В принципе периодические точки отображения периода $k$ можно находить непосредственно из условия, что после $k$-й итерации
\[
T^{k} x_{0}=\boldsymbol{x}_{0} .
\]

Однако при больших $k$ эти вычисления становятся слишком трудоемкими. Вместо этого можно исходить и прямо из гамильтониана. Уравнения, которые надо при этом решать, соответствуют периодическим траекториям и их можно записать на поверхности сечения в виде
\[
\frac{\partial H}{\partial x_{i}}=0,
\]

где вектор $\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q})$. В общем случае решение этих уравнений можно найти лишь в форме рядов [116].

После того как периодические точки отображения найдены, можно исследовать их устойчивость в линейном приближении. Это делается следующим образом. Полагая $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_{0}+\Delta \boldsymbol{x}$ и сохраняя только линейные по $\Delta \boldsymbol{x}$ члены, получаем уравнение вида
\[
\Delta \boldsymbol{x}_{n+k}=\mathbf{A} \cdot \Delta \boldsymbol{x}_{n},
\]

где $\mathrm{A}$ – матрица, не зависящая от $\Delta \boldsymbol{x}$.
В предыдущием параграфе было показано, что малые возмущения интегрируемой системы приводят к возникновению последовательности чередующихся эллиптических (устойчивых) и гиперболических (неустойчивых) точек. Об этом говорят, в частности, численные данные, приведенные в п. 3.2г. Однако в случае больших возмущений топологические соображения ${ }^{1}$ ) уже неприменимы и в принципе все периодические точки могут быть неустойчивыми. В случае неинтегрируемых гамильтоновых систем линейная устойчивость является, по-видимому, необходимым и достаточным условием для нелинейной устойчивости ${ }^{2}$ ) в том смысле, что первая гарантирует существование инвариантных торов достаточно близко к периодической траектории ${ }^{3}$ ).
3.3a. Собственные значения и собственные векторы

Обозначив для простоты $\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q})=\Delta \boldsymbol{x}_{n}$ и $\overline{\boldsymbol{x}}=(\overline{\boldsymbol{p}}, \overline{\boldsymbol{q}})=\Delta \boldsymbol{x}_{n+k}$, перепишем линеаризованное уравнение $M$-мерного отображения (3.3.3) в виде
\[
\overline{\boldsymbol{x}}=\mathrm{A} \cdot \boldsymbol{x},
\]

где А – матрица $M \times M$, не зависящая от $\boldsymbol{x}$. Предположим, что ранг матрицы равен $M$, следовательно, $\operatorname{det} \mathrm{A}
eq 0$. Собственным $\qquad$
1) По-видимому, имеются в виду скорее наглядные представления на основе рис. 3.3.- Прим. ред.
2) Это справедливо лишь при дополнительных условиях, в частности указанных в примечании авторов ниже (см. примечание редактора на c. 191).- Прим. ред.
3) Особыми случаями являются числа вращения $\alpha=1 / 3 ; 1 / 4$.

значением системы (3.3.4) является постоянная, входящая в уравнение
\[
\mathrm{A} \cdot \boldsymbol{x}=\lambda x,
\]

так что некоторый вектор $\boldsymbol{x}$ остается неизменным с точностью до множителя. Из (3.3.5) следует, что $\lambda$ удовлетворяет характеристическому уравнению
\[
\operatorname{det}(A-\lambda I)=0 ;
\]

где I- единичная матрица. Это – алгебраическое уравнение $M$-го порядка, имеющее $M$ корней. Қаждое собственное значение соответствует нормальной моде колебаний, или фундаментальному решению. Из (3.3.5) следует также, что для устойчивости колебаний $\lim _{n \rightarrow \infty} \lambda^{n}$ должен быть ограничен ${ }^{1}$ ). Векторы $\boldsymbol{x}_{k}$, соответствующие значениям $\lambda_{k}$, называются собственными векторами, или нормальными колебаниями. Эти векторы можно найти, решая однородную систему уравнений
\[
\mathrm{B} \cdot \boldsymbol{x}_{k}=\sum_{i} b_{i j} x_{j k}=0,
\]

где $\mathrm{B}\left(\lambda_{k}\right)=\mathrm{A}-\lambda_{k} \mathbf{I}$. Если все собственные значения $\mathrm{A}$ различны, решение можно получить следующим образом. Перенесем члены с $j=l$ в правую часть уравнений (3.3.7) и опустим уравнение с $i=l$. Положим $x_{l k}=c_{k} B_{l l}$, где $c_{k}$ – произвольная постоянная, a $B_{l l}
eq 0$ – алгебраическое дополнение элемента $b_{l l}$ матрицы В. Получившуюся таким образом неоднородную систему $M-1$ уравнений решаем стандартным методом Крамера и получаем
\[
x_{j k}=c_{k} B_{l j} ; \quad j=1, \ldots, M \text {. }
\]

Поскольку ранг матрицы В равен ( $M-1$ ), то по крайней мере одно $B_{l l}
eq 0$. В случае совпадающих собственных значений метод решения остается таким же, но некоторые из векторов $\boldsymbol{x}_{k}$ будут зависеть от нескольких произвольных постоянных.

