Рассмотрим систему с двумя степенями свободы, близкую к интегрируемой, В окрестности резонанса гамильтониан такой системы можно привести к стандартному виду
$$H=H_0(J)+\frac{1}{2}G{p}^2-\epsilon F\cos \phi ,$$

используя резонансную теорию возмущений и производя усреднение по быстрым фазам (см. § 2.4). Здесь медленное движение описывается интегрируемой системой уравнений маятника (см. п. 1.3а), а быстрое движение описывается уравнениями:
$$\begin{array}{l}\mathit{J}=\text{ const, }\\ \mathit{\theta }={\mathit{\omega }}_0(\mathit{J})t+{\mathit{\theta }}_0.\end{array}$$

Мы знаем, что такая картина движения не является полной, так как взаимодействие между быстрыми (переменные $\theta$ ) и медленными (переменная $\phi$ ) колебаниями приводит к появлению вторичных резонансов и областей стохастичности. В окрестности же сепаратрисы гамильтониана (3.5.1) хаотическая компонента движения сохраняется даже в пределе $\epsilon \to 0$ (см. п. 3.2в).

Рис. 3.19. Движение вблизи сепаратрисы маятника.
$a$ — плоскость сечения $(p,\phi )(\theta =$ const); $\sigma$ — плоскость сечения ( $J,\theta$ ) ( $\phi =$ const ). Стохастическая траектория заполняет заштри хованную область вокруг невозмущенной сепаратрисы (сплошная линия).

Гамильтониан (3.5.1) был получен путем усреднения в окрестности резонанса ${\omega }_2/{\omega }_1=r/s$ следующего гамильтониана [см. (2.4.9) l:
$$H=H_0(J)+\frac{1}{2}G{p}^2-\epsilon F\cos \phi +$$

$$+\epsilon \sum _{\begin{array}{c}n>1\\ qeq0\end{array}}{\mathrm{\Lambda }}_{n_q}\cos (\frac{n}{r}\phi -\frac{q}{r}\mathrm{\Omega }t+{\chi }_{nq}),$$

где $G,F,\mathrm{\Lambda }$ и $\chi$ — функции переменной действия $J$, канонически сопряженной быстрой фазе $\theta$. Сравнивая (3.5.1) и (3.5.4), видим, что медленное движение в переменных ( $p,\phi$ ) на поверхности сечения $\theta =$ const, описываемое гамильтонианом (3.5.1), возмущено, что приводит к появлению тонкого стохастического слоя вокруг сепаратрисы. Этот слой схематически показан на рис. 3.19 , а вместе с невозмущенной сепаратрисой.

Можно также исследовать движение в переменных $J,\theta$ на поверхности сечения $\phi =$ const. В этих переменных невозмущенному движению соответствует линия постоянного J. Под влиянием возмущения образуется стохастический слой, заштрихованный на рис. 3.19 , б. Видно, что в переменных $J,\theta$ хаотическое движение четко отделено от интегрируемого (тривиального) движения. Построим поэтому отображение именно в переменных $J,\theta$, выбрав для удобства ${}^1$ ) поверхность сечения $\phi \approx 0$.
*3.5а. Вынужденные колебания маятника
Прежде чем найти изменение переменной действия $J$, рассмотрим более простую задачу. Дело в том, что при изменении $J$ изменяется также и частота ${\omega }_{\theta }(J)$. Более простая, но все еще интересная задача получается, если считать частоту ${\omega }_{\theta }$ фиксированной. Это позволяет развязать возмущенный маятник и остальную часть динамической системы. В таком случае фаза $\theta$ просто пропорциональна времени, а гамильтониан (3.5.4) принимает вид ${}^2$ )
$$\tilde{H}=\frac{1}{2}G{p}^2-\epsilon F\cos \phi +\epsilon \sum {\mathrm{\Lambda }}_{n_q}\cos (\frac{n}{r}\phi -\frac{q}{r}\mathrm{\Omega }t+{\chi }_{nq}),$$

