Первые теоретические оценки диффузии Арнольда были получены Чириковым $\left[68,70\right.$ ] и его сотр. ${ }^{1}$ ). Теннисон и др. [406] и Либерман [273] рассчитали скорость диффузии для модельной задачи, описанной в п. 6.1б. Теоретический анализ основан на разделении исходной системы с тремя степенями свободы на две подсистемы, каждая из которых рассматривается в первом приближении независимо. Мы будем называть такой подход моделью стохастической накачки ${ }^{2}$ ). В простейшем случае при этом учитывается взаимодействие только трех резонансов. Пусть, например, ведущий резонанс, вдоль которого идет диффузия Арнольда, связан, скажем, со степенью свободы 2. Взаимодействие между степенями свободы 1 и 2 , описываемое гамильтонианом
\[
H_{\perp}\left(I_{1}, I_{2}, \theta_{1}, \theta_{2}\right) \approx \text { const }
\]

приводит к интенсивному хаотическому движению поперек стохастического слоя ведущего резонанса. Взаимодействие же между степенями свободы 2 и 3 с гамильтонианом
\[
H_{\|}\left(I_{2}, I_{3}, \theta_{2}, \theta_{3}\right) \approx \text { const }
\]

вызывает более слабую диффузию Арнольда. Подсистемы (6.2.1) и (6.2.2) рассматриваются последовательно. Сначала из (6.2.1) находятся величины $\theta_{2}(t)$ и $I_{2}(t)$, характеризующие движение в стохастическом слое. Затем они подставляются в (6.2.2), что дает возможность найти стохастическое изменение $I_{3}(t)$, определяющее диффузию Арнольда.

Основная трудность при использовании этого метода состоит в выяснении, какие именно резонансы определяют диффузию вдоль и какие — поперек стохастического слоя. В случае трех резонансов ведущим можно считать любой из них, что просто определяет область начальных условий движения. Наиболее сильный из оставшихся задает диффузию поперек слоя, а более слабый вызывает диффузию Арнольда ${ }^{3}$ ).
* 6.2а. Расчет диффузии в модели стохастической накачки

Покажем, как оценить скорость диффузии Арнольда на примере системы, описываемой отображением (6.1.12). Мы рассмотрим три различных режима диффузии с последовательно уменьшающейся скоростью. Первый режим соответствует диффузии по $\alpha$ вдоль толстого стохастического слоя в плоскости ( $\beta, y$ ). Диффузия происходит вследствие связи со случайным движением по $y$. Второй режим
1) См. работу [146].— Прим. ред.
2) Stochastic pump model. Этот механизм, по-видимому, впервые обсуждался кратко в работе [139].- Прим. ред.
3) Обсуждение такого «распределения ролей» между резонансами см. в работе $[70, \S 7.2]$.- Прим. ред.

аналогичен первому, за исключением того, что диффузия по $\alpha$ идет вдоль тонкого стохастического слоя $y$-резонанса. Наконец, третий режим отвечает диффузии вдоль резонанса связи.

Найдем прежде всего гамильтониан для отображения (6.1.12). Қак и в п. 3.1в, преобразуем разностные уравнения (6.1.12) в дифференциальные с помощью $\delta$-функции. В результате получаем неавтономный гамильтониан с двумя степенями свободы:
\[
H(\alpha, x, \beta, y, n)=-2 h \ln \cos \alpha-2 h \ln \cos \beta-2 \delta_{1}(n) C(x, y),
\]

где
\[
\begin{array}{c}
C(x, y)=a_{x} \cos k_{x} x+a_{y} \cos k_{y} y-(1 / 2) \mu \cos \left(k_{x} x+k_{y} y\right), \\
\delta_{1}(n) \equiv \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(n-m)=1+2 \sum_{q=1}^{\infty} \cos (2 \pi n q) .
\end{array}
\]

Диффузия в толстом слое. Выберем начальные значения $\beta$ и $у$ внутри толстого стохастического слоя, а $\alpha$ и $x$ вблизи центра целого резонанса. При отсутствии связи между степенями свободы ( $\mu=0$ ) движение в плоскости ( $\alpha, x$ ) происходит по инвариантной кривой (рис. 6.5). При включении связи происходит медленная диффузия по $\alpha$ и $x$.

Перейдем к новым переменным $\theta=k_{x} x, \varphi=k_{y} y, \bar{\alpha}=\alpha / k_{x}$, $\bar{\beta}=\beta / k_{y}$ и представим гамильтониан $H$ в виде суммы $H=H_{x}+H_{y}$, где
\[
\begin{array}{l}
H_{y}=-2 h \ln \cos \beta-2 \delta_{1}(n) a_{y} \cos \varphi, \\
H_{x} \approx h \alpha^{2}-2 a_{x} \cos \theta+\mu \cos (\theta+\varphi(n)) .
\end{array}
\]

Здесь для удобства мы сохранили старые переменные $\alpha$ и $\beta$ в новом гамильтониане. В (6.2.6б) использовано приближение $-\ln \cos \alpha \approx \alpha^{2} / 2$ при $\alpha^{2} \ll 1, \delta_{1} \approx 1$ при $\omega_{x}^{2}=4 a h k^{2} \ll 1$, а $\varphi$ считается явной функцией $n$. Последнее допущение наиболее серьезно, поскольку при этом пренебрегается влиянием связи на движение по $y$. В результате мы получили два неавтономных гамильтониана с одной степенью свободы каждый ${ }^{1}$ ). Теперь можно решить уравнение движения независимой подсистемы (6.2.6a) и найти «стохастическую накачку» $\varphi(n)$. Подставив ее в (6.2.6б), найдем движение в плоскости ( $\alpha, \theta$ ), которое и дает диффузию Арнольда.

В толстом слое, где имеется много перекрывающихся резонансов, фаза $\varphi$ хаотизуется за время порядка одной итерации отображения ${ }^{2}$ ). Поэтому с хорошей точностью можно считать, что после-
1) В этом случае говорят иногда о полутора степенях свободы. — Прим. ред.
2) Дело не в перекрытии резонансов, а в масштабе времени релаксации, в качестве которого можно принять грубо обратную величину КС-энтропии. Последнюю легко оценить, поскольку подсистема (6.2.6a) сводится локально к стандартному отображению с параметром $K=-4 k_{y}^{2} a_{y} h / \cos ^{2} \beta$. — Прим. ред.

