Мы уже видели, что хаотическое движение может возникать в диссипативных потоках с размерностью фазового пространства не меньше трех, или в соответствующих этим потокам обратимых отображениях Пуанкаре, размерность которых не менее двух. В общем случае хаотическое движение имеет место лишь для узких интервалов параметров. В этом существенное отличие от гамильтоновых систем, где хаотическое движение сохраняется, как правило, в широком диапазоне параметров. Ниже описаны два критерия локальной стохастичности для диссипативных систем. В п. 7.3а метод квадратичной ренормализации применяется к двумерным обратимым отображениям и показывается сходимость последовательности бифуркаций удвоения периода и возникновение локального хаотического движения. В п. 7.36 получен критерий перехода к хаотическому движению вблизи сепаратрисы на примере вынужденных колебаний осциллятора с затуханием. Наконец, в п. 7.3в рассмотрена модель ускорения Ферми с диссипацией и используется описание хаотического движения с помощью уравнения ФПК. Это уравнение позволяет получить первое приближение для инвариантного распределения на странном аттракторе.
7.3a. Бифуркации удвоения периода

Покажем, что последовательность бифуркаций удвоения является тем механизмом, с помощью которого происходит переход от регулярного движения к хаотическому в широком классе двумерных обратимых отображений. Более того, оказывается, что вблизи перехода движение системы можно локально описать одномерным необратимым отображением. Эти результаты были получены на основе точной теории ренормализации [83]. Однако мы будем попрежнему использовать приближенную теорию Хеллемана [180$182]$.

житель $\gamma$ в (7.2.44) является на самом деле сложной (фрактальной) функцией частоты $\omega$, а его среднее значение (с учетом множителя $1 / \sqrt{2}$ ) равно $\left\langle\gamma^{-2}\right\rangle^{-1 / 2}=2 \alpha^{2}\left(1+\alpha^{2}\right)^{-1 / 2}$ и в точности совпадает с результатом для случайных фаз (см. примечание редактора на с. 440).- Прим. ред.

Рассмотрим последовательные бифуркации неподвижной точки ${ }^{1}$ ) периода 1 некоторого двумерного отображения $T$. После первой бифуркации эта неподвижная точка становится неустойчивой. Разложим отображение до квадратичных членов:
\[
\left(\begin{array}{l}
u_{n+1} \\
v_{n+1}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
\Lambda_{11} & \Lambda_{12} \\
\Lambda_{21} & \Lambda_{22}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
u_{n} \\
v_{n}
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{lll}
\Gamma_{11} & \Gamma_{12} & \Gamma_{13} \\
\Gamma_{21} & \Gamma_{22} & \Gamma_{23}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
u_{n}^{2} \\
u_{n} v_{n} \\
v_{n}^{2}
\end{array}\right),
\]

где $u, v$ — отклонение от неустойчивой неподвижной точки. Примем, что якобиан этого отображения $B=$ const $<1$, что, во всяком случае, справедливо вблизи перехода.
Отображение (7.3.1) можно привести к стандартному виду
\[
x_{n+1}+B x_{n-1}=2 C x_{n}+2 x_{n}^{2}
\]

следующим способом (см. [182 ], приложение A):
1. Переходим к переменным $u^{\prime}, v^{\prime}$, в которых матрица $\Lambda^{\prime}$ диагональна, а оба ее собственные значения $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ действительны, поскольку неподвижная точка неустойчива; тогда $\Gamma$ переходит в $\Gamma^{\prime}$.
2. Условие $B=$ const дает возможность выразить все элементы матрицы $\Gamma^{\prime}$ через $\Gamma_{11}^{\prime}, \Gamma_{13}^{\prime}$ и собственные значения.
3. Переходим к новым переменным:
\[
\begin{array}{l}
s=u^{\prime} \sqrt{\Gamma_{11}^{\prime}}+v^{\prime} \sqrt{\Gamma_{13}^{\prime}}, \\
d=u^{\prime} \sqrt{\Gamma_{11}^{\prime}}-v^{\prime} \sqrt{\Gamma_{13}^{\prime}} .
\end{array}
\]
4. Изменяем масштаб по $s$, вводя
\[
x=\frac{\sqrt{\Gamma_{11}^{\prime}}\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)}{2 \lambda_{1}} s .
\]

В результате получаем (7.3.2) с параметром
\[
C=\frac{\lambda_{1}+\lambda_{2}}{2} .
\]

В некоторых случаях стандартная форма (7.3.2) находится непосредственно. Например, отображение
\[
\begin{array}{l}
u_{n+1}=(1-\delta) u_{n}+A v_{n}+D v_{n}^{2}, \\
v_{n+1}=v_{n}+u_{n+1}
\end{array}
\]

сводится к (7.3.2) с помощью замены $x=D v / 2, C=(2-\delta+\mathrm{A}) / 2$
$\qquad$
1) В случае периода $k$ берем отображение $T^{k}$.

и $B=1-\delta$. Отображение Хенона (7.1.14) может быть сразу записано в стандартной форме.
Квадратичная ренормализация. Исследуем, как и в п. 7.2б, поведение вблизи неподвижной точки $x_{10}=0$ при уменьшении $C$. Неподвижная точка устойчива, если
\[
|C|<\frac{1+B}{2},
\]

и неустойчива при
\[
C<-\frac{1+B}{2} .
\]

В результате бифуркации рождаются две устойчивые неподвижные точки $x_{2+}$ (см. рис. 7.12). Оба корня можно найти, записывая
\[
x_{2 \pm}=a \pm b
\]

и итерируя (7.3.2) дважды [ср. (7.2.21)]:
\[
\begin{array}{l}
2 a=-\frac{1+B}{2}-C, \\
4 b^{2}=\left[C+\frac{1+B}{2}\right]\left[C-\frac{3(1+B)}{2}\right] .
\end{array}
\]

Подставляя $x=x_{2-}+\Delta x$ в (7.3.2), получаем
\[
\begin{aligned}
\Delta x_{n}+B \Delta x_{n-2} & =e \Delta x_{n-1}+2\left(\Delta x_{n-1}\right)^{2}, \\
\Delta x_{n+1}+B \Delta x_{n-1} & =d \Delta x_{n}+2\left(\Delta x_{n}\right)^{2}, \\
\Delta x_{n+2}+B \Delta x_{n} & =e \Delta x_{n+1}+2\left(\Delta x_{n+1}\right)^{2},
\end{aligned}
\]

