_{0} w_{3}=3\left(\bar{H}_{3}-H_{3}\right)-\hat{L}_{1}\left(\bar{H}_{2}+2 H_{2}\right)- \\
-\hat{L}_{2}\left(\bar{H}_{1}+\frac{H_{1}}{2}\right)-\frac{1}{2} \hat{L}_{1}^{2} H_{1} .
\end{array}
\]

Уравнение (2.5.31a) следует сравнить с эквивалентным ему уравнением первого порядка (2.2.10), полученным по методу ПуанкареЦейпеля. В обоих случаях по заданному $H_{1}$ мы выбираем некоторое $\bar{H}_{1}$ обычно так, чтобы устранить секулярности в производящей функции $w_{1}$ или $S_{1}$, а затем определяем саму производящую функцию. Полученное $w_{1}$ используется в правой части уравнения (2.5.316), где $\bar{H}_{2}$ выбирается таким образом, чтобы устранить секулярность в $w_{2}$ и т. д. вплоть до любого желаемого порядка.

Хотя система уравнений вида (2.5.31) формально справедлива при любом числе степеней свободы, но если их больше одной, то возникают резонансные знаменатели, так же как и при использовании производящих функций от смешанного набора переменных.

Формальный способ их устранения до любого порядка описан в п. 2.5в.

Маятник. Для иллюстрации применения рядов Депри продолжим рассмотрение примера в п. 2.2а и получим описание нелинейных колебаний маятника во втором порядке. Старый гамильтониан $(2.2 .22$ ) был записан в переменных действие – угол невозмущенной (линейной) системы $J, \theta$. В нулевом порядке из (2.2.22а) имеем
\[
\bar{H}_{0}(J)=\omega_{0} J .
\]

В первом порядке (2.5.31a) дает
\[
\omega_{0} \frac{\partial \omega_{1}}{\partial \theta}=\bar{H}_{1}-H_{1},
\]

где $H_{1}$ определяется выражением (2.2.22б)
\[
H_{1}=-\frac{G J^{2}}{48}(3-4 \cos 2 \theta+\cos 4 \theta) .
\]

Выбирая $\bar{H}_{1}$ так, чтобы исключить порождающее секулярность среднее от $H_{1}$, имеем
\[
\bar{H}_{1}(J)=\left\langle H_{1}\right\rangle=-\frac{1}{16} G J^{2},
\]

где скобки 〈〉 означают среднее по $\theta$. Уравнение (2.5.33) принимает вид
\[
\omega_{0} \frac{\partial \omega_{1}}{\partial \theta}=-\left\{H_{1}\right\}
\]

где скобками \{\} обозначена переменная часть. Интегрируя (2.5.35), находим выражение для $w_{1}$ :
\[
w_{1}=\frac{1}{192} \frac{G J^{2}}{\omega_{0}}(\sin 4 \theta-8 \sin 2 \theta) .
\]

Заметим, что в первом порядке $\bar{H}_{1}$ в (2.5.34) и $w_{1}$ в (2.5.36) совпадают с полученными ранее выражениями (2.2.23) и (2.2.25), где вместо $J$ фигурирует $\bar{J}$. Переходя ко второму порядку, переписываем уравнение (2.5.31б)
\[
\omega_{0} \frac{\partial w_{2}}{\partial \theta}=2\left(\bar{H}_{2}-H_{2}\right)-\hat{L}_{1}\left(\bar{H}_{1}+H_{1}\right)
\]

через средние и переменные части в виде
\[
\omega_{0} \frac{\partial w_{2}}{\partial \theta}=2\left(\bar{H}_{2}-\left\langle H_{2}\right\rangle-\left\{H_{2}\right\}\right)-2\left[w_{1},\left\langle H_{1}\right\rangle\right]-\left[w_{1},\left\{H_{1}\right\}\right] .
\]

