В областях фазового пространства, где движение полностью или в основном стохастично (исключая небольшие изолированные островки устойчивости), его можно описывать с помощью функции распределения, зависящей только от переменных действия (или скоростей) ${ }^{2}$ ). Эта задача представляет большой практический ин-
1) См. примечание редактора на с. 315.- Прим. ред.
2) Возможность усреднения по фазам при статистическом описании зависит не только от стохастичности движения, но и от наличия в задаче двух разных масштабов времени: быстрого перемешивания (по фазам) и медленной диффузии (по переменным действия) (см. ниже по тексту). Такие масштабы были введены Боголюбовым (см. [447 ], т. 2, с. 99). – Прим. ред.

терес. Так, например, в задаче Ферми основная цель заключалась в нахождении возможного механизма ускорения космических лучей. При этом динамика фаз частиц по отношению к ускоряющим их полям не представляет сама по себе интереса и требуется только для определения среднего ускорения и энергетического распределения. Аналогично и для электронного или ионно-циклотронного резонансного нагрева плазмы физический интерес представляет скорость нагрева и распределение по энергии.

В этом параграфе мы рассмотрим возмущенное отображение поворота:
\[
\begin{aligned}
u_{n+1} & =u_{n}+\varepsilon f\left(u_{n+1}, \psi_{n}\right), \\
\psi_{n+1} & =\psi_{n}+2 \pi \alpha\left(u_{n+1}\right)+\varepsilon g\left(u_{n+1}, \psi_{n}\right),
\end{aligned}
\]

где $u$, $\psi$ – переменные действие – угол невозмущенного движения. В п. 5.4а дан вывод уравнения Фоккера– Планка для функции распределения $P(u, n)$ и обсуждаются условия его применимости. В п. 5.46 в приближении хаотических фаз вычисляются козффициенты переноса. В качестве иллюстрации используются упрощенное и точное отображения Улама. В п. 5.4в получены стационарная и нестационарные функции распределения. Корреляционные поправки к коэффициентам переноса рассмотрены в п. 5.4г.
* 5.4а. Уравнение Фоккера-Планка ${ }^{1}$ )

Рассмотрим эволюцию функции распределения $P(u, n)$, ограничившись, естественно, областью сплошной стохастичности (без островков устойчивости). Примером может служить область $u \leqslant u_{\mathrm{s}}$ (см. п. 3.4 а и б, рис. $1.14,3.12$ и 3.13 ) для упрощенной модели Улама:
\[
\begin{array}{l}
u_{n+1}=\left|u_{n}+f\left(\psi_{n}\right)\right|, \\
\psi_{n+1}=\psi_{n}+\frac{\Theta M}{u_{n+1}}, \bmod \Theta,
\end{array}
\]

где $\Theta$ – интервал периодичности по фазе (1 или $2 \pi$ ). Пусть эволюция $P(u, n)$ в такой области описывается как некоторый марковский процесс по $u[424]^{2}$ ):
\[
P(u, n+\Delta n)=\int P(u-\Delta u, n) W_{t}(u-\Delta u, n, \Delta u, \Delta n) d(\Delta u) .
\]

Здесь $W_{t}(u, n, \Delta u, \Delta n)$ – вероятность перехода $u \rightarrow u+\Delta u$ за
$\qquad$
1) В отечественной литературе его чаще называют уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК), поскольку строгий вывод этого уравнения, условия его применимости и ковариантная формулировка даны в работах Колмогорова $[503,504]$ – Прим. ред.
2) См. также $[62,505]$ – Прим. ред.

«время» $\Delta n$. Предположим также, что $\Delta n \gg 1$ и $\Delta u \ll P /(d P d u)$, т. е. существует такое $\Delta n$, что [для модели (5.4.2)]
\[
1 \ll \Delta n \ll\left(\frac{f_{\text {макс }}}{P} \frac{d P}{d u}\right)^{-2} .
\]

Тогда можно разложить $P W_{t}$ по первому аргументу. С точностью до членов второго порядка по $\Delta u$ получим
\[
\begin{array}{c}
P(u-\Delta u) W_{t}(u-\Delta u)=P(u) W_{t}(u)-\frac{\partial\left(P W_{t}\right)}{\partial u} \Delta u \\
+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2}\left(P W_{t}\right)}{\partial u^{2}}(\Delta u)^{2} .
\end{array}
\]

Подставляя это выражение в (5.4.3) и учитывая нормировку
\[
\int W_{t}(u, n, \Delta u, \Delta n) d(\Delta u)=1,
\]

находим уравнение $Ф П К$
\[
\frac{\partial P}{\partial n}=-\frac{\partial}{\partial u}(B P) \div \frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial u^{2}}(D P),
\]

где средняя скорость ${ }^{1}$ )
\[
B(u)=\frac{1}{\Delta n} \int \Delta u W_{t}(u, n, \Delta u, \Delta n) d(\Delta u),
\]

а коэффициент диффузии
\[
D(u)=\frac{1}{\Delta n} \int(\Delta u)^{2} W_{t}(u, n, \Delta u, \Delta n) d(\Delta u) .
\]

