7.2а. Основные свойства

Рассмотрим свойства одномерных отображений вида
$$x_{n+1}=f(x_n,C)\text{, }$$

где $C$ — некоторый параметр. Қак мы уже видели, к таким отображениям сводятся более сложные диссипативные системы ${}^1$ ). Они возникают также и как самостоятельные простые модели некоторых систем. Например, переменная $x_n$ может описывать популя-

Рис. 7.8. Типичный пример одномерного необратимого отображения.

цию какого-то вида в $n$-й год, а $f$ — влияние окружающей среды. Пусть задана начальная популяция $x_0$. Как будет изменяться эта популяция? Как ее эволюция зависит от окружающей среды?

Ниже мы ограничимся функциями $f$ некоторого определенного вида. Если $f$ — линейная функция, то решение (7.2.1) тривиально. В случае обратимой функции $f$ (монотонная зависимость от $x$ ) движение также простое и не обладает хаотическими свойствами. Стационарные состояния являются периодическими, а бифуркации типа удвоения периода отсутствуют. Как будет видно ниже, хао- $$
1) Это справедливо, если исходная система имеет только один положительный показатель Ляпунова.

тическое движение связано ${}^1$ ) с областями вблизи $f^{\prime }(x)=0$. Поэтому мы ограничимся простейшим интересным случаем, когда $f(x)$ имеет единственный максимум (ити минимум). Типичная $f(x)$ в этом случае схематически изображена на рис. 7.8. Для малых $x$ происходит увеличение $x$, а для больших — уменьшение. Такое отображение может, например, моделировать окружающую среду, в которой рост популяции ограничен запасами пищи и загрязнением окружающей среды.

Итерируя (7.2.1), можно проследить за эволюцией $x$ для любого заданного $x_0$. Можно также исследовать поведение (7.2.1) графически:
a) по $x_0$ находим $x_1=f\left(x_0\right)$, двигаясь вертикально вверх (см. рис. 7.8 ;
б) переводим $x_1$ на ось $x$, двигаясь горизонтально до пересечения с прямой $f=x$;
в) повторяя «а» и «б», находим $x_2,x_3$ и т. д. Из рис. 7.8 видно, что отображение необратимо, поскольку одному и тому же $x_1$ соответствуют два начальных состояния $x_0$ и $x_0^{\prime }$. Поэтому обратное отображение будет неоднозначным.
Для случая, изображенного на рис. 7.8 , вне зависимости от выбора $x_0$ решение сходится к точке $x_{11}$, которая является неподвижной точкой отображения:
$$x_{11}=f\left(x_{11}\right).$$

Ясно также, что $x_{11}$ — устойчивая (притягивающая) неподвижная точка. Другая неподвижная точка $x=0$ является неустойчивой (отталкивающей).
Квадратичные отображения. Как уже упоминалось, переход к хаосу для одномерного отображения с одним максимумом определяется поведением отображения вблизи его экстремума. Для типичного случая, когда $f^{\prime }=0$, но $f^{\prime \prime }eq0$, отображение локально квадратично. Разложение в ряд Тейлора вблизи экстремума приводит к. квадратичному отображению общего вида
$$z_{n+1}=a+b{z}_n+c{z}_n^2\text{. }$$

Линейным преобразованием его можно привести к нормальной форме, которую мы и будем называть квадратичным отображением:
$$x_{n+1}=f\left(x_n\right),$$

где
$$f\left(x_n\right)=2C{x}_n+2x_n^2.$$
1) Это условие не является необходимым для хаоса, как показывает рассмотренный ранее пример (5.2.32), а также отображение Лоренца (рис. 1.21). Напротив, области с $f^{\prime }=0$ способствуют устойчивости (регулярности) движения, так как они уменьшают показатели Ляпунова [см. (7.2.46) ]. Поэтому рассматриваемая ниже теория бифуркаций удвоения периода в окрестности $f^{\prime }(x)=0$ есть прежде всего теория сложного разрушения такой устойчивости.- Прим. ред.

Представляют интерес две области параметра $C$. Для $0<C<2$ интервал $-C<x<0$ переходит в себя, как показано на рис. $7.9,a$ и б. Для $-1<C<1/2$ переходит в себя интервал $-1/2<x<$ $<1/2-C$ (см. рис. $7.9,8-e$ ). Отметим, что эти два интервала значений $C$ перекрываются (см. рис. $7.9,6$ и $в$ ), а движение в обоих случаях аналогично и отличается только тем, какой отрезок $x$ переходит в себя. Особое значение имеет точка $x^{\ast }=-C/2$, в которой функция $f$ экстремальна.

Рис. 7.9. Қвадратичное отображение (7.2.4) для различных значений параметра $C$.
Сплошная кривая показывает отрезок $x$, переходящий в себя. Случай I: $-C<x<0$;
д) $-12<C<0;e)-1<C<-1/2$.

Другая удобная форма квадратичного отображения получается путем замены $x=-(\mu /2)$ у и $C=\mu /2$ в (7.2.4). Это приводит к так называемому логистическому отображению:
$$y_{n+1}=\mu y_n(1-y_n).$$

Дія $0<\mu <4$ интервал $0<y<1$ переходит в себя. Это соответствует значениям $C$ в интервале $0<C<2$ (рис. $7.9,a$ и б). Отображение (7.2.5) использовалось как для изучения общих свойств одномерных отображений, так и в некоторых задачах популяционной биологии. На рис. 7.10 показано отображение (7.2.5) для двух значений $\mu$. Оба отображения, (7.2.4) и (7.2.5), являются эквивалентными представителями общего квадратичного отображения (7.2.3).
Зеркальная симметрия. Қвадратичные отображения обладают симметрией, которая приводит к одному и тому же поведению для двух разных значений параметра. Действительно, производя в (7.2.4) линейную замену
$$x=\overline{x}+\frac{1}{2}-C,$$

Рис. 7.10. Отображение (7.2.5) для $0<\mu <4$.
Интервал $0<y<1$ преобразуется сам в себя.
получаем
$${\overline{x}}_{n+1}=2{\overline{C}}_{x_n}+2{\overline{x}}_n^2,$$

где новый параметр $\overline{C}$ равен
$$\overline{C}=1-C.$$

Из сравнения (7.2.7) и (7.2.4) следует, что квадратичные отображения с параметрами, равными $C$ и $1-C$, обладают одними и теми же свойствами. Иначе говоря, отображение (7.2.4) симметрично относительно $C=1/2$. Аналогично, производя замену
$$y=(1-{\mu }^{-1})-(1-2{\mu }^{-1})\overline{y}$$

в отображении (7.2.5), получаем
$${\overline{y}}_{n+1}={\overline{\mu }}_{y_n}(1-{\overline{y}}_n),$$

где
$$\overline{\mu }=2-\mu ,$$
т. е. отображение симметрично относительно $\mu =1$.

