Важным примером задачи о внутренней и внешней диффузии является задача об удержании плазмы в тороидальных магнитных ловушках. Диффундировать могут как сами магнитные линии, так и частицы поперек магнитного поля. Особый интерес представляет диффузия частиц с учетом их столкновений или внешнего шума. В зависимости от соотношения между шумом и динамикой частиц диффузия может быть либо одномерной (аналогично п. 5.5б), либо типа резонансного каналирования (§ 6.3). В п. 6.4а рассматриваются основные резонансные процессы в тороидальных магнитных ловушках. В п. 6.4б обсуждаются различные режимы внешней диффузии. Проведено сравнение случаев неподвижных и диффундирующих резонансов. В п. 6.4в приведен пример последнего случая, иллюстрирующий теорию, изложенную в п. 6.36. В п. 6.4г кратко обсуждается самосогласованная задача, когда определяющие движение частиц поля сами зависят от динамики частиц.
6.4а. Динамика магнитных линий

Различные конфигурации магнитного поля. Простейшее (тороидальное) поле создается длинным прямолинейным проводником
1) Это соответствие является формальным и в общем случае несправедливо. Если, например, внешний шум сохраняет энергию (скажем, упругое рассеяние электрона на остаточном газе в магнитной ловушке), то $D_{\perp E} \equiv 0$, тогда как $D_{r}
eq 0 .-$ Прим. ред.

с током. В таком поле частицы дрейфуют поперек магнитных линий, поэтому оно не может служить для удержания плазмы. Добавление азимутального тока приводит к появлению второй компоненты поля, так называемого полоидального поля (рис. 6.20). Магнитные линии результирующего поля лежат на торе и напоминают фазовые траектории интегрируемой динамической системы на рис. 3.1, a.

Для удержания плазмы были разработаны различные установки. Среди них система с жестким токонесущим проводником

Рис. 6.20. Геометрия тороидального магнитного поля.

вдоль малой оси тора $r=0$ и аксиальным полем (левитрон), система со спиральной обмоткой на торе $r=a$ (стелларатор) и система с тороидальным током в плазме (токамак).

Уравнения магнитных линий в таких системах можно записать в гамильтоновой форме (см., например, $[137,307,349]^{1}$ )). В случае азимутальной симметрии $\partial / \partial \psi \equiv 0$ (токамак и левитрон) получаются уравнения нелинейного осциллятора с одной степенью свободы, а интегралом движения является магнитный поток, ограниченный магнитной поверхностью (см. ниже). Нарушение азиму-
1) Это связано с «несжимаемостью» магнитного потока (div $\boldsymbol{B}=0$ ), т. е. сохранением «фазового объема» этой динамической системы, который в данном случае является просто трехмерным объемом в обычном пространстве.Прим. ред.

тальной симметрии приводит как бы к явной зависимости гамильтониана от «времениподобной» переменной $\psi$, а следовательно, и к очень сложному движению. В частности, магнитные поверхности разрушаются, образуется магнитная резонансная структура со стохастическими слоями в окрестности сепаратрис и в зависимости от величины возмущения возникает локальная или глобальная диффузия магнитных линий.
Магнитные поверхности. В тороидальной системе координат $(r, \varphi, \psi$ ) (рис. 6.20) магнитные линии определяются уравнениями

Рис. 6.21. Сечение магнитных поверхностей левитрона плоскостью $\psi \doteq$ const; $R_{0}=1$ (по данным работы [137]).
\[
\frac{d r}{B_{r}}=\frac{r d \varphi}{B_{\psi}}=\frac{R d \psi}{B},
\]

где $r$ и $R=R_{0}+r \cos \risingdotseq-$ малый и большюй радиусы линии пол’я; $B_{r}$ и $B_{\varphi}$ полоидальные компоненты поля, а $B_{\psi}$ – тороидальная компонента. Магнитное поле в токамаке можно приближенно представить в виде [389]
\[
\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}
0, & \frac{B_{\varphi}(r)}{h_{s}}, & \frac{B_{0}}{h_{s}}
\end{array}\right),
\]

где $B_{0} \rightleftharpoons B_{\psi}\left(R_{0}\right)$, а величина $h_{s}=1+\frac{r}{R_{0}} \cos \varphi$ описывает зависимость поля от угла $\varphi$. В левитроне для обеспечения равнове-
сия плазмы необходимо аксиальное поле, которое вносит дополнительную зависимость от $\varphi$, значительно более сильную, чем в (6.4.2). Пренебрегая последней, можно представить поле левитрона в виде

где $B_{v}$ – аксиальное поле (направленное вверх на рис. 6.20), а $\beta=$ $=I_{v} /\left(I_{R} R_{0}\right)$ характеризует отношение аксиального $I_{v}$ и азимутального $I_{R}$ токов. Аксиальное поле ослабляет полоидальное на внутренней стороне тора, так что последнее обращается в нуль $\left(B_{\varphi}=0\right)$ в точке $\varphi=\pi, r=B_{0} /\left(\beta B_{v}\right)$. Магнитные линии полей (6.4.2) и (6.4.3), определяемые уравнениями (6.4.1), заполняют магнитные поверхности, охватывающие малую ось тора и вложенные друг в друга. Сечение магнитных поверхностей левитрона плоскостью $\psi=$ const показано на рис. 6.21. Обратим внимание на магнитную поверхность типа сепаратрисы, которая содержит неустойчивую периодическую траекторию с $B_{\varphi}=0$.