Соотношение между коэффициентами переноса. Следуя Ландау [250], покажем, что для гамильтоновых систем ${ }^{2}$ )
\[
B=\frac{1}{2} \frac{d D}{d u} .
\]
1) Имеется в виду скорость изменения переменной $u$. В оригинале friction coefficient (коэффициент трения) – менее удачный термин, поскольку такое «трение» существует и в гамильтоновых системах.- Прим. ред.
2) Впервые соотношение такого рода было получено Эйнштейном в теории броуновского движения (см., например, [505], § 21). В работе Ландау использовался принцип детального равновесия, который не всегда выполняется даже и в автономной гамильтоновой системе (см. [506]). Вывод в в тексте основан на независимости вероятности перехода от фазы $\psi$ (аналогично работе Қрылова и Боголюбова, см. [447], т. 2, с. 5). Поскольку $u$,中 — канонические переменные, то в последнем случае равновесное $P(u)=$ $=$ const, и (5.4.8) сразу следует из (5.4.5). Такой метод получения коэффициента $B$ оказывается наиболее удобным (см., например, [505, 464]), Значение соотношения вида (5.4.8) состоит в том, что прямое вычисление $B$ возможно только во втором порядке теории возмущений, в то время как для $D$ достаточно первого порядка.- Прим. ред.

Это позволяет записать уравнение ФПК в виде
\[
\frac{\partial P}{\partial n}=\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{D}{2} \frac{\partial P}{\partial u}\right) .
\]

Для доказательства (5.4.8) запишем изменение $u$ с точностью до членов, квадратичных по $\Delta t$ :
\[
u(t-\Delta t)=u(t)+\dot{u} \Delta t+\frac{1}{2} \ddot{u}(\Delta t)^{2},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\dot{u}=-\frac{\partial H}{\partial \psi}, \\
\ddot{u}=-\frac{\partial^{2} H}{\partial \psi^{2}} \dot{\psi}-\frac{\partial^{2} H}{\partial \psi \partial u} \dot{u}-\frac{\partial^{2} H}{\partial \psi \partial t} .
\end{array}
\]

Из уравнений Гамильтона получаем
\[
\begin{array}{l}
\ddot{u}=-\frac{\partial^{2} H}{\partial \psi^{2}} \frac{\partial H}{\partial u}+\frac{\partial^{2} H}{\partial \psi \partial u}-\frac{\partial H}{\partial \psi}+\frac{\partial^{2} H}{\partial \psi \partial t}=-\frac{\partial}{\partial \psi}\left(\frac{\partial H}{\partial \psi} \frac{\partial H}{\partial u}\right)+ \\
+\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{\partial H}{\partial \psi}\right)^{2}-\frac{\partial}{\partial \psi}\left(\frac{\partial H}{\partial t}\right) . \\
\end{array}
\]

Отсюда для $\Delta u=u(t+\Delta t)-u(t)$ во втором порядке по $\Delta t$ имеем
\[
\Delta u=-\frac{\partial H}{\partial \psi} \Delta t+\frac{1}{2}(\Delta t)^{2}\left[\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{\partial H}{\partial \psi}\right)^{2}-\frac{\partial}{\partial \psi}\left(\frac{\partial H}{\partial \psi} \frac{\partial H}{\partial u}+\frac{\partial H}{\partial t}\right)\right] .
\]

Усредняя по $\psi$, получаем
\[
\langle\Delta u\rangle_{\Psi}=\frac{1}{2}(\Delta t)^{2} \frac{\partial}{\partial u}\left\langle\left(\frac{\partial H}{\partial \psi}\right)^{2}\right\rangle_{\psi} .
\]

Остальные члены исчезают из-за периодичности $H$ по $\psi$. Аналогично во втором порядке по $\Delta t$ :
\[
(\Delta u)^{2}=\dot{u}^{2}(\Delta t)^{2}=\left(\frac{\partial H}{\partial \psi}\right)^{2}(\Delta t)^{2} .
\]

Усреднение по $\psi$ дает
\[
\left\langle(\Delta u)^{2}\right\rangle_{\Psi}=(\Delta t)^{2}\left\langle\left(\frac{\partial H}{\partial \psi}\right)^{2}\right\rangle_{\Psi} .
\]

Сравнивая выражения для $\langle\Delta u\rangle_{\psi}$ и $\left\langle(\Delta u)^{2}\right\rangle_{\psi}$, получаем соотношение (5.4.8).

Условия применимости уравнения ФПК. Вероятность перехода $W_{t}$ зависит, конечно, не только от переменной действия $u$, но и от фазы ч. Однако при достаточно большом $\Delta n \gg n_{c}$, где $n_{c}$ – время релаксации функции распределения по фазе, можно усреднить по $\psi: W_{t}(u, \psi) \rightarrow W_{t}(u)=\left\langle W_{t}(u, \psi)\right\rangle_{\psi}$.