где $d$ и $е$ имеют вид [см. (7.2.22) и (7.2.23) ]:
\[
\begin{array}{l}
d=2 C+4 x_{2+}, \\
e=2 C+4 x_{2-} .
\end{array}
\]

При четных $n$ траектория находится вблизи $x_{2+}$, а при нечетных вблизи $x_{2-}$. Умножая (7.3.7a) на $B,(7.3 .76)$ на $e$ и складывая затем с (7.3.7в), получаем
\[
\begin{aligned}
\Delta x_{n+2}+B^{\prime} \Delta x_{n-2}= & 2 C^{\prime} \Delta x_{n}+2 e\left(\Delta x_{n}\right)^{2}+2\left[\left(\Delta x_{n+1}\right)^{2}+\right. \\
& \left.+B\left(\Delta x_{n-1}\right)^{2}\right],
\end{aligned}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
B^{\prime}=B^{2}, \\
C^{\prime}=\frac{1}{2} d e-B=-2 C^{2}+2(1+B) C+2 B^{2}+3 B+2 .
\end{array}
\]

Член в квадратных скобках в (7.3.9) пропорционален $\left(\Delta x_{n}\right)^{2}$. Действительно, вводя $r=\Delta x_{n+1} / \Delta x_{n-1}$, находим
\[
\left(\Delta x_{n+1}\right)^{2}+B\left(\Delta x_{n-1}\right)^{2}=\left(r^{2}+B\right)\left(\Delta x_{n-1}\right)^{2} .
\]

Пренебрегая квадратичным членом в (7.3.7б), имеем
\[
(r+B) \Delta x_{n-1} \approx d \Delta x_{n} .
\]

Подстановка (7.3.12) в правую часть (7.3.11) дает
\[
\left(\Delta x_{n+1}\right)^{2}+B\left(\Delta x_{n-1}\right)^{2} \approx \frac{d^{2}\left(r^{2}+B\right)}{(r+B)^{2}}\left(\Delta x_{n}\right)^{2} .
\]

Вследствие квадратичной зависимости при бифуркации удвоения $r \approx 1$, т. е. $\left|\Delta x_{n+1}\right|$ близко к $\left|\Delta x_{n-1}\right|$. Правая часть (7.3.13) имеет экстремум при $r=1$ и поэтому слабо зависит от $r$ при $r \approx 1$. Отсюда
\[
\left(\Delta x_{n+1}\right)^{2}+B\left(\Delta x_{n-1}\right)^{2} \approx \frac{d^{2}}{1+B}\left(\Delta x_{n}\right)^{2} .
\]

Подставляя (7.3.14) в (7.3.9) и переходя к переменной
\[
x^{\prime}=\alpha \Delta x,
\]

находим
\[
x_{n+2}^{\prime}+B^{\prime} x_{n-2}^{\prime}=2 C^{\prime} x_{n}^{\prime}+2\left(x_{n}^{\prime}\right)^{2},
\]

где
\[
\alpha=e+\frac{d^{2}}{1+B} .
\]

Отображение (7.3.16) имеет тот же вид, что и исходное (7.3.2). Поэтому неподвижные точки нового отображения испытывают бифуркацию при тех же значениях новых параметров $B^{\prime}$ и $C^{\prime}$ [см. (7.3.5) ]. Последовательность бифуркаций, которые описываются соотношениями (7.3.10), сходится при значениях $B^{\prime}=B=B_{\infty}$ и $C^{\prime}=C=C_{\infty}$. Для диссипативного отображения $|B|<1$ и из (7.3.10a) следует, что $B_{\infty}=0$. Поэтому все диссипативные отображения вблизи перехода ведут себя локально как одномерные [ср. (7.3.16) с (7.2.26) при $B^{\prime}=0$ ]. Неудивительно, что при подстановке $B=B_{\infty}=0$ в (7.3.10б) условие $C^{\prime}=C=C_{\infty}$ дает то же самое значение
\[
C_{\infty}=\frac{1-\sqrt{17}}{4} \approx-0,781,
\]

что и для одномерного случая. Бифуркационные значения $C_{k}$ сходятся к $C_{\infty}$ по тому же закону
\[
C_{k}-C_{\infty} \approx A \delta^{-k}
\]

и с тем же множителем $\delta=1+\sqrt{17} \approx 5,12$, что и в одномерном случае. Параметр подобия $\alpha \approx-2,24$, определяемый формулой (7.3.17), также совпадает с (7.2.35). Эти результаты указывают на универсальный характер поведения всех диссипативных систем вблизи перехода к хаотическому движению; они были проверены численно для многих одномерных, двумерных и многомерных отображений. Однако следует подчеркнуть, что переход к стохастичности является локальным, т. е. относится только к данной неподвижной точке с ее последовательностью бифуркаций. В общем случае в диссипативной системе имеется много неподвижных точек, каждая из которых должна претерпевать свою последовательность бифуркаций, прежде чем возникает глобальный переход к хаотическому движению и странный аттрактор ${ }^{1}$ ).

В противоположность этому бифуркации двумерных гамильтоновых отображений устроены более сложно. Из-за сохранения фазовой площади $B^{\prime}=B=B_{\infty}=1$ (если $B=-1$, то можно взять квадрат отображения; более подробно см. работу [182]). Поэтому бифуркации удвоения гамильтонова отображения сохраняют двумерный характер даже вблизи точки сгущения (численные данные см. в работе [36]). В результате, хотя масштабные факторы $\delta$ и $\alpha$, а также параметр $C_{\infty}$ и являются универсальными для всех двумерных гамильтоновых отображений, они имеют друеие значения, чем для диссипативных отображений. Более того, для гамильтоновых отображений имеется еще один универсальный масштабный фактор $\beta$, который вместе с $\alpha$ определяет преобразование фазовой плоскости при бифуркациях. Определение $\beta$ с помощью обобщения описанного выше метода приводится в дополнении Б.
7.3б. Движение вблизи сепаратрисы

В этом разделе мы рассмотрим метод Мельникова [299], позволяющий исследовать движение вблизи сепаратрисы системы, близкой к интегрируемой. Этот метод позволяет получить критерий возникновения стохастичности в окрестности сепаратрисы при наличии диссипации. Мы уже видели (см. п. 3.2б и рис. 3.4), что в типичной гамильтоновой системе движение около сепаратрисы всегда хаотическое. Однако в присутствии диссипации это уже не так. Поэтому важно найти условия, при которых возникает хаос.

