* 2.3а. Введение и основные понятия

В п. 2.16 мы видели, что для осциллятора с медленно и апериодически изменяющимся параметром можно построить разложение, которое дает адиабатический инвариант движения. Параметром разложения являлось отношение периода быстрых колебаний осциллятора к характерному времени медленного изменения параметра. Такую же процедуру можно использовать и в многомерных системах для построения рядов, не содержащих явно малых знаменателей. Этот метод, впервые предложенный Пуанкаре [337], был затем более строго обоснован Биркгофом [29].

Систематическая техника таких разложений, разработанная Боголюбовым и сотр. $[242,33,32]$, получила название метода усреднения ${ }^{1}$ ). Несколько иная форма этого метода, более подходящая для канонического представления, была предложена Крускалом [239] (см. п. 2.3г). Крускал показал, что адиабатические инварианты можно построить в любом порядке по параметру разложения и что получающиеся при этом ряды оказываются асимптотическими. В работах Боголюбова и Крускала рассматривается широкий класс систем дифференциальных уравнений, не обязательно гамильтоновых. Полезные канонические формы методов вычислений были введены Мак-Намарой и Уайтменом [292] и Штерном $[391,392]$. Однако в более высоких порядках разложения на смену им пришла техника преобразований Ли [290] (см. § 2.5). Связь между различными методами рассматривается в обзорах Мак-Намары и Уайтмена [292] и Джакальи [153].
Aсимптотические ряды. Биркгоф [29] впервые показал, что осциллятор с медленно изменяющейся частотой
\[
\ddot{x}+\omega^{2}(\varepsilon t) x=0
\]
1) В оригинале – multiple scale method of averaging [метод усреднения с несколькими масштабами (времени)] – термин, который в отечественной литературе не употребляется. Заметим, что понятие усреднения (как приближенного метода) уже подразумевает наличие в задаче по крайней мере двух различных масштабов времени. По поводу специальных методов теории возмущений, в которых эти масштабы вводятся явно, см., например, работу [313].- Прим. ред.

допускает решение в виде асимптотического ряда. Это значит, что последовательные приближения
\[
X_{n}(t, \varepsilon)=\sum_{k=0}^{n} \varepsilon^{k} x_{k}(t)
\]

точного решения $x(t, \varepsilon)$ можно построить таким образом, что для любых фиксированных $n$ и $t$
\[
\begin{array}{l}
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \varepsilon^{-n}[x(t, \varepsilon)- \\
\left.-X_{n}(t, \varepsilon)\right]=0 .
\end{array}
\]

Напомним некоторые важнье свойства асимптотических рядов. Во-первых, две различные функции могут соответствовать одному и тому же асимптотическому ряду. Поэтому построение асимптотического ряда еще не определяет однозначно представляемую им функцию. Предположим, что две функции $x_{1}$ и $x_{2}$ отличаются на экспоненциально малую величину при $\varepsilon \rightarrow 0$ :
\[
\Delta x=a(t) \exp [-b(t) / \varepsilon] .
\]

Так как
\[
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \varepsilon^{-n} \exp (-b / \varepsilon)=0,
\]

то асимптотическое разложение функции $\Delta x$ есть $X_{n}=0$ для всех $n$ (см. рис. 2.6, a). Следовательно, функции $x_{1}$ и $x_{2}$ представляются одним и тем же асимптотическим рядом. Фактически прямые вычисления обнаружили такие экспоненциально малые изменения адиабатических инвариантов в колебательных системах с медленно изменяющимися параметрами ${ }^{1}$ ) (см., например, [81, 191, 200]). Для многомерных систем ${ }^{2}$ ) эти экспоненциально малые изменения инвариантов являются следствием резонансов, вызывающих топологическую перестройку фазового пространства, а при достаточно сильном возмущении и разрушение инвариантов. Таким образом, «адиабатический» инвариант, представляемый асимптотическим рядом, является в пределе $\varepsilon \rightarrow 0$ приближением порядка $\exp (-b / \varepsilon)$ точного решения, траектория которого может лежать: a) на гладкой инвариантной поверхности, б) на инвариантной поверхности резонанса, в) в тонком стохастическом слое.

Второе свойство асимптотических рядов заключается в их формальной расходимости: для любых фиксированных $\varepsilon$ и $t$ имеем ${ }^{3}$ )
\[
\left|x(t, \varepsilon)-X_{n}(t, \varepsilon)\right| \rightarrow \infty, \quad n \rightarrow \infty .
\]

Общее поведение $X_{n}$ с ростом $n$ при фиксированном $\varepsilon$ иллюстрируется на рис. 2.6, 6 . Вначале увеличение $n$ улучшает аппроксимацию, но для $n$, больших некоторого $n_{\text {макс }}(\varepsilon)$, последующие приближения становятся все хуже и хуже и расходятся при $\vec{n} \rightarrow \infty$. Поэтому следует вычислять лишь $n_{\text {макс }}$ первых членов разложения, сумма которых будет отличаться от точного решения, грубо говоря, на величину последнего (с номером $n_{\text {макс }}$ ) члена.

Наконец, отметим, что асимптотическое разложение для адиабатических инвариантов несправедливо на интервалах времени, значительно превышающих время «медленных» изменений в системе; иными словами, адиабатический инвариант не может даже приближенно сохраняться при $t \rightarrow \infty$. Такое несохранение адиабатических инвариантов, известное как диффузия Арнольда, возникает в системах с тремя и более степенями свободы и является основным содержанием гл. 6.
Медленное возмущение. Рассмотрим отличие в порядках членов разложения для случая, когда возмущение мало и когда оно медленное, или «адиабатическое». Для малого возмущения гамильтониан имеет вид
\[
H=H_{0}(\boldsymbol{J}, t)+\varepsilon H_{\mathbf{1}}(\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta}, t)+\ldots .
\]

где $H_{0}$ описывает полностью интегрируемое движение, а $\varepsilon$ – малый параметр, характеризующий величину неинтегрируемой части $H$. Для малого возмущения производные от $H_{0}$ и $H_{1}$ полагаются величинами того же порядка, что и сами $H_{0}$ и $H_{1}$, т. е.
\[
\left|\frac{\partial H_{0}}{\partial t}\right| \sim\left|H_{0}\right|, \quad\left|\frac{\partial H_{1}}{\partial J}\right| \sim\left|H_{1}\right|, \ldots
\]
1) Для экспоненциальной малости существенна аналитическая зависимость параметров от времени (см., например, $[11,244,464]$ ). – Прим. ред.
2) А также в случае явной периодической зависимости параметров от времени.- Прим. ред.
3) Это не всегда так, как показывает только что рассмотренный пример функции $\Delta x(t)$, определяемой формулой (2.3.3) (см. также [465], § 1.3).Прим. ред.

