Рассмотрим гамильтонову систему с $N$ степенями свободы. Если уравнение Гамильтона-Якоби разделяется на $N$ независимых уравнений, по одному на каждую степень свободы, то гамильтониан и движение системы называются интегрируемыми (иногда используются термины полностью интегрируемый или полностью разделяющийся). Постоянные разделения $\alpha_{i}$ называются изолирующими или глобальными интегралами движения ${ }^{1}$ ), поскольку каждый такой интеграл «отделяет» одну степень свободы. Система с $N$ степенями свободы интегрируема тогда и только тогда, когда существует $N$ независимых изолирующих интегралов.

Эти интегралы должны быть в инволющии, т. е. их скобки Пуассона друг с другом должны обращаться в нуль: $\left[\alpha_{i}, \alpha_{j}\right]=0$. Это гарантирует, что переменные $\alpha_{i}$ образуют полный набор новых импульсов. Любая полная система $N$ функций от $\alpha$, например переменные действия $J_{i}$, также определяет набор изолирующих интегралов, скобки Пуассона которых автоматически обращаются в нуль (подробности см. в работе [430], § 147).
* 1.3a. Одна степень свободы

Согласно соотношекию (1.2.21), для системы с одной степенью свободы и независящим от времени гамильтонианом $H$ величина
\[
H(p, q)=E
\]

является интегралом движения. Поэтому все такие системы интегрируемы. При этом импульс $p$ зависит только от координаты $q$ (но не от времени). Разрешив (1.3.1), получим
\[
p=p(q, E) .
\]
1) В отечественной литературе используется также не совсем удачный термин – однозначный (конечнозначный) интеграл. Заметим, что понятия изолирующий и глобальный характеризуют, вооще говоря, разные свойства интеграла движения, поскольку кизоляция» может быть и локальной как, например, в теории КАМ (см. п. 3.2а ниже). Исключение с помощью каждого интеграла одной степени свободы, т. е. двух динамических переменных, возможно только при условии обсуждаемой ниже инволюции, или коммутирования, интегралов, что означает совместимость соответствующих им циклических координат. В противном случае интеграл позволяет исключить лишь одну динамическую переменную (см., например, [337], п. 14).- Прим. ред.

Зависимость переменных $p$ и $q$ от времени можно определить из второго уравнения Гамильтона (1.2.6б), которое дает
\[
d t=\frac{d q}{\partial H / \partial p},
\]

или, после интегрирования,
\[
t=\int_{q_{0}}^{q} \frac{d q}{\partial H / \partial p} .
\]

Так как $\partial H / \partial p$ зависит только от переменных $p$ и $q$, которые связаны соотношением (1.3.2), то интегрирование уравнений движения сводится к квадратуре. Однако интеграл можно найти, вообще говоря, только численно.
Модель маятника. Проиллюстрируем описанную выше процедуру на простом примере маятника. Подобный гамильтониан возникает по существу во всех задачах с нелинейными резонансами, и эта модель лежит в основе нашего подхода к нелинейной динамике, рассматриваемой в последующих главах. Уравнения движения маятника имеют вид
\[
\dot{p}=-F \sin \varphi, \quad \dot{\varphi}=G p,
\]

где $F=m g h ; G=1 /\left(m h^{2}\right) ; m g$ – сила тяжести, действующая на массу $m ; h$ – длина маятника. Угол отклонения от вертикали $\varphi$ и момент импульса $p$, сопряженный $\varphi$, удовлетворяют уравнениям Гамильтона. Гамильтониан есть сумма кинетической энергии $\frac{1}{2} G p^{2}$ и потенциальной энергии $U=-F \cos \varphi$ :
\[
H=\frac{1}{2} G p^{2}-F \cos \varphi=E .
\]

Соотношение (1.3.4) сводит задачу к квадратуре и позволяет выразить решение через эллиптические интегралы. Однако многое можно узнать и прямо из анализа соотношения (1.3.6) при различных значениях энергии $E$, как это показано на рис. 1.4. Значение гамильтониана $E$ соответствует полной энергии системы. Если $E$ больше максимального значения потенциальной энергии $F$, то импульс $p$ всегда отличен от нуля. Это приводит к неограниченному изменению $\varphi$, т. е. к вращению. При этом для $p>0$ движение происходит слева направо с энергией $E_{u}$. Для $E<F$ движение ограничено (внутри потенциальной ямы) и соответствует колебаниям маятника. Если же $E=F \equiv E_{s}$, то движение происходит по сепаратрисе, а период колебаний становится бесконечным. Движение имеет две особые точки при $p=0$ : одна находится в начале координат при $\varphi=0$ и является устойчивой, или эллиптической, особой точкой, другая (в месте соединения двух ветвей сепаратрисы при $\varphi= \pm \pi$ ) является неустойчивой, или гиперболической, особой точкой. Фазовая траектория вблизи эллиптической точки все время остается в ее окрестности, тогда как траектория вблизи гиперболической точки удаляется от нее.
Рис. 1.4. Динамика маятника.
a — график потенциальной энергии; 6 – фазовые траектории.
Из (1.3.4) следует, что в общем случае период колебаний зависит от энергии осциллятора. Подставляя значение $H$ из (1.3.6) в (1.3.4), для периода колебаний получаем соотношение
\[
T=\frac{1}{(2 G)^{1 / 2}} \oint \frac{d \varphi}{(E+F \cos \varphi)^{1 / 2}},
\]

которое можно выразить через эллиптические интегралы. В частности, из (1.3.5) видно, что на сепаратрисе как возвращающая сила, так и скорость обращаются в нуль при $\varphi=\pi$, и поэтому период $T$ становится бесконечным.

