7.2а. Основные свойства

Рассмотрим свойства одномерных отображений вида
\[
x_{n+1}=f\left(x_{n}, C\right) \text {, }
\]

где $C$ — некоторый параметр. Қак мы уже видели, к таким отображениям сводятся более сложные диссипативные системы ${ }^{1}$ ). Они возникают также и как самостоятельные простые модели некоторых систем. Например, переменная $x_{n}$ может описывать популя-

Рис. 7.8. Типичный пример одномерного необратимого отображения.

цию какого-то вида в $n$-й год, а $f$ — влияние окружающей среды. Пусть задана начальная популяция $x_{0}$. Как будет изменяться эта популяция? Как ее эволюция зависит от окружающей среды?

Ниже мы ограничимся функциями $f$ некоторого определенного вида. Если $f$ — линейная функция, то решение (7.2.1) тривиально. В случае обратимой функции $f$ (монотонная зависимость от $x$ ) движение также простое и не обладает хаотическими свойствами. Стационарные состояния являются периодическими, а бифуркации типа удвоения периода отсутствуют. Как будет видно ниже, хао- $\qquad$
1) Это справедливо, если исходная система имеет только один положительный показатель Ляпунова.

тическое движение связано ${ }^{1}$ ) с областями вблизи $f^{\prime}(x)=0$. Поэтому мы ограничимся простейшим интересным случаем, когда $f(x)$ имеет единственный максимум (ити минимум). Типичная $f(x)$ в этом случае схематически изображена на рис. 7.8. Для малых $x$ происходит увеличение $x$, а для больших — уменьшение. Такое отображение может, например, моделировать окружающую среду, в которой рост популяции ограничен запасами пищи и загрязнением окружающей среды.

Итерируя (7.2.1), можно проследить за эволюцией $x$ для любого заданного $x_{0}$. Можно также исследовать поведение (7.2.1) графически:
a) по $x_{0}$ находим $x_{1}=f\left(x_{0}\right)$, двигаясь вертикально вверх (см. рис. 7.8 ;
б) переводим $x_{1}$ на ось $x$, двигаясь горизонтально до пересечения с прямой $f=x$;
в) повторяя «а» и «б», находим $x_{2}, x_{3}$ и т. д. Из рис. 7.8 видно, что отображение необратимо, поскольку одному и тому же $x_{1}$ соответствуют два начальных состояния $x_{0}$ и $x_{0}^{\prime}$. Поэтому обратное отображение будет неоднозначным.
Для случая, изображенного на рис. 7.8 , вне зависимости от выбора $x_{0}$ решение сходится к точке $x_{11}$, которая является неподвижной точкой отображения:
\[
x_{11}=f\left(x_{11}\right) .
\]

Ясно также, что $x_{11}$ — устойчивая (притягивающая) неподвижная точка. Другая неподвижная точка $x=0$ является неустойчивой (отталкивающей).
Квадратичные отображения. Как уже упоминалось, переход к хаосу для одномерного отображения с одним максимумом определяется поведением отображения вблизи его экстремума. Для типичного случая, когда $f^{\prime}=0$, но $f^{\prime \prime}
eq 0$, отображение локально квадратично. Разложение в ряд Тейлора вблизи экстремума приводит к. квадратичному отображению общего вида
\[
z_{n+1}=a+b z_{n}+c z_{n}^{2} \text {. }
\]

Линейным преобразованием его можно привести к нормальной форме, которую мы и будем называть квадратичным отображением:
\[
x_{n+1}=f\left(x_{n}\right),
\]

где
\[
f\left(x_{n}\right)=2 C x_{n}+2 x_{n}^{2} .
\]
1) Это условие не является необходимым для хаоса, как показывает рассмотренный ранее пример (5.2.32), а также отображение Лоренца (рис. 1.21). Напротив, области с $f^{\prime}=0$ способствуют устойчивости (регулярности) движения, так как они уменьшают показатели Ляпунова [см. (7.2.46) ]. Поэтому рассматриваемая ниже теория бифуркаций удвоения периода в окрестности $f^{\prime}(x)=0$ есть прежде всего теория сложного разрушения такой устойчивости.- Прим. ред.

Представляют интерес две области параметра $C$. Для $0<C<2$ интервал $-C<x<0$ переходит в себя, как показано на рис. $7.9, a$ и б. Для $-1<C<1 / 2$ переходит в себя интервал $-1 / 2<x<$ $<1 / 2-C$ (см. рис. $7.9,8-e$ ). Отметим, что эти два интервала значений $C$ перекрываются (см. рис. $7.9,6$ и $в$ ), а движение в обоих случаях аналогично и отличается только тем, какой отрезок $x$ переходит в себя. Особое значение имеет точка $x^{*}=-C / 2$, в которой функция $f$ экстремальна.

Рис. 7.9. Қвадратичное отображение (7.2.4) для различных значений параметра $C$.
Сплошная кривая показывает отрезок $x$, переходящий в себя. Случай I: $-C<x<0$;
д) $-12<C<0 ; e)-1<C<-1 / 2$.

Другая удобная форма квадратичного отображения получается путем замены $x=-(\mu / 2)$ у и $C=\mu / 2$ в (7.2.4). Это приводит к так называемому логистическому отображению:
\[
y_{n+1}=\mu y_{n}\left(1-y_{n}\right) .
\]

Дія $0<\mu<4$ интервал $0<y<1$ переходит в себя. Это соответствует значениям $C$ в интервале $0<C<2$ (рис. $7.9, a$ и б). Отображение (7.2.5) использовалось как для изучения общих свойств одномерных отображений, так и в некоторых задачах популяционной биологии. На рис. 7.10 показано отображение (7.2.5) для двух значений $\mu$. Оба отображения, (7.2.4) и (7.2.5), являются эквивалентными представителями общего квадратичного отображения (7.2.3).
Зеркальная симметрия. Қвадратичные отображения обладают симметрией, которая приводит к одному и тому же поведению для двух разных значений параметра. Действительно, производя в (7.2.4) линейную замену
\[
x=\bar{x}+\frac{1}{2}-C,
\]

Рис. 7.10. Отображение (7.2.5) для $0<\mu<4$.
Интервал $0<y<1$ преобразуется сам в себя.
получаем
\[
\bar{x}_{n+1}=2 \bar{C}_{x_{n}}+2 \bar{x}_{n}^{2},
\]

где новый параметр $\bar{C}$ равен
\[
\bar{C}=1-C .
\]

Из сравнения (7.2.7) и (7.2.4) следует, что квадратичные отображения с параметрами, равными $C$ и $1-C$, обладают одними и теми же свойствами. Иначе говоря, отображение (7.2.4) симметрично относительно $C=1 / 2$. Аналогично, производя замену
\[
y=\left(1-\mu^{-1}\right)-\left(1-2 \mu^{-1}\right) \bar{y}
\]

в отображении (7.2.5), получаем
\[
\bar{y}_{n+1}=\bar{\mu}_{y_{n}}\left(1-\bar{y}_{n}\right),
\]

где
\[
\bar{\mu}=2-\mu,
\]
т. е. отображение симметрично относительно $\mu=1$.