Для медленного возмущения производные по времени принимаются по порядку величины в $\varepsilon$ раз меньше тех членов, из которых они получены, т. е.
\[
\left|\frac{\partial H_{0}}{\partial t}\right| \sim \varepsilon\left|H_{0}\right|, \ldots
\]

Чтобы явно выделить эти порядки величин, запишем
\[
H_{0}=H_{0}(\varepsilon t),
\]

так что
\[
\frac{\partial H_{0}}{\partial t}=\varepsilon H_{0}^{\prime},
\]

где штрих означает дифференцирование по аргументу $\tau=\varepsilon t$.
В этом параграфе нас будут интересовать такие системы, для которых изменения во времени и движение по всем степеням свободы, кроме одной, являются медленными. С учетом этого запишем гамильтониан в виде
\[
H=H_{0}(J, \varepsilon \boldsymbol{y}, \varepsilon t)+\varepsilon H_{1}(J, \theta, \varepsilon \boldsymbol{y}, \varepsilon t)+. . .,
\]

где $J, \theta$ – переменные действие – угол для невозмущенного ( $\varepsilon \equiv 0$ ) движения по единственной «быстрой» степени свободы, а $\boldsymbol{y}=(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q})$ – «медленные» канонические переменные (не обязательно действие-угол) по остальным степеням свободы. Так как при $\varepsilon=0$ система имеет фактически одну степень свободы, она всегда является интегрируемой и можно ввести переменные $J, \theta$. При этом малый параметр $\varepsilon$ в (2.3.6) будет «автоматически» давать правильные порядки величин при дифференцировании $H$ в рядах теории возмущений.
* 2.3б. Каноническая адиабатическая теория

Построим классический адиабатический инвариант с точностью до первого порядка для гамильтониана (2.3.6). В нулевом порядке таким инвариантом является действие $J$, связанное с быстрой степенью свободы. Чтобы учесть эффект возмущения $\varepsilon H_{1}$, произведем, как и в п. 2.2б, преобразование от $J, \theta, y$ к $\bar{J}, \bar{\theta}, \bar{y}$, такое, что новый гамильтониан
\[
\bar{H}=\bar{H}_{0}+\varepsilon \bar{H}_{1}+\text {. . . }
\]

не будет зависеть от «быстрой» фазы $\bar{\theta}$. Вводя производящую функцию
\[
S=\bar{J} \theta+\overline{\boldsymbol{p}} \cdot q+\varepsilon S_{\mathbf{1}}(\bar{J}, \theta, \overline{\boldsymbol{p}}, q, t)+\ldots,
\]

получаем в первом порядке по $\varepsilon$ :
\[
\begin{array}{l}
J=\bar{J}+\varepsilon \frac{\partial S_{1}}{\partial \bar{\theta}}, \\
\theta=\bar{\theta}-\varepsilon \frac{\partial S_{\mathbf{1}}}{\partial \bar{J}}, \\
\boldsymbol{p}=\overline{\boldsymbol{p}}+\varepsilon \frac{\partial S_{\mathbf{1}}}{\partial \overline{\boldsymbol{q}}}, \\
\boldsymbol{q}=\overline{\boldsymbol{q}}-\varepsilon \frac{\partial S_{1}}{\partial \overline{\boldsymbol{p}}} .
\end{array}
\]

Подставляя эти выражения в $H_{0}$ и удерживая члены порядка $\varepsilon$, находим
\[
H_{0}(J, \varepsilon y, \varepsilon t)=H_{0}(\bar{J}, \varepsilon \bar{y}, \varepsilon t)+\varepsilon \omega \frac{\partial S_{1}}{\partial \bar{\theta}},
\]

где $\omega=\partial H_{0} / \partial \bar{J}$ – быстрая частота. Заметим, что члены
\[
-\frac{\partial H_{0}}{\partial \overline{\boldsymbol{q}}} \cdot \frac{\partial S_{1}}{\partial \overline{\boldsymbol{p}}}, \quad \frac{\partial H_{0}}{\partial \overline{\boldsymbol{p}}} \cdot \frac{\partial S_{1}}{\partial \overline{\boldsymbol{q}}}
\]

имеют второй порядок малости по $\varepsilon$ и потому опущены. С помощью выражения (1.2.13в) получаем
\[
\bar{H}(\bar{J}, \bar{\theta}, \varepsilon \bar{y}, \varepsilon t)=H(J, \theta, \varepsilon y, \varepsilon t)+\varepsilon \frac{\partial S(\bar{J}, \theta, \varepsilon \bar{p}, \varepsilon q, \varepsilon t)}{\partial(\varepsilon t)} .
\]

Разлагая $\bar{H}, H$ и $S$, используя (2.3.9) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, находим в нулевом порядке
\[
\bar{H}_{0}(\bar{J}, \varepsilon \bar{y}, \varepsilon t)=H_{0}(\bar{J}, \varepsilon y, \varepsilon t)
\]

и в первом порядке
\[
\bar{H}_{1}(\bar{J}, \bar{\theta}, \varepsilon \overline{\boldsymbol{y}}, \varepsilon t)=\omega \frac{\partial S_{1}}{\partial \bar{\theta}}+H_{1}(\bar{J}, \bar{\theta}, \overline{\varepsilon \boldsymbol{y}}, \varepsilon t),
\]

где $S_{1}=S_{1}(\vec{J}, \bar{\theta}, \varepsilon \bar{y}, \varepsilon t)$, а член $\partial S_{1} / \partial t$ в (2.3.12) имеет второй порядок малости и поэтому не вошел в (2.3.14).