7.2б. Периодическое движение

Рассмотрим неподвижные точки квадратичного отображения (7.2.4) и их линейную устойчивость. Неподвижные точки находятся из условия:
$$x_1=2C{x}_1+2x_1^2\text{, }$$

которое соответствует пересечению кривой $f(x)$, определяемой (7.2.4б), и прямой $f=x$. Решение (7.2.12) имеет два корня:
$$x_{10}=0,x_{11}=\frac{1}{2}-C.$$

Устойчивость неподвижных точек определяется из тинеаризованного отображения ( $\mathrm{\$}3.3$ ). Подставляя
$$x_n=x_1+\mathrm{\Delta }{x}_n$$

в (7.2.4) и удерживая только линейные члены, получаем
$$\mathrm{\Delta }{x}_n={\lambda }_1^n\mathrm{\Delta }{x}_0,$$

где собственное значение ${\lambda }_1=f^{\prime }\left(x_1\right)$. Следовательно, $x_1$ — устойчивая (притягивающая) неподвижная точка, если $\left|{\lambda }_1\right|<1$, и неустойчивая (отталкивающая), если $\left|{\lambda }_1\right|>1$. Отсюда следует, что точка $x_{11}$ устойчива при
$$\left|f^{\prime }\left(x_{11}\right)\right|=|2—2C|<1,$$

или для $1/2<C<3/2$. Аналогично неподвижная точка $x_{10}$ устойчива при
$$\left|f^{\prime }\left(x_{10}\right)\right|=|2C|<1,$$

или для $-1/2<C<1/2$.
Бифуркации. Рассмотрим устойчивость отображения при уменьшении параметра $C$, начиная с некоторого $C>1/2$, когда точка $x_{11}$ устойчива, а $x_{10}$ неустойчива. При $C_0=1/2$ точка $x_{11}$ становится неустойчивой, а $x_{10}$ — устойчивой. При дальнейшем уменьшении $C$ вплоть до $C=C_1=-1/2$ точка $x_{10}$ остается устойчивой.

Чтобы понять, что происходит при $C<-1/2$, нужно рассмотреть периодические точки периода 2 , которые находятся из условия:
$$x_2=f\left(f\left(x_2\right)\right).$$

Это соответствует пересечению кривой
$$f_2(x)=f(f(x))$$

с прямой $f=x$, как показано на рис. 7.11 , $a$ и б для $C>-1/2$ и $C<-1/2$ соответственно. Если $C>-1/2$, то оба пересечения соответствуют неподвижным точкам $x_{11}=1/2-$ и $x_{10}=0$, которые, очевидно, удовлетворяют и (7.2.16). В этом случае наклон $f_2(x)$ в нуле меньше единицы, так как
$$f_2^{\prime }\left(x_{10}\right)={\lambda }_1^2\text{, }$$

а $\left|{\lambda }_1\right|<1$ для $C>-1/2$. Если же параметр $C$ становится меньше — $1/2$, то наклон увеличивается и рождается пара неподвижных точек отображения $f_2$ (или периодических точек отображения $f$,

Рис. 7.11. Возникновение двух неподвижных точек $x_2:$ с периодом 2 для квадратичного отображения.
$f_2(x)=f(f(x)):$
a) $C>-1;2$; б) $C<-1,2$.

рис. 7.11, б). Они удовлетворяют условиям
$$\begin{array}{l}{x}_{2+}=f\left(x_{2-}\right)=f_2\left(x_{2+}\right),\\ x_{2-}=f\left(x_{2+}\right)=f_2\left(x_{2-}\right).\end{array}$$

Позже мы получим явные выражения для $x_{2+}$ и $x_{2-}$ как функций параметра $C$.

Устойчивость $x_{2\pm }$ можно исследовать, как обычно, с помощью замены $x_{2,n}=x_{2\pm }+\mathrm{\Delta }{x}_{2,n}$ и линеаризации отображения. Для точки $x_{2-}$ находим
$$\mathrm{\Delta }{x}_{2,n}={\lambda }_{2-}^n\mathrm{\Delta }{x}_0,$$

где
$${\lambda }_{2-}=f_2^{\prime }\left(x_{2-}\right)=f^{\prime }\left(x_{2-}\right)f^{\prime }\left(x_{2+}\right).$$

Аналогично для $x_{2+}$ :
$${\lambda }_{2+}=f^{\prime }\left(x_{2+}\right)f^{\prime }\left(x_{2-}\right)={\lambda }_{2-}.$$

Видно, что наклоны (собственные значения) одинаковы для обеих точек. Қак отмечено в п. 3.3а, для канонических отображений это свойство является общим для неподвижных точек любого периода.

Из рис. 7.11, б следует, что если значение $C$ чуть меньше $C_1=$ $=-1/2$, то $\left|{\lambda }_2\left(x_{2-}\right)\right|=\left|{\lambda }_2\left(x_{2+}\right)\right|<1$. Таким образом, как только неподвижная точка периода 1 становится неустойчивой, появляется пара устойчивых неподвижных точек с удвоенным периодом. Это явление иллюстрируется на рис. 7.12 , где показана

Рис. 7.12. Положение неподвижных точек $x_{10},x_{11},x_2+$ и $x_{2-}$ в зависимости от $C$.
Устойчивые неподвижные точки представлены сплошиыми линиями, неустойчивые пунктирными. Показан также экстремум $f$ при $x^{\ast }=-C/2.A-$ бифуркация удвоения; $A^{\prime }$ — зеркальная бифуркация удвоения.

зависимость координат неподвижных точек от параметра $C$. Сплошная линия обозначает устойчивость точки, а штриховая — неустойчивость. Рождение пары устойчивых точек удвоенного периода при $C<-1/2$ является примером бифуркации удвоения (см. § 7.1). На рис. 7.2 , в показана также зеркальная бифуркация удвоения, соответствующая зеркальному отображению (7.2.7).

При дальнейшем уменьшении параметра $C$ обе неподвижные точки периода 2 становятся неустойчивыми. Поскольку в их окрестности отображение $f_2(x)$ также квадратично, следует ожидать аналогичной бифуркации, при которой возникают четыре неподвижные точки периода 4 и т. д. Означает ли это, что при любом значении параметра имеется либо устойчивое решение, либо (устойчивая) бифуркация? Оказывается, что нет. Последовательность бифуркаций удвоения периода кончается, достигая бесконечного периода при конечном значении параметра $C=C_{\mathrm{\infty }}$. За этим значением лежат области хаоса.