Для выяснения условий такого приближения найдем прежде всего направления собственных векторов системы (5.4.2), используя линеаризованное отображение (см. п. 3.3б) с матрицей
\[
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}
1 & f^{\prime} \\
-\rho & 1-\rho \hat{f}^{\prime}
\end{array}\right),
\]

где $\rho=\Theta M / u^{2}$. Для собственных векторов получаем
\[
(\Delta u, \Delta \psi) \propto\left(f^{\prime}, \lambda_{1,2}-1\right),
\]

где собственные значения даются выражением (3.3.52). При $\lambda_{1} \approx\left|\rho f^{\prime}\right| \geqslant 1$ собственный вектор растяжения направлен почти по фазе ( $f^{\prime} \sim 1$ ). Последнее условие выполняется тем лучше, чем меньше $u$ по сравнению с $u_{s}=(\Theta M)^{1 / 2} / 2$.

Для оценки $n_{c}$ предположим, что начальное распределение сосредоточено в узком интервале $\Delta \psi(0)$, а $\Delta u(0)=0$. Тогда, $\Delta \psi(n) \approx \lambda_{1}^{n} \Delta \psi(0) \approx \rho^{n} \Delta \psi(0)$. Положив $\Delta \psi\left(n_{c}\right) \sim \Theta$, найдем
\[
n_{c} \approx \frac{\ln [\Theta / \Delta \psi(0)]}{\ln \rho},
\]
т. е. $n_{c}$ слабо зависит от начального распределения. Напротив, распределение по $u$ остается локализованным в пределтах $\Delta u\left(n_{c}\right)$ $\sim \Theta / \lambda_{1} \sim\left(u / u_{s}\right)^{2} \ll u$. Поэтому можно ожидать, что при $\Delta n \gg n_{c}$ эволюция распределения $P(u)$ описывается уравнением ФПК ${ }^{1}$ ) с коэффициентами $B$ и $D$ из (5.4.6) и (5.4.7). Остаточные корреляции, однако, сохраняются по крайней мере в течение одного периода отображения. Их влияние будет рассмотрено в п. 5.4г.

Для $u>u_{s}$ существуют островки устойчивости, движение в которых не описывается уравнением (5.4.5). Для стохастической же компоненты, окружающей островки, простое усреднение по $\psi$ уже неприменимо, поскольку при данном $u$ допустимы не все значения фазы.
* 5.4б. Коэффициенты переноса

Вычислим коэффициенты переноса (5.4.6) и (5.4.7) и сравним их с результатами численного моделирования. Для отображения Улама (3.4.4) в простейшем случае ${ }^{2}$ ) $n \equiv \Delta n=1$, и в предположении
1) Фактически для этого нужно (см. примечание редактора на с. 317), чтобы корреляционный масштаб времени $n_{c}$ был бы много короче диффу. зионного масштаба $n_{D} \sim u^{2} / D \sim u^{2}\left[D \sim f^{2} \sim 1\right.$, см. (5.4.2)]. Поскольку $u \leqslant u_{\mathrm{s}} \sim M^{1 / 2}$ и $n_{c} \sim 1$, грубое условие диффузионного описания есть $M \gg 1 .-$ Прим. ред.
2) Формально при этом нарушается первое условие (5.4.4), однако оно нужно только для перехода к дифференциальному уравнению (5.4.5), но не для вычисления D.- Прим. ред.

о равнораспределении по фазе получаем
\[
B=\int_{0}^{1} d \psi \Delta u=0, \quad D=\int_{0}^{1} d \psi(\Delta u)^{2}=\frac{1}{12},
\]

где $\Delta u(\psi)=\psi-1 / 2$.
Этот результат, полученный в приближении случайных фаз ${ }^{1}$ ), сравнивается на рис. 5.10 с численными данными по зависимости $D$ от $n$ при различных началыных значениях скорости $u$. Значения $D$

Рис. 5.10. Зависимость коэффиинента диффузии $D$ от времени для отображения (3.4.4) (по данным работы [274]).
$M=10^{\ddagger} ; 10^{3}$ траекторий с различными начальными условиями: сплошные кривые однородное распредстение по фазе; пунктиршая кривая $-\Delta \psi=10^{-3} ; u=30$.

находились по 1000 траекториям отображения (3.4.4) с $M=10^{4}$, что соответствует $u_{s}=50$. Для $u=10,20,30,40$ и однородногс начального распределения траекторий по фазе вклад корреляций
1) Этот популярный, но неудачный термин означает на самом деле не просто случайность фазы $\psi$, но еще и полную статистическую независимость ее последовательных значений $\psi(n)$, что эквивалентно условию $n_{c}=0$. Прим. ред.

оказывается пренебрежимо малым, и $D(u, n)=D(u, 1)=1 / 12$. Однако для $u=50$ корреляции существенно влияют на зависимость $D$ от $n$ даже при $n \geq 200$. При $u=60$ наблюдается другой эффект, связанный с тем, что часть траекторий оказывается в устойчивых областях и не дает вклада в диффузию. Наконец, в случае неравномерного начального распределения по фазе наблюдается некоторый переходный процесс, показанный пунктирной кривой на рис. 5.10 для $u=30$ и начальной ширины распределения $\Delta \psi=10^{-3}$. Оценка (5.4.10) дает в этом случае $n_{c} \approx 3$, что соответствует по порядку величины данным рис. 5.10.