Снова выберем $\bar{H}_{2}$ так, чтобы обратить в нуль среднее от правой части этого уравнения. Среднее от первых скобок Пуассона уже равно нулю, так как $w_{1}$ содержит только переменную часть. Вторые скобки Пуассона есть произведение двух функций и их среднее отлично от нуля. Положим
\[
\bar{H}_{2}=\left\langle H_{2}\right\rangle+\frac{1}{2}\left\langle\left[w_{1},\left\{H_{1}\right\}\right]\right\rangle .
\]

Выражая второй член с помощью (2.2.22б) и (2.5.36), находим
\[
\left[w_{1},\left\{H_{1}\right\}\right]=-\frac{1}{1152} \frac{G^{2} J^{3}}{\omega_{0}}(17-9 \cos 2 \theta+\cos 6 \theta) .
\]

Используя это соотношение и (2.2.22в), получаем
\[
\bar{H}_{2}=-\frac{1}{256} \frac{G^{2} J^{3}}{\omega_{0}} \text {. }
\]

Заметим, что $\bar{H}_{2}$ не есть просто среднее от $H_{2}$, а содержит дополнительное слагаемое, квадратичное по величинам первого порядка. Для получения $\bar{H}_{2}$ достаточно знать $w_{1}$ и вообще для определения $\bar{H}_{n}$ необходимо иметь вплоть до порядка ( $n-1$ ). Чтобы найти $w_{2}$, надо проинтегрировать уравнение (2.5.38), которое с учетом (2.5.39); принимает вид
\[
\omega_{0} \frac{\partial w_{2}}{\partial \theta}=-2\left\{H_{2}\right\}-2\left[w_{1},\left\langle H_{1}\right\rangle\right]-\left\{\left[w_{1},\left\{H_{1}\right\}\right]\right\} .
\]

Решение этого уравнения не представляет большого интереса и здесь не приводится. Суммируя $\bar{H}_{0}, \bar{H}_{1}$ и $\bar{H}_{2}$, получаем во втором порядке $(\varepsilon=1$ )
\[
\bar{H}=\omega_{0} J-\frac{1}{16} G J^{2}-\frac{1}{256} \frac{G^{2} J^{3}}{\omega_{0}} .
\]

На первый взгляд кажется странным, что новый гамильтониан является функцией только старого действия $J$. Последнее становится, однако, понятным, если учесть, что в методе Ли определяющими являются операции над функциями, а не над их аргументами. Это видно уже из вывода преобразования (2.5.8) с помощью преобразования функций (2.5.6). Аргументы же функций [например, $J$ в. (2.5.42)] являются формальными переменными и должны быть заменены в конце вычислений на преобразованные переменные $\left.[J=\bar{J}(\varepsilon)]^{\mathbf{1}}\right)$.

Так как $\bar{H}$ зависит только от $\bar{J}$, то новая частота с точностью до второго порядка равна
\[
\bar{\omega}=\frac{d \bar{H}}{d \bar{J}}=\omega_{0}\left[1-\frac{1}{8} \frac{G \bar{J}}{\omega_{0}}-\frac{3}{256} \frac{G^{2} \bar{J}^{2}}{\omega_{0}^{2}}\right] .
\]
1) Отмеченное выше недоразумение связано просто с неудачным обозначением; гамильтониан (2.5.42) зависит не от старой, а от формальной переменной, которую следовало бы обозначить другой буквой.- Прим. ред.

Это выражение следует сравнить с результатом (2.2.24) первого порядка. Исключая действие $\bar{J}$ из (2.5.43a), с помощью соотношения $\bar{H}(\bar{J})=E+F$, где $\bar{H}(\bar{J})$ дается формулой (2.5.42) с заменой $J$ на $\bar{J}$, а $\omega_{0}^{2}=F G$, получаем зависимость частоты колебаний от энергии
\[
\bar{\omega}=\omega_{0}\left[1-\frac{1}{8}\left(\frac{E+F}{F}\right)-\frac{5}{256}\left(\frac{E+F}{F}\right)^{2}\right] .
\]

Эта зависимость показана на рис. 2.2 в виде кривой 3 .
2.5в. Адиабатические инварианты