Чтобы записать гамильтониан маятника в переменных действие-угол $(J, \theta)$, вычислим действие аналогично (1.2.63). В результате получим
\[
\begin{array}{c}
J(E)=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\varphi_{\text {макс }}}\left[\frac{2}{G}\left(E+F \cos \varphi_{1}\right)\right]^{1.2} d \varphi_{1}, \\
\theta(\varphi, E)=\left(G \frac{d J}{d E}\right)^{-1} \int_{0}^{\varphi} \frac{d \varphi_{1}}{\left[(2 / G)\left(E+F \cos \varphi_{1}\right)\right]^{1 / 2}},
\end{array}
\]

где $\varphi_{\text {макс }}=\pi / 2$ для вращения $(E>F)$ и $\cos \varphi_{\text {макс }}=-H / F$ для колебаний $(E<F)$. Новый гамильтониан получается путем подстановки $\bar{H}=E$ в (1.3.8) и обращения функции $J(\bar{H})$. Выражения (1.3.8) и (1.3.9) приводятся к эллиптическим интегралам и их можно представить в виде $[383,344]$ :
\[
\begin{array}{c}
J=R \frac{8}{\pi}\left\{\begin{array}{ll}
\mathscr{E}(x)-\left(1-x^{2}\right) \mathscr{K}(x), & x<1, \\
\frac{1}{2} x \mathscr{E}\left(x^{-1}\right), & x>1,
\end{array}\right. \\
\theta=\frac{\pi}{2}\left\{\begin{array}{ll}
{[\mathscr{K}(x)]^{-1} \mathscr{F}(\eta, x),} & x<1, \\
2\left[\mathscr{K}\left(x^{-1}\right)\right]^{-1} \mathscr{F}\left(\frac{1}{2} \varphi, x^{-1}\right), & x>1 .
\end{array}\right.
\end{array}
\]

Здесь $R=(F / G)^{1,2}$, а $K(x)$ и $\mathscr{E}(x)$ – полные эллиптические интегралы первого и второго рода:
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{K}(x)=\int_{0}^{\pi / 2} \frac{d \xi}{\left(1-x^{2} \sin ^{2} \xi\right)^{1 / 2}}, \\
\mathscr{E}(x)=\int_{0}^{\pi / 2}\left(1-x^{2} \sin ^{2} \xi\right)^{1 / 2} d \xi,
\end{array}
\]

где $x \sin \eta=\sin \frac{1}{2} \varphi, 2 x^{2}=1+E / F$, а $\mathscr{F}$ – эллиптический интеграл первого рода. Величина $x$ характеризует относительную энергию маятника, так что на сепаратрисе $x=1$; для колебаний $x<1$, а для вращения $x>1$.
Соотношения $d J / d E=1 / \omega$ и (1.3.10) определяют частоту
\[
\frac{\omega(x)}{\omega_{0}}=\frac{\pi}{2}\left\{\begin{array}{ll}
{[\mathscr{K}(x)]^{-1},} & x<1, \\
2 x / \mathscr{K}\left(x^{-1}\right), & x>1,
\end{array}\right.
\]

где
\[
\omega_{0}=(F G)^{1 / 2}
\]
– частота малых колебаний вблизи эллиптической точки. Асимптотическое выражение для $\mathscr{K}$ при $x \rightarrow 1$ дает частоту вблизи сепаратрисы
\[
\frac{\omega}{\omega_{0}} \approx\left\{\begin{array}{ll}
\frac{\pi}{2} / \ln \left[\frac{4}{\left(1-x^{2}\right)^{12}}\right], & x<1, \\
\pi / \ln \left[\frac{4}{\left(x^{2}-1\right)^{12}}\right], & x>1 .
\end{array}\right.
\]

При $x \rightarrow 1$ частота логарифмически обращается в нуль. Уравнение сепаратрисы можно получить из (1.3.6) и условия $E=F$ :
\[
p_{s}=\frac{2^{1 / 2} \omega_{0}}{G}\left(1+\cos \varphi_{s}\right)^{1.2},
\]

где индекс $s$ отвечает значениям переменных на сепаратрисе. Отсюда
\[
p_{s}= \pm \frac{2 \omega_{0}}{G} \cos \frac{\varphi_{s}}{2},
\]

где плюс и минус соответствуют верхней и нижней ветвям сепаратрисы. Уравнение Гамильтона
\[
\dot{\varphi}_{\mathrm{s}}=G p_{\mathrm{s}}
\]

с учетом (1.3.17) дает
\[
\frac{d \varphi_{s}}{d t}= \pm 2 \omega_{0} \cos \frac{\varphi_{s}}{2} .
\]

Разрешая это уравнение относительно $d t$ и интегрируя с начальным условием $\varphi=0$ при $t=0$, получаем
\[
\omega_{0} t=\int_{0}^{\varphi_{s}} \frac{d \varphi / 2}{\cos (\varphi / 2)}=\ln \operatorname{tg}\left(\frac{\varphi_{s}}{4}+\frac{\pi}{4}\right),
\]

или, после обращения,
\[
\varphi_{s}=4 \operatorname{arctg}\left[\exp \left(\omega_{0} t\right)\right]-\pi .
\]

Траектории вблизи сепаратрисы очень похожи на саму сепаратрису, за исключением того, что период движения стремится к бесконечности при приближении к сепаратрисе (1.3.13).

Гамильтониан (1.3.6) был получен для модели маятника. Однако оказывается, что такого вида гамильтониан получается почти во всех близких к интегрируемым системах, в которых имеет место резонанс между степенями свободы. В окрестности значений переменных действия, соответствующих точному резонансу, разложение неинтегрируемой части гамильтониана в ряд Фурье дает члены, которые вызывают медленные изменения, описываемые гамильтонианом вида (1.3.6). Предположим, что угловые переменные $\varphi$ и $\psi$, соответствующие разным степеням свободы, находятся в резонансе, так что отношение их частот $\omega_{\varphi} / \omega_{\psi}$ для каких-то значений переменных действия близко к рациональному числу $r / l$. Тогда можно произвести каноническое преобразование к новой медленной переменной
\[
\theta=l \varphi-r \psi
\]