Метод ренормализации. Для более глубокого понимания явления последовательных бифуркаций рассмотрим ренормализацию отображения с одним максимумом при переходе от одной бифуркации к следующей. Строгая теория ренормализации [83, 122$]$, применимая к любым отображениям с одним максимумом, основана на решении некоторых функциональных уравнений. Соответствующие математические методы сложны и выходят за рамки этой монографии. Вместо этого, следуя Хеллеману [180-182], мы используем более простой, хотя и менее общий, метод локальной аппроксимации отображения с одним квадратичным максимумом. Это позволяет построить приближенную теорию ренормализации на основе алгебраических, а не функциональных уравнений. Для квадратичного отображения (7.2.4), как мы видели выше, устойчивая неподвижная точка $x_{10}$ периода 1 возникает с уменьшением $C$ при $C=$ $=C_0=1/2$, а устойчивые точки периода 2 — при $C_1=-1/2$. Последние получаются из (7.2.18):
$$x_{2\pm }=a\pm b,$$

где
$$\begin{array}{l}2a=-1/2-C\\ 4b^2=(C+\frac{1}{2})(C-\frac{3}{2}),b>0.\end{array}$$

Подставляя
$$x=x_{2\pm }+\mathrm{\Delta }x$$

в $(7.2.4)$, получаем
$$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }{x}_{n+1}=d\mathrm{\Delta }{x}_n+2\mathrm{\Delta }{x}_n^2,\\ \mathrm{\Delta }{x}_{n+2}=e\mathrm{\Delta }{x}_{n+1}+2\mathrm{\Delta }{x}_{n+1}^2,\end{array}$$

где
$$\begin{array}{l}d=2C+4x_{2+},\\ e=2C+4x_{2-},\end{array}$$

и начальные условия выбираются таким образом, чтобы при четных $n$ величина $\mathrm{\Delta }x$ была близка к $x_{2+}$, а при нечетных — к $x_{2-}$. Исключая $\mathrm{\Delta }{x}_{n+1}$ и удерживая члены по $\mathrm{\Delta }x$ до квадратичных включительно, получаем для четных $n$
$$\mathrm{\Delta }{x}_{n+2}=de\mathrm{\Delta }{x}_n+2(e+d^2)\mathrm{\Delta }{x}_n^2.$$

Путем изменения масштаба
$$x^{\prime }=\alpha \mathrm{\Delta }x$$

приводим (7.2.24) к виду
$$x_{n+2}^{\prime }=2C^{\prime }{x}_n^{\prime }+2{\left(x_n^{\prime }\right)}^2,$$

где
$$\begin{array}{rl}{C}^{\prime }& =de/2=-2C^2+2C+2,\\ \alpha & =e+d^2=16b^2-12b,\end{array}$$

а $b$ определяется согласно (7.2.21в). Так как (7.2.26) имеет тот же самый вид, что и исходное отображение (7.2.4), его неподвижные точки испытывают бифуркацию удвоения периода при $C^{\prime }=-12$. С учетом (7.2.27) это значение соответствует
$$C=C_2=\frac{1-\sqrt{6}}{2}\approx -0,72474,$$

при котором возникают неподвижные точки периода 4. Из (7.2.21) следует, что $x_{2+}\approx 0,466$ и $x_{2-}\approx -0,241$ при $C=C_2$. Отметим, что точка $x_{2+}$ лежит вблизи экстремума $f$ при $x^{\ast }=-C2$; этот факт мы используем ниже при нахождении закона подобия (7.2.36).

Последовательность бифуркаций сходится к: предельному значению $C^{\prime }=C=C_{\mathrm{\infty }}$, которое находится из (7.2.27):
$$-2C_{\mathrm{\infty }}^2+2C_{\mathrm{\infty }}+2=C_{\mathrm{\infty }}\text{, }$$

отсюда
$$C_{\mathrm{\infty }}=\frac{1-\sqrt{17}}{4}\approx -0,781.$$

Численное моделирование дает $C_{\mathrm{\infty }}\approx -0,78497$, что находится в хорошем согласии с результатом ренормализации.

Скорость сходимости $C$ к $C_{\mathrm{\infty }}$ можно приближенно найти, предполагая, что асимптотически сходимость происходит по закону ${}^1$ )
$$C_k\approx C_{\mathrm{\infty }}+A{\delta }^{-k}.$$

Подставляя это выражение в (7.2.27) и замечая, что $k$-я бифуркация по $C^{\prime }$ соответствует $(k+1)$-й по $C$, т. е.
$$C_k=-2C_{k+1}^2+2C_{k+1}+2,$$

получаем
$$\delta =-4C_{\mathrm{\infty }}+2=1+\sqrt{17}\approx 5,12.$$

Численное решение точного уравнения ренормализации, найденное впервые Фейгенбаумом [122], дает для отображения с одним квадратичным максимумом $\delta \approx 4,6692$. Закон подобия (7.2.30) можно представить в виде
$$\frac{C_{k+1}-C_k}{C_k-C_{k-1}}=\frac{1}{\delta }.$$

Постоянная $\delta$ не зависит от выбора параметра. Действительно,
1) Это предположение следует из (7.2.27); см. ниже.- Прим. ред.

введем новый параметр $P=g(C)$. Считая, что $g$ — обратимая функция, разложим $P(C)$ вблизи $C_{\mathrm{\infty }}$ :
$$P_k-P_{\mathrm{\infty }}=g^{\prime }\left(C_{\mathrm{\infty }}\right)(C_k-C_{\mathrm{\infty }}).$$

Решая это уравнение относительно $C_k$ и подставляя решение в (7.2.32), находим универсальное соотношение
$$\frac{P_{k+1}-P_k}{P_k-P_{k-1}}=\frac{1}{\delta }.$$

Фактически из точной теории ренормализации следует, что $\delta$ универсальная константа для всех отображений с одним квадратичным максимумом. Принимая, что асимптотический закон (7.2.30) справедлив и для $k=0$ и $k=1$, получаем полезную оценку для предельного значения параметра (точки сгущения):
$$P_{\mathrm{\infty }}=P_0-\frac{\delta }{\delta -1}(P_1-P_0)=P_0+1,24(P_1-P_0),$$

где использовано приближенное значение (7.2.31) для $\delta$.
Наконец, перейдем к параметру подобия $\alpha$, входящему в (7.2.25). Из (7.2.28) и (7.2.21в) при $C=C_{\mathrm{\infty }}$ [см. (7.2.29)]:
$$\alpha =16b^2-12b\approx -2,24\text{. }$$

Точная теория ренормализации дает $\alpha \approx -2,5029$. Параметр $\alpha$ определяет (асимптотически) изменение масштаба $x$ при последовательных бифуркациях. Иначе говоря, при увеличении в $\alpha$ раз вблизи $x^{\ast }=-C/2$ очередная бифуркация будет выглядеть точно так же, как и предыдущая. В частности, расстояние между неподвижными точками при последовательных бифуркациях вблизи $x^{\ast }$ подчиняется закону подобия
$$\frac{x_{k+}-x_{k-}}{x_{k+1,+}-x_{k+1,-}}=\alpha .$$

Это соотношение справедливо для ветви, идущей от $x_{k+}$.
Поскольку $f$ локально квадратичная функция $x$, то для первых итераций точек вблизи $x^{\ast }$ масштаб изменяется как ${\alpha }^2$. Отсюда
$$\frac{f\left(x_{k+}\right)-f\left(x_{k-}\right)}{f\left(x_{k+1,+}\right)-f\left(x_{k+1,-}\right)}={\alpha }^2.$$

Полученное соотношение выполняется для значений $x_k$ на ветви, идущей от $x_{k-}$. Таким образом, для половины неподвижных точек периода $2^k$ масштаб изменяется как $\alpha$, а для остальных как ${\alpha }^2$ [см. (7.2.38) ].

