Предложенный Ферми [126] механизм ускорения космических лучей за счет столкновения их с движущимися магнитными полями моделируется колебаниями частицы между неподвижной и осциллирующей стенками. Если фаза колебаний стенки в момент удара является случайной, то частица в среднем ускоряется. Более интересен вопрос: может ли стохастическое ускорение возникать из нелинейной динамики без дополнительного условия о случайности фазы, например, при периодическом движении стенки. Численное моделирование последнего случая, проведенное Уламом и сотр. [415], показало, что движение частицы является, по-видимому, стохастическим, но ее средняя энергия не возрастает.

Эти результаты Улама были объяснены с помощью аналитических и численных методов Заславским и Чириковым [443] и более полно Брахичем [38] и Либерманом и Лихтенбергом [274]. Они показали, что в случае гладкой зависимости скорости стенки от времени фазовая плоскость движения разбивается на три различные области: 1) область малых скоростей, в которой все неподвижные точки неустойчивы, что приводит к стохастическому движению практически во всей этой области; 2) область промежуточных скоростей, где внутри стохастической компоненты имеются островки устойчивости, окружающие эллиптические точки, и 3) область больших скоростей, в которой стохастические слои в окрестности сепаратрис изолированы друг от друга инвариантными кривыми, которые пересекают весь интервал изменения фазы. Именно последняя область и ограничивает набор энергии частицей. Если же зависимость скорости стенки от времени недостаточно гладкая, то области 3 не существует в согласии с теорией КАМ.

Модель ускорения Ферми явилась одной из первых задач по определению условий существования инвариантных кривых. В сочетании с простотой численного моделирования на «большие времена» она стала как бы пробным камнем в понимании динамики нелинейных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.

Важно поэтому выяснить, что в этой задаче типично для систем, близких к интегрируемым, а что зависит от модели. Ниже мы подробно исследуем ряд таких моделей.
*3.4а. Физические задачи и их модели
В литературе рассматривалось несколько моделей ускорения Ферми, которые приводят к различным отображениям на поверхности сечения Пуанкаре. Модель Улама показана на рис. 3.11, a. Точное

Рис. 3.11. Модели ускорения Ферми.
$a$ – модель улама: частица совершает колебания между неподвижной и осциллирующей стенками; 6 – модель Пустыльникова: частица отражается от осциллирующей стенки в поле тяжести с ускорением $g$.

отображение для этой модели исследовано Заславским и Чириковым [443] и Либерманом и Лихтенбергом [274] для пилообразной зависимости скорости стенки от времени $\dot{x}_{w}(t)$, Брахичем [38] для пилообразной и параболической функции $\dot{x}_{w}(t)$, а Лихтенбергом и др. [272] в случае произвольной скорости $\dot{x_{w}}(t)$. «Упрощенное» отображение для модели Улама, в котором пренебрегается смещением подвижной стенки, было введено Либерманом и Лихтенбергом [274] и исследовалось ими для произвольной скорости стенки ${ }^{1}$ ). Пустыльников [339] исследовал другую модель (рис. 3.11,б), в которой частица сталкивается только с одной осциллирующей стенкой и возвращается к ней в постоянном поле тяжести ${ }^{2}$ ). Здесь также можно ввести упрощенное отображение, которое приводится к стандартному отображению (см. п. 4.1б).
1) В случае пилообразной скорости такое отображение исследовано также в работе [443].- Прим. ред.
2) Эта модель была введена и исследована Заславским $[481, \S 26]$. Прим. ред.

Точное отображение Улама. В случае когда скорость подвижной стенки задается пилообразной функцией времени, Заславский и Чириков получили следующую систему точных разностных уравнений движения частицы:
\[
\begin{aligned}
u_{n+1} & = \pm u_{n}+\left(\psi_{n}-\frac{1}{2}\right), \\
\psi_{n+1} & =\frac{1}{2}-2 u_{n+1}+\left[\left(\frac{1}{2}-2 u_{n+1}\right)^{2}+\right. \\
& \left.+4 \varphi_{n} u_{n+1}\right]^{1 / 2}, \quad\left(u_{n+1}>\frac{1}{4} \psi_{n}\right), \\
\psi_{n+1} & =1-\psi_{n}+4 u_{n+1}, \quad\left(u_{n+1} \leqslant \frac{1}{4} \psi_{n}\right), \\
\varphi_{n} & =\psi_{n}+\frac{\psi_{n}\left(1-\psi_{n}\right)+l / 4 a}{4 u_{n+1}}, \quad \bmod 1 .
\end{aligned}
\]