7.2б. Периодическое движение

Рассмотрим неподвижные точки квадратичного отображения (7.2.4) и их линейную устойчивость. Неподвижные точки находятся из условия:
\[
x_{1}=2 C x_{1}+2 x_{1}^{2} \text {, }
\]

которое соответствует пересечению кривой $f(x)$, определяемой (7.2.4б), и прямой $f=x$. Решение (7.2.12) имеет два корня:
\[
x_{10}=0, \quad x_{11}=\frac{1}{2}-C .
\]

Устойчивость неподвижных точек определяется из тинеаризованного отображения ( $\$ 3.3$ ). Подставляя
\[
x_{n}=x_{1}+\Delta x_{n}
\]

в (7.2.4) и удерживая только линейные члены, получаем
\[
\Delta x_{n}=\lambda_{1}^{n} \Delta x_{0},
\]

где собственное значение $\lambda_{1}=f^{\prime}\left(x_{1}\right)$. Следовательно, $x_{1}$ — устойчивая (притягивающая) неподвижная точка, если $\left|\lambda_{1}\right|<1$, и неустойчивая (отталкивающая), если $\left|\lambda_{1}\right|>1$. Отсюда следует, что точка $x_{11}$ устойчива при
\[
\left|f^{\prime}\left(x_{11}\right)\right|=|2—2 C|<1,
\]

или для $1 / 2<C<3 / 2$. Аналогично неподвижная точка $x_{10}$ устойчива при
\[
\left|f^{\prime}\left(x_{10}\right)\right|=|2 C|<1,
\]

или для $-1 / 2<C<1 / 2$.
Бифуркации. Рассмотрим устойчивость отображения при уменьшении параметра $C$, начиная с некоторого $C>1 / 2$, когда точка $x_{11}$ устойчива, а $x_{10}$ неустойчива. При $C_{0}=1 / 2$ точка $x_{11}$ становится неустойчивой, а $x_{10}$ — устойчивой. При дальнейшем уменьшении $C$ вплоть до $C=C_{1}=-1 / 2$ точка $x_{10}$ остается устойчивой.

Чтобы понять, что происходит при $C<-1 / 2$, нужно рассмотреть периодические точки периода 2 , которые находятся из условия:
\[
x_{2}=f\left(f\left(x_{2}\right)\right) .
\]

Это соответствует пересечению кривой
\[
f_{2}(x)=f(f(x))
\]

с прямой $f=x$, как показано на рис. 7.11 , $a$ и б для $C>-1 / 2$ и $C<-1 / 2$ соответственно. Если $C>-1 / 2$, то оба пересечения соответствуют неподвижным точкам $x_{11}=1 / 2-$ и $x_{10}=0$, которые, очевидно, удовлетворяют и (7.2.16). В этом случае наклон $f_{2}(x)$ в нуле меньше единицы, так как
\[
f_{2}^{\prime}\left(x_{10}\right)=\lambda_{1}^{2} \text {, }
\]

а $\left|\lambda_{1}\right|<1$ для $C>-1 / 2$. Если же параметр $C$ становится меньше — $1 / 2$, то наклон увеличивается и рождается пара неподвижных точек отображения $f_{2}$ (или периодических точек отображения $f$,

Рис. 7.11. Возникновение двух неподвижных точек $x_{2}:$ с периодом 2 для квадратичного отображения.
$f_{2}(x)=f(f(x)):$
a) $C>-1 ; 2$; б) $C<-1,2$.

рис. 7.11, б). Они удовлетворяют условиям
\[
\begin{array}{l}
x_{2+}=f\left(x_{2-}\right)=f_{2}\left(x_{2+}\right), \\
x_{2-}=f\left(x_{2+}\right)=f_{2}\left(x_{2-}\right) .
\end{array}
\]

Позже мы получим явные выражения для $x_{2+}$ и $x_{2-}$ как функций параметра $C$.

Устойчивость $x_{2 \pm}$ можно исследовать, как обычно, с помощью замены $x_{2, n}=x_{2 \pm}+\Delta x_{2, n}$ и линеаризации отображения. Для точки $x_{2-}$ находим
\[
\Delta x_{2, n}=\lambda_{2-}^{n} \Delta x_{0},
\]

где
\[
\lambda_{2-}=f_{2}^{\prime}\left(x_{2-}\right)=f^{\prime}\left(x_{2-}\right) f^{\prime}\left(x_{2+}\right) .
\]

Аналогично для $x_{2+}$ :
\[
\lambda_{2+}=f^{\prime}\left(x_{2+}\right) f^{\prime}\left(x_{2-}\right)=\lambda_{2-} .
\]

Видно, что наклоны (собственные значения) одинаковы для обеих точек. Қак отмечено в п. 3.3а, для канонических отображений это свойство является общим для неподвижных точек любого периода.

Из рис. 7.11, б следует, что если значение $C$ чуть меньше $C_{1}=$ $=-1 / 2$, то $\left|\lambda_{2}\left(x_{2-}\right)\right|=\left|\lambda_{2}\left(x_{2+}\right)\right|<1$. Таким образом, как только неподвижная точка периода 1 становится неустойчивой, появляется пара устойчивых неподвижных точек с удвоенным периодом. Это явление иллюстрируется на рис. 7.12 , где показана

Рис. 7.12. Положение неподвижных точек $x_{10}, x_{11}, x_{2}+$ и $x_{2-}$ в зависимости от $C$.
Устойчивые неподвижные точки представлены сплошиыми линиями, неустойчивые пунктирными. Показан также экстремум $f$ при $x^{*}=-C / 2 . A-$ бифуркация удвоения; $A^{\prime}$ — зеркальная бифуркация удвоения.

зависимость координат неподвижных точек от параметра $C$. Сплошная линия обозначает устойчивость точки, а штриховая — неустойчивость. Рождение пары устойчивых точек удвоенного периода при $C<-1 / 2$ является примером бифуркации удвоения (см. § 7.1). На рис. 7.2 , в показана также зеркальная бифуркация удвоения, соответствующая зеркальному отображению (7.2.7).

При дальнейшем уменьшении параметра $C$ обе неподвижные точки периода 2 становятся неустойчивыми. Поскольку в их окрестности отображение $f_{2}(x)$ также квадратично, следует ожидать аналогичной бифуркации, при которой возникают четыре неподвижные точки периода 4 и т. д. Означает ли это, что при любом значении параметра имеется либо устойчивое решение, либо (устойчивая) бифуркация? Оказывается, что нет. Последовательность бифуркаций удвоения периода кончается, достигая бесконечного периода при конечном значении параметра $C=C_{\infty}$. За этим значением лежат области хаоса.

