Большинство многомерных или подверженных внешним воздействиям динамических систем являются неинтегрируемыми (см. §1.3). Однако для тех систем, которые близки к интегрируемым, можно попытаться получить решение с желаемой точностью, если представить производящую функцию в виде ряда по степеням малого параметра и затем решать уравнение Гамильтона-Якоби последовательно в каждом порядке. Как уже отмечалось, малые знаменатели препятствуют сходимости этих рядов. Тем не менее полученные таким путем результаты можно использовать для вполне удовлетворительного описания поведения системы в некоторых областях фазового пространства. Более того, этот метод оказывается весьма полезным при построении приближенных решений и для систем с одной степенью свободы, когда явное интегрирование уравнений движения затруднительно, а также для предварительного перехода к переменным действие – угол в невозмущенных системах с несколькими степенями свободы.
* 2.2а. Одна степень свободы

Рассмотрим гамильтониан следующего вида:
\[
H=H_{0}(J)+\varepsilon H_{1}(J, \theta)+\varepsilon^{2} H_{2}(J, \theta)+\ldots . .
\]

Здесь использованы переменные действие – угол для первого слагаемого $H_{0}$, поэтому ему отвечает решение
\[
\begin{aligned}
J & =J_{0}, \\
\theta & =\omega t+\beta, \\
\omega & =\partial H_{0} / \partial J,
\end{aligned}
\]

где $J_{0}, \omega, \beta$ – постоянные, не зависящие от $t$. Следуя Пуанкаре [337] и Цейпелю [419], мы ищем преобразование к таким новым переменным $\bar{J}, \bar{\theta}$, для которых новый гамильтониан $\bar{H}$ есть функция только переменной действия $\bar{J}$. Используя производящую функцию $S(\bar{J}, \theta)$, представим $S$ и $\bar{H}$ в виде степенных рядов по $\varepsilon$
\[
\begin{array}{l}
S=\bar{J} \theta+\varepsilon S_{1}+\ldots . \\
\bar{H}=\bar{H}_{0}+\varepsilon \bar{H}_{1}+\ldots .
\end{array}
\]

причем член низшего порядка в $S$ выбран так, чтобы порождать тождественное преобразование $\bar{J}=J$ и $\bar{\theta}=\theta$. Старая переменная действия и новая угловая переменная определяются из выражений (1.2.13а) и (1.2.13б) соответственно
\[
\begin{array}{l}
J=\bar{J}+\varepsilon \frac{\partial S_{1}(\bar{J}, \theta)}{\partial \theta}+\ldots . \\
\bar{\theta}=\theta+\varepsilon \frac{\partial S_{1}(\bar{J}, \theta)}{\partial \bar{J}}+\ldots
\end{array}
\]

Для получения нового гамильтониана необходимо выразить старые переменные через новые с помощью соотношений (2.2.5) и затем использовать формулу (1.2.13в). В первом порядке по $\varepsilon$ это сделать нетрудно
\[
\begin{array}{l}
J=\bar{J}+\varepsilon \frac{\partial S_{1}(\bar{J}, \bar{\theta})}{\partial \bar{\theta}}+\ldots, \\
\theta=\bar{\theta}-\varepsilon \frac{\partial S_{1}(\bar{J}, \bar{\theta})}{\partial \bar{J}}+\ldots
\end{array}
\]

Тогда из (1.2.13в) имеем
\[
\bar{H}(\bar{J}, \bar{\theta})=H(J(\bar{J}, \bar{\theta}), \theta(\bar{J}, \bar{\theta})) .
\]

Разлагая правую часть последнего равенства в степенной ряд по $\varepsilon$ и используя (2.2.6), получаем
\[
\begin{array}{l}
H_{0}(J(\bar{J}, \bar{\theta}))=H_{0}(\bar{J})+\varepsilon \frac{\partial H_{0}}{\partial \bar{J}^{\prime}} \frac{\partial S_{1}}{\partial \bar{\theta}}+\ldots \\
\varepsilon H_{1}(J(\bar{J}, \bar{\theta}), \theta(\bar{J}, \bar{\theta}))=\varepsilon H_{1}(\bar{J}, \bar{\theta})+\ldots
\end{array}
\]

Подстановка этих выражений в (2.2.7) позволяет найти члены нового гамильтониана нулевого $\left(\bar{H}_{0}\right)$ и первого $\left(\bar{H}_{1}\right)$ порядков
\[
\begin{array}{c}
\bar{H}_{0}=H_{0}(\bar{J}), \\
\bar{H}_{1}=\omega(\bar{J}) \frac{\partial S_{1}(\bar{J}, \bar{\theta})}{\partial \bar{\theta}}+H_{1}(\bar{J}, \bar{\theta}) .
\end{array}
\]