Здесь $a$ – амплитуда колебаний стенки, $l$ – минимальное расстояние между стенками, $u_{n}$ – безразмерная скорость частицы (амплитуда скорости стенки равна 1/4), $n$ – число столкновений с подвижной стенкой, $\psi_{n}$ – фаза подвижной стенки в момент столкновения. Фаза $\psi$ изменяется от 0 до $1 / 2$ при движении стенки из положения $A$ в положение $B$ и от $1 / 2$ до 1 при обратном движении (см. рис. 3.11, a). Знак плюс в выражении (3.4.1а) соответствует соотношению (3.4.16) на предыдущем шаге, знак минус-соотношению (3.4.1в).

Хотя уравнения (3.4.1) и является точными, они не сохраняют фазовую площадь, т. е. переменные $u$ и $\psi$ оказываются неканоническими. Чтобы перейти к каноническим переменным, запишем, следуя Лихтенбергу и др. [272 ], разностные уравнения в переменных, относящихся к столкновениям частицы с неподвижной стенкой. Введем $\bar{u}_{n}=v_{n} / 2 \omega a$ – новую нормированную скорость частицы и $\theta_{n}$ – фазу подвижной стенки в момент $n$-го столкновения частицы с неподвижной стенкой. Будем считать, что движение подвижной стенки задается выражением $x_{w}=a F(\psi)$, где $F$ – четная периодическая функция фазы $\psi=\omega t$ с периодом $2 \pi$. Тогда получим следующую систему неявных уравнений, аналогичную (3.4.1):
\[
\begin{aligned}
\bar{u}_{n+1} & =\bar{u}_{n}-F^{\prime}\left(\psi_{c}\right), \\
\theta_{n+1} & =\psi_{c}+\frac{\left[\pi M+\frac{1}{2} F\left(\psi_{c}\right)\right]}{\bar{u}_{n+1}}, \\
\boldsymbol{\psi}_{c} & =\theta_{n}+\frac{\left[\pi M+\frac{1}{2} F\left(\psi_{c}\right)\right]}{\bar{u}_{n}} .
\end{aligned}
\]

Здесь $\psi_{c}$ – фаза подвижной стенки в момент столкновения с частицей после ее $n$-го столкновения с неподвижной стенкой, $M=$ $=l / 2 \pi a$, а $F^{\prime}$ – импульс, получаемый частицей при столкновении. Легко видеть, что скорость частицы $v$ является канонически сопряженной ее расстоянию $x$ до неподвижной стенки, а фаза $\theta$ играет роль переменной времени, сопряженной энергии частицы $E=\bar{u}^{2}$. Это означает, что если в расширенном фазовом пространстве $(v, x,-E, t)$ выбрать поверхность сечения $x=0$, то для оставшейся пары переменных ( $-E, \theta$ ) отображение (3.4.2) сохраняет площадь. В самом деле, найдя якобиан непосредственно из системы (3.4.2), получаем
\[
\frac{\partial\left(E_{n+1}, \theta_{n+1}\right)}{\partial\left(E_{n}, \theta_{n}\right)}=1 .
\]

Упрощенное отображение Улама. Система уравнений (3.4.1) существенно упрощается, если пренебречь смещением колеблющейся стенки. Такая упрощенная модель сохраняет наиболее характерные черты физически более реальной исходной модели и вместе с тем легко обобщается на случай произвольного закона скорости стенки. Мы проведем сравнение результатов численных экспериментов для точного и упрощенного отображений. Каноническими переменными упрощенного отображения являются скорость частицы перед $n$-м столкновением с движущейся стенкой и фаза колебаний стенки. При пилообразном законе изменения скорости стенки отображение имеет вид
\[
\begin{array}{c}
u_{n+1}=\left|u_{n}+\psi_{n}-\frac{1}{2}\right| \\
\psi_{n+1}=\psi_{n}+\frac{M}{u_{n+1}}, \quad \bmod 1 .
\end{array}
\]

Здесь $u=v / V$ – безразмерная скорость частицы, $V / 4$ – амплитуда скорости стенки, $M=l / 16 a$, безразмерное время пролета равно $M / u=2 l / v T$, где $T=(32 a / V)^{1 / 2}$ – период колебаний стенки. В выражении (3.4.4а) стоит абсолютная величина, тем самым учитывается изменение направления скорости при $u<1$, которое имеет место в точном отображении (3.4.1). В наиболее интересной области $u>1$ это несущественно.