и исключить одну из быстрых угловых переменных, например $\varphi$. Қанонически сопряженный $\theta$ импульс связан с отклонением действия, например $J_{\varphi}$, от точного резонансного значения $J_{0}$. Если теперь произвести усреднение по быстрой угловой переменной $\psi$, то получится гамильтониан с одной степенью свободы, совпадающий по форме с гамильтонианом маятника (1.3.6). Поскольку такой гамильтониан всегда возникает при фурье-преобразовании возмущения с последующим применением резонансной теории возмущений и усреднения, он был назван Чириковым [70] «универсальное описание нелинейного резонанса». Мы будем называть его стандартным гамильтонианом. Он играет фундаментальную роль во всем нашем изложении материала. Соответствующая теория возмущений рассматривается в § 2.4 и широко используется в последующих главах.
1.3б. Линейные дифференциальные уравнения

Прежде чем перейти к анализу нелинейной системы с двумя степенями свободы, рассмотрим хорошо изученное математически линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Как известно, решение такого уравнения существует и соответствует регулярному движению ${ }^{1}$ ). Рассмотрим дифференциальное уравнение
\[
\ddot{x}+f(t) \dot{x}+g(t) x=0,
\]

где $f(t)$ и $g(t)$ считаются пока произвольными функциями времени. Так как это уравнение является линейным уравнением второго порядка, его общее решение можно построить при помощи двух линейно независимых решений $x_{1}$ и $x_{2}$. Важное свойство этого уравнения получается из анализа вронскиана
\[
W=\left|\begin{array}{cc}
x_{1} & x_{2} \\
\dot{x}_{1} & \dot{x}_{2}
\end{array}\right| .
\]
y) Это зависит от вида функций $f(t)$ и $g(t)$ в (1.3.23).- Прим. ред.

Дифференцируя обе части равенства по $t$, находим
\[
\frac{d W}{d t}=\left|\begin{array}{cc}
x_{1} & x_{2} \\
\ddot{x_{1}} & \ddot{x}_{2}
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}
\dot{x}_{1} & \dot{x}_{2} \\
\dot{x}_{1} & \dot{x}_{2}
\end{array}\right|,
\]

где второй определитель обращается в нуль, так как он имеет одинаковые строки. Подставляя выражение для $\ddot{x}_{1}$ и $\ddot{x}_{2}$ из (1.3.23) и раскрывая определитель, находим
\[
\dot{W}=-x_{1}\left(f \dot{x}_{2}+g x_{2}\right)+x_{2}\left(\dot{f x_{1}}+g x_{1}\right) .
\]

После сокращения членов $g x_{1} x_{2}$ имеем
\[
\dot{W}=-f W .
\]

Интегрирование этого выражения дает
\[
W(t)=W_{0} \exp \left[-\int_{t_{0}}^{t} f(t) d t\right] .
\]

Если $f(t)=0$, то диссипация в системе отсутствует ${ }^{1}$ ) и получающееся уравнение
\[
\ddot{x}+g(t) x=0
\]

соответствует гамильтониану
\[
H=\frac{1}{2}\left(p^{2}+g(t) q^{2}\right)
\]

с $q=x$ и $p=\dot{x}$. В этом случае (1.3.26) сводится к
\[
W=\text { const. }
\]

Это соотношение справедливо независимо от того, является ли $g(t)$ периодической функцией или нет.

Решение любого дифференциального уравнения второго порядка однозначно определяется начальными значениями функции и ее производной. Поэтому для каждого из независимых решений можно написать преобразование от начального момента времени $t=0$ к любому другому моменту времени в виде
\[
\begin{array}{l}
x_{1}(t)=m_{11} x_{1}(0)+m_{12} \dot{x}_{1}(0), \\
\dot{x}_{1}(t)=m_{21} x_{1}(0)+m_{22} \dot{x}_{1}(0),
\end{array}
\]

где коэффициенты $m_{i k}$ зависят от времени, но не от начальных условий. Из (1.3.29) вытекает, что детерминант матрицы
\[
\operatorname{det} \mathbf{M}=\left|\begin{array}{ll}
m_{11} & m_{12} \\
m_{21} & m_{22}
\end{array}\right|=1 .
\]
1) Функция $f(t)$ может характеризовать также изменение параметров системы, например массы.- Прим. ред.

Этот результат получается, если записать матрицу преобразования двух решений в виде
\[
\left(\begin{array}{ll}
x_{1}(t) & x_{2}(t) \\
\dot{x}_{1}(t) & \dot{x}_{2}(t)
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
m_{11} & m_{12} \\
m_{21} & m_{22}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
x_{1}(0) & x_{2}(0) \\
\dot{x}_{1}(0) & \dot{x}_{2}(0)
\end{array}\right) .
\]

Вычисляя детерминант в обеих частях равенства и используя тот факт, что детерминант произведения матриц равен произведению их детерминантов, получим преобразование для вронскиана
\[
W(t)=W(0) \operatorname{det} \mathbf{M} .
\]

Поскольку $W(t)=W(0)$, то $\operatorname{det} \mathbf{M}=1$, что эквивалентно условию сохранения площади. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие консервативные ${ }^{1}$ ) системы.
Периодические коэффициенты. Если $g(t)$ имеет период $\tau$, то (1.3.27) имеет два независимых решения вида
\[
x(t)=w(t) \exp [i \psi(t)],
\]

где $w(t)$ – периодическая функция времени
\[
w(t)=w(t+\tau) .
\]

При этом
\[
\exp \{i[\psi(t+\tau)-\psi(t)]\}=\exp (i \sigma)
\]

где $\sigma$ не зависит от времени. Поэтому $\dot{\psi}$ тоже периодическая функция времени. Уравнение (1.3.31) представляет собой общее решение Флоке для линейного уравнения с периодическими коэффициентами. Дифференцируя (1.3.31) два раза, подставляя результат в (1.3.27) и сокращая $e^{i \psi}$, получаем для действительной и мнимой частей:
\[
\begin{array}{c}
\ddot{w}-\omega \dot{\psi}^{2}+g(t) w=0, \\
2 \dot{w} \dot{\psi}+\omega \ddot{\psi}=0 .
\end{array}
\]

Перепишем второе уравнение в виде
\[
\frac{2 \dot{w}}{w}+\frac{\ddot{\psi}}{\dot{\psi}}=0,
\]
1) Имеется в виду сохранение неэнергии, а площади на фазовой плоскости системы $(x, \dot{x})$. Заметим, что последнее сразу следует из того, что при $f=0$ рассматриваемая система является гамильтоновой (1.3.28) в переменных $x, \dot{x}$ – Прим. ред.