Метод ренормализации. Для более глубокого понимания явления последовательных бифуркаций рассмотрим ренормализацию отображения с одним максимумом при переходе от одной бифуркации к следующей. Строгая теория ренормализации [83, 122$]$, применимая к любым отображениям с одним максимумом, основана на решении некоторых функциональных уравнений. Соответствующие математические методы сложны и выходят за рамки этой монографии. Вместо этого, следуя Хеллеману [180-182], мы используем более простой, хотя и менее общий, метод локальной аппроксимации отображения с одним квадратичным максимумом. Это позволяет построить приближенную теорию ренормализации на основе алгебраических, а не функциональных уравнений. Для квадратичного отображения (7.2.4), как мы видели выше, устойчивая неподвижная точка $x_{10}$ периода 1 возникает с уменьшением $C$ при $C=$ $=C_{0}=1 / 2$, а устойчивые точки периода 2 — при $C_{1}=-1 / 2$. Последние получаются из (7.2.18):
\[
x_{2 \pm}=a \pm b,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
2 a=-1 / 2-C \\
4 b^{2}=\left(C+\frac{1}{2}\right)\left(C-\frac{3}{2}\right), \quad b>0 .
\end{array}
\]

Подставляя
\[
x=x_{2 \pm}+\Delta x
\]

в $(7.2 .4)$, получаем
\[
\begin{array}{l}
\Delta x_{n+1}=d \Delta x_{n}+2 \Delta x_{n}^{2}, \\
\Delta x_{n+2}=e \Delta x_{n+1}+2 \Delta x_{n+1}^{2},
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
d=2 C+4 x_{2+}, \\
e=2 C+4 x_{2-},
\end{array}
\]

и начальные условия выбираются таким образом, чтобы при четных $n$ величина $\Delta x$ была близка к $x_{2+}$, а при нечетных — к $x_{2-}$. Исключая $\Delta x_{n+1}$ и удерживая члены по $\Delta x$ до квадратичных включительно, получаем для четных $n$
\[
\Delta x_{n+2}=d e \Delta x_{n}+2\left(e+d^{2}\right) \Delta x_{n}^{2} .
\]

Путем изменения масштаба
\[
x^{\prime}=\alpha \Delta x
\]

приводим (7.2.24) к виду
\[
x_{n+2}^{\prime}=2 C^{\prime} x_{n}^{\prime}+2\left(x_{n}^{\prime}\right)^{2},
\]

где
\[
\begin{aligned}
C^{\prime} & =d e / 2=-2 C^{2}+2 C+2, \\
\alpha & =e+d^{2}=16 b^{2}-12 b,
\end{aligned}
\]

а $b$ определяется согласно (7.2.21в). Так как (7.2.26) имеет тот же самый вид, что и исходное отображение (7.2.4), его неподвижные точки испытывают бифуркацию удвоения периода при $C^{\prime}=-12$. С учетом (7.2.27) это значение соответствует
\[
C=C_{2}=\frac{1-\sqrt{6}}{2} \approx-0,72474,
\]

при котором возникают неподвижные точки периода 4. Из (7.2.21) следует, что $x_{2+} \approx 0,466$ и $x_{2-} \approx-0,241$ при $C=C_{2}$. Отметим, что точка $x_{2+}$ лежит вблизи экстремума $f$ при $x^{*}=-C 2$; этот факт мы используем ниже при нахождении закона подобия (7.2.36).

Последовательность бифуркаций сходится к: предельному значению $C^{\prime}=C=C_{\infty}$, которое находится из (7.2.27):
\[
-2 C_{\infty}^{2}+2 C_{\infty}+2=C_{\infty} \text {, }
\]

отсюда
\[
C_{\infty}=\frac{1-\sqrt{17}}{4} \approx-0,781 .
\]

Численное моделирование дает $C_{\infty} \approx-0,78497$, что находится в хорошем согласии с результатом ренормализации.

Скорость сходимости $C$ к $C_{\infty}$ можно приближенно найти, предполагая, что асимптотически сходимость происходит по закону ${ }^{1}$ )
\[
C_{k} \approx C_{\infty}+A \delta^{-k} .
\]

Подставляя это выражение в (7.2.27) и замечая, что $k$-я бифуркация по $C^{\prime}$ соответствует $(k+1)$-й по $C$, т. е.
\[
C_{k}=-2 C_{k+1}^{2}+2 C_{k+1}+2,
\]

получаем
\[
\delta=-4 C_{\infty}+2=1+\sqrt{17} \approx 5,12 .
\]

Численное решение точного уравнения ренормализации, найденное впервые Фейгенбаумом [122], дает для отображения с одним квадратичным максимумом $\delta \approx 4,6692$. Закон подобия (7.2.30) можно представить в виде
\[
\frac{C_{k+1}-C_{k}}{C_{k}-C_{k-1}}=\frac{1}{\delta} .
\]

Постоянная $\delta$ не зависит от выбора параметра. Действительно,
1) Это предположение следует из (7.2.27); см. ниже.- Прим. ред.

введем новый параметр $P=g(C)$. Считая, что $g$ — обратимая функция, разложим $P(C)$ вблизи $C_{\infty}$ :
\[
P_{k}-P_{\infty}=g^{\prime}\left(C_{\infty}\right)\left(C_{k}-C_{\infty}\right) .
\]

Решая это уравнение относительно $C_{k}$ и подставляя решение в (7.2.32), находим универсальное соотношение
\[
\frac{P_{k+1}-P_{k}}{P_{k}-P_{k-1}}=\frac{1}{\delta} .
\]

Фактически из точной теории ренормализации следует, что $\delta$ универсальная константа для всех отображений с одним квадратичным максимумом. Принимая, что асимптотический закон (7.2.30) справедлив и для $k=0$ и $k=1$, получаем полезную оценку для предельного значения параметра (точки сгущения):
\[
P_{\infty}=P_{0}-\frac{\delta}{\delta-1}\left(P_{1}-P_{0}\right)=P_{0}+1,24\left(P_{1}-P_{0}\right),
\]

где использовано приближенное значение (7.2.31) для $\delta$.
Наконец, перейдем к параметру подобия $\alpha$, входящему в (7.2.25). Из (7.2.28) и (7.2.21в) при $C=C_{\infty}$ [см. (7.2.29)]:
\[
\alpha=16 b^{2}-12 b \approx-2,24 \text {. }
\]

Точная теория ренормализации дает $\alpha \approx-2,5029$. Параметр $\alpha$ определяет (асимптотически) изменение масштаба $x$ при последовательных бифуркациях. Иначе говоря, при увеличении в $\alpha$ раз вблизи $x^{*}=-C / 2$ очередная бифуркация будет выглядеть точно так же, как и предыдущая. В частности, расстояние между неподвижными точками при последовательных бифуркациях вблизи $x^{*}$ подчиняется закону подобия
\[
\frac{x_{k+}-x_{k-}}{x_{k+1,+}-x_{k+1,-}}=\alpha .
\]

Это соотношение справедливо для ветви, идущей от $x_{k+}$.
Поскольку $f$ локально квадратичная функция $x$, то для первых итераций точек вблизи $x^{*}$ масштаб изменяется как $\alpha^{2}$. Отсюда
\[
\frac{f\left(x_{k+}\right)-f\left(x_{k-}\right)}{f\left(x_{k+1,+}\right)-f\left(x_{k+1,-}\right)}=\alpha^{2} .
\]

Полученное соотношение выполняется для значений $x_{k}$ на ветви, идущей от $x_{k-}$. Таким образом, для половины неподвижных точек периода $2^{k}$ масштаб изменяется как $\alpha$, а для остальных как $\alpha^{2}$ [см. (7.2.38) ].