Выберем теперь $S_{1}$ таким образом, чтобы исключить переменную по $\bar{\theta}$ часть $H_{1}$. Считая медленные фазы постоянными, введем среднее только по $\bar{\theta}$
\[
\left\langle H_{1}\right\rangle_{\bar{\theta}}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} H_{1} d \bar{\theta}
\]

и переменную часть
\[
\left\{H_{1}\right\}_{\bar{\theta}}=H_{1}-\left\langle H_{1}\right\rangle_{\bar{\theta}} .
\]

Разделение (2.3.14) на среднюю и переменную части дает для $\bar{H}$ в первом порядке
\[
\bar{H}(\bar{J}, \varepsilon \bar{y}, \varepsilon t)=H_{0}+\varepsilon\left\langle H_{1}\right\rangle \bar{\theta},
\]

причем $S_{1}$ легко находится из уравнения
\[
\omega \frac{\partial S_{1}}{\partial \bar{\theta}}=-\left\{H_{\mathbf{1}}\right\}_{\bar{\theta}} .
\]

Адиабатическим инвариантом нулевого порядка является невозмущенное действие $J$. В первом порядке новым инвариантом будет $\bar{J}$, для которого в старых переменных из (2.3.9a) имеем ${ }^{1}$ )
\[
\bar{J}(J, \theta, \varepsilon y, \varepsilon t)=J-\varepsilon \frac{\partial S_{1}}{\partial \theta},
\]

или с учетом (2.3.18)
\[
\bar{J}=J+\frac{\varepsilon}{\omega}\left\{H_{1}\right\}_{\bar{\theta}} .
\]

Фактически любую функцию от $\bar{J}$ можно взять в качестве адиабатического инварианта.

Малые знаменатели. Где же сингулярности, с которыми мы столкнулись в п. 2.2б и которые препятствовали сходимости рядов? Их проще всего обнаружить, если принять, что в первом порядке по $\varepsilon$ величины $\boldsymbol{y}$ являются переменными действие – угол: $\boldsymbol{y}=$ $=\left(\boldsymbol{J}_{y}, \boldsymbol{\theta}_{y}\right)$. В этом случае, не опуская членов (2.3.11) и $\partial S_{\mathbf{1}} / \partial t$, вместо выражения (2.3.18) получаем
\[
\omega \frac{\partial S_{1}}{\partial \bar{\theta}}+\varepsilon \omega_{y} \cdot \frac{\partial S_{1}}{\partial\left(\varepsilon \bar{\theta}_{y}\right)}+\varepsilon \frac{\partial S_{1}}{\partial(\varepsilon t)}=-\left\{H_{1}\right\}_{\bar{\theta}} .
\]

Так как функции $S_{1}$ и $\left\{H_{1}\right\}_{\bar{\theta}}$ периодичны по всем угловым переменным и по $\Omega t$, их можно разложить в ряд Фурье
\[
S_{\mathbf{1}}=i \sum_{\substack{n=(k, l, m) \\ k
eq 0}} \frac{H_{1 n}\left(\bar{J}, \bar{J}_{y}\right)}{k \omega+\varepsilon m \cdot \omega_{y}+\varepsilon l \Omega} e^{i\left(k \bar{\theta}+m \cdot \varepsilon \bar{\theta}_{y}+l \Omega \varepsilon t\right)} .
\]

Отсюда видно, что малые знаменатели возникают вследствие резонансов высокого порядка ( $\boldsymbol{m}, \boldsymbol{l}$ – большие числа) между медленными и быстрыми колебаниями. Вблизи этих резонансов нельзя пренебрегать членами порядка $\varepsilon$ в (2.3.21). Поэтому нет ничего
1) Нижеследующие соотношения справедливы, вообще говоря, только в том (редком) случае, когда невозмущенная система $H_{0}(\varepsilon)$ интегрируема как при $\varepsilon=0$, так и при $\varepsilon
eq 0$, несмотря на явную зависимость от времени и многомерность. Иначе поправки к адиабатическому инварианту будут зависеть и от функции $H_{0}(\varepsilon)$.- Прим. ред.

удивительного в том, что адиабатические ряды, в которых резонансные эффекты не учитываются, оказываются асимптотическими, т. е. формально расходящимися и справедливыми лишь для интервалов времени, меньших или порядка характерного времени медленных изменений ${ }^{1}$ ).

Описанное выше адиабатическое разложение можно выполнить и в более высоких порядках. В каждом порядке необходимо решать уравнение для $S_{n}$, подобное уравнению (2.3.18) для $S_{1}$. При этом резонансные знаменатели никогда не появляются, а их действие все время отодвигается во все более высокие порядки. Выражения для адиабатических инвариантов высших порядков приведены в $\S 2.5$.

Иерархия инвариантов. Построение адиабатического инварианта, если он действительно существует, фактически снижает число степеней свободы с $N$ до $N-1$ (в пределах точности адиабатического приближения). Это происходит потому, что задаваемый асимптотическим рядом по степеням $\varepsilon$ преобразованный гамильтониан
\[
\bar{H}=\bar{H}(\bar{J}, \varepsilon \bar{y}, \varepsilon t, \varepsilon)
\]

не зависит от $\bar{\theta}$, а $\bar{J}$ – константа. Если среди оставшихся степеней свободы найдется еще одна, колебания по которой являются быстрыми по сравнению с другими, то можно ввести второй малый параметр $\varepsilon_{2}$, перейти к переменным действие – угол по этому быстрому движению для невозмущенной ( $\varepsilon_{2} \equiv 0$ ) системы и найти второй адиабатический инвариант. Этот процесс можно продолжить, что приведет к возникновению иерархии инвариантов и эффективному снижению числа степеней свободы вплоть до единицы. Такая ситуация хорошо известна в физике плазмы для движения заряженной частицы в магнитной ловушке. Вначале определяется инвариант, связанный с быстрым ларморовским вращением, – мағнитный момент $\mu$, затем – продольный инвариант $J_{\|}$, отвечающий более медленным колебаниям между магнитными пробками, и, наконец, – потоковый инвариант Ф, связанный с дрейфовым движением. Эти три степени свободы показаны на рис. 2.7 (более подробное обсуждение данной задачи можно найти в работе [175]). В рассматриваемом случае тремя малыми параметрами являются: 1) $\varepsilon$ – отношение частоты продольных колебаний к ларморовской частоте; 2) $\varepsilon_{2}$ – отношение частоты дрейфового движения к частоте продольных колебаний и 3) $\varepsilon_{3}$ – отношение частоты изменения во времени магнитного поля к дрейфовой частоте.