Несмотря на влияние резонансов, которое даже в первом порядке по $\varepsilon$ приводит к локальному изменению или разрушению адиабатических инвариантов, часто возникает необходимость в получении асимптотических разложений более высоких порядков. Такие вычисления оказываются очень громоздкими, если используется процедура усреднения Крускала или Боголюбова, потому что выполнение совместных обратных преобразований переменных быстро усложняется. Явные выражения для преобразований до второго порядка были получены в работе Мак-Намары и Уайтмена [292 ]; конкретный пример, использующий некоторые упрощения, рассмотрен Нортропом и др. [321].

Другой, более простой метод, использующий скобки Пуассона, был предложен еще Уиттекером [430] и развит в работах МакНамары и Уайтмена [292] и Джакалья [153]. Оба метода по существу эквивалентны до второго порядка, как было показано МакНамарой и Уайтменом [292], а для некоторого класса задач и во всех порядках, согласно Штерну [391 ]. Позднее Мак-Намара установил [290 l, что использование скобок Пуассона является частным случаем метода преобразований Ли. Последний метод сменил старую технику, в том числе и с использованием скобок Пуассона; он положен в основу нашего описания адиабатических инвариантов высших порядков. Подробности старых методов можно найти в цитированных выше работах.
Порядки величин при адиабатическом возмущении. При медленном возмущении гамильтониан имеет вид (см. п. 2.3а)
\[
H=H_{0}(J, \theta, \varepsilon y, \varepsilon t)+\varepsilon H_{1}(J, \theta, \varepsilon y, \varepsilon t)+\ldots
\]

Здесь $J, \theta$ переменные действие – угол для единственной быстрой степени свободы и $\boldsymbol{y}=(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q})$ – обобщенные переменные остальных медленных степеней свободы. Порядок производных по $\boldsymbol{y}$ и по времени $t$ на единицу выше порядка тех членов, из которых они получены. Построенные в п. 2.56 ряды не отражают этого изменения порядков и потому должны применяться с осторожностью. Для медленных возмущений оператор Ли имеет вид
\[
\hat{L}=\hat{L}_{f}+\varepsilon \hat{L}_{s},
\]

где быстрая часть
\[
\hat{L}_{f}=\left(\frac{\partial \omega}{\partial \theta} \frac{\partial}{\partial J}-\frac{\partial w}{\partial J} \frac{\partial}{\partial \theta}\right),
\]

а медленная
\[
\hat{L}_{s}=\sum_{i}\left(\frac{\partial w}{\partial\left(\varepsilon q_{i}\right)} \frac{\partial}{\partial\left(\varepsilon p_{i}\right)}-\frac{\partial w}{\partial\left(\varepsilon p_{i}\right)} \frac{\partial}{\partial\left(\varepsilon q_{i}\right)}\right)
\]

и $w=w(J, \theta, \varepsilon \boldsymbol{y}, \varepsilon t)$. Из выражения (2.5.23) видно, что $\hat{T}_{n}^{-1}$ определяется через коэффициенты степенных разложений $\hat{L}_{f}$ и $\hat{L}_{s}$ как полином $n$-го порядка по $\varepsilon$. Наконец, член $\partial w_{n} / \partial t$ в уравнении $(2.5 .29)$ имеет порядок $\varepsilon: \partial w_{n} / \partial t \rightarrow \varepsilon \partial w_{n} / \partial(\varepsilon t)$. Для решения этого уравнения можно разложить $w_{n}$ и $\bar{H}_{n}$ по степеням $\varepsilon$, например:
\[
w_{n}=\sum_{k=0}^{\infty} \varepsilon^{k} w_{n k}
\]

