Рассмотрим систему с двумя степенями свободы, близкую к интегрируемой, В окрестности резонанса гамильтониан такой системы можно привести к стандартному виду
\[
H=H_{0}(J)+\frac{1}{2} G p^{2}-\varepsilon F \cos \varphi,
\]

используя резонансную теорию возмущений и производя усреднение по быстрым фазам (см. § 2.4). Здесь медленное движение описывается интегрируемой системой уравнений маятника (см. п. 1.3а), а быстрое движение описывается уравнениями:
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{J}=\text { const, } \\
\boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{\omega}_{0}(\boldsymbol{J}) t+\boldsymbol{\theta}_{0} .
\end{array}
\]

Мы знаем, что такая картина движения не является полной, так как взаимодействие между быстрыми (переменные $\theta$ ) и медленными (переменная $\varphi$ ) колебаниями приводит к появлению вторичных резонансов и областей стохастичности. В окрестности же сепаратрисы гамильтониана (3.5.1) хаотическая компонента движения сохраняется даже в пределе $\varepsilon \rightarrow 0$ (см. п. 3.2в).

Рис. 3.19. Движение вблизи сепаратрисы маятника.
$a$ — плоскость сечения $(p, \varphi)(\theta=$ const); $\sigma$ — плоскость сечения ( $J, \theta$ ) ( $\varphi=$ const ). Стохастическая траектория заполняет заштри хованную область вокруг невозмущенной сепаратрисы (сплошная линия).

Гамильтониан (3.5.1) был получен путем усреднения в окрестности резонанса $\omega_{2} / \omega_{1}=r / s$ следующего гамильтониана [см. (2.4.9) l:
\[
H=H_{0}(J)+\frac{1}{2} G p^{2}-\varepsilon F \cos \varphi+
\]

\[
+\varepsilon \sum_{\substack{n>1 \\ q
eq 0}} \Lambda_{n_{q}} \cos \left(\frac{n}{r} \varphi-\frac{q}{r} \Omega t+\chi_{n q}\right),
\]

где $G, F, \Lambda$ и $\chi$ — функции переменной действия $J$, канонически сопряженной быстрой фазе $\theta$. Сравнивая (3.5.1) и (3.5.4), видим, что медленное движение в переменных ( $p, \varphi$ ) на поверхности сечения $\theta=$ const, описываемое гамильтонианом (3.5.1), возмущено, что приводит к появлению тонкого стохастического слоя вокруг сепаратрисы. Этот слой схематически показан на рис. 3.19 , а вместе с невозмущенной сепаратрисой.

Можно также исследовать движение в переменных $J, \theta$ на поверхности сечения $\varphi=$ const. В этих переменных невозмущенному движению соответствует линия постоянного J. Под влиянием возмущения образуется стохастический слой, заштрихованный на рис. 3.19 , б. Видно, что в переменных $J, \theta$ хаотическое движение четко отделено от интегрируемого (тривиального) движения. Построим поэтому отображение именно в переменных $J, \theta$, выбрав для удобства ${ }^{1}$ ) поверхность сечения $\varphi \approx 0$.
*3.5а. Вынужденные колебания маятника
Прежде чем найти изменение переменной действия $J$, рассмотрим более простую задачу. Дело в том, что при изменении $J$ изменяется также и частота $\omega_{\theta}(J)$. Более простая, но все еще интересная задача получается, если считать частоту $\omega_{\theta}$ фиксированной. Это позволяет развязать возмущенный маятник и остальную часть динамической системы. В таком случае фаза $\theta$ просто пропорциональна времени, а гамильтониан (3.5.4) принимает вид ${ }^{2}$ )
\[
\tilde{H}=\frac{1}{2} G p^{2}-\varepsilon F \cos \varphi+\varepsilon \sum \Lambda_{n_{q}} \cos \left(\frac{n}{r} \varphi-\frac{q}{r} \Omega t+\chi_{n q}\right),
\]