При учете смещения стенки величины $u$, $\psi$ не являются каноническими переменными (п. 3.4a). Перейдем поэтому к каноническим переменным $E, \theta$. Для функции распределения по «энергии» $E=u^{2}$ уравнение ФПК имеет вид
\[
\frac{\partial \bar{P}}{\partial n}=-\frac{\partial}{\partial E}(\bar{B} \bar{P})+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial E^{2}}(\bar{D} \stackrel{P}{P}),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\bar{B}(E)=\frac{1}{\Delta n} \int \Delta E \bar{W}_{t} d(\Delta E), \\
\bar{D}(E)=\frac{1}{\Delta n} \int(\Delta E)^{2} \bar{W}_{t} d(\Delta E) ;
\end{array}
\]

здесь $\widetilde{W}_{t}$ – вероятность перехода (см. п. 5.4а). Из (3.4.2а) и определения $E$ получаем ( $-F^{\prime} \rightleftharpoons f ; \Delta n=1$ ):
\[
\Delta E=2 E^{\prime} \hat{i}+f^{2} \text {. }
\]

Для случайных и независимых значений канонической фазы $\theta$ вероятность
\[
\bar{W}_{t} d(\Delta E)=\frac{d \theta}{2 \pi},
\]

а из $(3.4 .2 \mathrm{~B})$
\[
d \psi_{c}=d \theta-\frac{1}{2} E^{-1 / 2} f d \psi_{c} .
\]

Если, кроме того, функция $f\left(\psi_{c}\right)$ нечетна по $\psi_{c}$, то
\[
\bar{B}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} 2 f^{2} d \psi_{c} .
\]

Аналогичные вычисления дают
\[
\bar{D}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}\left(4 E f^{2}+3 f^{4}\right) d \psi_{c} .
\]

Для отображения (3.4.4) $f=\psi_{c} / 2 \pi$, откуда $\bar{B}=1 / 6$ и $\bar{D}=E / 3+$

$+3 / 80$, что удовлетворяет соотношению (5.4.8). Обратный переход к переменным $u$, $\psi$ дает
\[
D=\bar{D} / 4 E, \quad B=(\bar{B}-D) /\left(2 E^{1 / 2}\right) .
\]

Выражения $B=(24 u)^{-1}$ и $D=1 / 12$ были получены впервые Израйлевым и Ждановой [209] непосредственно из точного отображения (3.4.1) ${ }^{1}$ ). Отметим, что соотношение (5.4.8) в этом случае не выполняется из-за неканоничности переменных $u$ и $\psi$. Более детальное описание дано в работе Лихтенберга и др. [272 ].
* 5.4в. Стационарные и нестационарные решения

Для получения стационарного решения уравнения ФПК введем полностью отражающие стенки при $u=0$ и $u=u_{s}$. Буквально, это, конечно, неправильно из-за проникновения траекторий в область $u>u_{s}$. Однако поскольку этот процесс происходит медленно, то можно ожидать, что для значений $u$, достаточно малых по сравнению с $u_{s}$, решение с выбранными граничными условиями будет близко к истинному. Положив в (5.4.5) $\partial / \partial n=0$, найдем решение в виде
\[
P(u)=P\left(u_{0}\right) D\left(u_{0}\right) D^{-1}(u) \exp \int_{u_{0}}^{u} 2 B\left(u^{\prime}\right) D^{-1}\left(u^{\prime}\right) d u^{\prime} .
\]

Для $B=0$ и $D=1 / 12$ распределение оказывается однородным $P(u)=$ const, а для $B=(24 u)^{-1}$ и $D=1 / 12$ – линейным: $P(u)=C u$. Эти результаты согласуются с численными экспериментами Либермана и Лихтенберга ([274 ], рис. 12) и Израйлева и Ждановой, ([209], рис. 3). На рис. 5.11 представлены численные результаты [274] для упрощенного (сплошная кривая) и точного (пунктирная кривая) отображений Улама с $f=\psi-1 / 2$. Отклонения распределений от ожидаемых в области $u<u_{\mathrm{s}}=M^{1 / 2} / 2 \approx 16$ связаны с недостаточной для установления квазиравновесного состояния длительностью счета, а также с просачиванием траекторий в область больших скоростей. С ростом $u\left(u>u_{s}\right)$ островки устойчивости быстро становятся преобладающими. Для точного отображения при переходе к каноническим переменным $E, \theta$ получаем однородное распределение $\bar{P}(E)=P(u)(d u / d E)=$ const.

В некоторых случаях можно также найти решение и нестационарного уравнения ФПК. Для упрощенного отображения Улама $D=1 / 12, B=0$ и (5.4.5) переходит в обычное диффузионное уравнение
\[
\frac{\partial P}{\partial n}=\frac{1}{24} \frac{\partial^{2} P}{\partial u^{2}} .
\]
1) Небольшое различие между $D=1 / 12$ и точным выражением $D=$ $=1 / 12+3 / 320 E[$ [см. (5.4.15)] есть поправка второго порядка к скорости диффузии опять-таки из-за неканоничности переменных $u, \psi$ в (3.4.1). Обычно такая поправка не учитывается. – Прим. ред.