и приравнять в (2.5.29) коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$. В результате получается цепочка уравнений, из которой можно последовательно найти $w_{n 0}, w_{n_{1}} \ldots$… Ка каждом шаге $\bar{H}_{n k}$ выбирается так, чтобы устранить секулярность по быстрой переменной $\theta$. Фактически в $n$-м порядке теории возмущений необходимо найти члены $w_{m k}$ только для $m+k \leqslant n$. Эта процедура эквивалентна в любом порядке описанному в § 2.3 методу усреднения. Она является более удобной, поскольку в порядках величин быстрых и медленных переменных автоматически устанавливается разница на единицу; это позволяет проводить усреднение по быстрой переменной в любом порядке теории возмущений и исключать возникновение секулярных членов. Однако все присущие методу усреднения ограничения (см. §2.3) проявляются и здесь.
Первое уравнение цепочки ( $k=0$ ) есть
\[
\omega_{\theta} \frac{\partial w_{n 0}}{\partial \theta}=n\left(\bar{H}_{n 0}-H_{n}\right)-\sum_{m=1}^{n-1}\left(\hat{L}_{f, n-m} \bar{H}_{m 0}+m \hat{T}_{f, n-m}^{-1} H_{m}\right),
\]

причем выражения для $T_{f}^{-1}$ получаются из выражений (2.5.25) заменой $\hat{L}$ на $\hat{L}_{f}$. Каждое уравнение цепочки имеет вид
\[
\omega_{\theta} \frac{\partial w_{n k}}{\partial \theta}=n \widetilde{H}_{n k}+\Phi
\]

где $\Phi$ – известная функция медленных переменных и времени. В процессе решения этой цепочки уравнений резонансные знаменатели никогда не возникают, ибо левая часть (2.5.49) является производной только от быстрой фазовой переменной. Однако, как мы уже знаем, резонансы между быстрыми и медленными колебаниями приводят к тому, что ряд, представляющий $w_{n}$, оказывается асимптотическим.

Процедуру получения инварианта выше первого порядка лучше всего продемонстрировать на конкретном примере. Вначале мы продолжим вычисления п. 2. Зв и получим адиабатический инвариант второго порядка для медленно изменяющегося гармонического осциллятора. В качестве второго приложения теории найдем среднюю силу, действующую на заряженную частицу в поле высокочастотной электростатической волны.

Медленно изменяющийся гармонический осциллятор. Из выражения (2.3.25), обозначая штрихом дифференцирование по аргументу $\varepsilon t$ и записывая для простоты $\omega$ вместо $\omega_{0}$, получаем гамильтониан
\[
H=\omega J+\varepsilon \frac{1}{2} \frac{\omega^{\prime}}{\omega} J \sin 2 \theta,
\]

где
\[
\omega=\omega(\varepsilon t) .
\]

Примем в выражении (2.3.23) $G=1, F=\omega^{2}(\varepsilon t)$. В нулевом порядке $\bar{H}_{0}=H_{0}$; в первом порядке уравнение (2.5.31a) имеет вид
\[
\omega \frac{\partial w_{1}}{\partial \theta}+\varepsilon \frac{\partial w_{1}}{\partial(\varepsilon t)}=\bar{H}_{1}-H_{1} .
\]

Чтобы решить это уравнение с точностью до $\varepsilon$, полагаем
\[
\omega_{1}=\omega_{10}+\varepsilon \omega_{11}, \quad \bar{H}_{1}=\bar{H}_{10}+\varepsilon \bar{H}_{11},
\]

что приводит к системе
$\omega \frac{\partial \omega_{10}}{\partial \theta}=\bar{H}_{10}-\frac{1}{2} \frac{\omega^{\prime}}{\omega} J \sin 2 \theta$,
$\omega \frac{\partial w_{11}}{\partial \theta}=\bar{H}_{11}-\frac{\partial w_{10}}{\partial(\varepsilon t)}$.