Рассмотрим матрицу $\boldsymbol{X}$, столбцы которой составлены из компонент разных собственных векторов $\boldsymbol{x}_{k}$. Если, кроме того, все собственные значения различны ${ }^{2}$ ), то из (3.3.5) находим
\[
\mathrm{A} \cdot \mathrm{X}=\mathrm{X} \cdot \boldsymbol{\Lambda} \text {, }
\]

где $\boldsymbol{\Lambda}$ – диагональная матрица с элементами $\Lambda_{i i}=\lambda_{i}$. Отсюда
\[
\mathbf{\Lambda}=\mathbf{X}^{-1} \cdot \mathbf{A} \cdot \mathbf{X} \text {, }
\]
1) Это справедливо, вообще говоря, лишь в том случае, когда матрица А не зависит от $x_{0}$ (см. ниже п. 3.36, 3.3в, 5.26 и работу [55)].- Прим. ред.
2) Случай совпадающих собственных значений см. в [13] или в любом учебнике по линей ной алгебре.

т. е. $\mathrm{X}$ диагонализует А. Введем новые векторы
\[
\boldsymbol{u}_{k}=\mathrm{X}^{-\mathbf{1}} \cdot \boldsymbol{x}_{k} ; \quad \boldsymbol{x}_{k}=\mathrm{X} \cdot \boldsymbol{u}_{k} .
\]

Из (3.3.5) получаем
\[
\Lambda \cdot \boldsymbol{u}_{k}=\lambda_{k} \boldsymbol{u}_{k},
\]
т. е. $\boldsymbol{u}_{k}$ являются собственными векторами матрицы $\boldsymbol{\Lambda}$ и из них можно образовать ортонормированный базис $\boldsymbol{e}_{k}$.

Симметрия собственных значений. Если преобразование, задаваемое $\mathrm{A}$, является каноническим, то $M$ равно четному числу $2 N$ и выполняются следующие соотношения для скобок Пуассона:
\[
\begin{array}{c}
{\left[\bar{q}_{i}, \bar{q}_{j}\right]=\left[\bar{p}_{i}, \bar{p}_{i}\right]=0,} \\
{\left[\bar{q}_{i}, \bar{p}_{j}\right]=\delta_{i j}, \quad i, j=1, \ldots, N .}
\end{array}
\]

Введем $2 N$-мерную антисимметричную матрицу
\[
\boldsymbol{\Gamma}=\left(\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array}\right),
\]

каждый элемент которой есть блок $N \times N ; \Gamma^{\mathbf{T}}=\Gamma^{-1}=-\Gamma$, ( $\mathrm{\text {означает }}$ транспонирование) и $\operatorname{det} \mathbf{\Gamma}=1$. Тогда соотношения (3.3.13) можно записать в виде
\[
\left[\overline{x_{i}}, \bar{x}_{j}\right]=\sum_{k, l} a_{i k} \Gamma_{k l} a_{i l}=\Gamma_{i j}
\]

где
\[
a_{i k}=\partial \bar{x}_{i} / \partial x_{k} .
\]

Из (3.3.15) следует, что в рассматриваемом случае не все элементы матрицы А независимы. В матричной форме имеем
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{\Gamma} \cdot \mathbf{A}^{\mathbf{T}}=\mathbf{\Gamma}
\]

или
\[
\mathbf{A}^{\mathbf{T}} \cdot \mathbf{\Gamma} \cdot \mathbf{A}=\mathbf{\Gamma} .
\]

Матрица, удовлетворяющая этому условию, называется симплектической.