довательные значения фазы ч являются случайными и независимыми, причем переход между ними имеет характер «скачка». Изменение $H_{x}$ определяется уравнением Гамильтона
\[
\frac{d H_{x}}{d n}=\frac{\partial H_{x}}{\partial n} .
\]

Используя (6.2.6б), можно записать производную в виде
\[
\frac{\partial H_{x}}{\partial n}=\frac{d}{d n}[\mu \cos (\theta+\varphi)]-\mu \frac{\partial \theta}{\partial n} \sin [\theta+\varphi(n)] .
\]

Первый член в выражении справа описывает малые ограниченные колебания. Считая колебания по $\theta$ малыми
\[
\theta=\theta_{0} \cos \left(\omega_{x} n+\chi_{0}\right),
\]

где $\omega_{x}=2 \pi / T=2 k_{x}\left(a_{x} h\right)^{1 / 2}$, проинтегрируем второй член в уравнении (6.2.7) по периоду отображения:
\[
\Delta H_{x}=\int_{m}^{m+1} d n \mu \theta_{0} \omega_{x} \sin \left[\omega_{x} n+\chi_{0}\right] \sin [\theta+\varphi(n)] .
\]

При $\omega_{x} \ll 1$ подынтегральное выражение постоянно, поэтому
\[
\Delta H_{x}=\mu \theta_{0} \omega_{x} \sin \left[\omega_{x} m+\chi_{0}\right] \sin [\theta+\varphi(m)] .
\]

Возводя это выражение в квадрат и усредняя как по $\chi_{0}$, так и по $\varphi$, получаем ${ }^{\mathbf{1}}$ )
\[
\left\langle\left(\Delta H_{x}\right)^{2}\right\rangle=\frac{1}{4} \mu^{2} \theta_{0}^{2} \omega_{x}^{2} .
\]

В результате находим скорость диффузии в толстом слое
\[
D_{1}=\frac{1}{2}\left\langle\left(\Delta H_{x}\right)^{2}\right\rangle=\frac{1}{8} \mu^{2} \theta_{0}^{2} \omega_{x}^{2} .
\]

С изменением $H_{x}$ в процессе диффузии параметры $\mu$ и $\omega_{x}$ остаются постоянными. Величина же $\theta_{0}$ растет с $H_{x}$, а вместе с ней и скорость диффузии:

На рис. 6.8, $a-в$ теоретические значения $D_{1}$ (сплошные линии) сравниваются с результатами численного моделирования. Начальные условия для 100 траекторий были одинаковыми в плоскости $(\alpha, x)$ и случайными в пределах толстого слоя плоскости $(\beta, y)$. Для каждой траектории просчитывалось 500 итераций отображения. Вычислялись среднеквадратичные значения безразмерной энергии $\left\langle a^{2}\right\rangle=\left[h^{-2}\left\langle\left(\Delta H_{x}\right)^{2}\right\rangle n\right]^{1 / 2}$, которые и сравнивались $\qquad$
1) Усреднение по фазе $\chi_{0}$, которая является постоянной интегрирования в (6.2.8), требует пояснения. На самом деле усреднять нужно по траектории, т. е. по времени $m$. Для иррационального $\omega_{x}$ при $\omega_{x} m 1$ это формально эквивалентно усредненню по \%. Разумеется, диффузионный характер движения связан только с присутствием случайной фазы $\varphi(m)$, иначе колебания $H_{x}$ были бы квазипериодическими.— Прим. ред.

с теорией. На рис. 6.8 каждый треугольник представляет результат усреднения четырех независимых (по начальным условиям) вариантов счета. Согласие с теорией достаточно хорошее, хотя она и несколько завышает систематически скорость диффузии. Это разъичие объясняется, возможно, тем, что значения фазы $\varphi(m)$ не полностью независимы.

Рис. 6.8. Диффузия в толстом слое (по данным работы [406]).
Сплошныс линии — теория; треугольники — численные данные (статистический разброс
для 100 траекториіі лежит п иределах высоты треугольникон); $\mu / h=2 \times 1^{-\mathbf{4}} ; n=500$;
$\lambda_{x}: h: a_{x}=100: 10: 1 ; \lambda_{y}: h: a_{y}=100: 10: 1,7$ (кроме переменных величин).

Диффузия в тонком слое. В этом случае начальные условия на плоскости $(\alpha, x)$ мы выбираем, как и в толстом слое, вблизи центра резонанса, а в плоскости ( $\beta, y$ ) — в тонком стохастическом слое резонанса. Қак и в толстом слое, диффузия в плоскости $(\alpha, x$ ) обусловлена слабой связью со стохастическим движением в плоскости $(\beta, y)$. Однако скорость диффузии оказывается значительно меньше. Действуя прежним методом, мы оставим теперь, однако, в функции $\delta_{1}(n)$ в (6.2.6a) только члены с $q=0$ и $q=1$ из разложения (6.2.5) [ср. (4.1.26) ]. Используя, кроме того, приближение $-\ln \cos \beta \approx \beta^{2} / 2, \beta^{2} \sim a_{y} / h \ll 1$, запишем гамильтониан (6.2.6a) в виде
\[
H_{y}=h \beta^{2}-2 a_{y} \cos \varphi-4 a_{y} \cos 2 \pi n \cos \varphi .
\]

Здесь первые два члена определяют сепаратрису резонанса в плоскости $(\beta, y)$, а третий приводит к образованию тонкого стохастического слоя в ее окрестности. Чтобы найти функцию $\varphi(n)$ для (6.2.11), будем исходить из уравнения (6.2.7), пренебрегая первым членом в его правой части:
\[
\frac{d H_{x}}{d n}=-\mu \frac{d \theta}{d n} \sin [\theta+\varphi(n)],
\]

где $\theta(n)$ определяется соотношением (6.2.8). Примем, далее, что на одном полупериоде фазовых колебаний $\varphi(n)$ определяется движением по невозмущенной сепаратрисе (см. п. 1.3а) ${ }^{1}$ ):
\[
\varphi_{1}(n)=4 \operatorname{arctg}\left(e^{\omega} y^{n}\right)—\pi .
\]

Обозначив $s=\omega_{y} n, Q_{0}=\omega_{x} / \omega_{y}$ и записав фазу $\chi_{0}$ в (6.2.8) как $\chi_{0}=Q_{0} s_{0}-\pi / 2$, получим из (6.2.12)
\[
\Delta H_{x}=-\mu \theta_{0} Q_{0} \int_{-\infty}^{\infty} P(s) d s,
\]

где
\[
P(s)=\cos \left[Q_{0}\left(s+s_{0}\right)\right] \sin \left\{\theta_{0} \sin \left[Q_{0}\left(s+s_{0}\right)\right]+\varphi\right\} .
\]

