* 3.1a. Интегрируемые системы

Рассмотрим осциллятор с двумя степенями свободы, гамильтониан которого $H$ не зависит от времени. Так как система предполагается интегрируемой, то можно ввести переменные действие – угол (см. п. 1.2 в) и
\[
H\left(J_{1}, J_{2}\right)=E,
\]

где $E$ – сохраняющаяся энергия системы, а $J_{1}, J_{2}$ – интегралы движения. Сохранение энергии позволяет уменьшить размерность области движения в фазовом пространстве с четырех до трех. Сохранение любой из переменных действия позволяет привести эту область к двумерной поверхности в трехмерном пространстве постоянной энергии. Движение по этой поверхности можно параметризовать с помощью частот, соответствующих каждой из двух степеней свободы:
\[
\theta_{1}=\omega_{1} t+\theta_{10}, \quad \theta_{2}=\omega_{2} t+\theta_{20},
\]

где угловые переменные определены по модулю $2 \pi$.

Рис. 3.1. Интегрируемая система с двумя степенями свободы.
$a$ – движение на торе $J_{1}=$ const, $J_{2}=$ const; 6 – повер хность сечения Пуанкаре $\theta_{2}=$ $=$ const, треугольники и кружки – две периодические траекторин ( $s=6$ ) с разными начальнымн условиями. Сп. периодической траектории.

Движение на торе. Движение описанной системы удобно представить как движение на торе в фазовом пространстве. Такое представление можно обобщить и на системы с бо́льшим числом степеней свободы. Зададим некоторую энергию $E$ и рассмотрим одну из двух степеней свободы, скажем первую. Тогда $J_{1}$ параметризует инвариантные поверхности, т. е. задает «радиусы окружностей», а угол $\theta_{1}$ характеризует положение системы на окружности. Для полного описания необходимо учесть угол $\theta_{2}$, так что инвариантная поверхность оказывается тором, как показано на рис. 3.1, $a$. Задание $J_{1}$ и $E$ определяет также $J_{2}$, а вместе с ним и отношение
\[
\alpha=\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}},
\]

поскольку $\omega_{1}=\omega_{1}(\boldsymbol{J})$ и $\omega_{2}=\omega_{2}(\boldsymbol{J})$. При $\alpha=r^{\prime}$ s, где $r, s-$ взаимно простые целые числа, частоты соизмеримы, и движение на торе вырождается в периодическую траекторию, которая замыкается после $r$ оборотов по $\theta_{1}$ и $s$ оборотов по $\theta_{2}$. В общем случае $\alpha$– иррациональное число, и траектория покрывает всю поверхность тора. Поскольку $r$ и $s$ могут быть очень большими, периодические траектории расположены в фазовом пространстве всюду плотно.

Представление о движении на торе особенно полезно, потому что его можно обобщить и на системы с более чем двумя степенями свободы. Сохранение каждой из переменных действия уменьшает размерность инвариантной поверхности на единицу. Так, если у системы с $N$ степенями свободы в $2 N$-мерном фазовом пространстве все $N$ переменных действия сохраняются, движение происходит по $N$-мерной поверхности, или многообразию, и описывается $N$ угловыми переменными. Топологически эта поверхность является $N$-мерным тором, т. е. по аналогии с рис. $3.1, a \quad N$ фазовых переменных взаимно ортогональны и определены по модулю $2 \pi$, а положение поверхности задается переменными действия.

Важным следствием этих представлений является то, что в произвольных канонических переменных
\[
p=p(J, \theta), \quad q=q(J, \theta)
\]

движение интегрируемой системы можно записать в виде
\[
\begin{array}{l}
p(t)=\sum_{m} p_{m}(\boldsymbol{J}) e^{i(m \cdot \omega t+m \cdot \beta)}, \\
q(t)=\sum_{m} q_{m}(\boldsymbol{J}) e^{i(m \cdot \omega t+m \cdot \beta)},
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{m}$ – целочисленный, а $\boldsymbol{\beta}$ – постоянный $N$-мерные векторы. Уравнения (3.1.5) следуют из фурье-разложения по угловым переменным и в общем случае описывают квазипериодические колебания $\boldsymbol{p}$ и $\boldsymbol{q}$.
Для получения периодического решения положим ${ }^{1}$ )
\[
\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{\omega}=0 .
\]

Так как вектор $\boldsymbol{m}$ имеет целочисленные компоненты, то отношение частот $\omega_{i}$ является рациональным числом, т .е. $\omega_{i}=n_{i} \omega_{0}$, где це-
1) Имеется в виду, что $N=2 .-$ Прим. ред.