Рис. 7.13 поясняет это поведение. На рис. 7.13 , a отрезок $\Delta x_{1}$ вблизи минимума отображения переходит в отрезок $\left|\Delta x_{2}\right| \propto\left(\Delta x_{1}\right)^{2}$. Однако затем $\Delta x_{2}$ переходит в $\Delta x_{3}$ снова вблизи минимума, причем $\left|\Delta x_{3}\right| \propto\left|\Delta x_{2}\right|$. При каждом отображении знак $\Delta x$ изменяется. На рис. 7.13 , б показана полная структура неподвижных точек

Рис. 7.13. Иллюстрация масштабного преобразования по $x$ для квадратичного отображения.
$a$ — измененне начального $\Delta x_{1}$ вблизи экстремума; $\Delta x_{2} \sim\left(\Delta x_{1}\right)^{2}$, но $\Delta x_{3} \sim \Delta x_{2} ;$ б три первые бифуркации удвоения; порядок движения по траектории периода 4 и 8 показан в круглых скобках.

для трех первых бифуркаций. Цифры в круглых скобках показывают последовательность движения для траекторий с периодом 4 и 8 , начиная с верхней точки. Отметим также, что расстояния между соответствующими ветвями, идущими от $x_{k}$ и от $x_{k-}$, отьтичаются в $\alpha$ раз.

При любом обратимом преобразовании от $x$ к новой переменной y соотношения (7.2.36) и (7.2.37) сохраняются. Следовательно,

Рис. 7.14. Последовательность бифуркаций удвоения периода для квадратичного отображения в двойном логарифмическом масштабе (по данным работы [417]).
По вертикальной оси отложены неподвижные точки $x_{k}$ аттрактора пернода $2^{k}$, которыї образуетсяџри $C=C_{k}$ из аттрактора периода $2^{k-1}$. Видна неизменность скорости сходимости по $C$. и по $x$ (константы $\delta$ и $\alpha$ ).

константа $\alpha$ также является универсальной, в том же смысле, что и $\delta$.

Помимо последовательности бифуркаций, при уменьшении $C$ имеется зеркальная последовательность бифуркаций согласно $(7.2 .6)-(7.2 .8)$. Для нее $C$ увеличивается, начиная с $1 / 2$, и стремится к своей точке сгущения, которая определяется из (7.2.8) и $(7.2 .29)$ :
\[
\bar{C}_{\infty}=(3+\sqrt{17}) / 4 \approx 1,7808 .
\]

Для отображения (7.2.5) зеркальная последовательность бифуркаций приходится как раз на обычно рассматриваемый интервал $0<\mu<4$. Используя (7.2.8) и соотношение $\bar{\mu}=2 \bar{C}$, находим, что первая бифуркация наступает при $\bar{\mu}_{1}=3$, а точка сгущения равна
\[
\bar{\mu}_{\infty}=(3-\sqrt{17}) / 2 \approx 3,5616,
\]

что хорошо согласуется с численным значением ${ }^{\mp} \bar{\mu}_{\infty}=3,5700$. Суцествование бифуркаций удвоения очень большого периода демонстрируется на рис. 7.14, полученном с помощью численного моделирования квадратичного отображения [417]. Зависимость $x_{k}$ от $C$ отложена в двойном логарифмическом масштабе. Ясно видна постоянная скорость сходимости по $C$ и по $x$ (с параметрами $\delta$ и $\alpha$ соответственно).

Спектральные свойства. При экспериментальном исследовании сложного движения широко используется его спектр Фурье. Ниже мы следуем анализу Фейгенбаума [123], который получил универсальный спектр одномерного отображения вблизи точки сгущения $C_{\infty}$.

Как известно, спектр периодического движения дискретный. Когда происходит бифуркация удвоения периода, в спектре появляются субгармоники основной частоты отображения. Для дальнейшего анализа введем непрерывное время $t$ и обозначим через $x^{(n)}(t)$ решение после $n$-й бифуркации, а через $T_{n}$ — его период. Чтобы найти спектр, нам нужно общее соотношение для положения аттракторов. Из рис. 7.13, б и пояснений в тексте следует, что ветви бифуркаций делятся на две группы, расстояния между которыми удовлетворяют рекуррентному соотношению:
\[
\begin{array}{c}
x^{(n+1)}(t)-x^{(n+1)}\left(t-T_{n}\right) \approx \\
\approx\left[x^{(n)}(t)-x^{(n)}\left(t+T_{n-1}\right)\right]\left\{\begin{array}{c}
\frac{1}{\alpha} \\
\frac{1}{\alpha^{2}}
\end{array}\right\}, \quad 0 \leqslant t<T_{n-1}, \\
T_{n-1} \leqslant t<T_{n},
\end{array}
\]

где $t=0$ соответствует верхней неподвижной точке.
Для $l$-й фурье-амплитуды имеем
\[
X_{l}^{(n+1)}=\frac{1}{T_{n+1}} \int_{0}^{T_{n+1}} d t x^{(n+1)}(t) \exp \left(\frac{-2 \pi i l t}{T_{n+1}}\right) .
\]

С помощью сдвига на половину периода интегрирование можно провести по периоду $T_{n}$ :
\[
X_{l}^{(n+1)}=\frac{1}{2 T_{n}} \int_{0}^{T_{n}} d t\left[x^{(n+1)}(t) \div(-1)^{l} x^{(n+1)}\left(t \div T_{n}\right)\right] \exp \left(\frac{-\pi i l t}{T_{n}}\right) \text {. }
\]

Для четных $l=2 k$ при $n \gg 1$
\[
x^{(n+1)}(t) \approx x^{(n+1)}\left(t+T_{n}\right) \approx x^{(n)}(t)
\]
[см. (7.2.38) и рис. 7.13 , б ], и из (7.2.39) получаем
\[
X_{2 k}^{(n+1)} \approx X_{k}^{(n)} \text {. }
\]

Это означает, что фурье-амплитуда для данной частоты остается неизменной при всех последующих бифуркациях. Для нечетных $l=2 k+1$ подстановка (7.2.38) в (7.2.39) дает
\[
\begin{aligned}
X_{l}^{(n+1)} & =\frac{1}{\alpha} \int_{0}^{T_{n-1}} F(t) \frac{d t}{2 T_{n}}+\frac{1}{\alpha^{2}} \int_{T_{n-1}}^{T_{n}} F(t) \frac{d t}{2 T_{n}}, \\
F(t) & =\left[x^{(n)}(t)-x^{(n)}\left(t+T_{n-1}\right)\right] \exp \left(\frac{-\pi i l t}{T_{n}}\right) .
\end{aligned}
\]

