Рассмотрим теперь некоторый класс методов теории возмущений, предложенных Колмогоровым [229] и играющих, как показано в гл. 3, фундаментальную роль при доказательстве теоремы КАМ. Их основной чертой является чрезвычайно быстрая сходимость последовательных приближений. Во всех до сих пор рассмотренных в этой главе методах гамильтониан $H=H_{0}+\varepsilon H_{1}$ подвергался таким последовательным каноническим преобразованиям, при которых порядок возмущения по $\varepsilon$ изменялся на единицу на каждом шаге:
\[
\varepsilon H_{1} \rightarrow \varepsilon^{2} H_{2} \rightarrow \varepsilon^{3} H_{3} \rightarrow . . \rightarrow \varepsilon^{n} H_{n} .
\]
1) Это замечание относится, по-видимому, не столько к самой задаче, сколько к возможностям и пределам применимости метода ДЛТ.- Прим. ред.

Это ясно видно, например, из системы уравнений (2.5.31). Выбирая производящую функцию Ли $w_{1}$, мы исключаем $\left\{\varepsilon H_{1}\right\}$, но остается $\varepsilon^{2} H_{2}$; выбирая $w_{2}$, исключаем $\left\{\varepsilon^{2} H_{2}\right\}$, но остается $\varepsilon^{3} H_{3}$ и т. д. Колмогоров показал, что последовательность канонических замен переменных можно организовать таким образом, чтобы оставшееся на каждом шаге возмущение было порядка квадрата предыдущего:
\[
\varepsilon H_{1} \rightarrow \varepsilon^{2} H_{2} \rightarrow \varepsilon^{4} H_{3} \rightarrow \text {. . } \rightarrow \varepsilon^{\left(2^{n-1}\right)} H_{n} .
\]

Выполнив $n$ преобразований, можно получить таким путем решение задачи с точностью порядка $\varepsilon^{\left(2^{n-1}\right)}$. Такая процедура носит название сверхсходимости или иногда квадратичной сходимости ${ }^{1}$ ).

Продемонстрируем оба обсуждаемых подхода на имеющей самостоятельный практический интерес задаче отыскания корня уравнения
\[
f(x)=0 .
\]

Следуя Мозеру [310] и Берри [26], предположим, что нам известно некоторое значение $x_{0}$ (обычно это решение невозмущенной задачи), которое можно принять в качестве начального приближения для корня. Следующее приближение $x_{1}$ найдем из первых двух членов разложения Тейлора вокруг $x_{0}$ :
\[
f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x_{1}-x_{0}\right)=0 .
\]

Для получения приближения $x_{n}$ на $n$-м шаге необходимо определить корень полинома $n$-й степени
\[
\sum_{m=0}^{n} \frac{1}{m !} f^{(m)}\left(x_{0}\right)\left(x_{n}-x_{0}\right)^{m}=0 .
\]

Выберем малый параметр $\varepsilon=x-x_{0}$ и представим функцию $f(x)$ рядом по степеням $\varepsilon$. Вычитая из этого ряда выражение (2.6.3), получаем, что ошибка $e_{n}=x-x_{n}$ после $n$-го приближения является величиной порядка $\varepsilon^{n^{n}+1}$ :
\[
e_{n} \sim \frac{1}{(n+1) !} \frac{f^{(n+1)}\left(x_{0}\right)}{f^{\prime}\left(x_{0}\right)} \varepsilon^{n+1} .
\]

Такая линейная сходимость характерна для обычных методов теории возмущений.

Чтобы продемонстрировать квадратичную сходимость, воспользуемся методом касательных Ньютона. Первый шаг этого метода представлен уравнением (2.6.2). Ошибка $e_{1}$ первого шага
1) В отечественной литературе употребляется также термин «ускоренная сходимость» [463].- Прим. перев.