или, после интегрирования,
\[
\dot{\psi}=\frac{1}{w^{2}} .
\]

Подставляя это соотношение в (1.3.31) и переходя к действительным функциям, находим
\[
x(t)=w(t) \cos \psi(t),
\]

где $\psi=\int_{t_{0}}^{t} d t w^{2}$. Используя соотношение
\[
\cos ^{2} \psi+\sin ^{2} \psi=1
\]

и выражая $\sin \psi$ и $\cos \psi$ с помощью (1.3.34), получаем инвариант ${ }^{2}$ )
\[
I(x, \dot{x}, t)=\left[w^{-2} x^{2}+(w \dot{x}-\dot{w} x)^{2}\right] .
\]

Хотя явный вид функции $w(t)$ в общем случае неизвестен, но из существования решения следует, что для гамильтониана (1.3.28) всегда существует инвариант I. Подставляя (1.3.33) в (1.3.32a), получаем уравнение для ж:
\[
\ddot{w}+g(t) w-\frac{1}{w^{3}}=0 .
\]

Решение этого уравнения не проще, чем исходного (1.3.27). Однако Левис [259] заметил, что ююбое решение (1.3.37) определяет через соотношение (1.3.36) решение (1.3.27) для всех начальных условий. Инвариант (1.3.36) полезен при изучении движения частиц в ускорителях с жесткой фокусировкой [94], когда функция $g(t)$ кусочно постоянна и можно явно найти $(t)$. Точное решение известно также и в случае $g(t)=a+b \cos t$, который приводит к уравнению Матье. Левис [259] показал, что для произвольной функции инвариант (1.3.36) можно построить при помощи теории возмущений.

Отметим, что проведенный выше анализ применим к линейным неавтономным системам с одной степенью свободы, которые соответствуют некоторому специальному классу гамильтонианов с двумя степенями свободы. Так как неавтономные линейные системы второго порядка интегрируемы, то неудивительно, что всегда можно найти соответствующий инвариант. Попытки Саймона [397] и Левиса и Лича [260] обобщить эти методы на нелинейные системы не привели пока к новым полезным результатам.
1) В общем случае (1.3.33) содержит произвольную постоянную: $\dot{\psi}=$ $=C / w^{2} ;$ соответственно изменяются и (1.3.36), (1.3.37).- Прим. ред.
2) Этот инвариант, полученный впервые Курантом и Снайдером [94], имеет простой физнческий смысл сохранения «энергии» в переменных:

1.3в. Несколько степеней свободы

Для систем с несколькими степенями свободы соотношение (1.3.3) принимает вид
\[
d t=\frac{d q_{1}}{\partial H / \partial p_{1}}=\frac{d q_{2}}{\partial H / \partial p_{2}}=\cdots=\frac{d q_{N}}{\partial H / \partial p_{N}} .
\]

Только в том случае, когда производная $\partial H / \partial p_{1}=f\left(q_{1}\right)$ зависит лишь от $q_{1}$, первое уравнение решается в квадратурах. Аналогичное утверждение имеет место и для последующих уравнений. В общем случае необходимо решать всю систему дифференциальных уравнений совместно. Однако, если в дополнение к гамильтониану имеются другие интегралы движения, тогда число совместно решаемых уравнений может быть уменьшено на единицу для каждого дополнительного изолирующего интеграла движения. Изолирующим является такой интеграл, который в некоторых канонических переменных приводится к уравнению: $\partial H / \partial p_{i}=f\left(q_{i}\right)$. Преобразование к переменным действие – угол удовлетворяет даже более жесткому условию $\partial H / \partial p_{i}=$ const. Однако само преобразование зависит от существования изолирующего интеграла. Последний же может быть достаточно глубоко скрыт в динамике системы, так что обнаружить его не так-то легко. Изолирующие интегралы связаны с симметриями динамической системы. Эти симметрии могут оказаться очевидными, и тогда необходимое преобразование переменных, обеспечивающее решение в квадратурах, определяется непосредственно. Это справедливо, например, для частицы в поле центральных сил (см. ниже). Когда присутствие симметрии в системе не очевидно, как, например, в случае рассматриваемой ниже цепочки Тоды, найти изолирующий интеграл не просто. В настоящее время не существует какого-либо метода, позволяющего определить все изолирующие интегралы произвольной гамильтоновой системы или хотя бы установить их полное число. Поэтому не существует и никакого общего способа проверки на интегрируемость ( $N$ изолирующих интегралов) для системы с $N$ степенями свободы. Если в системе нет очевидной симметрии, то догадаться о существовании скрытого изолирующего интеграла и обнаружить его часто удается лишь при помощи численных экспериментов.

Центральные силы. Проиллюстрируем нахождение изолирующего интеграла (помимо полной энергии) и сведение решения к квадратурам на простом примере движения частицы в поле центральных сил. Хорошо известно, что эта задача интегрируема. Без потери общности задача сводится к двумерному движению в плоскости, определяемой начальной скоростью частицы и положением силового центра. Третья степень свободы тривиально отделяется при помощи изолирующего интеграла $p_{z}=0$. В полярных координатах $(r, \theta)$ гамильтониан имеет вид
\[
H=\frac{1}{2 m}\left(p_{r}^{2}+\frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}}\right)+U(r),
\]

где $p_{r}=m \dot{r}, p_{\theta}=m r^{2} \dot{\theta}, m-$ масса частицы, $U$ – потенциал центральной силы ( $F=-\partial U / \partial r)$. Поскольку система консервативна, то ее гамильтониан $H=E$ сохраняется. Уравнения движения в форме (1.3.38) имеют вид
\[
d t=\frac{d \theta}{\partial H / \partial p_{\theta}}=\frac{d r}{\partial H / \partial p_{r}} .
\]

Рис. 1.5. Движение в центральном поле.
$a$ – эффективный одномерный потенциал; 6 – фазовые тра. екторин.