Как мы увидим ниже, единственным существенным параметром невозмущенной магнитной поверхности является обычное число вращения $\alpha$, или угол «прокручивания» магнитной линии за один оборот вокруг большой оси тора
\[
\imath=\int_{0}^{2 \pi} \frac{d \varphi}{d \psi} d \psi=2 \pi \alpha .
\]

В случае токамака $h_{s} \approx 1$. Вводя переменную действия $\zeta=r^{2} / 2$, приведем уравнения движения (6.4.1) к виду
\[
\frac{d \zeta}{d \psi}=0, \quad \frac{d \varphi}{d \psi}=\frac{\mathrm{\imath}(\zeta)}{2 \pi}
\]

с гамильтонианом
\[
H_{0}(\zeta)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\zeta} t(\zeta) d \zeta=\text { const }
\]

Аналогично, для поля левитрона (6.4.3)
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \zeta}{d z}=B_{v} \sqrt{2 \zeta} \sin \varphi, \\
\frac{d \varphi}{d z}=\frac{1}{2 \beta \zeta}+\frac{B_{v}}{\sqrt{2 \zeta}} \cos \varphi,
\end{array}
\]

где $z=\psi / 2 \pi$, и принято, что $B_{0}=1$. Эти уравнения можно получить из гамильтониана
\[
H=-\frac{1}{\beta}\left[\ln \left(\frac{8}{\sqrt{2 \zeta}}\right)-2\right]+B_{v} \sqrt{2 \zeta} \cos \varphi .
\]

Перейдем к переменным действие – угол (см. §1.2)
\[
\begin{array}{l}
J=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \zeta d \varphi, \\
\bar{\varphi}=\frac{\partial S(J, \varphi)}{\partial J},
\end{array}
\]

где $S$ – производящая функция. С точностью до членов, квадратичных по $J$, получаем (см. § 2.2 или 2.5):
\[
H_{0}=\frac{1}{\beta} \ln \left(\frac{8}{\sqrt{2 J}}-2\right)-2 B_{v}^{2} \beta J-\frac{3}{2} B_{v}^{4} \beta^{3} J^{2} .
\]

Угол прокручивания $\iota=d H_{0} / d J$ определяет магнитную поверхность. Подчеркнем, что при наличии азимутальной симметрии (по $\psi$ ) гамильтониан магнитных линий описывает интегрируемую систему с одной степенью свободы.

Резонансы. Рассмотрим модель возмущенного магнитного поля с гамильтонианом
\[
H=H_{0}(J)+\varepsilon H_{\mathbf{1}}(J, \bar{\varphi}, \psi) .
\]

Разлагая вокруг невозмущенной траектории $J=J_{0}+\Delta J$ и $\bar{\varphi}=$ $=\frac{\imath}{2 \pi} \psi+\Delta \bar{\varphi}$, получаем уравнения
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \Delta J}{d \psi}=\varepsilon \sum_{m, n} A_{m n} \cos \left(m \bar{\varphi}-n \psi+\chi_{m n}\right), \\
\frac{d \Delta \bar{\varphi}}{d \psi}=-\frac{1}{2 \pi} \frac{\partial \mathrm{\imath}}{\partial J} \Delta J,
\end{array}
\]

где $A_{m n}$ – амплитуды Фурье для $\partial H_{1} / \partial \bar{\partial}$.
Рассмотрим резонансные невозмущенные магнитные поверхности, для которых $d \varphi / d \psi=n / m$. Переходя к резонансным переменным (см. § 2.4)
\[
\tilde{\varphi}=m \bar{\varphi}-n \psi,
\]

находим следующий гамильтониан возмущенного движения:
\[
\tilde{H}=\frac{m^{2}}{2 \pi} \frac{d \iota}{d J} \frac{(\Delta \tilde{J})^{2}}{2}+\varepsilon A_{m n} \cos \tilde{\varphi},
\]

где $\tilde{\Delta J}=\Delta J / m$. Полуширина резонанса, согласно (2.4.31), равна
\[
\Delta \tilde{J}_{\text {макc }}=\frac{2}{m}\left|\frac{\varepsilon A_{m n}}{(1 / 2 \pi) d \vee / d J}\right|^{1 / 2}
\]