Сдвигая пределы во втором интеграле, имеем
\[
\begin{array}{c}
X_{l}^{(n+1)}=\frac{1}{2 \alpha}\left[1+i \frac{(-1)^{k}}{\alpha}\right] \int_{0}^{T_{n-1}} \frac{d t}{2 T_{n-1}}\left[x^{(n)}(t)-x^{(n)}\left(t+T_{n-1}\right)\right] \times \\
\times \exp \left(-\pi i \frac{l}{2} \frac{t}{T_{n-1}}\right) .
\end{array}
\]

Подставляя сюда разложение Фурье
\[
x^{(n)}(t)=\sum_{k^{\prime}} X_{k^{\prime}}^{(n)} \exp \left(\frac{2 \pi i k^{\prime} t}{T_{n}}\right),
\]

получаем рекуррентное соотношение
\[
X_{2 k+1}^{(n+1)}=-\frac{1}{2 \alpha}\left(1-i(-1)^{k}\right)\left(1+\frac{i}{\alpha}(-1)^{k}\right) S,
\]

де
\[
S=\frac{1}{\pi i} \sum_{k^{\prime}} \frac{1}{\left(2 k^{\prime}+1\right)-\frac{1}{2}(2 k+1)} X_{2 k^{\prime}+1}^{(n)} .
\]

В пределе больших $n$, полагая $2 k+1=\xi$ и $2 k^{\prime}+1=\xi^{\prime}$ и заменяя сумму в (7.2.42) интегралом по $\xi^{\prime}$, находим
\[
|S| \approx \frac{1}{2}\left|X^{(n)}\left(\frac{\xi}{2}\right)\right| \text {. }
\]

Поэтому для амплитудного спектра вблизи точки сгущения выполняется универсальный закон подобия ${ }^{1}$ ):
\[
\left|X^{(n+1)}(\xi)\right|=\gamma^{-1}\left|X^{(n)}\left(\frac{\xi}{2}\right)\right|,
\]
rде
\[
\gamma^{-1}=\frac{1}{4|\alpha|}\left[2\left(1+\alpha^{-2}\right)\right]^{12} .
\]

Для приближенного значения (7.2.35) для $\alpha$ имеем $\gamma=5,79$; точное значение $\alpha=-2,5029$ дает $\gamma=6,57$.

Согласно (7.2.44), чтобы получить амплитуду новой гармоники (вдали от точки бифуркации), появившейся в результате $(n+1)$-й бифуркации, нужно взять уменьшенное в 6,57 раза значение амплитуды гармоники, появившейся в результате $n$-й бифуркации. Это теоретическое предсказание подтверждается экспериментально (см. работу [123] и рис. 7.33). Мы обсудим эти.экспериментальные данные в $\S 7.4$.

Другие периодические траектории. При уменьшении параметра $C$ от $C_{0}$ до $C_{\infty}$ происходит бесконечное число бифуркаций удвоения. При $C<C_{\infty}$ также имеются области периодического движения. Периодические траектории рождаются здесь парами (устойчивая и неустойчивая) в результате тангенциальной бифуркации. В качестве примера ${ }^{2}$ ) рождения траектории с периодом 3 на рис. 7.15 отложена зависимость
\[
f_{3}(x)=f(f(f(x)))
\]

для $f(x)$ согласно (7.2.4б). Неподвижные точки периода 3 удовлетворяют уравнению
\[
x_{3}=f_{3}\left(x_{3}\right) .
\]

Для $C$ незначительно больше $C_{0}^{(3)}$ это уравнение имеет только два
1) Приведенный вывод (взятый из работы [123], см. также [524]) является ошибочным. Во-первых, в данном случае нельзя заменять сумму интегралом, а во-вторых, неявно предполагаемая плавная зависимость комплексной амплитуды $X_{2 k^{\prime}+1}^{(n)}$ от $k^{\prime}$ явно несправедлива, хотя бы из-за фазового множителя в (7.2.41). Более естественным является предположение о плавной зависимости модуля амплитуды и случайности ее фазы ввиду перехода при $n \rightarrow \infty$ к хаосу с непрерывным спектром. Тогда из (7.2.41) и (7.2.42) можно получить $\gamma=2 \alpha^{2}\left(1+\alpha^{2}\right)^{-1 / 2}=\sqrt{2 \beta} \approx 4,65$ [см. (7.2.676)]. Точная теория с использованием универсального отображения Фейгенбаума дает для среднего по спектру параметра подобия значение $\langle\gamma\rangle=4,578 \ldots$. [540]. Небольшое различие между этими значениями объясняется, по-видимому, приближенным характером исходного закона подобия (7.2.38). Соответственно изменяется и параметр $\beta=3,2375 \ldots$. $(7,2.676)$. Последнее значение приведено без объяснений в работе [205 ].- Прим. ред.
${ }^{2}$ ) Согласно работе [261], «период 3 приводит к хаосу» (при другом значении параметра). Этот результат вытекает из более ранней теоремы Шарковского [526] (см. также [547], с. 276).- Прим. ред.

(действительных) корня, которые дают неподвижные точки периода 1 (рис. $7.15, a$ ). Если же $C<C_{0}^{(3)}$, то уравнение имеет шесть корней (рис. 7.15, б), которые соответствуют двум разным траекториям с периодом 3. Легко показать, что одна траектория устойчива (рис. 7.15, б, темные кружки), а другая- неустойчива (светлые кружки). Критическое значение параметра $C_{0}^{(3)}$, при котором рождаются эти траектории, равно
\[
C_{0}^{(3)}=(1-\sqrt{8}) / 2 \approx-0,9142 .
\]

Рис. 7.15. Рождение пары траекторий периода 3 при тангенциальной бифуркации.
Темные кружки показывают устоїчивую траекторию: светлые- неустойчнвую: $a) C>C_{0}^{(3}$ б) $C<C_{0}^{(3)}$. Пунктирная прямая $f_{3}=x$.

Поскольку вблизи неподвижных точек отображение $f_{3}$ лока.тьно квадратично, то можно ожидать, что при дальнейшем уменьшении $C$ будут возникать бифуркации удвоения с периодами $3,6,12,24 \ldots$ Их точку сгущения $C_{\infty}^{(3)}$ можно найти с помощью описанной выше ренормализации или же путем численного моделирования. В последнем случае $C_{\infty}^{(3)} \approx-0,92475$. Существуют и зеркальные бифуркации удвоения при $\bar{C}=1-C$.

Точно так же с помощью отображений $f_{4}, f_{5}, f_{6}$, . . можно найти устойчивые траектории с основным периодом $n=4,5,6, \ldots$.. каждой из этих траекторий существует своя последовательность бифуркаций удвоения с начальной точкой $C_{0}^{(n)}$ и точкой сгущения $C_{\infty}^{(n)}$. Порядок, в котором появляются основные периоды при уменьшении параметра, является универсальным для всех отображений с одним квадратичным максимумом. Например, первые шесть периодов упорядочены при уменьшении $C$ следующим образом: 1,6 , $5,3,5,6,4,6,5,6$. Можно также найти и их общее число [296 ]. Например, имеются 202 основные траектории с периодом до 11 включительно; их упорядочение по параметру исследовано Метрополисом и др. [300]. Недавно Гейзал и Нирветберг [151] показали, что для всех этих траекторий ренормализация имеет универсальную структуру.
7.2в. Хаотическое движение

Предельные циклы занимают конечную часть интервала по параметру. Для остальных значений параметра движение неустойчиво и плотно покрывает конечный интервал по $x$ при почти всех началь-

Рис. 7.16. Показатель Ляпунова равен среднему значению $\ln |d f / d x|$ вдоль траектории.