Чтобы избежать секулярности в $w_{10}$ и $w_{11}$, следует выбрать $\bar{H}_{10}=0$ и $\bar{H}_{11}=0$, поэтому
\[
\bar{H}_{1}=\bar{H}_{10}+\varepsilon \bar{H}_{11}=0 .
\]

Интегрируя (2.5.54a) и подставляя полученное выражение для $w_{10}$ в $(2.5 .546)$, находим
\[
w_{1}=w_{10}+\varepsilon \omega_{11}=\frac{1}{4} \frac{\omega^{\prime}}{\omega^{2}} J \cos 2 \theta-\frac{\varepsilon}{8 \omega}\left(\frac{\omega^{\prime}}{\omega^{2}}\right)^{\prime} J \sin 2 \theta .
\]

Во втором порядке уравнение (2.5.31б) принимает вид
\[
\omega \frac{\partial w_{2}}{\partial \theta}+\varepsilon \frac{\partial w_{2}}{\partial(\varepsilon t)}=2\left(\bar{H}_{2}-H_{2}\right)-\hat{L}_{1}\left(\bar{H}_{1}+H_{1}\right) .
\]

Поскольку это уравнение следует решить в нулевом порядке по $\boldsymbol{\varepsilon}$, опустим второй член в левой части, а во втором члене правой части положим $\hat{L}_{1}=\hat{L}_{f 1}=\left[w_{10}, \quad\right]$; с учетом $H_{2}=0$, согласно (2.5.50), получим
\[
\omega \frac{\partial w_{20}}{\partial \theta}=2 \bar{H}_{20}-\left[w_{10}, H_{1}\right] .
\]

Скобки Пуассона
\[
\left[w_{10}, H_{1}\right]=-\frac{1}{4} \frac{\left(\omega^{\prime}\right)^{2}}{\omega^{3}} J
\]

не содержат переменной части. Чтобы избежать секулярности, полагаем
\[
\bar{H}_{20}=-\frac{1}{8} \frac{\left(\omega^{\prime}\right)^{2}}{\omega^{3}} J,
\]

откуда $w_{20}=0$.
Подставляя вместо формальной переменной $J$ переменную $\bar{J}$, для нового гамильтониана второго порядка находим
\[
\vec{H}=\omega \bar{J}-\frac{1}{8} \frac{\left(\omega^{\prime}\right)^{2}}{\omega^{3}} \bar{J} .
\]

Дифференцируя это выражение по $\bar{J}$, определяем новую частоту
\[
\bar{\omega}=\omega\left[1-\frac{1}{8}\left(\frac{\omega^{\prime}}{\omega^{2}}\right)^{2}\right] .
\]

Согласно (2.5.8), можно выразить новое действие $\bar{J}$ через старые переменные
\[
\bar{J}=\hat{T} J .
\]

Используя (2.5.24а) и (2.5.24б), во втором порядке имеем
\[
\bar{J}=J-\varepsilon\left[w_{1}, J\right]+\frac{\varepsilon^{2}}{2}\left[w_{10},\left[w_{10}, J\right]\right] .
\]

В эту зависимость входит функция первого порядка $w_{1}$. Используя определяющее ее выражение (2.5.56), получаем
\[
\bar{J}=J+\frac{\varepsilon}{2} \frac{\omega^{\prime}}{\omega^{2}} J \sin 2 \theta+\frac{\varepsilon^{2}}{8}\left(\frac{\omega^{\prime}}{\omega^{2}}\right)^{2} J+\frac{\varepsilon^{2}}{4 \omega}\left(\frac{\omega^{\prime}}{\omega^{2}}\right)^{\prime} J \cos 2 \theta .
\]

В силу (2.5.61) $\bar{J}=$ const, и соотношение (2.5.65) описывает инвариантные кривые на плоскости $(J, \theta)$. Этот результат совпадает с полученным в работах [282, 391, 429 ], однако использование преобразований Ли позволило существенно упростить вычисления.
Движение в бытро осциллирующем поле. В качестве второго примера найдем среднюю силу, действующую на заряженную частицу в поле электростатической волны с медленно изменяющейся амплитудой ${ }^{1}$ ). Хорошо известно, что средняя сила пропорциональна квадрату амплитуды волны, поэтому потребуется провести вычисления во втором порядке. Примем гамильтониан в виде
\[
H_{W}(p, x, t)=\frac{1}{2 m} p^{2}+\varepsilon e \Phi(\varepsilon k x) \cos (k x-\omega t),
\]