В работе [137] произведен численный расчет магнитного поля лєвитрона, возмущенного с помощью наклона кольцевого проводника. Для резонанса $m=n=1$ ( $(=2 \pi)$ получено прекрасное согласие с аналитическим выражением (6.4.12), если только возмущение не превышает порог глобальной стохастичности. Для относительно больших возмущений наблюдалось образование вторичных резонансов, как и предсказывает теория в § 2.4 и 4.3. На рис. 6.22 , а показано теоретическое (сплошная линия) и найденное численно сечение резонансной магнитной поверхности для невозмущенного $\iota=2 \pi$. Локальное число вращения в центре резонанса $\alpha=1 /(5,6)$, и поэтому вторичные резонансы не видны. На рис. 6.22 , б возмущение увеличено, так что $\alpha=1 / 4$ (вторичный резонанс на четвертой гармонике). Результаты численного счета (кружки) теперь уже не ложатся на теоретическую кривую, а соответствующая магнитная линия оказывается стохастической.

Теоретический анализ (см. п. 2.4б) показывает, что вторичные резонансы с $\alpha=1 / 4$ и $\alpha=1 / 5$ перекрываются, что и приводит к наблюдаемой стохастичности.

Аналогичные результаты для винтовой обмотки были получены Розенблютом и др. [349] и Филоненко и др. [129]. Возмущения общего вида в токамаках рассматривались Речестером и Стиксом [343] и Финном [130]. В этих работах исследовались также перекрытие резонансов и внутренняя диффузия ${ }^{1}$ ). Во всех случаях рассматривалось возмущение и разрушение только магнитных поверхностей. Принималось, что заряженные частицы двигаются точно вдоль магнитных линий и конечный размер ларморовского радиуса не играет роли. Поскольку мы рассматриваем задачи, эквивалентные двум степеням свободы, то внутренняя диффузия возникает только при перекрытии резонансов (гл. 5), тогда как диффузия влоль резонансов отсутствует.
6.4б. Дрейфовые поверхности и диффузия в статических полях

Дрейфовые поверхности. При учете конечного ларморовского радиуса электрического поля и неоднородности магнитного поля оказывается, что частицы не следуют точно за магнитной линией, а медленно сдрейфовывают перпендикулярно ей. Траектории ларморовского центра заполняют дрейфовые поверхности. При этом могут иметь место резонансы между гармониками неоднородности поля и дрейфовым движением. Уравнения движения в дрейфовом приближении в отсутствие токов имеют вид (см., например, [362], § 2.2) ${ }^{2}$ ):
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{v}_{D}=\frac{d \boldsymbol{r}}{d t}=\frac{c}{e} \frac{F \times B}{B^{2}}+v_{\|} \frac{B}{B}, \\
\frac{d v_{\|}}{d t}=-\frac{e}{M} \frac{\partial \Phi}{\partial s}-\frac{\mu}{M} \frac{\partial B}{\partial s},
\end{array}
\]

где
\[
F=-\left(\mu+\frac{M v_{\|}^{2}}{B}\right)
abla B-e
abla \Phi
\]
– усредненная по ларморовскому вращению сила; $\mu=$ $=\frac{1}{2} M v_{\perp}^{2} / B$ – магнитный момент; $e$-заряд частицы; $M$ – ее масса; $v_{\|}, v_{\perp}$ – параллельная и перпендикулярная магнитному полю компоненты скорости частицы; $r$ – радиус-вектор ларморовского центра; $s$ – координата вдоль магнитной линии; $\Phi$ – элек-
1) См. также работу [514].- Прим. ред.
2) См. также работы $[515,516]$ – Прим. ред.

трический потенциал и $c$ – скорость света. В дрейфовом приближении $\mu$ является адиабатическим инвариантом и считается постоянным (см. п. 2.3б). Если $B$ и Ф не зависят явно от времени, то дрейфовое движение можно описать с помощью автономного гамильтониана с двумя степенями свободы. В этом случае вместо времени удобно использовать в качестве независимой переменной величину $s$, причем $d s / d t=v_{\|}$, где скорость $v_{\text {i }}$ связана с интегралами движения $E$ и $\mu$ соотношением
\[
v_{11}=\left(\frac{2}{M}\right)^{1 / 2}(E-\mu B)^{1 / 2},
\]

а $E$ – полная энергия частицы. Получаемые в результате уравнения дрейфового движения аналогичны уравнениям магнитной линии, описанным в п. 6.4а.
Нерезонансный дрейф. Рассмотрим сначала случай, когда дрейф вызывается градиентом магнитного поля. Если магнитные поверхности симметричны по $\varphi$ (см. рис. 6.20), то сила $F$ перпендикулярна магнитной поверхности и скорость дрейфа $v_{D}$, согласно (6.4.13), направлена по касательной к магнитной поверхности. Однако магнитное поле в системах с тороидальной геометрией типа левитрона или токамака не обладает такой симметрией, что приводит к радиальной составляющей дрейфа частиц. Масштаб времени такого дрейфа обычно велик по сравнению с временем оборота вокруг большой оси тора. Поэтому в пренебрежении резонансами высоких порядков радиальный дрейф можно описать автономным гамильтонианом с одной степенью свободы, который является интегрируемым.