ных $x_{0}$, а близкие траектории расходятся экспоненциально. Такое движение получило название хаотического (см., например, [261, 297 1). При его исследовании можно использовать некоторые методы, описанные в гл. 5 для гамильтоновых отображений. Особое значение имеет показатель Ляпунова $\sigma$ и равновесное инвариантное распределение $P(x)$.

Показатель Ляпунова. Для одномерного отображения имеется единственный показатель Ляпунова [см. (5.2.8)]:
\[
\sigma\left(x_{0}\right)=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \ln \left|\frac{d f}{d x_{i}}\right| .
\]

Значение $\sigma$ положительно (см. рис. 7.16), если среднее по траектории от $\left|f^{\prime}\right|$ больше 1. За исключением множества меры нуль, $\sigma$ не зависит от выбора начального значения $x_{0}$. При $\sigma>0$ движение хаотическое, а при $\sigma<0$ существует предельный цикл. Зависимость о от параметра $C$ является обычно сложной. На рис. 7.17 представ-

Рис. 7.17. Зависимость показателя Ляпунова $\sigma$ от параметра $C$ для квадра. тичного отображения (по данным работы [368]).
Для $\sigma>0$ движение хаотическое, а для $\sigma<0$ — периодическое. Сглаженная криная построена по 300 точкам с равномерным шагом по $C$.

лен пример такой зависимости [368], полученной численным пу тем для квадратичного отображения. Значения $\sigma$ определятись по формуле (7.2.46) с $N=10^{5}$ (число итераций) для каждой нз 300 равномерно расположенных по $C$ точек. Ясно видны относите.тьно широкие интервалы по $C$ с $\sigma<0$, которые отвечают периодическим движениям с небольшим периодом. Для движения с бо́льшим периодом соответствующие им интервалы по $C$ становятся меньше расстояния между точками на рисунке и потому не видны. Хьюберман и Рудник [204] показали, что вблизи критического значения $C_{x}$ для хаотического движения $\sigma \propto\left|C-C_{\infty}\right|^{\eta}$, где $\eta=\ln 2 / \ln \delta \approx$ $\approx 0,4498$.

Показатель Ляпунова не зависит от (обратимой) замены переменных [323]. Действительно, пусть
\[
\bar{x}=g(x),
\]

где $g^{\prime}
eq 0$. Тогда исходное отображение
\[
x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)
\]

перейдет в отображение
\[
\bar{x}_{n+1}=\bar{f}\left(\bar{x}_{n}\right)
\]

с показателем Ляпунова
\[
\bar{\sigma}=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \ln \left|\frac{d \bar{x}_{i+1}}{d \bar{x}_{i}}\right| .
\]

Согласно (7.2.47), получим
\[
\frac{d \bar{x}_{i+1}}{d \bar{x}_{i}}=\frac{\left(d g / d x_{i+1}\right) d x_{i+1}}{\left(d g / d x_{i}\right) d x_{i}},
\]

откуда $\vec{\sigma}=\sigma$.
Инвариантные распределения. Будем говорить, что $P(x)$ является инвариантным распределением для отображения $T$, если
\[
P(x)=T P(x) .
\]

Другие названия — инвариантная мера ${ }^{1}$ ) или распределение вероятности. Примем, далее, что $P(x)$ нормировано на единицу:
\[
\int P(x) d x=1 \text {. }
\]

В общем случае отображение имеет много инвариантных распределений. Из них выделенным является равновесное распределение, которое получается итерированием отображения и для которого среднее по времени равно фазовому среднему. Для предельного цикла периода $n$ распределение дискретно и представляет собой сумму $\delta$-функций в неподвижных точках с коэффициентом $1 / n$. Д.ля хаотического движения распределение $P(x)$ может быть разрывным, однако в типичном случае имеются конечные интервалы по $x$ с ненулевым $P(x)$.

Численно $P(x)$ можно получить из (7.2.52). Для отображения с одним максимумом в силу сохранения «числа траекторий» имеем
\[
P(x) d x=P\left(x_{1}\right) d x_{1}+P\left(x_{2}\right) d x_{2},
\]

где точки $x_{1}, x_{2}$ — прообразы точки $x$ (рис. 7.18). Записывая $d x d x_{1}=|d f d x|_{x_{1}}$ и т. д., получаем
\[
P(x)=\frac{P\left(x_{1}\right)}{|d f / d x|_{x_{1}}}+\frac{P\left(x_{2}\right)}{|d f / d x|_{x_{2}}} .
\]
1) Существование инвариантной меры (сосредоточенной на аттракторе), позволяющее распространить эргодическую теорию на диссипативные системы, было доказано для широкого класса динамических систем Боголюбовым и Қрыловым (см. [447], т. 1, с. 411 ). Инвариантная мера единственна, если существует только один аттрактор (одна «эргодическая компонента» движения (ср. П. 5.2а), или «строгая эргодичность» [486], с. 43). Равновесным распределением ниже в основном тексте называется инварнантное распределение, сосредоточенное на одном аттракторе. Для него временные и фазовые средние совпадают в пределах области притяжения этого аттрактора.-Прим. ред.

Аналитически это функциональное уравнение решается в редких случаях. Однако его можно решить численно по следующей схеме:
a) выбираем некоторое начальное $P_{i}=P_{1}(x)$;
б) вычисляем $P_{i+1}$ по (7.2.55) с $P_{i}$ в правой части;
в) повторяем «б» до получения достаточной сходимости.
Этот метод иллюстрируется на рис. 7.19 [368] для отображения $(7.2 .5)$ с $\mu=4$. Показаны первые три итерации $P_{i}$ с начальным распределением $P_{1}(x)=1$. В данном случае имеет место быстрая сходимость к инвариантному распределению
\[
P(x)=\frac{1}{\pi}[x(1-x)]^{-12},
\]

Рис. 7.18. Построение инвариантного распределения $P(x)$. «Число траекторий» на отрезке $d x$ равно числу траекторий, пришедших из «прообразов» $d x_{1}$ in $d x_{2}$.

которое будет получено аналитически ниже. Для $\mu=3,8$ и $\mu=$ 3,825 описанный метод дает инвариантные распределения, показанные на рис. 7.20. В этих случаях движение, по-видимому, также является хаотическим в некотором интервале по $x$. Знание инвариантного распределения позволяет заменять усреднение по времени усреднением по $x$. Например, можно вычислять показатель Ляпунова по формуле:
\[
\sigma=-\int d x P(x) \ln \left|\frac{d f}{d x}\right| .
\]

При обратимой замене переменной $\vec{x}=g(x)$ новое инвариантное распределение получается из условия
\[
\bar{P}(\bar{x}) \overline{d x}=P(x) d x .
\]

Рис. 7.19. Численное определение инвариантного распределения $P(x)$ для отображения (7.2.5) с $\mu=4$ (по данным работы [368]).
показано начальное расиределение (1) и его первые три итерации.