Метод Мельникова использовался в теории динамических систем Морозовым [305, 306 ], Мак-Лафлином [288, 289] и Холмсом [195, 196 ]. В частности, Морозов и Холмс исследовали этим методом уравнение Дюффинга. Ниже мы следуем подходу Холмса (см. [168]). В качестве примера рассмотрим простую двумерную авто-
1) Речь здесь идет о возможном слиянии хаотических аттракторов, возникающих из разных неподвижных точек. — Прим. ред.

номную систему с единственной гиперболической точкой под действием периодического возмущения:
\[
\boldsymbol{x}=f_{0}(\boldsymbol{x})+\varepsilon f_{1}(\boldsymbol{x}, t),
\]

где $\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right)$, а функция $\boldsymbol{f}_{1}$ периодична по $t$ с периодом $T$. Невозмущенная система является интегрируемой и имеет гиперболическую точку $\boldsymbol{X}_{0}$ с единой сепаратрисой $\boldsymbol{x}_{0}(t)$, так что
\[
\lim _{t \rightarrow \pm \infty} x_{0}(t)=X_{0}
\]

Рис. 7.24. Входящая и выходящая сепаратрисы гиперболической точки $X_{0}$. $a$ — интегрируемая система, обе сепаратрисы плавно переходят друг в друга; 6 — возмущенная система, выходящая сепаратрнса окружает входящую; в $^{2}$ — входящая сепаратриса окружает выходящую; — — сепаратрисы пересекаются.

Схематически это показано на рис. $7.24, a$, где в фазовом пространстве $\left(x_{1}, x_{2}\right.$ ) системы изображены совпадающие в данном случае входящая $\boldsymbol{x}^{s}(t)$ и выходящая $\boldsymbol{x}^{u}(t)$ сепаратрисы. Внутри области, охватываемой сепаратрисой, имеется, вообце говоря, эллиптическая неподвижная точка.

При включении возмущения фазовое пространство системы становится трехмерным $\left(x_{1}, x_{2}, t\right)$, поэтому наиболее удобно рассматривать движение на поверхности сечения $t=$ const $(\bmod T)$. Қак показано в п. 3.2б, в возмущенной гамильтоновой системе сепаратриса «расщепляется», т. е. входящая и выходящая сепаратрисы уже не совпадают, а, вообще говоря, пересекаются между собой, приводя к бескокечному числу гомоклинных точек и хаотическому движению. В более общем диссипативном случае имеются три возможности [66 [1), показанные на рис. 7.24. Сепаратрисы либо нигде не пересекаются, причем любая из них может полностью охватывать другую (рис. 7.24, б и в), либо пересекаются в бесконечном числе точек. Хаотическое движение возникает только в последнем случае.
Метод Мельникова. Чтобы найти условие пересечения, вычислим по теории возмущений расстояние $D$ между сепаратрисами в некоторый момент времени $t_{0}$. Для случая на рис. 7.24, б $D<0$, а на рис. 7.24 , в $D>0$ при любом $t_{0}$. И, только если для какого-либо $t_{0}$ величина $D$ меняет знак, возникает хаотическое движение ${ }^{2}$ ), показанное на рис. 7.24 , 2 .

Для вычисления $D$ достаточно знать обе сепаратрисы $\boldsymbol{x}^{\mathrm{s}}$ и $\boldsymbol{x}^{u}$ в первом порядке по $\varepsilon$. Записывая
\[
\boldsymbol{x}^{s, u}\left(t, t_{0}\right)=\boldsymbol{x}_{0}\left(t-t_{0}\right)-\varepsilon \boldsymbol{x}_{1}^{s, u}\left(t, t_{0}\right),
\]

где $t_{0}$ — произвольный начальный момент времени, а $\boldsymbol{x}_{0}$ — единая невозмущенная сепаратриса, и подставляя (7.3.19) в (7.3.18), получаем в первом порядке
\[
\frac{d x_{1}^{s, u}}{d t}=: \mathrm{M}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right) \cdot \boldsymbol{x}_{1}^{s, u}+\varepsilon f_{1}\left(\boldsymbol{x}_{0}\left(t-t_{0}\right), t\right),
\]

где
\[
\mathbf{M}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)=\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial f_{01}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{01}}{\partial x_{2}} \\
\frac{\partial f_{02}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{02}}{\partial x_{2}}
\end{array}\right)
\]
— матрица Якоби для вектора $f_{0}$, взятая на невозмущенной траектории $\boldsymbol{x}_{0}\left(t-t_{0}\right)$. Нам нужно решение (7.3.20) для $\boldsymbol{x}^{s}$ при $t>t_{0}$ и для $\boldsymbol{x}^{u}$ при $t<t_{0}$, такое, чтобы
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} x^{s}=\lim _{t \rightarrow-\infty} x^{u}=X_{p},
\]

где $\boldsymbol{X}_{p}$ — возмущенное положение гиперболической точки. Эти решения отличаются на вектор $(\varepsilon=1)$
\[
\boldsymbol{d}\left(t, t_{0}\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{s}}\left(t, t_{0}\right)-\boldsymbol{x}^{u}\left(t, t_{0}\right)=\boldsymbol{x}_{1}^{\mathrm{s}}\left(t, t_{0}\right)-\boldsymbol{x}_{1}^{n}\left(t, t_{0}\right) . \quad \text { (7.3.21) }
\]

Расщепление сепаратрисы по Мельникову $\left.{ }^{3}\right) \quad D\left(t, t_{0}\right)$ определяется как проекция $\boldsymbol{d}$ на нормаль $\boldsymbol{N}$ к невозмущенной сепаратрисе $\boldsymbol{x}_{0}$ в момент времени $t$ (рис. 7.25):
\[
D\left(t, t_{0}\right)=\boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{d} .
\]
1) Все эти случаи рассмотрены Мельниковым [298].- Прим. ред.
2) Вообще говоря, это будет лишь так называемый переходной или вре́менный хаос (см. ниже).- Прим. ред.
$\left.{ }^{3}\right)$ В оригинале — the Melnikov distance (расстояние Мельникова). Прим. перев.