Дрейфовые траектории существенно зависят от отношения $v_{\perp} / v_{\|}$. В случае $v_{\|} \ll v_{\perp}$ частицы оказываются захваченными в некоторой области (по $\varphi$ и $\psi$ ) с наружной стороны тора и совершают дрейфовые колебания, не попадая в область более сильного магнитного поля с внутренней стороны тора. Проекция этого движения на плоскость $\psi=$ const имеет форму «банана» (ср. рис. 6.22,a). Амплитуда радиальных колебаний (при $\varphi=0$ ) имеет порядок
\[
\Delta r \sim(R / a)^{1 / 2} \rho_{L} / \text {, }
\]

где $\rho_{L}$ – ларморовский радиус частицы. Подобные траектории для захваченных частиц существуют и в других магнитных полях и не зависят от резонансов между движением по $\varphi$ и по $\psi$ (подробнее см. в [389]).
Дрейфовая поверхность пролетных частиц ${ }^{1}$ ) повторяет форму
1) Пролетными называются частицы, которые совершают полный оборот вокруг малой и большой осей тора, т. е. по $\varphi$ и $\psi$. Для поля токамака, например, граница между пролетными и захваченными частицами соответствует скорости $v_{\|} \approx v\left(2 r / R_{0}\right)^{1 / 2}$ при $\varphi=0$. Прим. ред.

магнитной поверхности, отклоняясь от нее на расстояние порядка $\rho_{L} /$. Можно сказать, что дрейфовой поверхностью в этом случае является просто слегка возмущенная магнитная поверхность.
Дрейфовые резонансы. Если обе функции $B$ и Ф зависят от $\varphi$ и $\psi$, то для пролетных частиц возможны резонансы. Однако из-за того, что скорость дрейфа пропорциональна $\rho_{L}$, размер дрейфовых резонансов мал по сравнению с размером резонанса самих магнитных линий при том же возмущении магнитного поля. Если же присутствует статическое электрическое поле, например, с потенциалом вида
\[
\Phi=\sum \Phi_{m n} e^{i(m \varphi-n \psi)},
\]

то возникают дрейфовые резонансы независимо от возмущения магнитного поля. Возмущенный дрейф описывается в этом случае системой уравнений вида (6.4.10), причем амплитуды возмущения $\varepsilon A_{m n} \propto \rho_{l} \Phi_{m n}$. Брамбилла и Лихтенберг [39] получили для пространственной полуширины резонанса выражение, аналогичное (6.4.12):
\[
\Delta r=2\left(\frac{e \Phi_{m n}}{T} \frac{R}{a} \frac{\rho_{L}}{d \mathrm{v} / d r}\right)^{1 / 2},
\]

где $T$ – температура в энергетических единицах.
Диффузия в статических полях. Хотя размер резонанса (6.4.16) может быть велик по сравнению с амплитудой нерезонансных колебаний (6.4.15), именно последние определяют обычно внешнюю диффузию в статических полях. Причина этого состоит в следующем. В статическом случае положение резонанса (по $r$ ) определяется условием $\omega_{\varphi} / \omega_{\psi}=d \varphi / d \psi=n / m$ и не зависит от $v_{\|}$или $\mu$. Внешняя диффузия за счет столкновений между частицами с изменением $v_{\|}$и $\mu$ относится поэтому к типу, рассмотренному в п. 5.5б. Конечно, если дрейфовые резонансы перекрываются, то скорость диффузии определяется глобальной стохастичностью движения. Однако такое перекрытие возможно лишь в исключительных случаях, так как размер резонансов зависит от малого ларморовского радиуса (6.4.16). Поэтому в дальнейшем мы пренебрежем внутренней диффузией. Правда, резонансы несколько усиливают диффузию даже в отсутствие перекрытия, однако средняя скорость диффузии меняется при этом незначительно (п. 5.5б).

В отличие от дрейфовых резонансов нерезонансные колебания захваченных частиц (6.4.15) существуют везде. Рассеяние частиц изменяет их $v_{\|}$и $\mu$ и может переводить частицы из захваченных в пролетные, и наоборот. В результате частицы смещаются по радиусу. В зависимости от частоты столкновений возможны три режима диффузии.
1. При низкой гастоте столкновений захваченные частицы смещаются, в среднем, на величину $\Delta r$ [см. (6.4.15) за время перехода их в пролетные вследствие диффузии по $v_{\|}$. Поэтому скорость радиальной диффузии в этом режиме пропорциональна частоте столкновений.
2. При промежуточной частоте столкновений захваченная частица переходит в пролетную раньше, чем она успевает совершить полное колебание по радиусу, т. е. ее радиальное смещение за один захват уменьшается по сравнению с (6.4.15). Однако при этом пролетные частицы с относительно малой скоростью $v_{\text {и }}$ также вносят существенный вклад в диффузию, расширяя таким образом область (по $v_{\|}$) эффективного радиального дрейфа. Учет всех этих эффектов приводит к тому, что коэффициент диффузии перестает зависеть от частоты столкновений. Поэтому обычно этот случай называют режимом плато.
3. При высокой частоте столкновений все частицы вносят вклад в диффузию. Характерный масштаб радиального дрейфа между столкновениями равен $\rho_{L} / \alpha$, а коэффициент диффузии снова пропорционален частоте столкновений.

