В области глобальной стохастичности, где не существует ограничивающих движение инвариантных поверхностей, полное описание динамики системы, как правило, невозможно. В этом случае, однако, можно использовать статистическое описание и исследовать эволюцию средних величин, а не отдельных траекторий [62, 424]. Такой подход лежит в основе статистической механики (см., например, [327]).

Методы статистического описания, обсуждаемые в этой главе, существенно опираются на ряд математических результатов, рассмотрение которых выходит за рамки этой монографии. Однако определенное представление об этих результатах все же необходимо. Математическая сторона дела изложена в книге Арнольда и Авеза [14[1). Мы же обсудим эти вопросы в более доступной форме (§5.2). Там же кратко затронуты вопросы «случайности в детерминированных системах» и влияния ошибок округления на результаты численного моделирования хаотического движения. В качестве физического введения в эту область можно рекомендовать обзоры Форда [133], Берри [26] и Хеллемана [180] 2).

Перечислим некоторые основные вопросы, возникающие при исследовании стохастичности в динамических системах. Қаким образом можно однозначно определить, что изолирующие интегралы движения отсутствуют? Қакие величины необходимы для описания стохастического движения? Насколько численное моделирование соответствует поведению реальной системы? При каких условиях можно ограничиться изучением диффузии только в пространстве действий? Какое влияние на диффузию оказывает внешний шум? $И$ наконец, как изменяются все эти свойства при увеличении числа степеней свободы?

В течение главным образом последнего десятилетия эти вопросы изучались рядом исследователей. Среди них Хенон и Хейлес, Заславский, Чириков с сотр., Фрёшле, Форд с сотр., Гальгани с сотр. и многие другие. В своей пионерской работе [188] по численному изучению стохастичности для двух связанных осцилляторов Хенон и Хейлес писали: «Проверка показала, что . . . в области,
1) См. также [486],– Прим. ред.
2) См. также $[340,444,481,488] .-$ Прим. ред.

заполненной [инвариантными] кривыми, расстояние [между близкими траекториями] растет медленно, приблизительно линейно [со временем], а … в эргодической области это расстояние возрастает быстро, приблизительно экспоненциально». Дальнейшие исследования подтвердили этот результат более строго, связав экспоненциальную расходимость траекторий с энтропией Колмогорова и характеристическими показателями Ляпунова. Вычисление этих характеристик движения стало стандартным методом проверки на стохастичность. Эти вопросы будут подробно рассмотрены в $§ 5.2$ и 5.3 .

Для многих задач важной характеристикой движения является функция распределения в пространстве переменных действия. Исследование эволюции распределения значительно упрощается, если ее описание удается свести к диффузионному уравнению. Такой подход использовался Либерманом и Лихтенбергом [274] и другими авторами и будет описан в $\S 5.4$.

Поправки к коэффициентам переноса, возникающие из-за нарушения приближения хаотических фаз, можно учесть с помощью представления Фурье (п. 5.4г). Воздействие внешнего шума на динамику системы рассмотрено в $\$ 5.5$.