Вся иерархия инвариантов ограничена условиями справедливости адиабатической теории, и резонансы могут привести к изме-
1) Поскольку резонансные эффекты, вообще говоря, экспоненциально малы, их влияние, например в виде диффузии Арнольда, проявляется на значительно большем масштабе времени (см. § 6.2).- Прим. ред.

нению или разрушению этих инвариантов. Для частицы, движущейся в статической магнитной ловушке, такие процессы были исследованы Чириковым $[67,70]$. Аналогичные исследования для частицы, находящейся в ловушке и взаимодействующей с переменным электрическим полем, были проведены Егером и др. [212], а также Либерманом и Лихтенбергом [274]. В случае более чем двух степеней свободы частицы подвержены диффузии Арнольда даже при отсутствии перекрытия первичных резонансов. Однако, как показано в гл. 6 , при $\varepsilon \rightarrow 0$ как скорость диффузии Арнольда,

Рис. 2.7. Иерархия адиабатических инвариантов для заряженной частицы в магнитной ловушке: магнитный момент $\mu$, продольный инвариант $J_{\|}$, потоковый инвариант $Ф$.

так и общий фазовый объем стохастических слоев, по которым идет диффузия, стремятся к нулю. Поэтому в практических приложениях иерархия адиабатических инвариантов соответствует истинному движению с очень хорошей точностью. Адиабатическая теория является и останется впредь одним из плодотворных подходов к пониманию движения в динамических системах.
* 2.3в. Медленно изменяющийся гармонический осциллятор

С целью иллюстрации общего метода и резонансных эффектов вычислим адиабатический инвариант первого порядка для медленно изменяющегося линейного осциллятора
\[
H_{l}=\frac{1}{2} G(\tau) p^{2}+\frac{1}{2} F(\tau) q^{2},
\]

где малый параметр введен посредством переменной $\tau=\varepsilon t$. Вначале перейдем к переменным действие – угол $J, \theta$ для невозмущенного гамильтониана $H_{l_{0}}=H_{l}(\varepsilon=0)$ с помощью производящей функции
\[
F_{1}(q, \theta, \tau)=\frac{1}{2} R q^{2} \operatorname{ctg} \theta,
\]

где $R(\tau)=(F / G)^{1 / 2}$. Из (1.2.11) получаем уравнения преобразований (1.2.68) и новый гамильтониан
\[
H=\omega_{0} J+\varepsilon \frac{1}{2} \frac{R^{\prime}}{R} J \sin 2 \theta .
\]

Здесь $\omega_{0}(\tau)=(F G)^{1 / 2}$, а штрих означает дифференцирование по $\tau$. Наша система приведена теперь к виду (2.3.6) и допускает применение метода Пуанкаре-Цейпеля.В нулевом порядке адиабатическим инвариантом является
\[
J=\frac{H_{0}}{\omega_{0}}=\text { const, }
\]
т. е. число квантов $\hbar \omega_{0}$ сохраняется при медленном изменении частоты осциллятора [114]. Для определения инварианта первого порядка применим выражение (2.3.20) к гамильтониану (2.3.25), что сразу даст
\[
\vec{J}=J(1+\varepsilon P \sin 2 \theta)=\text { const, }
\]

где $P(\varepsilon t)=R^{\prime} / 2 \omega_{0} R$. Видно, что в первом порядке величина $J$ испытывает небольшие колебания с частотой, в 2 раза превышающей частоту осциллятора. Постоянство $\bar{J}$ можно проверить, взяв производную по времени (обозначена точкой) от (2.3.27),
\[
\dot{\bar{J}}=\dot{J}+\varepsilon \dot{P} J \sin 2 \theta+2 \varepsilon \omega_{0} J P \cos 2 \theta+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

В силу канонических уравнений для гамильтониана (2.3.25) первый и третий члены сокращаются и в первом порядке по $\varepsilon$ остается
\[
\dot{\bar{J}}=\varepsilon \dot{P} J \sin 2 \theta .
\]

Если медленное возмущение имеет обычный порядок малости, т. е. $\dot{P} \sim \varepsilon P$, то $\dot{\bar{J}} \sim \varepsilon^{2}$ и, следовательно, $\bar{J}$ является инвариантом первого порядка.
Прохождение через резонанс. Рассмотрим теперь изменение адиабатического инварианта, обусловленное резонансами между колебаниями осциллятора и медленными периодическими изменениями его параметров. Разложим $\dot{P}$ в ряд Фурье
\[
\dot{P}=\varepsilon \sum_{n
eq 0} a_{n} e^{i n \omega_{1} \varepsilon t},
\]

здесь $\varepsilon \omega_{1}$ – частота медленных изменений, причем отношение
$\omega_{1} / \omega_{0}$ порядка единицы. Подставляя выражение для $\dot{P}$ в формулу 2.3.29), получаем
\[
\dot{\bar{J}}=\frac{\varepsilon^{2}}{2 i} \bar{J} \sum_{n
eq 0} a_{n}\left[e^{i\left(n \omega_{1} \varepsilon t+2 \theta\right)}-e^{i\left(n \omega_{1} \varepsilon t-2 \theta\right)}\right],
\]

где мы заменили $J$ на $\bar{J}$ с точностью до величин первого порядка по $\varepsilon$. Интегрирование (2.3.31) по периоду медленных колебаний дает $\mathbf{\Delta} \bar{J} / \bar{J} \sim \varepsilon^{\mathbf{2}}$, если частоты $\varepsilon \omega_{1}$ и $\omega_{0}$ несоизмеримы. В противном случае, т. е. при
\[
\frac{\omega_{0}}{\varepsilon \omega_{1}}=\frac{s}{2},
\]

