5.5а. Введение

В $\S 5.4$ было показано, что сильное перекрытие резонансов приводит к внутренней диффузии с такой же скоростью, как ести бы фазы возмущения были случайными. Это эквивалентно сильной внешней диффузии, вызываемой посторонним по отношению к системе источником шума. Для задачи о взаимодействии волначастица, например, это соответствует большому числу сильных нескоррелированных волн, как предполагается в квазилинейной теории. Таким образом, в пределе сильной стохастичности внутренняя и внешняя диффузии похожи друг на друга ${ }^{2}$ ).
1) Асимптотический характер описанного метода (вычисления $D_{n}$ при $n \rightarrow \infty$ ) обманчив. На самом деле реально [например, в (5.4.45)] можно учесть лишь несколько близких ( $n \sim 1$ ) корреляций $C^{\prime}(n)=\left\langle\sin \theta_{0} \sin \theta_{n}\right\rangle$. Как показано в работе [54] (см. также [464]) прямым вычислением $C(n)$, соотношение (5.4.45) включает фактически только две из них: $C$ (2) $=-\mathcal{g}_{2} / 2$ и $C(4) \approx \mathcal{F}_{2}^{2} / 2\left(C(1)=0 ; C(3)=\left(\mathcal{F}_{3}^{2}-\mathcal{F}_{1}^{2}\right) / 2 \sim|K|^{-2}\right)$. Вопрос об асимптотическом поведении $C(n)$ при $n \rightarrow \infty$ является очень сложным. При наличии границы стохастичности в фазовом пространстве (например, островки устойчивости) корреляции затухают очень медленно, как $C(n) \propto n-p ; p<1$. При этом простое диффузионное описание может оказаться неприменимым, если $D_{n} \rightarrow \infty$ при $n \rightarrow \infty$. Сумма (5.4.39) в этом случае расходится. Обсуждение этих вопросов см. в работах $[507,508,485]$ и в предисловии редактора перевода.- Прим. ред.
2) Наиболее существенное отличие между ними – сохранение энергии в случае внутренней диффузии в автономной системе.- Прим. ред.

Однако в том случае, когда внешнее случайное воздействие мало по сравнению с внутренним возмущением в самой системе, необходимо исследовать их совместное действие. Если, например, слабый внешний шум действует на систему в устойчивой области, то траектория движения не останется, конечно, на гладкой инвариантной кривой. Однако скорость изменения интегралов движения будет определяться при этом, вообще говоря, лишь слабым шумом ${ }^{1}$ ). Такая устойчивость существенна как для реальных физических систем, всегда подверженных действию шума, так и при численном моделировании с его неустранимыми ошибками счета.

Рис. 5.14. Расплывание фазовой ячейки для интегрируемой системы на примере отображения поворота.
Линейный сдвиг происходит вдоль инвариантых кривых (пунктирные линии); ср. pис. 5.5.

Описанная выше устойчивость основана на том, что малое возмущение приводит к расходимости близких траекторий в основном вдоль, а не поперек инвариантных поверхностей. Покажем это на примере отображения поворота (3.1.8)
\[
J_{n+1}=J_{n}, \quad \theta_{n+1}=\theta_{n}-2 \pi \alpha\left(J_{n+1}\right) .
\]

Пусть (рис. 5.14) близкие начальные условия равны $J$ и $J+\Delta J$. Тогда
\[
\begin{array}{c}
\theta_{1}{ }^{\prime}(J)=\theta_{0}+2 \pi \alpha(J) \\
\theta_{1}(J+\Delta J)=\theta_{0}+2 \pi \alpha(J+\Delta J) \approx \theta_{0}+2 \pi \alpha(J)+2 \pi \alpha^{\prime} \Delta J .
\end{array}
\]

Таким образом, продольный (по отношению к инвариантной кривой $J=$ const) размер параллелограмма на рисунке
\[
\theta_{1}(J+\Delta J)-\theta_{1}(J)=2 \pi \alpha^{\prime} \Delta J
\]

растет линейно с $n$, в то время как поперечный размер $\Delta J$ остается
1) Вообще говоря, это не так, см. п. 6.3б.- Прим. ред.

неизменным. Грин [165] получил аналогичный результат для другого примера, показав, что начальный круг ошибок преобразуется в сильно вытянутый эллипс, большая ось которого направлена вдоль инвариантной кривой.