Используя (7.3.18) (при $\varepsilon=0$ ), определим вектор нормали как ${ }^{1}$ )
\[
N\left(t, t_{0}\right)=\left(\begin{array}{r}
-f_{02}\left(x_{0}\right) \\
f_{01}\left(x_{0}\right)
\end{array}\right) .
\]

Вводя оператор ${ }^{2}$ )
\[
\boldsymbol{x} \wedge \boldsymbol{y}=x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1},
\]

можно записать (7.3.22) в виде
\[
D\left(t, t_{0}\right)=f_{0} \wedge d \text {. }
\]

Рис. 7.25. Расщепление сепаратрисы $D=\boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{d}$ по Мельникову.
Пунктирной кривой показана невозмущенная сепаратриса гиперболической точки $X_{0}$, которая под действием возмущения смещается в точку $\boldsymbol{X}_{p}$.

Чтобы найти явное выражение для $D$, представим его как
\[
D=D^{s}-D^{u},
\]

где
\[
D^{s, u}\left(t, t_{0}\right)=f_{0} \wedge \boldsymbol{x}_{1}^{s, u} .
\]

Дифференцируя по времени, имеем, например, для $D^{s}$ :
\[
\dot{D}^{s}=\dot{f}_{0} \wedge x_{1}^{s}+f_{0} \wedge \dot{x}_{1}^{s}=\left(\mathrm{M}\left(x_{0}\right) \cdot \dot{x}_{0}\right) \wedge x_{1}^{s}+f_{0} \wedge \dot{x}_{1}^{s} .
\]
1) Поскольку вводимый таким образом вектор $N$ не является единичным, величина $D$ в (7.3.22) не равна расстоянию между сепаратрисами и даже имеет другую размерность. Для рассматриваемой здесь задачи об условии пересечения сепаратрис это несущественно. С другой стороны, нормировка $\boldsymbol{N}$ неоправданно усложнила бы нижеследующие уравнения для $D$, проще сделать это в конце вычислений.- Прим. ред.
2) Действие этого оператора удобно представить в виде $\boldsymbol{x} \wedge \boldsymbol{y}=\varepsilon_{i k} x_{i} y_{k}$, где $\varepsilon_{i k}$ — единичная антисимметричная матрица ( $\varepsilon_{12}=1$ ). — Прим. ред.

Используя (7.3.20) и $\dot{x}_{0}=f_{0}$, получаем
\[
\dot{D}^{s}=\left(\mathrm{M}\left(x_{0}\right) \cdot f_{0}\right) \wedge x_{1}^{s}+f_{0} \wedge\left(\mathrm{M}\left(x_{0}\right) \cdot x_{1}^{s}\right)+f_{0} \wedge f_{1},
\]

или
\[
\dot{D}^{s}=\operatorname{SpM}\left(x_{0}\right) f_{0} \wedge x_{1}^{s}+f_{0} \wedge f_{1}=\operatorname{SpM}\left(x_{0}\right) D^{s} \div f_{0} \wedge f_{1},
\]

где $\operatorname{SpM}=\operatorname{div} f_{0}$. При интегрировании этого уравнения ограничимся частным случаем, когда невозмущенная система является гамильтоновой, т. е. SpM $\equiv 0$ (см. п. 7.1а). Интегрируя (7.3.28) от $t_{0}$ до $\infty$ и учитывая асимптотическое условие $D^{\mathrm{s}}\left(\infty, t_{0}\right)=$ $=f_{0}\left(X_{0}\right) \wedge x_{1}^{s}=0$, находим
\[
D^{s}\left(t_{0}, t_{0}\right)=-\int_{t_{0}}^{\infty} f_{0} \wedge f_{1} d t .
\]

Для $D^{u}$ аналогичным образом получаем
\[
D^{u}\left(t_{0}, t_{0}\right)=\int_{-\infty}^{t_{0}} f_{0} \wedge f_{1} d t .
\]

Подставляя (7.3.29) и (7.3.30) в (7.3.25a), окончательно имеем
\[
D\left(t_{0}, t_{0}\right)=-\int_{-\infty}^{\infty} f_{0} \wedge f_{1} d t .
\]

Полученная зависимость $D$ от $t_{0}$ определяет характер движения. Если $D\left(t_{0}\right)$ меняет знак, то сепаратрисы пересекаются (рис. 7.24, ) и движение в этой области является хаотическим.

Уравнение Дюффинга. Следуя Холмсу [195], найдем условня перехода к хаотическому движению для уравнения Дюффинга
\[
\ddot{x}-x+x^{3}=-\varepsilon \delta \dot{x}+\varepsilon \gamma \cos \omega t,
\]

которое описывает колебания нелинейного осциллятора с малым затуханием $\varepsilon \delta$ под действием периодической силы с амплитудой $\varepsilon \gamma$. Перепишем (7.3.32) в виде (7.3.18):
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=v, \\
\dot{v}=x-x^{3}-\varepsilon[\gamma \cos \omega t-\delta v] .
\end{array}
\]

Линии постоянной энергии невозмущенного гамильтониана
\[
H_{0}=\frac{1}{2} v^{2}-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{4} x^{4}
\]

показаны на рис. 7.26. Имеется единственная гиперболическая точка $x=v=0$ с единой сепаратрисой при $H_{0}=0$. Чтобы найти решение на сепаратрисе, выразим $v(x)$ из (7.3.34) и подставим в (7.3.33a). Имеем
\[
\frac{d x}{d t}=-x\left(1-\frac{x^{2}}{2}\right)^{12},
\]

откуда
\[
\begin{array}{l}
x_{0}(t)=\sqrt{2} / \mathrm{ch} t, \\
v_{11}(t)=-\sqrt{2} \frac{\operatorname{sh} t}{\mathrm{ch}^{2} t} .
\end{array}
\]
(7.3.356)

Рис. 7.26. Кривые постоянной энергии невозмущенного гамильтониана (7.3.34).