где $s$ – целое число порядка $\varepsilon^{-1}$, члены суммы с $n= \pm s$ не зависят от времени и интеграл по периоду медленных колебаний дает
\[
\frac{\bar{\Delta} \bar{J}}{\bar{J}} \sim \varepsilon^{2}\left|a_{s}\right| \cdot \frac{2 \pi \varepsilon^{-1}}{\omega_{1}} \sim \varepsilon .
\]

Таким образом, если резонанс поддерживается в течение времени $t_{p} \sim 2 \pi \varepsilon^{-1 / \omega_{1}}$, то инвариант первого порядка разрушается, что свидетельствует о сильном нарушении адиабатичности ${ }^{2}$ ). Это не означает, однако, что интеграл движения вообще не существует, просто он имеет другой вид. Действительно, в п. 1.36 мы видели, что линейный осциллятор (2.3.23) с периодически изменяющимися во времени коэффициентами является интегрируемой системой, откуда и следует существование некоторого интеграла движения. С другой стороны, для нелинейного осциллятора возможно как сохранение невозмущенного интеграла движения, так и его топологическое изменение или полное разрушение. Хотя нелинейный $\qquad$
1) Соотношение (2.3.31) справедливо только по порядку величины, так как уравнение (2.3.29) содержит еще одно слагаемое $\varepsilon P \dot{j} \sin 2 \theta=$ $=\varepsilon^{2} P^{2} J \omega_{0} \sin 4 \theta$ [см. (2.3.27)]. Для нижеследующих оценок это, однако, несущественно. – Прим. ред.
${ }^{2}$ ) Связь рассмотренной задачи с прохождением резонанса требует пояснения. Пусть, ‘например, $P(\tau)=P_{0} \cos \left(\Omega_{0} t+\frac{\lambda}{\omega_{1}} \sin \left(\tau \omega_{1}\right)\right)$ – частотномодулированное возмущение с частотой $\Omega(\tau)=\Omega_{0}+\lambda \cos \left(\tau \omega_{1}\right)$. Резонанс проходится, если при некотором $\tau=\tau_{p}$ частота $\Omega\left(\tau_{p}\right)=\omega_{0}$. В этом случае амплитуда $\left|a_{s}\right| \sim \varepsilon^{-12}$ и $\Delta J / J \sim \sqrt{\varepsilon}$, что уточняет оценку (2.3.33). Вряд ли можно говорить о сильном нарушении адиабатичности [на интервале времени $\sim\left(\varepsilon \omega_{1}\right)^{-1}$ ], так как $\Delta J \ll J$. Однако даже первая поправка к $J$ (2.3.27) уже теряет смысл. Если же резонанс не проходится, т. е. $\Omega(\tau)
eq \omega_{0}$ для любого $\tau$, то амплитуда $a_{\mathrm{s}}$ экспоненциально мала и адиабатичность имеет место в полной мере. Различные режимы прохождения резонанса, в том числе и для нелинейного осциллятора, исследованы, например, в работах $[466,68,467]$. Прим. ред.

осциллятор представляет бо́льший интерес, мы ограничились здесь линейной системой в целях иллюстрации методов построения разложений.
2.3r. Неканонические методы

Для некоторых типов задач изложенные выше классические методы неприменимы. В первую очередь речь идет об уже упоминавшейся задаче о дрейфовом движении заряженной частицы в магнитном поле (см. рис. 2.7). Гамильтониан в этом случае имеет вид
\[
H=\frac{1}{2 m}\left[\boldsymbol{p}-\frac{e}{c} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{q}, t)\right]^{2},
\]

где
\[
p=m v+\frac{e}{c} A(q, t)
\]
– канонический импульс, а векторный потенциал $\boldsymbol{A}$ связан с магнитным полем соотношением $\boldsymbol{B}=
abla \times \boldsymbol{A}$. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле $\boldsymbol{B}_{0}$ хорошо известно и сводится к ларморовскому вращению и равномерному перемещению вдоль поля. Небольшие неоднородности поля могут заметно изменить характер движения, приводя как к колебаниям вдоль поля, так и к поперечному дрейфу (см. рис. 2.7). Очевидно, что при малой неоднородности поля частота ларморовского вращения велика по сравнению с частотами колебаний и дрейфа. В качестве малого параметра в уравнениях движения можно принять отношение ${ }^{1}$ ) $m / e \sim \varepsilon$, что гарантирует болышое значение частоты вращения $\Omega=e B / m c \sim \varepsilon^{-1}$. Однако в гамильтоновой формулировке (2.3.34) главные члены как по $\boldsymbol{p}$, так и по $\boldsymbol{A}$ имеют порядок $\mathrm{Be} / \mathrm{mc} \sim \varepsilon^{-1}$ и почти сокращаются, что затрудняет оценку порядков величин по $\varepsilon$ : Эта трудность связана не с самим дрейфовым приближением, а лишь с его гамильтоновым описанием ${ }^{2}$ ). Подобные задачи побудили Крылова и Боголюбова [242], Боголюбова и Зубарева [32], Боголюбова и Митропольского [33] и Крускала [239] сформулировать адиабатическую теорию возмущений для системы дифференциальных уравнений общего вида, необязательно гамильтоно-
1) Этот параметр является формальным, поскольку он никак не связан с реальным возмущением в задаче – с неоднородностью поля.- Прим. ред.
2) Это утверждение спорно, см., например, [468]. Отмеченные трудности связаны отчасти с тем, что обычно невозмущенным считается движение частицы в однородном магнитном поле, которое является инфинитным, т. е. качественно отличается от финитного возмущенного движения частицы в магнитной ловушке. По поводу другого выбора невозмущенной системы в этой задаче см. [464].- Прим. ред.