Рис. 5.15. Фазовая плоскость $(u, \psi)$ для отображения Улама со слабым внешним нумом (5.5.1) (по данным работы [274]). $a-10240$ итераций: $6-20480$ птераций для одной траекторин.

Указанное обстоятельство позволяет получать миллионы итераций отображения без значительной диффузии инвариантных кривых ${ }^{1}$ ). Тем не менее эта диффузия налагает некоторые ограничения на точность определения границы стохастичности.

Для двумерных отображений Либерман и Лихтенберг [274] численно исследовали медленную диффузию под действием шума на примере упрощенного отображения Улама (3.4.4):
\[
\begin{array}{l}
u_{n+1}=\left|u_{n}+\psi_{n}-1 / 2\right|, \\
\psi_{n+1}=\psi_{n}+M / u_{n+1}+\Delta \psi, \quad \bmod 1,
\end{array}
\]

где $\Delta \psi$ – дополнительный случайный сдвиг фазы. Если $\Delta \psi$ принимает любые значения во всем интервале $[0,1]$, то движение сведется к случайным блужданиям независимо от динамического фазового сдвига $M / u_{n+1}$. Именно это и наблюдалось при численном моделировании. Для $\Delta \psi \ll 1$, что соответствует слабому случайному возмущению, области устойчивости также постепенно заполняются траекторией. Это, однако, происходит значительно медленнее, чем само движение в этих областях. На рис. 5.15 показан пример такого движения для- $0,005<\Delta \psi<0,005$. При таком слабом шуме время диффузии в глубь островков устойчивости значительно превышает период колебаний внутри них. Как видно из рис. 5.15, мелкие островки почти заполнены траекторией, а крупные – лишь немного деформированы. Интересно отметить, что более заполненные зоны возникают внутри устойчивых областей. Это является следствием вре́менного «захвата» траектории в этой области под действием шума. Такие зоны повышенной плотности появляются и в стохастической компоненте вокруг островков устойчивости. На достаточно большом временно́м интервале, определяемом статистикой заполнения, все эти неоднородности должны исчезнуть.
5.5б. Диффузия в присутствии резонансов

За достаточно больше время резонансы могут оказать сильное влияние на диффузию даже под действием слабого шума. Так, например, если в системе есть большие (неперекрывающиеся) резонансы, то малое внешнее возмущение может перевести траекторию с нерезонансной инвариантной кривой на резонансную. Пусть время между внешними «толчками» велико по сравнению с периодом фазовых колебаний. Тогда следующий толчок может произойти уже $\qquad$
1) Пример подобной диффузии вследствие ошибок округления приведен в работе [73, §5]. Любопытно отметить, что скорость диффузии оказалась на два порядка меньше, чем для случайных ошибок той же величины.Прим. ред.

на другой стороне резонанса. При этом характерный коэффициент диффузии в окрестности резонанса значительно возрастет ${ }^{1}$ ):
\[
D \sim(\Delta I)^{2 / \tau}
\]

где $\Delta I$ – ширина резонанса, а $\tau$ – время между двумя случайными толчками. Однако если значительные области фазового пространства не содержат больших резонансов, то, как будет видно, малая скорость нерезонансной диффузии существенно подавляет глобальную диффузию.
Скорость диффузии. В присутствии слабого случайного возмущения скорость диффузии для стандартного отображения была получена аналитически Речестером и Уайтом [345] и Речестером и др. [346]. В последней работе был введен метод фурье-траекторий, описанный в предыдущем параграфе. Покажем, как следует видоизменить метод п. 5.4г, чтобы учесть случайное возмущение. Введем в стандартное отображение случайное изменение фазы $\xi$ :
\[
\begin{array}{l}
I_{n+1}=I_{n}+K \sin \theta_{n}, \\
\theta_{n+1}=\theta_{n}+I_{n+1}+\xi_{n},
\end{array}
\]

где $\xi$ имеет гауссово распределение с дисперсией $\sigma$ :
\[
p(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma}} \exp \left(-\frac{\xi^{2}}{2 \sigma}\right) .
\]

Тогда вероятность перехода (5.4.25) принимает вид
\[
\begin{array}{c}
W\left(I, \theta, n \mid I^{\prime}, \theta^{\prime}, n-1\right)=\int d \xi p(\xi) \delta\left(I-I^{\prime}-K \sin \theta^{\prime}\right) \times \\
\times \delta\left(\theta-\theta^{\prime}-I^{\prime}-K \sin \theta^{\prime}-\xi\right) .
\end{array}
\]

