Главная > Регулярная и стохастическая динамика (Лихтенберг А., Либерман М.)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Первые теоретические оценки диффузии Арнольда были получены Чириковым $\left[68,70\right.$ ] и его сотр. ${ }^{1}$ ). Теннисон и др. [406] и Либерман [273] рассчитали скорость диффузии для модельной задачи, описанной в п. 6.1б. Теоретический анализ основан на разделении исходной системы с тремя степенями свободы на две подсистемы, каждая из которых рассматривается в первом приближении независимо. Мы будем называть такой подход моделью стохастической накачки ${ }^{2}$ ). В простейшем случае при этом учитывается взаимодействие только трех резонансов. Пусть, например, ведущий резонанс, вдоль которого идет диффузия Арнольда, связан, скажем, со степенью свободы 2. Взаимодействие между степенями свободы 1 и 2 , описываемое гамильтонианом
\[
H_{\perp}\left(I_{1}, I_{2}, \theta_{1}, \theta_{2}\right) \approx \text { const }
\]

приводит к интенсивному хаотическому движению поперек стохастического слоя ведущего резонанса. Взаимодействие же между степенями свободы 2 и 3 с гамильтонианом
\[
H_{\|}\left(I_{2}, I_{3}, \theta_{2}, \theta_{3}\right) \approx \text { const }
\]

вызывает более слабую диффузию Арнольда. Подсистемы (6.2.1) и (6.2.2) рассматриваются последовательно. Сначала из (6.2.1) находятся величины $\theta_{2}(t)$ и $I_{2}(t)$, характеризующие движение в стохастическом слое. Затем они подставляются в (6.2.2), что дает возможность найти стохастическое изменение $I_{3}(t)$, определяющее диффузию Арнольда.

Основная трудность при использовании этого метода состоит в выяснении, какие именно резонансы определяют диффузию вдоль и какие – поперек стохастического слоя. В случае трех резонансов ведущим можно считать любой из них, что просто определяет область начальных условий движения. Наиболее сильный из оставшихся задает диффузию поперек слоя, а более слабый вызывает диффузию Арнольда ${ }^{3}$ ).
* 6.2а. Расчет диффузии в модели стохастической накачки

Покажем, как оценить скорость диффузии Арнольда на примере системы, описываемой отображением (6.1.12). Мы рассмотрим три различных режима диффузии с последовательно уменьшающейся скоростью. Первый режим соответствует диффузии по $\alpha$ вдоль толстого стохастического слоя в плоскости ( $\beta, y$ ). Диффузия происходит вследствие связи со случайным движением по $y$. Второй режим
1) См. работу [146].– Прим. ред.
2) Stochastic pump model. Этот механизм, по-видимому, впервые обсуждался кратко в работе [139].- Прим. ред.
3) Обсуждение такого «распределения ролей» между резонансами см. в работе $[70, \S 7.2]$.- Прим. ред.

аналогичен первому, за исключением того, что диффузия по $\alpha$ идет вдоль тонкого стохастического слоя $y$-резонанса. Наконец, третий режим отвечает диффузии вдоль резонанса связи.

Найдем прежде всего гамильтониан для отображения (6.1.12). Қак и в п. 3.1в, преобразуем разностные уравнения (6.1.12) в дифференциальные с помощью $\delta$-функции. В результате получаем неавтономный гамильтониан с двумя степенями свободы:
\[
H(\alpha, x, \beta, y, n)=-2 h \ln \cos \alpha-2 h \ln \cos \beta-2 \delta_{1}(n) C(x, y),
\]

где
\[
\begin{array}{c}
C(x, y)=a_{x} \cos k_{x} x+a_{y} \cos k_{y} y-(1 / 2) \mu \cos \left(k_{x} x+k_{y} y\right), \\
\delta_{1}(n) \equiv \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(n-m)=1+2 \sum_{q=1}^{\infty} \cos (2 \pi n q) .
\end{array}
\]

Диффузия в толстом слое. Выберем начальные значения $\beta$ и $у$ внутри толстого стохастического слоя, а $\alpha$ и $x$ вблизи центра целого резонанса. При отсутствии связи между степенями свободы ( $\mu=0$ ) движение в плоскости ( $\alpha, x$ ) происходит по инвариантной кривой (рис. 6.5). При включении связи происходит медленная диффузия по $\alpha$ и $x$.

Перейдем к новым переменным $\theta=k_{x} x, \varphi=k_{y} y, \bar{\alpha}=\alpha / k_{x}$, $\bar{\beta}=\beta / k_{y}$ и представим гамильтониан $H$ в виде суммы $H=H_{x}+H_{y}$, где
\[
\begin{array}{l}
H_{y}=-2 h \ln \cos \beta-2 \delta_{1}(n) a_{y} \cos \varphi, \\
H_{x} \approx h \alpha^{2}-2 a_{x} \cos \theta+\mu \cos (\theta+\varphi(n)) .
\end{array}
\]

Здесь для удобства мы сохранили старые переменные $\alpha$ и $\beta$ в новом гамильтониане. В (6.2.6б) использовано приближение $-\ln \cos \alpha \approx \alpha^{2} / 2$ при $\alpha^{2} \ll 1, \delta_{1} \approx 1$ при $\omega_{x}^{2}=4 a h k^{2} \ll 1$, а $\varphi$ считается явной функцией $n$. Последнее допущение наиболее серьезно, поскольку при этом пренебрегается влиянием связи на движение по $y$. В результате мы получили два неавтономных гамильтониана с одной степенью свободы каждый ${ }^{1}$ ). Теперь можно решить уравнение движения независимой подсистемы (6.2.6a) и найти «стохастическую накачку» $\varphi(n)$. Подставив ее в (6.2.6б), найдем движение в плоскости ( $\alpha, \theta$ ), которое и дает диффузию Арнольда.

В толстом слое, где имеется много перекрывающихся резонансов, фаза $\varphi$ хаотизуется за время порядка одной итерации отображения ${ }^{2}$ ). Поэтому с хорошей точностью можно считать, что после-
1) В этом случае говорят иногда о полутора степенях свободы. – Прим. ред.
2) Дело не в перекрытии резонансов, а в масштабе времени релаксации, в качестве которого можно принять грубо обратную величину КС-энтропии. Последнюю легко оценить, поскольку подсистема (6.2.6a) сводится локально к стандартному отображению с параметром $K=-4 k_{y}^{2} a_{y} h / \cos ^{2} \beta$. – Прим. ред.