вых или необязательно в канонических переменных ${ }^{1}$ ). Как и в каноническом случае, эти методы предполагают наличие быстрой переменной по одной степени свободы и медленных по остальным степеням свободы и содержат усреднение на коротком масштабе времени. Будучи эффективными и очень общими, эти методы неизбежно оказываются и очень громоздкими, особенно в высших порядках. В канонической формулировке дифференциальные уравнения получаются из скалярной функции $H$; это же касается и преобразования переменных, которое определяется скалярной производящей функцией. В случае общего метода усреднения ${ }^{2}$ ) эти упрощающие обстоятельства отсутствуют.

Рассмотрим вначале метод Крускала и проиллюстрируем его на примере вычисления адиабатического инварианта первого порядка для медленно изменяющегося гармонического осциллятора. Мы выбрали работу Крускала, а не Крылова и Боголюбова, поскольку Крускал показывает, как неканонические возмущенные решения связаны с переменными действия в тех случаях, когда дифференциальные уравнения можно получить из гамильтониана.

Обращаем внимание читателя на недавно разработанный Литлджоном [281] метод, в котором используются неканонические переменные, но дифференциальные уравнения и преобразования переменных определяются, как и в методе Пуанкаре–Цейпеля, скалярными функциями. Подход Литлджона есть нечто среднее между классической канонической теорией и общими методами усреднения Крылова и Крускала (подробнее см. в [281]) ${ }^{3}$ ).
Метод усреднения Крускала. Следуя Крускалу, рассмотрим автономную систему дифференциальных уравнений
\[
\dot{x}=f(x, \varepsilon),
\]

обладающую тем свойством, что при $\varepsilon=0\left(f=f_{0}(x)\right.$ ) траектория $x(t)$ является замкнутой («петля»). Прежде всего преобразуем переменные, чтобы разделить движение на быструю и медленную части. Если $\boldsymbol{x}-N$-компонентный вектор, то должно быть $N-1$ «медленных» переменных $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}(\boldsymbol{x})$, описывающих движение самой петли и удовлетворяющих условию
\[
\left.\dot{y}\right|_{\varepsilon=0}=\left(\frac{d y}{d t}\right)_{\varepsilon=0}=f_{0} \cdot
abla_{x} y=0 .
\]
1) Поскольку это касается работ Боголюбова и его школы, следует заметить, что их основной мотивировкой были приложения к широкому кругу задач, в которых нельзя пренебречь диссипащией и гамильтонов формализм неприменим. – Прим. ред.
2) См. примечание редактора на с. 104. Используемый здесь и ниже термин «общий метод усреднения» подчеркивает, что такой метод не ограничен гамильтоновыми системами.- Прим. ред.
3) Обобщение метода Литлджона на релятивистский случай содержится в работе [472].- Прим. ред.

При этом оставшаяся «быстрая» переменная $\theta=\theta(x)$, периодическая в нулевом порядке $(\varepsilon=0)$, определяет движение вдоль петли. В новых переменных уравнения (2.3.36) принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{y}=\varepsilon g(y, \theta), \\
\dot{\theta}=\omega(y, \theta),
\end{array}
\]

где быстрая фаза $\theta$ связана с одной из медленных переменных $y_{i}$ $\cdot$ которая в каноническом случае была бы переменной действия для быстрой степени свободы. Преобразования переменных можно представить, как и в каноническом случае, в виде разложения по малому параметру $\varepsilon$.

Общий метод усреднения заключается в том, чтобы найти такие «хорошие» переменные $\boldsymbol{z}$ и $\psi$, эволюция которых не зависит от $\psi$ :
\[
\begin{array}{c}
\dot{z}=\varepsilon h(z), \\
\dot{\psi}=\Omega(z),
\end{array}
\]

причем $\boldsymbol{z}, \boldsymbol{\psi}, \boldsymbol{h}$ и $\Omega$ можно определить независимо в каждом порядке по $\varepsilon$. Необходимо, таким образом, найти четыре уравнения, устанавливающие связь величин $n$-го порядка с теми же величинами (п-1)-го порядка. Поскольку величины нулевого порядка можно определить непосредственно, то полное решение находится по индукции. Для получения этих соотношений выразим полные производные (2.3.39) через переменные $\boldsymbol{y}$ и $\theta$ с помощью выражений (2.3.38) и уравнений преобразования $\boldsymbol{z}=\boldsymbol{z}(\boldsymbol{y}, \theta), \psi=\psi(\boldsymbol{y}, \theta)$ :
\[
\begin{array}{l}
\dot{\boldsymbol{z}}=
abla_{y} \boldsymbol{z} \cdot \varepsilon \boldsymbol{g}+\frac{\partial \boldsymbol{z}}{\partial \theta} \omega=\varepsilon \boldsymbol{h}(\boldsymbol{z}), \\
\dot{\psi}=
abla_{y} \psi \cdot \varepsilon \boldsymbol{g}+\frac{\partial \psi}{\partial \theta} \omega=\Omega(\boldsymbol{z}) .
\end{array}
\]

Дополнительно потребуем периодичности $\boldsymbol{z}$ и $\psi$ :
\[
\begin{array}{l}
z(y, \theta+2 \pi)=z(y, \theta), \\
\psi(y, \theta+2 \pi)=\psi(y, \theta)+2 \pi .
\end{array}
\]

Из последнего выражения видно, что $\psi$ играет роль угловой переменной. Для определения $\boldsymbol{z}$ и $\psi$ как функций $\boldsymbol{y}$ и $\theta$, введем произвольно следующие начальные условия:
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{z}(\boldsymbol{y}, 0)=\boldsymbol{y}, \\
\psi(\boldsymbol{y}, 0)=0 .
\end{array}
\]