оценивается с помощью разложения $f(x)$ относительно точки $x_{0}$ до $\varepsilon^{2}$ :
\[
e_{1} \sim \alpha\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{2}=\alpha \varepsilon^{2},
\]

где
\[
\alpha\left(x_{0}\right)=-\frac{1}{2} f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) / f^{\prime}\left(x_{0}\right) .
\]

Таким образом, ошибка $e_{1}$ имеет порядок $\varepsilon^{2}$. На следующем шаге повторим процедуру разложения $f(x)$ вокруг точки $x_{1}$ (а не $x_{0}$ ) и найдем
\[
x_{2}-x_{1}=-\frac{f\left(x_{1}\right)}{f^{\prime}\left(x_{1}\right)} .
\]

Ошибка этого шага с учетом (2.6.5) равна
\[
e_{2} \sim \alpha\left(x_{1}\right)\left(x-x_{1}\right)^{2} \sim \alpha\left(x_{1}\right) \alpha^{2}\left(x_{0}\right) \varepsilon^{4}
\]

и является величиной порядка $\varepsilon^{4}$. Быстрая сходимость обеспечивается за счет того, что значение переменной, вокруг которого выполняется разложение, с каждой итерацией приближается к точному значению. По индукции для ошибки после $n$ итераций имеем
\[
\left(x-x_{n}\right) \sim \varepsilon^{\left(2^{n}\right)} \prod_{k=1}^{n} \alpha^{\left(2^{n-1}\right)}\left(x_{k-1}\right) .
\]

Вообще говоря, $f^{\prime \prime} / f^{\prime} \sim 1$, так что ошибка уменьшается квадратично на каждом шаге. Однако, если
\[
f^{\prime \prime} / f^{\prime} \sim \varepsilon^{-1},
\]
[это соответствует резонансу вблизи разыскиваемого значения корня, $f(x) \sim\left(x-x_{r}\right)^{-1} ; x_{r} \sim x_{0}$ ], то и тогда квадратичная сходимость оказывается сильнее ${ }^{1}$ ). Аналогично сверхсходящееся разложение в теории КАМ также подавляет действие малых резонансных знаменателей.

Сверхсходящиеся разложения не нашли пока широкого применения в практических расчетах. Қак мы увидим ниже, соответствующие вычисления оказываются при этом слишком громоздкими. Чириков [70] демонстрирует сверхсходимость на примере маятника, используя производящую функцию от смешанного набора переменных. Однако более естественно применить сверхсходимость в сочетании с преобразованиями Ли. Для автономных систем это впервые было сделано Хаулэндом [203]. Мы рассмотрим эту технику в п. 2.6a, следуя Қари [49], метод которого применим также и для неавтономных систем. В работе Мак-Намары [290] кратко обсуждается возможность использования сверхсходящихся преоб-
1) Фактически для сходимости требуется, чтобы $f^{\prime \prime} l f^{\prime} \sim \varepsilon^{-\tau} ; \tau<1(\varepsilon \rightarrow 0)$; похожее условие возникает и при доказательстве теоремы КАМ (см. п. 3.2а).

разований Ли для вычисления интегралов движения вблизи резонансов.

Получение приближенных решений для систем, близких к интегрируемым, тесно связано с отысканием периодических решений в таких системах. Последние важны, поскольку они образуют плотное множество и позволяют анализировать близкие решения с помощью линейной теории (см. § 3.3). Хеллеман, Эминицер и др. [116] разработали в последнее время весьма эффективные сверхсходящиеся методы нахождения периодических решений. Эти методы описываются в п. 2.66 и иллюстрируются на примере задачи Хенона-Хейлеса.
2.6a. Метод Колмогорова

Следуя Кари [49], рассмотрим гамильтониан
\[
H=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} H_{n}(x, t),
\]

где $H_{0}$ – интегрируемая часть, а вектор $\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta})$ означает переменные действия – угол для $H_{0}$. Введем последовательные преобразования Ли, приводящие к последовательности новых гамильтонианов, занумерованных с помощью верхнего индекса. Используя метод Депри (п. 2.56), начнем с уравнений (2.5.31) для первой производящей функции Ли $w^{(1)}$ :
\[
\begin{aligned}
\bar{H}_{0}^{(1)} & =H_{0}, \\
\hat{D}_{0} w_{1}^{(1)} & =\bar{H}_{1}^{(1)}-H_{1}, \\
\hat{D}_{0} w_{2}^{(1)} & =2\left(\bar{H}_{2}^{(1)}-H_{2}\right)-\left[w_{1}^{(1)},\left(\bar{H}_{1}^{(1)}+H_{1}\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Обычно эти уравнения интегрируются одно за другим. В каждом порядке новый гамильтониан $\bar{H}_{i}^{(1)}$ выбирается так, чтобы исключить секулярность в $w_{i}^{(1)}$, после чего определяется сама функция $w_{i}^{(1)}$ Затем $w_{i}^{(1)}$ подставляется в следующее уравнение и весь процесс повторяется. Интегрирование каждого из уравнений есть единичный «шаг» процедуры, и после $n$ таких шагов мы получаем новый гамильтониан $\bar{H}$, зависящий с точностью порядка $\varepsilon^{n}$ только от переменной действия $\overline{\boldsymbol{J}}$.