Подставив это выражение в (5.4.33) и проинтегрировав по $\theta$ и $I^{\prime}$, получим (5.4.34) с дополнительным множителем
\[
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i m \xi} p(\xi) d \xi=\exp \left(-\frac{1}{2} m^{2} \sigma\right) .
\]

В результате вместо (5.4.37б) приходим к следующему рекуррентному соотношению:
\[
a_{n}\left(m_{n}, q_{n}\right)=\sum_{l_{n}} \mathcal{g}_{l_{n}}\left(\left|q_{n-1}\right| K\right) \exp \left(-\frac{1}{2} m_{n}^{2} \sigma\right) a_{n-1}\left(m_{n-1}, q_{n-1}\right) .
\]
1) Нижеследующее выражение в точности совпадает с оценкой Будкера (см. [509], с. 50), который первым обратил внимание на такой механизм динамического усиления диффузии. Впоследствии это явление получило название неоклассической диффузии, теория которой была развита Галеевым и Сагдеевым [510].- Прим. ред.

Используя фурье-траектории, изображенные на рис. 5.12, б-е , получаем коэффициент диффузии
\[
D_{n}=\frac{K^{2}}{2}\left[\frac{1}{2}-\mathcal{F}_{2}(K) e^{-\sigma}+\mathfrak{f}_{2}^{2}(K) e^{-2 \sigma}+\mathfrak{f}_{3}^{2}(K) e^{-3 \sigma}-\mathcal{f}_{1}^{2}(K) e^{-\sigma}\right] \text {, }
\]

который обобщает соотнощение (5.4.45), учитывая влияние внешнего шума при $K \gg 1$.

Рис. 5.16. Зависимость скорости диффузии $D / D_{1}$ от $K$ для различных условий внешнего шума $\sigma$ (по данным работы [346]).
Сплошные кривые – метод фурье-траекторий; пунктирная кривая – оценка (5.5.14); кружки – численный счет $\left(\sigma=10^{-2}\right)$.

Более интересным является случай $K \ll 1$. Речестер и др. [346] показали, что в низшем порядке по $K$ вклад в коэффициент диффузии дают только фурье-траектории с $l=0$ и $l=1$, причем для

Рис. 5.17. Фазовая плоскость стандартного отображения.
Стрелками показана типичная траектория, приводящая к усилению внешней диффузии при $K \leqslant 1$.
$n \gg(2 / K)^{2}$ эти траектории должны начинаться и заканчиваться в точке $m=0, q=0$. В результате они получили
\[
\frac{D_{n}}{D_{1}}=\text { th }\left(\frac{\sigma}{2}\right),
\]

где $D_{1}=K^{2} / 4$ – квазилинейный коэффициент диффузии. Для определения поправок к $D_{n}$ было проведено численное суммирование по многим фурье-траекториям. На рис. 5.16 эти результаты (сплошные кривые) сравниваются с данными численного моделирования (кружки). Для малых $K$ значения $D$ сходятся к (5.5.9), а для больших $K$ величина $D$ не зависит от $\sigma$. Для нас представляет интерес область $K \leqslant 1$, где инвариантные кривые препятствуют развитию внутренней глобальной стохастичности.

Качественно эти результаты можно получить из следующих простых соображений (рис. 5.17). Прежде всего заметим, что изменение фазы $\theta$ на величину $\xi \ll 1$ приводит, как это следует из (5.5.3), к изменению действия
\[
\delta I=\left|I_{m} \cos \theta\right| \xi .
\]

Усреднение по распределению (5.5.4) и по $\theta$ дает
\[
\left\langle(\delta I)^{2}\right\rangle=\frac{1}{2} I_{m}^{2} \sigma .
\]

Принимая $I_{m} \approx K / 2$, получаем коэффициент диффузии
\[
D \approx\left\langle(\delta I)^{2}\right\rangle=\frac{K^{2}}{8} \sigma,
\]