Рис. 7.13 поясняет это поведение. На рис. 7.13 , a отрезок $\mathrm{\Delta }{x}_1$ вблизи минимума отображения переходит в отрезок $\left|\mathrm{\Delta }{x}_2\right|\propto {\left(\mathrm{\Delta }{x}_1\right)}^2$. Однако затем $\mathrm{\Delta }{x}_2$ переходит в $\mathrm{\Delta }{x}_3$ снова вблизи минимума, причем $\left|\mathrm{\Delta }{x}_3\right|\propto \left|\mathrm{\Delta }{x}_2\right|$. При каждом отображении знак $\mathrm{\Delta }x$ изменяется. На рис. 7.13 , б показана полная структура неподвижных точек

Рис. 7.13. Иллюстрация масштабного преобразования по $x$ для квадратичного отображения.
$a$ — измененне начального $\mathrm{\Delta }{x}_1$ вблизи экстремума; $\mathrm{\Delta }{x}_2\sim {\left(\mathrm{\Delta }{x}_1\right)}^2$, но $\mathrm{\Delta }{x}_3\sim \mathrm{\Delta }{x}_2;$ б три первые бифуркации удвоения; порядок движения по траектории периода 4 и 8 показан в круглых скобках.

для трех первых бифуркаций. Цифры в круглых скобках показывают последовательность движения для траекторий с периодом 4 и 8 , начиная с верхней точки. Отметим также, что расстояния между соответствующими ветвями, идущими от $x_k$ и от $x_{k-}$, отьтичаются в $\alpha$ раз.

При любом обратимом преобразовании от $x$ к новой переменной y соотношения (7.2.36) и (7.2.37) сохраняются. Следовательно,

Рис. 7.14. Последовательность бифуркаций удвоения периода для квадратичного отображения в двойном логарифмическом масштабе (по данным работы [417]).
По вертикальной оси отложены неподвижные точки $x_k$ аттрактора пернода $2^k$, которыї образуетсяџри $C=C_k$ из аттрактора периода $2^{k-1}$. Видна неизменность скорости сходимости по $C$. и по $x$ (константы $\delta$ и $\alpha$ ).

константа $\alpha$ также является универсальной, в том же смысле, что и $\delta$.

Помимо последовательности бифуркаций, при уменьшении $C$ имеется зеркальная последовательность бифуркаций согласно $(7.2.6)-(7.2.8)$. Для нее $C$ увеличивается, начиная с $1/2$, и стремится к своей точке сгущения, которая определяется из (7.2.8) и $(7.2.29)$ :
$${\overline{C}}_{\mathrm{\infty }}=(3+\sqrt{17})/4\approx 1,7808.$$

Для отображения (7.2.5) зеркальная последовательность бифуркаций приходится как раз на обычно рассматриваемый интервал $0<\mu <4$. Используя (7.2.8) и соотношение $\overline{\mu }=2\overline{C}$, находим, что первая бифуркация наступает при ${\overline{\mu }}_1=3$, а точка сгущения равна
$${\overline{\mu }}_{\mathrm{\infty }}=(3-\sqrt{17})/2\approx 3,5616,$$

что хорошо согласуется с численным значением ${}^{\mp }{\overline{\mu }}_{\mathrm{\infty }}=3,5700$. Суцествование бифуркаций удвоения очень большого периода демонстрируется на рис. 7.14, полученном с помощью численного моделирования квадратичного отображения [417]. Зависимость $x_k$ от $C$ отложена в двойном логарифмическом масштабе. Ясно видна постоянная скорость сходимости по $C$ и по $x$ (с параметрами $\delta$ и $\alpha$ соответственно).

Спектральные свойства. При экспериментальном исследовании сложного движения широко используется его спектр Фурье. Ниже мы следуем анализу Фейгенбаума [123], который получил универсальный спектр одномерного отображения вблизи точки сгущения $C_{\mathrm{\infty }}$.

Как известно, спектр периодического движения дискретный. Когда происходит бифуркация удвоения периода, в спектре появляются субгармоники основной частоты отображения. Для дальнейшего анализа введем непрерывное время $t$ и обозначим через $x^{(n)}(t)$ решение после $n$-й бифуркации, а через $T_n$ — его период. Чтобы найти спектр, нам нужно общее соотношение для положения аттракторов. Из рис. 7.13, б и пояснений в тексте следует, что ветви бифуркаций делятся на две группы, расстояния между которыми удовлетворяют рекуррентному соотношению:
$$\begin{array}{c}{x}^{(n+1)}(t)-x^{(n+1)}(t-T_n)\approx \\ \approx [x^{(n)}(t)-x^{(n)}(t+T_{n-1})]\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{\alpha }\\ \frac{1}{{\alpha }^2}\end{array}\right\},0⩽t<T_{n-1},\\ T_{n-1}⩽t<T_n,\end{array}$$

где $t=0$ соответствует верхней неподвижной точке.
Для $l$-й фурье-амплитуды имеем
$$X_l^{(n+1)}=\frac{1}{T_{n+1}}{\int }_0^{T_{n+1}}dt{x}^{(n+1)}(t)\exp \left(\frac{-2\pi ilt}{T_{n+1}}\right).$$

С помощью сдвига на половину периода интегрирование можно провести по периоду $T_n$ :
$$X_l^{(n+1)}=\frac{1}{2T_n}{\int }_0^{T_n}dt[x^{(n+1)}(t)÷(-1{)}^l{x}^{(n+1)}(t÷T_n)]\exp \left(\frac{-\pi ilt}{T_n}\right)\text{. }$$

Для четных $l=2k$ при $n\gg 1$
$$x^{(n+1)}(t)\approx x^{(n+1)}(t+T_n)\approx x^{(n)}(t)$$
[см. (7.2.38) и рис. 7.13 , б ], и из (7.2.39) получаем
$$X_{2k}^{(n+1)}\approx X_k^{(n)}\text{. }$$

Это означает, что фурье-амплитуда для данной частоты остается неизменной при всех последующих бифуркациях. Для нечетных $l=2k+1$ подстановка (7.2.38) в (7.2.39) дает
$$\begin{array}{rl}{X}_l^{(n+1)}& =\frac{1}{\alpha }{\int }_0^{T_{n-1}}F(t)\frac{dt}{2T_n}+\frac{1}{{\alpha }^2}{\int }_{T_{n-1}}^{T_n}F(t)\frac{dt}{2T_n},\\ F(t)& =[x^{(n)}(t)-x^{(n)}(t+T_{n-1})]\exp \left(\frac{-\pi ilt}{T_n}\right).\end{array}$$