В методе Колмогорова гамильтонианы и производящие функции выбирают иначе. Основное правило состоит в том, что одновременно решаются все те уравнения, правые части которых не содержат $w_{i}$. При этом, как и прежде, $\vec{H}_{i}$ выбирается таким образом, чтобы устранить секулярности в w $_{i}$. Во всех оставшихся уравнениях $w_{i}(j \geq i)$ полагаются равными нулю, после чего из них определяются $\bar{H}_{j}$. Выполнение всей этой процедуры является единич. ным «шагом» разложения.

На первом шаге мы можем «одновременно» решить только одно уравнение, а именно (2.6.12б). Полагая $\bar{H}_{1}^{(1)}=\left\langle H_{1}\right\rangle$, находим $w_{1}^{(1)}$ из уравнения
\[
\hat{D}_{0} w_{1}^{(1)}=-\left\{H_{1}\right\} .
\]

Гамильтониан $\bar{H}_{2}^{(1)}$ определяется из (2.6.12в) при $w_{2}^{(1)}=0$ и т. д. Нельзя одновременно ${ }^{1}$ ) с $w_{1}^{(1)}$ найти, например, $w_{2}^{(1)}$, так как в уравнение (2.6.12в) входит неизвестная еще функция $w_{1}^{(1)}$.

Приступая ко второму шагу, вводим новый «старый гамильтониан»
\[
H^{(1)}=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} \bar{H}_{n}^{(1)},
\]

в котором
\[
\begin{array}{c}
H_{0}^{(1)}=\bar{H}_{0}^{(1)}+\varepsilon \bar{H}_{1}^{(1)}, \\
H_{1}^{(1)}=0, \\
H_{j}^{(1)}=\bar{H}_{j}^{(1)}, \quad j>1 .
\end{array}
\]

Таким образом, в новом невозмущенном гамильтониане полностью учтено решение, полученное на предыдущем шаге. Поскольку возмущение не содержит теперь члена первого порядка, то $\bar{H}_{1}^{(2)}=0$; $w_{1}^{(2)}=0$ и $\bar{H}_{0}^{(2)}=H_{0}^{(1)}$. Система уравнений Депри принимает вид
\[
\begin{array}{l}
\hat{D}_{0}^{(1)} w_{2}^{(2)}=2\left(\bar{H}_{2}^{(2)}-H_{2}^{(1)}\right), \\
\hat{D}_{0}^{(1)} w_{3}^{(2)}=3\left(\bar{H}_{3}^{(2)}-H_{3}^{(1)}\right), \\
\hat{D}_{0}^{(1)} w_{4}^{(2)}=4\left(\bar{H}_{4}^{(2 ;}-H_{4}^{(1)}\right)-\left[w_{2}^{(2)}, \bar{H}_{2}^{(2)}+H_{2}^{(1)}\right],
\end{array}
\]

где
\[
\hat{D}_{0}^{(1)} \equiv \frac{\partial}{\partial t}+\left[, H_{0}^{(1)}\right]
\]
– полная производная по времени вдоль траекторий первого порядка исходной системы. Теперь мы можем одновременно решить два первых уравнения (2.6.16a) и (2.6.16б), устраняя секулярности в $w_{2}^{(2)}$ и $w_{3}^{(2)}$ выбором $\bar{H}_{2}^{(2)}$ и $\bar{H}_{3}^{(2)}$ соответственно. В остальных урав- $\qquad$
1) То есть на этом же шаге; если же мы сначала найдем $w_{1}^{(1)}$ из (2.6.13), а затем подставим его в (2.6.12в), то вернемся к обычной теории возмущений.– Прим. ред.