где $G,F,\mathrm{\Lambda },\mathrm{\Omega }$ и $\chi$ теперь постоянные, и мы опустили член $H_0(J)$. С точностью до членов порядка $\epsilon$ гамильтонианы $\tilde{H}$ и $H$ полностью эквивалентны. Это легко показать, если перейти к расширенному фазовому пространству (п. 1.2б) для гамильтониана (3.5.5) с новыми каноническими переменными $J^{\prime }=-H^{\prime }/\mathrm{\Omega }$ и $\theta =\mathrm{\Omega }t$ и новым гамильтонианом
$$H^{\prime }=\tilde{H}+\mathrm{\Omega }{J}^{\prime }\text{. }$$

Сравнивая $dJ/dt$ из (3.5.4) с $d\tilde{H}/dt$ из (3.5.5), видим, что изменение $J$ пропорционально изменению $\tilde{H}$ :
$$\mathrm{\Delta }J=\frac{-\mathrm{\Delta }\tilde{H}}{\mathrm{\Omega }}.$$
1) Выбор переменных $J,\theta$ и сечения $\phi =0$ продиктован особенностями действия возмущения вблизи сепаратрисы [см. ниже (3.5.12)].Прим. ред.
2) Вместо этого можно просто пренебречь изменением частоты ${\omega }_{\theta }(J)$ ввиду малости изменения $J$, как фактически и сделано ниже.- Прим. ред.

Вычисление $\mathrm{\Delta }J$. Проинтегрируем $d\widetilde{H/dt}$, или, что эквивалентно, $dJ/dt$ по периоду невозмущенного движения маятника. Как будет видно в дальнейшем, изменение $\mathrm{\Delta }J$ мало и экспоненциально зависит от отношения частот $q/r=\mathrm{\Omega }/{\omega }_0$. Предположим, что
$${\omega }_0=(\epsilon FG{)}^{1/2}\ll \mathrm{\Omega },$$

где ${\omega }_0$ — частота малых колебаний маятника. Так как амплитуды Фурье ${\mathrm{\Lambda }}_{nq}$ уменьшаются с ростом $n$ и $|q|$, достаточно сохранить лишь главный член с $n=q=1$. Обозначив $\mathrm{\Lambda }={\mathrm{\Lambda }}_{11}$, получим из $(3.1.31)$
$$\mathrm{\Delta }J=-\frac{\epsilon \mathrm{\Lambda }}{r}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}dt\sin [\frac{1}{r}\phi \left({\omega }_{0}t\right)-\frac{1}{r}(\mathrm{\Omega }t+{\theta }_n)],$$

где для невозмущенного движения по сепаратрисе (1.3.21) (см. рис. $3.20,a$ ) имеем
$$\phi (s)=4\mathrm{arctg}\left(e^s\right)-\pi ,$$
a
$$\theta =\mathrm{\Omega }t+{\theta }_n.$$

Величина $\chi$ включена в постоянную ${\theta }_n$, равную фазе $\theta$ в момент $n$-го пересечения поверхности $\phi \approx 0$. Переходя к переменной $s=$ $={\omega }_{0}t$ и учитывая, что вклад в интеграл дает только симметричная часть подынтегрального выражения, получаем
$$\mathrm{\Delta }J=\epsilon \frac{\mathrm{\Lambda }}{{\omega }_{0}r}{\mathcal{A}}_{(2,r)}\left(Q_0\right)\sin {\theta }_n.$$

Здесь функция
$${\mathcal{A}}_m\left(Q_0\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}ds\cos [\frac{m}{2}\phi (s)-Q_{0}s]$$

называется интегралом Мельникова-Арнольда, а
$$Q_0=\frac{1}{r}\frac{\mathrm{\Omega }}{{\omega }_0}$$