Сдвигая пределы во втором интеграле, имеем
$$\begin{array}{c}{X}_l^{(n+1)}=\frac{1}{2\alpha }[1+i\frac{(-1{)}^k}{\alpha }]{\int }_0^{T_{n-1}}\frac{dt}{2T_{n-1}}[x^{(n)}(t)-x^{(n)}(t+T_{n-1})]\times \\ \times \exp (-\pi i\frac{l}{2}\frac{t}{T_{n-1}}).\end{array}$$

Подставляя сюда разложение Фурье
$$x^{(n)}(t)=\sum _{k^{\prime }}{X}_{k^{\prime }}^{(n)}\exp \left(\frac{2\pi i{k}^{\prime }t}{T_n}\right),$$

получаем рекуррентное соотношение
$$X_{2k+1}^{(n+1)}=-\frac{1}{2\alpha }(1-i(-1{)}^k)(1+\frac{i}{\alpha }(-1{)}^k)S,$$

де
$$S=\frac{1}{\pi i}\sum _{k^{\prime }}\frac{1}{(2k^{\prime }+1)-\frac{1}{2}(2k+1)}{X}_{2k^{\prime }+1}^{(n)}.$$

В пределе больших $n$, полагая $2k+1=\xi$ и $2k^{\prime }+1={\xi }^{\prime }$ и заменяя сумму в (7.2.42) интегралом по ${\xi }^{\prime }$, находим
$$|S|\approx \frac{1}{2}\left|X^{(n)}\left(\frac{\xi }{2}\right)\right|\text{. }$$

Поэтому для амплитудного спектра вблизи точки сгущения выполняется универсальный закон подобия ${}^1$ ):
$$|X^{(n+1)}(\xi )|={\gamma }^{-1}\left|X^{(n)}\left(\frac{\xi }{2}\right)\right|,$$
rде
$${\gamma }^{-1}=\frac{1}{4|\alpha |}{\left[2(1+{\alpha }^{-2})\right]}^{12}.$$

Для приближенного значения (7.2.35) для $\alpha$ имеем $\gamma =5,79$; точное значение $\alpha =-2,5029$ дает $\gamma =6,57$.

Согласно (7.2.44), чтобы получить амплитуду новой гармоники (вдали от точки бифуркации), появившейся в результате $(n+1)$-й бифуркации, нужно взять уменьшенное в 6,57 раза значение амплитуды гармоники, появившейся в результате $n$-й бифуркации. Это теоретическое предсказание подтверждается экспериментально (см. работу [123] и рис. 7.33). Мы обсудим эти.экспериментальные данные в $\mathrm{\S }7.4$.

Другие периодические траектории. При уменьшении параметра $C$ от $C_0$ до $C_{\mathrm{\infty }}$ происходит бесконечное число бифуркаций удвоения. При $C<C_{\mathrm{\infty }}$ также имеются области периодического движения. Периодические траектории рождаются здесь парами (устойчивая и неустойчивая) в результате тангенциальной бифуркации. В качестве примера ${}^2$ ) рождения траектории с периодом 3 на рис. 7.15 отложена зависимость
$$f_3(x)=f(f(f(x)))$$

для $f(x)$ согласно (7.2.4б). Неподвижные точки периода 3 удовлетворяют уравнению
$$x_3=f_3\left(x_3\right).$$

Для $C$ незначительно больше $C_0^{(3)}$ это уравнение имеет только два
1) Приведенный вывод (взятый из работы [123], см. также [524]) является ошибочным. Во-первых, в данном случае нельзя заменять сумму интегралом, а во-вторых, неявно предполагаемая плавная зависимость комплексной амплитуды $X_{2k^{\prime }+1}^{(n)}$ от $k^{\prime }$ явно несправедлива, хотя бы из-за фазового множителя в (7.2.41). Более естественным является предположение о плавной зависимости модуля амплитуды и случайности ее фазы ввиду перехода при $n\to \mathrm{\infty }$ к хаосу с непрерывным спектром. Тогда из (7.2.41) и (7.2.42) можно получить $\gamma =2{\alpha }^2{(1+{\alpha }^2)}^{-1/2}=\sqrt{2\beta }\approx 4,65$ [см. (7.2.676)]. Точная теория с использованием универсального отображения Фейгенбаума дает для среднего по спектру параметра подобия значение $⟨\gamma ⟩=4,578\dots$. [540]. Небольшое различие между этими значениями объясняется, по-видимому, приближенным характером исходного закона подобия (7.2.38). Соответственно изменяется и параметр $\beta =3,2375\dots$. $(7,2.676)$. Последнее значение приведено без объяснений в работе [205 ].- Прим. ред.
${}^2$ ) Согласно работе [261], «период 3 приводит к хаосу» (при другом значении параметра). Этот результат вытекает из более ранней теоремы Шарковского [526] (см. также [547], с. 276).- Прим. ред.

(действительных) корня, которые дают неподвижные точки периода 1 (рис. $7.15,a$ ). Если же $C<C_0^{(3)}$, то уравнение имеет шесть корней (рис. 7.15, б), которые соответствуют двум разным траекториям с периодом 3. Легко показать, что одна траектория устойчива (рис. 7.15, б, темные кружки), а другая- неустойчива (светлые кружки). Критическое значение параметра $C_0^{(3)}$, при котором рождаются эти траектории, равно
$$C_0^{(3)}=(1-\sqrt{8})/2\approx -0,9142.$$

Рис. 7.15. Рождение пары траекторий периода 3 при тангенциальной бифуркации.
Темные кружки показывают устоїчивую траекторию: светлые- неустойчнвую: $a)C>C_0^{(3}$ б) $C<C_0^{(3)}$. Пунктирная прямая $f_3=x$.

Поскольку вблизи неподвижных точек отображение $f_3$ лока.тьно квадратично, то можно ожидать, что при дальнейшем уменьшении $C$ будут возникать бифуркации удвоения с периодами $3,6,12,24\dots$ Их точку сгущения $C_{\mathrm{\infty }}^{(3)}$ можно найти с помощью описанной выше ренормализации или же путем численного моделирования. В последнем случае $C_{\mathrm{\infty }}^{(3)}\approx -0,92475$. Существуют и зеркальные бифуркации удвоения при $\overline{C}=1-C$.

Точно так же с помощью отображений $f_4,f_5,f_6$, . . можно найти устойчивые траектории с основным периодом $n=4,5,6,\dots$.. каждой из этих траекторий существует своя последовательность бифуркаций удвоения с начальной точкой $C_0^{(n)}$ и точкой сгущения $C_{\mathrm{\infty }}^{(n)}$. Порядок, в котором появляются основные периоды при уменьшении параметра, является универсальным для всех отображений с одним квадратичным максимумом. Например, первые шесть периодов упорядочены при уменьшении $C$ следующим образом: 1,6 , $5,3,5,6,4,6,5,6$. Можно также найти и их общее число [296 ]. Например, имеются 202 основные траектории с периодом до 11 включительно; их упорядочение по параметру исследовано Метрополисом и др. [300]. Недавно Гейзал и Нирветберг [151] показали, что для всех этих траекторий ренормализация имеет универсальную структуру.
7.2в. Хаотическое движение

Предельные циклы занимают конечную часть интервала по параметру. Для остальных значений параметра движение неустойчиво и плотно покрывает конечный интервал по $x$ при почти всех началь-

Рис. 7.16. Показатель Ляпунова равен среднему значению $\ln |df/dx|$ вдоль траектории.

