Некоторые топологические соображения помогают наглядно представить, а затем и понять многомерное движение. Они естественно приводят к разностным уравнениям, т. е. к отображению динамической траектории системы на некоторое подпространство ее фазового пространства. В случае двух степеней свободы такие отображения дают простую и наглядную картину движения. Более того, использование отображений — обычно наиболее удобный путь проведения как аналитических и численных расчетов стохастического движения, так и математических доказательств существования различных типов траекторий. Вместе с тем регулярное движение, как мы видели в гл. 2, часто бывает удобно описывать дифференциальными уравнениями. Переход от дифференциальных уравнений (Гамильтона) к отображениям и обратно широко используется при анализе движения большинства нелинейных динамических систем.
Мы рассмотрим три случая возникновения отображений:
a) непосредственно из физической постановки задачи, например, для модели ускорения Ферми, которая обсуждалась в гл. 1 и подробно рассмотрена в § 3.4;
б) как результат последовательных пересечений динамической траектории с некоторой поверх ностью ${}^1$ ), например, в задаче Хенона — Хейлеса (гл. 1);
в) как результат аппроксимации движения, справедливой на некотором ограниченном интервале времени или только в некоторой области фазового пространства, например, в задаче о движении в окрестности сепаратрисы маятника под действием периодического возмущения ( $\mathrm{\$}3.5$ ).

В этой главе мы рассмотрим канонические отображения для связанных нелинейных осцилляторов с произвольным числом $N$ степеней свободы, но особенно подробно для $N=2$.

В § 3.1 устанавливается связь между гамильтоновыми системами и каноническими отображениями путем использования метода сечения Пуанкаре в фазовом пространстве. На примере отображения поворота показывается, как построить отображение по
1) Так называемый метод сечения Пуанкаре (см. п. 1.2б).- Прим. ред.

данному гамильтониану и как по отображению восстановить гамильтониан. Эти результаты применимы, вообще говоря, к системам как с двумя, так и с бо́льшим числом степеней свободы.

B § 3.2 обсуждаются строгие математические результаты, касающиеся важных особенностей поведения системы, включая теорему КАМ, которая устанавливает устойчивость квазипериодических колебаний под действием достаточно малого возмущения. Проанализированы условия «умеренной» нелинейности, которая необходима для теоретического анализа регулярного движения. На основании теоремы Пуанкаре—Биркгофа о неподвижной точке рассматривается структура фазового пространства вблизи устойчивых и неустойчивых периодических траекторий, в том числе и стохастические слои. Излагая математические результаты, мы не стремимся к строгости. Читателям, интересующимся математическими аспектами теории, следует обратиться к обзорам Арнольда и Авеза [14] и Мозера [310], в которых приведены многие математические доказательства.

В § 3.3 мы рассмотрим линеаризованное движение и его устойчивость в окрестности неподвижных точек. Для иллюстрации применения этих методов к системам с двумя степенями свободы в $\mathrm{\S }3.4$ рассматривается модель ускорения Ферми, описываемая с помощью отображения. Неподвижные точки (периодические решения) и их устойчивость исследуются аналитически и сравниваются с численными результатами. Получена также гамильтонова форма отображения. Наконец, в § 3.5 рассматривается задача о движении маятника под действием периодического возмущения в окрестности сепаратрисы. Производится переход от уравнений Гамильтона котображению и рассмотрен характер линеаризованного движения. Такой подход был использован Чириковым [70] при анализе перехода от регулярного к стохастическому движению. Этот метод будет изложен в гл. 4. Он применяется также при оценке скорости диффузии Арнольда в гл. 6.