нениях полагаем $w_{j}^{(2)}=0$ и используем их для определения $\breve{H}_{j}^{(2)}$, $j>3$. В результате находим новый гамильтониан
\[
H^{(2)}=H_{0}^{(2)}+\varepsilon^{4} H_{4}^{(2)}+\varepsilon^{5} H_{5}^{(2)}+\ldots .
\]

где
\[
\begin{array}{c}
H_{0}^{(2)}=\bar{H}_{0}^{(2)}+\varepsilon^{2} \bar{H}_{2}^{(2)}+\varepsilon^{3} \bar{H}_{3}^{(2)}, \\
H_{j}^{(2)}=\bar{H}_{j}^{(2)}, \quad j>3,
\end{array}
\]

причем $H_{0}^{(2)}$ является функцией только переменных действия, а возмущение не содержит членов порядка $\varepsilon^{2}$ и $\varepsilon^{3}$.

На третьем шаге можно сразу устранить члены возмущения порядка с четвертого по седьмой. Это следует по индукции из общего уравнения Депри (2.5.29). Пусть возмущение в $H^{(n)}$ имеет порядок $\varepsilon^{\left(2^{n}\right)}$ или выше. Используя преобразование с производящей функцией $w^{(n+1)}$, получим $w_{j}^{(n+1)}=0, \hat{L}_{j}^{(n+1)}=0, \quad\left(\hat{T}^{-1}\right)_{j}^{(n+1)}=0$ и $\bar{H}_{j}^{(n+1)}=0$ для $j<2^{n}$. Отсюда находим, что для $m<2^{n+1}$ уравнение (2.5.29) записывается в виде
\[
\hat{D}_{0}^{(n)} w_{m}^{(n+1)}=m\left(\bar{H}_{m}^{(n+1)}-H_{m}^{(n)}\right) .
\]

Следовательно, уравнения с номерами от $m=2^{n}$ до $m=2^{n+1}-1$ можно решить одновременно.

Отметим, что каждый шаг в методе Қолмогорова оказывается намного сложнее, чем в обычной теории возмущений. Более того, на каждом шаге требуется проводить интегрирование вдоль новых траекторий системы. Возможно, что это есть выражение всеобщего «закона сохранения»: на одну и ту же высоту можно взобраться либо за много мелких шагов, либо за несколько крупных! Мы думаем, что метод Колмогорова не лучший способ выполнения практических вычислений ${ }^{1}$ ). С другой стороны, он совершенно необходим в теории КАМ для получения сходящихся рядов вне резонансов.
2.6б. Периодические траектории

Для замкнутых периодических траекторий в системах с несколькими степенями свободы удается построить сходящиеся решения. Это становится возможным потому, что условие точной периодичности позволяет представить траекторию простым рядом Фурье и избежать, таким образом, появления резонансных знаменателей
1) Это заключение авторов представляется преждевременным, так как еще не накоплен достаточный опыт практических расчетов с использованием сверхсходящихся методов. Можно, например, отметить, что если требуется умеренная точность, скажем, до $\sim \varepsilon^{3}$ включительно, то сверхсходимость заведомо упрощает вычисления (см. [70], § 2.2;5.1).- Прим. ред.

(п. 2.2б). Однако, чтобы обеспечить периодичность в рамках теории возмущений, необходимо изменять начальные условия в каждом из последовательных приближений, поддерживая частоту неизменной ${ }^{1}$ ). Это отличается от обычной схемы теории возмущений, в которой для заданных начальных условий точность последовательных приближений повышается за счет переопределения частоты.

Метод построения периодических решений с фиксированной частотой и фазой был разработан Хеллеманом, Эминицером и сотр. Этот метод использовался во многих задачах, например вынужденные колебания ангармонического осциллятора [116], модель Хенона и Хейлеса [183] (см. п. 1.4а) и отображение Хенона [178] (см. п. 3.2г). Авторы называют свой метод «обратным» ввиду отмеченной выше необычной последовательности действий – от частоты к начальным условиям.