ных $x_0$, а близкие траектории расходятся экспоненциально. Такое движение получило название хаотического (см., например, [261, 297 1). При его исследовании можно использовать некоторые методы, описанные в гл. 5 для гамильтоновых отображений. Особое значение имеет показатель Ляпунова $\sigma$ и равновесное инвариантное распределение $P(x)$.

Показатель Ляпунова. Для одномерного отображения имеется единственный показатель Ляпунова [см. (5.2.8)]:
$$\sigma \left(x_0\right)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\ln \left|\frac{df}{d{x}_i}\right|.$$

Значение $\sigma$ положительно (см. рис. 7.16), если среднее по траектории от $\left|f^{\prime }\right|$ больше 1. За исключением множества меры нуль, $\sigma$ не зависит от выбора начального значения $x_0$. При $\sigma >0$ движение хаотическое, а при $\sigma <0$ существует предельный цикл. Зависимость о от параметра $C$ является обычно сложной. На рис. 7.17 представ-

Рис. 7.17. Зависимость показателя Ляпунова $\sigma$ от параметра $C$ для квадра. тичного отображения (по данным работы [368]).
Для $\sigma >0$ движение хаотическое, а для $\sigma <0$ — периодическое. Сглаженная криная построена по 300 точкам с равномерным шагом по $C$.

лен пример такой зависимости [368], полученной численным пу тем для квадратичного отображения. Значения $\sigma$ определятись по формуле (7.2.46) с $N={10}^5$ (число итераций) для каждой нз 300 равномерно расположенных по $C$ точек. Ясно видны относите.тьно широкие интервалы по $C$ с $\sigma <0$, которые отвечают периодическим движениям с небольшим периодом. Для движения с бо́льшим периодом соответствующие им интервалы по $C$ становятся меньше расстояния между точками на рисунке и потому не видны. Хьюберман и Рудник [204] показали, что вблизи критического значения $C_x$ для хаотического движения $\sigma \propto {|C-C_{\mathrm{\infty }}|}^{\eta }$, где $\eta =\ln 2/\ln \delta \approx$ $\approx 0,4498$.

Показатель Ляпунова не зависит от (обратимой) замены переменных [323]. Действительно, пусть
$$\overline{x}=g(x),$$

где $g^{\prime }eq0$. Тогда исходное отображение
$$x_{n+1}=f\left(x_n\right)$$

перейдет в отображение
$${\overline{x}}_{n+1}=\overline{f}\left({\overline{x}}_n\right)$$

с показателем Ляпунова
$$\overline{\sigma }=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\ln \left|\frac{d{\overline{x}}_{i+1}}{d{\overline{x}}_i}\right|.$$

Согласно (7.2.47), получим
$$\frac{d{\overline{x}}_{i+1}}{d{\overline{x}}_i}=\frac{\left(dg/d{x}_{i+1}\right)d{x}_{i+1}}{\left(dg/d{x}_i\right)d{x}_i},$$

откуда $\overrightarrow{\sigma }=\sigma$.
Инвариантные распределения. Будем говорить, что $P(x)$ является инвариантным распределением для отображения $T$, если
$$P(x)=TP(x).$$

Другие названия — инвариантная мера ${}^1$ ) или распределение вероятности. Примем, далее, что $P(x)$ нормировано на единицу:
$$\int P(x)dx=1\text{. }$$

В общем случае отображение имеет много инвариантных распределений. Из них выделенным является равновесное распределение, которое получается итерированием отображения и для которого среднее по времени равно фазовому среднему. Для предельного цикла периода $n$ распределение дискретно и представляет собой сумму $\delta$-функций в неподвижных точках с коэффициентом $1/n$. Д.ля хаотического движения распределение $P(x)$ может быть разрывным, однако в типичном случае имеются конечные интервалы по $x$ с ненулевым $P(x)$.

Численно $P(x)$ можно получить из (7.2.52). Для отображения с одним максимумом в силу сохранения «числа траекторий» имеем
$$P(x)dx=P\left(x_1\right)d{x}_1+P\left(x_2\right)d{x}_2,$$

где точки $x_1,x_2$ — прообразы точки $x$ (рис. 7.18). Записывая $dxd{x}_1=|dfdx{|}_{x_1}$ и т. д., получаем
$$P(x)=\frac{P\left(x_1\right)}{|df/dx{|}_{x_1}}+\frac{P\left(x_2\right)}{|df/dx{|}_{x_2}}.$$
1) Существование инвариантной меры (сосредоточенной на аттракторе), позволяющее распространить эргодическую теорию на диссипативные системы, было доказано для широкого класса динамических систем Боголюбовым и Қрыловым (см. [447], т. 1, с. 411 ). Инвариантная мера единственна, если существует только один аттрактор (одна «эргодическая компонента» движения (ср. П. 5.2а), или «строгая эргодичность» [486], с. 43). Равновесным распределением ниже в основном тексте называется инварнантное распределение, сосредоточенное на одном аттракторе. Для него временные и фазовые средние совпадают в пределах области притяжения этого аттрактора.-Прим. ред.

Аналитически это функциональное уравнение решается в редких случаях. Однако его можно решить численно по следующей схеме:
a) выбираем некоторое начальное $P_i=P_1(x)$;
б) вычисляем $P_{i+1}$ по (7.2.55) с $P_i$ в правой части;
в) повторяем «б» до получения достаточной сходимости.
Этот метод иллюстрируется на рис. 7.19 [368] для отображения $(7.2.5)$ с $\mu =4$. Показаны первые три итерации $P_i$ с начальным распределением $P_1(x)=1$. В данном случае имеет место быстрая сходимость к инвариантному распределению
$$P(x)=\frac{1}{\pi }[x(1-x){]}^{-12},$$

Рис. 7.18. Построение инвариантного распределения $P(x)$. «Число траекторий» на отрезке $dx$ равно числу траекторий, пришедших из «прообразов» $d{x}_1$ in $d{x}_2$.

которое будет получено аналитически ниже. Для $\mu =3,8$ и $\mu =$ 3,825 описанный метод дает инвариантные распределения, показанные на рис. 7.20. В этих случаях движение, по-видимому, также является хаотическим в некотором интервале по $x$. Знание инвариантного распределения позволяет заменять усреднение по времени усреднением по $x$. Например, можно вычислять показатель Ляпунова по формуле:
$$\sigma =-\int dxP(x)\ln \left|\frac{df}{dx}\right|.$$

При обратимой замене переменной $\overrightarrow{x}=g(x)$ новое инвариантное распределение получается из условия
$$\overline{P}(\overline{x})\overline{dx}=P(x)dx.$$

Рис. 7.19. Численное определение инвариантного распределения $P(x)$ для отображения (7.2.5) с $\mu =4$ (по данным работы [368]).
показано начальное расиределение (1) и его первые три итерации.