Сравнивая (7.3.33) и (7.3.18), находим
\[
\begin{array}{l}
f_{01}=v ; \quad f_{11}=0 ; \\
f_{02}=x-x^{3} ; \quad f_{12}=\gamma \cos \omega t-\delta \tau . \\
\end{array}
\]

Отсюда
\[
f_{0} \wedge f_{1}=v_{0}\left[\gamma \cos \omega t-\delta v_{0}\right],
\]

и, согласно (7.3.31),
\[
D=-\prod_{-\infty}^{\infty} d t\left[\gamma v_{0}\left(t-t_{0}\right) \cos \omega t-\delta v_{0}^{2}\left(t-t_{0}\right)\right] .
\]

Подставляя (7.3.35б) в (7.3.36) и заменяя переменную интегрирования ( $\left.\tau=t-t_{0}\right)$, запишем
\[
D=\sqrt{2} \gamma \sin \omega t_{0} \int_{-\infty}^{\infty} d \tau \frac{\operatorname{sh} \tau}{\operatorname{ch}^{2} \tau} \sin \omega \tau+2 \delta \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{th}^{2} \tau d \tau}{\operatorname{ch}^{2} \tau} .
\]

Второй интеграл вычисляется элементарно и равен $2 / 3$, а первый выражается через вычеты в точках $\tau_{n}=\pi i(n+12)$. В результате находим ${ }^{1}$ )
\[
D\left(t_{0}, t_{0}\right)=\sqrt{2} \pi \gamma \omega \frac{\sin \omega t_{0}}{\operatorname{ch}\left(\frac{\pi \omega}{2}\right)}+\frac{4 \delta}{3} .
\]

Хаотическое движение вблизи сепаратрисы возникает при условии пересечения сепаратрис, т. е. когда $D\left(t_{0}\right)$ меняет знак. Из (7.3.37) следует, что это происходит, если
\[
\delta<\delta_{\mathrm{c}}=\frac{3 \sqrt{2} \pi \gamma \omega}{4 \mathrm{ch}\left(\frac{\pi \omega}{2}\right)} .
\]

Стационарное хаотическое движение. Нужно подчеркнуть, что условие пересечения сепаратрис (7.3.38) является локальным критерием стохастичности и применимо только вблизи невозмущенной сепаратрисы. Поэтому такой критерий ничего не говорит о появлении странного аттрактора, который представляет стационарное хаотическое движение в большой области фазового пространства. Уравнение Дюффинга без диссипации ( $\delta=0$ ) является гамильтоновым и всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Мы знаем, что хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. Однако при $\delta>0$ все инвариантные кривые разрушаются и траектория, хаотическая вблизи сепаратрисы, может уйти далеко от нее и «захватиться» устойчивым фокусом или предельным циклом. Такое поведение наблюдал Холмс [195] при аналоговом моделировании уравнения Дюффинга ${ }^{2}$ ). Поэтому единственное, что можно ожидать при выполнении условия пересечения сепаратрис (7.3.38), — это нерегулярное «блуждание» траектории в течение некоторого времени, пока она не попадет на какой-либо аттрактор, простой или странный.

Фактически численное моделирование показывает, что появление странного аттрактора для уравнения Дюффинга, по всей видимости, связано с каскадом бифуркаций двух фокусов при $x=$ $= \pm 1 ; v=0$ (см. рис. 7.26). С помощью аналоговой вычислительной машины Холмс исследовал поведение системы при фиксированных $\delta$ и $\omega$ в зависимости от $\gamma$. Его результаты приведены на рис.7.27. При $\gamma<0,76$ наблюдалось только регулярное движение, показан-
1) Напомним, что расстояние между сепаратрисами находится делением $D\left(t_{0}\right)$ на $|N|=\left|f_{0}\right|=\left[v^{2}+x^{2}\left(1-x^{2}\right)^{2}\right]^{1 / 2}$ [для (7.3.32)]. Вблизи гиперболической точки $v, x \rightarrow 0$, и расщепление сепаратрисы быстро возрастает, а полученные приближенные оценки перестают быть справедливыми. В пределах их применимости, однако, это не влияет на условие пересечения сепаратрис (7.3.38) ниже.-Прим. ред.
2) Это явление «вырождения» хаоса, по-видимому, впервые было обнаружено в работе [274] и исследовалось в работах [73,74, Гॅ30].-Прим. дед.

ное на рис. 7.24 , в. В интервале $0,76<\gamma<0,95$ движение было хаотическим в течение некоторого времени, а затем траектория притягивалась к одному из двух фокусов. Далее, для $0,95<\gamma<1,08$ происходит каскад бифуркаций обоих фокусов. И наконец, для $1,08<\gamma<2,45$ результаты моделирования указывают на присутствие странного аттрактора, за исключением интервала $1,15<\gamma<1,2$, где существует предельный цикл периода 5 . Таким образом, хотя как пересечение сепаратрис, так и каскад бифуркаций обоих фокусов являются необходимыми условиями появления странного аттрактора $^{1}$ ), они не являются достаточными.

Рис. 7.27. Поведение решения уравнения Дюффинга (7.3.32) в зависимости от амплитуды $\gamma$ внешней периодической силы заданной частоты $\omega$ при постоянном затухании $\delta$.
1 — граница пересечения сепаратрис (численный результат); 2 — то же. теория (7.3.38);
3 — интервал существования предельного цикла пернода

Диссипативные отображения. Метод Мельникова можно использовать и для изучения двумерных диссипативных отображений. Рассмотрим, например, обобщенное стандартное отображение (7.3.4) (с заменой $u$ и $v$ на $I$ и $\theta$ ):
\[
\begin{array}{l}
\frac{d I}{d n}=[-\delta I+f(\theta)] \delta_{1}(n), \\
\frac{d \theta}{d n}=I,
\end{array}
\]

где $\delta_{1}(n)$— периодическая $\delta$-функция (3.1.33). Если принять $f=$ $=K \sin \theta$, оставить только два члена в $\delta_{1}(n) \approx 1+2 \cos 2 \pi n$ и ввести дополнительный малый параметр возмущения $\varepsilon$, то полу- $\qquad$
1) Ни бифуркации удвоения, ни пересечения сепаратрис не являются необходимыми для хаотического аттрактора, как показывает классический пример Лоренца (см. также конец п. 7.4б). Тем более не требуется совпадения этих условий. Если, например, изменить знак линейной силы в уравнении Дюффинга (7.3.32), то сепаратрисы вообще не будет, а хаотический аттрактор останется [210].- Прим. ред.