где параметр $\varepsilon$ соответствует адиабатическому возмущению. Вводя расширенное фазовое пространство и считая $E=-H_{W}$ импульсом, канонически сопряженным времени $t$, находим
\[
H_{e}(p, E, x, t)=\frac{1}{2 m} p^{2}+E+\varepsilon e \Phi(\varepsilon k x) \cos (k x-\omega t) .
\]

С помощью производящей функции
\[
F_{2}=(-k x+\omega t) J_{\theta}+k x J_{\varphi}
\]

имеем
\[
\begin{array}{c}
E=\frac{\partial F_{2}}{\partial t}=\omega J_{\theta}, \quad \varphi=\frac{\partial F_{2}}{\partial J_{\varphi}}=k x, \\
p=\frac{\partial F_{2}}{\partial x}=k\left(J_{\varphi}-J_{\theta}\right), \quad \theta=\frac{\partial F_{2}}{\partial J_{\theta}}=\omega t-k x .
\end{array}
\]

Новый гамильтониан $H$ зависит от быстрой $\theta$ и медленной $\varepsilon \varphi$ фаз:
\[
H=H_{0}+\varepsilon e \Phi(\varepsilon \varphi) \cos \theta,
\]

а гамильтониан невозмущенного движения
\[
H_{0}=\frac{k^{2}}{2 m}\left(J_{\varphi}-J_{\theta}\right)^{2}+\omega J_{\theta}
\]

определяет частоты колебаний
\[
\begin{array}{c}
\omega_{\varphi}=\frac{k^{2}}{m}\left(J_{\varphi}-J_{\theta}\right)=k v_{x}, \\
\omega_{\text {ᄇ }}=\omega-\frac{k^{2}}{m}\left(J_{\varphi}-J_{\theta}\right)=\omega-k v_{\lambda} .
\end{array}
\]
$\qquad$
1) Это неудачный пример для демонстрации преимущества метода преобразования Ли, поскольку рассматриваемая задача гораздо проще и в более общем виде решается с помощью классического метода усреднения (см., например, [453], § 30).- Прим. ред.

Условие адиабатичности ( $\omega_{\varphi} \ll \omega_{\theta} ; \varepsilon=1$ ) требует, чтобы частица была далеко от резонанса с волной
\[
\left|\frac{\omega}{k}-v_{x}\right| \gg v_{x} .
\]

Введем теперь преобразования Ли. В нулевом порядке по $\varepsilon$ гамильтониан $\bar{H}_{0}=H_{0}$, а в первом порядке
\[
\omega_{\theta} \frac{\partial \omega_{1}}{\partial \theta}+\varepsilon \omega_{\varphi} \frac{\partial \omega_{1}}{\partial(\varepsilon \varphi)}=\bar{H}_{1}-e \Phi \cos \theta .
\]

Функцию $w_{1}$ необходимо найти с точностью до $\varepsilon$, поэтому полагаем
\[
\begin{array}{l}
w_{1}=w_{10}-\varepsilon w_{11}, \\
\widetilde{H}_{1}=\bar{H}_{10}+\varepsilon \bar{H}_{11}
\end{array}
\]

и находим
\[
\begin{array}{l}
\omega_{\theta} \frac{\partial w_{10}}{\partial \theta}=\bar{H}_{10}-\varepsilon \Phi \cos \theta, \\
\omega_{\theta} \frac{\partial \omega_{11}}{\partial \theta}=\bar{H}_{11}-\omega_{\varphi} \frac{\partial w_{10}}{\partial(\varepsilon \varphi)} .
\end{array}
\]

Так как среднее от $е \Phi \cos \theta$ равно нулю, то выбираем $\bar{H}_{10}=0$ и интегрируем (2.5.77a)
\[
w_{10}=-\frac{e \Phi}{\omega_{\theta}} \sin \theta .
\]