Упрощенное отображение можно получить и непосредственно из точного (3.4.1) при $l / a \gg 1$ и $u \gg 1$. Упрощенные уравнения легко обобщаются на случай нелинейной зависимости $f(\psi)=$ $=-F^{\prime}(\psi)$ в (3.4.2). Например, отображение
\[
\begin{array}{c}
u_{n+1}=\left|u_{n}+\left(2 \psi_{n}-1\right)\left[1-\left(2 \psi_{n}-1\right)^{2}\right]\right|, \\
\psi_{n+1}=\psi_{n}+\frac{M}{u_{n+1}}, \quad \bmod 1
\end{array}
\]

соответствует кубической зависимости, а отображение
\[
\begin{array}{l}
u_{n+1}=\left|u_{n}+\sin \psi_{n}\right|, \\
\psi_{n+1}=\psi_{n}+\frac{2 \pi M}{u_{n+1}}
\end{array}
\]
– синусоидальной (аналитической) зависимости. В последнем случае интервал изменения фазы $\psi$ принят равным $2 \pi$, а не 1 . Все эти отображения сохраняют фазовую площадь. Нелинейные законы изменения скорости стенки являются фактически более регулярными, чем «линейный», в том смысле, что для первых функция $f(\psi)$ более гладкая в точке $\psi=0$. Қак отмечалось ранее, для существования инвариантных кривых, согласно теореме КАМ, необходимо, чтобы возмущение имело достаточное число непрерывных производных. В случае пилообразного закона изменения скорости стенки уже само возмущение (скорость) является разрывным, и поэтому можно думать, что в этом случае не существует инвариантных кривых, пересекающих весь интервал изменения фазы $\psi$. Мы увидим, что это и в самом деле так. Более того, по крайней мере для отображения Ферми мы сможем определить, сколько же непрерывных производных требуется для применимости теоремы КАМ.
*3.46. Численное моделирование
Современные быстродействующие ЭВМ позволяют получить сотни тысяч итераций рассмотренных выше отображений. Для исследования всей фазовой плоскости разобьем интервал фазы $(0,1)$ или $(0,2 \pi)$ на 100 ячеек, а интервал скорости ( $0, u_{\text {макс }}$ ) на 200 ячеек. На рис. 3.12 приведены численные результаты для упрощенного отображения (3.4.4) с $M=10$ после 163840 итераций для каждой из 10 траекторий, использованных в счете. На рисунке отмечены ячейки, в которые попала хотя бы одна из этих траекторий. В правой части рисунка показано распределение плотности $P(u)$, проинтегрированное по фазе и по всем итерациям. Начальные условия движения выбраны случайно в области малых скоростей частицы. При этом каждая траектория заполняет всю стохастическую компоненту движения, и конечное распределение на фазовой плоскости не зависит от начальных условий. Незаполненные траекториями островки устойчивости ограничены инвариантными кривыми, и поэтому частицы не могут попасть в них извне. Центрами островков являются эллиптические точки. Ниже мы покажем, что при $u<\frac{1}{2} M^{1 / 2}$ линеаризованное движение в окрестности всех неподвижных точек неустойчиво. Это видно и непосредственно из картины фазовой плоскости на рис. 3.12. Эллиптическая точка при $u=M$ соответствует резонансу $1: 1$ между колебаниями частицы и стенки. При меньших значениях скорости частицы $(M / u=2$,

$3,4, \ldots)$ расположены целые резонансы $2: 1,3: 1,4: 1, \ldots$, при которых стенка совершает соответственно два, три, четыре и т. д. колебания за время одного колебания частицы.

Рис. 3.12. Фазовая плоскость $(u, \psi)$ и функция распределения $P(u)$ для отображения (3.4.4) (по данным работы [274]).
10 траекторий по 163840 итераций; $M=10$. Пунктирная кривая рассчитана по резонансной теории возмущений.