Покажем, что если $\lambda$ – собственное значение матрицы А, то $1 / \lambda$ также является ее собственным значением. Поскольку собственные значения произвольной матрицы не изменяются при транспонировании, то из (3.3.5) имеем
\[
A^{\mathrm{T}} \cdot y=\lambda y,
\]

или
\[
\left(A^{T}\right)^{-1} \cdot y=\frac{1}{\lambda} y .
\]

Из (3.3.17a) получаем
\[
A \cdot(\Gamma \cdot y)=\frac{1}{\lambda}(\Gamma \cdot y) .
\]

Значит, $1 / \lambda$ тоже является собственным значением матрицы А с собственным вектором $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\Gamma} \cdot \boldsymbol{y}$. Отсюда
\[
\lambda_{i+N}=\lambda_{i}^{-1}, \quad i=1, . . ., N .
\]

Рис. 3.8. Собственные значения симплектической матрицы.
Так как матрица А вещественная, то комплексные собственные значения появляются только в виде комплексно сопряженных пар. Еєли же $\lambda$ комплексная величина и $|\lambda|
eq 1$, то собственные значения образуют четверки:
\[
\lambda, \lambda^{*}, 1 / \lambda, 1 / \lambda^{*},
\]

симметричные относительно вещественной оси и единичной окружности (рис. 3.8). В случае $\operatorname{Im} \lambda=0$ собственные значения $\lambda, 1 / \lambda$ лежат на вещественной оси. При $|\lambda|
eq 1$ движение всегда неустойчиво. Если же $|\lambda|=1$, то собственные значения $\lambda$ и $\lambda^{*}=1 / \lambda$ лежат на единичной окружности и движение устойчиво.

Легко показать, что из симметрии собственных значений следует, что характеристическое уравнение (3.3.6) можно записать в виде
\[
\lambda^{N}+a_{1} \lambda^{N-1}+\ldots+a_{2 N-1} \lambda+1=0
\]

с симметричными коэффициентами:
\[
a_{1}=a_{2 N-1}, \quad a_{2}=a_{2 N-2}, \ldots .
\]

Итак, если все собственные значения различны, то для устойчивости движения необходимо, чтобы все они лежали на единичной окружности. В случае же кратных $\lambda$ вопрос об устойчивости более сложен (см. [13 1). Вообще говоря, при этом имеет место так называемая пограничная устойчивость 1 ).

Теперь мы покажем, что если матрица А симплектическая, то и матрицу $\mathbf{X}$ тоже можно представить в симплектической форме путем умножения ее столбцов на определенные константы $c_{k}$. Рассмотрим антисимметричную матрицу.
\[
\mathrm{S}=\mathbf{X} \cdot \mathbf{\Gamma} \cdot \mathbf{X}^{\mathrm{T}},
\]

элементы которой
\[
S_{i j}=\boldsymbol{x}_{i} \cdot \boldsymbol{\Gamma} \cdot \boldsymbol{x}_{j}^{\mathrm{T}} .
\]

Из выражений (3.3.9) и (3.3.24) получаем
\[
\boldsymbol{\Lambda} \cdot \mathrm{S} \cdot \boldsymbol{\Lambda}^{\mathrm{T}}=\mathrm{S},
\]

или
\[
\lambda_{i} \lambda_{j} S_{i j}=S_{i j} .
\]

Значит, $S_{i j}
eq 0$, лишь если $\lambda_{i} \lambda_{j}=1$. Учитывая соотношение, (3.3.21), находим, что отличные от нуля элементы матрицы $\mathbf{S}$ удовлетворяют соотношениям
\[
S_{i \diamond i+N}=-S_{i+N_{\bullet} i}, \quad i=1, . ., N .
\]

Положив $S_{i, i+N}=-1$ и $\boldsymbol{x}_{i}=c_{i} \boldsymbol{x}_{i}^{\prime}$, получаем из (3.3.25)
\[
c_{i} c_{i+N} \boldsymbol{x}_{i}{ }^{\mathrm{T}} \cdot \boldsymbol{\Gamma} \cdot \boldsymbol{x}_{i+N}^{\prime}=-1 .
\]

Это уравнение позволяет определять, например $c_{i+N}$ по заданным $c_{i}$. Таким образом, $\mathrm{S}=\boldsymbol{\Gamma}$ по построению. Сравнивая (3.3.24) с (3.3.17a), видим, что матрица $\mathrm{X}$ симплектическая. Так как $N$ постоянных $c_{i}$ можно выбрать произвольно, то построенная матрица $X$ не единственная.