Хотя мера всех периодических траекторий равна нулю, они являются всюду плотными в фазовом пространстве. Наглядно периодические траектории соответствуют рациональным числам на отрезке, мера которых равна нулю, но которые тем не менее сколь угодно хорошо приближают любое иррациональное число. Поэтому на первый взгляд может показаться, что отыскание периодических траекторий эквивалентно получению вообще всех траекторий. На самом деле это не так, поскольку периодические траектории, вообще говоря, не ограничивают апериодические тр аектории. Даже если в начальный момент они близки, то позже могут оказаться произвольно далеко друг от друга в фазовом пространстве. В отличие от этого при двух степенях свободы инвариантные торы ограничивают близкие траектории и поэтому являются значительно более важными для описания динамики системы. Тем не менее и в общем случае периодические траектории могут оказаться весьма полезными по двум причинам. Во-первых, они могут выявлять некоторые особенности общей структуры движения, например резонансы различного уровня с определенным числом вращения. Вовторых, можно исследовать их устойчивость, что будет использовано в § 4.4 при определении глобальной устойчивости движения.
Вариационный метод. Рассмотрим замкнутую траекторию в автономной системе с $N$ степенями свободы. Движение при этом является периодическим, т. е. существует $N-1$ резонансных условий вида
\[
l_{k} \cdot \omega=0,
\]

где все $N$-мерные целочисленные векторы $\boldsymbol{l}_{k}$ линейно независимы ${ }^{2}$ ).
1) Этот прием, служащий фактически основой теории КАМ, был предложен Колмогоровым [229] (см. также [11]).- Прим. ред.
2) Вектор основных частот $\omega$ не имеет в данном случае определенного смысла [ср. (2.6.24) и (3.1.5)], полная же система частот определяется соотношением (2.6.23).- Прим. ред.

Все частоты являются целыми кратными основной частоты обращения
\[
\omega_{i}=m_{i} \omega_{r} .
\]

Это позволяет представить координаты $q_{i}$ и скорости $q_{i}$ с помощью рядов Фурье
\[
\begin{array}{l}
q_{j}=\sum_{m=-\infty}^{\infty} Q_{j m} e^{i m \omega_{r} t}, \\
\dot{q}_{j}=i \omega_{r} \sum_{m=-\infty}^{\infty} m Q_{j m} e^{i m \omega_{r} t} .
\end{array}
\]

Вариационное уравнение для замкнутой траектории удобнее всего записать с помощью лагранжиана (1.2.1). Из принципа Гамильтона получаем
\[
\delta \oint_{L}\left(\dot{q}_{j}, q_{j}\right) d t=\delta\langle L\rangle=0,
\]

где $\langle L\rangle$ – интеграл по периоду обращения $2 \pi / \omega_{r}$. Считая $\dot{q}_{j}$ и $q_{j}$ функциями коэффициентов Фурье $Q_{j m}$ и варьируя эти коэффициенты, находим
\[
\delta\langle L\rangle \equiv \frac{\partial\langle L\rangle}{\partial Q_{j m}} \delta Q_{j m} .
\]

Из вариационного исчисления известно, что]
\[
\frac{\partial\langle L\rangle}{\partial Q_{j m}}=0,
\]

если удовлетворяются уравнения Лагранжа
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial\langle L\rangle}{\partial \dot{q}_{j}}-\frac{\partial\langle L\rangle}{\partial q_{i}}=0 \bullet
\]

Заметим, что $\langle L\rangle$ – чисто алгебраическая функция $Q_{j m}$ (и $\omega_{r}$ ). Если задано $\langle L\rangle$, то $Q_{j m}$ находятся как корни системы уравнений (2.6.27), которые определяют стационарную точку функции $\langle L\rangle$. Трудность вычисления этих корней связана с тем, что в общем случае стационарная точка $\widetilde{\boldsymbol{Q}}$ не отвечает ни максимуму, ни минимуму $\langle L\rangle$, а является седловой (см. рис. 2.14). Тип этого седла разрывно зависит от изменения $Q_{j m}$ (а также, следовательно, и от начальных значений $\dot{q}_{j}$ и $q_{j}$ ). Используем для вычисления корней простой метод касательных Ньютона. Введем векторную переменную $\boldsymbol{Q}$, составленную из коэффициентов $Q_{j m}$, и положим $\boldsymbol{f}=\partial\langle L\rangle / \partial \boldsymbol{Q}$, тогда из $(2.6 .27)$
\[
\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{Q}_{0}\right)+\Delta \boldsymbol{Q} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{Q}_{0}}=0,
\]

где $\boldsymbol{Q}_{\boldsymbol{0}}$ – начальное приближение корней, а $\boldsymbol{\Delta Q}$ – первая поправка.