При $\theta_{0} \ll 1$
\[
P(s)=\cos \left[Q_{0}\left(s+s_{0}\right)\right] \sin \varphi,
\]

и мы приходим к интегралу Мельникова-Арнольда (п. 3.5а):
\[
\mathscr{A}_{m}^{\prime}=2 \int_{0}^{s_{\mathrm{r}}} \cos \left[\frac{m}{2} \varphi(s)-Q_{0} s\right],
\]

который понимается в смысле его среднего значения по $s_{1}$ при
1) Поясним, что получаемое таким образом регулярное асимптотическое решение $\varphi_{1}(n)$, которое только и используется ниже для вычисления скорости диффузии, не совпадает с решением $\varphi(n)$ для подсистемы (6.2.11). Различие между ними сводится к хаотизации $\varphi(n)$, которая учитывается в (6.2.19) неявно, со ссылкой на сепаратрисное отображение.- Прим. ред.

$s_{1} \rightarrow \infty$. В рассматриваемом случае $m=2$, и мы получаем
\[
\Delta H_{x}=\frac{1}{2} \mu_{0} \theta_{0} Q_{0} \sin \left(Q_{0} S_{0}\right)\left[\mathscr{A}_{2}\left(Q_{0}\right)-\mathscr{A}_{2}\left(-Q_{0}\right)\right],
\]

где, согласно (3.5.18),
\[
\mathscr{A}_{2}\left( \pm Q_{0}\right)=4 \pi Q_{0} e^{ \pm \pi Q_{0} 2} / \operatorname{sh}\left(\pi Q_{0}\right) .
\]

В результате находим
\[
\Delta H_{x}=4 \pi \mu \theta_{0} Q_{0}^{2} \sin \left(Q_{0} s_{0}\right) \operatorname{sh}\left(\pi Q_{0} / 2\right) / \operatorname{sh}\left(\pi Q_{0}\right) .
\]

Из свойств сепаратрисного отображения (п. 3.5б) мы знаем, что величина $Q_{0} S_{0}$ хаотизуется на полупериоде фазовых колебаний $T_{l}$. Усредняя по фазе $Q_{0} s_{0}$, получаем
\[
\left\langle\left(\Delta H_{x}\right)^{2}\right\rangle_{s_{0}}=8 \pi^{2} \mu^{2} \theta_{0}^{2} F\left(Q_{0}\right),
\]

где
\[
F\left(Q_{0}\right)=Q_{0}^{4} / 4 \mathrm{ch}^{2}\left(\pi Q_{0} / 2\right) .
\]

На рис. 6.9 приведен график функции $F\left(Q_{0}\right)$ с максимумом при $Q_{0} \approx 1,3$ и довольно резким падением в обе стороны от максимума ${ }^{1}$ ). Так, например, при изменении $Q_{0}$ в 4 раза скорость диффузии уменьшается на два порядка по сравнению с максимальной.

Для вычисления коэффициента диффузии необходимо найти средний полупериод $\left\langle T_{y}\right\rangle$ колебаний в тонком стохастическом слое. Вблизи сепаратрисы
\[
T_{y}=\frac{1}{\omega_{t j}} \ln \left|\frac{32}{\omega}\right|,
\]

где $w=\left(H_{y}-H_{s}\right) / H_{s} \ll 1$, а $H_{s}=2 a_{y}$— энергия на сепаратрисе. Чириков [70] показал, что $\left\langle T_{y}\right\rangle$ можно найти, усреднив $T_{y}(w)$ по $w$ в пределах стохастического слоя $|w| \leqslant w_{1}$. Это дает
\[
\left\langle T_{y}\right\rangle=\frac{1}{w_{y}}\left[\ln \left(\frac{32}{w_{1}}\right)+1\right] .
\]

При слабой связи $\mu \ll a_{y}$ для полуширины стохастического слоя $w_{1}$ можно использовать соотношение (4.2.23).
Коэффициент диффузии в тонком слое равен
\[
D_{2}=\frac{\left\langle\left(\Delta H_{x}\right)^{2}\right\rangle_{s_{0}}}{2\left\langle T_{y}\right\rangle}
\]

или с учетом (6.2.19) и (6.2.21)
\[
D_{2}=4 \pi^{2} \mu^{2} \theta_{0}^{2} \omega_{y} F\left(Q_{0}\right) / \ln \left(32 e / w_{1}\right) .
\]
1) При $Q_{0} \ll 1$ полученные выражения справедливы лишь при дополнительном условии $T_{y} \omega_{x} \gg 2 \pi$, или $s_{y}=\omega_{y} T_{y} \gg 2 \pi / Q_{0}$ (см. рис. 3.20, , ), т. е. только в очень тонком стохастическом слое $w_{1} \ll 32 \exp \left(-2 \pi / Q_{0}\right)$. — Прим. ред.

На рис. 6.10 эта теоретическая зависимость (сплошные линии) сравнивается с результатами численных экспериментов (треугольники). При счете использовалось 100 траекторий с одинаковыми начальными условиями в плоскости ( $\alpha, x$ ) и слегка различными в плоскости $(\beta, y)$ внутри тонкого стохастического слоя. Теоретические кривые строились по формуле (6.2.23) с эмпирическим зна-

Рис. 6.9. Функция (6.2.20) для диффузии в тонком слое.
чением $w_{1}=0,191$. Как и в случае толстого слоя, теоретические значения лежат несколько выше численных. Возможно, что это различие вызвано неполной хаотизацией $\varphi(n)$ на полупериоде фазовых колебаний в стохастическом слое ${ }^{1}$ ).
6.2б. Диффузия по резонансу связи

Аналогичным образом можно было бы вычислить скорость диффузии Арнольда и по резонансу связи, например $\omega_{x}=\omega_{y}$. Соответствующие довольно сложные расчеты были выполнены Либерманом [273]. Здесь же, следуя работе Чирикова [70], мы рассмотрим более простую модель, иллюстрирующую как диффузию по резонансу связи, так и взаимодействие многих резонансов [72]. Гамильтониан этой модели имеет вид
\[
H=\frac{p_{x}^{2}}{2}+\frac{p_{y}^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4}+\frac{y^{4}}{4}-\mu x y-\operatorname{exf}(t),
\]
1) Существенное снижение скорости диффузии по сравнению с оценкой (6.2.23), особенно заметное на рис. 6.10, , , объясняется медленной диффузией в относительно широкой периферической части стохастического слоя, а также фазовыми корреляциями из-за конечной ширины слоя (см. работу [70], § 7.2 и 7.6).- Прим. ред.