Используя (3.3.17б), можно показать, что $\boldsymbol{x}_{1}^{\mathrm{T}} \cdot \boldsymbol{\Gamma} \cdot \boldsymbol{x}_{2}$ инвариантно по отношению к симплектическому преобразованию $\overline{\boldsymbol{x}}=\mathrm{A} \cdot \boldsymbol{x}$, т. е.
\[
\boldsymbol{x}_{1}^{\mathrm{T}} \cdot \boldsymbol{\Gamma} \cdot \boldsymbol{x}_{2}=\overline{\boldsymbol{x}}_{1}^{\mathrm{T}} \cdot \boldsymbol{\Gamma} \cdot \overline{\boldsymbol{x}}_{2} .
\]
1) Устойчивым является лишь глобальное (нелинейное) движение, в линейном же приближении по $\Delta x$ движение в этом случае неустойчиво, хотя $|\lambda|=1$ [см. (3.3.71) и рис. 5.5]. Эта неустойчивость существенна при численном определении перехода от регулярного движения к хаотическому.Прим. ред.

Это соотношение часто используется как определение симплектического преобразования. Положив $\boldsymbol{x}_{1}=\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}_{2}=\mathrm{A} \cdot \boldsymbol{x}$, найдем, что квадратичная форма
\[
Q=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \cdot \boldsymbol{\Gamma} \cdot \mathbf{A} \cdot \boldsymbol{x}
\]

является инвариантом отображения $\mathrm{A}$.
Только в случае двух степеней свободы, когда для $\lambda$ получается квадратное уравнение, собственные значения и собственные векторы можно легко найти в явном виде. Однако именно этот случай соответствует двумерным отображениям, которые занимают центральное место в нашем анализе нелинейных колебаний. Что касается большего числа степеней свободы, то аналитические решения здесь удается получить лишь в некоторых специальных случаях.
* 3.3б. Двумерные отображения

Двумерное отображение задается системой двух разностных уравнений первого порядка. Выпишем здесь еще раз уравнения (3.1.13) для возмущенного отображения поворота, положив для упрощения записи $\varepsilon \equiv 1$ :
\[
\begin{array}{c}
J_{n+1}=J_{n}+f\left(J_{n+1}, \theta_{n}\right), \\
\theta_{n+1}=\theta_{n}+2 \pi \alpha\left(J_{n+1}\right)+g\left(J_{n+1}, \theta_{n}\right),
\end{array}
\]

где $f$ и $g$ – периодические по $\theta$ функции с периодом $2 \pi$ (или иногда для удобства с периодом единица), а число вращения $\alpha=\omega_{1} / \omega_{2}$ определяет изменение фазы $\theta_{1}$ (здесь мы опустили индекс 1) на периоде фазы $\theta_{2}$. Поскольку величины $\alpha, f$ и $g$ записаны как функции переменной $J_{n+1}$ (а не $J_{n}$ ), то симплектический характер отображения выражается в форме простого условия сохранения площади (3.1.16). Отметим, что вовсе не обязательно записывать отображение в переменных действие-угол, примером служит отображение Хенона (3.2.40).
Периодические точки. Отображение (3.1.13) имеет периодическую точку $\boldsymbol{x}_{0}=\left(J_{0}, \theta_{0}\right)$ периода $k$, если
\[
\boldsymbol{x}_{0}=T^{k} \boldsymbol{x}_{0},
\]

причем $\boldsymbol{x}_{\mathbf{0}}$ не является периодической точкой меньшего периода. Иначе говоря, первый возврат в начальную точку происходит ровно через $k$ итераций отображения. Для любого $k$ существует счетное множество периодических точек. Они образуют группы, или периодические траектории $\left\{\boldsymbol{x}_{01}, \boldsymbol{x}_{02}, \ldots, \boldsymbol{x}_{0 k}\right\}$, где $\boldsymbol{x}_{0 i}=$ $=T^{l} \boldsymbol{x}_{01}$, а длина каждой траектории равна ее периоду $k$. Система периодических траекторий имеет иерархическую структуру [164 ].

Для получения всех периодических точек периода $k$ нужно решить $2 k+2$ алгебраических уравнения:
\[
J_{i+1}=J_{i}+f\left(J_{i+1}, \theta_{i}\right), \quad i=1, \ldots, k,
\]

\[
\begin{aligned}
\theta_{i+1} & =\theta_{i}+2 \pi \alpha\left(J_{i+1}\right)+g\left(J_{i+1}, \theta_{i}\right), \\
J_{k+1} & =J_{1}, \\
\theta_{k+1} & =\theta_{1} \pm 2 \pi m, \quad m=0,1, \ldots .,
\end{aligned}
\]

где $m$ – целое число взаимно простое с $k$. За исключением случая $k=1$ и, возможно, $k=2$, решать такую систему уравнений очень трудно не только аналитически, но даже и численно. При больших $k$ простые методы нахождения корней, вроде метода касательных Ньютона, становятся непригодными ввиду близости соседних решений в $(2 k+2)$-мерном пространстве. Специальные вариационные методы, разработанные для решения этой задачи [116, 179,183 ], описаны в § 2.6 .

В случае явного отображения поворота, когда $f$ не зависит от $J$ и $g=0$, последовательные подстановки выражений для $x_{i}$ в выражения для $\boldsymbol{x}_{i+1}$ приводят к уравнениям с двумя неизвестными вида
\[
\begin{array}{l}
f_{1}\left(J_{1}, \theta_{1}\right)=0, \\
f_{2}\left(J_{1}, \theta_{1}\right)=0 .
\end{array}
\]

Но и эти уравнения очень трудно решить при большом $k$ из-за чрезвычайно сложного характера функций $f_{1}$ и $f_{2}$.
Произведение инволюций. Существует важный класс отображений, периодические точки которых можно найти из уравнения с одним неизвестным. Если отображение (или соответствующий гамильтониан) обладает симметрией определенного типа, то его можно представить в виде произведения двух инволюций $[104,166]$
\[
T=I_{2} I_{1} .
\]

По определению отображение инволюции возвращает систему в начальное состояние после двух итераций, т. е.
\[
I_{1}^{2}=I ; \quad I_{2}^{2}=I,
\]

где $I$ – тождественное отображение. Явное отображение поворота можно представить в виде произведения двух инволюций при условии, что функция $f$ антисимметрична относительно некоторого угла (для простоты положим этот угол равным нулю). В этом случае отображение $I_{1}$ задается уравнениями:
\[
\begin{array}{c}
\vec{J}=J_{n}+f\left(\theta_{n}\right), \\
\bar{\theta}=-\theta_{n},
\end{array}
\]

а отображение $I_{2}$ есть
\[
\begin{array}{c}
J_{n+1}=\bar{J}, \\
\theta_{n+1}=-\bar{\theta}+2 \pi \alpha(\bar{J}) .
\end{array}
\]

Использование инволюций чрезвычайно облегчает нахождение периодических точек. В самом деле, так как все точки отображения инволюции имеют период 2 , то особыми могут быть лишь неподвижные точки (с периодом 1). А такие точки легко можно найти. Например, отображение $I_{1}$ имеет следующие линии неподвижных точек $\boldsymbol{x}_{1}$ :
\[
\theta_{1}=0, \pi, \quad \bmod 2 \pi
\]

независимо от значения $J_{1}$, а $I_{2}$ имеет линии неподвижных точек $\boldsymbol{x}_{2}$ при
\[
2 \theta_{2}=2 \pi \alpha\left(J_{2}\right), \quad \bmod 2 \pi .
\]

Используя (3.3.34) и (3.3.35), можно показать, что если как $\boldsymbol{x}$, так и $T^{n} \boldsymbol{x}$ являются неподвижными точками отображения $I_{1}$ (или $I_{2}$ ), то $\boldsymbol{x}$ является также и неподвижной точкой отображения $T^{2 n}$. В $\S 3.4$ мы воспользуемся этим методом для определения периодических точек отображения Улама. Грин использовал этот метод для нахождения периодических точек большого периода в случае стандартного отображения [165] и в задаче Хенона-Хейлеса [166]. В обоих случаях отображение, а значит, и нечетная степень отображения представимы в виде произведения инволюций. Поэтому периодические точки этих отображений можно найти рассмотренным методом. Так, например, отображение $T^{3}$ можно представить в виде произведения двух инволюций следующим образом:
\[
T^{3}=\left(I_{2} I_{1} I_{2}\right)\left(I_{1} I_{2} I_{1}\right) .
\]

Линеаризованное отображение. Разложим от ображение вокруг периодической траектории периода $k$ :
\[
x_{01} \rightarrow x_{02} \rightarrow \ldots . x_{0 k} \rightarrow x_{01}
\]

и найдем линеаризованные уравнения движения в окрестности точки $\boldsymbol{x}_{01}$ :
\[
\Delta x_{n+k}=\mathrm{M}\left(x_{0 k}\right) \cdot \Delta x_{n+k-1}=\mathrm{M}\left(x_{0 k}\right) \cdot \mathrm{M}\left(x_{0, k-1}\right) \cdot \Delta x_{n+k-2}
\]

и т. д. или
\[
\Delta \boldsymbol{x}_{n+k}=\mathrm{A}_{1} \cdot \Delta \boldsymbol{x}_{n} .
\]

Здесь
\[
\mathrm{A}_{1}=\mathrm{M}\left(x_{0 k}\right) \cdot \mathrm{M}\left(x_{0}, k-1\right) \cdots \mathrm{M}\left(x_{01}\right)
\]
– упорядоченное произведение $k$ матриц $\mathbf{M}_{i}=\mathbf{M}\left(x_{0 i}\right)$, взятых в последовательных точках периодической траектории, каждая из которых
\[
\mathrm{M}(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial J_{n+1}}{\partial J_{n}} & \frac{\partial J_{n+1}}{\partial \theta_{n}} \\
\frac{\partial \theta_{n+1}}{\partial J_{n}} & \frac{\partial \theta_{n+1}}{\partial \theta_{n}}
\end{array}\right)
\]

есть матрица Якоби отображения. В окрестности точки $x_{0 i}$ аналогичным образом приходим к выражению
\[
A_{i}=M_{i-1} \cdot M_{i-2} \cdots M_{i},
\]

которое получается из $A_{1}$ циклической перестановкой матриц.
Для возмущенного отображения поворота матрицу $\mathbf{M}$ можно получить путем подстановки выражения (3.1.13а) для $J_{n+1}$ в (3.1.13б), откуда ( $\varepsilon=1$ )
\[
\begin{array}{c}
M_{11}=\left(1-\frac{\partial f}{\partial \vec{J}}\right)^{-1} ; \quad M_{12}=M_{11} \frac{\partial f}{\partial \theta} ; \\
M_{21}=M_{11}\left(2 \pi \frac{d \alpha}{d \bar{J}}+\frac{\partial g}{\partial \vec{J}}\right) ; \\
M_{22}=1+M_{21} \frac{\partial f}{\partial \theta}+\frac{\partial g}{\partial \theta} .
\end{array}
\]

Здесь $\theta=\theta_{n}, \bar{J}=J_{n+1}$, а якобиан отображения
\[
\operatorname{det} \mathbf{M}=\left(1+\frac{\partial g}{\partial \theta}\right) /\left(1-\frac{\partial f}{\partial \bar{J}}\right)
\]

определяет изменение фазовой площади. Полагая $\operatorname{det} \mathrm{M}=1$, получаем условие сохранения площади (3.1.16).

且ля неподвижной точки $\mathbf{A}_{1}=\mathbf{M}_{1}$ и движение в ее окрестноєти определяется матрицей $\mathbf{M}_{1}$. В случае же периодической точки с периодом, бо́льшим 1, собственные значения и собственные векторы находятся из уравнения
\[
\mathrm{A}_{1} \cdot \boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}
\]

для движения вблизи точки $\boldsymbol{x}_{01}$ или из уравнения
\[
\mathrm{A}_{2} \cdot \boldsymbol{y}=\lambda \boldsymbol{y}
\]

для движения вблизи точки $\boldsymbol{x}_{02}$ и т. д. Однако подстановка $\mathrm{A}_{2}=$ $=\mathbf{M}_{1} \cdot \mathrm{A}_{1} \cdot \mathrm{M}_{1}^{-1}$ в уравнение (3.3.49) приводит его к уравнению (3.3.48) с $\boldsymbol{y}=\mathrm{M}_{\mathbf{1}} \cdot \boldsymbol{x}$. По индукции аналогичным образом связаны также любые $\mathbf{A}_{i}$ и $\mathbf{A}_{i-1}$. Отсюда следует, что собственные значения и условия устойчивости одинаковы для всех точек одной периодической траектории. Собственные же векторы для точки $\boldsymbol{x}_{0 i}$ выражаются посредством соотношения
\[
x_{i}=\mathrm{M}_{i-1} \cdot \mathrm{M}_{i-2} \cdots \mathrm{M}_{1} \cdot \boldsymbol{x}_{1}
\]

через собственные векторы точки $\boldsymbol{x}_{01}$.
* 3.3в. Линейная устойчивость и инвариантные кривые

Собственные значения линеаризованного отображения являются корнями уравнения (3.3.6):
\[
\left(\begin{array}{lr}
a_{11}-\lambda & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}-\lambda
\end{array}\right)=0,
\]

или
\[
\lambda^{2}-\lambda \mathrm{Sp} \mathrm{A}+1=0,
\]

где
\[
\mathrm{Sp} \mathbf{A}=a_{11}+a_{22}
\]

и $\operatorname{det} \mathbf{A}=1$ ввиду сохранения площади. Корни уравнения (3.3.51) равны
\[
\lambda_{1,2}=\frac{\mathrm{SpA}}{2} \pm i\left[1-\left(\frac{\mathrm{SpA}}{2}\right)^{2}\right]^{1 / 2} .
\]