Во всех трех режимах характерный масштаб радиального смещения пропорционален ларморовскому радиусу $\rho_{L}=v_{T} / \Omega$, так что зависимость коэффициента диффузии от магнитного поля имеет классический вид $D \propto \rho_{L}^{2} \propto 1 / B^{2}$. Поэтому такую диффузию называют неоклассической ${ }^{1}$ ). Подробная теория этой диффузии дана в обзоре Галеева и Сагдеева [147]. Как отмечалось в п. 6.3а, аналогичные три режима диффузии существуют и в резонансном каналировании.
6.4в. Диффузия в нестационарных полях

В нестационарных полях положение дрейфового резонанса уже зависит от $v_{\|}$(см. ниже), и резонансы возможны при любом $r$. Поскольку ширина этих резонансов значительно превышает размах радиальных колебаний запертых частиц (6.4.15), то диффузия, аналогичная неоклассической, будет определяться теперь резонансами. Эта задача рассматривалась Геллом и др. [152] и, более подробно, Невинсом и др. [316] ${ }^{2}$ ).
Условие резонанса имеет вид
\[
m \omega_{\varphi}\left(r, v_{\|}\right)+n \omega_{\psi}\left(r, v_{\eta}\right)+l \omega=0,
\]

где $\omega$ – частота колебаний поля. Из этого условия (при заданных
1) Приставка «нео» здесь не очень оправдана, поскольку такой механизм диффузии рассматривался Будкером еще в 1951 г. (см. [509], с. 50), хотя разработка полной теории этих процессов «несколько» задержалась [510].Прим. ред.
2) Эта задача впервые рассмотрена Погуце [525] для объяснения аномальной электронной теплопроводности в токамаке.- Прим. ред.

$n, m$ и $l$ ) можно найти положение центра резонанса $\left.r=r\left(v_{\|}, \omega\right)^{1}\right)$. Если при этом имеет место внешняя диффузия частицы по $v_{\|}$, то резонанс диффундирует по $r$. Пример такой диффузии рассмотрен в п. 6.3б, а ее описание можно свести к отображению.

Рассмотрим переменное поле в виде плоской волны, фаза которой
\[
\theta=\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}-\omega t,
\]

где $\boldsymbol{k}$ – волновой вектор. В дрейфовом приближении скорость частицы параллельна магнитной линии, поскольку скорость дрейфа считается малой по сравнению со скоростью частицы. Поэтому скорость изменения фазы волны равна
\[
\frac{d \theta}{d t}=k_{\|}(r) v_{\|}-\omega,
\]

где $k_{\|}$- проекция волнового вектора на направление магнитного поля.

Построение отображения. Будем использовать для простоты декартову систему координат, в которой $x$ соответствует $r$ (см. рис.6.23); волновой вектор $\boldsymbol{k}=\boldsymbol{k}_{0} \boldsymbol{y}$, а $\boldsymbol{B}(x)$ лежит в плоскости $(y, z)$, причем $B_{y}=0$ при $x=0$. Зависимость $B_{y}(x)$ примем в виде
\[
B_{y}(x)=B \frac{x}{L_{S}},
\]

где $L_{S}$ – некоторая постоянная (для тороидального поля $L_{S}^{-1}=$ $=(R / a) d \mathrm{v} / d r)$. Тогда
\[
k_{\|}(x)=k_{\perp} \frac{x}{L_{S}},
\]

где мы положили приближенно $k_{0}=k_{\perp}$. Для потенциала волны
\[
\Phi=\Phi_{0} \cos \theta
\]

уравнения движения (6.4.13) можно представить в виде
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=\frac{c k_{\perp}}{B} \Phi_{0} \sin \theta, \\
\frac{d v_{\|}}{d t}=\frac{e}{M} k_{\|} \Phi_{0} \sin \theta .
\end{array}
\]
1) Обе частоты $\omega_{\varphi}$ и $\omega_{\psi}$ пропорциональны $v_{\|}$, и при $l
eq 0$ положение резонанса зависит от $v_{\|}$. В статическом поле ( $\omega=0$ ) $v_{\|}$исключается из резонансного условия, и резонанс, казалось бы, не может смещаться по $r$. Это, однако, правильно, за исключением важного частного случая $v_{\|}=0$, когда условие резонанса автоматически выполняется при любом $r$. Фактически в рассматриваемом ниже примере скорость диффузии (6.4.40) вообще не зависит от $\omega$ (при $S \ll 1$ ). В частности, численные данные на рис. 6.25 относятся как раз к диффузии в статическом поле.- Прим. ред.