Рис. 6.10. Диффузия в тонком слое (по данным работы [406]).
Обозначения и параметры те же, что и на рис. 6.8, кроме $n=2000 ; \lambda_{y}: h: a_{y}=100$ : $10: 1,8$.

где $t$ — время, а $\mu$ и $\varepsilon$ — малые параметры. Эта система состоит из двух нелинейных осцилляторов со слабой линейной связью (параметр $\mu$ ), причем на один из осцилляторов действует периодическая внешняя сила $\varepsilon f(t)$. Нас будет интересовать окрестность резонанса связи
\[
\omega_{x}-\omega_{y} \approx 0,
\]

где $\omega_{x}$ и $\omega_{y}$ — невозмущенные частоты нелинейных осцилляторов. Переход к переменным действие-угол. Перейдем прежде всего к переменным действие — угол невозмущенной системы ( $\mu=\varepsilon=0$ ). Невозмущенный гамильтониан
\[
H_{0}=\frac{p_{x}^{2}}{2}+\frac{p_{y}^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4}+\frac{y^{4}}{4}
\]

описывает два независимых осциллятора с сохраняющимися энергиями $E_{x}$ и $E_{y}$. Выражение для переменной действия получается обычным образом
\[
I_{x}=\frac{1}{2 \pi} \oint p_{x} d x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{x}\left(2 E_{x}\right)^{1 / 2}\left(1-\frac{x^{4}}{4 E_{x}}\right)^{1 / 2} d x,
\]

где $x_{M}=\left(4 E_{x}\right)^{1 / 4}$ — амплитуда $x$-колебаний. Вводя новую переменную $\xi=x /\left(4 E_{x}\right)^{1 / 4}$, получаем
\[
I_{x}=\frac{4}{\pi} E_{x}^{3} \int_{0}^{1}\left(1-\xi^{4}\right)^{1} \cdot d \xi=\frac{4 \sqrt{2}}{3 \pi} E_{x}^{3} \cdot \mathscr{K}(1 / \sqrt{2}),
\]

где $\mathscr{K}(1 / \sqrt{2}) \approx 1,85$ — полный эллиптический интеграл первого рода. Соотношение (6.2.28) устанавливает связь между переменной действия $I$ и энергией $E$ для каждого из осцилляторов $\left(E \propto I^{4 / 3}\right)$. Отсюда новый невозмущенный гамильтониан
\[
\bar{H}_{0}=A\left(I_{x}^{1 / 3}+I_{y}^{4 / 3}\right),
\]

где
\[
A=\left(\frac{3 \pi}{4 \sqrt{2} \mathscr{K}(1 / \sqrt{2})}\right)^{4} \approx 0,87 .
\]

Частоты колебаний равны
\[
\omega_{x, y}=\frac{\partial \bar{H}_{0}}{\partial I_{x, y}}=\frac{4}{3} A I_{x, y}^{\prime 3} .
\]

Решение выражается через эллиптические функции (см., например, [70]) и имеет вид
\[
\frac{x(t)}{x_{M}}=\operatorname{cn}(\omega t)=\frac{\pi \sqrt{2}}{\mathscr{K}(1 / \sqrt{2})} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos [(2 n-1) \omega t]}{\operatorname{ch}[\pi(n-1 / 2)]} \approx
\]

\[
\approx 0,95 \cos \omega t+\frac{\cos 3 \omega t}{23}+\frac{\cos 5 \omega t}{(23)^{2}}+\ldots
\]

Независимо от амплитуды колебаний вклад гармоник очень мал и мы можем сохранить только первый член этого разложения. Введя угловую переменную $\theta=\omega t$, запишем полный гамильтониан в виде
\[
\begin{array}{c}
\bar{H}=A\left(I_{x}^{t_{3}}+I_{y}^{t_{3}}\right)-\mu x_{M}\left(I_{x}\right) y_{M}\left(I_{y}\right) \cos \theta_{x} \cos \theta_{y}- \\
-\varepsilon x_{M}\left(I_{x}\right) \cos \theta_{x} f(t),
\end{array}
\]

где
\[
x_{M}=(4 A)^{1 / 4} I_{x}^{1 / 3}, \quad y_{M}=(4 A)^{1 / 4} I_{y}^{t_{3}}
\]
— амплитуды колебаний, полученные из сопоставления (6.2.26) и (6.2.29).

Вблизи резонанса связи разность $\theta_{x}-\theta_{y}$ является медленной функцией времени. Перейдем поэтому с помощью производящей функции
\[
F_{2}=\left(\theta_{x}-\theta_{y}\right) I_{1}+\left(\theta_{x}+\theta_{y}\right) I_{2}
\]

к новым переменным:
\[
\psi_{1}=\theta_{x}-\theta_{y}, \quad \psi_{2}=\theta_{x}+\theta_{y} .
\]

Тогда
\[
I_{x}=\frac{\partial F_{2}}{\partial \theta_{x}}=I_{1}+I_{2}, \quad I_{y}=\frac{\partial F_{2}}{\partial \theta_{y}}=-I_{1}+I_{2} .
\]

В окрестности резонанса связи $I_{x} \approx I_{y}$, так что $I_{1} \ll I_{2}$. Выражая гамильтониан (6.2.32) через новые переменные (6.2.34) и разлагая невозмущенную часть по $I_{1}$, получаем выражение для нового гамильтониана
\[
\begin{aligned}
K=2 A I_{2}^{t_{3}}+\frac{1}{2} & G I_{1}^{2}-F \cos \psi_{1}-F \cos \psi_{2}-\varepsilon x_{M}\left(I_{2}\right) \times \\
& \times \cos \left(\frac{\psi_{1}+\psi_{2}}{2}\right) f(t),
\end{aligned}
\]

где
\[
\begin{aligned}
G\left(I_{2}\right) & =\frac{8}{9} A I_{2}^{-2 / 3}, \\
F\left(I_{2}\right) & =\frac{1}{2} \mu x_{M}\left(I_{2}\right) y_{M}\left(I_{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Усреднение по быстрой фазе $\psi_{2}$ дает
\[
\langle K\rangle=2 A I_{2}^{4 / 3}+\frac{1}{2} G I_{1}^{2}-F \cos \psi_{1} .
\]

Отсюда видно, что $I_{2} \approx$ const, $\omega_{2}=2 \omega_{x}$, а переменные $I_{1}$, $\psi_{1}$