Произведение корней $\lambda_{1} \lambda_{2}=1$, а их сумма $\lambda_{1}+\lambda_{2}$ есть вещественное число. Возможны три случая.
1. Корни $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ являются комплексно сопряженными и лежат на единичной окружности ( $\sigma
eq 0$ ):
\[
\lambda_{1,2}=e^{ \pm i \sigma} \text {. }
\]

Это соответствует устойчивым решениям, причем
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{Sp} A=2 \cos \sigma, \\
|\mathrm{Sp} A|<2 .
\end{array}
\]
2. Корни действительны и взаимно обратны
\[
\lambda_{2}=\lambda_{1}^{-1}
eq \pm 1 \text {, }
\]

так что
\[
\left|\lambda_{1,2}\right|=e^{ \pm \sigma}
\]

и
\[
|\mathrm{Sp} A|=|2 \mathrm{ch} \sigma|>2 .
\]

Это соответствует экспоненциально растущему и убывающему решениям. Первое (неустойчивое) решение может быть двух видов:
\[
\operatorname{Sp} A>2\left(\lambda_{1}>1\right) \text { и } \quad \mathrm{Sp} A<-2\left(\lambda_{1}<-1\right) .
\]
3. Корни равны
\[
\lambda_{1}=\lambda_{2}= \pm 1 .
\]

Существование этих трех случаев следует также и непосредственно из симметрии собственных значений. Выясним теперь физический смысл этих решений.
Эллиптические траектории. В случае 1 общее решение имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\Delta J_{n}=a \cos n \sigma+b \sin n \sigma, \\
\Delta \theta_{n}=c \cos n \sigma+d \sin ^{n} n \sigma .
\end{array}
\]

и описывает движение по эллипсу вокруг периодической точки. Уравнение эллипса можно получить из инвариантной квадратичной формы (3.3.30). Введя обозначения $p=\Delta J$ и $q=\Delta \theta$, чтобы подчеркнуть, что $\Delta J, \Delta \theta$ не обязаны быть переменными действие угол, получаем
\[
a_{12} q^{2}+\left(a_{11}-a_{22}\right) q p-a_{21} p^{2}=Q .
\]

Диагонализуем теперь матрицу А спомощью преобразования (3.3.10). При этом координатные оси поворачиваются на угол $\chi$ и совпа-

Рис. 3.9. Приведение эллиптических и гиперболических траекторий к нормальной форме.
$a$ – после поворота осей и изменения масштаба эллипс переходит в окружность; 6 после поворота асимптоты (пунктирные прямые) располагаются симметрично относительно координатных осей.

дают с главными осями матрицы А. Перекрестный член в (3.3.61) пропадает (рис. $3.9, a$ ), и мы получаем
\[
a_{12}^{\prime}{q^{\prime 2}}^{2}-a_{21}^{\prime} p^{\prime 2}=Q
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{tg} 2 \chi=\frac{a_{11}-a_{22}}{a_{12}+a_{21}}, \\
a_{11}^{\prime}=a_{22}^{\prime}=\frac{1}{2} \mathrm{Sp} \mathrm{A},
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{c}
a_{12}^{\prime}-a_{21}^{\prime}=a_{12}-a_{21}, \\
a_{12}^{\prime} a_{21}^{\prime}=\frac{1}{2}(\mathrm{Sp} \mathrm{A})^{2}-1 .
\end{array}
\]

Последние два уравнения можно разрешить относительно иедиагональных элементов матрицы А. В случае $1 a_{12}^{\prime}$ и $a_{21}^{\prime}$ имеют противоположные знаки, и выражение (3.3.62) переходит в уравнение эллипса с отношением полуосей
\[
R=\frac{p_{\text {макс }}^{\prime}}{q_{\text {макс }}^{\prime}}=\left|\frac{a_{12}^{\prime}}{a_{21}^{\prime}}\right|^{1 / 2} .
\]

Наконец, преобразование $p^{\prime}=R^{1 / 2} \bar{p}, q^{\prime}=R^{-1 / 2} \bar{q}$ переводит траекторию в окружность, а отображение сводится к простому линейному повороту на угол $\sigma$. Если ввести нелинейные члены, пропорциональные более высоким степеням $\Delta \boldsymbol{x}$, то получим возмущенное отображение поворота со всей своей сложной иерархической структурой, показанной на рис. 3.5.
Гиперболические траектории. В случае 2 общее решение имеет вид-
\[
\begin{array}{l}
\Delta J_{n}=a \lambda_{1}^{n}+b \lambda_{1}^{-n}, \\
\Delta \theta_{n}=c \lambda_{1}^{n}+d \lambda_{1}^{-n}
\end{array}
\]