Так как мы ищем новый гамильтониан, который зависит только от переменной действия $\bar{J}$, то необходимо путем выбора функции $S_{1}$ в $(2.2 .10)$ компенсировать зависящую от $\bar{\theta}$ часть $H_{1}$. Определим среднюю $\left\langle H_{1}\right\rangle$ и переменную $\left\{H_{1}\right\}$ части $H_{1}$ посредством выражений
\[
\begin{array}{c}
\left\langle H_{1}\right\rangle=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} H_{1}(\bar{J}, \bar{\theta}) d \bar{\theta}, \\
\left\{H_{1}\right\}=H_{1}-\left\langle H_{1}\right\rangle .
\end{array}
\]

Из равенства (2.2.10) находим два соотношения
\[
\begin{array}{c}
\bar{H}_{1}=\left\langle H_{1}\right\rangle, \\
\omega \frac{\partial S_{1}}{\partial \bar{\theta}}=-\left\{H_{1}\right\} .
\end{array}
\]

Объединяя (2.2.9) и (2.2.13), получаем преобразованный гамильтониан с точностью до членов первого порядка
\[
\bar{H}=H_{0}(\bar{J})+\varepsilon\left\langle H_{1}(J, \bar{\theta})\right\rangle
\]

с новой частотой $\bar{\omega}=\partial \bar{H} / \partial \bar{J}$. При этом предполагается, что уравнение (2.2.14) можно разрешить относительно функции $S_{1}$, с помощью которой исключается $\left\{H_{1}\right\}$. Видно, что новый гамильтониан в первом порядке получается путем усреднения старого гамильтониана по фазе.

Чтобы найти функцию $S_{1}$, представим $\left\{H_{1}\right\}$ и $S_{1}$ в виде рядов Фурье
\[
\begin{array}{l}
\left|H_{1}\right|=\sum_{n
eq 0} H_{1^{n}}(\bar{J}) e^{i n \bar{\theta}} \\
S_{1}=\sum_{n} S_{1^{n}}(\bar{J}) e^{i n \bar{\theta}} .
\end{array}
\]

И3 (2.2.14) немедленно следует, что $S_{10}=$ const 1 ), а
\[
S_{1 n}=-\frac{H_{1 n}}{i n \omega}, \quad n
eq 0 .
\]

Если $\omega(\bar{J})
eq 0$, то ряд Фурье для $S_{1}$ сходится и позволяет выполнить преобразование переменных (2.2.6).

Разложения высших порядков. Иногда необходимо провести разложения до более высокого порядка по $\varepsilon$ либо из-за того, что поправки первого порядка равны нулю, либо из-за желания повысить точность вычислений. Процедуру Пуанкаре-Цейпеля можно выполнить в любом порядке по $\varepsilon$, но распутывание старых и новых пе ременных, ведущее от (2.2.5) к (2.2.8), требует утомительных алгебраических выкладок. Если полного обращения переменных не требуется, то вычисление нового гамильтониана, а следовательно, и возмущенной частоты колебаний становится относительно простым.

Подробное рассмотрение вычислений в высших порядках содержится в §2.5, где представлены современные методы с использованием преобразований Ли. Здесь мы ограничимся тем, что выпишем в явном виде соотношения, необходимые для определения нового гамильтониана с точностью до второго порядка по $\varepsilon$. Более детальное обсуждение рядов Пуанкаре–Цейпеля можно найти в работах Борна [34] и Джакалья [153].

Предположим, что в соотношении (2.2.1) только $H_{0}$ и $H_{1}$ отличны от нуля. Пусть $S$ и $\bar{H}$ представлены степенными рядами по $\varepsilon$ вида (2.2.3) и (2.2.4), тогда выражения (2.2.8a) и (2.2.86) можно выписать явно
1) Функцию $S_{10}$ нельзя найти из (2.2.14), но можно просто положить $S_{10}=0$, не нарушая этого условия.- Прим. ред.

\[
\begin{array}{c}
H_{0}(J(\bar{J}, \theta))=H_{0}(\bar{J})+\sum_{m, n} \frac{1}{m !} \frac{\partial^{m} H_{n}}{\partial \bar{J}^{m}}\left(\varepsilon^{n} \frac{\partial S_{n}}{\partial \theta}\right)^{m}, \\
H_{1}(J(\bar{J}, \theta), \theta)=H_{\mathbf{1}}(\bar{J}, \theta)+\sum_{m, n} \frac{1}{m !} \frac{\partial^{m} H_{1}}{\partial \bar{J}^{m}}\left(\varepsilon^{n} \frac{\partial S_{n}}{\partial \theta}\right)^{m} .
\end{array}
\]