довательные значения фазы ч являются случайными и независимыми, причем переход между ними имеет характер «скачка». Изменение $H_{x}$ определяется уравнением Гамильтона
\[
\frac{d H_{x}}{d n}=\frac{\partial H_{x}}{\partial n} .
\]

Используя (6.2.6б), можно записать производную в виде
\[
\frac{\partial H_{x}}{\partial n}=\frac{d}{d n}[\mu \cos (\theta+\varphi)]-\mu \frac{\partial \theta}{\partial n} \sin [\theta+\varphi(n)] .
\]

Первый член в выражении справа описывает малые ограниченные колебания. Считая колебания по $\theta$ малыми
\[
\theta=\theta_{0} \cos \left(\omega_{x} n+\chi_{0}\right),
\]

где $\omega_{x}=2 \pi / T=2 k_{x}\left(a_{x} h\right)^{1 / 2}$, проинтегрируем второй член в уравнении (6.2.7) по периоду отображения:
\[
\Delta H_{x}=\int_{m}^{m+1} d n \mu \theta_{0} \omega_{x} \sin \left[\omega_{x} n+\chi_{0}\right] \sin [\theta+\varphi(n)] .
\]

При $\omega_{x} \ll 1$ подынтегральное выражение постоянно, поэтому
\[
\Delta H_{x}=\mu \theta_{0} \omega_{x} \sin \left[\omega_{x} m+\chi_{0}\right] \sin [\theta+\varphi(m)] .
\]

Возводя это выражение в квадрат и усредняя как по $\chi_{0}$, так и по $\varphi$, получаем ${ }^{\mathbf{1}}$ )
\[
\left\langle\left(\Delta H_{x}\right)^{2}\right\rangle=\frac{1}{4} \mu^{2} \theta_{0}^{2} \omega_{x}^{2} .
\]

В результате находим скорость диффузии в толстом слое
\[
D_{1}=\frac{1}{2}\left\langle\left(\Delta H_{x}\right)^{2}\right\rangle=\frac{1}{8} \mu^{2} \theta_{0}^{2} \omega_{x}^{2} .
\]

С изменением $H_{x}$ в процессе диффузии параметры $\mu$ и $\omega_{x}$ остаются постоянными. Величина же $\theta_{0}$ растет с $H_{x}$, а вместе с ней и скорость диффузии:

На рис. 6.8, $a-в$ теоретические значения $D_{1}$ (сплошные линии) сравниваются с результатами численного моделирования. Начальные условия для 100 траекторий были одинаковыми в плоскости $(\alpha, x)$ и случайными в пределах толстого слоя плоскости $(\beta, y)$. Для каждой траектории просчитывалось 500 итераций отображения. Вычислялись среднеквадратичные значения безразмерной энергии $\left\langle a^{2}\right\rangle=\left[h^{-2}\left\langle\left(\Delta H_{x}\right)^{2}\right\rangle n\right]^{1 / 2}$, которые и сравнивались $\qquad$
1) Усреднение по фазе $\chi_{0}$, которая является постоянной интегрирования в (6.2.8), требует пояснения. На самом деле усреднять нужно по траектории, т. е. по времени $m$. Для иррационального $\omega_{x}$ при $\omega_{x} m 1$ это формально эквивалентно усредненню по \%. Разумеется, диффузионный характер движения связан только с присутствием случайной фазы $\varphi(m)$, иначе колебания $H_{x}$ были бы квазипериодическими.– Прим. ред.

с теорией. На рис. 6.8 каждый треугольник представляет результат усреднения четырех независимых (по начальным условиям) вариантов счета. Согласие с теорией достаточно хорошее, хотя она и несколько завышает систематически скорость диффузии. Это разъичие объясняется, возможно, тем, что значения фазы $\varphi(m)$ не полностью независимы.

Рис. 6.8. Диффузия в толстом слое (по данным работы [406]).
Сплошныс линии – теория; треугольники – численные данные (статистический разброс
для 100 траекториіі лежит п иределах высоты треугольникон); $\mu / h=2 \times 1^{-\mathbf{4}} ; n=500$;
$\lambda_{x}: h: a_{x}=100: 10: 1 ; \lambda_{y}: h: a_{y}=100: 10: 1,7$ (кроме переменных величин).

Диффузия в тонком слое. В этом случае начальные условия на плоскости $(\alpha, x)$ мы выбираем, как и в толстом слое, вблизи центра резонанса, а в плоскости ( $\beta, y$ ) – в тонком стохастическом слое резонанса. Қак и в толстом слое, диффузия в плоскости $(\alpha, x$ ) обусловлена слабой связью со стохастическим движением в плоскости $(\beta, y)$. Однако скорость диффузии оказывается значительно меньше. Действуя прежним методом, мы оставим теперь, однако, в функции $\delta_{1}(n)$ в (6.2.6a) только члены с $q=0$ и $q=1$ из разложения (6.2.5) [ср. (4.1.26) ]. Используя, кроме того, приближение $-\ln \cos \beta \approx \beta^{2} / 2, \beta^{2} \sim a_{y} / h \ll 1$, запишем гамильтониан (6.2.6a) в виде
\[
H_{y}=h \beta^{2}-2 a_{y} \cos \varphi-4 a_{y} \cos 2 \pi n \cos \varphi .
\]

Здесь первые два члена определяют сепаратрису резонанса в плоскости $(\beta, y)$, а третий приводит к образованию тонкого стохастического слоя в ее окрестности. Чтобы найти функцию $\varphi(n)$ для (6.2.11), будем исходить из уравнения (6.2.7), пренебрегая первым членом в его правой части:
\[
\frac{d H_{x}}{d n}=-\mu \frac{d \theta}{d n} \sin [\theta+\varphi(n)],
\]

где $\theta(n)$ определяется соотношением (6.2.8). Примем, далее, что на одном полупериоде фазовых колебаний $\varphi(n)$ определяется движением по невозмущенной сепаратрисе (см. п. 1.3а) ${ }^{1}$ ):
\[
\varphi_{1}(n)=4 \operatorname{arctg}\left(e^{\omega} y^{n}\right)–\pi .
\]

Обозначив $s=\omega_{y} n, Q_{0}=\omega_{x} / \omega_{y}$ и записав фазу $\chi_{0}$ в (6.2.8) как $\chi_{0}=Q_{0} s_{0}-\pi / 2$, получим из (6.2.12)
\[
\Delta H_{x}=-\mu \theta_{0} Q_{0} \int_{-\infty}^{\infty} P(s) d s,
\]