где $G, F, \Lambda, \Omega$ и $\chi$ теперь постоянные, и мы опустили член $H_{0}(J)$. С точностью до членов порядка $\varepsilon$ гамильтонианы $\tilde{H}$ и $H$ полностью эквивалентны. Это легко показать, если перейти к расширенному фазовому пространству (п. 1.2б) для гамильтониана (3.5.5) с новыми каноническими переменными $J^{\prime}=-H^{\prime} / \Omega$ и $\theta=\Omega t$ и новым гамильтонианом
\[
H^{\prime}=\widetilde{H}+\Omega J^{\prime} \text {. }
\]

Сравнивая $d J / d t$ из (3.5.4) с $d \tilde{H} / d t$ из (3.5.5), видим, что изменение $J$ пропорционально изменению $\widetilde{H}$ :
\[
\Delta J=\frac{-\Delta \tilde{H}}{\Omega} .
\]
1) Выбор переменных $J, \theta$ и сечения $\varphi=0$ продиктован особенностями действия возмущения вблизи сепаратрисы [см. ниже (3.5.12)].Прим. ред.
2) Вместо этого можно просто пренебречь изменением частоты $\omega_{\theta}(J)$ ввиду малости изменения $J$, как фактически и сделано ниже.- Прим. ред.

Вычисление $\Delta J$. Проинтегрируем $d \tilde{H / d t}$, или, что эквивалентно, $d J / d t$ по периоду невозмущенного движения маятника. Как будет видно в дальнейшем, изменение $\Delta J$ мало и экспоненциально зависит от отношения частот $q / r=\Omega / \omega_{0}$. Предположим, что
\[
\omega_{0}=(\varepsilon F G)^{1 / 2} \ll \Omega,
\]

где $\omega_{0}$ — частота малых колебаний маятника. Так как амплитуды Фурье $\Lambda_{n q}$ уменьшаются с ростом $n$ и $|q|$, достаточно сохранить лишь главный член с $n=q=1$. Обозначив $\Lambda=\Lambda_{11}$, получим из $(3.1 .31)$
\[
\Delta J=-\frac{\varepsilon \Lambda}{r} \int_{-\infty}^{\infty} d t \sin \left[\frac{1}{r} \varphi\left(\omega_{0} t\right)-\frac{1}{r}\left(\Omega t+\theta_{n}\right)\right],
\]

где для невозмущенного движения по сепаратрисе (1.3.21) (см. рис. $3.20, a$ ) имеем
\[
\varphi(s)=4 \operatorname{arctg}\left(e^{s}\right)-\pi,
\]
a
\[
\theta=\Omega t+\theta_{n} .
\]

Величина $\chi$ включена в постоянную $\theta_{n}$, равную фазе $\theta$ в момент $n$-го пересечения поверхности $\varphi \approx 0$. Переходя к переменной $s=$ $=\omega_{0} t$ и учитывая, что вклад в интеграл дает только симметричная часть подынтегрального выражения, получаем
\[
\Delta J=\varepsilon \frac{\Lambda}{\omega_{0} r} \mathscr{A}_{(2, r)}\left(Q_{0}\right) \sin \theta_{n} .
\]

Здесь функция
\[
\mathscr{A}_{m}\left(Q_{0}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} d s \cos \left[\frac{m}{2} \varphi(s)-Q_{0} s\right]
\]

называется интегралом Мельникова-Арнольда, а
\[
Q_{0}=\frac{1}{r} \frac{\Omega}{\omega_{0}}
\]

есть отношение частот.
Интеграл Мельникова-Арнольда. Интеграл (3.5.13) является несобственным и фактически не имеет определенного значения. Рассмотрим интеграл
\[
\mathscr{A}_{m}^{\prime}\left(Q_{0}, s_{1}\right)=2 \int_{0}^{s_{1}} d s \cos \left[\frac{m}{2} \varphi(s)-Q_{0} s\right] .
\]