Рис. 7.20. Численно найденное инвариантное распределение $P(x)$ для двух значений $\mu$ отображения (7.2.5) (по данным работы [368]).
Влды разрызы функции? $P(x)$ и обратные бифуркации при увеличения $\mu$.

Треугольное отображение ${ }^{\mathbf{1}}$ ). В качестве примера рассмотрим простое «треугольное» отображение (рис. 7.21). Оно имеет единственный максимум $f(1 / 2)=a$, но не относится к квадратичным. Производная $f^{\prime}$ равна $+2 a$ в левой части и $-2 a$ в правой части отображения. Ясно, что движение является хаотическим для $a>1 / 2$, поскольку все траектории расходятся экспоненциально (см. рис. 7.16), Инвариантное распределение находится из (7.2.55):
\[
P(x)=\frac{1}{2 a}\left[P\left(\frac{x}{2 a}\right)+P\left(1-\frac{x}{2 a}\right)\right] .
\]

Рис. 7.21. Симметричное треугольное отображение.
Для $a=1$ имеется очевидное решение $P(x) \leftrightharpoons 1$. Показатель Ляпунова равен (7.2.56):
\[
\sigma=\int_{0}^{1} d x \ln 2=\ln 2 .
\]

Поскольку $\sigma>0$, движение является хаотическим. Рассмотрим теперь отображение
\[
f(x)=4 x(1-x) .
\]

Введем новую переменную
\[
\vec{x}=\left(\frac{2}{x}\right) \arcsin (\sqrt{x}),
\]
1) В оригинале — tent map (отображение, похожее на палатку).- Прим. nерев.

тогда (7.2.58) перейдет в треугольное отображение с $a=1$ :
\[
\bar{f}(\bar{x})=\left\{\begin{array}{ll}
2 \bar{x}, & 0<\bar{x}<\frac{1}{2}, \\
2-\bar{x}, & \frac{1}{2}<\bar{x}<1 .
\end{array}\right.
\]

Из (7.2.57) с $\bar{P}(\bar{x})=1$ получим инвариантное распределение для отображения (7.2.58):
\[
P(x)=\frac{d \bar{x}}{d x}=\frac{1}{\pi}[x(1-x)]^{-12},
\]

которое можно сравнить с численными данными на рис. 7.19. Показатель Ляпунова для отображения (7.2.58) равен
\[
\sigma=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{1} \frac{\ln |4(1-2 x)|}{[x(1-x)]^{1 \cdot 2}} d x=\ln 2 .
\]

Отметим, что отображения (7.2.58) и (7.2.60) имеют одинаковую величину $\sigma$, поскольку она инвариантна относительно преобразования переменной. Соответственно любое обратимое преобразование квадратичного отображения (7.2.4) сохраняет функцию $\sigma(C)$, показанную на рис. 7.17 .

Для отображения (7.2.58) [и «зеркального» квадратичного отображения (7.2.4) с $C=-1$ ] точное решение имеет вид
\[
x_{n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cos \left(2^{n+1} \varphi_{0}\right)=\sin ^{2}\left(2^{n} \varphi_{0}\right),
\]

где $\varphi_{0}$ определяется начальным условием $x_{0}$. Статистические свойства отображения (7.2.58) исследовались в работе [416]. Было показано также, что движение является эргодическим и перемешивающим с экспоненциальной расходимостью близких траекторий ${ }^{1}$ ).

Обратные бифуркации хаотического движения. При изменении параметра $C$ квадратичного отображения (7.2.4) от $C_{0}=1 / 2$ до $C_{\infty}=$ $=-0,78497 \ldots$ возникает «дерево» бифуркаций, показанное на рис. 7.14. Какова природа движения для $C<C_{\infty}$ ?

Эта область исследовалась Лоренцем [284], Колле и Экманом [82] и Хеллеманом [182], ее качественная структура представлена на рис. 7.22. Точки показывают $x_{n}$ в стационарном режиме $(1000<n<4000)$ для разных значений параметра $C$. Ясно видны полосы с хаотическим движением (при $C<C_{\infty}$ ). При уменьшении $C$ от значения $C=C_{\infty}$ эти полосы сливаются и испытывают обратные бифуркации в точках $C=C_{n}^{*}$. Видны также бифуркации предель-
1) Это вытекает, в частности, из свойств более простого отображения $\varphi_{n+1}=2 \varphi_{n}, \bmod 2 \pi$ для фазы в $(7.2 .62)$ (см. конец п. 5.2в).- Прияs. ред.

ных циклов более длинного основного периода 6, 5 и 3, «разрезающие» хаотическую область. Для обратных бифуркаций хаотических полос выполняется закон подобия с теми же константами $\delta$ и $\alpha$, что и для бифуркаций предельных циклов при $C>C_{\infty}$. Эти результаты Гроссмана и Томае [170] можно получить также из описанной в п. 7.26 приближенной теории ренормализации [182].

Рис. 7.22. Численное моделирование последовательности обратных бифуркаций удвоення для квадратичного отображения (по данным работы [82]). Для каждого значения $C$ отложены 3000 значениї $x_{n}(1000<n<4000)$. Видны полосы хаотического движения для $C<C_{\infty}$, которыс сливаются при $C=C_{k}^{*}$. Отмечены интервалы (по $C$ ) предельных циклов: 1 — периода 3; 2 — периода 5; 3 — пернода 6.

Спектр моцности. «Шумовое» движение в хаотическом режиме можно охарактеризовать его спектром мощности $P(\omega, C)$, где $\omega-$ частота, а $C$ — параметр. В отличие от таких свойств хаотического движения, как показатели Ляпунова, спектр мощности легко измерять экспериментально. В частности, представляет интерес вид спектра при бифуркационных значениях $C_{k}^{*}$ вблизи критического $C_{\infty}$, где происходит слияние полос хаотического движения. Движение в этих полосах представляет собой суперпозицию периодических колебаний и шума:
\[
x_{n}=\sum_{i} A_{j} e^{i \omega j^{n}}+r(n) .
\]

Определим фурье-амплитуду посредством формулы
\[
X_{N}(\omega, C)=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} x_{n} e^{-i \omega n} .
\]

Тогда спектр мощности равен $(\omega>0)^{1}$ )
\[
P(\omega, C)=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{N}{2 \pi}\left|X_{N}(\omega, C)\right|^{2}=\sum_{j}\left|A_{j}\right|^{2} \delta\left(\omega-\omega_{j}\right)+|r(\omega, C)|^{2} .
\]

Он состоит из острых пиков (периодические переходы между полосами, аналогичные движению на предельном цикле при $C>C_{\infty}$ ) и широкополосного шума (хаотическое движение внутри полос).