где
\[
P(s)=\cos \left[Q_{0}\left(s+s_{0}\right)\right] \sin \left\{\theta_{0} \sin \left[Q_{0}\left(s+s_{0}\right)\right]+\varphi\right\} .
\]

При $\theta_{0} \ll 1$
\[
P(s)=\cos \left[Q_{0}\left(s+s_{0}\right)\right] \sin \varphi,
\]

и мы приходим к интегралу Мельникова-Арнольда (п. 3.5а):
\[
\mathscr{A}_{m}^{\prime}=2 \int_{0}^{s_{\mathrm{r}}} \cos \left[\frac{m}{2} \varphi(s)-Q_{0} s\right],
\]

который понимается в смысле его среднего значения по $s_{1}$ при
1) Поясним, что получаемое таким образом регулярное асимптотическое решение $\varphi_{1}(n)$, которое только и используется ниже для вычисления скорости диффузии, не совпадает с решением $\varphi(n)$ для подсистемы (6.2.11). Различие между ними сводится к хаотизации $\varphi(n)$, которая учитывается в (6.2.19) неявно, со ссылкой на сепаратрисное отображение.- Прим. ред.

$s_{1} \rightarrow \infty$. В рассматриваемом случае $m=2$, и мы получаем
\[
\Delta H_{x}=\frac{1}{2} \mu_{0} \theta_{0} Q_{0} \sin \left(Q_{0} S_{0}\right)\left[\mathscr{A}_{2}\left(Q_{0}\right)-\mathscr{A}_{2}\left(-Q_{0}\right)\right],
\]

где, согласно (3.5.18),
\[
\mathscr{A}_{2}\left( \pm Q_{0}\right)=4 \pi Q_{0} e^{ \pm \pi Q_{0} 2} / \operatorname{sh}\left(\pi Q_{0}\right) .
\]

В результате находим
\[
\Delta H_{x}=4 \pi \mu \theta_{0} Q_{0}^{2} \sin \left(Q_{0} s_{0}\right) \operatorname{sh}\left(\pi Q_{0} / 2\right) / \operatorname{sh}\left(\pi Q_{0}\right) .
\]

Из свойств сепаратрисного отображения (п. 3.5б) мы знаем, что величина $Q_{0} S_{0}$ хаотизуется на полупериоде фазовых колебаний $T_{l}$. Усредняя по фазе $Q_{0} s_{0}$, получаем
\[
\left\langle\left(\Delta H_{x}\right)^{2}\right\rangle_{s_{0}}=8 \pi^{2} \mu^{2} \theta_{0}^{2} F\left(Q_{0}\right),
\]

где
\[
F\left(Q_{0}\right)=Q_{0}^{4} / 4 \mathrm{ch}^{2}\left(\pi Q_{0} / 2\right) .
\]

На рис. 6.9 приведен график функции $F\left(Q_{0}\right)$ с максимумом при $Q_{0} \approx 1,3$ и довольно резким падением в обе стороны от максимума ${ }^{1}$ ). Так, например, при изменении $Q_{0}$ в 4 раза скорость диффузии уменьшается на два порядка по сравнению с максимальной.

Для вычисления коэффициента диффузии необходимо найти средний полупериод $\left\langle T_{y}\right\rangle$ колебаний в тонком стохастическом слое. Вблизи сепаратрисы
\[
T_{y}=\frac{1}{\omega_{t j}} \ln \left|\frac{32}{\omega}\right|,
\]

где $w=\left(H_{y}-H_{s}\right) / H_{s} \ll 1$, а $H_{s}=2 a_{y}$– энергия на сепаратрисе. Чириков [70] показал, что $\left\langle T_{y}\right\rangle$ можно найти, усреднив $T_{y}(w)$ по $w$ в пределах стохастического слоя $|w| \leqslant w_{1}$. Это дает
\[
\left\langle T_{y}\right\rangle=\frac{1}{w_{y}}\left[\ln \left(\frac{32}{w_{1}}\right)+1\right] .
\]

При слабой связи $\mu \ll a_{y}$ для полуширины стохастического слоя $w_{1}$ можно использовать соотношение (4.2.23).
Коэффициент диффузии в тонком слое равен
\[
D_{2}=\frac{\left\langle\left(\Delta H_{x}\right)^{2}\right\rangle_{s_{0}}}{2\left\langle T_{y}\right\rangle}
\]

или с учетом (6.2.19) и (6.2.21)
\[
D_{2}=4 \pi^{2} \mu^{2} \theta_{0}^{2} \omega_{y} F\left(Q_{0}\right) / \ln \left(32 e / w_{1}\right) .
\]
1) При $Q_{0} \ll 1$ полученные выражения справедливы лишь при дополнительном условии $T_{y} \omega_{x} \gg 2 \pi$, или $s_{y}=\omega_{y} T_{y} \gg 2 \pi / Q_{0}$ (см. рис. 3.20, , ), т. е. только в очень тонком стохастическом слое $w_{1} \ll 32 \exp \left(-2 \pi / Q_{0}\right)$. – Прим. ред.

На рис. 6.10 эта теоретическая зависимость (сплошные линии) сравнивается с результатами численных экспериментов (треугольники). При счете использовалось 100 траекторий с одинаковыми начальными условиями в плоскости ( $\alpha, x$ ) и слегка различными в плоскости $(\beta, y)$ внутри тонкого стохастического слоя. Теоретические кривые строились по формуле (6.2.23) с эмпирическим зна-

Рис. 6.9. Функция (6.2.20) для диффузии в тонком слое.
чением $w_{1}=0,191$. Как и в случае толстого слоя, теоретические значения лежат несколько выше численных. Возможно, что это различие вызвано неполной хаотизацией $\varphi(n)$ на полупериоде фазовых колебаний в стохастическом слое ${ }^{1}$ ).
6.2б. Диффузия по резонансу связи

Аналогичным образом можно было бы вычислить скорость диффузии Арнольда и по резонансу связи, например $\omega_{x}=\omega_{y}$. Соответствующие довольно сложные расчеты были выполнены Либерманом [273]. Здесь же, следуя работе Чирикова [70], мы рассмотрим более простую модель, иллюстрирующую как диффузию по резонансу связи, так и взаимодействие многих резонансов [72]. Гамильтониан этой модели имеет вид
\[
H=\frac{p_{x}^{2}}{2}+\frac{p_{y}^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4}+\frac{y^{4}}{4}-\mu x y-\operatorname{exf}(t),
\]
1) Существенное снижение скорости диффузии по сравнению с оценкой (6.2.23), особенно заметное на рис. 6.10, , , объясняется медленной диффузией в относительно широкой периферической части стохастического слоя, а также фазовыми корреляциями из-за конечной ширины слоя (см. работу [70], § 7.2 и 7.6).- Прим. ред.