Подставляя выражение для $f$, имеем
\[
\Delta \boldsymbol{Q} \cdot \frac{\partial^{2}\langle L\rangle}{\partial \boldsymbol{Q}_{0}^{2}}=-\frac{\partial\langle L\rangle}{\partial \boldsymbol{Q}_{0}} .
\]

Диагонализуя матрицу кривизны $\partial^{2}\langle L\rangle / \partial \boldsymbol{Q}_{0}^{2}$ (см. рис. 2.14), приходим к следующим заменам:
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{Q} & \rightarrow \boldsymbol{c}, \\
\Delta \boldsymbol{Q} & \rightarrow \Delta \boldsymbol{c}, \\
\frac{\partial^{2}\langle L\rangle}{\partial \boldsymbol{Q}_{0}^{2}} & \rightarrow \lambda\left(c_{0}\right), \\
\frac{\partial\langle L\rangle}{\partial \boldsymbol{Q}_{0}} & \rightarrow\langle L\rangle^{\prime}\left(c_{0}\right) .
\end{aligned}
\]

Рис. 2.14. Двумерное седло.
Q – стационарная точка усредненного лагранжиана ( $L$ ). $Q_{1}, Q_{2}$ – исходные переменные; $c_{1}, c_{2}$ – новые переменные, в которых матрица кривизны диагональна.

Уравнение (2.6.30) принимает вид
\[
\lambda_{n}\left(c_{0}\right) \Delta c_{n}=-\langle L\rangle_{n}^{\prime}\left(c_{0}\right),
\]

где $n$ нумерует компоненты вектора $c$ в диагонализованной системе. Среди значений кривизны $\lambda_{n}(\tilde{c})$ имеются как положительные, так и отрицательные. Пронумеруем их в порядке возрастания от отрицательных к положительным, при этом одно из значений $\lambda_{m}(\tilde{c})=$ $=0$ (см. [179]). Однако в процессе итераций эта упорядоченность, вообще говоря, не сохраняется. Положение можно исправить, введя в метод Ньютона корректирующую поправку
\[
\left(\lambda_{n}-\bar{\lambda}\right) \Delta c_{n}=-\langle L\rangle_{n}^{\prime},
\]

где $\bar{\lambda}$ выбирается так, чтобы знак $\lambda_{n}-\bar{\lambda}$ при итерациях не изменялся. Такой прием обеспечивает линейную сходимость к $\tilde{c_{n}}$. Более того, когда решение $\boldsymbol{c}$ подходит достаточно близко к $\tilde{\boldsymbol{c}}$, можно убрать $\bar{\lambda}$ и восстановить квадратичную сходимость. В качестве $\bar{\lambda}$ удобно выбрать $\lambda_{m}(c)$, так как при $n \leqq m$ разность $\lambda_{n}(c)-\lambda_{m}(c) \leqq 0$ и $\lambda_{m} \rightarrow 0$ при $\boldsymbol{c} \rightarrow \tilde{\boldsymbol{c}}$, как и требуется для сходимости в (2.6.33). Таким образом, вместо обычных начальных условий
\[
\begin{array}{l}
q_{j}(0)=\sum_{m} Q_{j m}, \\
\dot{q}_{j}(0)=i \omega_{r} \sum_{m} m Q_{j m},
\end{array}
\]

мы задаем теперь значение $n=m$, для которого кривизна равна нулю, или
\[
\langle L\rangle_{m}^{\prime}(c)=0
\]

для любого вектора $c$, что гарантирует $\lambda_{m}=0$ в первом порядке по $\Delta c_{m}$.