В с.туае точного отображения, подставляя в $(5.4 .5) D=1 / 12$, $B=(24 u)^{-1}$, получаем
\[
\frac{\partial P}{\partial n}=\frac{1}{24} \frac{\partial}{\partial u}\left[u \frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{P}{u}\right)\right] .
\]

Решение этого уравнения с начальным условием $P(u, 0)=\delta(u)$ имеет вид
\[
P(u, n)=\frac{12 u}{n} \exp \left(-\frac{6 u^{2}}{n}\right) .
\]

Оно справедливо, конечно, тишь до тех пор, пока траектории не начнут проникать в область $u>u_{s}$. Решение полной задачи с учетом переходной области с островками устойчивости оказывается очень сложным, и его можно получить только численно.

Хотя рассмотренная задача представляет сильно идеализированную модель, аналогичные результаты можно найти и для реальных динамических систем. Примером может служить задача об электрон-циклотронном нагреве в магнитных ловушках. Она подробно исследована Егером и др. [212] и Либерманом и Лихтенбергом [275]. Было показано, Рис. 5.11. Сравнение распределений по скорости $P(u)$ (по данным работы [274]). Сплониая кривая – упрощенное отображение Улама (3.4.4): пунктирная кривал точное отображение улама (3.4.1); $M=10^{\circ}$.

что нагрев можно приближенно описать системой уравнений, анаґогичной (3.4.8).
5.4г. Корреляционные поправки к коэффициентам переноса ${ }^{1}$ )

В п. 5.4 коэффициенты переноса были получены в приближении хаотических фаз на одной итерации отображения $(\Delta n=1)$. Однако, как было отмечено в п. 5.4а, уравнение ФПК справедливо
1) В оригинале – higher-order transport corrections (поправки высшего порядка к коэффициентам переноса). Принятый в переводе термин более явно отражает природу этих поправок.- Прим. перев.

только при $\Delta n \gg n_{c}$, где $n_{c}$ – число итераций, за которое происходит перемешивание по фазе. Поэтому необходимо оценить поправки к коэффициентам переноса за счет корреляций на интервале $\Delta n \sim n_{c}$.

Впервые такие поправки были получены для стандартного отображения Речестером и Уайтом [345] и другим методом Речестером и др. [346]. Однако их техника использует введение дополнительного внешнего шума, и мы отложим ее обсуждение до следующего параграфа. Қак показано в работе [3], эти же методы можно использовать и без введения шума.

Хотя такая техника применялась пока только к довольно простым системам типа стандартного отображения, она является весьма интересной, и мы изложим ее достаточно подробно, следуя Абарбанелю. Он показал также [2], что этот же метод можно применить к задаче о взаимодействии частицы с волной большой амплитуды (п. 2.2б). Поскольку, как обсуждалось в п. 4.1 (см. также [272]), стандартное отображение токально описывает широкий класс систем, можно надеяться, что полученные для него результаты будут качественно применимы и в более общем случае.

Представление Фурье. Для одной итерации стандартного отображения
\[
\Delta I_{1}=K \sin \theta_{0}
\]

и коэффициенты переноса равны
\[
\begin{array}{l}
F_{1}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \Delta I_{1} d \theta_{0}=0, \\
D_{1}=\frac{D}{2}=\frac{1}{4 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(\Delta I_{1}\right)^{2} d \theta_{0}=\frac{K^{2}}{4} .
\end{array}
\]

Это приближение часто называют квазилинейным ${ }^{1}$ ).
Для получения корреляционных поправок вычислим коэффициент диффузии
\[
D_{n}=\frac{\left\langle\left(\Delta I_{n}\right)^{2}\right\rangle_{I_{n}, \theta_{n}}}{2 n} .
\]

Введем вероятность $W$ перехода $I_{0}, \theta_{0} \rightarrow I_{n}, \theta_{n}$ за $n$ итераций. Тогда
\[
D_{n}=\frac{1}{2 n} \int W\left(I_{n}, \theta_{n}, n \mid I_{0}, \theta_{0}, 0\right)\left(I_{n}-I_{0}\right)^{2} d I_{n} d \theta_{n} .
\]
1) Множитель $1 / 2$ в уравнении ФПК (5.4.5) включен здесь в определение квазилинойного коэффициента диффузии.