Рис. 6.10. Диффузия в тонком слое (по данным работы [406]).
Обозначения и параметры те же, что и на рис. 6.8, кроме $n=2000 ; \lambda_{y}: h: a_{y}=100$ : $10: 1,8$.

где $t$ – время, а $\mu$ и $\varepsilon$ – малые параметры. Эта система состоит из двух нелинейных осцилляторов со слабой линейной связью (параметр $\mu$ ), причем на один из осцилляторов действует периодическая внешняя сила $\varepsilon f(t)$. Нас будет интересовать окрестность резонанса связи
\[
\omega_{x}-\omega_{y} \approx 0,
\]

где $\omega_{x}$ и $\omega_{y}$ – невозмущенные частоты нелинейных осцилляторов. Переход к переменным действие-угол. Перейдем прежде всего к переменным действие – угол невозмущенной системы ( $\mu=\varepsilon=0$ ). Невозмущенный гамильтониан
\[
H_{0}=\frac{p_{x}^{2}}{2}+\frac{p_{y}^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4}+\frac{y^{4}}{4}
\]

описывает два независимых осциллятора с сохраняющимися энергиями $E_{x}$ и $E_{y}$. Выражение для переменной действия получается обычным образом
\[
I_{x}=\frac{1}{2 \pi} \oint p_{x} d x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{x}\left(2 E_{x}\right)^{1 / 2}\left(1-\frac{x^{4}}{4 E_{x}}\right)^{1 / 2} d x,
\]

где $x_{M}=\left(4 E_{x}\right)^{1 / 4}$ – амплитуда $x$-колебаний. Вводя новую переменную $\xi=x /\left(4 E_{x}\right)^{1 / 4}$, получаем
\[
I_{x}=\frac{4}{\pi} E_{x}^{3} \int_{0}^{1}\left(1-\xi^{4}\right)^{1} \cdot d \xi=\frac{4 \sqrt{2}}{3 \pi} E_{x}^{3} \cdot \mathscr{K}(1 / \sqrt{2}),
\]

где $\mathscr{K}(1 / \sqrt{2}) \approx 1,85$ – полный эллиптический интеграл первого рода. Соотношение (6.2.28) устанавливает связь между переменной действия $I$ и энергией $E$ для каждого из осцилляторов $\left(E \propto I^{4 / 3}\right)$. Отсюда новый невозмущенный гамильтониан
\[
\bar{H}_{0}=A\left(I_{x}^{1 / 3}+I_{y}^{4 / 3}\right),
\]

где
\[
A=\left(\frac{3 \pi}{4 \sqrt{2} \mathscr{K}(1 / \sqrt{2})}\right)^{4} \approx 0,87 .
\]

Частоты колебаний равны
\[
\omega_{x, y}=\frac{\partial \bar{H}_{0}}{\partial I_{x, y}}=\frac{4}{3} A I_{x, y}^{\prime 3} .
\]

Решение выражается через эллиптические функции (см., например, [70]) и имеет вид
\[
\frac{x(t)}{x_{M}}=\operatorname{cn}(\omega t)=\frac{\pi \sqrt{2}}{\mathscr{K}(1 / \sqrt{2})} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos [(2 n-1) \omega t]}{\operatorname{ch}[\pi(n-1 / 2)]} \approx
\]

\[
\approx 0,95 \cos \omega t+\frac{\cos 3 \omega t}{23}+\frac{\cos 5 \omega t}{(23)^{2}}+\ldots
\]

Независимо от амплитуды колебаний вклад гармоник очень мал и мы можем сохранить только первый член этого разложения. Введя угловую переменную $\theta=\omega t$, запишем полный гамильтониан в виде
\[
\begin{array}{c}
\bar{H}=A\left(I_{x}^{t_{3}}+I_{y}^{t_{3}}\right)-\mu x_{M}\left(I_{x}\right) y_{M}\left(I_{y}\right) \cos \theta_{x} \cos \theta_{y}- \\
-\varepsilon x_{M}\left(I_{x}\right) \cos \theta_{x} f(t),
\end{array}
\]

где
\[
x_{M}=(4 A)^{1 / 4} I_{x}^{1 / 3}, \quad y_{M}=(4 A)^{1 / 4} I_{y}^{t_{3}}
\]
– амплитуды колебаний, полученные из сопоставления (6.2.26) и (6.2.29).

Вблизи резонанса связи разность $\theta_{x}-\theta_{y}$ является медленной функцией времени. Перейдем поэтому с помощью производящей функции
\[
F_{2}=\left(\theta_{x}-\theta_{y}\right) I_{1}+\left(\theta_{x}+\theta_{y}\right) I_{2}
\]

к новым переменным:
\[
\psi_{1}=\theta_{x}-\theta_{y}, \quad \psi_{2}=\theta_{x}+\theta_{y} .
\]

Тогда
\[
I_{x}=\frac{\partial F_{2}}{\partial \theta_{x}}=I_{1}+I_{2}, \quad I_{y}=\frac{\partial F_{2}}{\partial \theta_{y}}=-I_{1}+I_{2} .
\]

В окрестности резонанса связи $I_{x} \approx I_{y}$, так что $I_{1} \ll I_{2}$. Выражая гамильтониан (6.2.32) через новые переменные (6.2.34) и разлагая невозмущенную часть по $I_{1}$, получаем выражение для нового гамильтониана
\[
\begin{aligned}
K=2 A I_{2}^{t_{3}}+\frac{1}{2} & G I_{1}^{2}-F \cos \psi_{1}-F \cos \psi_{2}-\varepsilon x_{M}\left(I_{2}\right) \times \\
& \times \cos \left(\frac{\psi_{1}+\psi_{2}}{2}\right) f(t),
\end{aligned}
\]

где
\[
\begin{aligned}
G\left(I_{2}\right) & =\frac{8}{9} A I_{2}^{-2 / 3}, \\
F\left(I_{2}\right) & =\frac{1}{2} \mu x_{M}\left(I_{2}\right) y_{M}\left(I_{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Усреднение по быстрой фазе $\psi_{2}$ дает
\[
\langle K\rangle=2 A I_{2}^{4 / 3}+\frac{1}{2} G I_{1}^{2}-F \cos \psi_{1} .
\]

Отсюда видно, что $I_{2} \approx$ const, $\omega_{2}=2 \omega_{x}$, а переменные $I_{1}$, $\psi_{1}$