Используя это выражение в (2.5.77б) и полагая $\bar{H}_{11}=0$, после интегрирования находим
\[
\omega_{11}=-\frac{\omega_{\varphi}}{\omega_{\theta}} \frac{e \Phi^{\prime}}{\omega_{\theta}} \cos \theta .
\]

Переходя ко второму порядку теории, мы должны найти $w_{2}$ в нулевом порядке по $\varepsilon$, поэтому опускаем в уравнении (2.5.31б) члены высших порядков, учитываем, что $H_{2}=0, \bar{H}_{1}=0, \partial H_{1} / \partial J_{\theta}=$ $=0$, и получаем
\[
\omega_{\theta} \frac{\partial w_{2 n}}{\partial \theta}=2 \bar{H}_{20}+\frac{\partial w_{10}}{\partial J_{\theta}} \frac{\partial H_{1}}{\partial \theta} .
\]

Выберем $\bar{H}_{20}$ так, чтобы исключить секулярность по $\theta$ :
\[
\bar{H}_{20}=-\frac{1}{2}\left\langle\frac{\partial w_{10}}{\partial J_{\theta}} \frac{\partial H_{1}}{\partial \theta}\right\rangle_{\theta} .
\]

Вычисляя это выражение с помощью (2.5.78a), приходим к квадратичной зависимости гамильтониана от амплитуды волны
\[
\bar{H}_{20}=\frac{1}{4} \frac{e^{2} \Phi^{2}(\varepsilon \varphi)}{\omega_{\theta}^{2}} \frac{\partial \omega_{\theta}}{\partial J_{\theta}} .
\]

Возвращаясь в усредненном гамильтониане $\bar{H}=\bar{H}_{0}+\varepsilon \bar{H}_{1}+\varepsilon^{2} \overline{H_{2}}$ к исходным переменным, получаем выражение в виде суммы кинетической и эффективной потенциальной энергии ( $\varepsilon=1$ ):
\[
\bar{H}_{W}=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{k^{2}}{4 m} \frac{e^{2} \Phi^{2}(k x)}{\left(\omega-k v_{x}\right)^{2}}=\frac{p^{2}}{2 m}+U_{\text {эфф }}(x)=\text { const. }
\]

Средняя сила равна
\[
\bar{F}=-\frac{\partial U_{\Im \Phi \Phi}}{\partial x}=-\frac{e^{2} k^{3}}{2 m} \frac{\Phi \Phi^{\prime}}{\left(\omega-k v_{x}\right)^{2}} .
\]

Видно, что эта сила обращается в нуль вблизи максимума или минимума амплитуды волны, причем минимум отвечает устойчивым колебаниям частицы.

При приближении к резонансу средняя сила, согласно (2.5.83), неограниченно возрастает, но при этом нарушается условие адиабатичности ( $\left.\omega_{\varphi} \ll \omega_{\theta}\right)$. Этот случай можно исследовать в рамках резонансной теории возмущений, или в более высоком порядке, с помощью комбинации метода ДЛТ и преобразований Ли, как это будет описано ниже.
Устранение резонансных знаменателей. Адиабатические инварианты, как это было показано в § 2.4 , в окрестности резонансов претерпевают топологические изменения. Для отдельного резонанса замена переменных вида (2.4.6) (резонансные переменные) позволяет учесть изменения топологии и составляет основу резонансной теории возмущений, изложенной в п. 2.4а в первом порядке по $\varepsilon$. Поскольку для двух степеней свободы движение полностью разделяется на быстрое и медленное, то методы этого параграфа применимы и для нахождения интегралов движения более высоких порядков вблизи резонансов.

