Как упоминалось во введении, появление квантовой механики дало новый мощный импульс для развития классической теории возмущений [34 ]. С другой стороны, современные успехи в понимании поведения классических динамических систем возродили интерес к изучению квантовых систем в квазиклассическом приближении $\hbar \rightarrow 0$. Особенно важно установить соответствие между классиче-
1) См. работу [555 ].- Прим. перев.

скими решениями (фазовые траектории) и квантовыми решениями (волновые функции). Квантовую формулировку задачи можно получить из классической ${ }^{1}$ ), однако квантовомеханическое решение не следует непосредственно из классического. Неизвестно какоелибо общее соответствие между обоими решениями, за исключением полностью интегрируемых систем ${ }^{2}$ ). В последнем случае движение по каждой из $N$ степеней свободы является независимым как в классической, так и в квантовой формулировке и правила квазиклассического квантования ${ }^{3}$ ) хорошо известны (см., например, [226, 329 ]). Каждая из $N$ переменных действия принимает дискретные значения $I=(\boldsymbol{n}+\boldsymbol{\alpha} / 4) \hbar$, где $\boldsymbol{n}$ и $\boldsymbol{\alpha}$ – целочисленные векторы квантовых чисел и индексов Маслова соответственно. Қвантовые уровни энергии $E_{n}=H\left(I_{n}\right)$ могут совпадать и пересекаться при изменении параметров системы. Квазиклассическая волновая функция имеет каустики в конфигурационном пространстве, соответствующие точкам поворота классического движения.

Для близких к интегрируемым классических систем, в которых регулярные и стохастические траектории сосуществуют в сколь угодно малых масштабах, квантовые аналоги не ясны. Некоторое понимание достигнуто в отношении квантования классических систем с полностью стохастическим поведением ( $K$-систем). Примерами являются отображение Арнольда [27] и бильярд Синая, в частности «стадион», образованный двумя параллельными прямыми, замкнутыми полуокружностями [59, 287]. Берри [24, 25] и Заславский [440] предположили, что уровни энергии стохастической системы должны отталкиваться, так что распределение расстояний между ними имеет максимум при некотором конечном значении, а не в нуле, как для интегрируемой системы ${ }^{4}$ ). Отталкивание наблюдалось в численном моделировании для бильярда Синая и стадиона $[27,28,59,80,287]$ и иногда принимается в качестве определения квантовой стохастичности.

Ситуация с близкими к интегрируемым системами не так ясна. Считается, что классическая иерархия резонансов с их стохастическими слоями и инвариантными торами «замазывается» при любом конечном $\hbar$. Қвантовое фазовое пространство оказывается,
1) По-видимому, имеется в виду переход от классических величин к квантовым операторам.- Прим. ред.
${ }^{2}$ ) Это не совсем так, см., например, работу [556].- Прим. рдд.
3) В оригинале редко употребляемый термин – квантование по Эйнштейну-Бриллюэну-Келлеру [329]; общепринятое наэвание – правило квантования Бора-Зоммерфельда (см., например, книгу [557]).- Прим. ред.
4) В указанных работах Берри этот вопрос не рассматривался; по-видимому, имеется в виду статья [28]. В работе Заславского [440] (см. также работу [442]) сделана попытка связать хорошо известное явление отталкивания уровней сложных атомов и ядер (см., например, книгу [558]) є динамическими характеристиками системы (обсуждение см. в работе [28]). – Прим. ред.

таким образом, «крупноструктурным», так что можно пренебречь почти всеми классическими областями (регулярными и стохастическими), размер которых много меньше $\hbar$ [329]. При этом квантовое поведение может быть регулярным, даже если соответствующая классическая система стохастична. Это подтверждается численными экспериментами Қазати и др. [56] для квантового стандартного отображения и Маркуса [294] для квантовой задачи Хенона и Хейлеса. Последний четко показал, что нестохастические квантовомеханические состояния имеют место при таких значениях энергии, для которых классическое движение является существенно стохастическим; он же дал обзор результатов применения обсуждаемых методов в молекулярной динамике. Еще одним следствием крупноструктурности является то, что при конечном $\hbar$ инвариантные торы оказываются неизолирующими. Отт и др. [325] продемонстрировали дифракцию волновой функции из классически регулярной области в стохастическую. Другие исследования обсуждаемой проблемы представлены в работах Бермана и Заславского [21], Чирикова и др. [77 ], Шепелянского [370], а также в трудах конференции [58]. Обзор этого направления дан Заславским [442 [¹).