Рис. 7.20. Численно найденное инвариантное распределение $P(x)$ для двух значений $\mu$ отображения (7.2.5) (по данным работы [368]).
Влды разрызы функции? $P(x)$ и обратные бифуркации при увеличения $\mu$.

Треугольное отображение ${}^{\mathbf{1}}$ ). В качестве примера рассмотрим простое «треугольное» отображение (рис. 7.21). Оно имеет единственный максимум $f(1/2)=a$, но не относится к квадратичным. Производная $f^{\prime }$ равна $+2a$ в левой части и $-2a$ в правой части отображения. Ясно, что движение является хаотическим для $a>1/2$, поскольку все траектории расходятся экспоненциально (см. рис. 7.16), Инвариантное распределение находится из (7.2.55):
$$P(x)=\frac{1}{2a}[P\left(\frac{x}{2a}\right)+P(1-\frac{x}{2a})].$$

Рис. 7.21. Симметричное треугольное отображение.
Для $a=1$ имеется очевидное решение $P(x)\leftrightharpoons 1$. Показатель Ляпунова равен (7.2.56):
$$\sigma ={\int }_0^{1}dx\ln 2=\ln 2.$$

Поскольку $\sigma >0$, движение является хаотическим. Рассмотрим теперь отображение
$$f(x)=4x(1-x).$$

Введем новую переменную
$$\overrightarrow{x}=\left(\frac{2}{x}\right)\arcsin (\sqrt{x}),$$
1) В оригинале — tent map (отображение, похожее на палатку).- Прим. nерев.

тогда (7.2.58) перейдет в треугольное отображение с $a=1$ :
$$\overline{f}(\overline{x})=\{\begin{array}{ll}2\overline{x},& 0<\overline{x}<\frac{1}{2},\\ 2-\overline{x},& \frac{1}{2}<\overline{x}<1.\end{array}$$

Из (7.2.57) с $\overline{P}(\overline{x})=1$ получим инвариантное распределение для отображения (7.2.58):
$$P(x)=\frac{d\overline{x}}{dx}=\frac{1}{\pi }[x(1-x){]}^{-12},$$

которое можно сравнить с численными данными на рис. 7.19. Показатель Ляпунова для отображения (7.2.58) равен
$$\sigma =\frac{1}{\pi }{\int }_0^1\frac{\ln |4(1-2x)|}{[x(1-x){]}^{1\cdot 2}}dx=\ln 2.$$

Отметим, что отображения (7.2.58) и (7.2.60) имеют одинаковую величину $\sigma$, поскольку она инвариантна относительно преобразования переменной. Соответственно любое обратимое преобразование квадратичного отображения (7.2.4) сохраняет функцию $\sigma (C)$, показанную на рис. 7.17 .

Для отображения (7.2.58) [и «зеркального» квадратичного отображения (7.2.4) с $C=-1$ ] точное решение имеет вид
$$x_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos \left(2^{n+1}{\phi }_0\right)={\sin }^2\left(2^n{\phi }_0\right),$$

где ${\phi }_0$ определяется начальным условием $x_0$. Статистические свойства отображения (7.2.58) исследовались в работе [416]. Было показано также, что движение является эргодическим и перемешивающим с экспоненциальной расходимостью близких траекторий ${}^1$ ).

Обратные бифуркации хаотического движения. При изменении параметра $C$ квадратичного отображения (7.2.4) от $C_0=1/2$ до $C_{\mathrm{\infty }}=$ $=-0,78497\dots$ возникает «дерево» бифуркаций, показанное на рис. 7.14. Какова природа движения для $C<C_{\mathrm{\infty }}$ ?

Эта область исследовалась Лоренцем [284], Колле и Экманом [82] и Хеллеманом [182], ее качественная структура представлена на рис. 7.22. Точки показывают $x_n$ в стационарном режиме $(1000<n<4000)$ для разных значений параметра $C$. Ясно видны полосы с хаотическим движением (при $C<C_{\mathrm{\infty }}$ ). При уменьшении $C$ от значения $C=C_{\mathrm{\infty }}$ эти полосы сливаются и испытывают обратные бифуркации в точках $C=C_n^{\ast }$. Видны также бифуркации предель-
1) Это вытекает, в частности, из свойств более простого отображения ${\phi }_{n+1}=2{\phi }_n,mod2\pi$ для фазы в $(7.2.62)$ (см. конец п. 5.2в).- Прияs. ред.

ных циклов более длинного основного периода 6, 5 и 3, «разрезающие» хаотическую область. Для обратных бифуркаций хаотических полос выполняется закон подобия с теми же константами $\delta$ и $\alpha$, что и для бифуркаций предельных циклов при $C>C_{\mathrm{\infty }}$. Эти результаты Гроссмана и Томае [170] можно получить также из описанной в п. 7.26 приближенной теории ренормализации [182].

Рис. 7.22. Численное моделирование последовательности обратных бифуркаций удвоення для квадратичного отображения (по данным работы [82]). Для каждого значения $C$ отложены 3000 значениї $x_n(1000<n<4000)$. Видны полосы хаотического движения для $C<C_{\mathrm{\infty }}$, которыс сливаются при $C=C_k^{\ast }$. Отмечены интервалы (по $C$ ) предельных циклов: 1 — периода 3; 2 — периода 5; 3 — пернода 6.

Спектр моцности. «Шумовое» движение в хаотическом режиме можно охарактеризовать его спектром мощности $P(\omega ,C)$, где $\omega -$ частота, а $C$ — параметр. В отличие от таких свойств хаотического движения, как показатели Ляпунова, спектр мощности легко измерять экспериментально. В частности, представляет интерес вид спектра при бифуркационных значениях $C_k^{\ast }$ вблизи критического $C_{\mathrm{\infty }}$, где происходит слияние полос хаотического движения. Движение в этих полосах представляет собой суперпозицию периодических колебаний и шума:
$$x_n=\sum _i{A}_j{e}^{i\omega j^n}+r(n).$$

Определим фурье-амплитуду посредством формулы
$$X_N(\omega ,C)=\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N{x}_n{e}^{-i\omega n}.$$

Тогда спектр мощности равен $(\omega >0{)}^1$ )
$$P(\omega ,C)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{N}{2\pi }{|X_N(\omega ,C)|}^2=\sum _j{\left|A_j\right|}^2\delta (\omega -{\omega }_j)+|r(\omega ,C){|}^2.$$

Он состоит из острых пиков (периодические переходы между полосами, аналогичные движению на предельном цикле при $C>C_{\mathrm{\infty }}$ ) и широкополосного шума (хаотическое движение внутри полос).