В работе [290] Мак-Намара соединил технику преобразований Ли с методом ДЛТ (п. 2.4г). Напомним, что с помощью этого метода для определенного класса задач удается построить интеграл движения первого порядка с учетом влияния сразу всех первичных резонансов. Метод основан на том факте, что если $J$ – интеграл невозмущенной системы, то и любая функция $I_{0}(J)$ также является интегралом. Выбирая $I_{0}(J)$ так, чтобы производная $d I_{0} / d J$ обращалась в нуль при резонансных значениях $J$, можно учесть топологические изменения интеграла $\bar{I}$ возмущенной системы. Техника преобразований Ли позволяет легко ввести функцию $I_{0}$ вместо $J$ следующим образом. В соответствии с методом этого параграфа эволюционный оператор $\hat{T}$ вычисляется с точностью до желаемого порядка $n$. Затем, вместо записи интеграла в форме (2.5.63), т. е.
\[
\bar{J}=\hat{T} J=\text { const, }
\]

положим
\[
\bar{I}=\hat{T}^{-1} I_{0}=\text { const }
\]

и выберем $I_{0}(J)$ так, чтобы устранить полюсы функции $\bar{I}(J)$. МакНамара показал, что необходимость выбора $I_{0}(J)$ возникает только после того, как будет достигнут $n$-й порядок разложений, и дал правила такого выбора.

Резонансное взаимодействие волны и частицы. Применим последний метод к решению рассмотренной ранее в п. 2.26 задачи для волны, распространяющейся под углом $45^{\circ}$ к магнитному полю, с гамильтонианом (2.4.108). В первом порядке уравнение (2.5.31a) принимает вид
\[
P_{\psi} \frac{\partial w_{1}}{\partial \psi}+\frac{\partial w_{1}}{\partial \varphi}=-\sum_{m=0}^{\infty} \mathcal{F}_{m}(\rho) \sin (\psi-m \varphi) .
\]

Запишем решение этого уравнения:
\[
w_{1}=\sum_{m=0}^{\infty} \mathscr{F}_{m}(\rho) \frac{\cos (\psi-m \varphi)}{P_{\psi}-m} .
\]

С помощью (2.5.25a) находим интеграл движения
\[
\bar{I}=I_{0}\left(P_{\psi}\right)+\varepsilon\left[w_{1}, I_{0}\right],
\]

или
\[
\bar{I}=I_{0}+\varepsilon \frac{\partial w_{1}}{\partial \psi} \frac{d I_{0}}{d P_{\psi}} .
\]

Если выбрать $d I_{0} / d P_{\psi}$ согласно (2.4.109), то все резонансные знаменатели в (2.5.87) сокращаются и для $I$ получается выражение (2.4.111). Первичные резонансы при $P_{\psi}=+1,0,-1$ хорошо описываются полученным интегралом движения (см. п. 2.4г).

Переходя ко второму порядку, следует решить уравнение (2.5.31б) и найти $w_{2}$. С помощью (2.5.25) получаем интеграл движения в виде
\[
\bar{I}=I_{0}+\varepsilon\left[w_{1}, I_{0}\right]+\frac{{ }^{r} \varepsilon^{2}}{2}\left[w_{2}, I_{0}\right]+\frac{\varepsilon^{2}}{2}\left[w_{1},\left[w_{1}, I_{0}\right]\right] .
\]

Эта функция имеет полюсы второго порядка при целых $P_{\psi}$ и полюсы первого порядка при полуцелых $P_{\psi}$. Чтобы устранить все эти полюсы, выберем
\[
\frac{d I_{0}}{d P_{\psi}}=\sin ^{2} \pi P_{\psi} \sin 2 \pi P_{\psi} .
\]

Инвариантные кривые ( $\bar{I}=$ const) показаны на рис. 2.13 ; их следует сравнить с инвариантными кривыми первого порядка (рис. 2.12, б) и с численными результатами (рис. 2.10, б).Полуцелые резонансы, как и нерезонансные области, хорошо воспроиз-

Рис. 2.13. То же, что и на рис. $2.10,6$ во втором порядке по $\varepsilon=0,1$ (по данным работы [290]).

водятся на рис. 2.13. Однако целые резонансы сильно искажены, хотя для меньшей величины возмущения согласие гораздо лучше [290 ]. Здесь остается еще много неясных вопросов ${ }^{1}$ ).