Нам потребуется свойство рекуррентности:
\[
\begin{array}{c}
W\left(I, \theta, n \mid I_{0}, \theta_{0}, 0\right)=\int d I^{\prime} d \theta^{\prime} W\left(I, \theta, n \mid I^{\prime}, \theta^{\prime}, n-1\right) \times \\
\times W\left(I^{\prime}, \theta^{\prime}, n-1 \mid I_{0}, \theta_{0}, 0\right),
\end{array}
\]

где из уравнений отображения
\[
W\left(I, \theta, n \mid I^{\prime}, \theta^{\prime}, n-1\right)=\delta\left(I-I^{\prime}-K \sin \theta^{\prime}\right) \delta\left(\theta-\theta^{\prime}-I^{\prime}-K \sin \theta^{\prime}\right) .
\]

Вычисление $D_{n}$ непосредственно из (5.4.23) – (5.4.25) быстро становится слишком громоздким. Такую процедуру можно провести для $n=2$; она приводит к интересным осцилляциям $D_{2}$ в зависимости от $I_{0}$, хотя и не ясно, какое значение мог бы иметь этот эффект. Для бо́льших $n$ необходимо найти метод, который становился бы проще с ростом $n$. Как мы увидим, это можно сделать с помощью фурье-представления.
Представим $W$ в виде ряда Фурье по $\theta$ и интеграла Фурье по $I$ :
\[
W\left(I, \theta, n \mid I_{0}, \theta_{0}, 0\right)=\sum_{m} \int d q \exp (i m \theta+i q I) a_{n}(m, q),
\]

где коэффициенты $a_{n}$ зависят также от $I_{0}$ и $\theta_{0}$.
Нас интересует значение $D_{n}$ при больших $n$. Поскольку $I_{n}$ растет как $\sqrt{n}$, то для $n \gg 1$ в (5.4.23) можно сохранить только член с $I_{n}^{2}$ :
\[
D_{n}=\frac{1}{2 n} \int d \theta d I I^{2} W\left(I, \theta, n \mid I_{0}, \theta_{0}, 0\right) .
\]

После подстановки (5.4.26) в (5.4.27) и интегрирования по $\theta$ остается только член с $m=0$. Замена $I^{2}$ на $-\partial^{2} e^{i q I} / \partial q^{2}$ и двойное интегрирование по частям (по $q$ ) приводит к выражению
\[
D_{n}=-\frac{2 \pi}{2 n} \int d q d I e^{i q I} \frac{\partial^{2}}{\partial q^{2}}\left[a_{n}(0, q)\right] .
\]

Интеграл по $I$ дает $2 \pi \delta(q)$. После интегрирования по $q$ получаем
\[
D_{n}=-\frac{4 \pi^{2}}{2 n}-\left.\frac{\partial^{2} a_{n}(0, q)}{\partial q^{2}}\right|_{q=0} .
\]

Выведем теперь рекуррентное соотношение для $a_{n}$, которое потребуется нам для вычисления (5.4.29). Из (5.4.26)
\[
a_{n}(m, q)=\frac{1}{(2 \pi)^{2}} \int d \theta d I \exp (-i m \theta-i q I) W\left(I, \theta, n \mid I_{0}, \theta_{0}, 0\right) .
\]

Для $n=0$ положим
\[
\begin{array}{c}
W=\delta\left(I-I_{0}\right) \delta\left(\theta-\theta_{0}\right), \\
a_{0}=\frac{1}{(2 \pi)^{2}} \exp \left(-i q I_{0}-i m \theta_{0}\right) .
\end{array}
\]

При $n>0$, подставляя (5.4.24) в (5.4.30), получаем
\[
\begin{array}{c}
a_{n}(m, q)=\frac{1}{(2 \pi)^{2}} \int d \theta d I \exp (-i m \theta-i q I) \times \\
\times \int d \theta^{\prime} d I^{\prime} \delta\left(I-I^{\prime}-K \sin \theta^{\prime}\right) \delta\left(\theta-\theta^{\prime}-I^{\prime}-K \sin \theta^{\prime}\right) \times \\
\times \upharpoonright d q^{\prime} \sum_{m^{\prime}} \exp \left(i m^{\prime} \theta^{\prime}+i q^{\prime} I^{\prime}\right) a_{n-1}\left(m^{\prime}, q^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Интегрируя по $\theta$ и $I^{\prime}$, находим
\[
\begin{array}{l}
\quad a_{n}(m, q)=\frac{1}{(2 \pi)^{2}} \sum_{m^{\prime}} i d q^{\prime} d \theta^{\prime} d I a_{n-1}\left(m^{\prime}, q^{\prime}\right) \times \\
\times \exp \left[-i m\left(\theta^{\prime}+I\right)-i q I+i q^{\prime}\left(I-K \sin \theta^{\prime}\right)+i m^{\prime} \theta^{\prime}\right] .
\end{array}
\]

Интегрирование по $I$ дает
\[
2 \pi \delta\left(-m-q+q^{\prime}\right)
\]

что позволяет взять интеграл по $q^{\prime}$ :
\[
\begin{array}{r}
a_{n}(m, q)=\frac{1}{2 \pi} \sum_{m^{\prime}}\left[d \theta^{\prime} a_{n-1}\left(m^{\prime}, \tilde{q}\right) \times\right. \\
\times \exp \left[i\left(m^{\prime}-m\right) \theta^{\prime}-i \tilde{q} K \sin \theta^{\prime}\right],
\end{array}
\]

где
\[
\tilde{q}=q-m .
\]

Используя разложение
\[
\exp \left(i \tilde{q} K \sin \theta^{\prime}\right)=\sum_{l=-\infty}^{\infty} \mathcal{F}_{l}(|\tilde{q}| K) \exp \left(i l \theta^{\prime} \operatorname{sgn}(\tilde{q})\right),
\]