лые числа $n_{i}$ не имеют общего множителя. Траектория замыкается через период
\[
T=\frac{2 \pi}{\omega_{0}}: \frac{2 \pi n_{i}}{\omega_{i}},
\]

где $n_{i}$ – число оборотов по $i$-й степени свободы с частотой $\omega_{i}$.
Отображение поворота. При изучении фазовых траекторий, особенно в случае двух степеней свободы, удобно использовать метод сечения Пуанкаре, подробно описанный в п. 1.2б. Для гамильтониана (3.1.1) в качестве поверхности сечения можно выбрать либо плоскость $\left(J_{1}, \theta_{1}\right)\left(\theta_{2}=\right.$ const $)$, либо плоскость $\left(J_{2}, \theta_{2}\right)\left(\theta_{1}=\right.$ const $)$. В первом случае последовательные пересечения с плоскостью $\left(J_{1}, \theta_{1}\right)$ отделены друг от друга интервалом времени $\Delta t=2 \pi / \omega_{2}$, причем $J_{1}=$ const (см. рис. 3.1, a). За это время $\theta_{1}$ увеличивается на $\omega_{1} \Delta t=2 \pi \alpha\left(J_{1}\right)$, где $\alpha$ – число вращения. Так как $J_{2}=$ $=J_{2}\left(J_{1}, E\right)$, то при заданном $E$ величину $\alpha$ можно считать функцией только $J_{1}$. Опуская для упрощения записи индекс 1 , получаем уравнения, описывающие переход от $n$-го к $(n+1)$-му пересечению:
\[
\begin{array}{l}
J_{n+1}=J_{n}, \\
\theta_{n+\mathbf{1}}=\theta_{n}+2 \pi \alpha\left(J_{n+1}\right),
\end{array}
\]

где для дальнейшего мы записали $\alpha$ как функцию $J_{n+1}$, а не $J_{n}$. Отображение (3.1.8) называется отображением поворота ${ }^{1}$ ). При таком отображении окружности переходят в себя, но число вращения зависит, вообще говоря, от радиуса окружности. При иррациональном $\alpha$ любая траектория равномерно заполняет окружность при $n \rightarrow \infty$. При рациональном $\alpha=r / s$, где $r$ и $s$ – взаимно простые числа, получаются периодические траектории с периодом $s$ итераций. Две такие траектории с $s=6$ показаны на рис. 3.1, б.

Отображение поворота не обязательно записывать в переменных действие – угол. Например, уравнения
\[
\begin{array}{l}
x_{n+1}=x_{n} \cos \psi-y_{n} \sin \psi, \\
y_{n+1}=x_{n} \sin \psi+y_{n} \cos \psi,
\end{array}
\]

где $\psi$ – параметр, определяют линейное отображение поворота. Возмущение этого отображения будет описано в п. 3.2г.

Қак отмечалось в п. 1.2б, двумерное отображение поворота должно сохранять площадь:
\[
\frac{\partial\left(J_{n+1}, \theta_{n+1}\right)}{\partial\left(J_{n}, \theta_{n}\right)} \equiv\left[\theta_{n+1}, J_{n+1}\right]=1 .
\]

Аналогичное соотношение выполняется и для (3.1.9).
1) В оригинале -twist mapping (закручивающее отображение).- Прим. nepeв.

Эти результаты обобщаются и на интегрируемые системы с $N$ степенями свободы $\left(H=\right.$ const). Выбирая, скажем, $Q_{N}=$ const в качестве поверхности сечения, получаем отображение поворота для $N-1$ оставшихся пар переменных действие – угол:
\[
\begin{array}{l}
J_{n+1}=J_{n}, \\
\theta_{n+1}=\theta_{n}+2 \pi \alpha\left(J_{n+1}\right),
\end{array}
\]

где $\alpha_{i}=\omega_{i} / \omega_{N}$ – число вращения для $i$-й пары. Условия на скобки Пуассона, эквивалентные сохранению площади двумерного отображения, очевидно выполняются.
* 3.1б. Системы, близкие к интегрируемым

Отображения, сохраняющие площадь. Рассмотрим малое возмущение интегрируемой системы с двумя степенями свободы. При этом гамильтониан зависит от угловых переменных
\[
H(\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta})=H_{0}(\boldsymbol{J})+\varepsilon H_{1}(\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta}) .
\]

На поверхности сечения $\theta_{2}=$ const $(\bmod 2 \pi)$ отображение поворота (3.1.8) перейдет теперь в возмущенное отображение поворота
\[
\begin{array}{l}
J_{n+1}=J_{n}+\varepsilon f\left(J_{n+1}, \theta_{n}\right), \\
\theta_{n+1}=\theta_{n}+2 \pi \alpha\left(J_{n+1}\right)+\operatorname{eg}\left(J_{n+1}, \theta_{n}\right),
\end{array}
\]

где $f$ и $g-$ периодические функции $\theta$. Так как это отображение получается из гамильтоновых уравнений, оно должно сохранять площадь. Мы выбрали функции $f$ и $g$ зависящими от $J_{n+1}$, а не от $J_{n}$, так что сохранение площади принимает особенно простую форму. В самом деле, соотношения (3.1.13) можно получить из производящей функции
\[
F_{2}=J_{n+1} \theta_{n}+2 \pi \mathscr{A}\left(J_{n+1}\right)+\varepsilon \mathscr{G}\left(J_{n+1}, \theta_{n}\right),
\]

причем
\[
\begin{array}{c}
\alpha=d \mathscr{A} / d J_{n+1}, \\
f=-\partial \mathscr{Y} / \partial \theta_{n}, \\
g=\partial \mathscr{G} / \partial J_{n+1},
\end{array}
\]

откуда
\[
\frac{\partial f}{\partial J_{n+1}}+\frac{\partial g}{\partial \theta_{n}}=0,
\]

и площадь сохраняется. Метод преобразований Ли ([108], см. также § 2.5) позволяет получить отображения, в которых $J_{n+1}$ и $\theta_{n+1}$ явно выражаются через $J_{n}$ и $\theta_{n}$. Однако они неудобны для наших целей.

Если $f$ зависит от $J_{n+1}$, то $J_{n+1}$ зависит от $J_{n}$ неявно [см. (3.1.13a)]. Численно величину $J_{n+1}$ легко найти, используя метод
касательных Ньютона или метод последовательных приближений, в котором новое приближение $J_{n+1}^{(i)}$ находится путем подстановки предыдущего $J_{n+1}^{i-1}$ в функцию $f$. Оба метода обеспечивают быструю сходимость (см. § 2.6) ${ }^{1}$ ).

Во многих интересных случаях $f$ не зависит от $J$ и $g \equiv 0$. Тогда (3.1.13) принимают вид явного отображения поворота ${ }^{2}$ ):
\[
\begin{array}{l}
J_{n+1}=J_{n}+\varepsilon f\left(\theta_{n}\right), \\
\theta_{+\mathbf{1}}=\theta_{n}+2 \pi \alpha\left(J_{n+1}\right) .
\end{array}
\]

В дальнейшем мы подробно рассмотрим два таких отображения: упрощенное отображение Улама ( $\$ 3.4$ ) и сепаратрисное отображе: ние (§ 3.5).

Если линеаризовать (3.1.17б) в окрестности неподвижной точки $J_{n+1}=J_{n}=J_{0}$, для которой $\alpha\left(J_{0}\right)$ – целое число, то
\[
J_{n}=J_{0}+\Delta J_{n} \text {. }
\]

Вводя новую переменную действия
\[
I_{n}=2 \pi \alpha^{\prime} \Delta J_{n},
\]

приходим к обобщенному стандартному отображению
\[
\begin{array}{l}
I_{n+1}=I_{n}+K f^{*}\left(\theta_{n}\right), \\
\theta_{n+1}=\theta_{n}+I_{n+1}, \bmod 2 \pi .
\end{array}
\]

Здесь
\[
K=2 \pi \alpha^{\prime} \varepsilon f_{\text {макс }}
\]
– параметр стохастичности, а $f^{*}=f^{\prime} f_{\text {макс }}$ – приведенное изменение переменной действия, нормированное на единицу. Таким образом, обобщенное стандартное отображение локально (по $J$ ) и эквивалентно произвольному возмущенному отображению поворота. В случае $f^{*}=\sin \theta_{n}$ оно переходит в стандартное отображение (известное также, как отображение Чирикова – Тейлора)
\[
\begin{array}{l}
I_{n+1}=I+K \sin \theta_{n}, \\
\theta_{n+1}=\theta_{n}+I_{n+\mathbf{1}} .
\end{array}
\]

Отображение (3.1.22) использовалось Чириковым [70] и Грином [165] для оценки перехода от регулярного движения к хаотическому. Эти вопросы рассмотрены в гл. 4.

Достаточно симметричные отображения можно представить в виде произведения более простых отображений. Представление явного отображения поворота как произведения двух инволюций и ис-
1) Обсуждение важного вопроса о существовании и единственности решения для неявного отображения, а также условий сходимости последовательных приближений содержится в работе [474].- Прим. ред.
2) В оригинале – radial twist mapping (радиальное закручивающее отображение).- Прим. перев.

пользование такого представления для нахождения неподвижных точек описано в п. 3.36 и 3.4 г.

Обобщение возмущенного отображения поворота на случай большего числа степеней свободы при $H=$ const получается с помощью производящей функции
\[
F_{2}=\boldsymbol{J}_{n+1} \cdot \boldsymbol{\theta}_{n}+2 \pi \mathscr{A}\left(\boldsymbol{J}_{n+1}\right)+\varepsilon \mathscr{G}\left(\boldsymbol{J}_{n+1}, \boldsymbol{\theta}_{n}\right) .
\]

Отсюда находим ( $N-1$ ) пару канонических (по построению из $F_{2}$ ) отображений
\[
\begin{array}{l}
J_{n+1}=J_{n}+\varepsilon f\left(J_{n+1}, \theta_{n}\right), \\
\boldsymbol{\theta}_{n+1}=\theta_{n}+2 \pi \alpha\left(J_{n+1}\right)+\varepsilon g\left(J_{n+1}, \theta_{n}\right) .
\end{array}
\]

Ести $\mathscr{G}$ не зависит от $J_{n+1}$, получается ( $2 N-2$ )-мерное явное отображение поворота. Примером такого отображения могут служить разностные уравнения в задаче о бильярде. Эта задача упоминалась в п. 1.4б и подробно рассмотрена в гл. 6.

Вводя $\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta})$, можно символически записать все такие отображения в виде
\[
\boldsymbol{x}_{n+1}=T \boldsymbol{x}_{n} .
\]
* 3.1в. Уравнения Гамильтона и отображения

Қак уже отмечалось, переход от уравнений Гамильтона к отображению и обратно используется при анализе движения динамических систем. Қак мы увидим в следующем параграфе, типичное поведение гамильтоновых систем описывается обычно в терминах отображений. Используя отображение, легко провести также численное моделирование нелинейных колебаний на времени порядка миллионов периодов. Наконец, аналитический вывод диффузионных уравнений для хаотического движения получается, опять-таки исходя из отображений. Вместе с тем регулярные свойства отображений часто легче получить из уравнений Гамильтона. Қак мы увидим ниже, отображения можно представить в виде некоторых специальных уравнений Гамильтона. Это позволяет связать анализ отображений с общей теорией гамильтоновых систем. Покажем сначала, как перейти от уравнений Гамильтона к отображению, и наоборот.
Переход к отображению. Для двух степеней свободы функции $f$ и $g$ возмущенного отображения поворота (3.1.13) можно найти в первом порядке по $\varepsilon$ следующим образом. Интегрируя уравнение Гамильтона
\[
\frac{d J_{1}}{d t}=-\varepsilon \frac{\partial H_{1}}{\partial \theta_{1}}
\]

на одном периоде движения по $\theta_{2}$, получаем
\[
\Delta J_{1}=-\varepsilon \int_{0}^{T_{2}} d t \frac{\partial H_{1}}{\partial \theta_{1}}\left(J_{n+1}, J_{2}, \theta_{n}+\omega_{1} t, \theta_{20}+\omega_{2} t\right),
\]