совершают медленные колебания на резонансе связи с частотой (для малых колебаний)
\[
\omega_{1}=\sqrt{F G} \propto \sqrt{\mu} .
\]

Взаимодействие трех резонансов. Пусть внешняя сила имеет вид
\[
f(t)=\cos \Omega_{1} t+\cos \Omega_{2} t,
\]

причем обе частоты близки к резонансу и удовлетворяют неравенству
\[
\delta \omega=\left(\omega_{x}-\Omega_{2}\right)>\left(\Omega_{1}-\omega_{x}\right)>0,
\]
т. е. частота $\omega_{x}$ находится между $\Omega_{1}$ и $\Omega_{2}$. Будем считать, что эти два резонанса и определяют поведение системы, причем более сильный ${ }^{1}$ ) резонанс (с частотой $\Omega_{1}$ ) возбуждает движение поперек стохастического слоя, а более слабый (с частотой $\Omega_{2}$ ) вызывает диффузию Арнольда вдоль слоя. В этом случае диффузию Арнольда удается рассчитать сравнительно просто (см. работу $[70, \S 7.5]$ ). Нелинейность приводит также к резонансам в высших порядках, однако их вклад в диффузию очень мал. Опуская поэтому член $F \cos \psi_{2}$ в (6.2.35), представим гамильтониан в виде суммы
\[
K=K_{\perp}+K_{\|},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
K_{\perp}=\frac{1}{2} G I_{1}^{2}-F \cos \psi_{1}-\varepsilon x_{M} \cos \left(\frac{\psi_{1}+\omega_{2} t}{2}\right) \cos \Omega_{1} t, \\
K_{\|}=2 A I_{2}^{1}-\varepsilon x_{M} \cos \left(\frac{\psi_{1}(t)+\psi_{2}}{2}\right) \cos \Omega_{2} t .
\end{array}
\]

Эти выражения аналогичны соответственно (6.2.11) и (6.2.6б), и для определения скорости диффузии Арнольда по величине $d K_{\|} / d t$ можно использовать тот же метод. В результате находим [70]
\[
D=\frac{2 x_{M}^{2} \omega_{x}^{2}}{\omega_{1}} \cdot \frac{e^{-\pi Q_{0}}}{\ln \left(32 e / w_{1}\right)},
\]

где
\[
Q_{0}=\delta \omega / \omega_{1} .
\]

Для модельной задачи в п. 6.16 получается аналогичное выражение [273], хотя вывод его значительно сложнее. Скорость диффузии экспоненциально уменьшается с увеличением расстройки $(\delta \omega)$ и уменьшением связи $\left(\omega_{1}\right)$. Подчеркнем, что найденная скорость диффузии является локальной и изменяется в процессе диффузии.
1) Имеется в виду меньшая расстройка по частоте.- Прим. ред.

6.2в. Много резонансов

До сих пор при анализе диффузии Арнольда учитывались только три резонанса. Пока возмущение не слишком мало, полученные аналитические оценки хорошо согласуются с результатами численного моделирования. Однако для достаточно малого возмущения

Рис. 6.11. Зависимость приведенной скорости диффузии Арнольда $D^{*}$ от $Q_{0}$ (по данным работы [72]).
Точки – численное моделирование; пунктирная линия – теория в приближении трех резонансов.

теория значительно занижает скорость диффузии, поскольку в этом случае существенно взаимодействие многих резонансов. Такой режим диффузии называется областью Нехорошева по имени советского математика, впервые получившего строгую верхнюю границу для скорости диффузии Арнольда [314 ]. Однако его оценка существенно завышает, вообще говоря, порядок действительной скорости диффузии.

Взаимодействие многих резонансов исследовалось аналитически [70] и численно [72] для модели (6.2.24) с силой
\[
f(t)=\frac{\cos v t}{1-C \cos v t} \approx \sum_{m} \frac{2 e^{-\sigma m}}{\sigma} \cos m v t,
\]

где $\sigma \approx\left(1-C^{2}\right)^{1 / 2} \ll 1$. Чтобы выделить наиболее важную экспоненциальную зависимость, вычислялась приведенная [по (6.2.44)] скорость диффузии $D^{*}$, согласно формуле ${ }^{1}$ ),
\[
D=\frac{\pi^{2} x_{M}^{2} \omega_{x}^{2}}{\omega_{1} \ln \left(32 e / w_{1}\right)} D^{*} .
\]

Зависимость $\lg D^{*}$ от $Q_{0}$ в широком диапазоне показана на рис. 6.11 для $\omega_{x}=\omega_{y}=4,5 v$ и $\sigma=0,1$. Аналитическая зависимость (6.2.44) (пунктирная кривая) для трех резонансов $\left(\omega_{x}=4 v, \omega_{x}=5 v\right.$, $\omega_{x}=\omega_{y}$ ) хорошо согласуется с численными данными при малых $Q_{0}$, однако очень сильно занижает скорость диффузии для больших $Q_{0}$.

Это расхождение можно объяснить влиянием резонансов высоких гармоник $m v=k \omega_{x}$, в частности, за счет следующих членов разложения (6.2.31). Хотя их амплитуды малы, они расположены близко к резонансам $\omega_{x}=\omega_{y}=4,5 v$, т. е. для них расстройка $\delta \omega=m v-k \omega_{x}$ тоже мала и эффективное $Q_{0} \sim 1$.
Приняв зависимость $D^{*}\left(Q_{0}\right)$ в виде
\[
D^{*}=A \exp \left(-B Q_{0}^{\gamma}\right),
\]

где $A, B$ и $\gamma$ – подгоночные параметры, Чириков и др. [72] получили из численных данных значение $\gamma \approx 1 / 2$, т. е. $-\lg D \propto \mu^{-1 / 4}$. Верхняя оценка Нехорошева [314] приводит к существенно меньшей величине $\gamma$ (см. [70]). Для гамильтониана общего вида с $N$ степенями свободы
\[
H(\boldsymbol{I}, \boldsymbol{\theta})=H_{0}(\boldsymbol{I})+\mu H(\boldsymbol{I}, \boldsymbol{\theta}),
\]

где $\mu$ – малый параметр, а функция $H_{0}(I)$ при $|I| \rightarrow 0$ является положительно определенной квадратичной формой ${ }^{2}$ ), оценку Нехорошева можно записать в виде
\[
\begin{array}{c}
|\overline{\boldsymbol{I}}| \leqslant|\boldsymbol{\omega}| \cdot|\boldsymbol{I}| \boldsymbol{\mu}^{1+q} \exp \left(-1 / \boldsymbol{\mu}^{q}\right), \\
q(N)=\frac{2}{3 N^{2}-N+8} .
\end{array}
\]