совершают медленные колебания на резонансе связи с частотой (для малых колебаний)
\[
\omega_{1}=\sqrt{F G} \propto \sqrt{\mu} .
\]

Взаимодействие трех резонансов. Пусть внешняя сила имеет вид
\[
f(t)=\cos \Omega_{1} t+\cos \Omega_{2} t,
\]

причем обе частоты близки к резонансу и удовлетворяют неравенству
\[
\delta \omega=\left(\omega_{x}-\Omega_{2}\right)>\left(\Omega_{1}-\omega_{x}\right)>0,
\]
т. е. частота $\omega_{x}$ находится между $\Omega_{1}$ и $\Omega_{2}$. Будем считать, что эти два резонанса и определяют поведение системы, причем более сильный ${ }^{1}$ ) резонанс (с частотой $\Omega_{1}$ ) возбуждает движение поперек стохастического слоя, а более слабый (с частотой $\Omega_{2}$ ) вызывает диффузию Арнольда вдоль слоя. В этом случае диффузию Арнольда удается рассчитать сравнительно просто (см. работу $[70, \S 7.5]$ ). Нелинейность приводит также к резонансам в высших порядках, однако их вклад в диффузию очень мал. Опуская поэтому член $F \cos \psi_{2}$ в (6.2.35), представим гамильтониан в виде суммы
\[
K=K_{\perp}+K_{\|},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
K_{\perp}=\frac{1}{2} G I_{1}^{2}-F \cos \psi_{1}-\varepsilon x_{M} \cos \left(\frac{\psi_{1}+\omega_{2} t}{2}\right) \cos \Omega_{1} t, \\
K_{\|}=2 A I_{2}^{1}-\varepsilon x_{M} \cos \left(\frac{\psi_{1}(t)+\psi_{2}}{2}\right) \cos \Omega_{2} t .
\end{array}
\]

Эти выражения аналогичны соответственно (6.2.11) и (6.2.6б), и для определения скорости диффузии Арнольда по величине $d K_{\|} / d t$ можно использовать тот же метод. В результате находим [70]
\[
D=\frac{2 x_{M}^{2} \omega_{x}^{2}}{\omega_{1}} \cdot \frac{e^{-\pi Q_{0}}}{\ln \left(32 e / w_{1}\right)},
\]

где
\[
Q_{0}=\delta \omega / \omega_{1} .
\]

Для модельной задачи в п. 6.16 получается аналогичное выражение [273], хотя вывод его значительно сложнее. Скорость диффузии экспоненциально уменьшается с увеличением расстройки $(\delta \omega)$ и уменьшением связи $\left(\omega_{1}\right)$. Подчеркнем, что найденная скорость диффузии является локальной и изменяется в процессе диффузии.
1) Имеется в виду меньшая расстройка по частоте.- Прим. ред.

6.2в. Много резонансов

До сих пор при анализе диффузии Арнольда учитывались только три резонанса. Пока возмущение не слишком мало, полученные аналитические оценки хорошо согласуются с результатами численного моделирования. Однако для достаточно малого возмущения

Рис. 6.11. Зависимость приведенной скорости диффузии Арнольда $D^{*}$ от $Q_{0}$ (по данным работы [72]).
Точки — численное моделирование; пунктирная линия — теория в приближении трех резонансов.

теория значительно занижает скорость диффузии, поскольку в этом случае существенно взаимодействие многих резонансов. Такой режим диффузии называется областью Нехорошева по имени советского математика, впервые получившего строгую верхнюю границу для скорости диффузии Арнольда [314 ]. Однако его оценка существенно завышает, вообще говоря, порядок действительной скорости диффузии.

Взаимодействие многих резонансов исследовалось аналитически [70] и численно [72] для модели (6.2.24) с силой
\[
f(t)=\frac{\cos v t}{1-C \cos v t} \approx \sum_{m} \frac{2 e^{-\sigma m}}{\sigma} \cos m v t,
\]

где $\sigma \approx\left(1-C^{2}\right)^{1 / 2} \ll 1$. Чтобы выделить наиболее важную экспоненциальную зависимость, вычислялась приведенная [по (6.2.44)] скорость диффузии $D^{*}$, согласно формуле ${ }^{1}$ ),
\[
D=\frac{\pi^{2} x_{M}^{2} \omega_{x}^{2}}{\omega_{1} \ln \left(32 e / w_{1}\right)} D^{*} .
\]

Зависимость $\lg D^{*}$ от $Q_{0}$ в широком диапазоне показана на рис. 6.11 для $\omega_{x}=\omega_{y}=4,5 v$ и $\sigma=0,1$. Аналитическая зависимость (6.2.44) (пунктирная кривая) для трех резонансов $\left(\omega_{x}=4 v, \omega_{x}=5 v\right.$, $\omega_{x}=\omega_{y}$ ) хорошо согласуется с численными данными при малых $Q_{0}$, однако очень сильно занижает скорость диффузии для больших $Q_{0}$.

Это расхождение можно объяснить влиянием резонансов высоких гармоник $m v=k \omega_{x}$, в частности, за счет следующих членов разложения (6.2.31). Хотя их амплитуды малы, они расположены близко к резонансам $\omega_{x}=\omega_{y}=4,5 v$, т. е. для них расстройка $\delta \omega=m v-k \omega_{x}$ тоже мала и эффективное $Q_{0} \sim 1$.
Приняв зависимость $D^{*}\left(Q_{0}\right)$ в виде
\[
D^{*}=A \exp \left(-B Q_{0}^{\gamma}\right),
\]

где $A, B$ и $\gamma$ — подгоночные параметры, Чириков и др. [72] получили из численных данных значение $\gamma \approx 1 / 2$, т. е. $-\lg D \propto \mu^{-1 / 4}$. Верхняя оценка Нехорошева [314] приводит к существенно меньшей величине $\gamma$ (см. [70]). Для гамильтониана общего вида с $N$ степенями свободы
\[
H(\boldsymbol{I}, \boldsymbol{\theta})=H_{0}(\boldsymbol{I})+\mu H(\boldsymbol{I}, \boldsymbol{\theta}),
\]

где $\mu$ — малый параметр, а функция $H_{0}(I)$ при $|I| \rightarrow 0$ является положительно определенной квадратичной формой ${ }^{2}$ ), оценку Нехорошева можно записать в виде
\[
\begin{array}{c}
|\overline{\boldsymbol{I}}| \leqslant|\boldsymbol{\omega}| \cdot|\boldsymbol{I}| \boldsymbol{\mu}^{1+q} \exp \left(-1 / \boldsymbol{\mu}^{q}\right), \\
q(N)=\frac{2}{3 N^{2}-N+8} .
\end{array}
\]