Полагая $\bar{H}$ функцией только переменной действия $\vec{J}$ и приравнивая $\bar{H}=H$ с помощью выражения (2.2.18), получаем в нулевом и первом порядке по $\varepsilon$ соотношения (2.2.9) и (2.2.10) соответственно. Во втором порядке по $\varepsilon$ находим (без обращения $\theta$ ):
\[
\bar{H}_{2}=\frac{\partial H_{0}}{\partial \bar{J}} \frac{\partial S_{2}}{\partial \theta}+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial \bar{J}^{2}}\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial \theta}\right)^{2}+\frac{\partial H_{1}}{\partial \bar{J}} \frac{\partial S_{1}}{\partial \theta} .
\]

Поскольку $\bar{H}_{2}$ является функцией только $\bar{J}$, то имеем
\[
\bar{H}_{2}=\left\langle\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial \bar{J}^{2}}\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial \theta}\right)^{2}+\frac{\partial H_{1}}{\partial \bar{J}} \frac{\partial S_{1}}{\partial \theta}\right\rangle_{\theta},
\]

а периодическая по $\theta$ функция $S_{2}$ определяется из условия
\[
\frac{\partial H_{0}}{\partial \bar{J}} \frac{\partial S_{2}}{\partial \theta}=-\left\{\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial \bar{J}^{2}}\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial \theta}\right)^{2}+\frac{\partial H_{1}}{\partial \bar{J}} \frac{\partial S_{1}}{\partial \theta}\right\}_{\theta} ;
\]

скобки 〈> и \{ \}, как и раньше, соответствуют усредненной и осциллирующей частям выражения. Частота колебаний вычисляется обычным образом как $\bar{\omega}=\partial \bar{H} / \partial \bar{J}$.

Маятник. Для иллюстрации описанного выше метода разложения рассмотрим нелинейные колебания маятника, гамильтониан которого имеет вид [см. (1.3.6)]:
\[
H_{p}=\frac{1}{2} G p^{2}-F \cos \varphi=E .
\]

В качестве невозмущенной системы $H_{0}$ рыберем квадратичную часть гамильтониана, которая соответствует линейным колебаниям, а оставшиеся члены будем считать возмущением. Раскладывая $H_{p}$ в ряд Тейлора и опуская постоянную, получаем
\[
H_{p}=\frac{1}{2} G p^{2}+\frac{1}{2} F \varphi^{2}-\frac{\varepsilon}{4 !} F \varphi^{4}+\frac{\varepsilon^{2}}{6 !} F \varphi^{6}-. . .
\]

где первые два слагаемых представляют $H_{0 p}$. Малый параметр $\varepsilon$ отмечает, как и раньше, порядок членов возмущения. Истинным параметром разложения является отношение энергии колебаний к энергии на сепаратрисе. Для применения методов теории возмущений удобно перейти предварительно с помощью (1.2.69) к переменным действие – угол невозмущенной системы $H_{0 p}$. Новый гамильтониан $\quad H=E+F$ принимает вид
\[
\begin{array}{l}
H=\omega_{0} J-\frac{\varepsilon}{6} G J^{2} \sin ^{4} \theta+\ldots \\
+\frac{\varepsilon^{2}}{90} \frac{G^{2} J^{3}}{\omega_{0}} \sin ^{6} \theta-\ldots .
\end{array}
\]

где $\quad \omega_{0}=(F G)^{1 / 2}$ – частота невозмущенных колебаний. Преобразуя степени $\sin ^{*} \theta$, находим
\[
\begin{array}{r}
H_{0}=\omega_{0} J, \\
H_{1}=
\end{array}
\]

Рис. 2.2. Зависимость частоты колебаний маятника (2.2.20) от энергии.
1 – точная формула (1.3.13); 2 – теория возмущений во втором порядке (п. 2.56).
\[
H_{2}=\frac{G^{2} J^{3}}{2880 \omega_{0}}(10-15 \cos 2 \theta+6 \cos 4 \theta-\cos 6 \theta) .
\]

Применяя полученные выше результаты и усредняя (2.2.22б) по $\theta$, получаем, согласно (2.2.15), новый гамильтониан до первого порядка по $\varepsilon$
\[
\bar{H}=\omega_{0} \bar{J}-\frac{\varepsilon}{16} G \bar{J}^{2}
\]

и новую частоту колебаний
\[
\bar{\omega}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial \bar{J}}=\omega_{0}-\frac{\varepsilon}{8} G \bar{J} .
\]

Псследнее соотношение показывает, что частота колебаний уменьшается с ростом их амплитуды; это согласуется с разложением (1.3.13) с точностью до первого порядка по $x$. Исключая $\bar{J}$ из (2.2.23) и (2.2.24), получаем зависимость $\bar{\omega}(\bar{H})$, которая изображена на рис. 2.2 кривой 2 ; ее можно сопоставить с точным результатом (1.3.13), представленным на рис. 2.2 кривой 1 .