Вычисляя частные производные и исключая $p_{r}$ при помощи гамильтониана, получаем
\[
d t=\frac{d \theta}{p_{\theta} / m r^{2}}=\frac{d r}{\left[2 m(E-U(r))-p_{\theta}^{2} / r^{2}\right] / m} .
\]

Эти уравнения нельзя решить, пока неизвестна зависимость $p_{\theta}$ от $\theta$ и $r$. Именно отсюда видно существенное значение второго интеграла движения. В данном случае таким интегралом движения является $p_{\theta}$. Это следует из того, что сила $d p_{\theta} / d t$ отсутствует и гамильтониан не зависит от $\theta$. Отсюда
\[
p_{\theta}=l=\text { const. }
\]

Подставляя это выражение во второе уравнение (1.3.40), сводим к квадратурам сначала решение для $r(t)$, а затем и для $\theta(t)$. Это можно увидеть и прямо из (1.3.39), вводя эффективный потенциал $\bar{U}(r)=l^{2} / 2 m r^{2}-U(r)$. Оба слагаемых потенциала и их сумма, или эффективный потенциал, показаны на рис. $1.5, a U(r)=$ $=-k / r^{\beta}$ при $2<\beta<0$; задача Кеплера соответствует $\beta=1$. Указаны также три значения полной энергии системы $E_{b}, E_{s}$ и $E_{u}$, соответствующие финитному, сепаратрисному и инфинитному движениям. Фазовые кривые представлены на рис. 1.5, б. Движение здесь аналогично случаю одной степени свободы (рис. 1.4), за исключением того, что сепаратриса теперь замыкается на бесконечности.

Финитное движение на плоскости $(r, \theta)$, ограниченное окружностями радиуса $r_{1}$ и $r_{2}$, показано на рис. 1.6 для $\beta
eq 1$. Пространственная траектория не замкнута, так как отношение периодов по $r$ и $\theta$ не равно целому числу ${ }^{1}$ ). Это – – пример квазипериодического движения. Тем не менее пересечения траекторий с плоскостью $\theta=$ const образуют в этом случае замкнутую кривую в координатах $r, p_{r}$ вследствие существования двух изолирующих интегралов $p_{\theta}=$ $=l$ и $H=E$. Для $\beta=1$ (задача Кеплера) частоты движения по $r$ и $\theta$ одинаковы и траектория образует замкнутую кривую (эллипс)
в плоскости $(r, \theta)$.
1) Точнее, рациональному числу.- Прим. ред.

Рассмотрим теперь преобразование к переменным действие угол. Подставляя производящую функцию в (1.3.39), получаем уравнение Гамильтона-Якоби (1.2.15) в виде
\[
\frac{1}{2 m}\left[\left(\frac{\partial S_{r}}{\partial r}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial S_{\theta}}{\partial \theta}\right)^{2}\right]+U(r)=E,
\]

где мы использовали преобразование $p_{i}=\partial S / \partial q_{i}$ и учли, что переменные разделяются. После умножения на $2 m r^{2}$ гамильтониан принимает вид (1.2.50):
\[
\left(\frac{\partial S_{\theta}}{\partial \theta}\right)^{2}=2 m r^{2}\left[E-\frac{1}{2 m}\left(\frac{\partial S_{r}}{\partial r}\right)^{2}-U(r)\right]=l^{2},
\]

и мы снова приходим к сохранению момента импульса. Это, конечно, прямо следует из того, что $\theta$ является циклической переменной, т. е. гамильтониан от нее не зависит. Второе уравнение в (1.3.43) дает
\[
\left(\frac{\partial S_{r}}{\partial r}\right)^{2}=2 m(E-U(r))-\frac{l^{2}}{r^{2}} .
\]

Запишем переменные действия в виде
\[
\begin{array}{l}
2 \pi J_{\theta}=\oint p_{\theta} d \theta=\oint \frac{\partial S_{\theta}}{\partial \theta} d \theta, \\
2 \pi J_{r}=\oint p_{r} d r=\oint \frac{\partial S_{r}}{\partial r} d r .
\end{array}
\]

Подставляя (1.3.43) и (1.3.44) в (1.3.45) и (1.3.46), соответственно получаем
\[
\begin{array}{c}
J_{\theta}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} l d \theta=l, \\
J_{r}=\frac{1}{2 \pi} \int\left[2 m(E-U(r))-\frac{l^{2}}{r^{2}}\right]^{12} d r .
\end{array}
\]

Пусть, например, $U(r)=-k / r$. Простое интегрирование ([156], $\S 9.7)$ дает
\[
J_{r}=-l+\frac{k}{2}\left(\frac{2 m}{-E}\right)^{1 / 2}=\text { const. }
\]

Отсюда новый гамильтониан
\[
\bar{H}=E=-\frac{m k^{2}}{2\left(J_{r}+J_{\theta}\right)^{2}},
\]

где мы заменили $l$ на $J_{\theta}$. Заметим, что переменные действия входят только в виде суммы. Следовательно, в системе имеется вырождение ${ }^{1}$ ). Это значит, что движения как по $r$, так и по $\theta$ имеют одну и ту же частоту ${ }^{2}$ )
\[
\omega=\frac{\partial \bar{H}}{\partial J_{r}}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial J_{\theta}}=\frac{m k^{2}}{\left(J_{r}+J_{\theta}\right)^{3}},
\]

что приводит к замкнутой траектории. Если центральная сила зависит от $r$ по-другому, то траектория уже не будет замкнутой, как показано на рис. 1.6.

Цепочка Тоды. В качестве второго примера интегрируемого гамильгониана рассмотрим трехчастичную цепочку Тоды [408] 33), гамиль-
Рис. 1.7. Трехчастичная цепочка Тоды.