и описывает движение по одной или по обеим ветвям гиперболы,
Производя поворот к главным осям (см. рис. 3.9, б), снова приходим к уравнению (3.3.62). Однако теперь $a_{12}^{\prime}$ и $a_{21}^{\prime}$ имеют одинаковый знак, и мы получаем гиперболу с асимптотами
\[
p^{\prime}= \pm R q^{\prime} \text {. }
\]

Переписав (3.3.66) в этой повернутой системе координат, видим, что при положительной величине $\lambda_{1}$ движение происходит только по одной ветви гиперболы. Если же $\lambda_{1}$ – отрицательная величина, то при каждой итерации отображения $p^{\prime}$ и $q^{\prime}$ отражаются относительно начала координат и движение происходит по обеим ветвям гиперболы, как показано на рис. 3.10.

В обычном случае, когда эллиптические и гиперболические периодические точки чередуются, гиперболические траектории остаются на одной ветви гиперболы. Примером может служить маятник с гамильтонианом (1.3.6), который для простоты мы перепишем в виде
\[
H=\frac{1}{2} p^{2}-\cos \varphi=\text { const. }
\]

Соответствующие траектории в фазовом пространстве показаны на рис. 1.4. Линеаризуя гамильтониан в окрестности неподвижных точек $p=0$ и $\varphi=2 \pi n$, получаем
\[
p^{2}+(\Delta \varphi)^{2}=\text { const. }
\]

Аналогично в окрестностях точек $p=0$ и $\varphi=\pi(n+1)$
\[
p^{2}-(\Delta \varphi)^{2}=\text { const. }
\]

Очевидно, что выражение (3.3.69) описывает эллипсы, а (3.3.70) гиперболы. Это соответствует неподвижным точкам $\varphi=0$ и $\varphi=\pi$, как показано на рис. 1.4.

Гиперболические точки второго вида (с отражением) также важны для нашего анализа. Как будет видно из дальнейшего, такие точки возникают при сильном возмущении, когда эллиптическая точка превращается в гиперболическую с отражением. В этом

Рис. 3.10. Три последовательных отображения начальной точки $x_{1}$. $a$ – вблизи обыкновенной гиперболической точки $\lambda_{1}>1 ; 6$ – вблизи гиперболической точки с өтражением $\lambda_{1}<-1$.

случае все неподвижные точки отображения $T^{R}$ становятся гиперболическими, и движение в окрестности данного резонанса становится стохастическим. Это будет явно показано в § 3.4.
Случай равных собственных значений. Случай 3 , когда $\lambda_{1}=\lambda_{2}=$ $= \pm 1$, особый в том смысле, что он является пограничным между устойчивым и неустойчивым движениями. При $\lambda_{1}=\lambda_{2}=1$, переходя к главным осям, отображение можно привести к виду
\[
\left(\begin{array}{l}
p_{n+k}^{\prime} \\
q_{n+k}^{\prime}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
a_{21} & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
p_{n}^{\prime} \\
q_{n}^{\prime}
\end{array}\right) .
\]

Это отображение описывает сдвиг вдоль прямой $p^{\prime}=$ const ${ }^{1}$ ). Линия неподвижных точек соответствует $p_{0}^{\prime}=0$. Аналогично этому
1) Возможен также случай, когда $a_{21}^{\prime}=0$, а $a_{12}^{\prime}=a_{12}$. При этом сдвиг происходит вдоль прямой $q^{\prime}=$ const.

при $\lambda_{1}=\lambda_{2}=-1$ сдвиг происходит вдоль двух прямых $p^{\prime}=$ $= \pm$ const. Начальному условию $p_{0}^{\prime}=0$ соответствует луч. Периодические точки с периодом 2 лежат на прямой $p_{0}^{\prime}=0$, причем если $q_{0}^{\prime}>0$, то $q_{k}^{\prime}=-q_{0}^{\prime}$ и т. д. Согласно теореме Пуанкаре Биркгофа, при включении нелинейного возмущения, некоторые из этих периодических точек сохраняются и ведут с ростом возмущения к бифуркациям, которые будут рассмотрены в п. 3.4 г. В $\S 4.4$ мы покажем также, что случай $\lambda_{1}=\lambda_{2}=-1$ особенно важен при определении перехода между ограниченным и неограниченным стохастическим движением по методу Грина [165].