Производяшую функцию $S_{1}$ можно найти путем интегрирования уравнения (2.2.14):
\[
S_{1}=-\frac{G J^{2}}{192 \omega_{0}}(8 \sin 2 \theta-\sin 4 \theta) .
\]

Используя это выражение, нетрудно получить преобразование (2.2.6) от старых переменных к новым.
* 2.2б. Несколько степеней свободы

Если возмущенный гамильтониан описывает автономную систему с несколькими степенями свободы или явно зависит от времени даже для одной степени свободы, то рассмотренные выше разложения оказываются расходящимися. Чтобы убедиться в этом, обобщим метод Пуанкаре–Цейпеля на случай автономного гамильтониана с $N$ степенями свободы. Явную зависимость от времени можно учесть с помощью дополнительной степени свободы в расширенном фазовом пространстве. Запишем
\[
H(J, \boldsymbol{\theta})=H_{0}(\boldsymbol{J})+\varepsilon H_{\mathbf{1}}(\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta}),
\]

где $\boldsymbol{J}$ и $\boldsymbol{\theta}-\boldsymbol{N}$-мерные векторы переменных действия и углов невозмущенной системы $H_{0}$, а $H_{1}$ – периодическая функция всех угловых переменных
\[
H_{1}=\sum_{m} H_{1 m}(\boldsymbol{J}) e^{i m \cdot \boldsymbol{\theta}} .
\]

В последнем выражении использовано обозначение
\[
\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{\theta}=m_{1} \theta_{1}+m_{2} \theta_{2}+\ldots .+m_{N} \theta_{N},
\]

где $m_{i}$ – целые числа, по которым производится $N$-кратное суммирование в (2.2.27). Будем снова искать преобразование к таким переменным $\overline{\boldsymbol{J}}, \overline{\boldsymbol{\theta}}$, для которых новый гамильтониан $\bar{H}$ зависит только от $\overline{\boldsymbol{J}}$. Введем производящую функцию
\[
S=\overline{\boldsymbol{J}} \cdot \boldsymbol{\theta}+\varepsilon \sum_{m} S_{1 m}(\overline{\boldsymbol{J}}) e^{i \boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{\theta}},
\]

которая в нулевом порядке по $\varepsilon$ отвечает тождественному преобразованию, а в первом содержит $N$-кратную сумму, периодическую по $\boldsymbol{\theta}$. Как и в одномерном случае, выразим старые переменные через новые с помощью этой производящей функции и подставим их в (1.2.13в). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, находим в нулевом порядке
\[
\bar{H}_{0}(\overline{\boldsymbol{J}})=H_{0}(\overline{\boldsymbol{J}}),
\]

и в первом порядке
\[
\bar{H}_{\mathbf{1}}=\boldsymbol{\omega}(\overline{\boldsymbol{J}}) \cdot \frac{\partial S_{\mathbf{1}}(\bar{J}, \bar{\theta})}{\partial \bar{\theta}}+H_{1}(\overline{\boldsymbol{J}}, \overline{\boldsymbol{\theta}}) .
\]

Здесь вектор частот $\boldsymbol{\omega}$ невозмущенного движения определяется формулой
\[
\boldsymbol{\omega}(\overline{\boldsymbol{J}})=\frac{\partial H_{0}(\bar{J})}{\partial \overline{\boldsymbol{J}}} .
\]

Усредняя по всем угловым переменным, имеем
\[
\bar{H}=H_{0}(\overline{\boldsymbol{J}})+\varepsilon\left\langle H_{\mathbf{1}}(\overline{\boldsymbol{J}}, \overline{\boldsymbol{\theta}})\right\rangle
\]

и
\[
\boldsymbol{\omega} \cdot \frac{\partial S_{1}}{\partial \bar{\theta}}=-\left\{H_{1}\right\} \cdot
\]