где $\operatorname{sgn}(x)=1$ для $x \geqslant 0$ и $\operatorname{sgn}(x)==-1$ для $x<0$, а $g_{l}-$ функция Бесселя, получаем после интегрирования по $\theta^{\prime}$
\[
a_{n}(m, q)=\sum_{l, m^{\prime}} \mathscr{F}_{l}(|\tilde{q}| K) \delta_{k}\left(m^{\prime}-m-l \operatorname{sgn}(\tilde{q})\right) a_{n-1}\left(m^{\prime}, \tilde{q}\right) .(5.4 .37 \mathrm{a})
\]

Здесь $\delta_{k}(m)=1$ при $m=0$ и $\delta_{k}(m)=0$ при $m
eq 0$. Проведя суммирование по $m^{\prime}$, находим рекуррентные соотношения:
\[
\begin{aligned}
a_{n 2}\left(m_{n}, q_{n}\right) & =\sum_{l_{n}} \mathcal{F}_{l_{n}}\left(\left|q_{n-1}\right| K\right) a_{n-1}\left(m_{n-1}, q_{n-1}\right), \\
m_{n} & \left.=m_{n-1}-l_{n} \operatorname{sgn}\left(q_{n-1}\right) \quad \text { [из } \delta_{k} \text { в }(5.4 .37 \text { а })\right], \\
q_{n} & =q_{n-1}-m_{n} \quad \text { [из (5.4.36)]. }
\end{aligned}
\]

Итерируя (5.4.37б) $n$ раз, получаем выражение для $a_{n}$ через $a_{0}$ :
\[
a_{n}\left(m_{n}, q_{n}\right)=\sum_{l_{n}, \ldots, l_{1}} \mathscr{F}_{l_{n}} \mathscr{F}_{l_{n-1}} \cdot . \mathscr{F}_{l_{1}} a_{0}\left(m_{0}, q_{0}\right) .
\]

Фурье-траектории. Согласно (5.4.38), набор $n$ целых чисел $\left\{l_{n}, \ldots, l_{1}\right\}$ определяет некоторую траекторию на плоскости Фурье ( $m, q$ ). Из (5.4.29) следует, что в коэффициент диффузии $D_{n}$ дают вклад только те из них, которые оканчиваются в точке $m_{n}=0$ и $q_{n}=0$. Типичная траектория показана на рис. 5.12 , $a$.

Аргументы функций Бесселя равны $K\left|q_{i}\right|$, и если $q_{i}
eq 0$, то при $K \rightarrow \infty \mathscr{F}_{l} \sim K^{-1 / 2}$. Поэтому при больщих $K$ основной вклад ‘ Тают члены с $q_{i} \rightarrow 0$. Наибольший ${ }^{1}$ ) из них соответствует всем $i_{i}=0$. Согласно (5.4.38), его фурье-траектория длины $n$ является неподвижной точкой вблизи начала координат (рис. 5.12, б). В этом стучае
\[
a_{n}(0, q)=\frac{1}{(2 \pi)^{2}}\left[\mathscr{F}_{\theta}(K q)\right]^{n} e^{-i q I_{0}} .
\]

Рис. 5.12. Фурье-траектории.
$a$ – типичная траектория, оканчивающаяся в точке $(m, q)=(0, \div 0) ;$ б -.. квазилинейектории поиравок порядка $K^{-1}$. Чнсла в скобках указывают значения $l_{n}$ в соответствующих точках ( $m, q$ ).
Подставляя это выражение в (5.4.29) и разлагая $\mathscr{F}_{0}$ до квадратичных членов, получим при $n \gg 1$
\[
D_{n}=D_{1}=\frac{K^{2}}{4},
\]
т. е. квазилинейный результат (5.4.21б) ${ }^{2}$ ).
1) Это не очевидно заранее из-за взятия производной в (5.4.29). Поэтому необходимо проанализировать также члены с $l=1$ и $l=2$ (см. ниже).Прим. ред.
2) Формально он не зависит от $n$, однако выражение (5.4.29) получено в предположении $n \gg 1 .-П$ рим. ред.

Для вычисления поправок к этому значению рассмотрим другие фурье-траектории. Главные поправки соответствуют траекториям, наименее уклоняющимся от начала координат. Имеются две траектории, возвращающиеся в начало координат через три шага ${ }^{1}$ ), начиная с произвольного номера $r$. Из (5.4.38) ${ }^{2}$ ) имеем $m_{1}+m_{2}=0$ или $m_{1}= \pm 1 ; m_{2}=\mp 1$. Первая из траекторий показана на рис. 5.12 , в. Значения $l$ для $q_{r}=0^{+}$получаются из (5.4.38a) и указаны на рисунке. Вклад этой траектории в величину $a_{n}$ определяется из (5.4.39):
\[
\begin{array}{l}
a_{n}=\frac{1}{(2 \pi)^{2}}\left[\mathscr{F}_{0}(K q)\right]^{n-3} \mathcal{F}_{-1}\left(K\left|q_{r}\right|\right) \times \\
\times \mathscr{F}_{-2}\left(K\left|q_{r+1}\right| \mathcal{F}_{-1}\left(K\left|q_{r+2}\right|\right) e^{-i q I_{0}} .\right.
\end{array}
\]