Вместе с (6.4.18) эти уравнения определяют возмущенное движение частицы в отсутствие столкновений. Из (6.4.18) условие резонанса с центром в точке $x=x_{0}$ имеет вид
\[
k_{\| 10}^{v}{ }_{i \mid 0}-\omega=0 \text {, }
\]

Рис. 6.23. Конфигурация полей в модели дреїффовых резонансов.

где $k_{\| 0}=k_{\|}\left(x_{0}\right)$. Невозмущенное движение в центре резонанса соответствует $\theta=0$. Линеаризуя уравнения движения по $x$ и $v_{\|}$, получаем
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t}(\Delta x) & =\frac{c k_{\perp}}{B} \Phi_{0} \sin \theta, \\
\frac{d}{d t}\left(\Delta v_{\mid 1}\right) & =\frac{e}{M} k_{i \mid 0} \Phi_{0} \sin \theta+\zeta, \\
-\frac{d \theta}{d t} & =\frac{k_{\perp}}{L_{S}} v_{1 \mid 0} \Delta x+k_{1 \mid 0} \Delta v_{\| \mid},
\end{aligned}
\]

где $\Delta x=x-x_{0}, \Delta v_{\|}=v_{\|}-v_{\| 0}$. В уравнение (6.4.25) добавлено случайное изменение скорости $\zeta$, которое учитывает столкновения между частицами. Положим $\langle\zeta\rangle=0$ и
\[
\frac{d}{d t}\left\langle\zeta^{2}\right\rangle=\frac{v_{T}^{2}}{\tau_{c}},
\]

где $v_{T}$ – тепловая скорость частицы, а $\tau_{c}$ – среднее время между столкновениями. Согласно (6.4.23) и (6.4.19), это приводит к смещению резонанса по $x$.

Преобразуем уравнения (6.4.24) — (6.4.26) к виду (6.3.28). Для этого исключим $\theta$ из уравнений (6.4.24) и (6.4.25)
\[
\frac{d}{d t}\left(\Delta v_{\|}\right)-\frac{\Omega k_{\| 0}}{k_{\perp}} \frac{d}{d t}(\Delta x)=\zeta
\]

и введем новую переменную
\[
Y=\Delta v_{\|}-\frac{\Omega k_{\| 0}}{k_{\perp}} \Delta x,
\]

которая описывает только случайный процесс
\[
\dot{Y}=\zeta \text {. }
\]

Выражая $\Delta v_{\text {и }}$ через $Y$ и $\Delta x$ из (6.4.29), подставляя в (6.4.26), получаем
\[
\frac{d \theta}{d t}=k_{110} Y+\frac{k_{\| 0}^{2}}{k_{\perp}} \Omega(1+S) \Delta x .
\]

Параметр
\[
S=\frac{k_{\perp}^{2}}{k_{10}^{2}} \frac{v_{110}}{L_{S} \Omega}
\]

характеризует влияние поперечного градиента магнитного поля («шира»), которое существенно при $S \gg 1$. Путем изменения масштабов
\[
\begin{array}{c}
I=\frac{k_{\| 0}^{2}}{k_{\perp}} \Omega(1-S) \Delta x, \\
P=k_{\| 0} Y
\end{array}
\]

система уравнений (6.4.24), (6.4.31) и (6.4.30) приводится к стандартному виду (6.3.28)
\[
\begin{array}{l}
\frac{d I}{d t}=K \sin \theta, \\
\frac{d \theta}{d t}=I+P, \\
\frac{d P}{d t}=\xi,
\end{array}
\]
(6.4.34B)

где
\[
\begin{array}{c}
K=k_{\| 0}^{2} v_{T}^{2}(1+S) \frac{e \Phi_{0}}{T}, \\
\xi=k_{\| 0} \zeta
\end{array}
\]

и положено $T=M v_{T}^{2}$.
Скорость диффузии. Аналогично п. 6.3 коэффициент резонансной диффузии по $I$ определяется соотношением
\[
D_{r}=\frac{\left\langle I^{2}\right\rangle}{2 t}=\frac{\left\langle P^{2}\right\rangle}{2 t}=\frac{1}{2} \frac{k_{\| 10}^{2} v_{T}^{2}}{\tau_{c}} .
\]

Пренебрегая нерезонансной диффузией, получаем для средней скорости диффузии аналогично (6.3.33):
\[
\langle D\rangle=D_{r} f_{r},
\]