тониан которой имеет вид
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)+\exp \left[-\left(\varphi_{1}-\varphi_{3}\right)\right]+\exp \left[-\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right)\right] \div \\
+\exp \left[-\left(\varphi_{3}-\varphi_{2}\right)\right]-3 .
\end{array}
\]

Система состоит из трех частиц, движущихся по кольцу (рис. 1.7); между ними действуют отталкивающие силы, уменьшающиеся по $\qquad$
1) В оригинале – intrinsic degeneracy (внутреннее вырождение).Прия. перев.
${ }^{2}$ ) В других канонических переменных (например, $p_{1}=J_{r}+J_{\theta}, p_{2}$ ) вырождение означает, что одна из основных частот системы ( $\omega_{2}=\partial H / \partial p_{2}$ ) равна нулю.- Прим. ред.
3) См. также [454].- Прим. ред.

экспоненциальному закону. Помимо энергии, имеется, очевидно, другой изолирующий интеграл – полный момент
\[
P_{3}=p_{1}+p_{2}+p_{3}=\text { const. }
\]

Это следует из инвариантности гамильтониана при вращении системы как целого ( $\varphi_{i} \rightarrow \varphi_{i}+\varphi_{0}$ ), а также непосредственно из уравнений Гамильтона. Чтобы учесть это явно, перейдем к новым мо-
Рис. 1.8. Эквипотенциальные кривые для гамильтониана Тоды.
Стрелка показывает направление роста потенциала.

ментам $P_{1}=p_{1}, P_{2}=p_{2}$ и $P_{3}$, определяемому формулой (1.3.53). Используя производящую функцию
\[
F_{2}=P_{1} \varphi_{1}+P_{2} \varphi_{2}+\left(P_{3}-P_{1}-P_{2}\right) \varphi_{3},
\]

получим
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{H}=\frac{1}{2}\left[P_{1}^{2}+P_{2}^{2}+\left(P_{3}-P_{1}-P_{2}\right)^{2}\right]+\exp \left(-\Phi_{1}\right)+ \\
+\exp \left[-\left(\Phi_{2}-\Phi_{1}\right)\right]+\exp \left(\Phi_{2}\right)-3,
\end{array}
\]

где координаты $\Phi_{i}$ канонически сопряжены с $P_{i}$. Так как гамильтониан не зависит от $\Phi_{3}$, то, как непосредственно видно, $P_{3}=$ $=$ const. Без потери общности можно положить $P_{3}=0$, что соответствует выбору такой вращающейся системы отсчета, в которой полный момент равен нулю. Других изолирующих интегралов как будто не видно.

Рассматриваемую систему можно представить как частицу в двумерной потенциальной яме. Для этого воспользуемся производящей функцией
\[
F_{2}^{\prime}=(4 \sqrt{3})^{-1}\left[\left(p_{x}^{\prime}-\sqrt{3} p_{y}^{\prime}\right) \Phi_{1}+\left(p_{x}^{\prime}+\sqrt{3} p_{y}^{\prime}\right) \Phi_{2}\right]
\]

Рис. 1.9. Поверхность сечения Пуанкаре для гамильтониана Тоды при разных энергиях $E$ (по данным работы [136]).
a) $E=1$; 6) $E=256$.

и после неканонического, но тривиального преобразования
\[
p_{x}^{\prime}=8 \sqrt{3} p_{x}, \quad x^{\prime}=x, \quad p_{y}^{\prime}=8 \sqrt{3} p_{y}, \quad y^{\prime}=y, \quad \bar{H}=H^{\prime} \mid \sqrt{3}
\]

будем иметь гамильтониан Тоды
\[
\begin{aligned}
\bar{H} & =\frac{1}{2}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)+\frac{1}{24}[\exp (2 y+2 \sqrt{3} x)+ \\
& +\exp (2 y-2 \sqrt{3} x)+\exp (-4 y)]-\frac{1}{8} .
\end{aligned}
\]

Эквипотенциальные кривые этой системы, схематически изображенные на рис. 1.8, плавно изменяются при удалении от центра и обладают симметрией по отношению к повороту на угол $2 \pi / 3$.

Если разложить гамильтониан $\bar{H}$ по $x$ и $y$ до кубических членов, получим гамильтониан Хенона-Хейлеса
\[
\bar{H}^{\prime}=\frac{1}{2}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+x^{2}+y^{2}\right)+x^{2} y-\frac{1}{3} y^{3} .
\]

Движение, описываемое этим гамильтонианом, рассматривается в следующем параграфе. Известно, что эта система неинтегрируема: Хенон и Хейлес [188] обнаружили в численных экспериментах, что при увеличении энергии $\bar{H}^{\prime}=E$ происходит переход от регулярного движения к стохастическому. При этом оказалось, что стохастичность присутствует в какой-то мере при любой энергии. Все это указывает на отсутствие в системе изолирующего интеграла. Форд и др. [136] исследовали численно гамильтониан Тоды $\bar{H}$, ожидая получить такой же результат. Қаково же было их удивление, когда они обнаружили, что траектории остаются регулярными для произвольной энергии $\bar{H}=E$, т. е. все пересечения траектории с поверхностью $x=0$ ложатся на гладкие инвариантные кривые. На рис. 1.9 кривые показаны для значений $E=1$ и $E=$ $=256$. Эти результаты резко расходятся с данными следующего параграфа, согласно которым в модели Хенона-Хейлеса траектории, заполняющие значительную часть площади, явно видны вплоть до такой низкой энергии, как $E=1 / 8$. Это различие связано, конечно, с тем, что у цепочки Тоды есть скрытая симметрия и соответствующий ей изолирующий интеграл. Воодушевленный численными результатами Форда, Хенон [186] нашел явное аналитическое выражение для этого интеграла
\[
\begin{array}{c}
I=8 p_{x}\left(p_{x}^{2}-3 p_{y}^{2}\right)+\left(p_{x}+\sqrt{3} p_{y}\right) \exp [(2 y-2 \sqrt{3} x)]- \\
-2 p_{x} \exp (-4 y)+\left(p_{x}-\sqrt{3} p_{y}\right) \exp [(2 y+2 \sqrt{3} x)]=\text { const. }
\end{array}
\]

Инвариантные кривые на рис. 1.9 можно непосредственно вычислить, если положить $x=0$ и исключить $p_{x}$ из (1.3.57) с помощью (1.3.59). Существование трех изолирующих интегралов $H, P_{3}$ и $I$ обеспечивает интегрируемость гамильтониана Тоды ${ }^{1}$ ) (1.3.52). Однако даже в исходных переменных интеграл $I$ не соответствует какому-либо очевидному закону сохранения или симметрии.
Нахождение интегрируемых гамильтонианов. Существуют ли какие-либо общие методы проверки на интегрируемость конкретного гамильтониана? На сегодняшний день ответ на этот вопрос отрицательный. Можно, однако, поставить вопрос по-другому: существуют $\qquad$
1) Вообще говоря, необходимо еще проверить коммутируемость интегралов, что было сделано для произвольного числа степеней свободы в работе [455].- Прим. ред.