Так как $Q_{0} \propto 1 / \omega_{1} \propto \mu^{-1 / 2}$, то $\gamma=2 q$. Полагая в (6.2.47б) $N=3$, находим $\gamma=1 / 8$. Это приводит к слишком медленному уменьшению скорости диффузии с $\mu$ и не согласуется с численными результатами на рис. 6.11. По мнению Чирикова [70], более правильная оценка соответствует ${ }^{3}$ ) $q=1 / N$. При $N=3$ это приводит к значению $\gamma=2 / 3$, которое находится в разумном согласии с численными результатами.
1) В работе [72] использовалась несколько другая нормировка $D^{*}$. Прим. ред.
2) Менее жесткое, но тоже достаточное условие состоит в том, чтобы энергетические поверхности $H_{0}(I)=$ const были всюду выпуклыми (см. [512]). Примером может служить гамильтониан (6.2.29).- Прим. ред.
3) Упрощенный вывод этого соотношения см. в работе [69].- Прим. ред.

6.2г. Модуляционная диффузия

Обратимся теперь к модуляционной диффузии, при которой хаотическое движение происходит вдоль системы перекрывающихся резонансов, вызванных медленной модуляцией возмущения. Следуя Чирикову и др. [76], рассмотрим модельный гамильтониан
\[
H=\frac{1}{2} I_{1}^{2}-k \cos \left(\theta_{1}+\lambda \sin \Omega t\right)+\frac{1}{2} I_{2}^{2}-\varepsilon \cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right),
\]

Рис. 6.12. Схема резонансов при модуляционной диффузии.
где $\lambda$ и $\Omega$ – амплитуда и частота фазовой модуляции соответственно, а $\varepsilon$-малый параметр связи. Используя разложение
\[
\cos \left(\theta_{1}+\lambda \sin \Omega t\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \mathscr{F}_{n}(\lambda) \cos \left(\theta_{1}+n \Omega t\right),
\]

получаем мультиплет резонансов с центром в $\omega_{1}=I_{1}=0$ и эффективной шириной приблизительно $2 \Omega$, так как функции Бесселя $\mathscr{F}_{n}(\lambda)$ быстро убывают при $|n| \geq \lambda$. Мультиплет показан на рис. 6.12 в виде нескольких вертикальных линий на плоскости частот $\omega_{1}, \omega_{2}$. Если резонансы мультиплета перекрываются, то возникает широкий стохастический слой, по которому и идет модуляционная диффузия.

Перекрытие в мультиплете. Движение внутри мультиплета описывается гамильтонианом

Действуя, как и в п. 2.4а, получим $G=1$ и $F=k \mathscr{F}_{n}(\lambda)$. Полная ширина сепаратрисы для каждого из резонансов мультиплета определяется формулой (2.4.31)
\[
2 \Delta I_{\text {макс }}=2 \Delta \omega_{\text {макс }}=4(F / G)^{1 . t}=4 \sqrt{k\left|\mathscr{g}_{n}(\lambda)\right|} .
\]

Расстояние же между резонансами по частоте равно $\delta \omega=\Omega$. Используя правило двух третей (п. 4.1б) ${ }^{1}$ ), запишем условие перекрытия
\[
\frac{2 \Delta \omega_{\text {макс }}}{\Omega}>\frac{2}{3} .
\]

Подставляя (6.2.51) в (6.2.52) и принимая в качестве $\mathscr{f}_{n}(\lambda)$ среднеквадратичное значение $(\pi \lambda)^{-1 / 2}$, приводим условие (6.2.52) к виду
\[
k \geq \Omega^{2} \sqrt{\lambda} / 20 \text {. }
\]

Если движение, описываемое гамильтонианом (6.2.50), связано с третьей степенью свободы, то неравенство (6.2.53) есть также условие модуляционной диффузии. Если же возмущение меньше этой границы, то остается только диффузия Арнольда. Отметим неожиданное следствие оценки (6.2.53): чем меньше частота модуляции, тем ниже граница перекрытия по возмущению ( $k \propto \Omega^{2}$ ). На первый взгляд это противоречит нашей интуиции об адиабатических возмущениях, согласно которой с ростом отношения частот влияние резонансов уменьшается ${ }^{2}$ ). Это противоречие разрешается, если принять во внимание, что стохастичность связана с прохождением резонанса, а это происходит только дважды за период модуляции $2 \pi / \Omega$. Поэтому при $\Omega \rightarrow 0$ скорость диффузии также стремится к нулю.

Отметим, что поскольку ширина мультиплета уменьшается с уменьшением $\Omega$ при заданном $\lambda$, то при
\[
k \gtrsim \Omega^{2} \lambda^{5 / 2} / 13
\]

ширина $\lambda \Omega<\Delta \omega_{\text {макс }}$. В этом случае весь мультиплет сливается в единый резонанс ${ }^{3}$ ), а скорость диффузии по стохастическому
1) В данном случае это правило не улучшает точность оценки, поскольку амплитуды и фазы соседних резонансов различны.-Прим. ред.
2) Эту интуицию следует подправить: при прохождении резонанса (вследствие модуляции), как и при прохождении частоты осциллятора через нуль, адиабатичность всегда нарушается независимо от скорости прохождения.Прим. ред.
3) По этой причине оценка (6.2.54) неточна – ширину слившегося резонанса следует определять по полной амплитуде возмущения $k$ [см. (6.2.48)], а не по амплитуде гармоники $\mathrm{kg}_{n}(\lambda)[$ см. $(6.2 .50)]$. В результате получаем $k \geq \Omega^{2} \lambda^{2} / 16$ – Прим. ред.

слою этого резонанса падает. Три режима ${ }^{1}$ ) движения в модуляционном слое, определяемые неравенствами (6.2.53) и (6.2.54), схематически показаны на рис. 6.13.

Эти три режима были описаны Теннисоном [404] для модели взаимодействия встречных протонных пучков в проекте накопительного кольца Брукхейвенской лаборатории (США). В этой модели Теннисона использовалась модуляция частоты:
\[
\frac{d J_{1}}{d t}=k \sin \psi_{1}, \quad \frac{d \psi_{1}}{d t}=J_{1}+\bar{\lambda} \cos \Omega t,
\]

Рис. 6.13. Три режима движения внутри мультиплета в зависимости от частоты модуляции $\Omega$ (по данным работы [276]).
$a$ – большая частота $\Omega$, модуляционные резонансы не перскрываются, слабая диффузия Арнольда вдоль отдельных стохастических слоев; 6 – промежуточная частота $\Omega$, peзонансы перекрываются, сильная модуляционная диффузия вдоль широкого слоя; в очень малая частота $\Omega$, все резонансы сливаются в один, диффузия Арнольда вдоль еднного стохастического слоя.