Решение $S_{1}$ последнего уравнения можно получить путем интегрирования вдоль траекторий возмущенного движения. Действительно, так как в выражении
\[
\frac{d S_{1}}{d t}=\frac{\partial S_{1}}{\partial t}+\frac{\partial S_{1}}{\partial \overline{\boldsymbol{\theta}}} \cdot \frac{\overline{d \boldsymbol{\theta}}}{d t}+\frac{\partial S_{1}}{\partial \overline{\boldsymbol{J}}} \cdot \frac{d \overline{\boldsymbol{J}}}{d t}
\]

в нулевом порядке первый и третий члены правой части равны нулю, то производная $d S_{1} / d t$ равна левой части (2.2.34) и можно написать
\[
S_{1}=-\int\left\{H_{1}(\bar{J}, \overline{\boldsymbol{\theta}}(t))\right\} d t .
\]

Интегрируя ряд Фурье для $H_{1}$, окончательно получаем
\[
S(\overline{\boldsymbol{J}}, \overline{\boldsymbol{\theta}})=\overline{\boldsymbol{J}} \cdot \overline{\boldsymbol{\theta}}+\varepsilon i \sum_{\boldsymbol{m}
eq 0} \frac{H_{1 \boldsymbol{m}}(\bar{J})}{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{\omega}(\bar{J})} e^{i \boldsymbol{m} \cdot \overline{\boldsymbol{\theta}}}+\cdots
\]

Мы сразу же сталкиваемся с проблемой малых знаменателей, так как для любого $\overline{\boldsymbol{J}}$ всегда найдется такое $\boldsymbol{m}$, что $\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{\omega}(\overline{\boldsymbol{J}})$ окажется сколь угодно близко к нулю, и сходимость рядов явно нарушается. Подчеркнем еще раз, что это обстоятельство отражает в равной мере трудности как математического, так и физического характера. Оно возникает из-за фактического действия резонансов, которое, как будет показано в § 2.4, изменяет топологию фазовых траекторий. Несмотря на это, значительные усилия были потрачены на попытки по крайней мере «отодвинуть» секулярность в более высокие порядки разложения. В защиту этих, казалось бы бесперспективных, методов заметим, что они дают решения, сходящиеся к истинным решениям в определенных областях фазового пространства для конечных, но больших интервалов времени. Более того, в некоторых случаях такие решения хорошо аппроксимируют движение в течение любого времени, если используется крупноструктурное разбиение фазового пространства ${ }^{1}$ ). Последний результат связан с фактической сходимостью (согласно теории КАМ) определенных решений для некоторых значений $\overline{\boldsymbol{J}}$. Қак мы увидим ниже, в случае двух степеней свободы эти решения жестко ограничивают резонансные траектории, которые вынуждены, таким образом, оставаться вблизи нерезонансных траекторий.
Явная зависимость от времени. Для системы с одной степенью свободы и явной зависимостью гамильтониана от времени мы получим в первом порядке по $\varepsilon$ некоторые соотношения, которые понадобятся нам в дальнейшем. Начнем с гамильтониана
\[
H=H_{0}(J)+\varepsilon H_{1}(J, \theta, t),
\]

в котором возмущение периодично по $\theta$ с периодом $2 \pi$ и по времени с периодом $2 \pi / \Omega$, а
\[
H_{1}=\sum_{l, m} H_{1 l m}(J) e^{i(l \theta+m \Omega t)} .
\]

Как и в п. 2.2 а, выбираем производящую функцию $S$ в виде
\[
S=\bar{J} \theta+\varepsilon S_{1}(\bar{J}, \theta, t) .
\]

При этом переход от старых переменных к новым выполняется с помощью (2.2.6). Из-за явной зависимости $H_{1}$ от времени соотношение (2.2.7) изменяется:

Разложение по $\varepsilon$ дает
\[
\begin{array}{c}
\bar{H}_{0}=H_{0}(\bar{J}), \\
\bar{H}_{\mathbf{1}}=\frac{\partial S_{1}}{\partial t}+\omega \frac{\partial S_{1}}{\partial \bar{\theta}}+H_{\mathbf{1}} .
\end{array}
\]

Подбирая, как и прежде, $S_{1}$ таким образом, чтобы уничтожить переменную часть $H_{1}$, находим в первом порядке по $\varepsilon$
\[
\bar{H}=H_{0}+\varepsilon\left\langle H_{1}\right\rangle,
\]

где усреднение производится как по $\theta$, так и по $t$, а
\[
\frac{\partial S_{1}}{\partial t}+\omega \frac{\partial S_{1}}{\partial \bar{\theta}}=-\left\{H_{1}\right\} .
\]

Для нахождения $S_{1}$ произведем фурье-разложение
\[
S_{\mathbf{1}}=i \sum_{l, m
eq 0} \frac{H_{1 l m}(\bar{J})}{l \omega(\bar{J})+m \Omega} e^{i(l \bar{\theta}+m \Omega t)} .
\]
1) То есть при конечной точности олисания.- Прим. ред.