ли методы конструирования потенциалов, приводящих к интегрируемым гамильтонианам? Такой метод действительно существует по крайней мере для ограниченного круга задач. Впервые этот метод был применен Уиттекером ([430], § 152) к исследованию движения частицы, которое описывается гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} p_{1}^{2}+\frac{1}{2} p_{2}^{2}+V\left(q_{1}, q_{2}\right) .
\]

Уиттекер поставил вопрос: существуют ли такие функции $V$, для которых система имеет интеграл не выше второй степени по $p$ :
\[
I(p, q)=a p_{1}^{2}+b p_{2}^{2}+c p_{1} p_{2}+e p_{1}+f p_{2}+g,
\]

где коэффициенты зависят от $q$ ? Чтобы такая функция была интегралом движения, необходимо выполнение условия
\[
[I, H]=0 .
\]

Подставляя (1.3.60) и (1.3.61) в (1.3.62) и приравнивая коэффициенты при $p_{1}^{m} p_{2}^{n}$, получаем систему уравнений в частных производных для этих коэффициентов, выраженных через потенциал $V$ и его первые производные. Линейные по $p$ члены приводят к независимым уравнениям
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial e}{\partial q_{1}}=0, \quad \frac{\partial f}{\partial q_{2}}=0, \quad \frac{\partial f}{\partial q_{1}}+\frac{\partial e}{\partial q_{2}}=0, \\
e \frac{\partial V}{\partial q_{1}}+f \frac{\partial V}{\partial q_{2}}=0 .
\end{array}
\]

Для остальных членов:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial a}{\partial q_{1}}=0, \quad \frac{\partial b}{\partial q_{2}}=0, \quad \frac{\partial b}{\partial q_{1}}+\frac{\partial c}{\partial q_{2}}=0, \\
\frac{\partial c}{\partial q_{1}}+\frac{\partial a}{\partial q_{2}}=0, \\
\frac{\partial g}{\partial q_{1}}-2 a \frac{\partial V}{\partial q_{1}}-c \frac{\partial V}{\partial q_{2}}=0, \\
\frac{\partial g}{\partial q_{2}}-2 b \frac{\partial V}{\partial q_{2}}-c \frac{\partial V}{\partial q_{1}}=0 .
\end{array}
\]

Так как уравнения (1.3.63) и (1.3.64) независимы от (1.3.65) и (1.3.66), то первые можно решить отдельно, что приводит к линейному по $p$ инварианту:
\[
I=q_{1} p_{2}-q_{2} p_{1},
\]

который существует для аксиально симметричного потенциала
\[
V=V\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right) .
\]

Это не что иное, как сохраняющийся момент импульса, с которым мы познакомились в задаче о центральных силах. Поищем решения, не связанные с этой симметрией. Положив $e=f=0$, получим из (1.3.65) и (1.3.66):
\[
\begin{array}{c}
c\left(\frac{\partial^{2} V}{\partial q_{1}^{2}}-\frac{\partial^{2} V}{\partial q_{2}^{2}}\right)+2(b-a) \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{1} \partial q_{2}}+ \\
+\left(\frac{\partial c}{\partial q_{1}}-2 \frac{\partial a}{\partial q_{2}}\right) \frac{\partial V}{\partial q_{1}}+\left(2 \frac{\partial b}{\partial q_{1}}-\frac{\partial c}{\partial q_{2}}\right) \frac{\partial V}{\partial q_{2}}=0
\end{array}
\]

где $a, b$ и $c$ определяются из дифференциальных уравнений (1.3.65). Уиттекер показал, что уравнение (1.3.68) имеет характеристики вида
\[
\frac{x^{2}}{\alpha^{2}}+\frac{y^{2}}{\alpha^{2}-\gamma^{2}}=1,
\]

где $x$ и $y$ связаны с $q_{1}$ и $q_{2}$ простым преобразованием координат, а $\alpha$ и $\gamma$ – постоянные интегрирования. Если выбрать за новые переменные параметры этих конфокальных эллипсов и гипербол
\[
x=\frac{\alpha \beta}{\gamma}, \quad y=\frac{1}{\gamma}\left[\left(\alpha^{2}-\gamma^{2}\right)\left(\gamma^{2}-\beta^{2}\right)\right]^{1 / 2},
\]

то дифференциальное уравнение для $V$, (1.3.68), будет иметь решение
\[
V=\frac{\psi(\alpha)-\varphi(\beta)}{\alpha^{2}-\beta^{2}},
\]

где $\psi$ и $\varphi$ – произвольные функции.
Этот интересный результат, однако, не привел пока к новым решениям физических задач. Тем не менее в последнее время происходит возрождение интереса к конструированию интегрируемых гамильтонианов ${ }^{1}$ ). Холл [174] применил такой метод к движению частицы в статических электрическом и магнитном полях, явно введя в задачу векторный потенциал. При этом он обнаружил, что решение Уиттекера не является полным, так как в нем не учитываются ограничения, связанные с сохранением энергии ${ }^{2}$ ). Им были рассмотрены также и другие классы инвариантов, не квадратичных
1) Наибольшее влияние на это оказала работа [456] (стимулированная в свою очередь знаменитой проблемой Ферми-Паста-Улама [127]), в которой был предложен мощный метод обратной задачи рассеяния, позволяющий конструировать целые семейства интегрируемых гамильтонианов. Современное состояние вопроса см., например, в книге [457].- Прим. ред.
2) Речь идет о том, что из-за сохранения энергии изменения $p_{1}$ и $p_{2}$ в (1.3.61) не являются независимыми. Поэтому условия интегрируемости Уиттекера (1.3.63) – (1.3.66) достаточны, но не необходимы (см. также [458]).- Прим. ред.