Следуя Хьюберману и Зисоку [205], получим сначала универсальный закон подобия для полной мощности в непрерывном спектре (7.2.68) для $\mathfrak{N}(C)$. При $C=-1$ (см. рис. 7.22) движение обладает перемешиванием ${}^2$. Болеє того, как\» показано в работе [170], корреляционная функция
$$\mathcal{E}(n)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i—⟨x⟩)(x_{i+n}-⟨x⟩),$$

где
$$⟨x⟩=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{x}_i,$$

является в этом случае «ठ-функцией», т. е.
$$\mathcal{C}(n)=\{\begin{array}{ll}{W}^2,& n=0,\\ 0,& neq0.\end{array}$$

Это очень сильное статистическое свойство, означающее полное ${}^3$ )
1) Спектр «мощности» (точнее спектральная плотность), он же спектр корреляционной функции б (n) (см. ниже), или просто спектр (в эргодической теории) определяется как преобразование Фурье от $\mathcal{\&}(n)$ :
$$P(\omega )=\frac{1}{2\pi }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathcal{C}(n)\cos (\omega n).$$

Для дискретного времени спектр определен по модулю $2\pi$ и обладает зеркальной симметрией $P(\omega )=P(2\pi -\omega )$. Переход к непрерывному времени соответствует только интервалу частоты $(0,\pi )$ с независимыми фурье-компонентами. Простое изложение спектрального анализа случайных процессов см., например, в работе [519].- Прим. ред.
2) Это следует из положительности КС-энтропии (см. выше).- Прим. ред.
3) Равенство нулю конкретной корреляционной функции не означает «полное отсутствие корреляций. Существование определенных корреляций следует просто из функциональной зависимости $x_{n+1}=f\left(x_n\right)$. — Прим. ред.

отсутствие корреляций уже через одну итерацию отображения1). Величина $W$ в (7.2.66) есть среднеквадратичный размер единой полосы хаотического движения при $C=-1$. Қаждая обратная бифуркация удваивает число потос и уменьшает их ширину. В соответствии с законом подобия (7.2.36) и (7.2.37) для половины полос ширина уменьшается в $\alpha$ раз, а для остальных — в ${\alpha }^2$ раз. Среднеквадратичная ширина одной полосы удовлетворяет закону
$$W_{k+1}={(\frac{1}{2{\alpha }^2}+\frac{1}{2{\alpha }^4})}^{1.2}{W}_k$$
( $k$ — номер б́ифркации), или
$$W_k=W_0{\beta }^{-k},$$

где
$$\beta =\frac{\sqrt{2}{\alpha }^2}{\sqrt{{\alpha }^2+1}}\approx 3,29.$$

Заметим, что $2\beta =\gamma$ [см. (7.2.45)]. Полная мощность в пределах основной частоты отображения $2\pi$ равна
$$P(C)={\int }_0^{2\pi }d\omega |r(\omega ,C){|}^2={\mathcal{C}}_r(0),$$

где корреляционная функция ${\mathcal{C}}_r$ определяется только хаотической частью движения $[x_n\to r_n$, см. (7.2.63)]. Поэтому ${\mathcal{C}}_r(0)=W_k^2$ и
$$\mathcal{N}\left(C_k^{\ast }\right)={\mathcal{N}}_0{\beta }^{-2k}.$$

Но бифуркационные значения $C_k^{\ast }$ сами удовлетворяют закону подобия
$$C_k^{\ast }-C_{\mathrm{\infty }}=(C_0^{\ast }-C_{\mathrm{\infty }}){\delta }^{-k}.$$

Исключая $k$, приходим к новому закону подобия
$$\mathcal{P}(C)\propto {(C_{\mathrm{\infty }}-C)}^{\sigma },$$

где
$$\sigma =\frac{2\ln \beta }{\ln \delta }\approx 1,544$$
— универсальная постоянная. Хьюберман и Зисок [205] проверили этот результат путем численного моделирования отображения (7.2.5) и получили прекрасное согласие.
1) Заметим, что для многих систем с хаотическим движением корреляции убывают совсем не так быстро, иногда только как степень $n$ [60]. [В указанной работе исследовались полностью интегрируемые системы и «убывание» корреляций связано не с динамикой системы, а с методом вычисления корреляций. По поводу медленного убывания корреляций см. предисловие редактора перевода и цитированную там литературу.- Прим. ред.]

Спектральная плотность хаотического движения была найдена в работе [434], следуя методу Фейгенбаума [123] (см. п. 7.2б). Полученный результат можно представить в виде
$$r(\omega ,C_k^{\ast })=g_k(\omega )\tilde{r}\left(2^k\omega \right).$$

Здесь $|\tilde{r}(\omega ){|}^2-$ спектр движения при $C=-1$, который можно приближенно считать однородным (белый шум)²). Фурье-амплитуды
$$g_k(\omega )=\sum _{j=1}^{2^k}{W}_{jk}{e}^{-i\omega j}$$

Рис. 7.23. Спектр мощности при трех значениях $C$ в обратной последовательности бифуркаций для квадратичного отображения (по данным работы [434]).
Ломаная кривая — численные данныс; шлавная кривая, смещенная дтя удобства вниз,-тсория без учета дискретного спектра.

характеризуют систему хаотических полос шириной $W_{jk}(j=1$, $2,\dots 2^k$ ) и находятся из рекуррентного соотнощения ${}^2$ )
$$g_{k+1}(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2}\alpha }(1-\frac{e^{i\omega }}{\alpha })g_k(2\omega ),$$
1) См. (7.2.66); заметим также, что значение частоты $2^k\omega$ (в 7.2 .72 ) берется по модулю $2\pi$ [см. (7.2.68)]— Прим. ред.
2) При $C\to C_{\mathrm{\infty }}$ этот закон подобия определяет масштабно-инвариантную структуру как непрерывного (с ${\left|g_0\right|}^2=1$ ), так и дискретного (с ${\left|g_0\right|}^2=$ $=\mid A_0{}^2\delta (\omega ))$ спектра \{кроме $\omega =\tau$ (см. [520]), для которого справедливо соотношение (7.2.40) ]. При переходе от спектральной плотности к амплитудам гармоник $(g_k\to X^{(k)})$ правую часть (7.2.74) нужно разделить на $\sqrt{2}$ (интеграл от $\delta (2\omega )$ равен $1/2$ ). Обратим в нимание, что законы подобия (7.2.40), $(7.2.44$ ) и (7.2.74) разные: в первом фиксирована частота, а во втором — номер гармоник: колебаний. Из (7.2.74) следует также, что масштабный мно-

причем, согласно (7.2.72), $g_0=1$. На рис. 7.23 показаны численные данные для спектра мощности при трех значениях параметра $C$. Соответствующий универсальный спектр ${\left|g_k\right|}^2$, полученный с помощью (7.2.74), представлен сплошными линиями, которые сдвинуты по вертикали для удобства сравнения. Согласие с численными данными весьма хорошее. Напомним, что дискретный спектр в теорию не включен.