Мы вновь сталкиваемся с малыми знаменателями, препятствующими сходимости рядов.

Классическая каноническая теория возмущений может быть весьма полезна при определении интегралов движения, если система находится достаточно далеко от первичных (т. е. проявляющихся в низшем порядке теории возмущений) резонансов. Для иллюстрации выберем функцию $H_{1}$, содержащую только одну гармонику по $\theta$ :
\[
H_{1}=U(J, t)+V(J, t) \cos \theta .
\]

Чтобы найти $S_{1}$ явно, представим $H_{1}$ и $S_{1}$ рядами Фурье
\[
\begin{aligned}
H_{1}(\bar{J}, \bar{\theta}, t) & =\sum b_{l m}(\bar{J}) \cos (l \bar{\theta}-m \Omega t), \\
S_{1}(\bar{J}, \bar{\theta}, t) & =\sum a_{l m}(\bar{J}) \sin (l \bar{\theta}-m \Omega t),
\end{aligned}
\]

где суммирование производится по всем $m$ для $l=0$ и $l=1$. Подставляя (2.2.49) в (2.2.45), определяем коэффициенты $a_{l m}$ при $l$, $m
eq 0$ :
\[
a_{l m}=\frac{b_{l m}}{m \Omega-l \omega(\bar{J})} .
\]

В области таких значений $\bar{J}$, при которых знаменатели не малы, функции $a_{l m}$ не имеют особенностей. В первом порядке по $\varepsilon$ новый гамильтониан, как и в одномерном случае, имеет, согласно (2.2.44), вид
\[
\bar{H}=H_{0}(\bar{J})+\varepsilon b_{00}(\bar{J}) .
\]

Новая переменная действия равна
\[
\bar{J}(J, \theta, t)=J-\varepsilon \frac{\partial S_{1}(J, \theta, t)}{\partial \theta} .
\]

Любая функция вида $I(\bar{J})$, так же как и $\bar{J}$, является интегралом движения. Ниже (п. 2.4г) мы используем этот факт для построения глобальных интегралов движения.

Взаимодействие частицы с волной. Проиллюстрируем методы и ограничения канонической теории возмущений в случае нескольких степеней свободы на практически интересном примере взаимодействия заряженной частицы с электростатической волной в однородном магнитном поле (рис. 2.3). Такая задача была рассмотрена Смитом и Кауфманом $[385,386]$ для случая волны, распространяющейся наклонно к магнитному полю, а для случая перпендикулярного распространения это сделали Қарни и Берс [222], а также Фукуяма и др. [145].

Введем прежде всего переменные действие – угол для невозмущенной системы, гамильтониан которой имеет вид
\[
H_{0 p}=\frac{1}{2 M}\left[p-\frac{e}{c} \boldsymbol{A}\right]^{2} .
\]

Здесь $M$ – масса частицы, $e-$ ее заряд, $c$ – скорость света. Обозначая через $\check{\boldsymbol{x}}, \check{\boldsymbol{y}}, \check{z}$ орты координатных осей, запишем векторный потенциал однородного магнитного поля $\boldsymbol{B}_{0}$ в виде
\[
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})=-B_{0} y \check{\boldsymbol{x}}
\]

Импульс
\[
p=M v+\frac{e}{c} \cdot A
\]

канонически сопряжен радиусу-вектору частицы $\boldsymbol{x}=x \check{\boldsymbol{x}}+y \check{\boldsymbol{y}}+z \check{z}$. $\mathrm{C}$ помощью производящей функции
\[
F_{1}=M \Omega\left[\frac{1}{2}(y-Y)^{2} \operatorname{ctg} \varphi-x Y\right]
\]

и соотношений (1.2.11) переходим к новым дрейфовым переменным:
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{tg} \varphi=\frac{v_{x}}{v_{y}}, \\
P_{\varphi}=\frac{M c}{e} \mu=\frac{1}{2} \frac{M v_{\perp}^{2}}{\Omega}= \\
=\frac{1}{2} M \Omega \rho^{2}, \quad(2.2 .2 \\
Y=y+\rho \sin \varphi, \\
X=x-\rho \cos \varphi,
\end{array}
\]

где
\[
\Omega=\frac{e B_{0}}{M c}
\]