где $f_{r}$ – доля резонансных частиц. Считая разброс $v_{\|}$порядка $v_{T}$ и, следовательно, согласно (6.4.33б), разброс $P$ порядка $k_{\| 0} v_{T}$, находим
\[
f_{r} \sim \frac{K^{1}:}{k_{\| 0^{0} T}},
\]

что дает
\[
\langle D\rangle=\frac{1}{2} k_{\| 0}^{2} v_{T}^{2}(1+S)^{1 / 2}\left(\frac{e \Phi_{0}}{T}\right)^{1 / 2} / \tau_{c} .
\]

Переходя с помощью (6.4.33a) к переменной $\Delta x$, имеем
\[
D_{x}=\frac{1}{2} \frac{k_{L}^{2}}{k_{\| 00}^{2}(1+S)^{3,2}}\left(\frac{e \Phi_{0}}{T}\right)^{1 / 2} \frac{\rho_{L}^{2}}{\tau_{c}} .
\]

Этот результат был получен Невинсом и др. 1316] более формальным методом, не раскрывающим механизма диффузии. Отметим, что выражение (6.4.40) не дает точного количественного значения коэффициента диффузии ввиду неопределенности оценки (6.4.38). Диффузию такого типа иногда называют псевдоклассической, так как ее скорость (6.4.40), как и для классической диффузии, пропорциональна $\rho_{L}^{2} / \tau_{c}$, но зависит от амплитуды $\Phi_{0}$ резонансной гармоники возмущения.
Сравнение аналитических и численных результатов. В работе Невинса и др. [316] проведено также сравнение с результатами численного моделирования, для которого использовались точные уравнения движения частицы, а столкновения учитывались по методу Монте-Карло. В типичном случае для получения хорошей статистики просчитывались траектории от 500 до 1000 частиц. Было получено разумное согласие с теоретическими зависимостями от различных параметров. Мы приведем здесь два результата.

На рис. 6.24 численные данные $\left(D^{*}\right)$ сравниваются с аналитическим выражением (6.4.40) для $D_{x}$, в которое введен дополнительный множитель. Подгонка дает $D^{*}=0,8 D_{x}$, т. е. согласие хорошее.

На рис. 6.25 показана зависимость скорости диффузии от эффективной частоты столкновений
\[
v_{
i \Phi \phi}=v_{c} \frac{M v_{T}^{2}}{e \Phi_{0}(1+S)},
\]

Рис. 6.24. Скорость дрейфовой диффузии $D^{*}$ в зависимости от параметра шира $S$ (по данным работы [316]).
$D_{\text {кл }}=\rho_{L}^{2} / \tau_{\mathrm{c}} ; e \Phi_{0} / T=0,01 ; k_{\|} / k_{\perp}=0,03 ; \omega^{\prime} / k_{\|} v_{T}=0,5 ; k_{\perp} \rho_{L}=4,3 \times 10^{-3}$. Точки-численные данные (с ошибками); сплошная линия – теоретические значсния (6.4.40). умноженные на 0,8 (подгонка, см. текст).

где $v_{c}=1 / \tau_{c}$. Видн плато и интересный переходный режим в районе $v_{\text {эфф }} / \omega_{0}=1$ где $\omega_{0}=K^{1 / 2}$ – частота фазовых колебаний на резонансе ${ }^{1}$ ). Скорость диффузии на плато можно определить,
${ }^{1}$ ) Аналогичные результаты были получены для блигкой, но более простой модели в работе [517] (рис. 5).- Прим. ред.

исходя из простого предположения, что при $v_{э ф ф}>\omega_{0}$ длина дрейфа между столкновениями уменьшается с ростом $v_{\mathrm{c}}$ таким образом, что сохраняется отношение
\[
v_{
i ф \phi} / \omega_{0} \approx 1 .
\]

Используя в (6.4.42) $\omega_{0}=K^{1 / 2}$ из (6.4.35а) и $v_{\text {эфф }}$ из (6.4.41), на$\left(k_{\mid 1} v_{T} \tau_{c}\right)^{-1}$

Рис. 6.25. Скорость дрейфовой диффузии в зависимости от частоты столкновений (по данным работы [316]).
\[
\left.D_{0}=\left(k_{\|} \tilde{\mathrm{T}}_{\mathrm{T}}\right)^{-1}(c k\lrcorner \Phi_{0} / B\right)^{2} ; e \Phi_{0} / T=0,08 ; k_{\|} / k_{\perp}=0,2 ; \omega=0 ; k_{\perp} \rho_{L}=4,3 \times 10^{-3} .
\]

Точки – численные данные (с ошибками); сплошная линия – теоретические значеник $(6.4 .40$ ), умноженные на 1,3 ; пунктирная линия – плато (6.4.43).