Возможен и другой выбор начальных условий, однако выбор (2.3.42) упрощает преобразование переменных. Получим теперь выражения, позволяющие определять $\boldsymbol{z}, \psi, \boldsymbol{h}, \Omega$ в любом порядке по $\varepsilon$. Предположим пока, что мы сумели каким-то образом найти величины $y$, $\theta, \boldsymbol{g}$ и $\omega$ точно, хотя в действительности их можно представить и в виде разложений. Разделив (2.3.40) на $\omega$, интегрируя и определяя постоянные из начальных условий, получаем
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{z}=\boldsymbol{y}+\varepsilon \int_{0}^{\theta}\left(\boldsymbol{h}(\boldsymbol{z})-
abla_{y} \boldsymbol{z} \cdot \boldsymbol{g}\right) \frac{d \theta}{\omega}, \\
\psi=\int_{0}^{\theta}\left(\Omega(\boldsymbol{z})-\varepsilon
abla_{y} \psi \cdot \boldsymbol{g}\right) \frac{d \theta}{\omega} .
\end{array}
\]

Условия периодичности дают
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{2 \pi}\left(h(z)-
abla_{y} \boldsymbol{z} \cdot \boldsymbol{g}\right) \frac{d \theta}{\omega}=0 \\
\int_{0}^{2 \pi}\left(\Omega(\mathbf{z})-\varepsilon
abla_{y} \psi \cdot g\right) \frac{d \theta}{\omega}=2 \pi .
\end{array}
\]

Уравнения (2.3.43) и (2.3.44) являются теми четырьмя уравнениями, которые позволяют находить неизвестные величины $\boldsymbol{z}, \boldsymbol{\psi}, \boldsymbol{h}, \boldsymbol{\Omega}$ в любом порядке по $\varepsilon$. В канонической теории они соответствуют разделению уравнения (2.3.14) для производящей функции $S_{1}$ на среднюю и переменную части ${ }^{1}$ ).

Следующим шагом является разложение $\boldsymbol{z}$ и $\psi$ в ряд по степеням $\boldsymbol{\varepsilon}$, например:
\[
\boldsymbol{z}=\sum_{n} \boldsymbol{z}_{n} \varepsilon^{n}
\]

после чего $\boldsymbol{h}$ и $\Omega$ также можно представить рядами, например:
\[
\varepsilon h(z)=\varepsilon h_{1}\left(z_{0}\right)+\varepsilon^{2}\left[h_{2}\left(z_{0}\right)+z_{1} \frac{\partial}{\partial z} h_{1}\left(z_{0}\right)\right]+\ldots .
\]

В нулевом порядке по $\varepsilon$ имеем $\boldsymbol{z}_{0}=\boldsymbol{y}$. В первом порядке эти переменные определяются из выражений (2.3.43) и (2.3.44) при $\boldsymbol{z}=\boldsymbol{y}$ и $\boldsymbol{h}=\boldsymbol{h}_{1}$ следующим образом. Из (2.3.43а) находим
\[
\boldsymbol{z}_{1}=\int_{0}^{\theta}\left(\boldsymbol{h}_{1}(\boldsymbol{z})-
abla_{y} \boldsymbol{y} \cdot \boldsymbol{g}\right) \frac{d \theta}{\omega}
\]
1) См. уравнения (2.3.49) – (2.3.52).- Прим. ред.

а из условия периодичности (2.3.44a)
\[
\int_{0}^{2 \pi}\left(h_{1}(z)-
abla_{y} y \cdot g\right) \frac{d \theta}{\omega}=0 .
\]

Используя $
abla_{\boldsymbol{y}} \boldsymbol{y} \cdot \boldsymbol{g}=\boldsymbol{g}$ и определяя среднюю часть соотношением
\[
\langle\boldsymbol{g}\rangle=\int_{0}^{2 \pi} \boldsymbol{g} \frac{d \theta}{\omega} / \int_{0}^{2 \pi} \frac{d \theta}{\omega},
\]

а интеграл от переменной части $g$ посредством
\[
\tilde{\boldsymbol{g}}=\int_{0}^{\theta}(\boldsymbol{g}-\langle\boldsymbol{g}\rangle) \frac{d \theta}{\omega},
\]

получаем из (2.3.48) и (2.3.47)
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{h}_{1}(\boldsymbol{z})=\langle\boldsymbol{g}\rangle, \\
\boldsymbol{z}_{1}=-\tilde{\boldsymbol{g}} .
\end{array}
\]

Аналогичные вычисления с использованием уравнений (2.3.43б) и (2.3.44б) определяют $\psi$ в первом порядке по $\varepsilon$. Заметим, что физический смысл этих преобразований заключается в том, что в каждом порядке переменные определяются таким образом, чтобы их средняя часть была равна нулю и интегрирование по углу не приводило бы к появлению секулярных членов. Сами переменные могут иметь при этом различную природу. Для осциллятора с одной степенью свободы и медленно изменяющейся частотой величина $y$ может быть гамильтонианом. В случае нескольких степеней свободы с не зависящим от времени гамильтонианом величина $y$ может представлять вектор переменных действия. В любом случае, согласно формальной схеме Крускала, инвариант должен определяться обычным образом:
\[
J=\int_{0}^{2 \pi} \sum_{k=1}^{N} p_{k} \frac{d q_{k}}{d \psi} \cdot d \psi,
\]

где $p_{k}, q_{k}$ могут быть либо компонентами $\boldsymbol{z}$, либо в более общем случае функциями от $\boldsymbol{z}$. Крускал демонстрирует каноническую природу $J$ и $\psi$, вычисляя для них скобки Пуассона
\[
[\psi, J]=1 \text {. }
\]

Фактическое вычисление является довольно сложным, но уже сам вид выражения (2.3.53) для $J$ показывает, что это действительно переменная действия.