Рис. 2.3. Траектория частицы в однородном магнитном поле $B_{0}$.
– ларморовская частота, $\mu$ – маг$\boldsymbol{k}$ – волновой вектор электростатической воліы. нитный момент, $v_{\perp}^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}$, $\rho=v_{\perp} / \Omega$ – ларморовский радиус, ${ }^{\prime} X$ и $Y$ – дрейфовые координаты ларморовского центра, $P_{\varphi}$ и $\varphi$ – момент импульса и угловая координата. Новыми импульсами являются величины $P_{\varphi}, M \Omega X$ и $P_{z}$; им отвечают координаты $\varphi, Y$ и $z$ соответственно. Преобразованный гамильтониан имеет вид
\[
H_{0}^{\prime}=\frac{P_{z}^{2}}{2 M}+P_{\varphi} \Omega .
\]

Предположим, что возмущением является электростатическая волна с электрическим полем $\mathbf{E}=-
abla \Phi$, где
\[
\Phi=\Phi_{0} \sin \left(k_{z} z+k_{\perp} y-\omega t\right) .
\]

В дрейфовых переменных имеем
\[
H_{1}^{\prime}=e \Phi_{0} \sin \left(k_{z} z+k_{\perp} Y-k_{\perp} \rho \sin \varphi-\omega t\right),
\]

где
\[
\rho\left(P_{\varphi}\right)=\left(\frac{2 P_{\varphi}}{M \Omega}\right)^{1 / 2} .
\]

Так как возмущенный гамильтониан
\[
H^{\prime}=H_{0}^{\prime}+\varepsilon H_{1}^{\prime}
\]

не зависит от импульса $M \Omega X$, то $Y=$ const и, сдвинув $z$ или $t$ на постоянную величину, можно исключить постоянную фазу $k_{1} Y$ из (2.2.61). Нелинейность колебаний возникает благодаря зависимости фазы $k_{z} z-k_{\perp} \rho \sin \varphi-\omega t$ от $\sin \varphi$ и $\rho$. Поскольку гамильтониан зависит только от линейной комбинации $k_{z} z-\omega t$, то можно исключить зависимость от времени, перейдя в систему отсчета волны. Это осуществляется с помощью производящей функции
\[
F_{2}=\left(k_{z} z-\omega t\right) P_{\psi}+P_{\varphi} \varphi .
\]

Используя соотношения (1.2.13), получим новые переменные $P_{\psi}$, $\psi$ и новый гамильтониан $H$ :
\[
\begin{array}{c}
P_{z}=\frac{\partial F_{2}}{\partial z}=k_{z} P_{\psi}, \\
\psi=\frac{\partial F_{2}}{\partial P_{\psi}}=k_{z} z-\omega t, \\
H=\frac{k_{z}^{2} P_{\psi}^{2}}{2 M}-P_{\psi} \omega+P_{\varphi} \Omega+\varepsilon e \Phi_{0} \sin \left(\psi-k_{\perp} \rho \sin \varphi\right)=E=\text { const. }
\end{array}
\]

Здесь, как и прежде, $\varepsilon$ – малое возмущение (в конце вычислений полагают, что $\varepsilon=1$ ). Резонансные гармоники возмущения можно выявить с помощью разложения в ряд по функциям Бесселя
\[
H=\frac{k_{z}^{2} P_{\psi}^{2}}{2 M}-P_{\psi} \omega+P_{\varphi} \Omega+\varepsilon e \Phi_{0} \sum_{m} \mathscr{F}_{m}\left(k_{\perp} \rho\right) \sin (\psi-m \varphi) .
\]

Мы уже видели, что необходимо оставаться достаточно далеко от первичных резонансов для того, чтобы амплитуды Фурье убывали быстрее резонансных знаменателей. В нашем случае убывание амплитуд Фурье определяется функциями Бесселя $\mathscr{J}_{m}\left(k_{\perp} \rho\right)$. Невозмущенные частоты колебаний находятся из (2.2.67):
\[
\begin{array}{c}
\omega_{\varphi}=\frac{\partial H_{0}}{\partial P_{\varphi}}=\Omega, \\
\omega_{\psi}=\frac{\partial H_{0}}{\partial P_{\psi}}=\frac{k_{z}^{2}}{M} P_{\psi}-\omega=k_{z} v_{z}-\omega .
\end{array}
\]

Возмущение возбуждает только резонансы между основной частотой $\omega_{\psi}$ и гармониками частоты $\omega_{\varphi}$, поэтому условие резонанса имеет вид
\[
\omega_{\psi}-m \Omega=0 .
\]

Для $k_{z}=0$ из (2.2.68б) получаем
\[
\omega+m \Omega=0 .
\]

Для $k_{z}
eq 0$, разрешая (2.2.69), находим резонансные значения $P_{\psi}$ :
\[
P_{\psi}=\frac{M}{k_{z}^{2}}(\omega+m \Omega) .
\]

Мы исследуем эти резонансы с помощью резонансной теории возмущений в п. 2.4в.