где (напомним) $J_{2}$, $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ – функции $J_{n+1}$, и использованы невозмущенные переменные $\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta}$, т. е. интегрирование производится по невозмущенной траектории. Изменение переменной действия $J$ определяется соотношением
\[
\varepsilon f\left(J_{n+1}, \theta_{n}\right)=\Delta J_{1}\left(J_{n+1}, \theta_{n}\right) .
\]

Соответствующее изменение фазы наиболее удобно определить из условия сохранения площади (3.1.16). Для возмущенного отображения поворота это дает
\[
g(J, \theta)=-\int \frac{\partial f}{\partial J} d \theta .
\]

В случае явного отображения поворота $g \equiv 0$.
При вычислении изменения одной из переменных действия не обязательно выражать невозмущенное движение по остальным степеням свободы в переменных действие-угол. Для гамильтониана
\[
H=H_{0}\left(J_{1}, p_{2}, q_{2}\right)+\varepsilon H_{1}\left(J_{1}, \theta_{1}, p_{2}, q_{2}\right) .
\]

Уравнение (3.1.26) остается прежним, откуда с точностью до $\varepsilon$ имеем
\[
\Delta J_{1}=-\varepsilon \int_{0}^{T_{2}} d t \frac{\partial H_{1}}{\partial \theta_{1}}\left(J_{n+1}, \theta_{n}+\omega_{1} t, p_{2}(t), q_{2}(t)\right) .
\]

Мы вернемся к этому выражению при рассмотрении сепаратрисного отображения в §3.5.

Описанная процедура обобщается и на случай $N$ степеней свободы, что приводит к изменению $N-1$ переменной действия
\[
\Delta \boldsymbol{J}=-\varepsilon \int_{0}^{T} d t \frac{\partial H_{1}}{\partial \theta}\left(\boldsymbol{J}_{n+1}, J_{N}, \boldsymbol{\theta}_{n}+\boldsymbol{\omega} t, \theta_{N}+\omega_{N} t\right)
\]

и $\boldsymbol{\varepsilon} \boldsymbol{f}=\Delta \boldsymbol{J}$. Как и в (3.1.15), функция $\mathscr{G}$ в (3.1.23) находится путем интегрирования $\boldsymbol{f}$ по $\theta_{n}$, откуда $\boldsymbol{g}=\partial \mathscr{G} / \partial \boldsymbol{J}_{n+1}$, и отображение (3.1.24) полностью определено.

Переход к уравнениям Гамильтона. Рассмотрим явное отображение поворота (3.1.17). Часто бывает желательно представить отображе-
1) В этом соотношении $J_{2}$ выражено с точностью до $\varepsilon$ через $J_{1}$ из гамильтониана $H_{0}\left(J_{1}, J_{2}\right)=$ const.- Прим. ред.

ние в форме уравнений Гамильтона, причем роль «времени» играет номер итерации $n^{\mathbf{1}}$ ). Это можно сделать, вводя в (3.1.17a) периодическую дельта-функцию:
\[
\delta_{1}(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(n-m)=1+2 \sum_{q=1}^{\infty} \cos 2 \pi q n,
\]

где последнее выражение есть разложение Фурье. Тогда (3.1.17) принимает вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{d J}{d n}=\varepsilon f(\theta) \delta_{1}(n), \\
\frac{d \theta}{d n}=2 \pi \alpha(J),
\end{array}
\]

где $J(n), \theta(n)$ – значения величин $J_{n}, \theta_{n}$ как раз перед моментом «времени» $n$. Уравнения (3.1.34) имеют гамильтонову форму и соответствуют гамильтониану
\[
\widetilde{H}(J, \theta, n)=2 \pi \int \alpha(J) d J-\varepsilon \delta_{1}(n) \int f(\theta) d \theta .
\]

Отметим, что гамильтониан $\tilde{H}$ этой системы с одной степенью свободы явно зависит от времени ${ }^{2}$ ). Описанный метод легко обобщается и на случай явного отображения поворота с $N$ степенями свободы. Мы используем гамильтониан (3.1.35) для отображения Улама в $\S 3.4$.