Медленно изменяющийся осциллятор. Проиллюстрируем метод Крускала на примере изменяющегося во времени гармонического осциллятора. Хотя этот метод был разработан для применения в многомерных системах, его основные черты можно показать и на одномерной модели. Имеем
\[
\begin{array}{c}
\frac{d p}{d t}=-F(\varepsilon t) q, \\
\frac{d q}{d t}=G p,
\end{array}
\]

причем для упрощения принято $G=$ const. Чтобы привести (2.3.55) к стандартному виду автономной системы уравнений первого порядка, введем новую независимую переменную $\tau \rightleftharpoons \varepsilon t$. Обозначая точкой производную по времени, получаем
\[
\begin{array}{c}
\dot{p}=-F(\tau) q, \\
\dot{q}=G p, \\
\dot{\tau}=\varepsilon .
\end{array}
\]

В нулевом порядке по $\varepsilon$ имеем $\tau=$ const и, следовательно, $F=$ $=$ const. Пусть векторная переменная $\boldsymbol{y}$ равна
\[
\boldsymbol{y}=(H, \tau),
\]
т. е. имеет компоненты $H$ и $\tau$. Здесь $H$ – гамильтониан системы
\[
H=\frac{F}{2} q^{2}+\frac{G}{2} p^{2},
\]

который в нулевом порядке сохраняется. Величины $H$ и $\tau$ являются (с точностью до знака) каноническими переменными расширенного фазового пространства. Решение нулевого порядка есть просто гармонические колебания
\[
\begin{array}{l}
q=q_{0} \sin \left(\omega_{0} t+\beta\right), \\
p=R q_{0} \cos \left(\omega_{0} t+\beta\right),
\end{array}
\]

где, как и прежде, $R=(F / G)^{1 / 2}$ и $\omega_{0}=(F G)^{1,2}$. Определяя угловую переменную посредством $\theta=\omega_{0} t+\beta$, находим из (2.3.59)
\[
\theta=\operatorname{arctg}\left(\frac{R q}{p}\right) \text {. }
\]

Мы хотим перейти к новым «хорошим» переменным, не зависящим от быстрой фазы. Для этого надо использовать преобразования (2.3.43) и (2.3.44) последовательно в каждом порядке по $\varepsilon$. Чтобы найти необходимые производные $\dot{H}$ и $\dot{\theta}$, продифференцируем (2.3.58), подставляем в него $(2.3 .56$ ) и получаем
\[
\dot{H}=\frac{\varepsilon}{2} F^{\prime} q^{2},
\]

где $F^{\prime}$ – производная по $\tau$. Из (2.3.58) и (2.3.60) можно выразить $q$ и $p$ через $H$ и $\theta$ :
\[
\begin{aligned}
q^{2} & =\frac{2 H}{F} \sin ^{2} \theta, \\
p^{2} & =\frac{2 H}{G} \cos ^{2} \theta .
\end{aligned}
\]

Подставляя $q^{2}$ в выражение для $\dot{H}$ и учитывая равенство $R^{\prime} / R=$ $=F^{\prime} / 2 F$, имеем
\[
\dot{H}=2 \varepsilon\left(\frac{R^{\prime}}{R}\right) H \sin ^{2} \theta,
\]

или
\[
\dot{y} \equiv(\dot{H}, \dot{\tau})=\varepsilon \boldsymbol{g}(H, \tau, \theta) .
\]

Аналогичным путем, дифференцируя (2.3.60) и используя (2.3.56), определяем производную для угловой переменной:
\[
\dot{\theta}=\frac{1}{1+\left(\frac{R q}{p}\right)^{2}}\left\{\varepsilon \frac{R^{\prime}}{R} \frac{R q}{p}+\omega_{0}\left[1+\left(\frac{R q}{p}\right)^{2}\right]\right\} .
\]

Выражая $R q / p$ из (2.3.60) и преобразуя, получаем
\[
\dot{\theta}=\omega_{0}+\varepsilon \frac{R^{\prime}}{2 R} \sin 2 \theta \equiv \omega(H, \tau, \theta) .
\]

Уравнения (2.3.63) и (2.3.66) можно теперь использовать для получения «хороших» переменных $\boldsymbol{z}$ и $\psi$. Применяя (2.3.63), (2.3.64) и (2.3.66) при вычислении выражения (2.3.49), в первом порядке находим
\[
\langle g\rangle=\left(\frac{R^{\prime} H}{R}, 1\right)
\]

и, согласно (2.3.51), $\boldsymbol{h}_{1}=\langle\boldsymbol{g}\rangle$. Полагая $\boldsymbol{z}=(\bar{H}, \tau)$, вычисляя интеграл (2.3.50) и используя (2.3.51), получаем
\[
\bar{H}=H\left[1+\varepsilon\left(\frac{R^{\prime}}{2 \omega_{0} R}\right) \sin 2 \theta\right] .
\]

Аналогичные вычисления приводят к тривиальному результату $\bar{\tau}=\tau$, что_вместе с (2.3.68) позволяет определить в первом порядке «хорошие» переменные $\boldsymbol{z}=(\bar{H}, \bar{\tau})$, так что $\boldsymbol{z}$ не зависит от $\psi$. Подобным же образом строятся и преобразования для угловой переменной $\psi$.

Получив хорошие переменные, можно выразить через них интеграл движения
\[
\bar{J}=\frac{1}{2 \pi} \oint p d q=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} p \frac{d q}{d \psi} d \psi,
\]

где $p$ и $q$ – функции $\bar{H}$ и $\psi$. В первом порядке по $\varepsilon$ достаточно выполнить интегрирование по $\theta$ вместо $\psi$ : это упрощение использовано в работе Нортропа и др. [321]. Используя выражения (2.3.62) и вычисляя производную от $q$, получаем
\[
\bar{J}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{2 H}{\omega_{0}} \cos ^{2} \theta d \theta .
\]

С помощью (2.3.68) в первом порядке по $\varepsilon$ находим
\[
\bar{J}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{2 \bar{H}}{\omega_{0}}\left(1-\frac{\varepsilon}{2 \omega_{0}} \frac{R^{\prime}}{R} \sin 2 \theta\right) \cos ^{2} \theta d \theta .
\]

Производя интегрирование, получаем выражение для адиабатического инварианта
\[
\bar{J}=\frac{\bar{H}}{\omega_{0}}=\frac{H}{\omega_{0}}\left(1+\frac{\varepsilon R^{\prime}}{2 \omega_{0} R} \sin 2 \theta\right) .
\]

Это выражение совпадает с выражением (2.3.27), полученным в канонической теории возмущений. Если $H$ вычисляется в области, где параметры не изменяются, то $R^{\prime}=0$ и мы приходим к обычному выражению
\[
\frac{H}{\omega_{0}}=\mathrm{const} \text {, }
\]

которое, как это видно из (2.3.70), справедливо только в нулевом порядке.