Так как $Q_{0} \propto 1 / \omega_{1} \propto \mu^{-1 / 2}$, то $\gamma=2 q$. Полагая в (6.2.47б) $N=3$, находим $\gamma=1 / 8$. Это приводит к слишком медленному уменьшению скорости диффузии с $\mu$ и не согласуется с численными результатами на рис. 6.11. По мнению Чирикова [70], более правильная оценка соответствует ${ }^{3}$ ) $q=1 / N$. При $N=3$ это приводит к значению $\gamma=2 / 3$, которое находится в разумном согласии с численными результатами.
1) В работе [72] использовалась несколько другая нормировка $D^{*}$. Прим. ред.
2) Менее жесткое, но тоже достаточное условие состоит в том, чтобы энергетические поверхности $H_{0}(I)=$ const были всюду выпуклыми (см. [512]). Примером может служить гамильтониан (6.2.29).- Прим. ред.
3) Упрощенный вывод этого соотношения см. в работе [69].- Прим. ред.

6.2г. Модуляционная диффузия

Обратимся теперь к модуляционной диффузии, при которой хаотическое движение происходит вдоль системы перекрывающихся резонансов, вызванных медленной модуляцией возмущения. Следуя Чирикову и др. [76], рассмотрим модельный гамильтониан
\[
H=\frac{1}{2} I_{1}^{2}-k \cos \left(\theta_{1}+\lambda \sin \Omega t\right)+\frac{1}{2} I_{2}^{2}-\varepsilon \cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right),
\]

Рис. 6.12. Схема резонансов при модуляционной диффузии.
где $\lambda$ и $\Omega$ — амплитуда и частота фазовой модуляции соответственно, а $\varepsilon$-малый параметр связи. Используя разложение
\[
\cos \left(\theta_{1}+\lambda \sin \Omega t\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \mathscr{F}_{n}(\lambda) \cos \left(\theta_{1}+n \Omega t\right),
\]

получаем мультиплет резонансов с центром в $\omega_{1}=I_{1}=0$ и эффективной шириной приблизительно $2 \Omega$, так как функции Бесселя $\mathscr{F}_{n}(\lambda)$ быстро убывают при $|n| \geq \lambda$. Мультиплет показан на рис. 6.12 в виде нескольких вертикальных линий на плоскости частот $\omega_{1}, \omega_{2}$. Если резонансы мультиплета перекрываются, то возникает широкий стохастический слой, по которому и идет модуляционная диффузия.

Перекрытие в мультиплете. Движение внутри мультиплета описывается гамильтонианом

Действуя, как и в п. 2.4а, получим $G=1$ и $F=k \mathscr{F}_{n}(\lambda)$. Полная ширина сепаратрисы для каждого из резонансов мультиплета определяется формулой (2.4.31)
\[
2 \Delta I_{\text {макс }}=2 \Delta \omega_{\text {макс }}=4(F / G)^{1 . t}=4 \sqrt{k\left|\mathscr{g}_{n}(\lambda)\right|} .
\]

Расстояние же между резонансами по частоте равно $\delta \omega=\Omega$. Используя правило двух третей (п. 4.1б) ${ }^{1}$ ), запишем условие перекрытия
\[
\frac{2 \Delta \omega_{\text {макс }}}{\Omega}>\frac{2}{3} .
\]

Подставляя (6.2.51) в (6.2.52) и принимая в качестве $\mathscr{f}_{n}(\lambda)$ среднеквадратичное значение $(\pi \lambda)^{-1 / 2}$, приводим условие (6.2.52) к виду
\[
k \geq \Omega^{2} \sqrt{\lambda} / 20 \text {. }
\]

Если движение, описываемое гамильтонианом (6.2.50), связано с третьей степенью свободы, то неравенство (6.2.53) есть также условие модуляционной диффузии. Если же возмущение меньше этой границы, то остается только диффузия Арнольда. Отметим неожиданное следствие оценки (6.2.53): чем меньше частота модуляции, тем ниже граница перекрытия по возмущению ( $k \propto \Omega^{2}$ ). На первый взгляд это противоречит нашей интуиции об адиабатических возмущениях, согласно которой с ростом отношения частот влияние резонансов уменьшается ${ }^{2}$ ). Это противоречие разрешается, если принять во внимание, что стохастичность связана с прохождением резонанса, а это происходит только дважды за период модуляции $2 \pi / \Omega$. Поэтому при $\Omega \rightarrow 0$ скорость диффузии также стремится к нулю.

Отметим, что поскольку ширина мультиплета уменьшается с уменьшением $\Omega$ при заданном $\lambda$, то при
\[
k \gtrsim \Omega^{2} \lambda^{5 / 2} / 13
\]

ширина $\lambda \Omega<\Delta \omega_{\text {макс }}$. В этом случае весь мультиплет сливается в единый резонанс ${ }^{3}$ ), а скорость диффузии по стохастическому
1) В данном случае это правило не улучшает точность оценки, поскольку амплитуды и фазы соседних резонансов различны.-Прим. ред.
2) Эту интуицию следует подправить: при прохождении резонанса (вследствие модуляции), как и при прохождении частоты осциллятора через нуль, адиабатичность всегда нарушается независимо от скорости прохождения.Прим. ред.
3) По этой причине оценка (6.2.54) неточна — ширину слившегося резонанса следует определять по полной амплитуде возмущения $k$ [см. (6.2.48)], а не по амплитуде гармоники $\mathrm{kg}_{n}(\lambda)[$ см. $(6.2 .50)]$. В результате получаем $k \geq \Omega^{2} \lambda^{2} / 16$ — Прим. ред.

слою этого резонанса падает. Три режима ${ }^{1}$ ) движения в модуляционном слое, определяемые неравенствами (6.2.53) и (6.2.54), схематически показаны на рис. 6.13.

Эти три режима были описаны Теннисоном [404] для модели взаимодействия встречных протонных пучков в проекте накопительного кольца Брукхейвенской лаборатории (США). В этой модели Теннисона использовалась модуляция частоты:
\[
\frac{d J_{1}}{d t}=k \sin \psi_{1}, \quad \frac{d \psi_{1}}{d t}=J_{1}+\bar{\lambda} \cos \Omega t,
\]

Рис. 6.13. Три режима движения внутри мультиплета в зависимости от частоты модуляции $\Omega$ (по данным работы [276]).
$a$ — большая частота $\Omega$, модуляционные резонансы не перскрываются, слабая диффузия Арнольда вдоль отдельных стохастических слоев; 6 — промежуточная частота $\Omega$, peзонансы перекрываются, сильная модуляционная диффузия вдоль широкого слоя; в очень малая частота $\Omega$, все резонансы сливаются в один, диффузия Арнольда вдоль еднного стохастического слоя.