Следуя Хьюберману и Зисоку [205], получим сначала универсальный закон подобия для полной мощности в непрерывном спектре (7.2.68) для $\mathfrak{N}(C)$. При $C=-1$ (см. рис. 7.22) движение обладает перемешиванием ${ }^{2}$. Болеє того, как\» показано в работе [170], корреляционная функция
\[
\mathscr{E}(n)=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left(x_{i}—\langle x\rangle\right)\left(x_{i+n}-\langle x\rangle\right),
\]

где
\[
\langle x\rangle=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_{i},
\]

является в этом случае «ठ-функцией», т. е.
\[
\mathscr{C}(n)=\left\{\begin{array}{ll}
W^{2}, & n=0, \\
0, & n
eq 0 .
\end{array}\right.
\]

Это очень сильное статистическое свойство, означающее полное ${ }^{3}$ )
1) Спектр «мощности» (точнее спектральная плотность), он же спектр корреляционной функции б (n) (см. ниже), или просто спектр (в эргодической теории) определяется как преобразование Фурье от $\mathscr{\&}(n)$ :
\[
P(\omega)=\frac{1}{2 \pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \mathscr{C}(n) \cos (\omega n) .
\]

Для дискретного времени спектр определен по модулю $2 \pi$ и обладает зеркальной симметрией $P(\omega)=P(2 \pi-\omega)$. Переход к непрерывному времени соответствует только интервалу частоты $(0, \pi)$ с независимыми фурье-компонентами. Простое изложение спектрального анализа случайных процессов см., например, в работе [519].- Прим. ред.
2) Это следует из положительности КС-энтропии (см. выше).- Прим. ред.
3) Равенство нулю конкретной корреляционной функции не означает «полное отсутствие корреляций. Существование определенных корреляций следует просто из функциональной зависимости $x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)$. — Прим. ред.

отсутствие корреляций уже через одну итерацию отображения1). Величина $W$ в (7.2.66) есть среднеквадратичный размер единой полосы хаотического движения при $C=-1$. Қаждая обратная бифуркация удваивает число потос и уменьшает их ширину. В соответствии с законом подобия (7.2.36) и (7.2.37) для половины полос ширина уменьшается в $\alpha$ раз, а для остальных — в $\alpha^{2}$ раз. Среднеквадратичная ширина одной полосы удовлетворяет закону
\[
W_{k+1}=\left(\frac{1}{2 \alpha^{2}}+\frac{1}{2 \alpha^{4}}\right)^{1.2} W_{k}
\]
( $k$ — номер б́ифркации), или
\[
W_{k}=W_{0} \beta^{-k},
\]

где
\[
\beta=\frac{\sqrt{2} \alpha^{2}}{\sqrt{\alpha^{2}+1}} \approx 3,29 .
\]

Заметим, что $2 \beta=\gamma$ [см. (7.2.45)]. Полная мощность в пределах основной частоты отображения $2 \pi$ равна
\[
P(C)=\int_{0}^{2 \pi} d \omega|r(\omega, C)|^{2}=\mathscr{C}_{r}(0),
\]

где корреляционная функция $\mathscr{C}_{r}$ определяется только хаотической частью движения $\left[x_{n} \rightarrow r_{n}\right.$, см. (7.2.63)]. Поэтому $\mathscr{C}_{r}(0)=W_{k}^{2}$ и
\[
\mathscr{N}\left(C_{k}^{*}\right)=\mathscr{N}_{0} \beta^{-2 k} .
\]

Но бифуркационные значения $C_{k}^{*}$ сами удовлетворяют закону подобия
\[
C_{k}^{*}-C_{\infty}=\left(C_{0}^{*}-C_{\infty}\right) \delta^{-k} .
\]

Исключая $k$, приходим к новому закону подобия
\[
\mathcal{P}(C) \propto\left(C_{\infty}-C\right)^{\sigma},
\]

где
\[
\sigma=\frac{2 \ln \beta}{\ln \delta} \approx 1,544
\]
— универсальная постоянная. Хьюберман и Зисок [205] проверили этот результат путем численного моделирования отображения (7.2.5) и получили прекрасное согласие.
1) Заметим, что для многих систем с хаотическим движением корреляции убывают совсем не так быстро, иногда только как степень $n$ [60]. [В указанной работе исследовались полностью интегрируемые системы и «убывание» корреляций связано не с динамикой системы, а с методом вычисления корреляций. По поводу медленного убывания корреляций см. предисловие редактора перевода и цитированную там литературу.- Прим. ред.]

Спектральная плотность хаотического движения была найдена в работе [434], следуя методу Фейгенбаума [123] (см. п. 7.2б). Полученный результат можно представить в виде
\[
r\left(\omega, C_{k}^{*}\right)=g_{k}(\omega) \tilde{r}\left(2^{k} \omega\right) .
\]

Здесь $|\tilde{r}(\omega)|^{2}-$ спектр движения при $C=-1$, который можно приближенно считать однородным (белый шум)²). Фурье-амплитуды
\[
g_{k}(\omega)=\sum_{j=1}^{2^{k}} W_{j k} e^{-i \omega j}
\]

Рис. 7.23. Спектр мощности при трех значениях $C$ в обратной последовательности бифуркаций для квадратичного отображения (по данным работы [434]).
Ломаная кривая — численные данныс; шлавная кривая, смещенная дтя удобства вниз,-тсория без учета дискретного спектра.

характеризуют систему хаотических полос шириной $W_{j k}(j=1$, $2, \ldots 2^{k}$ ) и находятся из рекуррентного соотнощения ${ }^{2}$ )
\[
g_{k+1}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2} \alpha}\left(1-\frac{e^{i \omega}}{\alpha}\right) g_{k}(2 \omega),
\]
1) См. (7.2.66); заметим также, что значение частоты $2^{k} \omega$ (в 7.2 .72 ) берется по модулю $2 \pi$ [см. (7.2.68)]— Прим. ред.
2) При $C \rightarrow C_{\infty}$ этот закон подобия определяет масштабно-инвариантную структуру как непрерывного (с $\left|g_{0}\right|^{2}=1$ ), так и дискретного (с $\left|g_{0}\right|^{2}=$ $\left.=\mid A_{0}{ }^{2} \delta(\omega)\right)$ спектра \{кроме $\omega=\tau$ (см. [520]), для которого справедливо соотношение (7.2.40) ]. При переходе от спектральной плотности к амплитудам гармоник $\left(g_{k} \rightarrow X^{(k)}\right)$ правую часть (7.2.74) нужно разделить на $\sqrt{2}$ (интеграл от $\delta(2 \omega)$ равен $1 / 2$ ). Обратим в нимание, что законы подобия (7.2.40), $(7.2 .44$ ) и (7.2.74) разные: в первом фиксирована частота, а во втором — номер гармоник: колебаний. Из (7.2.74) следует также, что масштабный мно-

причем, согласно (7.2.72), $g_{0}=1$. На рис. 7.23 показаны численные данные для спектра мощности при трех значениях параметра $C$. Соответствующий универсальный спектр $\left|g_{k}\right|^{2}$, полученный с помощью (7.2.74), представлен сплошными линиями, которые сдвинуты по вертикали для удобства сравнения. Согласие с численными данными весьма хорошее. Напомним, что дискретный спектр в теорию не включен.