чим уравнения типа $(7.3 .18)$ :
\[
\begin{array}{l}
\frac{d I}{d n}=K \sin \theta+\varepsilon(-\delta I+2 K \sin \theta \cos 2 \pi n), \\
\frac{d \theta}{d n}=I .
\end{array}
\]

Невозмущенная сепаратриса этой системы имеет, как мы знаем, вид [см. (1.3.21)]:
\[
\begin{array}{c}
\theta_{0}(n)=4 \operatorname{arctg}(\exp (\sqrt{K} n))-\pi, \\
I_{0}(n)=2 \sqrt{K} \sin \left(\frac{\theta_{0}(n)}{2}\right) .
\end{array}
\]

Подставляя (7.3.41) в (7.3.31), можно вычислить расщепление сепаратрисы:
\[
D\left(n_{0}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} I_{0}\left(n-n_{0}\right)\left\{-\delta I_{0}\left(n-n_{0}\right)+2 K \sin \left[\theta_{0}\left(n-n_{0}\right)\right] \cos 2 \pi n\right\} d n .
\]

Здесь первый интеграл берется элементарно, а второй сводится к интегралу Мельникова-Арнольда (п. 3.5а). В результате получим
\[
D\left(n_{0}\right)=\frac{4 \pi}{Q_{0}}\left[\frac{Q_{0}^{3}}{\operatorname{ch}\left(\pi Q_{0} / 2\right)} \sin 2 \pi n_{0}-4 \delta\right],
\]

где $Q_{0}=2 \pi / K^{1 / 2}$. Поэтому условие пересечения сепаратрис имеет вид
\[
\delta<\frac{Q_{0}^{3}}{4} \frac{1}{\operatorname{ch}\left(\pi Q_{0} / 2\right)},
\]

или для $Q_{0} \gg 1$
\[
\delta<\frac{Q_{0}^{3}}{2} \exp \left(-\frac{\pi Q_{0}}{2}\right) .
\]

Метод Мельникова можно обобщить и на многомерные системы [196 ]. В частности, его можно использовать для изучения движения вблизи сепаратрисы вторичных резонансов. Этот метод привел также к важным математическим результатам в теории диффузии Арно.іьда [197]¹). $\qquad$
1) Речь идет о более аккуратном установлении самого факта существования диффузии в окрестности резонансных сепаратрис для широкого класса гамильтоновых систем (гипотеза Арнольда [462]). — Прим. ред.

7.3в. Вычисление инвариантных распределений

Рассмотрим задачу о вычислении инвариантного распределения $P(\boldsymbol{x})$ на странном аттракторе. Қак упоминалось в п. 7.2 в , $P(\boldsymbol{x})$ удовлетворяет уравнению
\[
P(\boldsymbol{x})=T P(\boldsymbol{x}),
\]

где $T$ — отображение в сечении Пуанкаре. В случае нескольких инвариантных распределений мы будем понимать под $P(\boldsymbol{x})$ равновесное распределение, для которого среднее по времени на почти любой траектории из области притяжения аттрактора равно фазовому среднему, вычисленному с этим распределением ${ }^{1}$ ).

Пусть $G(\boldsymbol{x})$ — некоторая функция в фазовом пространстве. Ее временно̀е среднее на траектории с начальными условиями $\boldsymbol{x}_{0}$ равно
\[
\bar{G}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} G\left(T^{i} \boldsymbol{x}\right) .
\]

Для почти всех $\boldsymbol{x}_{0}$ в области притяжения данного аттрактора $\bar{G}$ не зависит от $\boldsymbol{x}_{0}$ и равно
\[
\bar{G}=\int d x P(x) G(x),
\]

где $P(\boldsymbol{x})$ — инвариантное распределение для аттрактора. Соотношение (7.3.47) часто более удобно для вычисления $\bar{G}$, чем (7.3.46). В частности, с помощью инвариантного распределения вычисляются показатели Ляпунова (для одномерного отображения это описано В п. $7.2 \mathrm{~B})$.

В случае гамильтоновой системы и канонических переменных $\boldsymbol{x}$ равновесное распределение $P(\boldsymbol{x})=c$, где постоянная $c>0$ на всей хаотической компоненте движения и $c=0$ вне ее. Если хаотическая компонента заполняет почти все фазовое пространство, как, например, в стандартном отображении (3.1.22) при $K \gg 1$, то $P=1 / \tau$, где $\tau$ — объем произвольной области фазового пространства, по которой производится интегрирование в (7.3.47). Однако для диссипативных систем $P(\boldsymbol{x})$ априори неизвестно и его нужно находить для каждого интересующего нас аттрактора ${ }^{2}$ ). Основной метод определения $P(\boldsymbol{x})$ состоит в итерировании (7.3.45)
\[
P^{(i+1)}(x)=T P^{(i)}(x),
\]

начиная с какого-либо начального распределения $P^{0}(\boldsymbol{x})$ (предполагая, что вне области притяжения аттрактора $P^{(0)}(x)=0$ ). Тогда ${ }^{3}$ )
\[
P(\boldsymbol{x})=\lim _{i \rightarrow \infty} P^{(i)}(\boldsymbol{x}) .
\]
1) См. примечание редактора на с. 444.- Прим. ред.
2) При практических вычислениях средних обычно достаточно знать крупноструктурное инвариантное распределение.
3) Этот предел существует, вообще говоря, лишь для хаотического атграктора с перемешиванием.- Прим. ред.

Сведение к одномерному отображению. Некоторое упрощение вычислений можно достигнуть по методу Бриджеса и Раулэндса [40]. Они исследовали двумерные отображения, которые можно описать в некотором пределе с помощью одномерных отображений. Рассмотрим отображение вида
\[
\begin{array}{l}
\bar{x}=F(x, y), \\
\bar{y}=b G(x, y),
\end{array}
\]

где $b$ — малый параметр. Полагая в нулевом порядке $y=0$, получаем одномерное отображение
\[
\bar{x}=F(x, 0)=F_{0}(x) .
\]

Смещение аттрактора по $y$ определяется уравнением (7.3.49б) при $y=0$. Решая это уравнение относительно $x$, находим
\[
x=G_{0}^{-1}\left(\frac{\bar{y}}{b}\right) .
\]

Подставляя $x$ в (7.3.50), в итоге получаем для аттрактора уравнение нулевого порядка:
\[
\bar{x}=F_{0}\left(G_{0}^{-1}\left(\frac{\bar{y}}{b}\right)\right) .
\]

Чтобы прийти к уравнению в следующем порядке, заменим $\bar{x}$ и $\bar{y}$ в (7.3.51) на $x$ и $y$ и решим его относительно $y$ :
\[
y=b G_{0}\left(F_{0}^{-1}(x)\right) \text {. }
\]

Затем, подставляя это решение, как и раньше, в (7.3.49a), получим уравнение для аттрактора в первом порядке. Отображение Хенона (7.1.14) имеет вид (7.3.49) с $G(x, y)=x$. Структура аттрактора, найденная таким методом, удивительно хорошо совпадает с численными результатами.