үодим $v_{c}$ и подставляем эту величину в (6.4.40). В результате получаем $\because$ зависящий от $v_{c}$ коэффициент диффузии на плато ${ }^{1}$ ):
\[
D_{x}^{B, \”}=\frac{k_{\perp}^{2}}{k_{\|}^{2}} k_{\|} v_{T}\left(\frac{e \Phi_{0}}{T}\right)^{2} \rho_{L}^{2} .
\]
1) При $k_{\|} \rightarrow 0$ эта оценка [как и в (6.4.40)] становится неприменимой в силу тех или иных ограничений. Если, например, рассматриваемая модель справедлива при $\Delta x \leqslant a$, то амплитуда дрейфовых колебаний $\left(k \rho_{L} / k_{\|}\right) \times$ $\times\left(e \Phi_{0} / T\right)^{1 / 2} \leqslant a$ и $D_{x}^{\text {пл }} \leqslant \rho_{L} v_{T} k_{\perp} a\left(e \Phi_{0} / T\right)^{3 / 2} \cdot-$ Прим. ред.

Этот результат, полученный в пределе нулевого шира, отличается от результата кинетической теории [358] лишь на числовой множитель, близкий к единице. Заметим, что, хотя соотношение (6.4.42) и является правдоподобным, оно не вытекает из рассматриваемой теории ${ }^{\mathbf{1}}$ ).
6.4г. Самосогласованная задача

Диффузия в тороидальных плазменных ловушках указывает на очень важную особенность реальных физических задач, не рассмат-

Рис. 6.26. Сечение магнитных поверхностей плоскостью $\psi=$ const (численные данные работы [48]).
Виден винтовой резонанс $l / n=2 / 1$, окружениыі тороидальным резонансом н: третьей гармонике.

риваемую явно в этой книге. Речь идет о самосогласованных полях, которые, с одной стороны, определяют движение частиц, а
1) Это не совсем так. В работе [71] показано, что скорость диффузии на плато дается квазилинейным выражением
\[
D_{x}^{\text {пл }} \approx \pi\left\langle\left(\frac{d}{d t} \Delta x\right)^{2}\right\rangle / \Delta \omega \approx(\pi / 2) c^{2} k_{\perp}^{2} \Phi_{0}^{2} /\left(B^{2} k_{|| 0} v_{T}\right) \approx D_{0},
\]

которое совпадает с (6.4.43) с точностью до числового множителя (см. рис. 6.25).- Прим. ред.

с другой – сами зависят от коллективных движений этих же частиц. При такой постановке задачи гамильтониан системы априори неизвестен, а исследования проводятся обычно с помощью численного моделирования полной системы уравнений для частиц и поля. Ниже кратко описан пример такой задачи.

Рис. 6.27. То же, что и на рис. 6.26, но с учетом самосогласованного магнитного поля для четырех моментов времени (численные данные работы [48]). $\mathrm{T}_{\mathrm{Mr}}$ – характерное магнитогидродинамическое время.

Тиринг-моды и неустойчивости срыва в токамаках. В токамаке (см. п. 6.4а) полоидальная составляющая магнитного поля возбуждается азимутальным током частиц плазмы, движение которых считается регулярным. Однако в плазме с конечной электропроводностью возможна неустойчивость тиринг-моды (см., например, [48, 428]) с винтовым возмущением тока ( $l \varphi-n \psi=$ const; $l, n$ – целые числа).

Такое возмущение тока нарушает азимутальную симметрию магнитного поля и приводит к резонансам магнитных линий. В случае цилиндрической симметрии одна винтовая мода приводит к образованию только одного резонанса, и конфигурация магнитного поля остается регулярной. Однако с учетом тороидальности появляются новые резонансы. Например, винтовая мода с $l=2$ и $n=1$ приводит к образованию одного резонанса второй гармоники на магнитной поверхности $\imath=\pi$. Тороидальность же добавляет к нему резонанс третьей гармоники при $\iota=2 \pi / 3$. В токамаках обычно обе резонансные поверхности расположены в области, занятой плазмой. Структура магнитных поверхностей в этих условиях, полученная путем численного моделирования для стационарной винтовой моды, показана на рис. 6.26. В данном случае область стохастических магнитных линий оказалась незначительной. Однако если присутствует еще и винтовая мода с $l=2, n=2$, то область стохастичности резко увеличивается. Результаты численного моделирования эволюции двух этих мод путем решения самосогласованных уравнений для частиц и поля показаны на рис. 6.27 для четырех моментов времени. На первом кадре ясно видны резонансы с $\imath=\pi$ и $\imath=2 \pi / 3$. На втором кадре виден результат взаимодействия между резонансами – большая часть магнитных линий в в районе резонанса $\iota=\pi$ стала стохастической. На третьем кадре стохастичность распространяется и на область резонанса $\imath=2 \pi / 3$. И наконец, на четвертом кадре показана заключительная стадия эволюции, которая привела практически к полному разрушению магнитных поверхностей. Связанное с этим резкое изменение распределения тока по сечению камеры считается причиной неустойчивости срыва в токамаках.