по импульсам. Целью этих исследований было найти самосогласованное решение для токов в плазме, обеспечивающих ее удержание. Однако вследствие чувствительности интегрируемости к небольшим изменениям потенциала, о чем свидетельствует сравнение потенциала Тоды с его приближением в форме потенциала Хенона и Хейлеса, кажется маловероятным, что для реальных потенциалов таким путем удастся достичь полной интегрируемости движения. В связи с этим представляет интерес вопрос: насколько сильным может быть возмущение интегрируемой системы, чтобы бо́льшая часть траекторий осталась регулярной? Этот вопрос подробно рассмотрен в гл. 2 и 4.

Другой подход развивается Хольтом [198]. Он рассмотрел гамильтониан
\[
H=H_{0}+\varepsilon V
\]

и потребовал, чтобы потенциал $V$ был выбран так, чтобы все члены ряда теории возмущений со степенью $\varepsilon$, выше заданной, были бы тождественно равны нулю. При помощи такой процедуры ему удалось построить инвариант (1.3.59) для гамильтониана Тоды. Он показал также, что этот инвариант можно получить и методом Уиттекера, если включить кубические по $p$ члены. Процедура остается при этом прежней, как описывалось для квадратичных по $p$ инвариантов, но становится гораздо более сложной. В общем случае такой метод не способен определить, существует ли инвариант для гамильтониана вида (1.3.70), поскольку невозможно рассмотреть все типы инвариантов. С другой стороны, если существует инвариант невысокой степени по $p$ (как, например, $p^{3}$ для цепочки Тоды), то его можно найти и, таким образом, доказать интегрируемость исходного гамильтониана. Однако для систем с более чем двумя степенями свободы подобная техника не проходит даже для ограниченного класса инвариантов.

Недавно был предложен еще один метод проверки динамической системы на интегрируемость, использующий так называемое свойство Пенлеве. Последнее означает, что все подвижные особенности решения в плоскости комплексного времени являются только простыми полюсами. Подвижными называются особенности, зависящие от начальных условий. Абловиц и др. [4] показали, что существует тесная связь между уравнениями в частных производных, имеющими солитонные (интегрируемые ${ }^{1}$ ) решения, и соответствующими им обыкновенными дифференциальными уравнениями, обладающими свойством Пенлеве. Сегур [366] продолжил эти исследования и показал, что модель Лоренца для диссипативной системы (см. §1.5), обладающая в общем случае хаотическим по- $\qquad$
1) Существования солитонов, вообще говоря, недостаточно для интегрнруемости (см., например, [4591).- Прим. ред.

ведением, оказывается интегрируемой ${ }^{1}$ ) как раз для тех значений параметров, при которых уравнения обладают свойством Пенлеве. Ряд хорошо известных примеров гамильтоновых систем был рассмотрен Баунтисом и др. [37]. Полученные результаты опять-таки подтверждают точное соответствие между интегрируемостью и свойством Пенлеве. Хотя это и не доказано строго, однако, по крайней мере для систем рассмотренного класса (две степени свободы и квадратичный по импульсам гамильтониан), накопилось уже достаточно много данных в пользу такого соответствия ${ }^{2}$ ). В принципе этот метод применим и к системам более высокой размерности, хотя для них это соответствие еще не проверено.

Один из методов нахождения специальных интегрируемых гамильтонианов состоит в выборе гамильтониана определенного вида, зависящего от некоторых произвольных параметров, и подборе таких значений этих параметров, при которых имеет место свойство Пенлеве. Например, для обобщенного гамильтониана Хенона-Хейлеса (1.3.58)
\[
H=\frac{1}{2}\left(\dot{x^{2}}+\dot{y}^{2}+A x^{2}+B y^{2}\right)+x^{2} y+\frac{\mu}{3} y^{3} ;
\]

из этого условия удается определить параметры $\mu, A$ и $B$ [37]. Такая же задача была решена Холлом [174] с помощью метода Уиттекера (с инвариантами до 4 -го порядка) в применении к обобщенному гамильтониану Хенона-Хейлеса. Оба подхода дают следующие условия интегрируемости:
а) $\mu=1, \quad A=B$,
б) $\mu=6, A$ и $B$ любые,
в) $\mu=16, B=16 A$,

которые были проверены прямым вычислением. Неизвестно, однако, существует ли какая-либо фундаментальная связь между методами Пенлеве и Уиттекера.

Қак известно, системы с одной степенью свободы всегда интегрируемы, а системы с двумя степенями свободы – как исключение. Что же произойдет при дальнейшем увеличении числа степеней свободы? Как уже отмечалось выше, даже нахождение отдельных интегрируемых потенциалов становится в этом случае очень трудным, чтобы не сказать невозможным. Однако, как показано в §6.5, область фазового пространства, занятого регулярными тра $\qquad$
1) Под интегрируемостью диссипативной системы здесь понимается, повидимому, существование простого аттрактора – устойчивого фокуса или предельного цикла.– Прим. ред.
2) См., однако, работу [460], где показано, что для сохранения соответствия с интегрируемостью свойство Пенлеве необходимо модифицировать. Дальнейшие исследования этого вопроса см. также в работе [461].-Прим. ред.

екториями, может как возрастать’), так и уменьшаться при увеличении числа степеней свободы. Примечательно, что при переходе к системам, описываемым дифференциальными уравнениями в частных производных, которые имеют в некотором смысле бесконечное число степеней свободы, снова обнаруживаются большие классы интегрируемых систем. При этом, как обсуждалось выше, уравнения в частных производных, имеющие солитонные (интегрируемые) решения, можно свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям, обладающим свойством Пенлеве. Для дальнейшего обсуждения методов решения и соотношения между дифференциальными уравнениями в частных и обыкновенных производных мы отсылаем читателя к специальной литературе [249, 366 ].