Поскольку $P_{\psi}$ является переменной действия, то для косой волны резонансы (2.2.71) неизбежны. Рассмотрим поэтому перпендикулярную волну ( $k_{z} \equiv 0$ ) в предположении, что условие резонанса (2.2.70) не выполнено. В этом случае, как будет показано ниже, при достаточно малом возмущении первичные резонансы отсутствуют. Из (2.2.34) и (2.2.67) находим
\[
-\omega \frac{\partial S_{1}}{\partial \psi}+\Omega \frac{\partial S_{1}}{\partial \varphi}=-e \Phi_{0} \sum_{m} \mathscr{F}_{m}\left(k_{\perp} \bar{\rho}\right) \sin (\psi-m \varphi),
\]

где $\bar{\rho}=\rho\left(\bar{P}_{\varphi}\right)$. Решение этого уравнения имеет вид
\[
S_{1}=-e \Phi_{0} \sum_{m} \mathcal{F}_{m}\left(k_{\perp} \bar{\rho}\right) \frac{\cos (\psi-m \varphi)}{\omega+m \Omega} .
\]

С помощью последнего выражения можно связать старые переменные действия $P_{\psi}, P_{\varphi}$ с новыми:
\[
\begin{array}{c}
P_{\psi}=\bar{P}_{\psi}+\varepsilon \frac{\partial S_{1}}{\partial \psi}= \\
=\bar{P}_{\psi}+\varepsilon e \Phi_{0} \sum_{m} \mathscr{F}_{m}\left(k_{\perp} \bar{\rho}\right) \frac{\sin (\psi-m \varphi)}{\omega+m \Omega} .
\end{array}
\]

Обращая, в первом порядке получаем
\[
\bar{P}_{\psi}=P_{\psi}-\varepsilon e \Phi_{0} \sum_{m} \mathscr{F}_{m}\left(k_{\perp} \rho\right) \frac{\sin (\psi-m \varphi)}{\omega+m \Omega}=\text { const. }
\]

Подобным же образом находим
\[
\bar{P}_{\varphi}=P_{\varphi}+\varepsilon e \Phi_{0} \sum_{m} m g_{m}\left(k_{\perp} \rho\right) \frac{\sin (\psi-m \varphi)}{\omega+m \Omega}=\text { const, }
\]

причем $\rho\left(P_{\varnothing}\right)$ определяется выражением (2.2.62).

Используя соотношение (2.2.76) и фиксируя одну из фазовых переменных, можно получить графики зависимости $P_{\varphi}$ от другой фазовой переменной для различных значений инварианта $\bar{P}_{\varphi}$. Тат кие инвариантные кривые эквивалентны картине на поверхности

Рис. 2.4. Инвариантные кривые на поверхности сечения $\varphi=\pi$ для случая нерезонансного взаимодействия частицы с волной при $k_{z}=0$ и $\omega / \Omega=$ $=-30,11$ (теория) (по данным работы [219]).
$a$ – малая амплитуда волны, резонансы отсутствуют; 6 – большая амплитуда волны, видны резонансы.

сечения Пуанкаре. На рис. 2.4, $a$ и б показаны кривые зависимости $k_{2} \rho\left(P_{\varphi}\right)$ от $\psi$ при $\varphi=\pi$, полученные Карни [219]. Хотя $\psi$ и $k_{-} \rho$ не являются канонически сопряженными переменными, тем не менее основные черты фазового пространства системы представлены правильно. Для сравнения на рис. $2.5, a$ и 6 показаны фазовые тра-

Рис. 2.5. То же, что и на рис. 2.4 (численное моделирование) (по данным работы [219]).
Крестиками отмечены начальные условия.
ектории, полученные Карни численно. Так как для невозмущенной системы $\omega=-30,11 \Omega$ и при малой амплитуде возмущения все инвариантные кривые лежат достаточно далеко от первичного резонанса, то аналитические и численные результаты хорошо согласуются. С ростом возмущения частота колебаний изменяется и система может попасть в резонанс. Однако производящая функция первого порядка, имеющая полюсы на невозмущенных резонанcax, остается при этом конечной и воспроизводит грубые черты поведеняя системы вблизи резонанса. Резонансы высших порядков таким методом найти нельзя; для этого требуется провести вычисления во втором порядке резонансной теории возмущений ( $\S 2.4$ ). Области хаотического движения вообще не описываются рассматриваемой теорией возмущений, однако их размер можно оценить, как это будет показано в гл. 4.