Для получения инвариантного распределения методом итераций возьмем начальное распределение в виде
\[
P^{(0)}(x, y)=P_{1}(x) \delta(y-y(x)),
\]

где $P_{1}(x)$ — инвариантное распределение для одномерного отображения (7.3.50), а $y(x)$ определяется уравнением (7.3.52). При $b \ll 1$ это уже дает хорошее приближение для $P(x, y)$.

Трехмерные потоки приближенно описываются обычно с помощью одномерных необратимых отображений, для которых и определяется численно инвариантное распределение [324, 368]. Мы уже знаем два таких примера: аттрактор Лоренца (\$ 1.5) и аттрактор Рёслера (п.7.1б). Однако прямое сравнение действительного распределения и одномерного приближения проводится не часто. Израйлев и др. [210] сравнили полученные численным методом распределение $P_{1}(x)$ и распределение
\[
\int P(x, y) d y
\]

для трехмерного потока параметрически возбуждаемого нелинейного осциллятора и нашли хорошее согласие. Они указали также, что малый параметр в (7.3.49) связан с дробной частью фрактальной размерности $d_{f}=\sigma_{1} /\left|\sigma_{2}\right|$ :
\[
b \sim \exp \left[\left|\sigma_{2}\right|\left(d_{f}-1\right)\right]=\exp \left(\sigma_{1}+\sigma_{2}\right) .
\]

Использование уравнения ФПК. Хорошим начальным приближением $P^{(0)}$ инвариантного распределения может служить аналитическое решение уравнения ФПК. Такой метод наиболее удобен в случае малой скорости сжатия фазового объема ( $\left|\sigma_{1}+\sigma_{2}\right| \approx 0$ ), когда метод Бриджеса-Раулэндса неприменим. Этот случай можно рассматривать как малое диссипативное возмущение гамильтоновых отображений, для которых $\sigma_{1}+\sigma_{2} \equiv 0$.

В качестве примера возьмем ускорение Ферми с диссипацией. Используя упрощенное отображение Улама (3.4.6), вводим диссипацию посредством следующих формул:
\[
\begin{array}{l}
u_{n+1}=\left|u_{n}(1-\delta)+\sin \psi_{n}\right|, \\
\psi_{n+1}=\psi_{n}+\frac{2 \pi M}{u_{n+1}} .
\end{array}
\]

Здесь $u_{n}$ — приведенная скорость частицы, $\delta \ll 1$ — относительная потеря скорости при столкновении с неподвижной стенкой, $\psi_{n}$ — фаза колеблющейся стенки в момент соударения с частицей, а $M \gg 1$ пропорционально отношению расстояния между стенками к амплитуде колебания стенки (п. 3.4а). Якобиан отображения (7.3.55) равен
\[
R=\frac{\partial\left(u_{n+1}, \psi_{n+1}\right)}{\partial\left(u_{n}, \psi_{n}\right)}=1-\delta .
\]

При $\delta=0$ отображение является гамильтоновым и приводит к обычной картине хаотического движения с островками устойчивости (рис. 1.14).

Для $0<\delta \ll 1$ неподвижные точки в центрах областей устойчивости становятся притягивающими фокусами и можно ожидать, что хаотическая компонента движения будет полностью разрушена. Останется, однако, переходной хаос вблизи сепаратрис ${ }^{1}$ ), как описано в п. 7.3б. Численное моделирование отображения (7.3.55) подтвердило эти представления. Например, при $M=100$ для $0<\delta<0,02$, в том числе и для очень малых $\delta \sim 10^{-6}$, наблюдался переходной хаос. Полное разрушение стационарного хаотического движения при малой диссипации является, по всей видимости, типичным для таких систем. Исследование масштаба времени, в те-
1) При достаточно малом $\delta$ переходной хаос охватывает практически всю область стохастичности для $\delta=0[73,74,531]$. При.и. ред.

чение которого сохраняется переходной хаос, проводилось, например, Чириковым и Израйлевым [73, 74]. Однако сейчас нас интересует стационарный хаос, т. е. образование странного аттрактора.

При $M=100$ численные данные убедительно показывают, что в интервале $0,03 \leqslant \delta \leqslant 0,3$ (значения $\delta>0,3$ не исследовались) имеется странный аттрактор ${ }^{1}$ ). Правда, при этом нельзя исключить существование малых участков внутри этого интервала $\delta$ с периодическим движением. На рис. 7.28, а показана поверхность сечения ( $u, \psi$ ) в интервале $4<u<7$ после $4,5 \cdot 10^{5}$ итераций одной траектории. Хорошо видна слоистая структура аттрактора. Более мелкая структура внутри слоев представлена на рис. $7.28,6$, где в увеличенном масштабе показан участок фазовой плоскости $4,4<u<4,8$. Этот участок состоит из $200 \cdot 100$ ячеек, а число итераций траектории составляет $3 \cdot 10^{6}$. Если просуммировать распределение $P(u, \psi)$ по фазе $\psi$ при постоянном $u$, то получается значительно более гладкое распределение $P(u)$. Согласно численным данным, распределение $P(u)$ хорошо аппроксимируется распределением Гаусса
\[
P(u) \propto \exp \left(-\alpha u^{2}\right)
\]