тогда как в рассмотренной выше модели (6.2.48) модулируется фаза:
\[
\frac{d I_{1}}{d t}=k \sin \left(\theta_{1}+\lambda \sin \Omega t\right), \quad \frac{d \theta_{1}}{d t}=I_{1} .
\]

Обе модели сводятся друг к другу путем замены переменных с производящей функцией
\[
F=J_{1}\left(\theta_{1} \div \lambda \sin \Omega t\right),
\]
1) Существует также и четвертый, промежуточный, режим захвата для $k \geqslant \Omega^{2} \lambda$.

причем $\lambda=\bar{\lambda} / \Omega$. На рис. 6.14 показан эффект модуляции для стандартного отображения (при $K=0,007$ ), что соответствует уравнениям (6.2.55), если заменить $k$ на $K \delta_{1}(t)$, где $\delta_{1}(t)$ — периодическая $\delta$-функция (3.1.33). При $\bar{\lambda}=0$ (рис. $6.14, a$ ) имеется единственный резонанс с шириной $2 \Delta I_{\text {макс }}=4 K^{1 / 2}$. При $\bar{\lambda}=0,63$ и последовательно уменьшающейся частоте $\Omega$ на рис. 6.14 , б виден мультиплет неперекрывающихся резонансов; на рис. 6.14 , в-частичное перекрытие резонансов; на рис. 6.14 , г — полное перекрытие резонансов.
Диффузия вдоль мультиплета. Вернемся к гамильтониану (6.2.48). Диффузию вдоль перекрывающихся резонансов мультиплета (по $I_{2}$ ) можно вычислить в модели стохастической накачки. Продольная часть гамильтониана имеет вид
\[
H_{\|}=\frac{1}{2} I_{2}^{2}-\varepsilon \cos \left(\theta_{1}(t)-\theta_{2}\right) .
\]

Отсюда [ср. (6.2.7)]:
\[
\frac{d H_{\|}}{d t}=-\varepsilon \frac{d}{d t} \cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+\varepsilon \sin \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right) \frac{d \theta_{2}}{d t} .
\]

Первый член приводит лишь к малым осцилляциям $H_{\|}$, которыми мы пренебрегаем. В результате получаем
\[
\Delta H_{\|} \approx \varepsilon \int \sin \varphi \frac{d \theta_{2}}{d t} d t
\]

где фаза $\varphi(t)=\theta_{1}-\theta_{2}$.
Для вычисления $\varphi(t)$ нужно невозмущенное движение $\theta_{1}(t)$ и $\theta_{2}(t)$. Положив в (6.2.57) $\varepsilon=0$, запишем решение в виде
\[
\theta_{2}(t)=\omega_{2} t-\chi_{0}-\pi / 2 .
\]

Получить $\theta_{1}(t)$ из (6.2.50) можно лишь приближенным методом. Считая $k$ малым параметром возмущения, запишем (6.2.50) в виде
\[
H_{0}=\frac{1}{2} I_{1}^{2}
\]

и
\[
H_{1}=-k \sum_{n} \mathscr{F}_{n}(\lambda) \cos \left(\theta_{1}+n \Omega t\right) .
\]

Используя каноническую теорию возмущений (п. 2.2б) и замечая, что $\left\langle H_{1}\right\rangle=0$, из (2.2.44) получаем в первом порядке по $k: \bar{H}=H_{0}$, $\bar{I}_{1}=I_{0}=\mathrm{const}, \bar{\theta}_{1}=I_{0} t$, а для производящей функции — выражение [см. (2.2.45)]:
\[
S_{1}=k \sum_{n} \frac{\mathscr{J}_{n}(\lambda)}{n \Omega+\bar{I}_{1}} \sin \left(\theta_{1}+n \Omega t\right) .
\]

Рис. 6.14. Фазовая плоскость стандартного отображения при модуляция $K=0,007, a$ — модуляция отсутствует; $\sigma-2$ — частота модуляции последовательнс астоты.
меньшается лри постоянной амплитуде.

Подставляя в (6.2.60б) $\theta_{1}=\bar{\theta}_{1}=I_{0} t$ и используя (6.2.61), находим
\[
\theta_{1}(t)=I_{0} t+k \sum_{n} \frac{\mathscr{f}_{n}(\lambda)}{\left(n \Omega+I_{0}\right)^{2}} \sin \left[\left(I_{0}+n \Omega\right) t\right] .
\]

В качестве грубого приближения оставим в этой сумме один (наибольший) член с $n \approx \lambda$. Тогда
\[
\begin{aligned}
\varphi(t) \approx\left(I_{0}-\omega_{2}\right) t & +\chi_{0}+\pi / 2+k R \mathcal{F}_{\lambda}(\lambda) /\left(I_{0}+\lambda \Omega\right)^{2} \times \\
& \times \sin \left(I_{0}+\lambda \Omega\right) t,
\end{aligned}
\]

где в подгоночном параметре $R$ учитывается «эффективное» число членов в сумме (6.2.62). Выражение (6.2.63) является основным приближением при анализе движения в модуляционном слое.
Коэффициент модуляционной диффузии можно определить как
\[
D\left(\omega_{2}\right)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T}\left\langle\left[\Delta H_{\|}(T)\right]^{2}\right\rangle_{I_{0}, x_{\mathbf{a}}},
\]

где усреднение ${ }^{1}$ ) по $I_{0}$ производится по всей стохастической области $\left|I_{0}\right|<\lambda \Omega$. Подставляя сюда (6.2.58), получаем
\[
\begin{array}{c}
D\left(\omega_{2}\right)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2 T} \frac{\varepsilon^{2}}{2 \lambda \Omega}\left\langle\int_{-\lambda \Omega}^{\lambda \Omega} d I_{0} \int_{-T}^{T} d t^{\prime \prime} \omega_{2} \sin \varphi\left(t^{\prime \prime}\right) \times\right. \\
\left.\times \int_{-T}^{T} d t^{\prime} \omega_{2} \sin \varphi\left(t^{\prime}\right)\right\rangle_{\chi_{0}} .
\end{array}
\]

Используя (6.2.63) и снова разлагая по функциям Бесселя, находим
\[
\sin \varphi(t)=\sum_{j} A_{j}\left(I_{0}\right) \cos \left\{\left[(j+1) I_{0}+j \lambda \Omega-\omega_{2}\right] t+\chi_{0}\right\},
\]

где
\[
A_{j}\left(I_{0}\right)=\mathscr{F}_{j}\left[\frac{k R \mathscr{F}_{\lambda}(\lambda)}{\left(I_{0}+\lambda \Omega\right)^{2}}\right] .
\]

Интегрирование в (6.2.65) по $t^{\prime \prime}$ дает
\[
\int_{-\infty}^{\infty} d t^{\prime \prime} \sin \varphi\left(t^{\prime \prime}\right)=\sum_{j} A_{j}\left(I_{0}\right) \cos \chi_{0} \frac{2 \pi}{j+1} \delta\left(I_{0}+\frac{j \lambda \Omega}{j+1}-\frac{\omega_{2}}{j+1}\right) .
\]

Интегрируя далее, сначала по $I_{0}$, а затем по $t^{\prime}$, получаем
\[
D\left(\omega_{2}\right)=\frac{\varepsilon^{2} \omega_{2}^{2}}{2 \lambda \Omega} \sum_{j} \frac{2 \pi}{j+1} A_{j}^{2}\left(\frac{\omega_{2}-j \lambda \Omega}{j+1}\right)\left\langle\cos ^{2} \chi_{0}\right\rangle .
\]
1) Усреднение по $\chi_{0}$ требует пояснения. Фактически важна разность фаз $\varphi(0)=\chi_{0}+\pi / 2[\mathrm{cм} .(6.2 .63)]$, которая, как и $I_{0}$, не является на самом деле постоянной вследствие стохастического движения при перекрытии резонансов в мультиплете.- Прим. ред.

Здесь сумма по $j$ ограничена $\delta$-функцией в (6.2.67):
\[
j=\frac{\omega_{2}-I_{0}}{I_{0}+\lambda \Omega} .
\]

При изменении $I_{0}$ от — $\lambda \Omega$ до $\lambda \Omega$ целое $j$ изменяется от
\[
l\left(\omega_{2}\right)=\left[\frac{1}{2}\left(1+\frac{\omega_{2}}{\lambda \Omega}\right)\right]
\]

до бесконечности. Аргумент функции Бесселя в (6.2.66б) обычно мал $\left.{ }^{1}\right)$, так что доминирующим является член с $j=l$. Опуская остальные члены и усредняя по $\chi_{0}$, получаем окончательный результат
\[
D\left(\omega_{2}\right)=\frac{\pi}{2} \frac{\varepsilon^{2} \omega_{2}^{2}}{(l+1) \lambda \Omega} \mathscr{F}_{l}^{2}\left[\frac{k R(l+1)^{2} \mathscr{F}_{\lambda}(\lambda)}{\left(\omega_{2}+\lambda \Omega\right)^{2}}\right] .
\]

С ростом $\omega_{2}$ величина $l$ изменяется скачками, как это следует из (6.2.68). Соответственно график зависимости $D\left(\omega_{2}\right)$ имеет вид серии убывающих «плато» (рис. 6.15). Основное плато ( $l=0$ ) соответствует частотам $0<\omega_{2}<\lambda \Omega$, а остальные расположены в интервалах
\[
(2 l-1) \lambda \Omega<\omega_{2}<(2 l+1) \lambda \Omega .
\]

На основном плато $\mathscr{F}_{0} \approx 1$ и коэффициент диффузии
\[
D_{\text {пл }}=\frac{\pi}{2} \frac{\varepsilon^{2} \omega_{2}^{2}}{\lambda \Omega} .
\]

Относительно большая скорость диффузии объясняется тем, что внутри модуляционного слоя (см. рис. 6.12) выполняется условие точного резонанса $\omega_{1}=I_{0}=\omega_{2}$.

На рис. 6.15 представлены численные значения приведенного коэффициента диффузии
\[
D_{n}=\frac{D}{\left(\varepsilon^{2} \omega_{2}^{2} / \Delta \omega\right)},
\]

как функции $\omega_{2} / \Delta \omega$. Здесь вместо $\lambda \Omega$ использована фактическая полуширина модуляционного слоя $\Delta \omega \approx 1,3 \lambda \Omega, \lambda=10, \quad \Omega=$ $=10^{-2}, k=5 \times 10^{-4}$. Ясно видно основное плато со средним значением $D_{n}=1,6$, что хорошо согласуется с величиной $\pi / 2$ из (6.2.71). При $\omega_{2}>\Delta \omega$ скорость диффузии резко падает, а затем, с ростом $\omega_{2}$, уменьшается ступенчатым образом. Это как раз то, что предсказывает теория (6.2.69).

Для количественного сравнения с численными результатами необходимо определить параметр $R$. Это было сделано путем под-
1) Если $k \leqslant k_{1} \sim \Omega^{2} \lambda^{7 / 3}$ [см. (6.2.69), $\mathcal{F}_{\lambda}(\lambda) \sim \lambda^{-1 / 3}$ ], что почти совпадает с границей слияния резонансов мультиплета (6.2.54).-. Прим. ред.

гонки формулы (6.2.69) к численным данным на краю двух последних плато ( $l=2, l=3$ ). Подставив найденное значение $R \approx 5,3$ в $(6.2 .69)$, получим зависимость $D_{n}\left(\omega_{2} / \Delta \omega\right)$, представленную на рис. 6.15 сплошной линией. Если учесть, что в теории использовалось существенное упрощение (6.2.63), согласие можно считать

Рис. 6.15. Зависимость приведенного коэффициента диффузии $D_{n}$ от величины $\omega_{2} / \Delta \omega$.
Точки — численные данные; сплошная лииия — теория (6.2.69); $\lambda=10 ; \Omega=10^{-2}$; $k=5 \times 10^{-4} ; \Delta \omega=1,3 \lambda \Omega$.

вполне удовлетворительным. Отметим, что теория предсказывает резкий спад $D_{n}\left(\omega_{2}\right)$ после каждого плато и что все плато, кроме основного $(l=0)$, имеют некоторый наклон. В пределах каждого плато скорость диффузии спадает по закону
\[
D_{n}\left(\omega_{2}\right) \propto\left(1+\frac{\omega_{2}}{\Delta \omega}\right)^{-4 l} \rightarrow\left(\frac{\omega_{2}}{\Delta \omega}\right)^{-4 l},
\]

где последнее выражение относится к $l \gg 1$. Все эти предсказания находятся в разумном согласии с численными данными ${ }^{1}$ ).