Как видно из рис. 3.20, , при $s_{1} \rightarrow \infty$ последний интеграл есть сумма быстро осциллирующей части и некоторого среднего значения. Осциллирующая часть может быть велика по сравнению со средним, но при усреднении по интервалу времени порядка периода колебаний вблизи сепаратрисы вклад от нее стремится к нулю. Среднее значение $\mathscr{A}_{m}^{\prime}$ определяется областью $s \leqslant 1 / Q_{0}$. В этой области мгновенная частота $\dot{\varphi} \approx 2 \omega_{0}$ (см. рис. 3.20, б) достигает наибольшего значения, максимально приближаясь к частоте возмущения $\Omega$. Это и приводит к поведению, изображенному на рис. 3.20, в. Ниже интеграл в (3.5.13) понимается в смысле своего среднего значения. Его оценка была получена Мельниковым (см. [70]) ${ }^{1}$ ). Для целых $m$ интеграл вычисляется точно с помощью вычетов. При $Q_{0}<0$ имеем
\[
\begin{array}{r}
\mathscr{A}_{m}\left(Q_{0}\right)=(-1)^{m} \times \\
\times \mathscr{A}_{m}\left(-Q_{0}\right) \exp \left(\pi Q_{0}\right), \\
\\
(3.5 .16)
\end{array}
\]
1) Приведенные ниже экспоненциальные оценки были впервые получены еще Пуанкаре [337, п. 226$]$. Поскольку, однако, при $Q_{0} \gg 1$ эффект экспоненциально мал, возникает очень серьезная и трудная проблема оценки точности этого результата, которая до сих пор обсуждается в литературе (см., например, $[197,483$, 484 ]). По существу вопрос был решен уже в первых работах Мельникова [298], который показал, что все неэкспоненциальные поправки могут быть оттрансформированы с помощью канонической замены переменных (см. также [314], лемма 10.3). Тем не менее в некоторых специальных случаях, например, для стандартного отображения, эффекты высших приближений приводят к появлению численного множителя порядка единицы, который пока не поддается аналитической оценке (см. [70, §6.1] и [485]).- Прим. ред.

эта величина обычно очень мала. Для $Q_{0}>0$ получаем
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{A}_{1}=\frac{2 \pi \exp \left(\pi Q_{0} / 2\right)}{\operatorname{sh}\left(\pi Q_{0}\right)}, \\
\mathscr{A}_{2}=2 Q_{0} \mathscr{A}_{1},
\end{array}
\]

и рекуррентное соотношение для $m>2$ имеет вид
\[
\mathscr{A}_{m}=\frac{2 Q_{0} \mathscr{A}_{m-\mathbf{1}}}{(m-1)}-\mathscr{A}_{m-2} .
\]

При $Q_{0} \gg m$ справедливо следующее асимптотическое представление:
\[
\mathscr{A}_{m}=\frac{4 \pi\left(2 Q_{0}\right)^{m-1} \exp \left(-\pi Q_{0} / 2\right)}{(m-1) !} .
\]

Подробности вычисления этих интегралов можно найти в работе [70].

Вернемся к соотношению (3.5.12). Используя асимптотику (3.5.20) в виду того, что $Q_{0} \sim \varepsilon^{-1 / 2}$, получаем первое уравнение возмущенного отображения поворота (3.1.13a) с функцией ( $r=1$ )
\[
\begin{array}{c}
f=f_{0} \sin \theta_{n}, \\
f_{0}=8 \pi \Lambda \Omega^{-1} Q_{0}^{2} \exp \left(-\frac{\pi Q_{0}}{2}\right) .
\end{array}
\]
* 3.5б. Сепаратрисное отображение

Изменение фазы $\theta$ между последовательными пересечениями поверхности $\varphi=0$ определяется полупериодом колебаний вблизи сепаратрисы, который, согласно (1.3.15), равен
\[
T=\omega_{0}^{-1} \ln \frac{32}{|w|},
\]

где величина
\[
w(J)=-\frac{\varepsilon F+\Omega J}{\varepsilon F}
\]

характеризует относительное смещение от сепаратрисы по энергии. Изменение фазы $\theta$ равно при этом просто $\Omega T$. Отсюда число вращения во втором уравнении отображения поворота (3.1.13б) равно
\[
2 \pi \alpha=\frac{\Omega}{\omega_{0}} \ln \frac{32}{|w|} .
\]

Так как функция $f$ считается независящей от $J$, то из (3.1.16) сле дует, что можно положить $g \equiv 0$, так что никакого дополнительного изменения фазы не происходит.