где $\alpha$ зависит от $\delta$, но не от $M$. Вычисление $P(u)$ производится так же, как и в п. 5.4б. Будем исходить из усредненного по фазе уравнения $Ф П К ~(5.4 .5)$. Коэффициенты трения $B$ и диффузии $D$ равны, согласно (5.4.6) и (5.4.7):
\[
\begin{array}{c}
B=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} d \psi \Delta u, \\
D=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} d \psi(\Delta u)^{2},
\end{array}
\]
1) Образование хаотического аттрактора при достаточно сильной диссипации, которое, по-видимому, наблюдалось также в работах $[73,74,531]$, связано с тем, что диссипация разрушает устойчивые области. Однако приведенное в тексте критическое значение $\delta=0,03$ вызывает сомнения. Для образования хаотического аттрактора требуется по крайней мере, чтобы все нелодвижные точки отображения (см. рис. 1.14) стали неустойчивыми. Можно показать, что это происходит при условии: $\delta>\left(2 / \pi^{2} M\right)^{1 / 3} \approx 0,13(M=100)$, что заметно превышает приведенное значение, и даже значение $\delta=0,1$ в численном моделировании (рис. 7.28). Для данных на рис. 7.29 это же условие имеет вид $M>203(\delta=0,1)$. Причина, по которой захват траектории в устойчивый фокус не наблюдается при численном моделировании, состоит, по всей видимости, в том, что плотность равновесной функции распределения (7.3.61) в области захвата $(8,7 \leqslant u \leqslant 10$ для данных на рис. 7.28 ) исчезающе мала и соответственно время существования переходного хаоса огромно. В таком случае вполне можно говорить о квазистационарном хаосе. Условие его существования в данной модели, как можно показать, имеет вид: $\pi M \delta \geq 1$; оно выполняется с запасом для всех численных данных на рис. 7.28 и 7.29.-Прим. ред.

где мы предположили равномерное распределение по фазе уже после одной итерации. Из (7.3.55а) имеем
\[
\Delta u(\psi)=-\delta u+\sin \psi
\]

и
\[
\begin{aligned}
B & =-\delta u, \\
D & =\frac{1}{2}+\delta^{2} u^{2} .
\end{aligned}
\]

В стационарном состоянии и в отсутствие потока частиц уравнение ФПК имеет вид
\[
-B P^{(0)}+\frac{1}{2} \frac{d}{d u}\left(D P^{(0)}\right)=0 .
\]

Опуская второй член в (7.3.59б) (см. ниже), получаем нормированное на единицу решение
\[
P^{(0)}(u)=\left(\frac{8 \delta}{\pi}\right)^{1,2} \exp \left(-2 \delta u^{2}\right) .
\]

На рис. 7.29 это решение (сплошная прямая) сравнивается с численными данными при $\delta=0,1$ и различных $M$. При малых скоростях все численные значения хорошо ложатся на теоретическую прямую и не зависят от $M$. Однако при больших скоростях имеется систематическое отклонение. Очевидно, это связано с нарушением условия (5.4.4) применимости уравнения ФПК, которое в данном случае принимает вид
\[
\left(\frac{1}{P^{(0)}} \frac{d P^{(0)}}{d u}\right)^{-1} \geqslant|\Delta u|=1,
\]

или $u^{2} \ll(4 \delta)^{-2}=6,25$ при $\delta=0,1$. Во всяком случае, (7.3.61) является хорошим первым приближением для инвариантного распределения, хотя в нем и полностью отсутствует слоистая структура, масштаб которой по $u$ существенно меньше 1 (см. рис. 7.28, a). Чтобы получить эту структуру, воспользуемся методом итераций, согласно (7.3.48), взяв в качестве начального $P^{(0)}$ распределение (7.3.61). Записывая (7.3.48) в явном виде, находим
\[
P^{(i+1)}(\bar{u}, \bar{\psi}) d \bar{u} d \bar{\psi}=P^{(i)}(u, \psi) d u d \psi,
\]

или
\[
P^{(i+1)}(\tilde{u}, \bar{\psi})=R P^{(i)}(u, \psi),
\]

где
\[
R=\frac{\partial(u, \psi)}{\partial(\bar{u}, \bar{\psi})}
\]
— якобиан обратного отображения ( $T^{-\mathbf{1}}$ )
\[
u=u(\bar{u}, \bar{\psi}), \quad \psi=\psi(\bar{u}, \bar{\psi}) .
\]

Для диссипативного отображения Улама (7.3.55) $R=(1-\delta)^{-1}$ из (7.3.56), а $T^{-1}$ имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\psi=\bar{\psi}-\frac{2 \pi M}{\bar{u}}, \\
u=\frac{\bar{u}-\sin [\bar{\psi}-(2 \pi M / \bar{u})]}{1-\delta} .
\end{array}
\]
(7.3.66)

Рис. 7.29. Сравнение численных данных для инвариантного расіределения
По оси ординат отложена величина, пролорциональная иптегралу функции распределения то фазе ע.

Подставляя (7.3.66) в (7.3.63) с $P^{(0)}$ из (7.3.61), получаем следующее приближение для инвариантного распределения:
\[
P^{(1)}(\bar{u}, \bar{\psi})=\left(\frac{8 \delta}{\pi}\right)^{12} \frac{1}{1-\delta} \exp \left\{-\frac{2 \delta \dagger}{(1-\delta)^{2}}\left[\bar{u}-\sin \left(\bar{\psi}-\frac{\{2 \pi M}{\bar{u}}\right)\right]^{2}\right\} .
\]
$(7,3.67)$

Рис. 7.30. Последовательные приближения при вычислении инвариантного распределения (по данным работы [277]).
a) $P^{(1)}(u, \psi)$; б) $P^{(2)}(u, \psi)$; начальное $P^{(0)}(u)$ из (7.3.61). Обозначснне и параметры те же, что ина рис. $7.28,6$.

Это приближение показано на рис. $7.30, a$, взятом из работы Либермана и Цанга [277]. Его следует сравнить с численными данными на рис. 7.28 , б. В обоих случаях использованы одинаковые параметры модели и ее представления на фазовой плоскости. Грубая слоистая структура $P^{(1)}$ хорошо согласуется с численными данными. Результат второй итерации (7.3.63) — распределение $P^{(2)}-$ показан на рис. 7.30 , б в тех же условиях. Согласие с численными данными на рис. 7.28 , б становится поразительно хорошим. Следующие итерации дали бы еще более тонкую структуру аттрактора. Для других значений $\delta$, например 0,03 , также имеется хорошее согласие.