Самые ранние приложения обсуждаемых в настоящей монографии методов, как и вообще применение самой гамильтоновой механики, связано с попытками предсказать движение планет на достаточно большом интервале времени. Именно к этой области относится знаменитая задача трех тел и ее упрощенный вариант, так называемая ограниченная задача трех тел. Первая касается движения трех произвольных гравитационно взаимодействующих масс. В более простой «ограниченной задаче» масса одного из тел полагается равной нулю и исследуется его движение в изменяющемся со временем гравитационном поле двух других тел. В 1904 г. Уиттекер,
1) Об одном интересном приложении стандартного отображения в физике твердого тела см. работу [544] и цитированную там литературу.- Прим. ред.

обсуждая научные достижения того времени, отметил, что эта проблема «вызвала исследования такого размаха, что с 1750 г. по этой теме было опубликовано свыше 800 научных работ, многие из которых носили имена величайших математиков».

Прежде всего Брунс [45] и Пуанкаре [337] показали, что все изолирующие интегралы движения выражаются через известные (классические) интегралы, такие, как энергия и импульс замкнутой системы ${}^1$ ). Одновременно выяснилось, что ограниченная задача трех тел содержит все существенные трудности общей задачи и основные усилия были сконцентрированы на исследовании этого упрощенного варианта.

Методы теории возмущений [337, 419] были вначале разработаны для получения приближенных решений задачи трех тел. Затем они развивались с использованием новой техники асимптотических разложений, основанной на методе дополнительных (к классическим) формальных интегралов Уиттекера [430]. Эти методы были усовершенствованы Контопулосом и его сотрудниками $[86,87]$, а также с использованием скобок Пуассона МакНамарой и Уайтменом [292]. Другой способ, приводящий к тем же результатам и развитый Густавсоном [171], заключается в преобразовании гамильтониана с помощью рядов к нормальной форме. Работы Хори [199], Гарридо [150] и Депри [102], в которых систематически представлена техника преобразований Ли с использованием скобок Пуассона, также появились в связи с проблемой изучения движения планет.

Попытки решения задачи трех тел привели попутно к получению многих интересных математических результатов. Мы уже обсуждали общую теорию периодического движения, связанную с именами Пуанкаре [337] и Биркгофа [29], а также развитие теории КАМ. Изучение стохастичности тоже было обусловлено попыткой понять хаотическое поведение траекторий вблизи гомоклинных точек (см., например, [374, 310$]$ ]). В одном из вариантов ограниченной задачи трех тел Ситников [379] и Алексеев [6] показали, что в окрестности сепаратрисы (параболической траектории легкого тела) существуют траектории с произвольно большими и случайными временами возврата. Аналогичные результаты более абстрактного топологического характера были получены также Смейлом [381].

Для изучения движения на больших интервалах времени использовались различные численные (иногда в сочетании с аналитическими) методы. Примером может служить задача Хенона и Хей-
1) Теорема Пуанкаре о несуществовании дополнительных аналитических интегралов служила в течение длительного времени источником различных недоразумений, в частности, из нее делался неправильный вывод об эргодичности движения. Вопрос был выяснен Колмогоровым [559] в связи с созданием новой теории устойчивости, которая впоследствии получила название теории КАМ.- Прим. ред.

леса [188] (см. § 1.4). Обзор обширной литературы по этой плодотворной задаче дан Чарчиллом и др. [78 ]. Контопулос и сотр. [88 ], Форд и сотр. [423], Куммер [245], а также другие авторы с помощью численных и аналитических методов изучали простые системы связанных осцилляторов с целью выяснения общих свойств нелинейных колебаний, существенных и для задачи трех тел. Қак отмечалось в предыдущих главах, эти исследования вместе с математическими результатами относительно поведения траекторий вблизи гомоклинных точек и теорией КАМ привели (в том числе и для ограниченной задачи трех тел) к сложной картине движения в фазовом пространстве, подобно показанной на рис. 3.5 или 3.6.

Полная задача о движении планет с учетом их взаимных возмущений относится к очень специальной области, выходящей за рамки этой книги. Хотя принято считать, что результаты изучения простых моделей позволяют делать качественные предсказания о поведении более сложных физических систем, остается еще много нерешенных вопросов по части устойчиввости последних. Для ознакомления с соответствующей обширной литературой следует обратиться к монографиям Уинтнера [433], Жебехели [400], Зигеля и Мозера [374] и Хигихары [172, 173]. Недавние работы в этой области обсуждаются Мозером [311] и Контопулосом [90]. Контопулос и сотр. [92] использовали упомянутые методы для исследования других космических систем, в частности резонансов в галактике.

Весьма интересный аспект проблемы длительной устойчивости Солнечной системы связан с учетом ее многомерности, вследствие чего инвариантные поверхности не являются изолирующими. Возможно, что этим же объясняются и щели в кольцах Сатурна вблизи резонансов с его внутренними спутниками. Чириков [68] изучал подобную возможность для родственной проблемы «люков» в поясе астероидов вблизи их резонансов с движением Юпитера ${}^1$ ). Eго предварительное заключение сводится к тому, что скорость диффузии Арнольда достаточна для того, чтобы «очистить» люки за время жизни Солнечной системы.