В практических расчетах используются исходные $(\boldsymbol{Q})$, а не диагонализованные ( $\boldsymbol{c}$ ) переменные и конечные ряды Фурье. Были придуманы и различные другие приемы для сокращения вычислений и ускорения сходимости; подробности можно найти в цитированных выше оригинальных статьях.
Задача Хенона и Хейлеса. Продемонстрируем применение изложенного общего метода к системам с двумя степенями свободы, следуя работам Баунтиса [35] и Хеллемана и Баунтиса [183]. Условие резонанса имеет вид
\[
s \omega_{1}-r \omega_{2}=0,
\]

где
\[
\alpha=\frac{s}{r}
\]
– некоторая постоянная, а $r$ и $s$ – взаимно простые целые числа. Частоты $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ теперь уже не являются независимыми, а кратны общей частоте обращения
\[
\omega_{r}=\frac{\omega_{1}}{r}=\frac{\omega_{2}}{s} .
\]

Период обращения равен $\tau_{r}=2 \pi / \omega_{r}$. Обозначая соответствующие частотам $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ координаты через $x$ и $y$, можно представить решение в виде рядов Фурье (2.6.24а) по каждой степени свободы:
\[
x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} A_{n} e^{i n \omega_{r} t}, \quad y(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} B_{n} e^{i n \omega_{r}} .
\]

В рассматриваемом методе можно было бы задать $\omega_{r}$ и два из четырех начальных условий $x, y, \dot{x}, \dot{y}$, а коэффициенты Фурье $A_{n}$,
$B_{n}$ и оставшиеся два условия найти путем последовательных приближений. Поскольку, однако, для обеспечения периодичности траектории достаточно задать только $r$ и $s$, то можно фиксировать три начальных условия, а частоту $\omega_{r}$ и четвертое условие найти с помощью рядов. Так как главными частотами в (2.6.39) являются, конечно, исходные частоты (2.6.36), то можно ожидать, что главными в фурье-разложении (2.6.39) будут члены с амплитудами $A_{ \pm r}$ и $B_{ \pm s}$. Выделение этих членов помогает достижению быстрой сходимости решения.

Для иллюстрации метода рассмотрим, следуя Баунтису [35], потенциал Хенона и Хейлеса, заданный выражением (1.4.4) (см. также рис. 1.11). Уравнения Лагранжа имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}=-x-2 x y, \\
\ddot{y}=-y+y^{2}-x^{2} .
\end{array}
\]

Чтобы явно ввести фигурирующие в (2.6.36) частоты, перепишем эти уравнения в форме
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}+\omega_{1}^{2} x=\varepsilon\left[\left(\omega_{1}^{2}-1\right) x-2 x y\right], \\
\ddot{y}+\omega_{2}^{2} y=\varepsilon\left[\left(\omega_{2}^{2}-1\right) y+y^{2}-x^{2}\right] .
\end{array}
\]

Правые части этих уравнений считаются в некотором смысле малыми, на что указывает введенный малый параметр $\varepsilon$. Уравнения (2.6.41) эквивалентны (2.6.33) [183]. Разложим теперь коэффициенты Фурье в (2.6.39) по степеням $\varepsilon$ :
\[
\begin{array}{l}
x(t)=\sum_{j=0}^{\infty} \varepsilon^{j} \sum_{n=-\infty}^{\infty} A_{n j} e^{i n \omega_{r} t}, \\
y(t)=\sum_{j=0}^{\infty} \varepsilon^{j} \sum_{n=-\infty}^{\infty} B_{n j} e^{i n \omega_{r} t} .
\end{array}
\]

Подставляя эти выражения в (2.6.41), получаем систему рекуррентных соотношений
\[
\begin{array}{l}
\left(r^{2}-n^{2}\right) \omega_{r}^{2} A_{n, j+1}=\left(r^{2} \omega_{r}^{2}-1\right) A_{n j}-2 \sum_{k=-\infty}^{\infty} A_{k j} B_{n-k, j}, \quad \text { (2.6.43a) } \\
\left(s^{2}-n^{2}\right) \omega_{r}^{2} B_{n, j+1}=\left(s^{2} \omega_{r}^{2}-1\right) B_{n j}+\sum_{k=-\infty}^{\infty} B_{k j} B_{n-k, j}-\sum_{k=-\infty}^{\infty} A_{k j} A_{n-k_{*} j},
\end{array}
\]