есть отношение частот.
Интеграл Мельникова-Арнольда. Интеграл (3.5.13) является несобственным и фактически не имеет определенного значения. Рассмотрим интеграл
$${\mathcal{A}}_m^{\prime }(Q_0,s_1)=2{\int }_0^{s_1}ds\cos [\frac{m}{2}\phi (s)-Q_{0}s].$$

Как видно из рис. 3.20, , при $s_1\to \mathrm{\infty }$ последний интеграл есть сумма быстро осциллирующей части и некоторого среднего значения. Осциллирующая часть может быть велика по сравнению со средним, но при усреднении по интервалу времени порядка периода колебаний вблизи сепаратрисы вклад от нее стремится к нулю. Среднее значение ${\mathcal{A}}_m^{\prime }$ определяется областью $s⩽1/Q_0$. В этой области мгновенная частота $\dot{\phi }\approx 2{\omega }_0$ (см. рис. 3.20, б) достигает наибольшего значения, максимально приближаясь к частоте возмущения $\mathrm{\Omega }$. Это и приводит к поведению, изображенному на рис. 3.20, в. Ниже интеграл в (3.5.13) понимается в смысле своего среднего значения. Его оценка была получена Мельниковым (см. [70]) ${}^1$ ). Для целых $m$ интеграл вычисляется точно с помощью вычетов. При $Q_0<0$ имеем
$$\begin{array}{r}{\mathcal{A}}_m\left(Q_0\right)=(-1{)}^m\times \\ \times {\mathcal{A}}_m(-Q_0)\exp \left(\pi Q_0\right),\\ \\ (3.5.16)\end{array}$$
1) Приведенные ниже экспоненциальные оценки были впервые получены еще Пуанкаре [337, п. 226$]$. Поскольку, однако, при $Q_0\gg 1$ эффект экспоненциально мал, возникает очень серьезная и трудная проблема оценки точности этого результата, которая до сих пор обсуждается в литературе (см., например, $[197,483$, 484 ]). По существу вопрос был решен уже в первых работах Мельникова [298], который показал, что все неэкспоненциальные поправки могут быть оттрансформированы с помощью канонической замены переменных (см. также [314], лемма 10.3). Тем не менее в некоторых специальных случаях, например, для стандартного отображения, эффекты высших приближений приводят к появлению численного множителя порядка единицы, который пока не поддается аналитической оценке (см. [70, §6.1] и [485]).- Прим. ред.

эта величина обычно очень мала. Для $Q_0>0$ получаем
$$\begin{array}{l}{\mathcal{A}}_1=\frac{2\pi \exp \left(\pi Q_0/2\right)}{\mathrm{sh}\left(\pi Q_0\right)},\\ {\mathcal{A}}_2=2Q_0{\mathcal{A}}_1,\end{array}$$

и рекуррентное соотношение для $m>2$ имеет вид
$${\mathcal{A}}_m=\frac{2Q_0{\mathcal{A}}_{m-\mathbf{1}}}{(m-1)}-{\mathcal{A}}_{m-2}.$$

При $Q_0\gg m$ справедливо следующее асимптотическое представление:
$${\mathcal{A}}_m=\frac{4\pi {\left(2Q_0\right)}^{m-1}\exp (-\pi Q_0/2)}{(m-1)!}.$$

Подробности вычисления этих интегралов можно найти в работе [70].

Вернемся к соотношению (3.5.12). Используя асимптотику (3.5.20) в виду того, что $Q_0\sim {\epsilon }^{-1/2}$, получаем первое уравнение возмущенного отображения поворота (3.1.13a) с функцией ( $r=1$ )
$$\begin{array}{c}f=f_0\sin {\theta }_n,\\ f_0=8\pi \mathrm{\Lambda }{\mathrm{\Omega }}^{-1}{Q}_0^2\exp (-\frac{\pi Q_0}{2}).\end{array}$$
* 3.5б. Сепаратрисное отображение

Изменение фазы $\theta$ между последовательными пересечениями поверхности $\phi =0$ определяется полупериодом колебаний вблизи сепаратрисы, который, согласно (1.3.15), равен
$$T={\omega }_0^{-1}\ln \frac{32}{|w|},$$

где величина
$$w(J)=-\frac{\epsilon F+\mathrm{\Omega }J}{\epsilon F}$$

характеризует относительное смещение от сепаратрисы по энергии. Изменение фазы $\theta$ равно при этом просто $\mathrm{\Omega }T$. Отсюда число вращения во втором уравнении отображения поворота (3.1.13б) равно
$$2\pi \alpha =\frac{\mathrm{\Omega }}{{\omega }_0}\ln \frac{32}{|w|}.$$

Так как функция $f$ считается независящей от $J$, то из (3.1.16) сле дует, что можно положить $g\equiv 0$, так что никакого дополнительного изменения фазы не происходит.

Оказывается, что более удобно перейти от $J$ к переменной $w$, определяемой формулой (3.5.24). Тогда отображение принимает вид
$$\begin{array}{l}{w}_{n+1}=w_n-w_0\sin {\theta }_n,\\ {\theta }_{n+1}={\theta }_n+Q_0\ln \left|\frac{32}{w_{n+1}}\right|,\end{array}$$

где
$$w_0=\frac{\mathrm{\Omega }{f}_0}{F}=8\pi \left(\frac{\mathrm{\Lambda }}{F}\right)Q_0^2\exp (-\frac{\pi Q_0}{2}).$$

Это и есть сепаратрисное отображение [70], которое описывает движение в окрестности возмущенной сепаратрисы.
Неподвижные точки и их устойчивость. Мы не будем здесь рассматривать сепаратрисное отображение столь же подробно, как отображение Улама выше, а отметим лишь его наиболее характерные особенности. Оба отображения очень похожи друг на друга, оба относятся к классу явных отображений поворота и их можно представить в виде произведения инволюций (см. п. 3.1б). Оба отображения имеют нелинейность одного типа, которая приводит к увеличению фазового сдвига, а следовательно, и к стохастичности при
Неподвижные точки определяются из (3.5.26) условием
$$Q_0\ln \left|\frac{32}{w_1}\right|=2\pi m.$$

Откуда
$$\begin{array}{c}{w}_1=\pm 32\exp (-\frac{2\pi m}{Q_0}),\text{ где }m-\text{ целое число, }\\ {\theta }_{\mathbf{1}}=0;\text{ л. }\end{array}$$

Устойчивость неподвижных точек определяется условием (3.3.55)
$$|\mathrm{Sp}A|=|2+\frac{w_0}{w_1}{Q}_0\cos \theta |<2.$$

Следовательно, при $w_1>0$ все неподвижные точки ${\theta }_1=0$ неустойчивы, а ${\theta }_1=\pi$ устойчивы при
$$w_1>w_s=\frac{w_0{Q}_0}{4},$$

или
$$w_1>2\pi \left(\frac{\mathrm{\Lambda }}{F}\right)Q_0^3\exp (-\frac{\pi Q_0}{2}).$$

Как и в случае отображения Ферми, можно ожидать, что величина $w_s$ определяет важную границу перехода к сплошной стохастичности при $w<w_s$.

Сепаратрисное отображение играет чрезвычайно важную роль в понимании хаотического поведения систем, близких к интегрируемым. Как мы видели выше, резонансы в таких системах всегда окружены сепаратрисами, а сепаратрисное отображение описывает движение в их окрестности, причем это движение является хаотическим при $w\to 0$. Ввиду такой универсальности сепаратрисное отображение интенсивно изучалось [70] с целью определения границы стохастичности $w_b$, которая характеризует ширину стохастического слоя вокруг сепаратрисы, а также для выяснения статистических свойств хаотического движения внутри этого слоя. Результаты этих исследований представлены в гл. 4 и 5 . Далее в гл. 6 будет показано, что движение в окрестности сепаратрисы лежит в основе анализа диффузии Арнольда, которая, вообще говоря, всегда имеет место в системах с тремя и более степенями свободы.