Учитывая, что $\left|q_{r}\right|=\left|q_{r+2}\right|=q$ и $\left|q_{r+1}\right|=1$, получаем
\[
a_{n}=\frac{1}{(2 \pi)^{2}}\left[\mathscr{F}_{0}(K q)\right]^{n-3}\left[\mathscr{F}_{1}(K q)\right]^{2} \mathscr{F}_{2}(K) e^{-i q I_{0}} .
\]

Вторая траектория получается поворотом первой (рис. 5.12, в) на $180^{\circ}$ и дает точно такой же вклад в $a_{n}$. Для больших $n$ существует $2 n$ траекторий, соответствующих $r=1,2, \ldots, n_{0}$. Суммируя их вклады и оставляя в разложении (5.4.41) по $q$ только члены с $q^{2}$, находим
\[
a_{n}(0, q)=\frac{2 n}{(2 \pi)^{2}} \frac{K^{2} q^{2}}{4} \mathscr{F}_{2}(K) .
\]

Вместе с (5.4.40) это дает
\[
D_{n}=\frac{K^{2}}{2}\left[\frac{1}{2}-\mathcal{F}_{2}^{\prime}(K)\right] .
\]

В пределе больших $K$ и $n$ второй член дает малую поправку к квазилинейному приближению. Действительно, из асимптотического представления $\mathscr{F}_{2}(K)$
\[
D_{n}=\frac{K^{2}}{2}\left[\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{2}{\pi K}} \cos \left(K-\frac{5 \pi}{4}\right)\right]
\]

видно, что поправка имеет порядок $K^{-1 / 2}$.
Аналогичным образом можно найти траектории, дающие поправки $\sim K^{-1}$. К ним относятся траектории на рис. $5.12,2, \partial$, e, получающиеся из них поворотом на $180^{\circ}$. Окончательный результат с точностью до поправок порядка $K^{-1}$ включительно имеет вид
\[
D_{n}=\frac{K^{2}}{2}\left\lfloor\frac{1}{2}-\mathcal{J}_{2}(K)+\mathfrak{f}_{2}^{2}(K)+\mathfrak{F}_{2}^{2}(K)-\mathfrak{J}_{1}^{2}(K)\right] .
\]
1) Из (5.4.38) легко видеть, что возврат через два шага невозможен.Пррим. ред.
2) Траектории с $\left|m_{1}\right|>1$ дают меньшие поправки.

Он был получен Речестером и Уайтом [345] (без члена $\mathcal{F}_{2}^{2}{ }^{1}$ ). Заметим также, что разность $\mathscr{J}_{3}^{2}-\mathscr{F}_{1}^{2}$ имеет порядок $K^{-2}$ и превышает точность (5.4.45).

Речестер и Уайт получили также численную зависимость коэффициента $D_{50}$ от $K$ по 3000 траекторий. Их результаты представ-

Рис. 5.13. Занисимость скорости диффузии $D / D_{1}$ от параметра $K$ стандартного отображения (по данным работы [345]).
Точки – численный эксперимент; кривая – теория.
лены на рис. 5.13. Точки соответствуют численным значениям $D_{50}$, нормированным на квазилинейный коэффициент диффузии $K^{2 / 4}$. Сплошная кривая соответствует зависимости (5.4.45) без слагаемого $\left.{ }^{2}\right) \mathcal{F}_{2}^{2}$. Осцилляции в зависимости $D(K)$ впервые были заме-
1) Эта ошибка была исправлена авторами в работе [346]. – Прим. ред.
2) Для больших $K$ основной эффект от этого члена сводится к небольшому сдвигу кривой вверх. Отметим, что численный счет производился в присутствии малого внешнего шума (см. § 5.5).

чены Чириковым [70]. Следует ожидать, что при $K<4$ роль областей устойчивости станет существенной и необходимо будет учитывать большее число фурье-траекторий. Для $K<1$ стохастические области ограничены и $D_{n} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. Чтобы сгладить сингулярности, связанные со сложной структурой фазовой плоскости, Речестер и Уайт ввели небольшой внешний шум, влияние которого мы рассмотрим в следующем параграфе. Можно надеяться, что такой подход обеспечит сходимость суммы по всем фурье-траекториям и позволит в принципе найти точное значение $D$. Здесь возникает, однако, другая трудность. Карни и соавторы [223] показали, что $D \rightarrow \infty$ для тех значений $K$, при которых существуют ускорительные режимы движения (см. п. 4.1б). Связано это с тем, что для некоторых начальных условий величина $I$ изменяется со временем монотонно, а не диффузионно, т. е. значительно быстpeе, и соотношение (5.4.45) становится неприменимым (см. также [54]) ${ }^{1}$ ). В стандартном отображении ускорительные режимы появляются при $K \geqslant 2 \pi$. Их влияние видно на рис. 5.13 как повышение $D$ вблизи нескольких первых максимумов. Аналогичные результаты были получены Қари и Мейсом [53] для другого отображения.