тогда как в рассмотренной выше модели (6.2.48) модулируется фаза:
\[
\frac{d I_{1}}{d t}=k \sin \left(\theta_{1}+\lambda \sin \Omega t\right), \quad \frac{d \theta_{1}}{d t}=I_{1} .
\]

Обе модели сводятся друг к другу путем замены переменных с производящей функцией
\[
F=J_{1}\left(\theta_{1} \div \lambda \sin \Omega t\right),
\]
1) Существует также и четвертый, промежуточный, режим захвата для $k \geqslant \Omega^{2} \lambda$.

причем $\lambda=\bar{\lambda} / \Omega$. На рис. 6.14 показан эффект модуляции для стандартного отображения (при $K=0,007$ ), что соответствует уравнениям (6.2.55), если заменить $k$ на $K \delta_{1}(t)$, где $\delta_{1}(t)$ – периодическая $\delta$-функция (3.1.33). При $\bar{\lambda}=0$ (рис. $6.14, a$ ) имеется единственный резонанс с шириной $2 \Delta I_{\text {макс }}=4 K^{1 / 2}$. При $\bar{\lambda}=0,63$ и последовательно уменьшающейся частоте $\Omega$ на рис. 6.14 , б виден мультиплет неперекрывающихся резонансов; на рис. 6.14 , в-частичное перекрытие резонансов; на рис. 6.14 , г – полное перекрытие резонансов.
Диффузия вдоль мультиплета. Вернемся к гамильтониану (6.2.48). Диффузию вдоль перекрывающихся резонансов мультиплета (по $I_{2}$ ) можно вычислить в модели стохастической накачки. Продольная часть гамильтониана имеет вид
\[
H_{\|}=\frac{1}{2} I_{2}^{2}-\varepsilon \cos \left(\theta_{1}(t)-\theta_{2}\right) .
\]

Отсюда [ср. (6.2.7)]:
\[
\frac{d H_{\|}}{d t}=-\varepsilon \frac{d}{d t} \cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+\varepsilon \sin \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right) \frac{d \theta_{2}}{d t} .
\]

Первый член приводит лишь к малым осцилляциям $H_{\|}$, которыми мы пренебрегаем. В результате получаем
\[
\Delta H_{\|} \approx \varepsilon \int \sin \varphi \frac{d \theta_{2}}{d t} d t
\]

где фаза $\varphi(t)=\theta_{1}-\theta_{2}$.
Для вычисления $\varphi(t)$ нужно невозмущенное движение $\theta_{1}(t)$ и $\theta_{2}(t)$. Положив в (6.2.57) $\varepsilon=0$, запишем решение в виде
\[
\theta_{2}(t)=\omega_{2} t-\chi_{0}-\pi / 2 .
\]

Получить $\theta_{1}(t)$ из (6.2.50) можно лишь приближенным методом. Считая $k$ малым параметром возмущения, запишем (6.2.50) в виде
\[
H_{0}=\frac{1}{2} I_{1}^{2}
\]

и
\[
H_{1}=-k \sum_{n} \mathscr{F}_{n}(\lambda) \cos \left(\theta_{1}+n \Omega t\right) .
\]

Используя каноническую теорию возмущений (п. 2.2б) и замечая, что $\left\langle H_{1}\right\rangle=0$, из (2.2.44) получаем в первом порядке по $k: \bar{H}=H_{0}$, $\bar{I}_{1}=I_{0}=\mathrm{const}, \bar{\theta}_{1}=I_{0} t$, а для производящей функции – выражение [см. (2.2.45)]:
\[
S_{1}=k \sum_{n} \frac{\mathscr{J}_{n}(\lambda)}{n \Omega+\bar{I}_{1}} \sin \left(\theta_{1}+n \Omega t\right) .
\]

Рис. 6.14. Фазовая плоскость стандартного отображения при модуляция $K=0,007, a$ – модуляция отсутствует; $\sigma-2$ – частота модуляции последовательнс астоты.
меньшается лри постоянной амплитуде.

Подставляя в (6.2.60б) $\theta_{1}=\bar{\theta}_{1}=I_{0} t$ и используя (6.2.61), находим
\[
\theta_{1}(t)=I_{0} t+k \sum_{n} \frac{\mathscr{f}_{n}(\lambda)}{\left(n \Omega+I_{0}\right)^{2}} \sin \left[\left(I_{0}+n \Omega\right) t\right] .
\]

В качестве грубого приближения оставим в этой сумме один (наибольший) член с $n \approx \lambda$. Тогда
\[
\begin{aligned}
\varphi(t) \approx\left(I_{0}-\omega_{2}\right) t & +\chi_{0}+\pi / 2+k R \mathcal{F}_{\lambda}(\lambda) /\left(I_{0}+\lambda \Omega\right)^{2} \times \\
& \times \sin \left(I_{0}+\lambda \Omega\right) t,
\end{aligned}
\]

где в подгоночном параметре $R$ учитывается «эффективное» число членов в сумме (6.2.62). Выражение (6.2.63) является основным приближением при анализе движения в модуляционном слое.
Коэффициент модуляционной диффузии можно определить как
\[
D\left(\omega_{2}\right)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T}\left\langle\left[\Delta H_{\|}(T)\right]^{2}\right\rangle_{I_{0}, x_{\mathbf{a}}},
\]

где усреднение ${ }^{1}$ ) по $I_{0}$ производится по всей стохастической области $\left|I_{0}\right|<\lambda \Omega$. Подставляя сюда (6.2.58), получаем
\[
\begin{array}{c}
D\left(\omega_{2}\right)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2 T} \frac{\varepsilon^{2}}{2 \lambda \Omega}\left\langle\int_{-\lambda \Omega}^{\lambda \Omega} d I_{0} \int_{-T}^{T} d t^{\prime \prime} \omega_{2} \sin \varphi\left(t^{\prime \prime}\right) \times\right. \\
\left.\times \int_{-T}^{T} d t^{\prime} \omega_{2} \sin \varphi\left(t^{\prime}\right)\right\rangle_{\chi_{0}} .
\end{array}
\]