Между этими целыми резонансами ( $k=1$ ) находятся дробные резонансы с $k>1$. Так, например, между целыми резонансами $M / u=1(u=10)$ и $M / u=2(u=5)$ расположен резонанс $M / u=$ $=3 / 2(u \approx 6,67)$, соответствующий трем колебаниям стенки на два колебания частицы (см. рис. 3.12). Этот резонанс отделен в свою очередь от целого резонанса другими резонансами с еще бо́льшими $k$. Число вращения дробных резонансов вблизи края целого резонанса приблизительно совпадает с числом вращения последнего вследствие линейной зависимости $f(\psi)$ в рассматриваемом случае (3.4.4). По этой же причине внутри целых резонансов нет вторичных резонансов, а траектории фазовых колебаний мало отличаются от эллипсов ${ }^{1}$ ).

Аналогичное численное моделирование было проведено как для отображения (3.4.6) (см. рис. 1.14), так и для отображения (3.4.5) (рис. 3.13). В последнем случае $M=10$, а число итераций каждой из 10 траекторий равно 81920 . Размер областей устойчивости при малых скоростях здесь существенно меньше, чем на рис. 3.12, из-за наличия вторичных резонансов. Помимо этого, существует

Рис. 3.13. То же, что и на рис. 3.12 для отображения (3.4.5) (по данным работы [274]).
10 траек торий по 81920 итераций.

верхняя ‘ граница скорости $u_{\text {, }}$ (граница стохастичности ${ }^{2}$ )), выше которой сохраняются невозмущенные инвариантные кривые, пересекающие весь интервал изменения фазы $\psi$. Кажущееся противоречие, что более устойчивое движение соответствует нелинейной функции $f(\psi)$, объясняется тем, что «линейная» зависимость $f(\psi)$ является на самом деле разрывной. Это и приводит к разрушению инвариантных кривых. Более важно, как показывают результаты численного моделирования отображения (3.4.5), что для существования инвариантных кривых необходимо и достаточно, чтобы гамильтониан (производящая функция) отображения имел две непре-
1) С этим же связана еще одна особенность отображения (3.4.3) – отсутствие гиперболических неподвижных точек ( $M>0$ ) вследствие разрыва функции $f(\psi)$ при $\psi=0(1)$.- Прим. ред.
2) В оригинале используется редко употребляемый термин absolute ba. rrier (абсолютный барьер).- Прим. перев.

рывные производные ( $S=2)^{1}$ ). Действительно, для отображения (3.4.5) производная $d f / d \psi$ непрерывна, а $d^{2} f / d \psi^{2}$ разрывна и гамильтониан
\[
H \sim \int f d \psi \text {. }
\]

Полученное значение $S=2$ на единицу меньше лучшей (достаточной) оценки Мозера [310] для произвольного отображения ${ }^{2}$ ).

Рис. 3.14. Фазовая плоскость отображения Улама с $M=-1,25$ и $v=2 u / M$ (по данным работы [38]).
Видна сложная структура регулярных траекторий,

На рис. 3.12 и 1.14 пунктиром показаны сепаратрисы резонансов, вычисленные из гамильтониана в п. $3.4 \mathrm{e}$. В первом случае сепаратриса имеет приближенно эллиптическую форму, тогда как на рис. 1.14 явно видна неустойчивость движения в окрестности
1) Это заключение противоречит оценке (3.2.30) и является спорным. Ограничение диффузии на рис. 3.13 объясняется, по-видимому, просто ее малой скоростью на резонансах высоких гармоник. Подобные эффекты наблюдались неоднократно и при меньших $S$ (см., например, [475, §4.1] и, $[482, \S 6]$, где обсуждается также возможный механизм этого явления).Прим. ред.
${ }^{2}$ ) См. примечание редактора на. с. 193.- Прим. ред.

сепаратрисы из-за образования вторичных резонансов. Некоторый перекос резонанса по сравнению с расчетным вызван пренебрежением поворотом главных осей (см. рис. $3.9, a$ ).

Хотя численные данные на рис. 3.12 и 3.13 хорошо представляют крупномасштабную структуру фазовой плоскости, они не отражают более мелкие детали этой структуры. Последние можно выявить, если проводить численное моделирование с бо́льшим количеством начальных условий. Именно такое исследование было выполнено Брахичем [38] для отображений с различными $f(\psi)$, а также для точного отображения (3.4.1). В последнем случае ${ }^{1}$ ) его результат для $M=1,25$ показан на рис. 3.14. При сравнении с рис. 3.12 следует учесть сдвиг фазы на $1 / 2$. На рис. 3.14 хорошо виден целый резонанс $k=1$ при $v=2,2$, а также дробные резонансы с $k=3$ и $k=2$, расположенные соответственно при бо́льших скоростях $v$. Вблизи целого резонанса имеется еще и резонанс с $k=6$, который деформирует сепаратрису первого. Резонанс $k=6$ связан с небольшой нелинейностью из-за смещения стенки и зависимости $1 / u$ для сдвига фазы. Наконец, в верхней части рис. 3.14 виден вторичный резонанс пятой гармоники, относящийся к целому первичному резонансу $k=1$. Последний похож на вторичные резонансы для отображения Хенона (см. рис. 3.6).
*3.4в. Периодические точки и их линейная устойчивость
Периодические точки. Рассмотрим периодические точки различных отображений для ускорения Ферми. Запишем упрощенное отображение в виде
\[
\begin{array}{l}
u_{j+1}=\left|u_{j}+f\left(\psi_{j}\right)\right|, \\
\psi_{j+1}=\psi_{j}+\frac{2 \pi M}{u_{i+1}} .
\end{array}
\]

Отметим несколько простых свойств этого отображения. Просуммировав уравнение (3.4.8a) по $k$ итерациям и принимая, что $u_{j}>f\left(\psi_{j}\right)$ при всех $j$, получим фазовое соотношение для любой группы периодических точек, лежащих на одной периодической траектории отображения
\[
\sum_{j=1}^{k} f\left(\psi_{i}\right)=0
\]

Взяв такую же сумму для уравнения (3.4.8б), получим «среднюю» скорость $\bar{u}_{k m}$ периодической точки периода $k$ :
\[
\bar{u}_{k m}=\frac{k M}{m},
\]
1) В работе [38] исследовалось несколько иное отображение, однако качественно сложная структура фазовой плоскости на рис. 3.14 характерна и для отображения (3.4.1).- Прим. ред.

где $m$-взаимно простое с $k$ целое число, а
\[
\bar{u}_{k m}^{-1}=k^{-1} \sum_{j=1}^{k} u_{i}^{-1} \text {. }
\]

Целое число $m$ нумерует периодические траектории с данным $k$. Разброс скорости каждой периодической точки $(k, m)$ лежит в пределах $\Delta u_{\text {макс }}=(k-1)|f|_{\text {макс }}$.

Қак видно из рис. 3.12-3.14, периодические точки, окруженные большими областями устойчивости, расположены при $u \gg 1$, где величина $\varepsilon=|f|_{\text {макс }} / \bar{u}_{k m}$ мала. Они соответствуют первичным резонансам и сохраняются даже в пределе $\varepsilon \rightarrow 0$. При $\varepsilon \equiv 0$ периодические точки $(k, m)$ имеют координаты: $\psi_{j}=\psi_{0}+2 \pi j m / k$; $u_{j}=k M / m ; j=1, \ldots, k ; \psi_{0}$ – любая величина. Значение $\psi_{0}$ становится, однако, определенным при малом, но конечном $\varepsilon$. Расположение неподвижных точек (периода $k=1$ ) для различных отображений приведено в табл. 3.1.

Таблица 3.1. Расположение и устойчивость неподвижных точек ( $k=1$ )

Линейная устойчивость. Теперь мы проведем подробный анализ устойчивости неподвижных точек, представленных в табл. 3.1. Начнем с отображения (3.4.4). Линеаризуя его в неподвижных точках $u_{1}=M / m ; \psi_{1}=1 / 2$, получаем
\[
\begin{array}{l}
\Delta u_{n+1}=\Delta u_{n}+\Delta \psi_{n}, \\
\Delta \psi_{n+1}=\Delta \psi_{n}-\frac{M}{u_{1}^{2}}\left(\Delta u_{n}+\Delta \psi_{n}\right) .
\end{array}
\]

Откуда для матрицы преобразования вектора $(\Delta u, \Delta \psi)$ имеем

При этом $\operatorname{det} \mathbf{A}=1$, как и должно быть в силу сохранения фазовой площади. Согласно (3.3.55), условие устойчивости имеет вид
\[
|\operatorname{Sp} \mathbf{A}|=\left|2-\frac{M}{u_{1}^{2}}\right|<2,
\]

или
\[
u_{1}>\frac{1}{2} M^{12} \text {. }
\]

При $u_{1}<\frac{1}{2} M^{1 / 2}$ величина $\mathrm{SpA}<-2$, что соответствует гиперболической точке с отражением. Именно такая неподвижная точка возникает, когда эллиптическая точка превращается в гиперболическую на границе устойчивости. Физический смысл такого превращения можно пояснить, вычислив угол поворота $\sigma$ вокруг неподвижной точки, определяемый выражением (3.3.54):
\[
\cos \sigma=\frac{1}{2} \mathrm{SpA} .
\]

На границе устойчивости $\cos \sigma=-1$ и, следовательно, сдвиг фазы $\sigma=\pi$. Это явление хорошо известно и детально исследовано в самых разных областях, как, например, распространение волн в периодических структурах [42] или движение частиц в ускорителях [94].

В качестве примера превращения эллиптических точек в гиперболические с отражением рассмотрим отображение (3.4.6). Все неподвижные точки с $\psi_{1}=\pi$ (и разными $m$ и $u_{1}$ ) являются гиперболическими (без отражения), так как для них $\mathrm{SpA}=2+$ $+2 \pi m^{2} / M>2$ при любом $m
eq 0$. Для неподвижных точек с $\psi_{1}=0$ величина $\mathrm{SpA}=2-2 \pi \mathrm{m}^{2} / M$. Поэтому те из них, для которых $m<(2 M / \pi)^{1 / 2}$, или
\[
u_{1}>\left(\frac{\pi M}{2}\right)^{1 / 2},
\]

оказываются эллиптическими (устойчивыми), а остальные – гиперболическими с отражением. При меньших скоростях все неподвижные точки становятся гиперболическими (неустойчивыми), а движение в их окрестности – стохастическим ${ }^{1}$ ). Как видно из табл. 3.1, условия устойчивости для разных отображений отличаются только численным множителем. Можно показать [274], что для отображения (3.4.6) условие устойчивости периодических точек периода $k=2$ имеет вид $u_{2}>(\pi M)^{1 / 2}$, т. е. граница устойчивости по скорости лежит выше, чем для неподвижных точек $(k=1)$.

Анализ устойчивости периодических точек с $k=3,4,5, \ldots$ становится все более и более трудным. Однако в случае упрощен-
1) Это не совсем точно, см. рис. 3.18.- Прим. ред.

ного отображения Либерману и Лихтенбергу [274] удалось получить выражение для критерия устойчивости при больших $k$. Они показали, что граница устойчивости по скорости $и$ лежит тем выше, чем больше величина $k$. Поэтому самая нижняя граница устойчивости для неподвижных точек ( $k=1$ ) определяет некоторый важный для динамики переход. Соответствующую граничную скорость будем обозначать $u_{s}$. Ниже этой границы нет устойчивых областей

Рис. 3.15. Положение границы стохастичности $u_{b}$ (черные кружки) и границы устойчивости $u_{s}$ (светлые кружки) в зависимости от $M$ для отображения (3.4.6) (по численным данным работы [274]).

первичных резонансов. Поэтому стохастические траектории заполняют всю эту область фазовой плоскости, за исключением небольших островков устойчивости вторичного происхождения (см. п. 3.4г), которые появляются, вообще говоря, лишь в узких интервалах значений параметра $M$. Сравнение теоретической границы устойчивости $u_{s}$ с численными данными для отображения (3.4.6) в широком диапазоне значений $M$ проведено на рис. 3.15. Дана также граница стохастичности $u_{b}$, соответствующая первой снизу инвариантной кривой ${ }^{1}$ ).
1) Как сейчас известно (см. [70], $\S 5.1$ и гл. 4 ниже), граница стохастичности $u_{b} \approx 2 u_{s}$ при $M \gg 1$, что не противоречит численным данным на рис. 3.15. По поводу отклонений при $M \sim 10 \mathrm{~cm}$. $[70, \S 6.2]$ и конец п. 4.26.Прим, ред.

* 3.4г. Бифуркации

Рассмотрим теперь более подробно, как изменяется характер движения в окрестности эллиптической точки при ее превращении в гиперболическую. На рис. 3.16 показан результат 100000 итераций отображения (3.4.6) при $M=14$. Для неподвижной точки $u_{1}=14 / 3, \psi_{1}=0$ значение $u_{s}=4,68947>u_{1}$. Поэтому следует ожидать, что эта неподвижная точка должна быть неустойчивой. Она действительно оказывается гиперболической точкой с отражением, но соседние траектории не соединяются с основной стохастической компонентой движения. Последняя отделена от гиперболической точки вместе со стохастическим стоем ее сепаратрисы замкнутыми инвариантными кривыми, которые имеют форму «гантели» (см.

Рис. 3.16. Фазовая плоскость $(u, \psi)$ для отображения (3.4.6) при $M=14$.
Внутри самого нижнего островка устойчнвости произошла бифуркация неподвижной точки (см. рис. 3.18).
Рис. 3.17. Линии неподвижных точек для инволюций отображения (3.4.6) при $M=14$.

рис. 3.18). При этом внутри сепаратрисы имеются две периодические точки периода 2 , которых не было при $u_{s}<u_{1}$. Топология фазовой плоскости на этом малом масштабе в какой-то степени похожа, хотя и не полностью, на глобальную топологию, в которой инвариантные кривые окружают отдельные периодические точки или изолируют друг от друга сепаратрисы.

Чтобы найти положение только что описанных периодических точек периода 2 , запишем отображение (3.4.6) в виде произведения двух инволюций $I_{1}$ и $I_{2}$, как это было сделано в п. 3.3б. Линии неподвижных точек инволюций $I_{1}$ и $I_{2}$ определяются выражениями (3.3.38) и (3.3.39) и показаны на рис. 3.17. В частности, неподвижные точки $I_{2}$ определяются выражением
\[
u=\frac{\pi M}{(\psi+\pi m)} .
\]

Используем теперь результат п. 3.2б, устанавливающий связь между неподвижными точками с периодом $k=2$ и $k=1$. Если обозначить
\[
x=\left(\frac{\pi M}{\psi+\pi m}, \psi\right),
\]

то
\[
T \boldsymbol{x}=(\bar{u}, \bar{\psi})
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\bar{u}=\frac{\pi M}{(\psi+\pi m)}+\sin \psi, \\
\bar{\psi}=\psi+\frac{2 \pi M}{\bar{u}}-2 \pi m .
\end{array}
\]

Чтобы и точка ( $\bar{u}, \bar{\psi})$ была неподвижной точкой инволюции $I_{2}$, необходимо выполнение соотношения
\[
\frac{2 \psi}{(\pi m)^{2}-\psi^{2}}=\frac{1}{\pi M} \sin \psi .
\]

При $\quad M=14, m=3$, полагая $\sin \psi \approx \psi-\psi^{3} / 6$, получим $\psi=$ $= \pm 0,23351$, а $u$ определяется выражением (3.4.19). Эти периодические точки показаны на рис. 3.18 вместе с сепаратрисой, которая имеет форму восьмерки и принадлежит неустойчивой неподвижной точке.

Что же произойдет при дальнейшем уменьшении величины $M$, а вместе с ней и $u_{1}$ ? Для выяснения этого вопроса заметим, что для $и$ в уравнении (3.4.6a) вблизи кривой $I_{2}$ можно использовать выражение (3.4.19). В результате получаем одномерное отображение

\[
u_{n+1} \approx u_{n}+\sin \pi\left(\frac{M}{u_{n}}-m\right) .
\]

Такие отображения естественно возникают при изучении диссипативных систем и подробно описаны в $\S 7.2$. Мы покажем там, что с уменьшением $M$ происходит целый каскад последовательных би-

ис. 3.18. То же, что на рис. 3.16 внутри устойчивости области.
Светлые кружки – устойчивые точки периода 2 ; треугольник – неустойчивая неподвижная точка с сепаратрисой (сплошная кривая). Цифры показывают последовательность движения по сепаратрисе (ср. рис. 3.10, б).

фуркаций устойчивых периодических точек с периодами $2 \rightarrow 4 \rightarrow$ $\rightarrow 8 \rightarrow 16$ и т. д. Этот процесс продолжается, пока $M$ не достигнет некоторого предельного значения, ниже которого все траектории становятся неустойчивыми. В работе Лихтенберга и др. [72] подробно описано поведение периодических точек $k=2$ с изменением $M$, включая бифуркацию $2 \rightarrow 4$. Общая теория бифуркаций гамильтоновых систем обсуждается в дополнении Б.
* 3.4д. Уравнения Гамильтона

Подобно тому как непрерывное движение динамической системы можно описать разностными уравнениями на поверхности сечения Пуанкаре, физическую задачу, сформулированную в виде отображения, можно представить в форме уравнений Гамильтона. Это позволяет использовать методы усреднения и резонансной теории возмущений, рассмотренные в гл. 2. Қак показано в п. 3.1в, разностные уравнения можно преобразовать в дифференциальные с помощью периодической $\delta$-функции (3.1.33). В случае отображения (3.4.6) получаем
\[
\begin{array}{c}
\frac{d u}{d n}=\sum_{l=-\infty}^{\infty} \exp (i 2 \pi n l) \sin \psi, \\
\frac{d \psi}{d n}=\frac{2 \pi M}{u},
\end{array}
\]

где $n$ играет роль непрерывной переменной времени. Уравнения (3.4.24) имеют гамильтониан
\[
H=2 \pi M \ln u+\sum \exp (i 2 \pi n l) \cos \psi,
\]

где $u$ и $\psi$ – канонические переменные. колебаний частицы $2 \pi$ велика по сравнению с $\dot{\psi}$, т. е.
\[
\left(\psi_{n+1}-\psi_{n}\right) / 2 \pi \ll 1 .
\]

В этом случае, как описано в п. 2.4 а, гамильтониан (3.4.25) можно усреднить по $n$ и получить интеграл движения $2 \pi M \ln u+$ $+\cos \psi=C$. Однако область столь больших скоростей не представляет особого интереса. Вместо этого введем новые переменные, как в резонансной теории возмущений (§2.4):
\[
\Delta \tilde{u}=u-M / m, \tilde{\varphi}=\psi-2 \pi m n,
\]

где $m$ – целое число. При условии $\Delta \tilde{u} \ll u_{1}$, система уравнений (3.4.24) принимает вид
\[
\begin{aligned}
\frac{d(\Delta \tilde{u})}{d n} & =\sum_{l} \exp (i 2 \pi n l) \sin \tilde{\varphi}, \\
\frac{d \tilde{\varphi}}{d n} & =-\frac{2 \pi M}{u_{1}^{2}} \Delta \tilde{u}
\end{aligned}
\]

с гамильтонианом
\[
\Delta \tilde{H}=-\frac{2 \pi M}{u_{1}^{2}} \frac{(\Delta \tilde{u})^{2}}{2}+\sum_{l} \exp (i 2 \pi n l) \cos \tilde{\varphi} .
\]

Но это как раз и есть гамильтониан фазовых колебаний (п. 2.4а) с учетом высокочастотных членов. Если движение в плоскости $(\Delta \tilde{u}, \tilde{\varphi})$ считать медленным, т. е. если
\[
\left(\tilde{\varphi}_{n+1}-\tilde{\varphi}_{n}\right) \ll 2 \pi,
\]

то (3.4.29) можно усреднить по $n$. В результате получаем усредненный гамильтониан
\[
\Delta \bar{H}=-\frac{2 \pi M}{u_{1}^{2}} \frac{(\Delta \tilde{u})^{2}}{2}+\cos \tilde{\varphi}=C,
\]

описывающий движение в окрестности неподвижных точек $\tilde{\varphi}=0$; $\pi$ и $\Delta \tilde{u}=0$. Максимум $\Delta \tilde{u}$ соответствует сепаратрисе $(C=+1$ ) и равен [ср. (2.4.31)]:
\[
(\Delta \tilde{u})_{\text {макс }}=2 u_{1}(2 \pi M)^{-1 / 2} .
\]

На рис. 3.12 и 1.14 инвариантные кривые системы (3.4.31), показанные пунктиром, сравниваются с результатами численного моделирования. Отношение частоты малых фазовых колебаний [ср. (2.4.3.0)]
\[
\tilde{\omega}_{1}=\frac{(2 \pi M)^{1 / 2}}{u_{1}}
\]

к частоте колебаний частицы $2 \pi M / u_{1}$ определяет гармонику вторичных резонансов. Мы отложим эти вычисления, связанные с переходом к стохастическому движению, до гл. 4.