Оказывается, что более удобно перейти от $J$ к переменной $w$, определяемой формулой (3.5.24). Тогда отображение принимает вид
\[
\begin{array}{l}
w_{n+1}=w_{n}-w_{0} \sin \theta_{n}, \\
\theta_{n+1}=\theta_{n}+Q_{0} \ln \left|\frac{32}{w_{n+1}}\right|,
\end{array}
\]

где
\[
w_{0}=\frac{\Omega f_{0}}{F}=8 \pi\left(\frac{\Lambda}{F}\right) Q_{0}^{2} \exp \left(-\frac{\pi Q_{0}}{2}\right) .
\]

Это и есть сепаратрисное отображение [70], которое описывает движение в окрестности возмущенной сепаратрисы.
Неподвижные точки и их устойчивость. Мы не будем здесь рассматривать сепаратрисное отображение столь же подробно, как отображение Улама выше, а отметим лишь его наиболее характерные особенности. Оба отображения очень похожи друг на друга, оба относятся к классу явных отображений поворота и их можно представить в виде произведения инволюций (см. п. 3.1б). Оба отображения имеют нелинейность одного типа, которая приводит к увеличению фазового сдвига, а следовательно, и к стохастичности при
Неподвижные точки определяются из (3.5.26) условием
\[
Q_{0} \ln \left|\frac{32}{w_{1}}\right|=2 \pi m .
\]

Откуда
\[
\begin{array}{c}
w_{1}= \pm 32 \exp \left(-\frac{2 \pi m}{Q_{0}}\right), \text { где } m-\text { целое число, } \\
\theta_{\mathbf{1}}=0 ; \text { л. }
\end{array}
\]

Устойчивость неподвижных точек определяется условием (3.3.55)
\[
|\operatorname{Sp} A|=\left|2+\frac{w_{0}}{w_{1}} Q_{0} \cos \theta\right|<2 .
\]

Следовательно, при $w_{1}>0$ все неподвижные точки $\theta_{1}=0$ неустойчивы, а $\theta_{1}=\pi$ устойчивы при
\[
w_{1}>w_{s}=\frac{w_{0} Q_{0}}{4},
\]

или
\[
w_{1}>2 \pi\left(\frac{\Lambda}{F}\right) Q_{0}^{3} \exp \left(-\frac{\pi Q_{0}}{2}\right) .
\]

Как и в случае отображения Ферми, можно ожидать, что величина $w_{s}$ определяет важную границу перехода к сплошной стохастичности при $w<w_{s}$.

Сепаратрисное отображение играет чрезвычайно важную роль в понимании хаотического поведения систем, близких к интегрируемым. Как мы видели выше, резонансы в таких системах всегда окружены сепаратрисами, а сепаратрисное отображение описывает движение в их окрестности, причем это движение является хаотическим при $w \rightarrow 0$. Ввиду такой универсальности сепаратрисное отображение интенсивно изучалось [70] с целью определения границы стохастичности $w_{b}$, которая характеризует ширину стохастического слоя вокруг сепаратрисы, а также для выяснения статистических свойств хаотического движения внутри этого слоя. Результаты этих исследований представлены в гл. 4 и 5 . Далее в гл. 6 будет показано, что движение в окрестности сепаратрисы лежит в основе анализа диффузии Арнольда, которая, вообще говоря, всегда имеет место в системах с тремя и более степенями свободы.