Используя (6.2.63) и снова разлагая по функциям Бесселя, находим
\[
\sin \varphi(t)=\sum_{j} A_{j}\left(I_{0}\right) \cos \left\{\left[(j+1) I_{0}+j \lambda \Omega-\omega_{2}\right] t+\chi_{0}\right\},
\]

где
\[
A_{j}\left(I_{0}\right)=\mathscr{F}_{j}\left[\frac{k R \mathscr{F}_{\lambda}(\lambda)}{\left(I_{0}+\lambda \Omega\right)^{2}}\right] .
\]

Интегрирование в (6.2.65) по $t^{\prime \prime}$ дает
\[
\int_{-\infty}^{\infty} d t^{\prime \prime} \sin \varphi\left(t^{\prime \prime}\right)=\sum_{j} A_{j}\left(I_{0}\right) \cos \chi_{0} \frac{2 \pi}{j+1} \delta\left(I_{0}+\frac{j \lambda \Omega}{j+1}-\frac{\omega_{2}}{j+1}\right) .
\]

Интегрируя далее, сначала по $I_{0}$, а затем по $t^{\prime}$, получаем
\[
D\left(\omega_{2}\right)=\frac{\varepsilon^{2} \omega_{2}^{2}}{2 \lambda \Omega} \sum_{j} \frac{2 \pi}{j+1} A_{j}^{2}\left(\frac{\omega_{2}-j \lambda \Omega}{j+1}\right)\left\langle\cos ^{2} \chi_{0}\right\rangle .
\]
1) Усреднение по $\chi_{0}$ требует пояснения. Фактически важна разность фаз $\varphi(0)=\chi_{0}+\pi / 2[\mathrm{cм} .(6.2 .63)]$, которая, как и $I_{0}$, не является на самом деле постоянной вследствие стохастического движения при перекрытии резонансов в мультиплете.- Прим. ред.

Здесь сумма по $j$ ограничена $\delta$-функцией в (6.2.67):
\[
j=\frac{\omega_{2}-I_{0}}{I_{0}+\lambda \Omega} .
\]

При изменении $I_{0}$ от – $\lambda \Omega$ до $\lambda \Omega$ целое $j$ изменяется от
\[
l\left(\omega_{2}\right)=\left[\frac{1}{2}\left(1+\frac{\omega_{2}}{\lambda \Omega}\right)\right]
\]

до бесконечности. Аргумент функции Бесселя в (6.2.66б) обычно мал $\left.{ }^{1}\right)$, так что доминирующим является член с $j=l$. Опуская остальные члены и усредняя по $\chi_{0}$, получаем окончательный результат
\[
D\left(\omega_{2}\right)=\frac{\pi}{2} \frac{\varepsilon^{2} \omega_{2}^{2}}{(l+1) \lambda \Omega} \mathscr{F}_{l}^{2}\left[\frac{k R(l+1)^{2} \mathscr{F}_{\lambda}(\lambda)}{\left(\omega_{2}+\lambda \Omega\right)^{2}}\right] .
\]

С ростом $\omega_{2}$ величина $l$ изменяется скачками, как это следует из (6.2.68). Соответственно график зависимости $D\left(\omega_{2}\right)$ имеет вид серии убывающих «плато» (рис. 6.15). Основное плато ( $l=0$ ) соответствует частотам $0<\omega_{2}<\lambda \Omega$, а остальные расположены в интервалах
\[
(2 l-1) \lambda \Omega<\omega_{2}<(2 l+1) \lambda \Omega .
\]

На основном плато $\mathscr{F}_{0} \approx 1$ и коэффициент диффузии
\[
D_{\text {пл }}=\frac{\pi}{2} \frac{\varepsilon^{2} \omega_{2}^{2}}{\lambda \Omega} .
\]

Относительно большая скорость диффузии объясняется тем, что внутри модуляционного слоя (см. рис. 6.12) выполняется условие точного резонанса $\omega_{1}=I_{0}=\omega_{2}$.

На рис. 6.15 представлены численные значения приведенного коэффициента диффузии
\[
D_{n}=\frac{D}{\left(\varepsilon^{2} \omega_{2}^{2} / \Delta \omega\right)},
\]

как функции $\omega_{2} / \Delta \omega$. Здесь вместо $\lambda \Omega$ использована фактическая полуширина модуляционного слоя $\Delta \omega \approx 1,3 \lambda \Omega, \lambda=10, \quad \Omega=$ $=10^{-2}, k=5 \times 10^{-4}$. Ясно видно основное плато со средним значением $D_{n}=1,6$, что хорошо согласуется с величиной $\pi / 2$ из (6.2.71). При $\omega_{2}>\Delta \omega$ скорость диффузии резко падает, а затем, с ростом $\omega_{2}$, уменьшается ступенчатым образом. Это как раз то, что предсказывает теория (6.2.69).

Для количественного сравнения с численными результатами необходимо определить параметр $R$. Это было сделано путем под-
1) Если $k \leqslant k_{1} \sim \Omega^{2} \lambda^{7 / 3}$ [см. (6.2.69), $\mathcal{F}_{\lambda}(\lambda) \sim \lambda^{-1 / 3}$ ], что почти совпадает с границей слияния резонансов мультиплета (6.2.54).-. Прим. ред.

гонки формулы (6.2.69) к численным данным на краю двух последних плато ( $l=2, l=3$ ). Подставив найденное значение $R \approx 5,3$ в $(6.2 .69)$, получим зависимость $D_{n}\left(\omega_{2} / \Delta \omega\right)$, представленную на рис. 6.15 сплошной линией. Если учесть, что в теории использовалось существенное упрощение (6.2.63), согласие можно считать

Рис. 6.15. Зависимость приведенного коэффициента диффузии $D_{n}$ от величины $\omega_{2} / \Delta \omega$.
Точки – численные данные; сплошная лииия – теория (6.2.69); $\lambda=10 ; \Omega=10^{-2}$; $k=5 \times 10^{-4} ; \Delta \omega=1,3 \lambda \Omega$.

вполне удовлетворительным. Отметим, что теория предсказывает резкий спад $D_{n}\left(\omega_{2}\right)$ после каждого плато и что все плато, кроме основного $(l=0)$, имеют некоторый наклон. В пределах каждого плато скорость диффузии спадает по закону
\[
D_{n}\left(\omega_{2}\right) \propto\left(1+\frac{\omega_{2}}{\Delta \omega}\right)^{-4 l} \rightarrow\left(\frac{\omega_{2}}{\Delta \omega}\right)^{-4 l},
\]

где последнее выражение относится к $l \gg 1$. Все эти предсказания находятся в разумном согласии с численными данными ${ }^{1}$ ).

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru