* 4.2a. Схема получения критериев

В этом параграфе, следуя работе Чирикова [70], мы получим весьма эффективный количественный критерий перехода к глобальной стохастичности. Сначала, используя гамильтониан стандартного отображения, мы найдем условие касания сепаратрис целых резонансов, что приведет к простейшему критерию перекрытия $K=\pi^{2} / 4 \approx 2,47$. Далее, учтем полуцелый резонанс и найдем более точное критическое значение $K \approx 1,46$. Это уже гораздо ближе к численному результату [70], но все еще остается завышенным. Наконец, учтем нирину стохастического слоя вблизи сепаратрисы. (Чириков нашел, что резонансы третьей гармоники несущественны $\left.{ }^{1}\right)$ ). Для этого исследуем перекрытие вторичных резонансов вблизи сепаратрисы целого резонанса. Это может быть сделано либо путем перехода от сепаратрисного отображения (§3.5) к новому стандартному отображению, как в п. 4.16 выше, либо путем непосредственного вычисления размера вторичных резонансов вблизи сепаратрисы, как в п. 4.36 ниже. Однако для получения точного условия перекрытия вторичных резонансов необходимо ввести те же поправки, что и для первичных и т. д. Можно ожидать, что такой процесс сходится и дает правильный ответ. Вместо проведения соответствующих довольно утомительных выкладок Чириков «замыкает» процедуру, вводя в отображение для вторичных резонансов некоторый «корректирующий множитель» ${ }^{2}$ ). Это позволяет согласовать аналитические и численные результаты.
* 4.2б. Вычисление критериев перекрытия

Простое перекрытие. Простейший критерий, как видно из рис. $4.5, a$, состоит в том, чтобы удвоенное значение $\Delta I_{\text {макс }}$, вычисленное по (4.1.29), было равно расстоянию между целыми резонансами $\delta I=2 \pi$, откуда
\[
4 K^{1 / 2}=2 \pi
\]

или
\[
K=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} \approx 2,47
\]
1) Это не совсем так. С учетом замечания Кари критическое значение понижается до $K \approx 1,28[70$, с. 317$]$ – – Прим. ред.
2) На самом деле речь идет о чисто эмпирическом множителе $R \approx 2,15$, который учитывает поправки к интегралу Мельникова – Арнольда (3.5.22) за счет отброшенных в (4.1.26) высокочастотных членов. Аналитическую оценку $R$ пока получить не удалось. Замыкание же процедуры ренормализации резонансов производится элементарно [см. вывод (4.2.23) ниже].Прим. ред.

Рис. 4.5. Схема перекрытия резонансов.
$a$ – перекрытие (касание) целых резонансов; б- перекрытие целых и полуцелого резонансов; $\boldsymbol{\theta}$-перекрытие с учетом конечной ширны стохастического слоя целого резонапса (зантриховано).

Поскольку это значение $K$ слишком велико, мы уточним его, приняв во внимание полуцелый резонанс, который расположен посередине между соседними целыми резонансами.
Перекрытие целого и полуцелого резонансов. Как показано на рис. 4.5, б, касание сепаратрис этих резонансов приводит к условию
\[
\Delta I_{1 \text { макс }}-1-\Delta I_{2 \text { макс }}=(\delta I)_{12}=\pi,
\]

где индексы 1 и 2 обозначают соответственно целый и полуцелый резонансы.

Для вычисления ширины резонанса $\Delta I_{2}$ нужно учесть вторую гармонику Фурье (\$2.4). Для стандартного отображения эта гармоника появляется только во втором порядке теории возмущений, поскольку исходное возмущение $K \sin \theta$ имеет только первую гармонику. Так как полуцелый резонанс максимально удален на фазовой плоскости от целых резонансов, то можно использовать стандартную теорию возмущений.

Чтобы получить новый гамильтониан $\bar{H}$ до второго порядка малости, используем метод Ли, описанный в п. 2.5б. Гамильтониан (4.1.24) можно записать в виде
\[
H=H_{0}+\varepsilon H_{1}=\frac{I^{2}}{2}+\varepsilon K \sum_{m=-\infty}^{\infty} \cos (\theta-2 \pi m n),
\]

где, как обычно, параметр $\varepsilon$ отмечает возмущение. Прежде всего из уравнения Депри (2.5.31a) первого порядка
\[
\left(\frac{\partial}{\partial n}+I \frac{\partial}{\partial \theta}\right) w_{1}=\bar{H}_{1}-H_{1}
\]

найдем производящую функцию Ли $w_{1}$. Так как $\left\langle H_{1}\right\rangle=0$, где скобки $\langle>$ означают усреднение по невозмущенной траектории, выберем $\bar{H}_{1}=0$ и решим (4.2.5) относительно $w_{1}$ :
\[
w_{1}=K \sum_{m} \frac{\sin (\theta-2 \pi m n)}{2 \pi m-I} .
\]

Поскольку полуцелые резонансы расположены по $I$ между целыми резонансами, т. е.
\[
I=(2 p+1) \pi,
\]

где $p$-целое число, то функция $w_{1}$ не является сингулярной. Преобразованный гамильтониан $\vec{H}$ теперь вычисіяется из уравне ния Депри второго порядка
\[
\left(\frac{\partial}{\partial n} I \frac{\partial}{\partial \theta}\right) w_{2}=2\left(\bar{H}_{2}-H_{2}\right)-\left[w_{1}, \bar{H}_{1}+H_{1}\right],
\]

где $H_{2}$ и $\bar{H}_{1}$ равны нулю. Выберем $\bar{H}_{2}$ так, чтобы среднее от правой части (4.2.8) обратилось в нуль:
\[
\vec{H}_{2}=\frac{1}{2}\left\langle\left[w_{1}, H_{1}\right] .\right.
\]

Раскрывая скобки Пуассона
\[
\bar{H}_{2} \leftrightharpoons-\frac{1}{2}\left\langle\frac{\partial w_{1}}{\partial I_{1}} \frac{\partial H_{\mathrm{I}}}{\partial \theta}\right\rangle
\]

и подставляя разложения для $w_{1}$ и $H_{1}$, получаем
\[
\begin{aligned}
& \bar{H}_{2}=\frac{K^{2}}{2}\left\langle\sum_{m} \frac{\sin (\theta-2 \pi n m)}{(2 \pi m-I)^{2}} \sum_{m^{\prime}} \sin \left(\theta-2 \pi m^{\prime} n\right)\right\rangle= \\
= & \frac{K^{2}}{4}\left\langle\sum_{m, m^{\prime}} \frac{\cos \left[2 \pi\left(m^{\prime}-m\right) n\right]-\cos \left[2 \theta-2 \pi\left(m^{\prime}+m\right) n\right]}{(2 \pi m-I)^{2}}\right\rangle .
\end{aligned}
\]

При усреднении по невозмущенной траектории $\theta=\operatorname{In}$ первая сумма обращается в нуль, за исключением членов $m=m^{\prime}$. Последние дают постоянное слагаемое, которое можно опустить. Во второй сумме остаются члены, для которых
\[
2 I-2 \pi\left(m^{\prime}+m\right)=0
\]

или с учетом (4.2.7)
\[
m+m^{\prime}=2 p+1 .
\]

Для (4.2.11) это дает
\[
\overline{\bar{H}}_{2}=-\frac{K^{2}}{4} \sum_{m} \frac{\cos [2 \theta-2 \pi(2 p+1) n]}{(2 \pi)^{2}\left(m-p-\frac{1}{2}\right)^{2}} .
\]

Сумма по $m$ не зависит от $p$ :
\[
\sum_{m} \frac{1}{\left(m-p-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\pi^{2} .
\]

Поэтому во втором порядке имеем
\[
\bar{H}_{2}=\frac{I^{2}}{2}-\left(\frac{K}{4}\right)^{2} \cos 2 \tilde{\theta},
\]

где
\[
\tilde{\theta}=\theta-\pi(2 p+1) n
\]
– медленная фаза. Из (4.2.16) амплитуда колебаний $I$ равна
\[
\Delta I_{2 \text { макс }}=\frac{1}{2} K .
\]

Значение $K$, соответствующее перекрытию целых и полущелых резонансов, находим с помощью подстановки (4.1.29) и (4.2.18) в $(4.2 .3)$ :
\[
2 K^{1 / 2}+\frac{1}{2} K=\pi,
\]

что дает $K \approx 1,46$ [70]. Соотношение (4.2.19) все еще завышает критическое значение $K$. Дальнейшее улучшение этой оценки возможно путем учета резонансов более высоких гармоник ( $k>2$ ), а также конечной ширины их стохастических слоев. Чириков сделал и то и другое и нашел, что наиболее существенным является учет ширины стохастического слоя.
Ширина стохастического слоя. Будем исходить из отображения (4.1.6), которое описывает движение вблизи сепаратрисы резонанса:
\[
\begin{array}{c}
w_{n+1}=w_{n}-w_{0} \sin \varphi_{n}, \\
\varphi_{n+1}=\varphi_{n}+Q_{0} \ln \left|\frac{32}{w_{n+1}}\right| .
\end{array}
\]

Здесь $w$ – относительное отклонение энергии от ее значения $K$ на сепаратрисе
\[
\omega=\frac{\Delta H}{K},
\]

а $\varphi$ – фаза внешнего возмущения $[\varphi=2 \pi n$ в (4.1.26)] в тот момент, когда фаза колебаний на резонансе проходит эллиптическую точку; $Q_{0}$ – отношение частоты внешнего возмущения к частоте малых фазовых колебаний:
\[
Q_{0}=\frac{2 \pi}{K^{1 / 2}} .
\]

Как было показано в п. 4.1б, линеаризация уравнения (4.1.6б) по $w$ приводит к стандартному отображению с параметром стохастичности (4.1.9). Используя для $w_{0}$ выражение (3.5.27), получаем параметр стохастичности $K_{2}$ для вторичных резонансов вблизи сепаратрисы в виде
\[
K_{2}=\frac{8 \pi Q_{1}^{3}}{w_{1}} \exp \left(\frac{-\pi Q_{0}}{2}\right) .
\]

Подставляя в это выражение (4.2.21) и требуя, чтобы на границе стохастичности как для первичных, так и для вторичных резонансов $K_{2}=K$, получаем полуширину стохастического слоя:
\[
w_{1}=\frac{4(2 \pi)^{4}}{K^{5}} \exp \left(\frac{-\pi^{2}}{K^{1 / 2}}\right) .
\]

Теперь нужно связать $w_{1}$ с полушириной стохастического слоя $\Delta I_{s}$ по переменной действия при $\theta=\pi$. Для маятника с гамильтонианом
\[
H=\frac{l^{2}}{2}+K \cos \theta
\]

энергия на сепаратрисе $H=K$, а действие в точке $\theta=\pi$, согласно (4.1.29), равно $I_{0}=2 K^{1 / 2}$. Из (4.2.20) для энергии
\[
K-\Delta H=K\left(1+w_{1}\right)
\]

и фазы $\theta=\pi$ из (4.2.24) найдем
\[
I^{2}=2 K\left(2+w_{1}\right),
\]

и если $w \ll 1$, то
\[
I \approx 2 K^{1 / 2}\left(1+\frac{w_{1}}{4}\right) .
\]

Следовательно,
\[
\Delta I_{s}=I-I_{0}=w_{1} \frac{K^{1 / 2}}{2} .
\]

Таким образом, уточненный критерий перекрытия (см. рис. 4.5, в) можно записать в виде
\[
\left(1+\frac{w_{1}}{4}\right) 2 K^{1 / 2}+\frac{K}{2}=\pi .
\]

Этот критерий означает, что ширина целого резонанса плюс ширина его стохастического слоя плюс ширина полуцелого резонанса равна расстоянию между центрами двух целых резонансов. Для получения критического значения $K$, определяющего границу глобальной стохастичности, нужно решить уравнение (4.2.29) с $w_{1}$ из (4.2.23). В результате находим $K=1,2$. С помощью дополнительных эвристических соображений ${ }^{1}$ ) Чириков [70] получил $K \approx 1,06$. Подробное численное исследование стандартного отображения [70] дало в качестве верхней границы близкое значение $K \approx 0,99$. В $\$ 4.4$ будет показано, что более тонкий критерий стохастичности приводит к значению $K \approx 0,9716$.
Ускорение Ферми. Задача об ускорении Ферми приводится к стандартному отображению с $K=2 \pi M / u_{1}^{2}$ [см. (4.1.5)]. Для исходного нелинейного отображения численно было найдено, что граница стохастичности находится при $u_{b}=2,8 \sqrt{\bar{M}}$ (см. рис. 3.15). Подстановка $u_{b}=u_{1}$ дает $K \approx 0,8$. Отличие от значения $K \approx 1,0$ для стандартного отображения можно легко объяснить тем, что для этих двух случаев определение границы разное. Из рис. 1.14 видно, что $u_{b} \approx 28=2,8 \sqrt{M}$. Но полученное таким путем значение $u_{b}$ является верхней границей стохастического движения
1) Главное из них -поправка к интегралу Мельникова-Арнольда; она является по сушеству чисто эмпирической, см. примечание редактора на с. 257.- Прим. ред.

и соответствует первой инвариантной кривой. Однако более правильно связать параметр стандартного отображения $K$ со значением $u_{1}$ в центре целого резонанса. Из рис. 1.14 видно, что $u_{1}=$ $=25=2,5 \sqrt{\bar{M}}$. Соответствующие этому значения $K=1,0$ и $\alpha=1 / 6$ согласуются с результатами для стандартного отображения. Уменьшение возмущения $K(u)$ при увеличении $u$ для отображения Улама приводит к асимметрии, вследствие которой инвариантные кривые ниже резонанса разрушаются, а выше сохраняются. Можно ожидать, что чем сильнее зависимость $K(u)$, тем больше отклонения от стандартного отображения ${ }^{1}$ ).