что совпадает при малых $\sigma$ и $K$ с (5.5.9) ${ }^{1}$ ).
Вообще говоря, необходимо еще учесть усиление диффузии на резонансах. Пусть, например, траектория попадает под действием шума в стохастический слой целого резонанса в точке $A$, затем идет вдоль слоя $A \rightarrow B\left(B^{\prime}\right) \rightarrow C^{\prime}$ и покидает резонанс в точке $C^{\prime}$. Если полупериод фазовых колебаний $T$ (3.5.23) мал по сравнению с $1 / \sigma$ (что справедливо для малых $\sigma$ и $K \sim T \sim 1$ ), то область фазового пространства, в которой идет диффузия, сокращается на ширину резонанса. Заметим, что диффузия траектории $A \rightarrow C^{\prime}$ может идти либо наружу от резонанса, как рассмотрено выше, либо внутрь резонанса. В последнем случае средняя скорость диффузии падает. Таким образом, имеются две группы траекторий: быстрые, проходящие резонанс, и медленные, которые захватываются в резонанс. В качестве простой оценки примем, что отношение средних скоростей диффузии для двух групп траекторий обратно пропорционально квадрату интервала диффузии
\[
\frac{D_{\mathrm{f}}}{D_{\mathrm{s}}}=\frac{(2 \pi)^{2}}{\left(2 \pi-2 K^{12}\right)^{2}},
\]

где, согласно (4.1.29), ширина целого резонанса на рис. 5.17 равна $2 K^{1 / 2}$, и мы пренебрегаем влиянием других резонансов. Примем далее, что половина траекторий, попадающих на границу резонанса (в точке $A$ ), совершает полпериода фазовых колебаний (от $A$ до $C^{\prime}$ ) и половина из них выходит из резонанса (в точке $C^{\prime}$ ). Таким образом, четверть всех траекторий проходит резонанс и попадает в группу быстрых траекторий. Эффективный коэффициент диффузии равен
\[
D_{\text {эфф }}=\frac{1}{4} D_{f} \div \frac{3}{4} D_{s} .
\]

Используя для $D_{s}$ выражение (5.5.12), получаем с учетом (5.5.13) результат, показанный на рис. 5.16 пунктирной кривой. Несмотря на грубость оценки, она дает разумные значения даже для $K \geq 1$,
1) Приведенная оценка справедлива лишь по порядку величины, и ее совпадение с (5.5.9) случайно [см. ниже (5.5.18)].- Прим. ред.

где внутренняя стохастичность становится глобальной. Связано это с тем, что если $K$ незначительно превышает критическое значение $K=1$, то средняя скорость диффузии по-прежнему определяется шумом, поскольку внутренняя диффузия является очень медленной. Другой более эффективный механизм усиления внешней диффузии резонансами будет рассмотрен в п. 6.3б. средняя скорость диффузии близка к медленной между резонансами, если только они не занимают значительную часть фазового пространства. Это связано с непрерывностью диффузионного потока, так что градиент плотности больше там, где локальная скорость диффузии меньше, и обратно. Рассмотрим некоторый стационарный поток $\Gamma$ в области $\Delta I$ с переменным коэффициентом диффузии. В каждом небольшом интервале с постоянной скоростью диффузии имеет место следующее соотношение для функции распределения $P$ :
\[
-\Gamma=D(I) \frac{d P}{d I} \equiv\langle D\rangle\left\langle\frac{d P}{d I}\right\rangle .
\]

Последнее равенство определяет средние по области значения $D$ и $d P / d I$. Таким образом,
\[
\frac{1}{\langle D\rangle} \frac{d P}{d I}=\frac{1}{D(I)}\left\langle\frac{d P}{d I}\right\rangle,
\]

и усреднение по интервалу $\Delta I$ дает
\[
\frac{1}{\langle D\rangle} \frac{1}{\Delta I} \int \frac{d P}{d I} d I=\left\langle\frac{d P}{d I}\right\rangle \frac{1}{\Delta I} \int \frac{d I}{D(I)},
\]

или
\[
\frac{1}{\langle D\rangle}=\frac{1}{\Delta I} \int_{\Delta I} \frac{d I}{D(I)} .
\]

Это соотношение показывает, что $\langle D\rangle$ определяется в основном теми областями, в которых величина $1 / D$ максимальна, т. е. $D(I)$ минимальна.

Возвращаясь к оценке скорости медленной диффузии (5.5.12), мы видим, что ее можно сделать более аккуратно, если найти зависимость $I_{m}(I)$ и усреднить по $I$ :
\[
\frac{1}{\left\langle D_{s}\right\rangle}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{d I}{\frac{1}{2} I_{m}^{2}(I) \sigma} .
\]

В заключение подчеркнем различие между усреднением диффузии по различным траекториям и усреднением по фазовому пространству. В первом случае усредняется сам коэффициент диффузии $D$, а во втором – его обратное значение $1 / D$.