из которых можно найти все коэффициенты, кроме главных $n= \pm r$ и $n= \pm s$, так как для последних левая часть уравнений обращается в нуль. Эти коэффициенты проще всего получить, задав в дополнение к $r$ и $s$ три начальных условия. Выберем, например, $x=x_{0}$ при $t=0$ и будем считать коэффициенты Фурье действительными ( $A_{n}=A_{-n}, B_{n}=B_{-n}$ ), откуда следует $\dot{x}(0)=\dot{y}(0)=0$. Тогда амплитуда $A_{r}$ определяется непосредственно из (2.6.42) с помощью рекуррентного соотношения
\[
A_{r, j+1}=\frac{1}{2} x_{0}-\frac{1}{2} A_{0 j}-\sum_{\substack{n=1 \\ n
eq r}}^{\infty} A_{n j},
\]

Рис. 2.15. Начальные условия $x_{0}, y_{0}$ периодических решений системы Хенона – Хейлеса при $\dot{x_{0}}=\dot{y_{0}}=0$ для различных значений $\alpha \equiv s / r$, где $s, r-$ взаимно простые числа (по данным работы [183]).

а частота находится из уравнения (2.6.43a) при нулевой левой части:
\[
\omega_{r, j+1}^{2}=\frac{1}{r^{2} A_{r j}}\left[A_{r j}+2 \sum_{k} A_{k j} B_{r-k, j}\right] .
\]

Вместо того чтобы находить $B_{0}$ и $B_{s}$ из уравнения (2.6.43б) при $n=0$ и $n=s$ соответственно, обратим процедуру для ускорения сходимости. Если использовать уравнение (2.6.43б) с нулевой левой частью и единственными отличными от нуля коэффициентами $B_{0,0}, B_{ \pm 5,0}$ и $A_{ \pm r, 0}$, то в первом приближении имеем
\[
\left(s^{2} \omega_{r}^{2}-1\right) \div 2 B_{c, 0}=0 .
\]

Это дает возможность найти $B_{s}$ из рекуррентного соотношения, которое получается с помощью (2.6.43б) при $n=0$ :
\[
2 B_{s, j+1}^{2}=B_{0 j}-\sum_{k} B_{k j}^{2}+\sum_{k} A_{k j}^{2} .
\]

Входящие сюда величины $B_{0 j}$ определяются в любом порядке из того же самого уравнения при $n=s$ :
\[
B_{0 . j+1}=\frac{1}{2 B_{s j}}\left[\left(1-s^{2} \omega_{r}^{2}\right) B_{s j}-\sum_{k=0, s}^{\sum} B_{k j} B_{s-k, j}+\sum_{k} A_{k j} A_{s-k, j}\right] .
\]

Соотношение (2.6.47) эквивалентно условию (2.6.35). Все остальные коэффициенты $A_{n}$ и $B_{n}$ получаются рекуррентно из уравнений (2.6.43) с некоторым разумным максимальным значением $n$. Посте этого начальное значение $y$ определяется в любом порядке прямо из (2.6.39).

С помоцью этой процедуры Баунтис [35] построил кривые зависимости начальных координат $x_{0}, y_{0}$ при постоянном значении отношения $\alpha=s / r$ и непрерывно изменяющейся частоте $\omega_{r}$. Величины $\alpha$ выбраны так, чтобы наилучшим образом аппроксимировать значение $\alpha=1$ (отношение частот малых колебаний). Полученные результаты приведены на рис. 2.15. Қаждая кривая постоянного $\alpha$ соответствует определенному диапазону непрерывного изменения $\omega_{r}$. Однако зависимость решения от $\alpha$ разрывна, т. е. малые изменения $\alpha$ приводят к совершенно другим значениям $\omega_{r}$, $r$ и s.

Следуя подходу создателей метода, мы использовали уравнения движения в форме Лагранжа. Однако все это можно было бы проделать и в канонической форме с помощью подстановки $\dot{x}=p$, хотя для периодических траекторий такая формулировка не дает какихлибо очевидных преимуществ. Что на самом деле желательно, так это иметь дело с лагранжианами, содержащими невысокие степени координат. В противном случае метод становится слишком громоздким из-за необходимости перемножать сразу много рядов Фурье, что приводит к появлению многократных сумм в рекуррентных соотношениях для коэффициентов ${ }^{\mathbf{1}}$ ).
1) В работе [473] предложеи другой метод нахождения периодических траекторий, свободный от этих недостатков.– Прим. ред.